เทคนิคในการแก้อสมการตรีโกณมิติ รายวิชา: สมการตรีโกณมิติและอสมการ การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมหน่วย
คำนิยาม
อสมการตรีโกณมิติคืออสมการที่มีตัวแปรภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การแก้อสมการตรีโกณมิติ
คำตอบของอสมการตรีโกณมิติมักจะลงมาเพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ: \(\ \sin xa \), \(\ \cos x > a \), \(\ \operatorname(tg) x > a \ ), \(\ \ ชื่อตัวดำเนินการ(ctg) x > a \), \(\ \sin x \leq a \), \(\ \cos x \leq a \), \(\ \ชื่อตัวดำเนินการ(tg) x \ leq a \), \ (\ \operatorname(ctg) x \leq a \), \(\ \sin x \geq a \), \(\ \cos \geq a \), \(\ \operatorname(tg ) x \geq a \ ), \(\ \operatorname(tg) x \geq a \)
อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดจะแก้ไขเป็นภาพกราฟิกหรือใช้วงกลมตรีโกณมิติหนึ่งหน่วย
ตามคำจำกัดความ ไซน์ของมุม \(\ \alpha \) คือพิกัดของจุด \(\ P_(\alpha)(x, y) \) ของวงกลมหนึ่งหน่วย (รูปที่ 1) และโคไซน์คือ บทสรุปของจุดนี้ ข้อเท็จจริงนี้ใช้ในการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดด้วยโคไซน์และไซน์โดยใช้วงกลมหน่วย
ตัวอย่างของการแก้อสมการตรีโกณมิติ
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน \(\ \sin x \leq \frac(\sqrt(3))(2) \)
เนื่องจาก \(\ \left|\frac(\sqrt(3))(2)\right| ความไม่เท่าเทียมกันนี้มีวิธีแก้ปัญหาและสามารถแก้ไขได้สองวิธี
วิธีแรก. ลองแก้ความไม่เท่าเทียมกันนี้แบบกราฟิกกัน ในการทำเช่นนี้ เราสร้างกราฟของไซน์ \(\ y=\sin x \) ในระบบพิกัดเดียวกันและเส้นตรง \(\ y=\frac(\sqrt(3))( 2) \)
ให้เลือกช่วงเวลาที่ไซนูซอยด์อยู่ด้านล่างกราฟของเส้นตรง \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) ค้นหา abscissas \(\ x_(1) \) และ \(\ x_(2) \) ของจุดตัดของกราฟเหล่านี้: \(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3 ))(2 )=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_(2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\ frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
เราได้ช่วงเวลา \(\ \left[-\frac(4 \pi)(3) ; \frac(\pi)(3)\right] \) แต่เนื่องจากฟังก์ชัน \(\ y=\sin x \) เป็นคาบและมีคาบ \(\ 2 \pi \) ดังนั้นคำตอบคือการรวมกันของช่วงเวลา: \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+ 2 \pi k\right] \), \(\ k \in Z \)
วิธีที่สอง สร้างวงกลมหนึ่งหน่วยและเส้นตรง \(\ y=\frac(\sqrt(3))(2) \) ระบุจุดตัดของพวกมัน \(\ P_(x_(1)) \) และ \(\ P_(x_ (2 )) \) (รูปที่ 3). การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเดิมจะเป็นชุดของจุดพิกัดที่น้อยกว่า \(\ \frac(\sqrt(3))(2) \) มาหาค่าของ \(\ \boldsymbol(I)_(1) \) และ \(\ \boldsymbol(I)_(2) \) โดยทวนเข็มนาฬิกา \(\ x_(1) รูปที่ 3
\(\ x_(1)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2 \pi)(3) x_ (2)=\arcsin \frac(\sqrt(3))(2)+2 \pi=\frac(\pi)(3)+2 \pi=\frac(7 \pi)(3) \)
เมื่อพิจารณาถึงความเป็นคาบของฟังก์ชันไซน์ ในที่สุด เราก็ได้ช่วงเวลา \(\ \left[\frac(2 \pi)(3)+2 \pi k ; \frac(7 \pi)(3)+2 \ pi\right] \), \(\k\in Z\)
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน \(\ \sin x>2 \)
ไซน์เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต: \(\ |\sin x| \leq 1 \) และด้านขวาของอสมการนี้มีค่ามากกว่าหนึ่ง ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ไข
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน \(\ \cos x>\frac(1)(2) \)
ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถแก้ไขได้ในสองวิธี: แบบกราฟิกและโดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ลองพิจารณาแต่ละวิธี
วิธีแรก. เรามาอธิบายฟังก์ชันที่อธิบายส่วนซ้ายและขวาของอสมการในระบบพิกัด นั่นคือ \(\ y=\cos x \) และ \(\ y=\frac(1)(2) \) ให้เราเลือกช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ \(\ y=\cos x \) อยู่เหนือกราฟของเส้นตรง \(\ y=\frac(1)(2) \) (รูปที่ 4 ).
ค้นหา abscissas ของจุด \(\ \boldsymbol(x)_(1) \) และ \(\ x_(2) \) - จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน \(\ y=\cos x \ ) และ \(\ y=\frac (1)(2) \) ซึ่งเป็นจุดสิ้นสุดของช่วงใดช่วงหนึ่งที่มีความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุ \(\ x_(1)=-\arccos \frac(1)(2)=-\frac(\pi)(3) \); \(\ x_(1)=\arccos \frac(1)(2)=\frac(\pi)(3) \)
เมื่อพิจารณาว่าโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบ โดยมีจุด \(\ 2 \pi \) คำตอบคือค่า \(\ x \) จากช่วง \(\ \left(-\frac(\pi)(3 )+2 \pi k ; \frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \), \(\ k \in Z \)
วิธีที่สอง มาสร้างวงกลมหนึ่งหน่วยและเส้นตรง \(\ x=\frac(1)(2) \) (เนื่องจากแกน x สอดคล้องกับโคไซน์บนวงกลมหน่วย) ให้ \(\ P_(x_(1)) \) และ \(\ P_(x_(2)) \) (รูปที่ 5) เป็นจุดตัดของเส้นตรงและวงกลมหน่วย คำตอบของสมการเดิมจะเป็นเซตของจุด abscissa ที่น้อยกว่า \(\ \frac(1)(2) \) ค้นหาค่าของ \(\ x_(1) \) และ \(\ 2 \) ทำวงจรทวนเข็มนาฬิกาเพื่อให้ \(\ x_(1) พิจารณาคาบของโคไซน์ในที่สุดเราจะได้ช่วงเวลา \( \ \left(-\frac (\pi)(3)+2 \pi k ;\frac(\pi)(3)+2 \pi k\right) \),\(\ k \in Z \)
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน \(\ \operatorname(ctg) x \leq-\frac(\sqrt(3))(3) \)
มาพล็อตกราฟของฟังก์ชัน \(\ y=\operatorname(ctg) x \), \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3) \) ในระบบพิกัดเดียว
ให้เลือกช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน \(\ y=\operatorname(ctg) x \) ไม่สูงกว่ากราฟของเส้นตรง \(\ y=-\frac(\sqrt(3))(3 ) \) (รูปที่ 6) .
