วิธีการแยกรากที่ 4 ของตัวเลข รากที่สอง. ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง ทำไมคุณถึงต้องการรากเลย

โพสต์บนเว็บไซต์ของเรา การรูทตัวเลขมักใช้ในการคำนวณต่างๆ และเครื่องคิดเลขของเราเป็นเครื่องมือที่ยอดเยี่ยมสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว

เครื่องคิดเลขออนไลน์พร้อมรูทจะช่วยให้คุณทำการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการแยกรูทได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย รูทของดีกรีที่สามนั้นคำนวณได้ง่ายพอๆ กับสแควร์รูทของตัวเลข รูทของจำนวนลบ รูทของจำนวนเชิงซ้อน รูทของ pi เป็นต้น

การคำนวณรากของตัวเลขสามารถทำได้ด้วยตนเอง หากสามารถคำนวณรากทั้งหมดของตัวเลขได้ เราก็หาค่าของนิพจน์รากโดยใช้ตารางราก ในกรณีอื่นๆ การคำนวณโดยประมาณของรูตจะลดลงจนถึงการขยายตัวของนิพจน์รากลึกเข้าไปในผลคูณของปัจจัยที่ง่ายกว่า ซึ่งเป็นกำลังและสามารถลบออกได้สำหรับเครื่องหมายรูต ซึ่งทำให้นิพจน์ใต้รูทง่ายขึ้นมากที่สุด

แต่อย่าใช้วิธีแก้ปัญหาการรูตดังกล่าว และนั่นเป็นเหตุผล ก่อนอื่น คุณจะต้องใช้เวลามากในการคำนวณดังกล่าว ตัวเลขที่ราก หรือมากกว่า นิพจน์สามารถค่อนข้างซับซ้อน และดีกรีไม่จำเป็นต้องเป็นกำลังสองหรือลูกบาศก์ ประการที่สอง ความแม่นยำของการคำนวณดังกล่าวไม่เป็นที่พอใจเสมอไป และประการที่สาม มีเครื่องคำนวณรูทออนไลน์ที่จะทำการแยกรูทให้คุณในไม่กี่วินาที

การดึงรากออกจากตัวเลขหมายถึงการค้นหาตัวเลขที่เมื่อยกกำลัง n จะเท่ากับค่าของนิพจน์รากที่สอง โดยที่ n คือกำลังของราก และตัวตัวเลขเองคือรากของราก รากของดีกรีที่ 2 เรียกว่า ธรรมดาหรือกำลังสอง และรูตของดีกรีที่ 3 เรียกว่า ลูกบาศก์ โดยละเว้นการบ่งชี้ของดีกรีในทั้งสองกรณี

การแก้รากในเครื่องคิดเลขออนไลน์จะลดลงเหลือเพียงการเขียนนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ในบรรทัดอินพุต การแยกจากรูทในเครื่องคิดเลขจะแสดงเป็น sqrt และดำเนินการโดยใช้ปุ่มสามปุ่ม - การแยกสแควร์รูทของ sqrt (x), การสกัดลูกบาศก์รูท sqrt3 (x) และการสกัดรูทที่ n ของ sqrt (x, y ). ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับแผงควบคุมจะแสดงในหน้า

การสกัดรากที่สอง

การกดปุ่มนี้จะแทรกรายการการแยกรากที่สองในบรรทัดอินพุต: sqrt (x) คุณจะต้องป้อนนิพจน์รากที่สองและปิดวงเล็บเท่านั้น

ตัวอย่างโซลูชัน รากที่สองในเครื่องคิดเลข:

หากมีตัวเลขติดลบอยู่ใต้รูท และระดับของรูทเป็นคู่ คำตอบจะถูกแสดงเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีหน่วยจินตภาพ i

รากที่สองของจำนวนลบ:

รากที่สาม

ใช้คีย์นี้เมื่อคุณต้องการแตกคิวบ์รูท มันแทรก sqrt3 (x) บนบรรทัดอินพุต

ราก 3 องศา:

รากของดีกรี n

โดยปกติ เครื่องคิดเลขรูทออนไลน์จะให้คุณแยกไม่เฉพาะรากที่สองและลูกบาศก์ของตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรากของกำลังของ n ด้วย การกดปุ่มนี้จะแสดงบันทึกของแบบฟอร์ม sqrt (x x, y)

รากของระดับที่ 4:

สามารถแยกรากที่ n ที่แน่นอนของตัวเลขได้ก็ต่อเมื่อตัวตัวเลขนั้นเป็นค่ารากที่ n ที่แน่นอนเท่านั้น มิฉะนั้นการคำนวณจะกลายเป็นค่าประมาณแม้ว่าจะใกล้เคียงกับอุดมคติมากเพราะความแม่นยำของการคำนวณ เครื่องคิดเลขออนไลน์ถึงทศนิยม 14 ตำแหน่ง

รูตที่ 5 พร้อมผลลัพธ์โดยประมาณ:

รากเศษส่วน

เครื่องคิดเลขสามารถคำนวณรูทจากตัวเลขและนิพจน์ต่างๆ การหารากของเศษส่วนจะลดลงเป็นการแยกรากออกจากตัวเศษและตัวส่วน

รากที่สองของเศษส่วน:

รากจากราก

ในกรณีที่รูทของนิพจน์อยู่ใต้รูท ตามคุณสมบัติของรูท พวกเขาสามารถแทนที่ด้วยหนึ่งรูต ซึ่งระดับจะเท่ากับผลคูณของดีกรีของทั้งสอง พูดง่ายๆ ว่า การจะแยกรากออกจากราก การคูณดัชนีของรากนั้นก็เพียงพอแล้ว ในตัวอย่างที่แสดงในรูป นิพจน์ root ของดีกรีที่สามของรูทของดีกรีที่สองสามารถแทนที่ด้วยหนึ่งรูทของดีกรีที่ 6 ระบุนิพจน์ที่เหมาะสมกับคุณ เครื่องคิดเลขจะคำนวณทุกอย่างถูกต้องอยู่แล้ว

ขอแสดงความยินดี: วันนี้เราจะตรวจสอบราก - หนึ่งในหัวข้อที่มีสมองมากที่สุดของชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 :)

หลายคนสับสนเกี่ยวกับรากเหง้า ไม่ใช่เพราะมันซับซ้อน (ซึ่งยากมาก - คำจำกัดความสองสามอย่างและคุณสมบัติสองสามอย่าง) แต่เนื่องจากในตำราเรียนส่วนใหญ่ รากจะถูกกำหนดผ่านป่าที่มีเพียงผู้เขียนของ ตำราเรียนเองสามารถเขียนลายเส้นนี้ได้ และแม้กระทั่งกับวิสกี้ชั้นดีหนึ่งขวดเท่านั้น :)

