ปริซึมตรง (รูปสี่เหลี่ยมปกติ) ปริซึมตรง (รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ) ผลรวมของทรงกลมที่มีวัตถุทรงกลม

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชี Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

ทรงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ รูปทรงหลายเหลี่ยม

คำนิยาม. กล่าวกันว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมถูกจารึกไว้ในทรงกลม (และทรงกลมที่อธิบายเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม) หากจุดยอดทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมอยู่ในทรงกลมนี้ ผลที่ตามมา จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตนั้นมีระยะห่างเท่ากันจากจุดยอดทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยม โอ โอ โอ . . .

ทฤษฎีบท 1 เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนดสองจุดเท่ากันคือระนาบตั้งฉากกับส่วนที่มีปลาย ณ จุดที่กำหนด โดยผ่านตรงกลาง (ระนาบของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนี้) AB ┴ α AO=OB α A B O

ทฤษฎีบท 2 เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนด n จุดซึ่งอยู่บนวงกลมเดียวกันนั้นจะมีเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบของจุดเหล่านี้ โดยผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบจุดเหล่านั้น C E A B D O ก. . . . . . ซี เอ บี ดี . . . . .

ปริซึมที่ถูกจารึกไว้ในทรงกลม OA=OB=…=OX=R เอสเอฟ โอ 1. โอ O เอสเอฟ 1 ก .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . เอ็กซ์ 1. .ก .B .C .D E. X. 1 . โอ โอ 1

ผลที่ตามมา. 1) ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบปริซึมสามเหลี่ยมตรง เพราะว่า คุณสามารถอธิบายวงกลมรอบสามเหลี่ยมได้เสมอ 2) สามารถอธิบายทรงกลมรอบๆ ปริซึมปกติได้ เพราะว่า ปริซึมปกติจะเป็นเส้นตรงและสามารถอธิบายวงกลมรอบรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้เสมอ โอ โอ .

ภารกิจที่ 1 วงกลมมีเส้นรอบปริซึม โดยที่ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีขา 6 และ 8 ขอบข้างของปริซึมคือ 24 จงหารัศมีของลูกบอล ให้ไว้: ∆ ABC – สี่เหลี่ยม; เอซี=6, BC=8, เอเอ 1 =24 ค้นหา: Rw = ? วิธีแก้ไข: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 = AA 1 = 24 2) เอบีซี: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 คำตอบ: 13. O 1 O. . . R w O sh C 1 B 1 A 1 A C B

ภารกิจที่ 3 ขนาดของทรงลูกบาศก์คือ 2,3 และ 5 จงหารัศมีของทรงกลมที่มีเส้นรอบวง ให้ไว้:AB=a=2; ก่อนคริสต์ศักราช=b=3; ซีซี 1 =ค=5 ค้นหา: Rw = ? วิธีแก้: 1) เอซี 2 =a 2 +b 2 +c 2 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน) 3) A 1 C=√38; R w = O w C = √38 /2 คำตอบ: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . โอ้ช

ภารกิจที่ 3 ด้านข้างของฐานของปริซึมสามเหลี่ยมปกติเท่ากับ a และขอบด้านข้างเท่ากับ 2 a ค้นหารัศมีของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด ให้ไว้: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; เอเอ 1= 2เอ ค้นหา: Rw = ? วิธีแก้: 1)AB=AO √3; อ่าว=ก/√3. 2)R w =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 คำตอบ: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. โอ โอ 1

ผลที่ตามมา. 1) คุณสามารถอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดสามเหลี่ยมได้เสมอ เนื่องจากคุณสามารถอธิบายวงกลมรอบสามเหลี่ยมได้เสมอ 2) คุณสามารถอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดปกติได้เสมอ 3) หากขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากัน (เอียงกับฐานเท่ากัน) ก็สามารถอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดดังกล่าวได้เสมอ *ในสองกรณีสุดท้าย จุดศูนย์กลางของทรงกลมอยู่บนเส้นตรงที่มีความสูงของปิรามิด โอ โอ

ปัญหา (ทรงกลมอธิบายใกล้ปิรามิด) อธิบายลูกบอลรอบๆ พีระมิด PABC โดยมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม ABC ปกติ โดยมีด้าน 4√3 ขอบด้านข้างของ PA ตั้งฉากกับระนาบของฐานของพีระมิด และมีค่าเท่ากับ 6 จงหารัศมีของลูกบอล ให้ไว้: AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(เอบีซี); พีเอ=6. ค้นหา: Rw = ? วิธีแก้ปัญหา: 1) OO SF ┴(ABC); O – จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จำกัดขอบเขตเกี่ยวกับ ∆ABC KO SF ┴ PA; KP=AK (KO SF หนึ่งในเส้นตั้งฉากกึ่งกลางกับขอบด้านข้าง PA); O SF เป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด 2) OO SF ┴(เอบีซี); OO SF เป็นของ (AKO); PA ┴(เอบีซี); AK เป็นของ (AKO); หมายถึง KA|| OO เอสเอฟ; . โอ เอสเอฟ โอ เค.พี.เอ.บี.ซี

ปัญหา (ทรงกลมอธิบายใกล้ปิรามิด) 3) KO c f ┴AP; KO c f เป็นของ (AOK); AO┴AP; AO เป็นของ (AOK); หมายถึง KO c f || อ่าว; 4) จาก (2) และ (3): AOO c f K- สี่เหลี่ยมผืนผ้า, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w =5 คำตอบ: 5

ปัญหา (ทรงกลมอธิบายใกล้ปิรามิด) ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ ขอบด้านข้างจะเอียงไปที่ฐานเป็นมุม 45° ความสูงของปิรามิดคือ h ค้นหารัศมีของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด ให้ไว้: PABCD – ปิรามิดปกติ; (AP^(ABC))=45 ˚; PO=ชม. ค้นหา: Rw = ? วิธีแก้ปัญหา: 1) AO=OP=h; AP=เอช √ 2; 2) ∆PAP 1 – สี่เหลี่ยม; PP 1 – เส้นผ่านศูนย์กลางลูกบอล; พี 1 = 2 R w; AP 2 = พีพี 1 *OP; (ซ √ 2) 2 =2 R w *h; R w = 2h 2 /2h=h. คำตอบ: ฮ. ค. บี เอ .ดี .พี .พี 1 โอ