ค้นหา abscissa ของจุด \(\ x_(0) \) ซึ่งเป็นจุดสิ้นสุดของช่วงใดช่วงหนึ่งที่อสมการ \(\ x_(0)=\operatorname(arcctg)\left(-\frac(\ sqrt(3))( 3)\right)=\pi-\operatorname(arcctg)\left(\frac(\sqrt(3))(3)\right)=\pi-\frac(\pi)(3 )=\frac(2 \pi)(3) \)
ปลายอีกด้านของช่องว่างนี้คือจุด \(\ \pi \) และฟังก์ชัน \(\ y=\operatorname(ctg) x \) ไม่ได้กำหนดไว้ที่จุดนั้น ดังนั้น หนึ่งในวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันนี้คือช่วง \(\ \frac(2 \pi)(3) \leq x
อสมการตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งที่ซับซ้อน
อสมการตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนสามารถลดลงเป็นอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดได้โดยใช้การแทนที่ หลังจากแก้ไขแล้ว จะมีการแทนที่แบบย้อนกลับและแสดงสิ่งที่ไม่รู้จักดั้งเดิมออกมา
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน \(\ 2 \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-1 \)
แสดงโคไซน์ทางด้านขวาของอสมการนี้: \(\ \cos \left(2 x+100^(\circ)\right) \leq-\frac(1)(2) \)
เราดำเนินการแทนที่ \(\ t=2 x+100^(\circ) \) หลังจากนั้นอสมการนี้จะถูกแปลงเป็นอสมการที่ง่ายที่สุด \(\ \cos t \leq-\frac(1)(2) \ )
ลองแก้โดยใช้วงกลมหน่วย มาสร้างวงกลมหน่วยและเส้นกัน \(\ x=-\frac(1)(2) \) ให้เราแสดงว่า \(\ P_(1) \) และ \(\ P_(2) \) เป็นจุดตัดของเส้นตรงและวงกลมหน่วย (รูปที่ 7)
วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันเดิมคือเซตของจุด abscissa ซึ่งมีค่ามากที่สุด \(\ -\frac(1)(2) \) จุด \(\ P_(1) \) สอดคล้องกับมุม \(\ 120^(\circ) \) และจุด \(\ P_(2) \) ดังนั้น จากคาบโคไซน์ เราจะได้ \(\ 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq t \leq 240^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \ ) , \(\ n \in Z \)
เราทำการแทนที่แบบย้อนกลับ \(\ t=2 x+100^(\circ) 120^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x+100^(\circ) \leq 240^ (\ circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
เราแสดง \(\ \mathbf(x) \) เพื่อทำสิ่งนี้ ก่อนอื่นให้ลบ \(\ 100^(\circ) 120^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \ cdot n \leq 2 x+100^(\circ)-100^(\circ) \leq 240^(\circ)-100^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \( \ n\in Z\); \(\ 20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \leq 2 x \leq 140^(\circ)+360^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in ซี\)
แล้วหารด้วย 2 \(\ \frac(20^(\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \leq \frac(2 x)(2) \leq \frac(140^ (\circ)+360^(\circ) \cdot n)(2) \), \(\ n \in Z \); \(\ 10^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \leq x \leq 70^(\circ)+180^(\circ) \cdot n \), \(\ n \in Z \)
อสมการตรีโกณมิติสองเท่า
แก้อสมการตรีโกณมิติสองเท่า \(\ \frac(1)(2)
ให้เราแนะนำการแทนที่ \(\ t=\frac(x)(2) \) จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ \(\ \frac(1)(2)
ลองแก้โดยใช้วงกลมหน่วย เนื่องจากแกนพิกัดสอดคล้องกับไซน์บนวงกลมหน่วย เราจึงเลือกชุดของพิกัดที่มากกว่า \(\ x=\frac(1)(2) \) และน้อยกว่าหรือเท่ากับ \(\ \frac(\sqrt(2))(2 ) \) ในรูปที่ 8 จุดเหล่านี้จะอยู่บนส่วนโค้ง \(\ P_(t_(1)) \), \(\ P_(t_(2)) \) และ \(\ P_(t_(3)) \) , \( \ P_(t_(4)) \) มาหาค่า \(\ t_(1) \), \(\ t_(2) \), \(\ t_(3) \), \(\ t_(4) \) ทำทวนเข็มนาฬิกาและ \ (\ t_(1) \(\ t_(3)=\pi-\arcsin \frac(\sqrt(2))(2)=\pi-\frac(\pi)(4)=\frac(3 \ pi)(4) \); \(\ t_(4)=\pi-\arcsin \frac(1)(2)=\pi-\frac(\pi)(6)=\frac(5 \pi ) (6)\)
ดังนั้นเราจึงได้สองช่วงเวลา ซึ่งเมื่อพิจารณาถึงความเป็นคาบของฟังก์ชันไซน์แล้ว สามารถเขียนได้ดังนี้ \(\ \frac(\pi)(6)+2 \pi k \leq t \frac(\pi) (4)+2 \ pi k \quad \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k leq \frac(x)(2) \frac(\pi)(4)+2 \pi k \) , \(\ \frac(3 \pi)(4)+2 \pi k Express \(\ \mathbf( x) \) สำหรับสิ่งนี้เราคูณอสมการทั้งสองทั้งหมดด้วย 2 เราจะได้ \(\ \frac (\pi)(3)+4 \pi k \leq x
โครงการพีชคณิต“ การแก้สมการตรีโกณมิติ” เสร็จสิ้นโดยนักเรียนชั้น 10“ B” Julia Kazachkova หัวหน้า: ครูคณิตศาสตร์ Kochakova N.N.
วัตถุประสงค์ เพื่อรวบรวมเนื้อหาในหัวข้อ "การแก้สมการตรีโกณมิติ" และสร้างบันทึกสำหรับนักเรียนเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสอบที่จะเกิดขึ้น
วัตถุประสงค์ สรุปเนื้อหาในหัวข้อ จัดระเบียบข้อมูลที่ได้รับ พิจารณาหัวข้อนี้ในการสอบ
ความเกี่ยวข้อง ความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่ฉันเลือกอยู่ในความจริงที่ว่างานในหัวข้อ "การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติ" รวมอยู่ในงานของการสอบ
ความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติ ความไม่เท่าเทียมกันคือความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงตัวเลขหรือนิพจน์สองตัวผ่านหนึ่งในสัญญาณ: (มากกว่า); ≥ (มากกว่าหรือเท่ากับ) อสมการตรีโกณมิติคืออสมการที่ประกอบด้วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.
สมการตรีโกณมิติ คำตอบของอสมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติจะลดลง ตามกฎแล้ว ในการแก้สมการอสมการที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ: sin x>a, sin x ก cos x a,tgx a, ctg x
อัลกอริทึมสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติ บนแกนที่สอดคล้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนด ให้ทำเครื่องหมายค่าตัวเลขที่กำหนดของฟังก์ชันนี้ ลากเส้นผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายซึ่งตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย เลือกจุดตัดของเส้นและวงกลม โดยคำนึงถึงเครื่องหมายอสมการที่เข้มงวดหรือไม่เข้มงวด เลือกส่วนโค้งของวงกลมที่มีคำตอบของอสมการ กำหนดค่าของมุมที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของส่วนโค้งวงกลม เขียนคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันโดยคำนึงถึงระยะเวลาของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนด
สูตรสำหรับการแก้อสมการตรีโกณมิติ sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a +2πn) sinx ก; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn) cosxก; x (arctg a + πn ; + πn) tgx ก; x (πn ; arctg + πn) ctgx
คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก sinx >a
การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก sinx คำตอบแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก cosx >a การแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก cosx วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก tgx >a โซลูชันแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก tgx โซลูชันแบบกราฟิกของอสมการตรีโกณมิติหลัก ctgx >a
ในบทเรียนเชิงปฏิบัติ เราจะทำซ้ำประเภทงานหลักจากหัวข้อ "ตรีโกณมิติ" วิเคราะห์ปัญหาของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นเพิ่มเติม และพิจารณาตัวอย่างของการแก้อสมการตรีโกณมิติต่างๆ และระบบของพวกมัน
บทเรียนนี้จะช่วยคุณเตรียมความพร้อมสำหรับงานประเภท B5, B7, C1 และ C3
เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำประเภทงานหลักที่เราตรวจทานในหัวข้อตรีโกณมิติและแก้ไขงานที่ไม่ได้มาตรฐานหลายงาน
ภารกิจ #1. แปลงมุมเป็นเรเดียนและองศา: a) ; ข) .
ก) ใช้สูตรการแปลงองศาเป็นเรเดียน
แทนค่าที่กำหนดลงไป
b) ใช้สูตรการแปลงเรเดียนเป็นองศา
มาทำการทดแทนกัน 
.
ตอบ. ก) ; ข) .
งาน #2. คำนวณ: ก) ; ข) .
ก) เนื่องจากมุมอยู่ไกลจากตารางมาก เราจึงย่อมันด้วยการลบคาบของไซน์ เพราะ มุมกำหนดเป็นเรเดียน จากนั้นคาบจะถือเป็น .
b) ในกรณีนี้ สถานการณ์จะคล้ายกัน เนื่องจากมุมถูกกำหนดเป็นองศา เราจะพิจารณาคาบของแทนเจนต์เป็น .
มุมผลลัพธ์แม้ว่าจะน้อยกว่าคาบ แต่ก็มากกว่า ซึ่งหมายความว่าไม่ได้หมายถึงมุมหลักอีกต่อไป แต่หมายถึงส่วนที่ขยายออกไปของตาราง เพื่อไม่ให้ฝึกความจำของเราอีกครั้งด้วยการท่องจำตารางค่าตรีโกณมิติเพิ่มเติม เราจะลบช่วงสัมผัสกันอีกครั้ง:
เราใช้ประโยชน์จากความแปลกประหลาดของฟังก์ชันแทนเจนต์
ตอบ. ก) 1; ข) .
งาน #3. คำนวณ 
, ถ้า .
เรานำพจน์ทั้งหมดมาแทนเจนต์โดยหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย ในขณะเดียวกันก็ไม่ต้องกลัวว่าเพราะ ในกรณีนี้ ค่าของแทนเจนต์จะไม่มีอยู่จริง
งาน #4. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
นิพจน์ที่ระบุจะถูกแปลงโดยใช้สูตรการแคสต์ เป็นเพียงว่าพวกเขาเขียนโดยใช้องศาผิดปกติ นิพจน์แรกโดยทั่วไปจะเป็นตัวเลข ลดความซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดในทางกลับกัน:
เพราะ จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็น cofunction เช่น ของโคแทนเจนต์ และมุมตกลงไปในควอเตอร์ที่สอง ซึ่งเครื่องหมายของแทนเจนต์เดิมเป็นลบ
ด้วยเหตุผลเดียวกับในนิพจน์ก่อนหน้า ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันร่วม กล่าวคือ ของโคแทนเจนต์ และมุมตกลงไปในควอเตอร์แรก ซึ่งแทนเจนต์เริ่มต้นมีเครื่องหมายบวก
แทนที่ทุกอย่างเป็นนิพจน์แบบง่าย:
งาน #5. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
ลองเขียนแทนเจนต์ของมุมคู่ตามสูตรที่สอดคล้องกันและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:
เอกลักษณ์สุดท้ายเป็นหนึ่งในสูตรทดแทนสากลสำหรับโคไซน์
งาน #6. คำนวณ.