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะให้คำจำกัดความที่ถูกต้องและมีความสามารถมากที่สุดของรูทซึ่งเป็นคำเดียวที่คุณควรจำจริงๆ จากนั้นฉันจะอธิบาย: เหตุใดจึงจำเป็นและจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

แต่ก่อนอื่น ให้จำจุดสำคัญหนึ่งจุด ซึ่งด้วยเหตุผลบางอย่าง คอมไพเลอร์ตำราหลายคน "ลืม":

รากสามารถเป็นระดับคู่ได้ ($ \ sqrt (a) $ ที่เราโปรดปราน เช่นเดียวกับ $ \ sqrt (a) $ ทุกชนิดและแม้แต่ $ \ sqrt (a) $) และองศาคี่ ( $ \ sqrt ทุกชนิด (a) $, $ \ sqrt (a) $ เป็นต้น) และคำจำกัดความของรูทของดีกรีระดับคี่นั้นค่อนข้างแตกต่างจากระดับคู่

ในที่นี้ "ค่อนข้างแตกต่าง" ที่ซ่อนอยู่นี้อาจ 95% ของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับราก ดังนั้นมาจัดการกับคำศัพท์กันทันที:

คำนิยาม. แม้แต่รูท NSจาก $ a $ เป็นอะไรก็ได้ ไม่เป็นลบตัวเลข $ b $ เพื่อให้ $ ((b) ^ (n)) = a $ และรากคี่ของจำนวนเดียวกัน $ a $ มักจะเป็นตัวเลขใด ๆ $ b $ ซึ่งมีความเท่าเทียมกันเท่ากัน: $ ((b) ^ (n)) = a $

ไม่ว่าในกรณีใด รูทจะถูกระบุดังนี้:

\ (NS) \]

จำนวน $ n $ ในบันทึกดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลังของรูท และจำนวน $ a $ เรียกว่านิพจน์ราก โดยเฉพาะสำหรับ $ n = 2 $ เราจะได้สแควร์รูท "สุดโปรด" ของเรา (อย่างไรก็ตาม นี่คือรูทที่เท่ากัน) และสำหรับ $ n = 3 $ - ลูกบาศก์ (ระดับคี่) ซึ่งมักพบในปัญหา และสมการ

ตัวอย่าง. ตัวอย่างคลาสสิกของรากที่สอง:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ sqrt (256) = 16. \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

อย่างไรก็ตาม $ \ sqrt (0) = 0 $ และ $ \ sqrt (1) = 1 $ สิ่งนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจาก $ ((0) ^ (2)) = 0 $ และ $ ((1) ^ (2)) = 1 $

รากลูกบาศก์ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน - อย่ากลัวพวกเขา:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

และสองสาม "ตัวอย่างที่แปลกใหม่":

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

หากคุณไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างระดับคู่และระดับคี่ ให้อ่านคำจำกัดความอีกครั้ง มันสำคัญมาก!

ในระหว่างนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะที่ไม่พึงประสงค์อย่างหนึ่งของรูท เนื่องจากเราจำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความแยกต่างหากสำหรับตัวบ่งชี้คู่และคี่

ทำไมเราถึงต้องการรากเลย?

หลังจากอ่านคำจำกัดความแล้ว นักเรียนหลายคนจะถามว่า "นักคณิตศาสตร์สูบบุหรี่อะไรเมื่อคิดแบบนี้" อันที่จริง: ทำไมเราถึงต้องการรากเหล่านี้ทั้งหมดเลย?

เพื่อตอบคำถามนี้ ย้อนกลับไปสักครู่เพื่อ ชั้นประถมศึกษา... ข้อควรจำ: ในช่วงเวลาอันห่างไกล เมื่อต้นไม้เขียวขจีและมีรสชาติเกี๊ยวมากกว่า ความกังวลหลักของเราคือต้องคูณตัวเลขให้ถูกต้อง ก็ประมาณว่า "ห้า คูณ ห้า - ยี่สิบห้า" เท่านั้น แต่คุณสามารถคูณตัวเลขได้ไม่ใช่เป็นคู่ แต่คูณด้วยสามเท่า สี่และโดยทั่วไปแล้วทั้งเซต:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ end (จัดตำแหน่ง) \]

อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ประเด็น เคล็ดลับแตกต่างออกไป นักคณิตศาสตร์เป็นคนเกียจคร้าน ดังนั้นพวกเขาจึงต้องจดการคูณสิบห้าดังนี้:

ดังนั้นพวกเขาจึงได้รับปริญญา ทำไมไม่ยกจำนวนปัจจัยแทนสตริงที่ยาว? แบบนี้:

สะดวกมาก! การคำนวณทั้งหมดลดลงหลายครั้ง และคุณไม่จำเป็นต้องเปลืองกระดาษแผ่นใหญ่ในสมุดจด 5,183 แผ่น บันทึกดังกล่าวเรียกว่าระดับของจำนวนพวกเขาพบคุณสมบัติมากมายในนั้น แต่ความสุขกลับกลายเป็นว่าอายุสั้น

หลังจากดื่มสุราครั้งใหญ่ ซึ่งจัดขึ้นเกี่ยวกับ "การค้นพบ" องศา นักคณิตศาสตร์ที่ดื้อรั้นโดยเฉพาะก็ถามขึ้นทันทีว่า "จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรารู้ระดับของตัวเลข แต่เราไม่รู้จำนวนนั้นเอง" ทีนี้ จริงๆ แล้ว ถ้าเรารู้ว่าตัวเลขที่แน่นอน $ b $ เช่น ในยกกำลังที่ 5 ให้ 243 แล้วเราจะเดาได้อย่างไรว่าตัว $ b $ เองนั้นมีค่าเท่ากับอะไร?

ปัญหานี้กลายเป็นปัญหาระดับโลกมากกว่าที่จะเห็นได้ในแวบแรก เนื่องจากปรากฎว่าสำหรับองศา "พร้อม" ส่วนใหญ่ไม่มีตัวเลข "เริ่มต้น" ดังกล่าว ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & ((b) ^ (3)) = 27 \ ลูกศรขวา b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ ลูกศรขวา b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ ลูกศรขวา b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ ลูกศรขวา b = 4 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

เกิดอะไรขึ้นถ้า $ ((b) ^ (3)) = $ 50? ปรากฎว่าคุณต้องหาจำนวนหนึ่งซึ่งคูณสามด้วยตัวมันเองจะได้ 50 แต่ตัวเลขนี้คืออะไร? ชัดเจนมากกว่า 3 เนื่องจาก 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. นั่นคือ. ตัวเลขนี้อยู่ที่ไหนสักแห่งระหว่างสามถึงสี่ แต่สิ่งที่มีค่าเท่ากับ - มะเดื่อ คุณจะเข้าใจ