งาน (ทรงกลมอธิบายใกล้ปิรามิด) ด้วยตัวเอง. รัศมีของทรงกลมที่จำกัดขอบเขตรอบจัตุรมุขปกติจะเท่ากับ R ค้นหาพื้นที่ผิวรวมของจัตุรมุข

ปัญหา (ทรงกลมอธิบายใกล้ปิรามิด) ด้วยตัวเอง. ให้ไว้: DABC – จัตุรมุขปกติ; R คือรัศมีของทรงกลม ค้นหา: S เต็มเตตร้า =? วิธีแก้ปัญหา: 1) เนื่องจากจัตุรมุขเป็นแบบปกติ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตจึงเป็นเส้นตรงที่มีความสูงของปิรามิด 2) S เต็มเตตร้า = ก 2 √ 3/4*4 = ก 2 √ 3; 3) จุด D, A, D 1 อยู่ในวงกลมเดียวกัน - ส่วนของทรงกลมข้างระนาบ DAD 1 ซึ่งหมายความว่ามุม DAD 1 เป็นมุมที่จารึกไว้ตามเส้นผ่านศูนย์กลาง DD 1; มุม DAD 1 =90 ˚; 4) AO – ความสูง ∆ เพิ่ม 1 ที่ลากจากจุดยอดของมุมขวา โฆษณา 2 = DO*DD 1 ; 5) AO=ก/ √ 3; ทำ= √ ก 2 -ก 2 /3=ก √ 2 / √ 3; ก 2 = ก √ 2 / √ 3*2R; ก= √ 2 / √ 3*2R; ก 2 = 8R 2 /3; .D 1 .D .O .B .C ก.ก

ปัญหา (ทรงกลมอธิบายใกล้ปิรามิด) ด้วยตัวเอง. 6) เต็ม tet = 8R 2 √ 3/3 ตอบ: 8R 2 √ 3/3

หัวข้อ “ปัญหาต่างๆ เกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยม ทรงกระบอก กรวย และลูกบอล” เป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากที่สุดในหลักสูตรเรขาคณิตเกรด 11 ก่อนที่จะแก้ปัญหาเรขาคณิต พวกเขามักจะศึกษาส่วนที่เกี่ยวข้องของทฤษฎีที่อ้างถึงเมื่อแก้ไขปัญหา ในหนังสือเรียนของ S. Atanasyan และคนอื่นๆ ในหัวข้อนี้ (หน้า 138) เราพบเพียงคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อธิบายไว้รอบๆ ทรงกลม รูปทรงหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในทรงกลม ทรงกลมที่จารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยม และทรงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ รูปทรงหลายเหลี่ยม คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับหนังสือเรียนเล่มนี้ (ดูหนังสือ“ การศึกษาเรขาคณิตในระดับ 10–11” โดย S.M. Sahakyan และ V.F. Butuzov, หน้า 159) บอกว่าการรวมกันของวัตถุใดที่พิจารณาเมื่อแก้ไขปัญหาหมายเลข 629–646 และดึงความสนใจออกมา ถึงความจริงที่ว่า "เมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะประการแรกจำเป็นต้องให้แน่ใจว่านักเรียนมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับตำแหน่งสัมพัทธ์ของร่างกายที่ระบุในสภาพ" ต่อไปนี้เป็นวิธีแก้ปัญหาหมายเลข 638(a) และหมายเลข 640

เมื่อพิจารณาจากทั้งหมดข้างต้นและความจริงที่ว่าปัญหาที่ยากที่สุดสำหรับนักเรียนคือการรวมกันของลูกบอลกับส่วนอื่น ๆ จึงจำเป็นต้องจัดระบบหลักการทางทฤษฎีที่เกี่ยวข้องและสื่อสารกับนักเรียน

คำจำกัดความ

1. ลูกบอลถูกเรียกว่าจารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยม และจะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมที่อธิบายไว้รอบๆ ลูกบอล หากพื้นผิวของลูกบอลสัมผัสกับทุกหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม

2. เรียกว่าลูกบอลที่มีเส้นรอบวงรอบรูปทรงหลายเหลี่ยม และจะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมติดอยู่ในลูกบอล หากพื้นผิวของลูกบอลทะลุผ่านจุดยอดทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

3. กล่าวกันว่าลูกบอลถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก กรวยที่ถูกตัดทอน (กรวย) และว่ากันว่าทรงกระบอก กรวยที่ถูกตัดทอน (กรวย) นั้นถูกจารึกไว้รอบลูกบอล หากพื้นผิวของลูกบอลสัมผัสกับฐาน (ฐาน) และทั้งหมด ลักษณะทั่วไปของทรงกระบอก, กรวยตัดทอน (กรวย)

(จากคำจำกัดความนี้ เป็นไปตามที่ว่าวงกลมใหญ่ของลูกบอลสามารถจารึกลงในส่วนแนวแกนใดๆ ของวัตถุเหล่านี้ได้)

4. กล่าวกันว่าลูกบอลถูกจำกัดรอบทรงกระบอก ซึ่งเป็นกรวยที่ถูกตัดทอน (กรวย) ถ้าวงกลมของฐาน (วงกลมฐานและปลาย) เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวของลูกบอล

(จากคำจำกัดความนี้ จึงสามารถอธิบายวงกลมของวงกลมที่ใหญ่กว่าของลูกบอลได้รอบๆ ส่วนตามแนวแกนของวัตถุเหล่านี้)

หมายเหตุทั่วไปเกี่ยวกับตำแหน่งจุดศูนย์กลางลูก

1. จุดศูนย์กลางของลูกบอลที่จารึกไว้ในรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นอยู่ที่จุดตัดของระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ตั้งอยู่ภายในรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้น

2. จุดศูนย์กลางของลูกบอลที่ล้อมรอบรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นอยู่ที่จุดตัดของระนาบที่ตั้งฉากกับขอบทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมและผ่านจุดกึ่งกลางของมัน สามารถตั้งอยู่ภายใน บนพื้นผิว หรือภายนอกรูปทรงหลายเหลี่ยมได้

การรวมกันของทรงกลมและปริซึม

1. ลูกบอลที่จารึกอยู่ในปริซึมตรง

ทฤษฎีบท 1 ทรงกลมสามารถเขียนลงในปริซึมตรงได้ก็ต่อเมื่อสามารถเขียนวงกลมไว้ที่ฐานของปริซึมได้ และความสูงของปริซึมเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้