สิ่งสำคัญคือต้องไม่สร้างข้อผิดพลาดมาตรฐานและไม่ให้คำตอบว่านิพจน์เท่ากับ เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้คุณสมบัติหลักของอาร์คแทนเจนต์ในขณะที่มีปัจจัยอยู่ในรูปแบบของสองตัวที่อยู่ใกล้กัน เพื่อกำจัดมัน เราเขียนนิพจน์ตามสูตรสำหรับแทนเจนต์ของมุมคู่ ขณะที่เราถือว่ามันเป็นอาร์กิวเมนต์ธรรมดา
ตอนนี้มันเป็นไปได้แล้วที่จะใช้คุณสมบัติหลักของอาร์คแทนเจนต์ จำไว้ว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่เป็นตัวเลข
งาน #7. แก้สมการ.
เมื่อตัดสินใจ สมการเศษส่วนซึ่งเท่ากับศูนย์จะระบุเสมอว่าตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่ใช่เพราะ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
สมการแรกเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ง่ายที่สุด ซึ่งแก้ไขโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ คิดเกี่ยวกับโซลูชันนี้ด้วยตัวคุณเอง อสมการที่สองแก้ได้ด้วยสมการที่ง่ายที่สุดโดยใช้สูตรทั่วไปสำหรับรากของแทนเจนต์ แต่มีเครื่องหมายไม่เท่ากันเท่านั้น
ดังที่เราเห็น รากตระกูลหนึ่งแยกอีกตระกูลหนึ่งของรากที่เหมือนกันทุกประการที่ไม่เป็นไปตามสมการ เหล่านั้น. ไม่มีราก
ตอบ. ไม่มีราก
งาน #8. แก้สมการ.
พึงระลึกไว้ทันทีว่าคุณสามารถนำปัจจัยทั่วไปออกแล้วทำ:
สมการถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานแบบใดแบบหนึ่ง เมื่อผลคูณของตัวประกอบหลายตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ เรารู้อยู่แล้วว่าในกรณีนี้ ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ หรืออีกตัวหนึ่ง หรือตัวที่สาม เราเขียนสิ่งนี้เป็นชุดของสมการ:
สองสมการแรกเป็นกรณีพิเศษของสมการที่ง่ายที่สุด เราพบสมการที่คล้ายกันหลายครั้งแล้ว ดังนั้นเราจะระบุคำตอบของสมการนั้นทันที เราลดสมการที่สามเป็นหนึ่งฟังก์ชันโดยใช้สูตรไซน์สองมุม
ลองแก้สมการสุดท้ายแยกกัน:
สมการนี้ไม่มีรากเพราะ ค่าของไซน์ไม่สามารถเกิน 
.
ดังนั้น มีเพียงสองตระกูลแรกของรากเท่านั้นที่เป็นคำตอบ พวกเขาสามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว ซึ่งง่ายต่อการแสดงบนวงกลมตรีโกณมิติ:
 |
นี่คือครอบครัวของทุกส่วนเช่น
มาดูการแก้อสมการตรีโกณมิติกัน ก่อนอื่น มาวิเคราะห์วิธีการแก้ตัวอย่างโดยไม่ต้องใช้สูตรคำตอบทั่วไป แต่ใช้วงกลมตรีโกณมิติ
งาน #9. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
ลากเส้นเสริมบนวงกลมตรีโกณมิติที่สอดคล้องกับค่าของไซน์เท่ากับ และแสดงช่วงเวลาของมุมที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน
 |
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าจะระบุช่วงมุมที่ได้นั้นอย่างไร เช่น อะไรคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของมันคืออะไร จุดเริ่มต้นของช่องว่างจะเป็นมุมที่สอดคล้องกับจุดที่เราจะเข้าไปที่จุดเริ่มต้นของช่องว่างถ้าเราเคลื่อนทวนเข็มนาฬิกา ในกรณีของเรานี่คือจุดที่อยู่ทางซ้ายเพราะ เคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาและผ่านจุดที่ถูกต้อง ในทางกลับกัน เราออกจากช่วงมุมที่ต้องการ จุดที่ถูกต้องจึงสอดคล้องกับจุดสิ้นสุดของช่องว่าง
ตอนนี้เราต้องเข้าใจค่าของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่องว่างของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ข้อผิดพลาดทั่วไปคือการระบุทันทีว่าจุดที่ถูกต้องสอดคล้องกับมุม ด้านซ้ายและให้คำตอบ นี่ไม่เป็นความจริง! โปรดทราบว่าเราได้ระบุช่วงเวลาที่สอดคล้องกับส่วนบนของวงกลมแล้ว แม้ว่าเราจะสนใจช่วงที่ต่ำกว่า หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เราได้ผสมจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาของการแก้ปัญหาที่เราต้องการ
เพื่อให้ช่วงเวลาเริ่มต้นที่มุมของจุดขวาและสิ้นสุดที่มุมของจุดด้านซ้าย มุมที่ระบุแรกต้องน้อยกว่าวินาที ในการทำเช่นนี้ เราจะต้องวัดมุมของจุดที่ถูกต้องในทิศทางอ้างอิงเชิงลบ กล่าวคือ ตามเข็มนาฬิกาและมันจะเท่ากับ จากนั้นเริ่มจากในทิศทางตามเข็มนาฬิกาบวก เราจะไปยังจุดขวาหลังจุดซ้ายและรับค่ามุมของจุดนั้น ตอนนี้จุดเริ่มต้นของช่วงเวลาของมุมนั้นน้อยกว่าจุดสิ้นสุดของ และเราสามารถเขียนช่วงเวลาของคำตอบโดยไม่ต้องคำนึงถึงจุด:
เมื่อพิจารณาว่าช่องว่างดังกล่าวจะเกิดซ้ำเป็นจำนวนอนันต์หลังจากการหมุนจำนวนเต็มใดๆ เราได้วิธีแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงคาบไซน์:
เราใส่วงเล็บกลมเพราะความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด และเราเจาะจุดบนวงกลมที่ตรงกับจุดสิ้นสุดของช่วงเวลา
เปรียบเทียบคำตอบของคุณกับสูตรของคำตอบทั่วไปที่เราให้ไว้ในการบรรยาย
ตอบ. 
.
วิธีนี้เหมาะสำหรับการทำความเข้าใจว่าสูตรสำหรับคำตอบทั่วไปของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมาจากไหน นอกจากนี้ยังเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่ขี้เกียจเกินกว่าจะเรียนรู้สูตรที่ยุ่งยากเหล่านี้ทั้งหมด อย่างไรก็ตาม วิธีการเองก็ไม่ง่ายเช่นกัน เลือกวิธีการแก้ปัญหาที่สะดวกที่สุดสำหรับคุณ
ในการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณสามารถใช้กราฟฟังก์ชันที่สร้างเส้นเสริมได้ เช่นเดียวกับวิธีที่แสดงโดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย หากคุณสนใจ พยายามทำความเข้าใจแนวทางนี้ในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง ต่อไปนี้ เราจะใช้สูตรทั่วไปเพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
งาน #10. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
เราใช้สูตรการแก้ปัญหาทั่วไปโดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด:
เราได้รับในกรณีของเรา:
ตอบ. 
งาน #11. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
เราใช้สูตรการแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเคร่งครัดที่สอดคล้องกัน:
ตอบ. 
.
งาน #12. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก) ; ข) .
ในความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ เราไม่ควรรีบเร่งที่จะใช้สูตรสำหรับคำตอบทั่วไปหรือวงกลมตรีโกณมิติ เพียงแค่จำช่วงของค่าของไซน์และโคไซน์ก็เพียงพอแล้ว
ก) เพราะ 
แล้วความไม่เท่าเทียมกันก็ไม่มีความหมาย ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ข) เพราะ ในทำนองเดียวกัน ไซน์ของอาร์กิวเมนต์ใดๆ จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขเสมอ ดังนั้น ค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์จึงพอใจกับความไม่เท่าเทียมกัน
ตอบ. ก) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ข) .
งาน13. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน 
.
กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐเบลารุส
สถาบันการศึกษา
"มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโกเมล
ตั้งชื่อตาม Francysk Skaryna"
คณะคณิตศาสตร์
ภาควิชาพีชคณิตและเรขาคณิต
มีสิทธิ์ได้รับการคุ้มครอง
ศีรษะ แผนก Shemetkov L.A.