ด้วยเหตุนี้เองที่นักคณิตศาสตร์ได้ประดิษฐ์รากของระดับ $ n $ -th นี่คือสาเหตุที่สัญลักษณ์ราก $ \ sqrt (*) $ ถูกนำมาใช้ เพื่อกำหนดจำนวน $ b $ ซึ่งในระดับที่กำหนดจะให้ค่าที่เราทราบก่อนหน้านี้

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ ลูกศรขวา ((b) ^ (n)) = a \]

ฉันไม่เถียง: รากเหล่านี้มักจะนับได้ง่าย - เราได้เห็นตัวอย่างข้างต้นหลายตัวอย่างแล้ว อย่างไรก็ตาม ในกรณีส่วนใหญ่ หากคุณเดาตัวเลขตามอำเภอใจแล้วพยายามแยกรากตามอำเภอใจออกจากตัวเลขนั้น แสดงว่าคุณอยู่ในสถานะคนเกียจคร้านที่โหดร้าย

มีอะไร! แม้แต่ $ \ sqrt (2) $ ที่ง่ายและคุ้นเคยที่สุดก็ไม่สามารถแสดงในรูปแบบปกติของเรา - เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน และถ้าคุณพิมพ์ตัวเลขนี้ลงในเครื่องคิดเลข คุณจะเห็นสิ่งนี้:

\ [\ sqrt (2) = 1.414213562 ... \]

อย่างที่คุณเห็น หลังจากเครื่องหมายจุลภาค จะมีลำดับของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดซึ่งไม่เป็นไปตามตรรกะใดๆ คุณสามารถปัดเศษตัวเลขนี้เพื่อเปรียบเทียบกับตัวเลขอื่นได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น:

\ [\ sqrt (2) = 1.4142 ... \ ประมาณ 1.4 \ lt 1.5 \]

หรือนี่คือตัวอย่างอื่น:

\ [\ sqrt (3) = 1.73205 ... \ ประมาณ 1.7 \ gt 1.5 \]

แต่การปัดเศษทั้งหมดนี้ ประการแรก ค่อนข้างหยาบ และประการที่สอง คุณต้องสามารถทำงานกับค่าโดยประมาณได้ มิฉะนั้น คุณสามารถตรวจจับข้อผิดพลาดที่ไม่ชัดเจนได้มากมาย (อย่างไรก็ตาม ทักษะการเปรียบเทียบและการปัดเศษเป็นข้อบังคับในการสอบโปรไฟล์)

ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่มีราก - พวกมันเป็นตัวแทนเท่ากันของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด $ \ mathbb (R) $ เช่นเศษส่วนและจำนวนเต็มที่เราคุ้นเคยกันมานาน

ความเป็นไปไม่ได้ในการแสดงรูทเป็นเศษส่วนของรูปแบบ $ \ frac (p) (q) $ หมายความว่ารูทนี้ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ และไม่สามารถแสดงได้อย่างถูกต้อง ยกเว้นโดยใช้รากศัพท์หรือโครงสร้างที่ออกแบบมาเป็นพิเศษอื่นๆ (ลอการิทึม องศา ลิมิต ฯลฯ) แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับที่อีกครั้ง

ลองพิจารณาตัวอย่างบางส่วนที่หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้ว จำนวนอตรรกยะจะยังคงอยู่ในคำตอบ

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ ประมาณ 2,236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ ประมาณ -1.2599 ... \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

โดยธรรมชาติตาม รูปร่างแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเดาว่าตัวเลขใดจะมาหลังจุดทศนิยม อย่างไรก็ตาม คุณสามารถวางใจได้กับเครื่องคิดเลข แต่แม้แต่เครื่องคำนวณวันที่ที่สมบูรณ์แบบที่สุดก็ยังให้ตัวเลขสองสามหลักแรกของจำนวนอตรรกยะแก่เรา ดังนั้นจึงถูกต้องกว่ามากที่จะเขียนคำตอบในรูปแบบของ $ \ sqrt (5) $ และ $ \ sqrt (-2) $

นั่นเป็นเหตุผลที่พวกเขาถูกคิดค้น เพื่อสะดวกบันทึกคำตอบของคุณ

เหตุใดจึงต้องมีคำจำกัดความสองคำ

ผู้อ่านที่ใส่ใจอาจสังเกตเห็นแล้วว่ารากที่สองทั้งหมดที่ให้ไว้ในตัวอย่างนั้นมาจาก ตัวเลขบวก... เป็นทางเลือกสุดท้ายตั้งแต่เริ่มต้น แต่รากที่สามนั้นถูกสกัดอย่างใจเย็นจากจำนวนใด ๆ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวกหรือค่าลบ

ทำไมมันเกิดขึ้น? ดูกราฟของฟังก์ชัน $ y = ((x) ^ (2)) $:

ลองคำนวณ $ \ sqrt (4) $ โดยใช้กราฟนี้ สำหรับสิ่งนี้ เส้นแนวนอน $ y = 4 $ ถูกวาดบนแผนภูมิ (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง) ซึ่งตัดกับพาราโบลาที่จุดสองจุด: $ ((x) _ (1)) = 2 $ และ $ ((x) _ (2)) = -2 $ มันค่อนข้างสมเหตุสมผลตั้งแต่

ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลขแรก - เป็นค่าบวกดังนั้นจึงเป็นรูท:

แต่จะทำอย่างไรกับจุดที่สอง? เหมือนสี่มีสองรากพร้อมกัน? ท้ายที่สุด ถ้าเรายกกำลังสองจำนวน −2 เราก็ได้ 4 เช่นกัน ทำไมไม่เขียน $ \ sqrt (4) = - 2 $? และทำไมครูถึงดูบันทึกราวกับว่าพวกเขาต้องการจะกินคุณ :)

ปัญหาคือหากไม่มีการกำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม สี่จะมีรากที่สองสองค่า - บวกและลบ และจำนวนบวกใดๆ จะมีสองด้วย แต่ตัวเลขติดลบจะไม่มีรากเลย - เห็นได้จากกราฟเดียวกัน เนื่องจากพาราโบลาไม่เคยอยู่ต่ำกว่าแกน y, เช่น. ไม่ยอมรับค่าลบ

ปัญหาที่คล้ายกันเกิดขึ้นกับรูททั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังคู่:

1. กล่าวโดยเคร่งครัดว่าจำนวนบวกแต่ละจำนวนจะมีรากที่สองที่มีเลขชี้กำลังคู่ $ n $;
2. จากจำนวนลบ รากที่มีแม้แต่ $ n $ จะไม่ถูกแยกออกมาเลย

นั่นคือเหตุผลที่ในคำจำกัดความของรากของกำลังคู่ของ $ n $ มีการกำหนดไว้เป็นพิเศษว่าคำตอบจะต้องเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ นี่คือวิธีที่เรากำจัดความคลุมเครือ