ข้อพิสูจน์ 1.จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในปริซึมด้านขวาอยู่ที่จุดกึ่งกลางของความสูงของปริซึมที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในฐาน

ข้อพิสูจน์ 2.โดยเฉพาะลูกบอลสามารถเขียนเป็นเส้นตรงได้: สามเหลี่ยม ปกติ สี่เหลี่ยม (ซึ่งผลบวกของด้านตรงข้ามของฐานจะเท่ากัน) ภายใต้เงื่อนไข H = 2r โดยที่ H คือความสูงของ ปริซึม r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ที่ฐาน

2. ทรงกลมที่ล้อมรอบปริซึม

ทฤษฎีบท 2 ทรงกลมสามารถอธิบายรอบปริซึมได้ก็ต่อเมื่อปริซึมตรงและสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานได้

ข้อพิสูจน์ 1. จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบปริซึมตรงนั้นอยู่ที่จุดกึ่งกลางของความสูงของปริซึมที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐาน

ข้อพิสูจน์ 2.โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลูกบอลสามารถอธิบายได้ เช่น ใกล้ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ใกล้ปริซึมปกติ ใกล้สี่เหลี่ยมด้านขนาน ใกล้ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากด้านขวา ซึ่งผลรวมของมุมตรงข้ามของฐานเท่ากับ 180 องศา

จากหนังสือเรียนของ L.S. Atanasyan ปัญหาหมายเลข 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) สามารถแนะนำได้สำหรับการรวมลูกบอลและปริซึม

การรวมกันของลูกบอลกับปิรามิด

1. ลูกบอลที่อธิบายไว้ใกล้ปิรามิด

ทฤษฎีบท 3 ลูกบอลสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด ถ้าหากสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของมันได้

ข้อพิสูจน์ 1.จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบปิรามิดนั้นอยู่ที่จุดตัดของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับฐานของปิรามิดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบฐานนี้และมีระนาบตั้งฉากกับขอบด้านข้างใดๆ ที่ลากผ่านตรงกลาง ขอบนี้

ข้อพิสูจน์ 2.หากขอบด้านข้างของปิรามิดเท่ากัน (หรือเอียงกับระนาบของฐานเท่ากัน) ก็สามารถอธิบายลูกบอลรอบปิรามิดนั้นได้ ศูนย์กลางของลูกบอลในกรณีนี้อยู่ที่จุดตัดกันของ ความสูงของปิรามิด (หรือส่วนต่อขยาย) โดยมีแกนสมมาตรของขอบด้านข้างอยู่ในขอบด้านข้างของระนาบและความสูง

ข้อพิสูจน์ 3.โดยเฉพาะอย่างยิ่งลูกบอลสามารถอธิบายได้: ใกล้ปิรามิดรูปสามเหลี่ยม ใกล้ปิรามิดปกติ ใกล้ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม ซึ่งผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180 องศา

2. ลูกบอลที่จารึกไว้ในปิรามิด

ทฤษฎีบท 4 หากใบหน้าด้านข้างของปิรามิดมีความโน้มเอียงไปทางฐานเท่ากันก็สามารถใส่ลูกบอลเข้าไปในปิรามิดได้

ข้อพิสูจน์ 1.ศูนย์กลางของลูกบอลที่จารึกไว้ในปิรามิด โดยที่ใบหน้าด้านข้างเอียงไปทางฐานเท่ากันนั้น อยู่ที่จุดตัดกันของความสูงของปิรามิด โดยมีเส้นแบ่งครึ่งของมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลใดๆ ที่ฐานของปิรามิด ด้านข้าง ซึ่งเป็นความสูงของหน้าด้านข้างที่ลากมาจากยอดพีระมิด

ข้อพิสูจน์ 2.คุณสามารถใส่ลูกบอลลงในปิรามิดปกติได้

จากหนังสือเรียนของ L.S. Atanasyan สามารถเสนอแนะปัญหาหมายเลข 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 สำหรับการรวมลูกบอลกับปิรามิด

การรวมกันของลูกบอลกับปิรามิดที่ถูกตัดทอน

1. ลูกบอลที่ล้อมรอบปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ

ทฤษฎีบท 5 ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ (เงื่อนไขนี้เพียงพอแต่ไม่จำเป็น)

2. ลูกบอลที่จารึกไว้ในปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติ

ทฤษฎีบท 6 ลูกบอลสามารถถูกจารึกลงในปิรามิดที่ถูกตัดทอนตามปกติได้ ถ้าหากจุดกึ่งกลางของจุดกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากับผลรวมของจุดตั้งฉากของฐาน

มีเพียงปัญหาเดียวสำหรับการรวมลูกบอลกับปิรามิดที่ถูกตัดทอนในหนังสือเรียนของ L.S. Atanasyan (หมายเลข 636)

การรวมกันของลูกบอลที่มีลำตัวกลม

ทฤษฎีบท 7 ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ทรงกระบอก กรวยที่ถูกตัดทอน (วงกลมตรง) หรือกรวย

ทฤษฎีบท 8 ลูกบอลสามารถถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก (วงกลมตรง) ได้ก็ต่อเมื่อทรงกระบอกมีด้านเท่ากันหมด

ทฤษฎีบท 9 คุณสามารถใส่ลูกบอลลงในกรวยใดก็ได้ (วงกลมตรง)

ทฤษฎีบท 10 ลูกบอลสามารถถูกจารึกไว้ในกรวยที่ถูกตัดทอน (วงกลมตรง) ได้ก็ต่อเมื่อตัวกำเนิดของมันเท่ากับผลรวมของรัศมีของฐาน

จากตำราเรียนของ L.S. Atanasyan สามารถแนะนำปัญหาหมายเลข 642, 643, 644, 645, 646 สำหรับการรวมกันของลูกบอลที่มีตัวทรงกลม

เพื่อให้ศึกษาเนื้อหาในหัวข้อนี้ได้สำเร็จยิ่งขึ้นจำเป็นต้องรวมงานปากเปล่าไว้ในบทเรียนด้วย:

1. ขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a ค้นหารัศมีของลูกบอล: เขียนไว้ในลูกบาศก์และกำหนดเส้นรอบวงไว้รอบๆ (r = a/2, R = a3)

2. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลม (ลูกบอล) รอบ ๆ : ก) ลูกบาศก์; b) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน; c) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เอียงโดยมีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ฐาน d) ขนานตรง; e) เส้นขนานที่เอียง? (ก. ใช่; B: ใช่; ค) ไม่; ง) ไม่; ง) ไม่)