สมการตรีโกณมิติและความไม่เท่าเทียมกัน
ผู้ดำเนินการ:
กลุ่มนักเรียน M-51
ซม. Gorsky
ที่ปรึกษาวิทยาศาสตร์
อาจารย์อาวุโส
วีจี Safonov
Gomel 2008
การแนะนำ
วิธีการพื้นฐานสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ
การแยกตัวประกอบ
การแก้สมการโดยการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวม
การแก้สมการโดยใช้สูตรอาร์กิวเมนต์สามเท่า
การคูณด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สมการตรีโกณมิติที่ไม่ใช่มาตรฐาน
อสมการตรีโกณมิติ
การคัดเลือกราก
งานสำหรับโซลูชันอิสระ
บทสรุป
รายชื่อแหล่งที่ใช้
ในสมัยโบราณตรีโกณมิติเกิดขึ้นเนื่องจากความต้องการทางดาราศาสตร์ การสำรวจและการก่อสร้าง กล่าวคือ เป็นลักษณะทางเรขาคณิตล้วนๆ และเป็นตัวแทนเป็นหลัก<<исчисление хорд>>. เมื่อเวลาผ่านไป จุดวิเคราะห์บางจุดเริ่มกระจายเข้าไป ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 18 มีการเลี้ยวที่คมชัดหลังจากนั้นตรีโกณมิติใช้ทิศทางใหม่และเปลี่ยนไปสู่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในเวลานี้เองที่การพึ่งพาตรีโกณมิติเริ่มถูกมองว่าเป็นฟังก์ชัน
สมการตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในหัวข้อที่ยากที่สุดในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน สมการตรีโกณมิติเกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาในการวัดระนาบ เรขาคณิตทึบ ดาราศาสตร์ ฟิสิกส์ และด้านอื่นๆ สมการตรีโกณมิติและอสมการในแต่ละปีพบได้ในการทดสอบแบบรวมศูนย์
ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการตรีโกณมิติกับสมการพีชคณิตคือสมการพีชคณิตมีจำนวนรากที่แน่นอนในขณะที่สมการตรีโกณมิติ --- ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งทำให้การเลือกรากมีความซับซ้อนมาก ความจำเพาะอีกประการหนึ่งของสมการตรีโกณมิติคือรูปแบบการเขียนคำตอบที่ไม่เหมือนกัน
วิทยานิพนธ์นี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการ
งานประกาศนียบัตรประกอบด้วย 6 ส่วน
ส่วนแรกประกอบด้วยข้อมูลทางทฤษฎีพื้นฐาน: ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและผกผัน; ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์บางตัว การแสดงออกของฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ซึ่งสำคัญมากสำหรับการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนิพจน์ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน นอกเหนือจากหลัก สูตรตรีโกณมิติซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในหลักสูตรของโรงเรียน คือสูตรที่ลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
ส่วนที่สองสรุปวิธีการหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติ พิจารณาคำตอบของสมการตรีโกณมิติเบื้องต้น วิธีการแฟคตอริ่ง วิธีการลดสมการตรีโกณมิติเป็นสมการพีชคณิต ในมุมมองของความจริงที่ว่าคำตอบของสมการตรีโกณมิติสามารถเขียนได้หลายวิธี และรูปแบบของคำตอบเหล่านี้ไม่ได้ทำให้เราสามารถกำหนดได้ทันทีว่าคำตอบเหล่านี้เหมือนกันหรือต่างกัน ซึ่งสามารถทำได้<<сбить с толку>> เมื่อทำการทดสอบ จะมีการพิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ และพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของกลุ่มของคำตอบทั่วไปของสมการตรีโกณมิติ
ส่วนที่สามเกี่ยวข้องกับสมการตรีโกณมิติที่ไม่ได้มาตรฐาน ซึ่งคำตอบจะขึ้นอยู่กับแนวทางเชิงฟังก์ชัน
ส่วนที่สี่เกี่ยวข้องกับอสมการตรีโกณมิติ วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติเบื้องต้นได้รับการพิจารณาอย่างละเอียด ทั้งในวงกลมหนึ่งหน่วยและโดยวิธีกราฟิก มีการอธิบายกระบวนการของการแก้ความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติที่ไม่ใช่พื้นฐานผ่านความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้นและวิธีการของช่วงเวลาที่รู้จักกันดีสำหรับเด็กนักเรียน
ส่วนที่ห้านำเสนองานที่ยากที่สุด: เมื่อมีความจำเป็นไม่เพียงแต่แก้สมการตรีโกณมิติเท่านั้น แต่ยังต้องเลือกรากจากรากที่พบซึ่งตรงตามเงื่อนไขบางประการด้วย ส่วนนี้มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับงานทั่วไปสำหรับการเลือกราก ข้อมูลทางทฤษฎีที่จำเป็นสำหรับการเลือกรากจะได้รับ: การแบ่งส่วนของเซตของจำนวนเต็มออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ตัดกัน การแก้สมการในจำนวนเต็ม (ไดโอแฟนไทน์)
ส่วนที่หกนำเสนองานสำหรับโซลูชันอิสระ ออกแบบในรูปแบบของการทดสอบ งานทดสอบ 20 รายการแสดงรายการงานที่ยากที่สุดที่สามารถพบได้ในการทดสอบแบบรวมศูนย์
สมการตรีโกณมิติเบื้องต้น
สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นเป็นสมการของรูปแบบ โดยที่เป็นหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติ: , , , .
สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นมีรากมากมายเป็นอนันต์ ตัวอย่างเช่น ค่าต่อไปนี้เป็นไปตามสมการ: , , , ฯลฯ สูตรทั่วไปที่ใช้หารากของสมการทั้งหมด โดยที่ , คือ:
ที่นี่สามารถใช้ค่าจำนวนเต็มใดๆ ก็ได้ แต่ละค่าสอดคล้องกับรากของสมการ ในสูตรนี้ (เช่นเดียวกับในสูตรอื่น ๆ ที่แก้สมการตรีโกณมิติเบื้องต้น) เรียกว่า พารามิเตอร์. โดยปกติแล้วจะจดบันทึก ดังนั้น จึงเน้นว่าพารามิเตอร์สามารถรับค่าจำนวนเต็มใดๆ ได้
คำตอบของสมการ ที่ไหน หาได้จากสูตร
สมการแก้ได้โดยใช้สูตร
และสมการ --- ตามสูตร
ให้เราสังเกตกรณีพิเศษบางกรณีพิเศษของสมการตรีโกณมิติเบื้องต้น เมื่อสามารถเขียนคำตอบได้โดยไม่ต้องใช้สูตรทั่วไป:
เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติ คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะมีบทบาทสำคัญ ดังนั้นเราจึงนำเสนอสองทฤษฎีบทที่มีประโยชน์:
ทฤษฎีบท ถ้า --- คาบหลักของฟังก์ชัน แสดงว่าจำนวนนั้นคือคาบหลักของฟังก์ชัน
คาบต่าง ๆ ของฟังก์ชันและเรียกว่า commensurable หากมีจำนวนธรรมชาติและที่
ทฤษฎีบท ถ้าฟังก์ชันคาบ และ มีค่าเท่ากัน แล้ว พวกมันมีคาบร่วม ซึ่งเป็นคาบของฟังก์ชัน , , .
ทฤษฎีบทบอกว่าคาบของฟังก์ชันคืออะไร , , , และไม่จำเป็นต้องเป็นคาบหลัก ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาหลักของฟังก์ชัน และ คือ --- และช่วงเวลาหลักของผลิตภัณฑ์คือ ---
แนะนำอาร์กิวเมนต์เสริม
วิธีมาตรฐานในการแปลงนิพจน์ของแบบฟอร์ม 
เป็นเคล็ดลับต่อไปนี้: ให้ --- ฉีด, ให้โดยความเท่าเทียมกัน 
, 
. สำหรับมุมใดมุมหนึ่งก็มีอยู่ ทางนี้ . ถ้า , หรือ , , มิฉะนั้น
แบบแผนสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ
รูปแบบหลักที่เราจะได้รับคำแนะนำเมื่อแก้สมการตรีโกณมิติมีดังนี้:
สารละลาย สมการที่กำหนดลดลงเป็นการแก้สมการเบื้องต้น การแก้ปัญหา --- การแปลง, การแยกตัวประกอบ, การแทนที่สิ่งที่ไม่รู้ หลักการชี้นำคือไม่สูญเสียการหยั่งราก ซึ่งหมายความว่าเมื่อย้ายไปยังสมการถัดไป (สมการ) เราไม่กลัวการปรากฏตัวของรากพิเศษ (ภายนอก) แต่เราสนใจเฉพาะสมการที่ตามมาแต่ละสมการของ "ลูกโซ่" ของเรา (หรือชุดของสมการในกรณีของ การแตกแขนง) เป็นผลมาจากก่อนหน้านี้ วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้ในการเลือกรูทคือการตรวจสอบ เราทราบทันทีว่าในกรณีของสมการตรีโกณมิติ ความยากที่เกี่ยวข้องกับการเลือกรากด้วยการตรวจสอบตามกฎ เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อเปรียบเทียบกับสมการพีชคณิต ท้ายที่สุดคุณต้องตรวจสอบซีรีส์ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกจำนวนไม่ จำกัด
ควรกล่าวถึงเป็นพิเศษเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของนิรนามในการแก้สมการตรีโกณมิติ ในกรณีส่วนใหญ่ หลังจากการแทนที่ที่จำเป็น จะได้สมการพีชคณิต ยิ่งกว่านั้น ไม่ใช่เรื่องแปลกสำหรับสมการที่ถึงแม้จะเป็นตรีโกณมิติใน รูปร่างอันที่จริงไม่ใช่เพราะว่าหลังจากขั้นตอนแรกไปแล้ว --- ทดแทนตัวแปร --- เปลี่ยนเป็นพีชคณิตและการกลับไปสู่ตรีโกณมิติเกิดขึ้นเฉพาะในขั้นตอนของการแก้สมการตรีโกณมิติเบื้องต้นเท่านั้น
ขอให้เราจำกันอีกครั้ง: การแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักควรทำโดยเร็วที่สุด สมการผลลัพธ์หลังจากการแทนที่จะต้องแก้ไขจนจบรวมถึงขั้นตอนของการเลือกรากแล้วเท่านั้นที่จะกลับสู่จุดเริ่มต้นที่ไม่รู้จัก .