แต่สำหรับคี่ $ n $ ไม่มีปัญหาดังกล่าว ในการตรวจสอบนี้ ให้ดูกราฟของฟังก์ชัน $ y = ((x) ^ (3)) $:

จากกราฟนี้สามารถสรุปได้สองประการ:

1. กิ่งก้านของพาราโบลาลูกบาศก์ตรงกันข้ามกับกิ่งปกติไปที่อนันต์ทั้งสองทิศทาง - ทั้งขึ้นและลง ดังนั้น ไม่ว่าเราจะวาดเส้นแนวนอนที่ความสูงเท่าใด เส้นนี้จำเป็นต้องตัดกับกราฟของเรา ดังนั้น รากที่สามสามารถแยกได้จากจำนวนเท่าใดก็ได้
2. นอกจากนี้ทางแยกดังกล่าวจะเป็นทางเดียวเสมอ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องคิดว่าหมายเลขใดที่จะต้องพิจารณารากที่ "ถูกต้อง" และหมายเลขใดที่จะทำคะแนน นั่นคือเหตุผลที่คำจำกัดความของรูตสำหรับดีกรีระดับคี่นั้นง่ายกว่าสำหรับระดับคี่ (ไม่มีข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธ)

น่าเสียดายที่เรื่องง่ายๆ เหล่านี้ไม่ได้อธิบายไว้ในหนังสือเรียนส่วนใหญ่ ในทางกลับกัน สมองเริ่มลอยมาหาเราด้วยรากของเลขคณิตและคุณสมบัติของมัน

ใช่ฉันไม่เถียง: รูทเลขคณิตคืออะไร - คุณต้องรู้ด้วย และฉันจะกล่าวถึงรายละเอียดนี้ในบทช่วยสอนแยกต่างหาก วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องนี้กันด้วย เพราะถ้าไม่มีมัน ความคิดทั้งหมดเกี่ยวกับรากของ $ n $ -th multiplicity ก็จะไม่สมบูรณ์

แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจคำจำกัดความที่ฉันให้ไว้ข้างต้นอย่างชัดเจน มิฉะนั้น เนื่องจากเงื่อนไขมากมาย ความยุ่งเหยิงดังกล่าวจะเริ่มขึ้นในหัวของคุณจนในที่สุดคุณจะไม่เข้าใจอะไรเลย

สิ่งที่คุณต้องทำคือเข้าใจความแตกต่างระหว่างตัวบ่งชี้คู่และคี่ อีกครั้ง มารวบรวมทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับรูทเข้าด้วยกัน:

1. รูทคู่นั้นมาจากจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบเท่านั้น และตัวมันเองจะเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบเสมอ สำหรับจำนวนลบ รูทดังกล่าวไม่ได้กำหนดไว้
2. แต่รากของระดับคี่นั้นมาจากตัวเลขใดๆ และตัวมันเองสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้: สำหรับจำนวนบวก จะเป็นค่าบวก และสำหรับจำนวนลบ ตามที่ cap บอกเป็นนัยเป็นค่าลบ

มันยากไหม? ไม่ ไม่ยาก ชัดเจน? ใช่ โดยทั่วไปแล้ว มันชัดเจน! ตอนนี้เราจะมาฝึกการคำนวณกัน

คุณสมบัติพื้นฐานและข้อจำกัด

รากมีคุณสมบัติและข้อ จำกัด แปลก ๆ มากมาย - จะมีบทเรียนแยกต่างหากเกี่ยวกับเรื่องนี้ ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ "เคล็ดลับ" ที่สำคัญที่สุดซึ่งใช้กับรากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันเท่านั้น ลองเขียนคุณสมบัตินี้ในรูปแบบของสูตร:

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ ซ้าย | x \ ขวา | \]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณเพิ่มจำนวนเป็นยกกำลังคู่ แล้วดึงรากของกำลังเดียวกันออกจากค่านี้ เราจะไม่ได้จำนวนเดิม แต่เป็นโมดูลัส นี่เป็นทฤษฎีบทง่ายๆ ที่พิสูจน์ได้ง่าย (การพิจารณาแยก $ x $ ที่ไม่เป็นลบ แล้วแยกกัน - ค่าลบ) ครูพูดถึงมันอย่างต่อเนื่องพวกเขาให้ไว้ในตำราเรียนทุกเล่ม แต่ทันทีที่มันต้องแก้สมการอตรรกยะ (นั่นคือ สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์) นักเรียนก็ลืมสูตรนี้ไปอย่างสนิทสนม

เพื่อให้เข้าใจคำถามโดยละเอียด ลืมสูตรทั้งหมดสักครู่แล้วลองนับตัวเลขสองตัวข้างหน้า:

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ ซ้าย (-3 \ ขวา)) ^ (4))) =? \]

นี้มันมาก ตัวอย่างง่ายๆ... ตัวอย่างแรกจะได้รับการแก้ไขโดยคนส่วนใหญ่ แต่ในครั้งที่สอง หลายคนจะคงอยู่ต่อไป เพื่อแก้ปัญหาอึดังกล่าวโดยไม่มีปัญหา ให้พิจารณาลำดับของการกระทำเสมอ:

1. ขั้นแรก ตัวเลขจะเพิ่มเป็นยกกำลังสี่ มันค่อนข้างง่าย คุณจะได้รับหมายเลขใหม่ ซึ่งสามารถพบได้แม้ในตารางสูตรคูณ
2. และตอนนี้ จากหมายเลขใหม่นี้ จำเป็นต้องแยกรากที่สี่ เหล่านั้น. ไม่มี "การลด" ของรากและองศาเกิดขึ้น - สิ่งเหล่านี้เป็นการกระทำที่ต่อเนื่องกัน

เราทำงานกับนิพจน์แรก: $ \ sqrt ((3) ^ (4))) $ เห็นได้ชัดว่าคุณต้องคำนวณนิพจน์ภายใต้รูทก่อน:

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

จากนั้นเราแยกรากที่สี่ของหมายเลข 81:

ทีนี้ ลองทำแบบเดียวกันกับนิพจน์ที่สอง อันดับแรก เราเพิ่มจำนวน -3 ยกกำลังสี่ ซึ่งเราต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง:

\ [((\ ซ้าย (-3 \ ขวา)) ^ (4)) = \ ซ้าย (-3 \ ขวา) \ cdot \ ซ้าย (-3 \ ขวา) \ cdot \ ซ้าย (-3 \ ขวา) \ cdot \ ซ้าย (-3 \ ขวา) = 81 \]

เราได้จำนวนบวก เนื่องจากจำนวน minuses ทั้งหมดในการทำงานคือ 4 ชิ้น และทั้งหมดจะถูกทำลายร่วมกัน (หลังจากทั้งหมด ลบ ลบ ให้บวก) จากนั้นเราแยกรูทอีกครั้ง:

โดยหลักการแล้ว บรรทัดนี้ไม่สามารถเขียนได้ เนื่องจากไม่ต้องคิดมากว่าคำตอบจะเหมือนเดิม เหล่านั้น. รากที่เท่ากันของพลังเดียวกัน "เผาผลาญ" minuses และในแง่นี้ผลลัพธ์จะแยกไม่ออกจากโมดูลัสปกติ:

\ [\ start (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt ((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ ขวา | = 3; \\ & \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) = \ left | -3 \ ขวา | = 3 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

การคำนวณเหล่านี้สอดคล้องกับคำจำกัดความของรูทคู่: ผลลัพธ์จะไม่เป็นค่าลบเสมอ และภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ จะมีจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ มิฉะนั้น รูทจะไม่ได้กำหนดไว้

หมายเหตุขั้นตอน

1. สัญกรณ์ $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ หมายความว่าอันดับแรกเราจะยกกำลังสองจำนวน $ a $ จากนั้นเราแยกสแควร์รูทออกจากค่าผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงมั่นใจได้ว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบจะอยู่ใต้เครื่องหมายรูทเสมอ เนื่องจาก $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ ไม่ว่าในกรณีใด
2. แต่เร็กคอร์ด $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $ ตรงกันข้าม หมายความว่าอันดับแรกเราแยกรูทออกจากตัวเลขที่กำหนด $ a $ จากนั้นยกกำลังสองผลลัพธ์ ดังนั้นจำนวน $ a $ ไม่ว่าในกรณีใด ๆ สามารถเป็นค่าลบได้ - นี่เป็นข้อกำหนดบังคับในคำจำกัดความ

ดังนั้น ไม่ว่าในกรณีใด คุณไม่ควรลดรากและองศาโดยไม่ตั้งใจ ด้วยเหตุนี้จึงควร "ลดความซับซ้อน" ของนิพจน์ดั้งเดิม เพราะถ้ามีเลขติดลบอยู่ใต้รูท และเลขชี้กำลังเป็นคู่ เราก็เจอปัญหามากมาย

อย่างไรก็ตาม ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องเฉพาะกับอินดิเคเตอร์แบบคู่เท่านั้น

การลบเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายรูต

โดยปกติรากที่มีตัวบ่งชี้คี่ก็มีตัวนับของตัวเองซึ่งโดยหลักการแล้วไม่มีอยู่จริงสำหรับตัวคู่ กล่าวคือ:

\ [\ sqrt (-a) = - \ sqrt (a) \]

กล่าวโดยย่อ คุณสามารถนำเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายของดีกรีระดับคี่ได้ นี่เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากที่ช่วยให้คุณ "ทิ้ง" minuses ทั้งหมดออก:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ ซ้าย (- \ sqrt (32) \ ขวา) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6 \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

คุณสมบัติที่เรียบง่ายนี้ช่วยลดความยุ่งยากในการคำนวณจำนวนมาก ตอนนี้ ไม่จำเป็นต้องเป็นกังวล: จะเกิดอะไรขึ้นถ้านิพจน์เชิงลบเล็ดลอดใต้รูท และระดับที่รูทกลายเป็นคู่กันล่ะ แค่ "โยน" minuses ทั้งหมดออกไปนอกรากก็เพียงพอแล้ว หลังจากนั้นก็สามารถคูณกันได้ แบ่งออกและโดยทั่วไปทำสิ่งน่าสงสัยมากมายที่รับประกันว่าในกรณีของราก "คลาสสิก" จะนำเราไปสู่ ความผิดพลาด.

และในที่นี้ก็มีคำจำกัดความอื่นเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งเป็นความหมายเดียวกับที่โรงเรียนส่วนใหญ่เริ่มศึกษาสำนวนที่ไม่ลงตัว และหากปราศจากเหตุผลของเราก็จะไม่สมบูรณ์ ได้โปรด ยินดีต้อนรับ!

รากเลขคณิต

สมมติครู่หนึ่งว่าสามารถมีได้เฉพาะจำนวนบวกภายใต้เครื่องหมายรูท หรือไม่เกินศูนย์ ลืมตัวบ่งชี้คู่ / คี่ ลืมคำจำกัดความทั้งหมดที่ระบุข้างต้น - เราจะทำงานกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แล้วไง?

แล้วเราก็ได้รูทเลขคณิต - มันทับซ้อนกับคำจำกัดความ "มาตรฐาน" ของเราบางส่วน แต่ก็ยังแตกต่างไปจากนั้น

คำนิยาม. รากเลขคณิตของระดับ $ n $ -th ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ $ a $ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ $ b $ โดยที่ $ ((b) ^ (n)) = a $

อย่างที่คุณเห็น เราไม่สนใจความเท่าเทียมกันอีกต่อไป แต่มีข้อ จำกัด ใหม่ปรากฏขึ้น: นิพจน์รุนแรงตอนนี้ไม่เป็นลบเสมอ และตัวรูทเองก็ไม่เป็นลบเช่นกัน

เพื่อให้เข้าใจมากขึ้นว่ารากเลขคณิตแตกต่างจากปกติอย่างไร ให้ดูที่กราฟพาราโบลากำลังสองและลูกบาศก์พาราโบลาที่คุ้นเคยอยู่แล้ว:

อย่างที่คุณเห็น จากนี้ไปเราสนใจเฉพาะส่วนต่างๆ ของกราฟที่อยู่ในไตรมาสแรกของพิกัด - โดยที่พิกัด $ x $ และ $ y $ เป็นค่าบวก (หรืออย่างน้อยศูนย์) คุณไม่จำเป็นต้องดูตัวบ่งชี้อีกต่อไปเพื่อทำความเข้าใจว่าเรามีสิทธิ์รูทจำนวนลบหรือไม่ เพราะตัวเลขติดลบจะไม่ถูกพิจารณาในหลักการอีกต่อไป

คุณอาจถามว่า: "ทำไมเราต้องมีคำจำกัดความตอนดังกล่าว?" หรือ: "ทำไมคุณไม่สามารถใช้คำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ข้างต้นได้"

ฉันจะให้พร็อพเพอร์ตี้เพียงรายการเดียว เนื่องจากคำจำกัดความใหม่จึงเหมาะสม ตัวอย่างเช่น กฎสำหรับการยกกำลังคือ:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

โปรดทราบ: เราสามารถยกพจน์รากเป็นกำลังใดๆ และในขณะเดียวกันก็คูณเลขชี้กำลังรากด้วยกำลังเดียวกัน - และผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกัน! นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

แล้วเรื่องใหญ่คืออะไร? ทำไมเราไม่ได้ทำก่อนหน้านี้? นี่คือเหตุผล พิจารณานิพจน์ง่ายๆ: $ \ sqrt (-2) $ - ตัวเลขนี้ค่อนข้างปกติในความหมายดั้งเดิมของเรา แต่ไม่สามารถยอมรับได้อย่างแน่นอนจากมุมมองของรูทเลขคณิต มาลองแปลงร่างกัน:

$ \ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ left (-2 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) $

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรก เราลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายกรณฑ์ (เรามีสิทธิทุกอย่าง เนื่องจากตัวบ่งชี้เป็นเลขคี่) และในวินาที เราใช้สูตรข้างต้น เหล่านั้น. จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ทุกสิ่งทุกอย่างทำตามกฎเกณฑ์

ว้าว! จำนวนเดียวกันจะเป็นทั้งบวกและลบได้อย่างไร? ไม่มีทาง. เพียงแต่ว่าสูตรการยกกำลัง ซึ่งใช้ได้ผลดีกับจำนวนบวกและศูนย์ เริ่มให้ความนอกรีตสมบูรณ์ในกรณีของจำนวนลบ

เพื่อขจัดความกำกวมดังกล่าว พวกเขาจึงสร้างรากเลขคณิตขึ้นมา บทเรียนสำคัญแยกต่างหากมีไว้สำหรับพวกเขาซึ่งเราพิจารณารายละเอียดคุณสมบัติทั้งหมดของพวกเขาอย่างละเอียด ดังนั้นตอนนี้เราจะไม่พูดถึงพวกเขา - บทเรียนนั้นยาวเกินไปแล้ว

รากพีชคณิต: สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม

คิดอยู่นานว่าจะใส่หัวข้อนี้ในย่อหน้าแยกกันหรือไม่ ในที่สุด ฉันตัดสินใจออกจากที่นี่ เนื้อหานี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการทำความเข้าใจรากเหง้าให้ดียิ่งขึ้น - ไม่ใช่ในระดับ "โรงเรียน" โดยเฉลี่ย แต่อยู่ในระดับที่ใกล้เคียงกับระดับโอลิมปิก

ดังนั้น: นอกเหนือจากคำจำกัดความ "คลาสสิก" ของรูทของระดับ $ n $ -th จากตัวเลขและการหารที่เกี่ยวข้องในตัวบ่งชี้คู่และคี่ มีคำจำกัดความ "สำหรับผู้ใหญ่" มากกว่าที่ไม่ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันและอื่น ๆ รายละเอียดปลีกย่อยเลย นี้เรียกว่ารากเกี่ยวกับพีชคณิต

คำนิยาม. รากพีชคณิตของระดับ $ n $ ของ $ a $ ใดๆ คือเซตของตัวเลขทั้งหมด $ b $ โดยที่ $ ((b) ^ (n)) = a $ ไม่มีการกำหนดที่ชัดเจนสำหรับรากดังกล่าว ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายขีดไว้ด้านบน:

\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ right \) \]

ความแตกต่างพื้นฐานจากคำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ตอนต้นของบทเรียนคือ รากเกี่ยวกับพีชคณิตไม่ใช่ตัวเลขเฉพาะ แต่เป็นเซต และเนื่องจากเราทำงานกับจำนวนจริง ชุดนี้จึงมีเพียงสามประเภท:

1. ชุดเปล่า. เกิดขึ้นเมื่อจำเป็นต้องค้นหารากเกี่ยวกับพีชคณิตของดีกรีคู่จากจำนวนลบ
2. ชุดประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว รากขององศาคี่ทั้งหมด เช่นเดียวกับรากขององศาคู่จากศูนย์ จะจัดอยู่ในหมวดหมู่นี้
3. สุดท้าย ชุดสามารถมีตัวเลขสองตัว - เหมือนกัน $ ((x) _ (1)) $ และ $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $ ซึ่งเราเห็น ฟังก์ชันกราฟกำลังสอง ดังนั้นการจัดตำแหน่งดังกล่าวจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อแยกรูทคู่ออกจากจำนวนบวกเท่านั้น

กรณีหลังสมควรได้รับการพิจารณาอย่างละเอียดมากขึ้น ลองนับสองสามตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง

ตัวอย่าง. ประเมินนิพจน์:

\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)) \]

สารละลาย. นิพจน์แรกนั้นง่าย:

\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]

เป็นตัวเลขสองตัวที่ประกอบเป็นเซต เพราะแต่ละคนในสี่เหลี่ยมให้สี่

\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ ซ้าย \ (-3 \ ขวา \) \]

ที่นี่เราเห็นชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขเดียวเท่านั้น สิ่งนี้ค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจากเลขชี้กำลังของรูทเป็นเลขคี่

สุดท้าย นิพจน์สุดท้าย:

\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

เราได้ชุดเปล่า เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียว ซึ่งเมื่อเพิ่มเป็นจำนวนที่สี่ (เช่น คู่!) องศาจะให้จำนวนลบ -16 แก่เรา

ข้อสังเกตสุดท้าย โปรดทราบ: ไม่ใช่โดยบังเอิญที่ฉันสังเกตเห็นทุกที่ที่เราทำงานกับตัวเลขจริง เนื่องจากมีตัวเลขเชิงซ้อน - มีความเป็นไปได้ค่อนข้างมากที่จะนับ $ \ sqrt (-16) $ และของแปลกอื่นๆ มากมาย

อย่างไรก็ตาม ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนสมัยใหม่นั้น แทบจะไม่เคยพบตัวเลขที่ซับซ้อนเลย พวกเขาถูกลบออกจากตำราเรียนส่วนใหญ่เนื่องจากเจ้าหน้าที่ของเราพิจารณาว่าหัวข้อนี้ "เข้าใจยากเกินไป"

นั่นคือทั้งหมดที่ ในบทต่อไป เราจะดูคุณสมบัติหลักทั้งหมดของรูท และสุดท้ายได้เรียนรู้วิธีการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว :)

สูตรพลังใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อน ในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น NS- เลขยกกำลังตัวที่ NSเมื่อไร:

การดำเนินงานที่มีองศา

1. การคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้รวมกัน:

เป็นน = ม. + น.

2. ในการแบ่งองศาที่มีฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกลบ:

3. ดีกรีของผลคูณของปัจจัยตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป เท่ากับผลคูณของดีกรีของปัจจัยเหล่านี้:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. ยกกำลังเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนกำลังเงินปันผลและตัวหาร:

(a / b) n = a n / b n.

5. การเพิ่มดีกรีเป็นดีกรี เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

(a m) n = a m n.

สูตรข้างต้นแต่ละสูตรเป็นจริงในทิศทางจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

การดำเนินการรูท

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายตัวเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของความสัมพันธ์เท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อทำการรูทเป็นพาวเวอร์ มันก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มจำนวนรูทเป็นพาวเวอร์นี้:

4. หากคุณเพิ่มระดับของรากใน NSครั้งเดียวและในขณะเดียวกันก็สร้างใน NS- ยกกำลังของหมายเลขรูท ค่ารูทจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5. ถ้าคุณลดระดับของรากใน NSครั้งเดียวและในเวลาเดียวกันแยกราก NS- ยกกำลัง th ของจำนวนราก ค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังติดลบกำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นบวก (ทั้งหมด) ถูกกำหนดให้เป็นหน่วยหารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกันที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ตัวบ่งชี้ที่ไม่เป็นบวก:

สูตร เป็น: a n = a m - nสามารถใช้ได้ไม่เฉพาะสำหรับ NS> NSแต่ยังอยู่ที่ NS< NS.

ตัวอย่างเช่น. NS4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

เพื่อให้สูตร เป็น: a n = a m - nยุติธรรมเมื่อ ม = นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์

เกรดศูนย์.ยกกำลังของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

เลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อสร้างจำนวนจริง NSในระดับ ม. / น, คุณต้องแยกรูท NS- องศาของ NS-กำลังที่เลขนี้ NS.

ฉันมองไปที่ป้ายอีกครั้ง ... และไปกันเถอะ!

มาเริ่มกันง่ายๆ ก่อน:

แค่นาทีเดียว นี่ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเขียนแบบนี้:

เข้าใจแล้ว? นี่คือสิ่งต่อไปสำหรับคุณ:

รากของตัวเลขผลลัพธ์ไม่ได้ถูกแยกออกมาอย่างแน่นอน? ไม่สำคัญ นี่คือตัวอย่างบางส่วน:

แต่ถ้าปัจจัยไม่ใช่สองแต่มากกว่านั้นล่ะ? เหมือนกัน! สูตรการคูณรูทใช้ได้กับหลายปัจจัย:

ตอนนี้อย่างสมบูรณ์ด้วยตัวฉันเอง:

คำตอบ:ทำได้ดี! เห็นด้วย ทุกอย่างง่ายมาก สิ่งสำคัญคือต้องรู้ตารางสูตรคูณ!

กองราก

เราหาการคูณของรากได้แล้ว ทีนี้มาดูคุณสมบัติของการหารกัน

ผมขอเตือนคุณว่าสูตรโดยทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

หมายความว่า รากของผลหารเท่ากับผลหารของราก

ลองคิดดูด้วยตัวอย่าง:

นั่นคือวิทยาศาสตร์ทั้งหมด นี่คือตัวอย่าง:

ทุกอย่างไม่ราบรื่นเหมือนในตัวอย่างแรก แต่อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อน

แต่ถ้าเกิดการแสดงออกเช่นนี้:

คุณเพียงแค่ต้องใช้สูตรในทิศทางตรงกันข้าม:

และนี่คือตัวอย่าง:

คุณยังสามารถเจอนิพจน์นี้:

ทุกอย่างเหมือนเดิม เฉพาะที่นี่คุณต้องจำวิธีการแปลเศษส่วน (หากคุณจำไม่ได้ ให้มองเข้าไปในหัวข้อแล้วกลับมาใหม่!) จำได้ไหม ตอนนี้เราตัดสินใจแล้ว!

ฉันแน่ใจว่าคุณได้รับมือกับทุกสิ่ง ทุกอย่าง ตอนนี้มาพยายามสร้างรากในระดับดี

การยกกำลัง

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าสแควร์รูทเป็นกำลังสอง? ง่ายมาก จำความหมายของสแควร์รูทของตัวเลข - นี่คือตัวเลขที่สแควร์รูทเท่ากับ

แล้วถ้าเราเพิ่มจำนวนที่มีรากที่สองเท่ากับกำลังสอง แล้วเราจะได้อะไร?

แน่นอน !

ลองดูตัวอย่าง:

มันง่ายใช่มั้ย? และถ้ารูทอยู่ในองศาที่ต่างออกไป? ไม่เป็นไร!

ทำตามตรรกะเดียวกันและจดจำคุณสมบัติและการดำเนินการที่เป็นไปได้ด้วยองศา

อ่านทฤษฎีในหัวข้อ "" แล้วทุกอย่างจะชัดเจนสำหรับคุณ

ตัวอย่างเช่น นี่คือนิพจน์:

ในตัวอย่างนี้ ดีกรีเป็นคู่ แต่ถ้าเป็นคี่ล่ะ ใช้คุณสมบัติพลังงานและปัจจัยทุกอย่างอีกครั้ง:

ด้วยวิธีนี้ ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่จะแยกรากของตัวเลขเป็นยกกำลังได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น นี่คือ:

ค่อนข้างง่ายใช่มั้ย? และถ้าปริญญามากกว่าสอง? เราปฏิบัติตามตรรกะเดียวกันโดยใช้คุณสมบัติระดับ:

ทุกอย่างชัดเจนหรือไม่? จากนั้นแก้ตัวอย่างด้วยตัวเอง:

และนี่คือคำตอบ:

บทนำภายใต้เครื่องหมายรูต

เราไม่ได้เรียนรู้จะทำอย่างไรกับราก! ยังคงเป็นเพียงการฝึกป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรูท!

มันเป็นเรื่องง่าย!

สมมุติว่าเรามีตัวเลข

เราจะทำอะไรกับมันได้บ้าง? แน่นอน ซ่อนทั้งสามไว้ใต้รูท โดยจำไว้ว่าทั้งสามเป็นรากที่สองของ!

ทำไมเราต้องการสิ่งนี้ ใช่ เพียงเพื่อเพิ่มความสามารถของเราเมื่อแก้ตัวอย่าง:

คุณชอบคุณสมบัติของรากนี้อย่างไร? มันทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก? สำหรับฉัน ถูกต้อง! เท่านั้น เราต้องจำไว้ว่าเราสามารถใส่จำนวนบวกภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เท่านั้น

แก้ตัวอย่างนี้ด้วยตัวคุณเอง -
คุณจัดการหรือไม่ มาดูกันว่าคุณควรได้อะไร:

ทำได้ดี! คุณสามารถป้อนหมายเลขภายใต้เครื่องหมายรูท! มาดูสิ่งที่สำคัญเท่าเทียมกัน - มาดูวิธีเปรียบเทียบตัวเลขที่มีรากที่สองกัน!

เปรียบเทียบราก

เหตุใดเราจึงควรเรียนรู้การเปรียบเทียบตัวเลขที่มีรากที่สอง

ง่ายมาก. บ่อยครั้งในสำนวนที่ยาวและยาวในข้อสอบ เราได้รับคำตอบที่ไม่มีเหตุผล (คุณจำได้ไหมว่ามันคืออะไร คุณและฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้ไปแล้วในวันนี้!)

เราจำเป็นต้องวางคำตอบที่ได้รับบนเส้นพิกัด เช่น เพื่อกำหนดช่วงเวลาที่เหมาะสมในการแก้สมการ และนี่คืออุปสรรค์: ไม่มีเครื่องคิดเลขในการสอบและถ้าไม่มีมันจะจินตนาการได้อย่างไรว่าจำนวนใดที่มากกว่าและน้อยกว่า แค่นั้นแหละ!

ตัวอย่างเช่น กำหนดว่าอันไหนมากกว่า: หรือ?

คุณไม่สามารถบอกได้ทันทีจากค้างคาว ลองใช้คุณสมบัติที่วิเคราะห์ของการป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทกัน?

จากนั้นไปข้างหน้า:

และแน่นอน ยิ่งตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทมากเท่าไร รูตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น!

เหล่านั้น. ถ้าอย่างนั้น.

จากนี้เราสรุปได้อย่างแน่วแน่ว่า และจะไม่มีใครโน้มน้าวใจเราเป็นอย่างอื่น!

สกัดรากจำนวนมาก

ก่อนหน้านั้นเราแนะนำปัจจัยภายใต้เครื่องหมายรูท แต่จะออกไปได้อย่างไร? คุณเพียงแค่ต้องแยกตัวประกอบและแยกสิ่งที่สกัดออกมา!

เป็นไปได้ที่จะใช้เส้นทางที่แตกต่างและแยกออกเป็นปัจจัยอื่น:

ไม่เลวใช่มั้ย วิธีการเหล่านี้ถูกต้อง ตัดสินใจว่าวิธีใดเหมาะกับคุณที่สุด

การแยกตัวประกอบมีประโยชน์มากเมื่อแก้ไขงานที่ไม่ได้มาตรฐานเช่นนี้

เราไม่กลัว แต่เราลงมือทำ! ให้เราแยกแต่ละปัจจัยภายใต้รากเป็นปัจจัยแยกกัน:

ตอนนี้ลองด้วยตัวเอง (ไม่มีเครื่องคิดเลข! จะไม่มีการสอบ):

นี่คือจุดสิ้นสุด? อย่าหยุดครึ่งทาง!

แค่นั้นไม่น่ากลัวใช่ไหม

เกิดขึ้น? ทำได้ดีมากถูกต้อง!

ทีนี้ลองแก้ตัวอย่างนี้:

และตัวอย่างคือน็อตที่ยากต่อการแตก ดังนั้นคุณจึงไม่สามารถหาวิธีรับมือได้ แต่แน่นอนว่าเราทำได้

มาเริ่มแฟคตอริ่งกันไหม สังเกตทันทีว่าคุณสามารถหารตัวเลขด้วย (จำเกณฑ์การหารได้):

ตอนนี้ ลองทำด้วยตัวเอง (อีกครั้งโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข!):

แล้วมันได้ผลเหรอ? ทำได้ดีมากถูกต้อง!

มาสรุปกัน

1. รากที่สอง (รากที่สองของเลขคณิต) ของจำนวนที่ไม่เป็นลบคือจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ
   .
2. ถ้าเราหาสแควร์รูทของบางอย่าง, เราจะได้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบเสมอ
3. คุณสมบัติของรากเลขคณิต:
4. เมื่อเปรียบเทียบรากที่สอง จะต้องจำไว้ว่ายิ่งจำนวนที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูทมากเท่าไร รูตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

คุณชอบสแควร์รูทอย่างไร? ชัดเจนทั้งหมด?

เราพยายามอธิบายให้คุณฟังโดยไม่ต้องให้น้ำทุกอย่างที่คุณจำเป็นต้องรู้ในการสอบรากที่สอง

ตอนนี้ถึงตาคุณแล้ว เขียนถึงเราว่าเป็นหัวข้อที่ยากสำหรับคุณหรือไม่

คุณได้เรียนรู้สิ่งใหม่หรือทุกอย่างชัดเจนแล้ว

เขียนความคิดเห็นและขอให้โชคดีในการสอบของคุณ!

หากต้องการใช้การดำเนินการแยกรูทในทางปฏิบัติให้สำเร็จ คุณต้องทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของการดำเนินการนี้
คุณสมบัติทั้งหมดได้รับการกำหนดสูตรและพิสูจน์เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่อยู่ภายใต้สัญลักษณ์ของราก

ทฤษฎีบทที่ 1 ราก nthองศา (n = 2, 3, 4, ...) จากผลคูณของชิปเซลล์ที่ไม่เป็นลบสองตัวเท่ากับผลคูณ รากของ nthพลังของตัวเลขเหล่านี้:

ความคิดเห็น:

1. ทฤษฎีบท 1 ยังคงใช้ได้สำหรับกรณีที่นิพจน์รากคือผลคูณของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบมากกว่าสองตัว

ทฤษฎีบท 2ถ้า, และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 จากนั้นความเท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบท 1 ทำให้เราสามารถคูณ m รากที่มีดีกรีเท่ากันเท่านั้น , เช่น. เฉพาะรากที่มีดัชนีเดียวกัน

ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า ,k เป็นจำนวนธรรมชาติและ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้วจึงเท่ากับ

กล่าวอีกนัยหนึ่งเพื่อสร้างรากใน องศาธรรมชาติ, ก็เพียงพอที่จะเพิ่มการแสดงออกที่รุนแรงถึงระดับนี้
นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบท 1 อันที่จริง ตัวอย่างเช่น สำหรับ k = 3 เราได้รับ: ในทำนองเดียวกัน เราสามารถให้เหตุผลในกรณีของค่าธรรมชาติอื่นๆ ของเลขชี้กำลัง k

ทฤษฎีบท 4 ถ้า ,k, n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้วจึงเท่ากับ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในการแยกรากออกจากราก ก็เพียงพอที่จะคูณดัชนีของราก
ตัวอย่างเช่น,

ระวัง!เราได้เรียนรู้ว่าการดำเนินการสี่อย่างสามารถทำได้บนรูท: การคูณ การหาร การยกกำลัง และการแยกรูท (จากรูท) แล้วการบวกและการลบของรากล่ะ? ไม่มีทาง.
ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเขียนไม่ได้ แน่นอน แต่เห็นได้ชัดว่า

ทฤษฎีบท 5 ถ้า ดัชนีของรูทและนิพจน์รากจะคูณหรือหารด้วยจำนวนธรรมชาติเดียวกัน จากนั้นค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 2คำนวณ
สารละลาย.แปลงจำนวนคละให้เป็นเศษเกิน.
เราใช้คุณสมบัติที่สองของรูท ( ทฤษฎีบท 2 ), เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 3คำนวณ:

สารละลาย.สูตรใดๆ ในพีชคณิต อย่างที่คุณรู้ ไม่เพียงแต่ใช้ “จากซ้ายไปขวา” แต่ยังใช้ “จากขวาไปซ้าย” ด้วย ดังนั้น คุณสมบัติแรกของรูทหมายความว่าสามารถแสดงในรูปแบบและในทางกลับกัน สามารถแทนที่ด้วยนิพจน์ได้ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่สองของรูท ด้วยเหตุนี้ เรามาทำการคำนวณกัน