3. เป็นความจริงหรือไม่ที่สามารถอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดสามเหลี่ยมใดๆ ได้? (ใช่)

4. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมใดๆ ? (ไม่ ไม่ใช่ใกล้กับพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมใดๆ เลย)

5. ปิรามิดต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะอธิบายทรงกลมรอบๆ ได้ (ที่ฐานควรมีรูปหลายเหลี่ยมล้อมรอบซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้)

6. ปิรามิดถูกจารึกไว้ในทรงกลม โดยขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน จะหาจุดศูนย์กลางของทรงกลมได้อย่างไร? (จุดศูนย์กลางของทรงกลมคือจุดตัดกันของตำแหน่งเรขาคณิตสองตำแหน่งของจุดในอวกาศ จุดแรกคือเส้นตั้งฉากที่ลากกับระนาบของฐานปิรามิด ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบตำแหน่งนั้น จุดที่สองคือระนาบ ตั้งฉากกับขอบด้านที่กำหนดแล้วลากผ่านตรงกลาง)

7. ภายใต้เงื่อนไขใดที่คุณสามารถอธิบายทรงกลมรอบปริซึมที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู? (ประการแรก ปริซึมจะต้องตรง และประการที่สอง สี่เหลี่ยมคางหมูจะต้องเป็นหน้าจั่วจึงจะสามารถอธิบายวงกลมรอบๆ ได้)

8. ปริซึมต้องเป็นไปตามเงื่อนไขใดจึงจะสามารถอธิบายทรงกลมที่อยู่รอบๆ ได้? (ปริซึมจะต้องตรง และฐานจะต้องเป็นรูปหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้)

9. ทรงกลมถูกอธิบายไว้รอบๆ ปริซึมสามเหลี่ยม ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่นอกปริซึม สามเหลี่ยมข้อใดเป็นฐานของปริซึม? (สามเหลี่ยมป้าน)

10. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบปริซึมเอียง? (ไม่คุณไม่สามารถ)

11. จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากจะอยู่ที่ด้านใดด้านหนึ่งของปริซึมภายใต้เงื่อนไขใด (ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)

12. ฐานของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว การฉายมุมฉากของส่วนบนของปิรามิดลงบนระนาบของฐานคือจุดที่ตั้งอยู่นอกสี่เหลี่ยมคางหมู เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบ ๆ สี่เหลี่ยมคางหมูเช่นนี้? (ใช่ คุณทำได้ ความจริงที่ว่าเส้นโครงตั้งฉากของด้านบนของปิรามิดนั้นตั้งอยู่นอกฐานนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคือที่ฐานของปิรามิดจะมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วอยู่ ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมรอบ ๆ ซึ่งสามารถวางวงกลมได้ อธิบายไว้)

13. มีรูปทรงกลมอยู่ใกล้ปิรามิดปกติ ศูนย์กลางของมันตั้งอยู่สัมพันธ์กับองค์ประกอบของปิรามิดอย่างไร? (จุดศูนย์กลางของทรงกลมอยู่ในแนวตั้งฉากกับระนาบของฐานผ่านจุดศูนย์กลาง)

14. จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่อยู่รอบๆ ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นอยู่ภายใต้สภาวะใด: ก) ภายในปริซึม; b) นอกปริซึม? (ที่ฐานของปริซึม: ก) สามเหลี่ยมมุมแหลม; b) สามเหลี่ยมป้าน)

15. ทรงกลมถูกอธิบายไว้รอบๆ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบเป็น 1 dm, 2 dm และ 2 dm คำนวณรัศมีของทรงกลม (1.5 ดีเอ็ม)

16. ทรงกลมที่ถูกตัดทอนชนิดใดที่สามารถใส่ลงในทรงกลมได้? (ในกรวยที่ถูกตัดทอน เข้าไปในส่วนตามแนวแกนซึ่งสามารถเขียนวงกลมได้ ส่วนตามแนวแกนของกรวยเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ผลรวมของฐานจะต้องเท่ากับผลรวมของด้านข้างของมัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวมของรัศมีฐานกรวยต้องเท่ากับเครื่องกำเนิด)

17. ทรงกลมถูกจารึกไว้ในกรวยที่ถูกตัดทอน เจเนราทริกซ์ของกรวยมองเห็นได้จากมุมใดจากจุดศูนย์กลางของทรงกลม (90 องศา)

18. ปริซึมตรงต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะจารึกทรงกลมลงไปได้? (ประการแรก ที่ฐานของปริซึมตรง จะต้องมีรูปหลายเหลี่ยมที่สามารถเขียนวงกลมเข้าไปได้ และประการที่สอง ความสูงของปริซึมจะต้องเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่สลักไว้ที่ฐาน)

19. ขอยกตัวอย่างปิรามิดที่ไม่สามารถใส่ทรงกลมได้? (เช่น ปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

20. ที่ฐานของปริซึมตรงมีสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เป็นไปได้ไหมที่จะใส่ทรงกลมเข้าไปในปริซึมนี้? (ไม่ เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว เป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายวงกลมรอบสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

21. ทรงกลมสามารถเขียนลงในปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากได้ภายใต้เงื่อนไขใด (ถ้าความสูงของปริซึมเป็นสองเท่าของรัศมีของวงกลมที่ฐาน)

22. ภายใต้เงื่อนไขใดที่ทรงกลมสามารถจารึกลงในปิรามิดที่ถูกตัดทอนเป็นรูปสี่เหลี่ยมปกติได้? (ถ้าหน้าตัดของปิระมิดที่กำหนดเป็นระนาบที่ผ่านตรงกลางของด้านข้างของฐานที่ตั้งฉากกับพีระมิด มันจะเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วซึ่งสามารถเขียนวงกลมลงไปได้)

23. ทรงกลมถูกจารึกไว้ในปิรามิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน จุดใดของปิรามิดเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม? (จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในปิรามิดนี้อยู่ที่จุดตัดของระนาบสองมุมสามอันที่เกิดจากใบหน้าด้านข้างของปิรามิดกับฐาน)

24. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบทรงกระบอก (วงกลมด้านขวา)? (ใช่คุณสามารถ)

25. เป็นไปได้ไหมที่จะอธิบายทรงกลมรอบกรวย ซึ่งเป็นกรวยที่ถูกตัดทอน (วงกลมตรง)? (ใช่ คุณสามารถทำได้ทั้งสองกรณี)