คุณลักษณะหนึ่งของสมการตรีโกณมิติคือ คำตอบในหลายกรณีสามารถเขียนได้หลายวิธี แม้กระทั่งการแก้สมการ 
คำตอบสามารถเขียนได้ดังนี้:
1) ในรูปแบบของสองชุด: 
, , ;
2) ในรูปแบบมาตรฐานซึ่งเป็นการรวมกันของชุดข้างต้น: , ;
3) ตั้งแต่ 
แล้วสามารถเขียนคำตอบเป็น 
, . (นอกจากนี้ การมีพารามิเตอร์ , หรือในบันทึกการตอบสนองโดยอัตโนมัติหมายความว่าพารามิเตอร์นี้ใช้ค่าจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข้อยกเว้นจะถูกกำหนดไว้)
เห็นได้ชัดว่ากรณีทั้งสามที่ระบุไว้ไม่ได้หมดความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการเขียนคำตอบของสมการที่อยู่ระหว่างการพิจารณา (มีหลายกรณีอย่างไม่สิ้นสุด)
ตัวอย่างเช่น สำหรับ 
. ดังนั้น ในสองกรณีแรก ถ้า เราสามารถแทนที่ด้วย .
โดยปกติคำตอบจะถูกเขียนตามวรรค 2 เป็นประโยชน์ที่จะจำคำแนะนำต่อไปนี้: หากงานไม่ได้จบลงด้วยการแก้สมการก็ยังจำเป็นต้องทำการศึกษาการเลือกรากแล้ว รูปแบบการบันทึกที่สะดวกที่สุดระบุไว้ในวรรค 1 (ควรให้ข้อเสนอแนะที่คล้ายกันสำหรับสมการ)
มาพิจารณาตัวอย่างที่แสดงถึงสิ่งที่กล่าว.
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.ที่ชัดเจนที่สุดคือวิธีต่อไปนี้ สมการนี้แบ่งออกเป็นสอง: และ . การแก้แต่ละข้อและรวมคำตอบที่ได้รับ เราพบ .
อีกวิธีหนึ่งตั้งแต่นั้นมาแทนที่และโดยสูตรการลดลง หลังจากการแปลงเล็กน้อย เราจะได้ , ดังนั้น 
.
เมื่อมองแวบแรก สูตรที่สองไม่มีข้อดีเหนือกว่าสูตรแรก อย่างไรก็ตาม หากเรายกตัวอย่าง เช่น ปรากฎว่า นั่นคือ สมการมีคำตอบ ในขณะที่วิธีแรกนำเราไปสู่คำตอบ 
. “เห็น” พิสูจน์ความเท่าเทียม 
ไม่ง่ายนัก
ตอบ. .
การแปลงและการรวมกลุ่มของคำตอบทั่วไปของสมการตรีโกณมิติ
เราจะพิจารณา ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ขยายออกไปอย่างไม่มีกำหนดทั้งสองทิศทาง สมาชิกของความก้าวหน้านี้สามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่มของสมาชิก ซึ่งอยู่ทางด้านขวาและด้านซ้ายของสมาชิกบางคน เรียกว่าสมาชิกกลางหรือศูนย์ของความก้าวหน้า
การแก้ไขหนึ่งในเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดด้วยจำนวนศูนย์ เราจะต้องดำเนินการกำหนดหมายเลขซ้ำสำหรับเงื่อนไขที่เหลือทั้งหมด: ค่าบวกสำหรับเงื่อนไขที่อยู่ทางด้านขวา และค่าลบสำหรับเงื่อนไขที่อยู่ทางด้านซ้ายของศูนย์
โดยทั่วไป ถ้าความแตกต่างของความก้าวหน้า เทอมศูนย์ สูตรสำหรับเทอมใด ๆ (th) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อนันต์คือ:
การแปลงสูตรสำหรับสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อนันต์
1. หากเราบวกหรือลบส่วนต่างของความก้าวหน้าเป็นเทอมศูนย์ ความก้าวหน้าจะไม่เปลี่ยนแปลงจากสิ่งนี้ แต่จะย้ายเฉพาะเทอมศูนย์เท่านั้น กล่าวคือ จำนวนสมาชิกจะเปลี่ยนไป
2. หากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรคูณด้วย , จะส่งผลให้มีการเรียงสับเปลี่ยนของกลุ่มสมาชิกด้านขวาและด้านซ้ายเท่านั้น
3. หากสมาชิกต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าอนันต์
ตัวอย่างเช่น , , , ..., , เพื่อให้เงื่อนไขกลางของความก้าวหน้ามีความแตกต่างเท่ากันเท่ากับ:
จากนั้นความก้าวหน้าและลำดับของความก้าวหน้าจะแสดงตัวเลขเดียวกัน
ตัวอย่าง แถวสามารถแทนที่ด้วยสามแถวต่อไปนี้: , , .
4. หากความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดที่มีความแตกต่างเท่ากันมีตัวเลขเป็นสมาชิกกลางที่ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่มีความแตกต่าง จากนั้นอนุกรมเหล่านี้สามารถถูกแทนที่ด้วยความก้าวหน้าเดียวที่มีความแตกต่าง และด้วยสมาชิกกลางเท่ากับสมาชิกกลางใดๆ ของสิ่งเหล่านี้ ความก้าวหน้า กล่าวคือ ถ้า
จากนั้นความก้าวหน้าเหล่านี้จะรวมกันเป็นหนึ่งเดียว:
ตัวอย่าง
, , , ทั้งสองรวมกันเป็นหนึ่งกลุ่มตั้งแต่ 
.
ในการแปลงกลุ่มที่มีคำตอบร่วมกันให้เป็นกลุ่มที่ไม่มีคำตอบร่วมกัน กลุ่มเหล่านี้จะถูกแยกออกเป็นกลุ่มที่มีช่วงเวลาร่วมกัน จากนั้นเราพยายามรวมกลุ่มที่เป็นผลลัพธ์ ยกเว้นกลุ่มที่เกิดซ้ำ
การแยกตัวประกอบ
วิธีการแยกตัวประกอบเป็นดังนี้: if
แล้วคำตอบของสมการใดๆ
คือคำตอบของเซตของสมการ
ประโยคสนทนา โดยทั่วไปแล้วจะเป็นเท็จ ไม่ใช่ว่าทุกคำตอบของเซตจะเป็นคำตอบของสมการ นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าคำตอบของสมการแต่ละตัวอาจไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.ใช้หลัก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ, เราแทนสมการในรูป
ตอบ.
; 
.
การแปลงผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลคูณ
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย.เราใช้สูตรเราได้รับสมการที่เท่ากัน
ตอบ. .
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.ในกรณีนี้ ก่อนที่จะใช้สูตรสำหรับผลบวกของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณควรใช้สูตรการย่อส่วน 
. เป็นผลให้เราได้รับสมการเทียบเท่า
ตอบ.
, 
.
การแก้สมการโดยการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวม
เมื่อแก้สมการจำนวนหนึ่งจะใช้สูตร
ตัวอย่าง แก้สมการ
สารละลาย.
ตอบ. , .
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.การใช้สูตรเราได้รับสมการที่เทียบเท่ากัน:
ตอบ. .
การแก้สมการโดยใช้สูตรลด
เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติที่หลากหลาย สูตรจะมีบทบาทสำคัญ
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.การใช้สูตร เราจะได้สมการที่เทียบเท่ากัน
ตอบ. ; .
การแก้สมการโดยใช้สูตรอาร์กิวเมนต์สามเท่า
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.เราใช้สูตร เราได้สมการ
ตอบ. ; .
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย.การใช้สูตรเพื่อลดระดับเราได้รับ: 
. สมัครเราได้รับ:
ตอบ. ; .
ความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีชื่อเดียวกัน
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.
ตอบ. , .
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย.มาแปลงสมการกัน
ตอบ. .
ตัวอย่าง เป็นที่ทราบและสนองสมการ
หาผลรวม.
สารละลาย.จากสมการที่ว่า
ตอบ. .