26. สามารถใส่ทรงกลมลงในทรงกระบอกใดๆ ได้หรือไม่? ทรงกระบอกต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะใส่ทรงกลมได้? (ไม่ใช่ ไม่ใช่ทุกครั้ง: ส่วนแกนของกระบอกสูบต้องเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

27. สามารถเขียนทรงกลมลงในกรวยใดๆ ได้หรือไม่? จะทราบตำแหน่งศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้ในกรวยได้อย่างไร? (ใช่แน่นอน จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่จารึกไว้อยู่ที่จุดตัดของความสูงของกรวยกับเส้นแบ่งครึ่งของมุมเอียงของเจเนราทริกซ์กับระนาบของฐาน)

ผู้เขียนเชื่อว่าจากบทเรียนการวางแผนทั้งสามบทในหัวข้อ "ปัญหาที่แตกต่างกันของรูปทรงหลายเหลี่ยม ทรงกระบอก กรวยและลูกบอล" ขอแนะนำให้อุทิศสองบทเรียนในการแก้ปัญหาในการรวมลูกบอลเข้ากับส่วนอื่น ๆ ไม่แนะนำให้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ให้ไว้ข้างต้นเนื่องจากมีเวลาในชั้นเรียนไม่เพียงพอ คุณสามารถเชิญนักเรียนที่มีทักษะเพียงพอสำหรับเรื่องนี้มาพิสูจน์โดยระบุหลักสูตรหรือแผนของการพิสูจน์ (ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู)

2.ด้านฐาน

งาน

1. หาพื้นที่ผิวของปริซึมตรง โดยที่ฐานมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีเส้นทแยงมุมเท่ากับ 3 และ 4 และมีขอบข้างเท่ากับ 5

คำตอบ: 62.

2. ที่ฐานของปริซึมตรงจะมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีเส้นทแยงมุมเท่ากับ 6 และ 8 อยู่ โดยมีพื้นที่ผิว 248 จงหาขอบด้านข้างของปริซึมนี้

คำตอบ: 10.

3. หาขอบข้างของปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ถ้าด้านข้างของฐานเป็น 3 และพื้นที่ผิวเท่ากับ 66

คำตอบ: 4.

4. ปริซึมรูปสี่เหลี่ยมปกติมีเส้นรอบวงรอบทรงกระบอกซึ่งมีรัศมีฐานและความสูงเท่ากับ 2 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

คำตอบ: 32.

5. ปริซึมรูปสี่เหลี่ยมปกติมีเส้นรอบวงรอบทรงกระบอกซึ่งมีรัศมีฐานเท่ากับ 2 พื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมคือ 48 จงหาความสูงของทรงกระบอก

ปริซึมขวา (ปกติหกเหลี่ยม)

ปริซึมที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน และฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน

1. ใบหน้าด้านข้าง - สี่เหลี่ยมเท่ากัน

2.ด้านฐาน

งาน

1. จงหาปริมาตรของปริซึมหกเหลี่ยมปกติที่มีด้านฐานเท่ากับ 1 และมีขอบด้านข้างเท่ากับ

คำตอบ: 4.5

2. หาพื้นที่ผิวข้างของปริซึมหกเหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านฐานเป็น 3 และสูงเป็น 6

คำตอบ: 108.

3. จงหาปริมาตรของปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ซึ่งขอบทั้งหมดจะเท่ากับ √3

คำตอบ: 13.5

4. ค้นหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดคือจุด A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 ของปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA1B1C1D1E1F1 พื้นที่ฐานคือ 6 และขอบด้านข้างคือ 2 .

ปริซึมตรง (โดยพลการ n-ถ่านหิน)

ปริซึมที่มีขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน และฐานมี n เหลี่ยมเท่ากัน

1. หากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ใบหน้าด้านข้างก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากัน

2.ด้านฐาน .

พีระมิด

ปิรามิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยม n-gon A1A2...AnA1 และ n (A1A2P, A1A3P ฯลฯ)

1. ส่วนที่ขนานกับฐานของปิระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมคล้ายกับฐาน พื้นที่หน้าตัดและพื้นที่ฐานสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของระยะทางถึงยอดพีระมิด

2. ปิรามิดจะเรียกว่าปกติหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและปลายของพีระมิดถูกฉายไปที่กึ่งกลางของฐาน

3. ขอบด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากันทุกด้าน และด้านด้านข้างมีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน

4. ความสูงของด้านข้างของปิรามิดปกติเรียกว่าอะโพเธม

5. พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและจุดกึ่งกลางของฐาน

งาน

1. ปริมาตรของจัตุรมุขปกติจะเพิ่มขึ้นกี่เท่าหากขอบทั้งหมดเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า?

คำตอบ: 8.

2. ด้านข้างของฐานของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 10, ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 13 จงหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด

คำตอบ: 360.

5. จงหาปริมาตรของปิรามิดตามภาพ ฐานของมันคือรูปหลายเหลี่ยม ด้านประชิดตั้งฉากกัน และขอบด้านหนึ่งตั้งฉากกับระนาบของฐาน และเท่ากับ 3

คำตอบ: 27.

6. จงหาปริมาตรของปิระมิดสามเหลี่ยมปกติที่มีด้านฐานเท่ากับ 1 และมีความสูงเท่ากับ

คำตอบ: 0.25.

7. ขอบด้านข้างของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมตั้งฉากกัน โดยแต่ละขอบมีค่าเท่ากับ 3 จงหาปริมาตรของปิรามิด

คำตอบ: 4.5

8. เส้นทแยงมุมของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 8 ขอบข้างคือ 5 จงหาปริมาตรของปิรามิด

คำตอบ: 32.

9. ในปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ มีความสูง 12 และปริมาตรคือ 200 จงหาขอบด้านข้างของปิรามิด

คำตอบ: 13.

10. ด้านข้างของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 6, ขอบด้านข้างมีค่าเท่ากับ 5 จงหาพื้นที่ผิวของปิรามิด

คำตอบ: 84.

11. ปริมาตรของปิรามิดหกเหลี่ยมปกติคือ 6 ด้านข้างของฐานคือ 1 จงหาขอบด้านข้าง

12. พื้นที่ผิวของจัตุรมุขปกติจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งหากขอบทั้งหมดเพิ่มเป็นสองเท่า?

คำตอบ: 4.

13. ปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติคือ 12 จงหาปริมาตรของปิรามิดที่ตัดออกจากพีระมิดโดยระนาบที่วิ่งผ่านเส้นทแยงมุมของฐานและตรงกลางของขอบด้านตรงข้าม

คำตอบ: 3.

14. ปริมาตรของทรงแปดหน้าจะลดลงกี่ครั้งหากขอบทั้งหมดลดลงครึ่งหนึ่ง?

คำตอบ: 8.

15. ปริมาตรของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือ 15 เครื่องบินจะวิ่งผ่านด้านข้างของฐานของปิรามิดนี้ และตัดขอบด้านตรงข้ามที่จุดใดจุดหนึ่งโดยแบ่งเป็นอัตราส่วน 1: 2 นับจากด้านบนของปิรามิด ค้นหาปิรามิดที่มีปริมาตรมากที่สุดซึ่งเครื่องบินจะแบ่งปิรามิดเดิมเข้าไป

คำตอบ: 10.

16. จงหาความสูงของปิระมิดสามเหลี่ยมปกติที่มีด้านฐานเท่ากับ 2 และมีปริมาตรเท่ากับ

คำตอบ: 3.

17. ในพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ มีความสูง 6 และขอบด้านข้างเท่ากับ 10 จงหาปริมาตร

คำตอบ: 256.

18. จากปิรามิดรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีปริมาตรเท่ากับ 12 ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมจะถูกตัดออกโดยระนาบที่ผ่านด้านบนของปิรามิดและเส้นกึ่งกลางของฐาน ค้นหาปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมที่ตัดออก

คำตอบ: 3.

กระบอก

ทรงกระบอกคือวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกและมีวงกลมสองวงที่มีขอบเขต

ชม

ร

ปริมาณร่างกาย	พื้นที่ผิวด้านข้าง	พื้นที่ฐาน	พื้นที่ผิวทั้งหมด

1. เครื่องกำเนิดทรงกระบอก - ส่วนของเจเนราทริกซ์ที่อยู่ระหว่างฐาน

2. ความสูงของกระบอกสูบคือความยาวของเจเนราทริกซ์

3. ส่วนตามแนวแกนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สองด้านเป็นยีน และอีกสองด้านเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของทรงกระบอก

4. ส่วนวงกลม - ส่วนที่มีระนาบการตัดตั้งฉากกับแกนของกระบอกสูบ

5. การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก - สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แสดงถึงขอบสองด้านของการตัดพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกตามแนวเจเนราทริกซ์

6. พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกเป็นพื้นที่ของการพัฒนา

7. พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก เรียกว่า ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างกับฐานทั้งสอง

8. คุณสามารถอธิบายทรงกลมรอบทรงกระบอกได้เสมอ ศูนย์กลางอยู่ที่กึ่งกลางของความสูง โดยที่ R คือรัศมีของลูกบอล r คือรัศมีของฐานของทรงกระบอก H คือความสูงของทรงกระบอก

9. คุณสามารถใส่ลูกบอลเข้าไปในกระบอกสูบได้หากเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของทรงกระบอกเท่ากับความสูงของมัน .

งาน

1. หย่อนส่วนหนึ่งลงในภาชนะทรงกระบอกที่มีน้ำ 6 ลิตร ขณะเดียวกันระดับของเหลวในภาชนะเพิ่มขึ้น 1.5 เท่า ปริมาตรของชิ้นส่วนคือเท่าไร?

คำตอบ: 3.

2. หาปริมาตรของทรงกระบอกที่มีพื้นที่ฐานเป็น 1, เจเนราทริกซ์ของมันคือ 6 และเอียงกับระนาบของฐานที่มุม 30°

คำตอบ: 3.

3. กระบอกสูบและกรวยมีฐานและความสูงร่วมกัน จงหาปริมาตรของทรงกระบอก ถ้าปริมาตรของกรวยเท่ากับ 50

คำตอบ: 150.

4. น้ำซึ่งอยู่ในภาชนะทรงกระบอกที่ระดับ 12 ซม. ถูกเทลงในภาชนะทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่เป็นสองเท่า ระดับน้ำในเรือลำที่ 2 จะสูงแค่ไหน?

5. พื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของกระบอกสูบเท่ากับ . หาพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

คำตอบ: 2.

6. ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติมีเส้นรอบวงรอบทรงกระบอกซึ่งมีรัศมีฐานและความสูงเท่ากับ 2 จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

คำตอบ: 32.

7. เส้นรอบวงฐานของทรงกระบอกคือ 3. พื้นที่ผิวด้านข้างคือ 6. จงหาความสูงของทรงกระบอก.

8. แก้วทรงกระบอกอันหนึ่งสูงเป็นสองเท่าของอันที่สอง แต่อันที่สองนั้นกว้างกว่าหนึ่งเท่าครึ่ง ค้นหาอัตราส่วนของปริมาตรของแก้วใบที่สองต่อปริมาตรของแก้วใบแรก

คำตอบ: 1.125.

9. ในภาชนะทรงกระบอกระดับของเหลวสูงถึง 18 ซม. ระดับของเหลวจะอยู่ที่ความสูงเท่าใดหากเทลงในภาชนะใบที่สองซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่กว่าภาชนะแรก 3 เท่า?

คำตอบ: 2.

กรวย

กรวยคือวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกรวยและวงกลม

แกนกรวย

ร

จุดยอด

การขึ้นรูป

พื้นผิวด้านข้าง

ร

ปริมาณร่างกาย	พื้นที่ผิวด้านข้าง	พื้นที่ฐาน	พื้นที่ผิวทั้งหมด

1. พื้นที่พื้นผิวด้านข้างของกรวยเป็นพื้นที่ของการพัฒนา

2. ความสัมพันธ์ระหว่างมุมกวาดกับมุมยอดของส่วนแกน .

1. ทรงกระบอกและกรวยมีฐานและความสูงเท่ากัน จงหาปริมาตรของทรงกระบอก ถ้าปริมาตรของกรวยเท่ากับ 50

คำตอบ: 150.

2. หาปริมาตรของกรวยที่มีพื้นที่ฐานเป็น 2, เจเนราทริกซ์ของมันคือ 6 และเอียงกับระนาบของฐานที่มุม 30°

คำตอบ: 2.

3. ปริมาตรของกรวยคือ 12 ให้วาดส่วนขนานกับฐานของกรวย โดยแบ่งความสูงออกเป็นครึ่งหนึ่ง จงหาปริมาตรของกรวยที่ตัดออก

คำตอบ: 1.5.

4. ปริมาตรของกรวยที่ล้อมรอบพีระมิดรูปสี่เหลี่ยมปกติมีปริมาตรมากกว่าปริมาตรของกรวยที่จารึกไว้ในปิรามิดนี้กี่ครั้ง?

คำตอบ: 2.

5. ความสูงของกรวยคือ 6, เจเนราทริกซ์คือ 10 ค้นหาปริมาตรหารด้วย .

คำตอบ: 128.

6. ทรงกระบอกและกรวยมีฐานและความสูงร่วมกัน จงหาปริมาตรของกรวย ถ้าปริมาตรของทรงกระบอกคือ 48

คำตอบ: 16.

7. เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของกรวยคือ 6 และมุมที่ปลายของส่วนแกนคือ 90° คำนวณปริมาตรของกรวยหารด้วย

8. กรวยมีคำอธิบายอยู่รอบๆ ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติซึ่งมีด้านฐานเป็น 4 และสูง 6 จงหาปริมาตรหารด้วย

9. กรวยได้มาจากการหมุนสามเหลี่ยมหน้าจั่วรอบขาเท่ากับ 6 จงหาปริมาตรหารด้วย

ทรงกลมและลูกบอล

ทรงกลมคือพื้นผิวที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดเป็นระยะทางที่กำหนด ลูกบอลคือวัตถุที่ล้อมรอบด้วยทรงกลม

1. ส่วนของทรงกลมข้างระนาบจะเป็นวงกลม ถ้าระยะห่างจากศูนย์กลางของทรงกลมถึงระนาบน้อยกว่ารัศมีของทรงกลม

2. ส่วนของลูกบอลข้างระนาบเป็นวงกลม

3. ระนาบสัมผัสทรงกลมคือระนาบที่มีจุดเดียวกับทรงกลมเพียงจุดเดียว

4. รัศมีของทรงกลมที่ลากไปยังจุดสัมผัสของทรงกลมกับระนาบ จะตั้งฉากกับระนาบแทนเจนต์

5. หากรัศมีของทรงกลมตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านปลายของมันซึ่งวางอยู่บนทรงกลม ระนาบนี้จะสัมผัสกับทรงกลม

6. ว่ากันว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมจะถูกจำกัดขอบเขตรอบทรงกลมหากทรงกลมสัมผัสกับใบหน้าทั้งหมด

7. ส่วนของแทนเจนต์กับทรงกลมที่ลากจากจุดหนึ่งจะเท่ากันและสร้างมุมเท่ากันโดยมีเส้นตรงผ่านจุดนี้และจุดศูนย์กลางของทรงกลม

8. ทรงกลมจะถูกจารึกไว้ในพื้นผิวทรงกระบอกหากสัมผัสกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมด

9. ทรงกลมจะถูกจารึกไว้ในพื้นผิวทรงกรวยหากสัมผัสกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมด

งาน

1. รัศมีของลูกบอลสองลูกคือ 6 และ 8 จงหารัศมีของลูกบอลที่มีพื้นที่ผิวเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวของมัน

คำตอบ: 10.

2. พื้นที่วงกลมใหญ่ของลูกบอลคือ 1. หาพื้นที่ผิวของลูกบอล

3. พื้นที่ผิวของลูกบอลจะเพิ่มขึ้นกี่ครั้งหากรัศมีของมันเพิ่มขึ้นสองเท่า?

4. รัศมีของลูกบอลสามลูกคือ 3, 4 และ 5 จงหารัศมีของลูกบอลที่มีปริมาตรเท่ากับผลรวมของปริมาตร

คำตอบ: 6.

5. รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถูกอธิบายไว้รอบๆ ทรงกลมที่มีรัศมี 2 จงหาพื้นที่ผิวของมัน

คำตอบ: 96.

6. ลูกบาศก์ถูกจารึกไว้ในลูกบอลรัศมี ค้นหาพื้นที่ผิวของลูกบาศก์

คำตอบ: 24.

7. อธิบายรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรอบทรงกลมที่มีรัศมี 2 จงหาปริมาตร

8. ปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ล้อมรอบทรงกลมคือ 216 จงหารัศมีของทรงกลม

คำตอบ: 3.

9. พื้นที่ผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ล้อมรอบทรงกลมคือ 96 จงหารัศมีของทรงกลม

คำตอบ: 2.

10. อธิบายทรงกระบอกรอบลูกบอล โดยมีพื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับ 9 ค้นหาพื้นที่ผิวของลูกบอล

คำตอบ: 9.

11. พื้นที่ผิวของทรงกลมที่ถูกจำกัดขอบเขตรอบลูกบาศก์หนึ่งๆ นั้นมากกว่าพื้นที่ผิวของทรงกลมที่ถูกจำกัดขอบเขตอยู่ในลูกบาศก์เดียวกันกี่ครั้ง?

คำตอบ: 3.

12. ลูกบาศก์ถูกจารึกไว้ในลูกบอลรัศมี ค้นหาปริมาตรของลูกบาศก์

คำตอบ: 8.

โพลีเฮดราคอมโพสิต

งาน

1. รูปนี้แสดงรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยมุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นเป็นมุมฉาก ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดยอด A และ C2

คำตอบ: 3.

2. ค้นหามุม CAD2 ของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในภาพ มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นมุมฉาก ให้คำตอบเป็นองศา

คำตอบ: 60.

3. ค้นหาพื้นที่ผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในภาพ (มุมไดฮีดรัลทั้งหมดเป็นมุมฉาก)

คำตอบ: 18.

4. ค้นหาพื้นที่ผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในภาพ (มุมไดฮีดรัลทั้งหมดเป็นมุมฉาก)

คำตอบ: 132

5. หาพื้นที่ผิวของกากบาทเชิงพื้นที่ตามรูปและประกอบด้วยหน่วยลูกบาศก์

คำตอบ: 30

6. ค้นหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในภาพ (มุมไดฮีดรัลทั้งหมดอยู่ทางขวา)

คำตอบ:8

7. ค้นหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมตามที่แสดงในภาพ (มุมไดฮีดรัลทั้งหมดอยู่ทางขวา)

คำตอบ: 78

8. รูปนี้แสดงรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยมุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นมุมฉาก ค้นหาแทนเจนต์ของมุม ABB3

คำตอบ: 2

10. รูปนี้แสดงรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยมุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นมุมฉาก ค้นหาแทนเจนต์ของมุม C3D3B3

คำตอบ: 3

11. ระนาบจะถูกลากขนานกับขอบด้านข้างผ่านเส้นกึ่งกลางของฐานของปริซึมสามเหลี่ยม ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมหากพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมสามเหลี่ยมที่เล็มแล้วคือ 37

คำตอบ: 74.