พิจารณาผลรวมของแบบฟอร์ม
ผลรวมเหล่านี้สามารถแปลงเป็นผลคูณได้โดยการคูณและหารด้วย จากนั้นเราจะได้
เทคนิคนี้สามารถใช้เพื่อแก้สมการตรีโกณมิติบางอย่างได้ แต่ควรระลึกไว้เสมอว่าด้วยเหตุนี้ รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น นี่คือลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้:
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.จะเห็นได้ว่าเซตเป็นการแก้สมการเดิม ดังนั้น การคูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการโดยไม่ทำให้เกิดรากพิเศษ
เรามี 
.
ตอบ. ; .
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.เราคูณด้านซ้ายและด้านขวาของสมการโดยใช้สูตรในการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวม
สมการนี้เทียบเท่ากับเซตของสมการสองสมการ และ มาจากไหน และ
เนื่องจากรากของสมการไม่ใช่รากของสมการ จึงควรแยกชุดคำตอบที่เป็นผลลัพธ์ออก ดังนั้นในชุดคุณต้องยกเว้น
ตอบ.และ , .
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย.ลองแปลงนิพจน์:
สมการจะถูกเขียนในรูปแบบ:
ตอบ. .
การลดสมการตรีโกณมิติเป็นพีชคณิต
ย่อเป็นสี่เหลี่ยม
ถ้าสมการดูเหมือน
แล้วการแทนที่นำมาเป็นสี่เหลี่ยมเพราะ 
() และ.
หากต้องมีการทดแทนตามเงื่อนไข การแทนที่ที่จำเป็นจะเป็น
สมการ
ลดลงเป็นสมการกำลังสอง
การนำเสนอเป็น 
. มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าสิ่งใด ไม่ใช่รากของสมการ และโดยการเปลี่ยนแปลง สมการนั้นจะลดลงเป็นสมการกำลังสอง
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.ลองย้ายไปทางด้านซ้าย แทนที่ด้วย และแสดงผ่าน และ
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย เราได้รับ: . หารเทอมด้วยเทอมโดย ทำการแทนที่:
กลับมาที่ เราพบว่า 
.
สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันเทียบกับ ,
พิจารณาสมการของรูปแบบ
โดยที่ , , , ..., , เป็นจำนวนจริง ในแต่ละเทอมทางด้านซ้ายของสมการ ดีกรีของโมโนเมียลจะเท่ากัน กล่าวคือ ผลรวมของดีกรีของไซน์และโคไซน์จะเท่ากันและเท่ากับ สมการดังกล่าวเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันสัมพันธ์กับ และ และหมายเลขนี้เรียกว่า ตัวบ่งชี้ความเป็นเนื้อเดียวกัน .
เป็นที่ชัดเจนว่า if แล้วสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
ซึ่งคำตอบคือค่าที่ เช่น ตัวเลข , . สมการที่สองที่เขียนในวงเล็บยังเป็นเนื้อเดียวกัน แต่องศาจะต่ำกว่า 1 องศา
ถ้า แล้วตัวเลขเหล่านี้ไม่ใช่รากของสมการ
เมื่อเราได้รับ: และด้านซ้ายของสมการ (1) รับค่า
ดังนั้น สำหรับ , และ ดังนั้น ทั้งสองข้างของสมการจึงสามารถหารด้วย . เป็นผลให้เราได้รับสมการ:
ซึ่งโดยการแทนที่จะลดลงเป็นพีชคณิตอย่างง่ายดาย:
สมการเอกพันธ์ที่มีดัชนีความเป็นเนื้อเดียวกัน 1 ที่ เรามีสมการ
ถ้า สมการนี้จะเทียบเท่ากับสมการ ที่ไหน ที่ไหน
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.สมการนี้เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีแรก หารทั้งสองส่วนโดยเราได้: , , , .
ตอบ. .
ตัวอย่าง ที่ เราได้รับสมการเอกพันธ์ของรูปแบบ
สารละลาย.
ถ้า , แล้วเราหารสมการทั้งสองข้างด้วย , เราจะได้สมการ 
ซึ่งสามารถย่อให้เหลือสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ง่ายๆ โดยการแทนที่: 
. ถ้า 
แล้วสมการก็มีรากจริง , สมการเดิมจะมีคำตอบสองกลุ่ม: , , .
ถ้า 
แล้วสมการก็ไม่มีคำตอบ
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.สมการนี้เป็นเนื้อเดียวกันของดีกรีที่สอง หารทั้งสองข้างของสมการด้วย , เราได้: . ให้แล้ว , , . , , ; , , .
ตอบ.
.
สมการจะลดลงเป็นสมการของรูปแบบ
การทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ตัวตน 
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการจะลดลงเป็นสมการเอกพันธ์หากแทนที่ด้วย 
จากนั้นเราจะได้สมการที่เท่ากัน:
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.มาแปลงสมการให้เป็นสมการเอกพันธ์กัน:
หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 
, เราได้รับสมการ:
ให้ จากนั้นเรามาที่สมการกำลังสอง: 
, , 
, 
, .
ตอบ.
.
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.ลองยกกำลังสองของสมการทั้งสองข้าง โดยพิจารณาว่ามีค่าบวก: , ,
ให้ แล้วเราจะได้ 
, , .
ตอบ. .
สมการที่แก้ไขโดยใช้ข้อมูลประจำตัว 
เป็นประโยชน์ที่จะทราบสูตรต่อไปนี้:
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.ใช้เราได้รับ
ตอบ.
เราไม่ได้เสนอสูตรเอง แต่วิธีการได้มา:
เพราะฉะนั้น,
เช่นเดียวกัน, .
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย.ลองแปลงนิพจน์:
สมการจะถูกเขียนในรูปแบบ:
รับ เราได้รับ , . เพราะฉะนั้น
ตอบ. .
การแทนที่ตรีโกณมิติสากล
สมการตรีโกณมิติของรูปแบบ
ที่ไหน --- มีเหตุผลฟังก์ชันด้วยความช่วยเหลือของสูตร -- เช่นเดียวกับความช่วยเหลือของสูตร -- สามารถลดลงเป็นสมการตรรกยะเทียบกับอาร์กิวเมนต์ , , , , หลังจากนั้นสมการจะลดลงเป็นสมการตรรกยะเชิงพีชคณิตด้วยความเคารพ สู่การใช้สูตรการแทนที่ตรีโกณมิติสากล
ควรสังเกตว่าการใช้สูตรอาจทำให้ ODZ ของสมการเดิมแคบลงได้ เนื่องจากไม่ได้กำหนดไว้ที่จุด ดังนั้นในกรณีเช่นนี้ จำเป็นต้องตรวจสอบว่ามุมนั้นเป็นรากของสมการเดิมหรือไม่ .
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.ตามหน้าที่. ใช้สูตรและทำการแทนที่ เราจะได้
ที่ไหน และ ดังนั้น .
สมการของแบบฟอร์ม
สมการของรูปแบบ โดยที่ เป็นพหุนาม แก้ได้โดยการเปลี่ยนนิรนาม
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.ทำการทดแทนและคำนึงถึงสิ่งนั้น เราจะได้
ที่ไหน , . --- รากภายนอกเพราะ . รากสมการ 
เป็น .
การใช้ฟังก์ชันจำกัด
ในทางปฏิบัติของการทดสอบแบบรวมศูนย์ ไม่ใช่เรื่องแปลกที่จะพบสมการที่คำตอบนั้นขึ้นอยู่กับขอบเขตของฟังก์ชัน และ ตัวอย่างเช่น:
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.เนื่องจาก , , แล้วด้านซ้ายมือจะไม่เกินและเท่ากับ , if
เพื่อหาค่าที่ตรงตามสมการทั้งสองเราดำเนินการดังนี้ เราแก้ไขหนึ่งในนั้น จากนั้นในบรรดาค่าที่พบ เราจะเลือกค่าที่ตรงกับค่าอื่น
มาเริ่มกันที่อันที่สอง: , . แล้ว , 
.
เป็นที่ชัดเจนว่าสำหรับเลขคู่เท่านั้นที่จะเป็น
ตอบ. .
แนวคิดอื่นเกิดขึ้นได้โดยการแก้สมการต่อไปนี้:
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย.มาใช้ทรัพย์สินกันเถอะ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง: , 
.
เมื่อบวกค่าความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม เรามี:
ดังนั้น ด้านซ้ายของสมการนี้จะเท่ากันก็ต่อเมื่อความเท่าเทียมกันทั้งสองมีค่าเท่ากัน:
กล่าวคือสามารถรับค่า , , , หรือสามารถนำค่า , .
ตอบ. , .
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย., . เพราะฉะนั้น, 
.
ตอบ. .
ตัวอย่าง แก้สมการ
สารละลาย.แสดงว่า จากนิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันที่เรามี 
และ 
.
เนื่องจาก ความไม่เท่าเทียมกันตามมาจากสมการเช่น . ตั้งแต่ และ จากนั้น และ . อย่างไรก็ตามและด้วยเหตุนี้
ถ้า และ แล้ว . เนื่องจากก่อนหน้านี้ได้มีการกำหนดไว้แล้วว่า
ตอบ. , .
ตัวอย่าง แก้สมการ
สารละลาย.ช่วงของค่าที่ถูกต้องของสมการคือ .
ให้เราแสดงให้เห็นก่อนว่าฟังก์ชั่น
ไม่ว่าจะใช้ค่าบวกเท่านั้น
ขอแสดงฟังก์ชันดังนี้: .
ตั้งแต่ จากนั้น นั่นคือ 
.
ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกัน จำเป็นต้องแสดงว่า 
. ด้วยเหตุนี้ เราจึงยกกำลังสองส่วนของอสมการนี้แล้ว
ผลความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขบ่งชี้ว่า หากเราพิจารณาด้วยว่า ด้านซ้ายของสมการจะไม่เป็นลบ
พิจารณาตอนนี้ทางด้านขวาของสมการ
เพราะ 
, แล้ว
อย่างไรก็ตาม เป็นที่ทราบกันดีว่า 
. จากนี้ไปคือว่า ด้านขวาของสมการไม่เกิน ก่อนหน้านี้ มีการพิสูจน์แล้วว่าด้านซ้ายของสมการไม่เป็นค่าลบ ดังนั้น ความเท่าเทียมกันใน สามารถเกิดขึ้นได้เฉพาะในกรณีที่ทั้งสองส่วนเท่ากัน และเป็นไปได้เฉพาะสำหรับ .
ตอบ. .
ตัวอย่าง แก้สมการ
สารละลาย.หมายถึงและ 
. เราใช้อสมการ Cauchy-Bunyakovsky เราได้รับ . ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น 
. อีกด้านหนึ่งมี 
. ดังนั้นสมการจึงไม่มีราก
ตอบ. .
ตัวอย่าง แก้สมการ:
สารละลาย.ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ:
ตอบ. .
วิธีการทำงานสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติและสมการรวม
ไม่ใช่ทุกสมการที่เป็นผลมาจากการแปลงสามารถลดลงเป็นสมการของรูปแบบมาตรฐานหนึ่งหรือรูปแบบอื่นที่มี วิธีการบางอย่างโซลูชั่น ในกรณีเช่นนี้ จะเป็นประโยชน์ต่อการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเช่น ความซ้ำซากจำเจ ขอบเขต ความสม่ำเสมอ ความเป็นคาบ เป็นต้น ดังนั้น หากฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งลดลง และฟังก์ชันที่สองเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา ถ้าสมการ มีรูทในช่วงเวลานี้ รูทนี้ไม่ซ้ำกัน จากนั้น สามารถพบได้โดยการเลือก ถ้าฟังก์ชันมีขอบเขตจากด้านบน และ และ และฟังก์ชันมีขอบเขตจากด้านล่าง และ สมการจะเทียบเท่ากับระบบสมการ
ตัวอย่าง แก้สมการ
สารละลาย.เราแปลงสมการเดิมเป็นรูปแบบ
แล้วแก้เป็นกำลังสองเทียบกับ . แล้วเราจะได้
มาแก้สมการเซตแรกกัน โดยคำนึงถึงขอบเขตของฟังก์ชัน เราได้ข้อสรุปว่าสมการสามารถมีรากได้เฉพาะในช่วงเวลา ในช่วงเวลานี้ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และฟังก์ชัน 
ลดลง ดังนั้น ถ้าสมการนี้มีราก มันก็ไม่ซ้ำกัน เราหาได้จากการคัดเลือก
ตอบ. .
ตัวอย่าง แก้สมการ
สารละลาย.ให้ , และ 
จากนั้นสมการเดิมสามารถเขียนเป็นสมการเชิงฟังก์ชันได้ เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคี่ ดังนั้น . ในกรณีนี้ เราจะได้สมการ
เนื่องจาก , และ เป็นแบบโมโนโทนิกบน สมการจึงเทียบเท่ากับสมการ นั่นคือ 
ซึ่งมีรากเดียว
ตอบ. .
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย.จากทฤษฎีบทอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชัน 
ลดลง (ฟังก์ชั่นลดลงเพิ่มขึ้นลดลง) จากนี้จะเห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่น 
กำหนดบน ลดลง. ดังนั้น สมการนี้มีรากได้ไม่เกินหนึ่งราก เพราะ 
, แล้ว
ตอบ. .
ตัวอย่าง แก้สมการ.
สารละลาย.พิจารณาสมการในสามช่วง
ก) ให้ จากนั้นในเซตนี้ สมการเดิมจะเท่ากับสมการ ซึ่งไม่มีวิธีแก้ปัญหาในช่วงเวลาตั้งแต่ 
, , ก. ในช่วงเวลานั้น สมการเดิมก็ไม่มีรากเช่นกันเพราะ 
ก.
ข) ให้ . จากนั้นในเซตนี้ สมการเดิมจะเท่ากับสมการ
ที่มีรากบนช่วงเวลาเป็นตัวเลข , , , .
ค) ให้ จากนั้นในเซตนี้ สมการเดิมจะเท่ากับสมการ
ซึ่งไม่มีวิธีแก้ปัญหาในช่วงเวลาตั้งแต่ แต่ . สมการยังไม่มีคำตอบของช่วงเนื่องจาก , , ก.
ตอบ. , , , .
วิธีสมมาตร
วิธีสมมาตรสะดวกต่อการใช้งานเมื่อสูตรงานมีข้อกำหนดว่าคำตอบของสมการ ความไม่เท่าเทียมกัน ระบบ ฯลฯ จะต้องไม่ซ้ำกัน หรือระบุจำนวนการแก้ปัญหาที่แน่นอน ในกรณีนี้ ควรตรวจพบความสมมาตรของนิพจน์ที่กำหนด
นอกจากนี้ ยังจำเป็นต้องคำนึงถึงความสมมาตรประเภทต่างๆ ที่เป็นไปได้ด้วย
ความสำคัญเท่าเทียมกันคือการปฏิบัติตามขั้นตอนเชิงตรรกะอย่างเข้มงวดในการให้เหตุผลด้วยความสมมาตร
โดยปกติ ความสมมาตรจะทำให้เราสามารถกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นเท่านั้น จากนั้นเราต้องตรวจสอบความเพียงพอของพวกมัน
ตัวอย่าง ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ที่สมการมีคำตอบเฉพาะ
สารละลาย.โปรดทราบว่าและ --- สม่ำเสมอฟังก์ชัน ดังนั้นด้านซ้ายของสมการจึงเป็นฟังก์ชันคู่
ดังนั้นถ้า --- สารละลายสมการ นั่นคือคำตอบของสมการด้วย หากเป็นคำตอบเดียวของสมการ แสดงว่า จำเป็น , .
มาเลือกกัน เป็นไปได้ค่าที่ต้องการให้เป็นรากของสมการ
เราทราบทันทีว่าค่าอื่นไม่สามารถตอบสนองเงื่อนไขของปัญหาได้
แต่ยังไม่ทราบว่าผู้ที่ได้รับการคัดเลือกทั้งหมดตรงตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่
ความเพียงพอ
1) , สมการจะอยู่ในรูปแบบ 
.
2) สมการจะอยู่ในรูปแบบ:
แน่นอนสำหรับทุกคนและ 
. ดังนั้นสมการสุดท้ายจึงเทียบเท่ากับระบบ:
ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าสำหรับ สมการมีคำตอบเฉพาะ
ตอบ. .
โซลูชันด้วยการสำรวจฟังก์ชัน
ตัวอย่าง พิสูจน์ว่าคำตอบของสมการทั้งหมด
จำนวนทั้งหมด.
สารละลาย.คาบหลักของสมการเดิมคือ ดังนั้นเราจึงศึกษาสมการนี้ในส่วนก่อน
ลองแปลงสมการเป็นรูปแบบ:
ด้วยความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลขเราได้รับ:
ถ้า จากความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้เราได้รับ:
การแก้สมการผลลัพธ์เราได้รับ:
การคำนวณที่ดำเนินการทำให้สามารถสันนิษฐานได้ว่ารากของสมการที่เป็นของช่วงคือ และ
การตรวจสอบโดยตรงยืนยันสมมติฐานนี้ ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่ารากของสมการเป็นเพียงจำนวนเต็ม , .
ตัวอย่าง
แก้สมการ 
.
สารละลาย.หาคาบหลักของสมการ. ช่วงเวลาหลักของฟังก์ชันคือ ช่วงเวลาหลักของฟังก์ชันคือ ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข และมีค่าเท่ากับ ดังนั้น คาบหลักของสมการคือ . อนุญาต .
เห็นได้ชัดว่าเป็นการแก้สมการ ในช่วงเวลา ฟังก์ชันเป็นค่าลบ ดังนั้นควรหารากอื่นของสมการเฉพาะในช่วงเวลา x และ .
ด้วยความช่วยเหลือของไมโครแคลคูเลเตอร์ ขั้นแรกเราจะหาค่าโดยประมาณของรากของสมการ ในการทำเช่นนี้ เราได้รวบรวมตารางค่าฟังก์ชัน 
ตามช่วงเวลา และ ; กล่าวคือ ในช่วงเวลา และ .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
สมมติฐานต่อไปนี้สามารถเห็นได้ง่ายจากตาราง: รากของสมการที่เป็นของช่วงคือตัวเลข: ; ; . การตรวจสอบโดยตรงยืนยันสมมติฐานนี้
ตอบ.
; 
; .
การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมหน่วย
เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติของแบบฟอร์ม ซึ่งเป็นหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะสะดวกที่จะใช้วงกลมตรีโกณมิติเพื่อนำเสนอคำตอบของความไม่เท่าเทียมกันอย่างชัดเจนที่สุดและเขียนคำตอบลงไป วิธีหลักในการแก้อสมการตรีโกณมิติคือการลดความเหลื่อมล้ำทางตรีโกณมิติเป็นอสมการที่ง่ายที่สุดของประเภท ลองดูตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าว
ตัวอย่าง แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
สารละลาย.ลองวาดวงกลมตรีโกณมิติและทำเครื่องหมายจุดที่พิกัดมากกว่า
สำหรับการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเป็น เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าตัวเลขบางตัวแตกต่างจากตัวเลขบางตัวจากช่วงเวลาที่กำหนดโดยจำนวนนั้นก็จะไม่น้อยกว่า ดังนั้น ที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์ที่พบของโซลูชัน คุณเพียงแค่ต้องเพิ่ม . ในที่สุด เราก็ได้คำตอบของความไม่เท่าเทียมกันเดิมทั้งหมด 
.
ตอบ.
.
ในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันด้วยแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แนวความคิดของเส้นของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์นั้นมีประโยชน์ นี่คือเส้นตรงและตามลำดับ (ในรูป (1) และ (2)) ที่แตะวงกลมตรีโกณมิติ
สังเกตได้ง่ายว่าถ้าคุณสร้างรังสีที่มีจุดกำเนิดที่จุดกำเนิดแล้วทำมุมที่มีทิศทางบวกของแกน abscissa แล้วความยาวของส่วนจากจุดถึงจุดตัดของรังสีนี้ด้วยเส้นของ แทนเจนต์เท่ากับแทนเจนต์ของมุมที่รังสีนี้สร้างขึ้นด้วยแกนแอบซิสซา การสังเกตที่คล้ายกันถือเป็นโคแทนเจนต์
ตัวอย่าง แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
สารละลาย.แสดงว่าความไม่เท่าเทียมกันจะอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด: พิจารณาช่วงที่มีความยาวเท่ากับคาบบวกน้อยที่สุด (LPP) ของแทนเจนต์ ในส่วนนี้ โดยใช้เส้นแทนเจนต์ เราสร้างมันขึ้นมา ตอนนี้เราจำสิ่งที่ต้องเพิ่มได้ เนื่องจาก RPE ของฟังก์ชัน . ดังนั้น, 
. กลับไปที่ตัวแปร เราจะได้สิ่งนั้น
ตอบ.
.
สะดวกในการแก้อสมการด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันโดยใช้กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน มาแสดงวิธีการทำกับตัวอย่าง
การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยวิธีกราฟิก
โปรดทราบว่าถ้า --- เป็นฟังก์ชันคาบ ดังนั้นในการแก้อสมการ จำเป็นต้องหาคำตอบในส่วนที่มีความยาวเท่ากับคาบของฟังก์ชัน คำตอบทั้งหมดของอสมการดั้งเดิมจะประกอบด้วยค่าที่พบ รวมทั้งค่าที่แตกต่างจากค่าที่พบในจำนวนเต็มของคาบฟังก์ชัน
พิจารณาคำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน ()
ตั้งแต่นั้นมา ความไม่เท่าเทียมกันไม่มีวิธีแก้ปัญหา ถ้า แล้ว เซตของคำตอบของอสมการ --- พวงของตัวเลขจริงทั้งหมด
อนุญาต . ฟังก์ชันไซน์มีคาบบวกที่เล็กที่สุด ดังนั้น อสมการสามารถแก้ไขได้ก่อนในส่วนของความยาว ตัวอย่างเช่น ในส่วนของเซ็กเมนต์ เราสร้างกราฟของฟังก์ชันและ () ถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ: และด้วยเหตุใด
ในบทความนี้ ได้มีการพิจารณาวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการ ทั้งระดับที่ง่ายที่สุดและระดับโอลิมปิก วิธีการหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติและความไม่เท่าเทียมกันได้รับการพิจารณานอกจากนี้เป็นความจำเพาะ --- ลักษณะเฉพาะสมการตรีโกณมิติและอสมการ --- และวิธีการทำงานทั่วไปสำหรับการแก้สมการและอสมการ ที่ใช้กับสมการตรีโกณมิติ
วิทยานิพนธ์นำเสนอข้อมูลทางทฤษฎีพื้นฐาน ได้แก่ ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและผกผัน การแสดงออกของฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ซึ่งสำคัญมากสำหรับการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนิพจน์ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน นอกเหนือจากสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานที่รู้จักกันดีในหลักสูตรของโรงเรียนแล้ว ยังมีการกำหนดสูตรที่ลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน พิจารณาคำตอบของสมการตรีโกณมิติเบื้องต้น วิธีการแฟคตอริ่ง วิธีการลดสมการตรีโกณมิติเป็นสมการพีชคณิต เนื่องจากความจริงที่ว่าคำตอบของสมการตรีโกณมิติสามารถเขียนได้หลายวิธี และรูปแบบของคำตอบเหล่านี้ไม่ได้ทำให้ใครสามารถระบุได้ทันทีว่าคำตอบเหล่านี้เหมือนกันหรือต่างกัน จึงมีการพิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติและ การแปลงกลุ่มของคำตอบทั่วไปของสมการตรีโกณมิติได้รับการพิจารณาอย่างละเอียด วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติเบื้องต้นได้รับการพิจารณาอย่างละเอียด ทั้งในวงกลมหนึ่งหน่วยและโดยวิธีกราฟิก มีการอธิบายกระบวนการของการแก้ความไม่เท่าเทียมกันตรีโกณมิติที่ไม่ใช่พื้นฐานผ่านความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้นและวิธีการของช่วงเวลาที่รู้จักกันดีสำหรับเด็กนักเรียน คำตอบของงานทั่วไปสำหรับการเลือกรากจะได้รับ ข้อมูลทางทฤษฎีที่จำเป็นสำหรับการเลือกรากจะได้รับ: การแบ่งส่วนของเซตของจำนวนเต็มออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ตัดกัน การแก้สมการในจำนวนเต็ม (ไดโอแฟนไทน์)
ผลลัพธ์ของวิทยานิพนธ์นี้สามารถใช้เป็น สื่อการศึกษาในการจัดทำเอกสารภาคการศึกษาและวิทยานิพนธ์ ในการจัดเตรียมวิชาเลือกสำหรับเด็กนักเรียน งานเดียวกันนี้สามารถนำมาใช้ในการเตรียมนักเรียนสำหรับการสอบเข้าและการทดสอบแบบรวมศูนย์
Vygodsky Ya.Ya. คู่มือคณิตศาสตร์เบื้องต้น /Vygodsky Ya.Ya. --- ม.: เนาก้า, 1970.
Igudisman O. , คณิตศาสตร์ในการสอบปากเปล่า / Igudisman O. --- M.: Iris press, Rolf, 2001
Azarov A.I. สมการ / Azarov A.I. , Gladun O.M. , Fedosenko V.S. --- มินสค์: Trivium, 1994
Litvinenko V.N. , การประชุมเชิงปฏิบัติการเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา / Litvinenko V.N. --- M.: การศึกษา, 1991
Sharygin I.F. , หลักสูตรเสริมในวิชาคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหา / Sharygin I.F. , Golubev V.I. --- ม.: การตรัสรู้, 1991.
Bardushkin V. , สมการตรีโกณมิติ การเลือกราก / V. Bardushkin, A. Prokofiev.// Mathematics, No. 12, 2005 p. 23--27.
Vasilevsky A.B. การมอบหมายงานนอกหลักสูตรในวิชาคณิตศาสตร์ / Vasilevsky A.B. --- Mn.: Asveta ของผู้คน 1988. --- 176.
Sapunov P. I. , การเปลี่ยนแปลงและการรวมกลุ่มของการแก้ปัญหาทั่วไปของสมการตรีโกณมิติ / Sapunov P. I. // การศึกษาทางคณิตศาสตร์, ฉบับที่ 3, 2478
Borodin P., ตรีโกณมิติ. เอกสารการสอบเข้าที่มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก [ข้อความ] / P. Borodin, V. Galkin, V. Panferov, I. Sergeev, V. Tarasov // คณิตศาสตร์หมายเลข 1, 2005 p. 36--48.
Samusenko A.V. , คณิตศาสตร์: ข้อผิดพลาดทั่วไปผู้เข้าร่วม: คู่มืออ้างอิง / Samusenko A.V. , Kazachenok V.V. --- Minsk: Higher school, 1991
Azarov A.I. , วิธีการทำงานและกราฟิกสำหรับการแก้ปัญหาการสอบ / Azarov A.I. , Barvenov S.A. , --- Minsk: Aversev, 2004