12. รูปนี้แสดงรูปทรงหลายเหลี่ยม โดยมุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นมุมฉาก ค้นหากำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดยอด B2 และ D3

คำตอบ: 11.

ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติซึ่งมีปริมาตร 65 dm 3 ถูกอธิบายไว้รอบทรงกลม คำนวณอัตราส่วนของพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมและปริมาตรของทรงกลม
ปริซึมจะเรียกว่าปกติถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือจุดศูนย์กลาง เช่นเดียวกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ มาพิสูจน์ข้อเท็จจริงข้อนี้กัน แม้ว่าหลักฐานนี้ไม่น่าจะถูกถามและละเว้นได้
สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมผืนผ้า และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนชนิดพิเศษ สี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงมีคุณสมบัติดังนี้ เส้นทแยงมุมจะเท่ากันและแบ่งออกเป็นสองส่วนด้วยจุดตัด และเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ผ่านจุด E เราวาดเส้นตรง TK ขนานกับ AB AB ตั้งฉากกับ BC ซึ่งหมายความว่า TC ก็ตั้งฉากกับ BC เช่นกัน (หากเส้นขนานเส้นใดเส้นหนึ่งจากสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม เส้นขนานเส้นที่สองก็จะตั้งฉากกับเส้นนี้ (เส้นที่สาม) ในทำนองเดียวกัน เราจะดำเนินการ MR โดยตรง สามเหลี่ยมมุมฉาก BET และ AEK เท่ากันในด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม (BE=AE - ครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม, ∠ EBT=∠ EAK - ครึ่งหนึ่งของมุมฉาก) ซึ่งหมายถึง ET=EK ในทำนองเดียวกัน เราพิสูจน์ว่า EM=EP และจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม CEP และ CET (เครื่องหมายเดียวกัน) เราจะเห็นว่า ET = EP นั่นคือ ET=EP=EK=EM หรือพูดง่ายๆ ว่าจุด M นั้นมีระยะห่างจากด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน และนี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นเพื่อที่จะรับรู้ว่าเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้
พิจารณาสี่เหลี่ยมผืนผ้า AVTC (รูปสี่เหลี่ยมนี้เป็นสี่เหลี่ยม เนื่องจากมุมทั้งหมดในนั้นเป็นมุมฉากจากการก่อสร้าง) ในสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านตรงข้ามจะเท่ากัน - AB = CT (ควรสังเกตว่า CT คือเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน) - ซึ่งหมายความว่าด้านข้างของฐานเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
ลองวาดระนาบขนานกัน (เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกับระนาบเดียวกันจะขนานกัน) AA 1, CC 1 และ BB 1 และ DD 1 ตามลำดับ (เส้นตรงขนานกำหนดระนาบเดียวเท่านั้น) ระนาบ AA 1 C 1 C และ BB 1 D 1 D ตั้งฉากกับฐาน ABCD เพราะ ผ่านเส้นตรง (ซี่โครงด้านข้าง) ตั้งฉากกับมัน
จากจุด H (จุดตัดของเส้นทแยงมุม) ในระนาบ AA 1 C 1 C ตั้งฉากกับฐาน ABCD จากนั้นเราจะทำเช่นเดียวกันในระนาบ BB 1 D 1 D จากทฤษฎีบท: หากจากจุดที่เป็นส่วนหนึ่งของระนาบตั้งฉากหนึ่งในสองระนาบที่เราวาดตั้งฉากกับระนาบอื่นจากนั้นฉากตั้งฉากนี้จะอยู่ในระนาบแรกโดยสมบูรณ์ พบว่าตั้งฉากนี้ต้องนอนอยู่ในระนาบ AA 1 C 1 C และในระนาบ BB 1 D 1 D สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อตั้งฉากนี้เกิดขึ้นพร้อมกับเส้นตัดของระนาบเหล่านี้ - ไม่ใช่ เหล่านั้น. ส่วนนี้ไม่ใช่เส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (เนื่องจากมันไม่ได้มีระยะห่างเท่ากันจากระนาบของใบหน้าด้านข้าง และสิ่งนี้จะตามมาด้วยระยะห่างที่เท่ากันของจุด E และ H จากจุดยอดของฐานที่สอดคล้องกัน (ตามสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว: จุดตัดของเส้นทแยงมุมนั้นอยู่ห่างจากด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน ) และจากข้อเท็จจริงที่ว่า NOT ตั้งฉากกับฐานเราสามารถสรุปได้ว่า NOT คือเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอล ทฤษฎีบท . ลูกบอลสามารถเขียนลงในปริซึมปกติได้ก็ต่อเมื่อความสูงของมันเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในฐาน เท่านั้น มันถูกจารึกไว้ในลูกบอลปริซึมของเราแล้วซึ่งหมายความว่าความสูงของมันเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของ วงกลมจารึกไว้ที่ฐานหากเรากำหนดให้ข้างฐานเป็น กและความสูงของปริซึมคือ h จากนั้นจึงสรุปโดยใช้ทฤษฎีบทนี้ ก=h แล้วหาปริมาตรของปริซึมได้ดังนี้:

ต่อไป จากข้อเท็จจริงที่ว่าความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของลูกบอลที่ถูกจารึกไว้และด้านข้างของฐานของปริซึม เราจะหารัศมีของลูกบอลแล้วตามด้วยปริมาตร:

ต้องบอกว่าขอบด้านข้างเท่ากับความสูง (ส่วนของเส้นคู่ขนานที่อยู่ระหว่างระนาบขนานเท่ากัน) และเนื่องจากความสูงเท่ากับด้านข้างของฐาน โดยทั่วไปแล้วขอบทั้งหมดของปริซึมจะเท่ากัน ซึ่งกันและกัน และใบหน้าทั้งหมดก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพร้อมพื้นที่ ก 2. ในความเป็นจริงตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าลูกบาศก์ - เป็นกรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยังคงต้องหาพื้นผิวทั้งหมดของลูกบาศก์และสัมพันธ์กับปริมาตรของลูกบอล: