ทรงรีของโลก แนวคิดของ geoid, quasi-geoid, ทรงรีของโลก ดูว่า "Ellipsoid ของ Krasovsky" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร

พื้นผิวของทรงรีของโลกถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนวงรีรอบแกนรองของมัน และมีพารามิเตอร์เดียวกันกับวงรีที่ก่อตัว วงรีคือตำแหน่งของจุด ผลรวมของระยะทางจากจุดคงที่สองจุดที่เรียกว่าจุดโฟกัสของจุดนั้นมีค่าคงที่และเท่ากับแกนหลักของวงรี

สมการวงรีในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมระนาบมีรูปแบบ

การหดตัวของขั้ว
; (2. 2)

ความเยื้องศูนย์
; (2. 3)

ความเยื้องศูนย์ที่สอง
. (2. 4)

ในการกำหนดพื้นผิวของวงรีของการปฏิวัติอย่างไม่น่าสงสัย จำเป็นต้องรู้พารามิเตอร์สองตัว โดยตัวหนึ่งต้องเป็นเส้นตรง การใช้นิพจน์ (2.3) - (2.4) ทำให้ง่ายต่อการรับสูตรสำหรับการเชื่อมต่อพารามิเตอร์ต่างๆ:

) =ก
=
;

;
;

;
.

สำหรับทรงรี Krasovsky ดังที่ทราบกันว่าเป็นแกนกึ่งเอก ก= 6 378 245 ม และ การหดตัวของขั้ว  = 1: 298. 3 , ซึ่งสามารถคำนวณได้ ค่าพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

ข = 6 356 863.0188ม;

= 0. 003 352 3299;

จ 2 = 0. 006 693 4216;

จ /2 = 0. 006 738 5254.

สำหรับการคำนวณโดยประมาณจะเป็นประโยชน์ในการจดจำค่าที่ปัดเศษของพารามิเตอร์ของทรงรีของโลก: ก6 400 กม. ก - ข21 กม.,1: 300 (310 -3), และ 2 e /2 21: 150 (710 -3)

1. ระบบพิกัดของภูมิมาตรศาสตร์ที่สูงขึ้นและความสัมพันธ์ระหว่างกัน

สมการของพื้นผิวของทรงรีของการปฏิวัติในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเชิงพื้นที่มีรูปแบบ

(3. 1)

Qnเป็นเรื่องปกติกับพื้นผิวทรงรี ณ จุดนั้น ถาม

ถ้าใน (3.1) เราใส่ x=0หรือ ย=0เราได้สมการของวงรีเส้นลมปราณ

;
.

หากเราใส่ z = 0 ในสมการ (3.1) เราจะได้สมการของเส้นศูนย์สูตรเนื้อที่ ซึ่งเป็นวงกลมรัศมี ก

หากพื้นผิวของทรงรีตัดกันด้วยระนาบ z = const เราจะได้รัศมีวงกลม รซึ่งเรียกว่าแนวขนานเนื้อที่ ตามมาว่าเส้นศูนย์สูตรเป็นเส้นขนานกับรัศมีที่ใหญ่ที่สุด ( ร = ก).

ในรูปที่ 3 2 เรามีระบบพิกัดที่กำหนดตำแหน่งของจุด Q บนวงรีเส้นแวง: สี่เหลี่ยมแบน x, ​​y; ละติจูดจีโอเดติก B; ละติจูด geocentric Ф - มุมที่เกิดจากเวกเตอร์รัศมี geocentric OQ กับระนาบเส้นศูนย์สูตร ละติจูดที่ลดลง คุณ - มุมที่เกิดจากส่วนของเส้นตรง Q 1 Q 2 O กับระนาบของเส้นศูนย์สูตรโดยที่ Q 1 และ Q 2 เป็นเส้นโครงของจุด Q บนวงกลมรัศมี กและ ขอธิบายรอบจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง

ทรงรีของโลกมีพารามิเตอร์หลักสามประการ โดยสองตัวใดตัวหนึ่งจะกำหนดรูปร่างของมันโดยเฉพาะ:

• แกนกึ่งเอก (รัศมีเส้นศูนย์สูตร) ​​ของทรงรี ก;
• แกนกึ่งรอง (รัศมีเชิงขั้ว) ข;
• การบีบอัดทางเรขาคณิต (ขั้วโลก) $f=\backslash frac(ก-ข)(ก)$.

นอกจากนี้ยังมีพารามิเตอร์อื่น ๆ ของทรงรี:

• ความเยื้องศูนย์ครั้งแรก $e=\backslash sqrt(\backslash frac(a^2-b^2)(a^2))=\backslash frac(\backslash sqrt(a^2-b^2))(a)$;
• ความเยื้องศูนย์ที่สอง $e"=\backslash sqrt(\backslash frac(a^2-b^2)(b^2))=\backslash frac(\backslash sqrt(a^2-b^2))(b)$.

สำหรับการใช้งานจริงของทรงรีของโลกนั้นเป็นสิ่งจำเป็น กำหนดทิศทางในร่างกายของโลก. ในกรณีนี้ จะมีการหยิบยกเงื่อนไขทั่วไป: การวางแนวจะต้องดำเนินการในลักษณะที่ทำให้ความแตกต่างในพิกัดทางดาราศาสตร์และภูมิศาสตร์มีน้อยที่สุด

อ้างอิงทรงรี

ตัวเลขของทรงรีอ้างอิงเหมาะที่สุดสำหรับอาณาเขตของประเทศเดียวหรือหลายประเทศ ตามกฎแล้ว ทรงรีอ้างอิงได้รับการยอมรับสำหรับการประมวลผลการวัดทางจีโอเดติก ตามกฎหมาย. ในรัสเซีย/สหภาพโซเวียต มีการใช้ทรงรี Krasovsky ตั้งแต่ปี 1946

การวางแนวของทรงรีอ้างอิงในร่างกายของโลกอยู่ภายใต้ข้อกำหนดต่อไปนี้:

1. กึ่งแกนรองของทรงรี ( ข) จะต้องขนานกับแกนการหมุนของโลก
2. พื้นผิวของทรงรีควรอยู่ใกล้กับพื้นผิวของ geoid ภายในขอบเขตที่กำหนดมากที่สุด

ในการแก้ไขทรงรีอ้างอิงในร่างกายของโลก จำเป็นต้องตั้งค่าพิกัดทางภูมิศาสตร์ B0, L0, H0จุดเริ่มต้นของเครือข่าย geodetic และราบเริ่มต้น A0ไปยังจุดที่อยู่ติดกัน จำนวนทั้งสิ้นของปริมาณเหล่านี้เรียกว่า วันที่ geodetic ดั้งเดิม.

ทรงรีอ้างอิงพื้นฐานและพารามิเตอร์

ทรงรีโลกทั่วไป

ทรงรีของโลกทั่วไปจะต้องอยู่ในทิศทางของร่างกายโลกตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

1. แกนกึ่งรองต้องตรงกับแกนการหมุนของโลก
2. จุดศูนย์กลางของทรงรีจะต้องตรงกับจุดศูนย์กลางมวลของโลก
3. ความสูงของ geoid เหนือทรงรี สวัสดี(ที่เรียกว่าความสูงผิดปกติ) จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขกำลังสองน้อยที่สุด: $\backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; h\_i^2\; =\; \backslash min$.

เมื่อกำหนดทิศทางทรงรีของโลกทั่วไปในร่างกายของโลก (ไม่เหมือนกับทรงรีอ้างอิง) ไม่จำเป็นต้องป้อนวันที่เชิงภูมิศาสตร์เริ่มต้น

เนื่องจากข้อกำหนดสำหรับทรงรีของโลกทั่วไปนั้นได้รับความพึงพอใจในทางปฏิบัติโดยมีความคลาดเคลื่อนอยู่บ้าง และการปฏิบัติตามอย่างหลัง (3) อย่างสมบูรณ์นั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นในธรณีวิทยาและวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง จึงสามารถใช้ทรงรีแบบต่าง ๆ ได้ พารามิเตอร์ที่ อยู่ใกล้กันมากแต่ไม่ตรงกัน (ดูด้านล่าง)

ทรงรีโลกทั่วไปสมัยใหม่และพารามิเตอร์

ดูสิ่งนี้ด้วย

เขียนบทวิจารณ์ในบทความ "Earth Ellipsoid"

ลิงค์

• ประวัติโดยย่อของวอลเบค วอลเบ็ค) เป็นภาษาอังกฤษ.)
• เลอ โพรเซส เด เอตัวล์ส 1735-1771 ASIN: B0000DTZN6
• เลอ โปรเซส เด เอตัวล์ ASIN: B0014LXB6O
• เลอ โปรเซส เด เอตัวล์ 1735-1771 ISBN 978-2-232-11862-3

ข้อความที่ตัดตอนมาซึ่งแสดงลักษณะทรงรีของโลก

“ มันเกิดขึ้นกับคุณ” นาตาชาพูดกับพี่ชายของเธอเมื่อพวกเขานั่งลงในห้องโซฟา“ มันเกิดขึ้นกับคุณโดยดูเหมือนว่าไม่มีอะไรเกิดขึ้น - ไม่มีอะไร; ความดีทั้งหมดนั้นคืออะไร? และไม่ใช่แค่น่าเบื่อ แต่เศร้าใช่ไหม?
- แล้วยังไง! - เขาพูดว่า. - เกิดขึ้นกับฉันว่าทุกอย่างเรียบร้อยดี ทุกคนร่าเริง แต่เกิดขึ้นกับฉันว่าทั้งหมดนี้เหนื่อยแล้วและทุกคนต้องตาย เมื่อฉันไม่ได้ไปเดินเล่นที่กองทหารและมีดนตรีเล่น ... และฉันก็รู้สึกเบื่อหน่าย ...
“อา ฉันรู้แล้ว ฉันรู้ ฉันรู้ - นาตาชาหยิบขึ้นมา “ฉันยังเด็กอยู่ ดังนั้นมันจึงเกิดขึ้นกับฉัน คุณจำได้ไหมว่าเมื่อพวกเขาลงโทษฉันเรื่องลูกพลัม และพวกคุณทุกคนก็เต้นรำ และฉันนั่งอยู่ในห้องเรียนและร้องไห้ ฉันจะไม่มีวันลืม: ฉันรู้สึกเศร้าและรู้สึกเสียใจสำหรับทุกคน และตัวฉันเอง และฉันรู้สึกเสียใจสำหรับทุกคน และที่สำคัญที่สุดคือฉันจะไม่ตำหนิ - นาตาชากล่าว - คุณจำได้ไหม?
“ ฉันจำได้” นิโคไลกล่าว - ฉันจำได้ว่าฉันมาหาคุณทีหลังและอยากปลอบใจคุณและฉันก็รู้สึกละอายใจ พวกเราตลกมาก ฉันมีของเล่นหัวกลมอยู่แล้ว และฉันก็อยากจะมอบมันให้กับคุณ คุณจำได้ไหม?
“ คุณจำได้ไหม” นาตาชาพูดด้วยรอยยิ้มครุ่นคิดนานมาแล้วเรายังเด็กมากลุงของเราเรียกเราเข้าไปในออฟฟิศกลับมาในบ้านเก่าและมันก็มืด - เรามาและทันใดนั้นมันก็เป็น ยืนอยู่ตรงนั้น...
“อารัป” นิโคไลจบด้วยรอยยิ้มอันสนุกสนาน “คุณจำไม่ได้ได้ยังไง? ตอนนี้ฉันไม่รู้ว่าเป็นชายผิวดำหรือเราเห็นมันในความฝันหรือมีคนบอกเรา
- เขาเทาจำไว้ฟันขาว - เขายืนมองเรา ...
คุณจำซอนย่าได้ไหม? นิโคลัสถาม...
“ ใช่ใช่ฉันก็จำอะไรบางอย่างได้เช่นกัน” Sonya ตอบอย่างขี้อาย ...
“ ฉันถามพ่อและแม่เกี่ยวกับอารัปนี้” นาตาชากล่าว “พวกเขาบอกว่าไม่มีอารัพ แต่คุณจำได้!
- ตอนนี้ฉันจำฟันของเขาได้อย่างไร
แปลกแค่ไหนก็เหมือนความฝัน ฉันชอบมัน.
- คุณจำได้ไหมว่าเรากลิ้งไข่ในห้องโถงได้อย่างไรและทันใดนั้นหญิงชราสองคนก็เริ่มหมุนบนพรม มันเป็นหรือไม่? จำได้ไหมว่ามันดีแค่ไหน?
- ใช่. คุณจำได้ไหมว่าพ่อในชุดคลุมสีน้ำเงินที่ระเบียงยิงปืน - พวกเขาเรียงลำดับความทรงจำ ยิ้มอย่างมีความสุข ไม่ใช่ความทรงจำเก่าๆ ที่น่าเศร้า แต่เป็นความทรงจำของวัยรุ่น ความประทับใจจากอดีตอันไกลโพ้นที่สุด ที่ซึ่งความฝันผสมผสานกับความเป็นจริง และหัวเราะอย่างเงียบ ๆ ชื่นชมยินดีกับบางสิ่ง
Sonya ก็ตามหลังพวกเขาเช่นเคยแม้ว่าความทรงจำของพวกเขาจะเป็นเรื่องธรรมดาก็ตาม
ซอนยาจำสิ่งที่พวกเขาจำได้ได้ไม่มากนัก และสิ่งที่เธอจำได้ไม่ได้กระตุ้นความรู้สึกบทกวีที่พวกเขาประสบในตัวเธอ เธอแค่สนุกกับความสุขของพวกเขาและพยายามเลียนแบบมัน
เธอเข้าร่วมเฉพาะเมื่อพวกเขานึกถึงการมาเยือนครั้งแรกของ Sonya เท่านั้น Sonya เล่าว่าเธอกลัว Nikolai อย่างไรเพราะเขามีเชือกผูกอยู่ที่แจ็คเก็ต และพี่เลี้ยงก็บอกเธอว่าพวกเขาจะเย็บเธอให้เป็นเชือกด้วย
“ แต่ฉันจำได้ว่าพวกเขาบอกฉันว่าคุณเกิดภายใต้กะหล่ำปลี” นาตาชากล่าว“ และฉันจำได้ว่าตอนนั้นฉันไม่กล้าเชื่อ แต่ฉันรู้ว่านี่ไม่เป็นความจริงและฉันก็เขินอายมาก
ในระหว่างการสนทนานี้ ศีรษะของสาวใช้โผล่ออกมาจากประตูหลังของเก้าอี้ - หญิงสาว พวกเขานำไก่มาด้วย - หญิงสาวพูดด้วยเสียงกระซิบ
“อย่านะ Polya บอกพวกเขาให้รับมัน” นาตาชากล่าว
ในระหว่างการสนทนาที่เกิดขึ้นในห้องโซฟา ดิมม์เลอร์เข้ามาในห้องและเดินเข้าไปหาพิณตรงมุมห้อง พระองค์ทรงถอดผ้าออก และพิณก็ส่งเสียงเท็จ

เป็นที่รู้กันว่าโลกมีทรงกลม ไม่มีรูปร่างเป็นทรงกลมสมบูรณ์ รูปร่างของมันไม่สม่ำเสมอ และเหมือนกับวัตถุที่หมุนได้ทั่วไป มันจะแบนเล็กน้อยที่เสา นอกจากนี้ เนื่องจากการกระจายตัวของมวลสสารบนพื้นโลกไม่สม่ำเสมอและการเคลื่อนตัวของเปลือกโลก โลกจึงมีพื้นที่กว้างใหญ่ แม้ว่าจะค่อนข้างแบน มีส่วนที่นูนและเว้า รูปร่างที่ซับซ้อนของโลกของเราซึ่งถูกจำกัดด้วยระดับพื้นผิวมหาสมุทรเรียกว่าจีออยด์ แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะกำหนดรูปร่างของมันอย่างแม่นยำ แต่การวัดที่มีความแม่นยำสูงจากดาวเทียมสมัยใหม่ทำให้มีความคิดที่ดีพอสมควรและยังอธิบายด้วยสมการได้อีกด้วย

การประมาณทางเรขาคณิตที่ดีที่สุดกับรูปร่างที่แท้จริงของโลกนั้นได้มาจากวงรีแห่งการปฏิวัติ ซึ่งเป็นร่างกายทางเรขาคณิตที่เกิดขึ้นเมื่อวงรีหมุนรอบแกนรองของมัน การหดตัวของวงรีเป็นการจำลองการหดตัวของดาวเคราะห์ใกล้ขั้ว ภาพนี้แสดงให้เห็นว่าส่วนเมริเดียนของจีออยด์และทรงรีของโลกแตกต่างกันอย่างไร

การคำนวณและการปรับแต่งขนาดของทรงรีของโลกซึ่งเริ่มขึ้นในศตวรรษที่ 18 ยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ขณะนี้มีการใช้การสังเกตการณ์ด้วยดาวเทียมและการวัดแบบกราวิเมตริกที่แม่นยำ นี่ไม่ใช่งานง่าย: คุณต้องคำนวณตัวเลขที่ถูกต้องทางเรขาคณิต - ทรงรีอ้างอิงซึ่งประมาณได้ดีที่สุดกับ geoid และสัมพันธ์กับการคำนวณ geodetic และการฉายภาพแผนที่ทั้งหมด นักวิจัยหลายคนที่ใช้ข้อมูลเริ่มต้นและวิธีการคำนวณต่างกัน กลับได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงมีการพัฒนาในอดีตเพื่อให้ในเวลาที่ต่างกันและในประเทศต่าง ๆ ทรงรีต่าง ๆ ถูกนำมาใช้และแก้ไขอย่างถูกกฎหมายและพารามิเตอร์ของพวกมันไม่ตรงกัน

ในรัสเซียมีการใช้ทรงรีอ้างอิงของ F. N. Krasovsky ซึ่งคำนวณในปี 1940 พารามิเตอร์มีดังนี้:

กึ่งแกนเอก (a) - 6,378,245 ม.

แกนกึ่งรอง (b) - 6,356,863 ม.

การบีบอัด a = (a - b) / a - 1: 298.3

ในสหรัฐอเมริกาและแคนาดา จนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ มีการใช้ทรงรีคลาร์ก ซึ่งคำนวณย้อนกลับไปในปี พ.ศ. 2409 แกนหลักของมันสั้นกว่าทรงรีของรัสเซีย 39 เมตร และการบีบอัดถูกกำหนดเป็น 1:295.0 ในหลายประเทศของยุโรปตะวันตกและบางรัฐในเอเชียมีการใช้ทรงรี Hayford ที่คำนวณในปี 1909 และในอดีตอาณานิคมของอังกฤษ - ในอินเดียและประเทศในเอเชียใต้จะใช้ทรงรี Everest ที่คำนวณโดยอังกฤษในปี 1830 ในปี พ.ศ. 2527 จากการวัดด้วยดาวเทียม ได้มีการคำนวณวงรีสากล WGS-84 (World Geodetic System) โดยรวมแล้วมีทรงรีที่แตกต่างกันประมาณหนึ่งโหลครึ่งในโลก

แผนที่ที่รวบรวมบนพื้นฐานของทรงรีที่แตกต่างกันนั้นจะได้รับในระบบพิกัดที่แตกต่างกันเล็กน้อยซึ่งสร้างความไม่สะดวก อย่างไรก็ตาม เพื่อที่จะนำรูปวงรีสากลอันเดียวมาใช้ จำเป็นต้องคำนวณพิกัดใหม่และจัดองค์ประกอบแผนที่ทั้งหมดใหม่ ซึ่งเป็นธุรกิจที่ยาว ซับซ้อน และที่สำคัญที่สุดคือมีราคาแพง

ความคลาดเคลื่อนจะสังเกตเห็นได้ชัดเจนในแผนที่ขนาดใหญ่เป็นหลักเมื่อพิจารณาพิกัดที่แน่นอนของวัตถุจากแผนที่เหล่านั้น แต่ในแผนที่ขนาดกลางและขนาดเล็กที่นักภูมิศาสตร์ใช้กันอย่างแพร่หลาย ความแตกต่างดังกล่าวไม่ได้มีความละเอียดอ่อนมากนัก ยิ่งกว่านั้น บางครั้งลูกบอลจะถูกหยิบมาแทนที่จะเป็นทรงรี จากนั้นค่า R = 6367.6 กม. จะถูกใช้เป็นรัศมีเฉลี่ยของโลก ข้อผิดพลาดในการเปลี่ยนทรงรีด้วยลูกบอลมีขนาดเล็กมากจนไม่ปรากฏบนแผนที่ทางภูมิศาสตร์ส่วนใหญ่

§ 1. รูปร่างและขนาดของโลก

การศึกษาและการวัดจำนวนมากทำให้สามารถระบุได้ว่าโลกมีรูปร่างของวัตถุที่ผิดปกติทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าจีออยด์ พื้นผิวที่ก่อตัวเป็น geoid ตรงกันข้ามกับพื้นผิวทางกายภาพของโลกที่มีความไม่ปกติ (ภูเขา ความกดอากาศ ฯลฯ) จะเป็นแนวนอนทุกจุด กล่าวคือ มันเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางปกติของแรงโน้มถ่วง และเป็น กำหนดให้เป็นพื้นผิวระดับ ในธรรมชาติพื้นผิวระดับดังกล่าวเกิดขึ้นพร้อมกับระดับน้ำเฉลี่ยของมหาสมุทรและทะเลเปิดในสภาวะสงบ (ในกรณีที่ไม่มีคลื่นกระแสน้ำกระแสน้ำและปัจจัยรบกวนอื่น ๆ ) จิตใจยังคงดำเนินต่อไปในทุกทวีป ความผิดปกติของ geoid นั้นเกิดจากการกระจายตัวของมวลที่ไม่สม่ำเสมอในความหนาของโลกจากการดึงดูดซึ่งทิศทางของแรงโน้มถ่วงขึ้นอยู่กับ
การศึกษาทางทฤษฎีและผลลัพธ์ของการประมวลผลการวัดทางดาราศาสตร์และธรณีวิทยาและกราวิเมตริก รวมถึงผลลัพธ์ของการสังเกตดาวเทียมประดิษฐ์ของโลก แสดงให้เห็นว่า geoid นั้นอยู่ใกล้กับตัวเลขที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ - ทรงรีของการปฏิวัติที่เกิดจากการหมุนของ วงรีรอบแกนรองของมัน ดังนั้นในการผลิตงาน geodetic การทำแผนที่และงานอื่น ๆ ที่ต้องการความแม่นยำสูงจึงใช้รูปวงรีของการปฏิวัติเป็นรูปของโลก
ส่วนเบี่ยงเบนความสูงของพื้นผิว geoid จากพื้นผิวทรงรีของโลกที่นำมาใช้ในสหภาพโซเวียตและมีขนาดและการวางแนวที่เหมาะสมในร่างกายของโลกไม่เกิน 100-150 ม. ทรงรีของการปฏิวัตินั้นถูกระบุด้วยทรงกลม เป็นตัวแทนรูปร่างสมดุลของมวลของเหลวที่เป็นเนื้อเดียวกันที่หมุนอยู่ ส่วนเบี่ยงเบนความสูงของพื้นผิวของทรงรีของการปฏิวัติและทรงกลมไม่เกิน 2-3 ม.

การกำหนดขนาดของทรงรีของโลกซึ่งใกล้เคียงกับรูปร่างของโลกโดยรวมมากที่สุด ยังคงเป็นหนึ่งในภารกิจหลักของการสำรวจทางธรณีวิทยาที่สูงขึ้น ดังนั้นในประเทศต่างๆ การประมวลผลผลลัพธ์ของงานภูมิศาสตร์และภูมิประเทศจึงเรียกว่าพื้นผิวทางคณิตศาสตร์เสริมซึ่งเป็นตัวแทนของทรงรีของโลกด้วยขนาดที่ใช้สำหรับประเทศที่กำหนด ทรงรีที่มีขนาดที่แน่นอนจนถึงพื้นผิวซึ่งมีการอ้างอิงผลลัพธ์ทั้งหมดของงานทางภูมิศาสตร์และภูมิประเทศในรัฐนั้นเรียกว่าทรงรีอ้างอิง
องค์ประกอบหลักที่กำหนดขนาดของทรงรีของโลกคือเซมิแกน: เมเจอร์ a และรอง b นอกจากนี้ เพื่อระบุลักษณะของทรงรีของโลกรวมถึงการคำนวณบางอย่าง มีการใช้แนวคิดต่อไปนี้: การบีบอัดเชิงขั้ว α ของทรงรีของโลก แสดงโดยสูตร
α \u003d a - b / a, (1 สูตร)
และความเยื้องศูนย์ (e) กำหนดโดยการแสดงออก
e \u003d √ a 2 - b 2 / a (2 สูตร)
ตั้งแต่ปีพ. ศ. 2489 สำหรับงาน geodetic และการทำแผนที่ทั้งหมดในดินแดนของสหภาพโซเวียตทรงรีอ้างอิงของ F. N. Krasovsky ถูกนำมาใช้ในขนาด:
- กึ่งแกนเอก a = 6 378 245 m;
- แกนกึ่งรอง b = 6 356 863 ม.
- การบีบอัดเชิงขั้ว α = 1:298.3;
- กำลังสองของความเยื้องศูนย์ e 2 = 1:149.15

เมื่อหาขนาดของทรงรีอ้างอิง กลุ่มนักวิทยาศาสตร์ นักธรณีวิทยา นักภูมิประเทศ และเครื่องคำนวณภายใต้การแนะนำของประเทศศาสตราจารย์ F.N. ขนาดของทรงรีอ้างอิงของ Krasovsky ยังได้รับการยืนยันจากผลลัพธ์ของการประมวลผลการสังเกตของดาวเทียมโลกเทียมที่เกิดขึ้นในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา
การวางแนวในร่างกายของโลกของทรงรีของโลกด้วยขนาดที่สอดคล้องกันของครึ่งแกนและแรงอัดนั้นมีลักษณะเฉพาะโดยสิ่งที่เรียกว่าวันที่ geodetic เริ่มต้น วันที่ geodetic เริ่มต้นคือพิกัดของจุดเริ่มต้นของรูปสามเหลี่ยมซึ่งกำหนดละติจูด B 0 ลองจิจูด L 0 ราบ A 0 ไปยังจุดที่อยู่ติดกันและความสูง h 0 ของพื้นผิว geoid ที่สัมพันธ์กับพื้นผิวของทรงรีอ้างอิง
วันที่เหล่านี้ถือเป็นวันที่เริ่มต้นในการคำนวณพิกัดของจุดอื่นๆ ทั้งหมดบนพื้นผิวโลก
เมื่อใช้ของต่างประเทศ ในแผนที่ ควรจำไว้ว่าประเทศต่างๆ มีการใช้วันที่เชิงภูมิศาสตร์เริ่มต้นที่แตกต่างกัน ดังนั้นจุดเดียวกันบนแผนที่ที่เผยแพร่ในประเทศต่างๆ อาจมีพิกัดที่แตกต่างกัน แม้ว่าความแตกต่างนี้อาจเล็กน้อย แต่ต้องคำนึงถึงการนำทางและการโอนสถานที่ของเรือจากแผนที่หนึ่งไปยังอีกแผนที่หนึ่งเมื่อแล่นใกล้ชายฝั่งไม่ควรดำเนินการตามพิกัดทางภูมิศาสตร์ แต่ตามทิศทางและระยะทางถึง ฐานที่มั่นที่ใกล้ที่สุดที่วางอยู่บนทั้งสองแผนที่
โดยสาระสำคัญแล้ว การนำโลกมาเป็นรูปวงรีของการปฏิวัติถือเป็นการประมาณครั้งที่สองในการกำหนดรูปร่างของโลก เมื่อแก้ไขปัญหาการนำทางในทางปฏิบัติที่ไม่ต้องการความแม่นยำสูง กลับกลายเป็นว่าถูกจำกัดอยู่เพียงการประมาณแรกในการกำหนดรูปร่างของโลก - เพื่อนำโลกมาเป็นลูกบอล งานดังกล่าวรวมถึงการคำนวณช่วงการมองเห็นของจุดสังเกตในทะเล การคำนวณการนำทางในระยะทางที่สั้นที่สุด การคำนวณเชิงวิเคราะห์เมื่อกำหนดตำแหน่งโดยใช้แบริ่งวิทยุ การคำนวณโดยใช้สูตรแคลคูลัสเชิงวิเคราะห์ และอื่นๆ อีกมากมาย
เพื่อกำหนดรัศมีของโลก - ลูกบอลมักจะเคลื่อนที่จากเงื่อนไขเพิ่มเติมบางประการ
หนึ่งในนั้นคือเงื่อนไขว่าความยาวของหนึ่งนาทีของส่วนโค้งของเส้นลมปราณ (หรือวงกลมใหญ่ใดๆ บนลูกบอล) เท่ากับ 1,852 เมตร ซึ่งก็คือ ความยาวของไมล์ทะเลมาตรฐาน ในกรณีนี้รัศมีของลูกบอลที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดจะเท่ากับ
R \u003d 1852 * 60 * 360 / 2 π \u003d 6 366 707 ม.
ในการแก้ปัญหาการทำแผนที่จำนวนหนึ่ง เงื่อนไขถูกกำหนดไว้ว่าปริมาตรของโลกเท่ากับปริมาตรของทรงรีของโลก หรือพื้นผิวของลูกบอลเท่ากับพื้นผิวของทรงรี ความยาวของรัศมี R ของลูกบอลซึ่งมีปริมาตรเท่ากับทรงรีของโลกจะเท่ากับ
R = รากที่สาม √ (a 2 * b) = 6371109.7 ม.
ถ้าตั้งเงื่อนไขว่าพื้นผิวของลูกบอลเท่ากับพื้นผิวของทรงรี แล้วรัศมีของลูกบอลนั้นจะเท่ากับ

โดยที่ M คือรัศมีความโค้งของเส้นลมปราณ N คือรัศมีความโค้งของแนวดิ่งแรกที่จุดที่กำหนด

§ 2. ระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์

ตำแหน่งของจุดบนพื้นผิวใดๆ หรือในอวกาศถูกกำหนดโดยชุดของปริมาณเฉพาะที่เรียกว่าพิกัด พิกัดสามารถแสดงได้ทั้งในรูปแบบเชิงเส้นและเชิงมุม จะกำหนดตำแหน่งของเส้นพิกัดที่สัมพันธ์กับพิกัดที่ใช้เป็นแหล่งกำเนิดของแกน ในการกำหนดตำแหน่งของจุดต่างๆ บนพื้นผิวโลก สามารถใช้ระบบพิกัดต่างๆ ได้ เช่น ภูมิศาสตร์ สี่เหลี่ยม ขั้วโลก ฯลฯ ระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ที่พบมากที่สุดคือ
แกนรองของทรงรีตัดกับพื้นผิวของจุดหลังที่จุดสองจุด ซึ่งเรียกว่าขั้วเหนือและขั้วใต้ ระนาบที่ผ่านแกนการหมุนของโลกเรียกว่าระนาบของเส้นเมอริเดียนของโลก ซึ่งเมื่อตัดขวางกับพื้นผิวโลกจะก่อให้เกิดวงกลมใหญ่ที่เรียกว่าเส้นเมอริเดียน ระนาบที่ตั้งฉากกับแกนโลกและผ่านจุดศูนย์กลางของทรงรีเรียกว่าระนาบเส้นศูนย์สูตร วงกลมใหญ่ที่เกิดจากจุดตัดของระนาบนี้กับพื้นผิวทรงรีเรียกว่าเส้นศูนย์สูตรของโลก ระนาบขนานกับระนาบของเส้นศูนย์สูตรของโลกในหน้าตัดกับพื้นผิวโลก ก่อให้เกิดวงกลมเล็กๆ ที่เรียกว่าแนวขนานของโลก

แกนพิกัดของระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ ได้แก่ เส้นศูนย์สูตรและเส้นเมอริเดียนเส้นหนึ่งซึ่งถือเป็นแกนเริ่มต้น เส้นพิกัดได้แก่ เส้นขนานและเส้นเมอริเดียนของโลก และปริมาณที่กำหนดตำแหน่งของจุดต่างๆ ได้แก่ พิกัด ละติจูดทางภูมิศาสตร์ และลองจิจูดทางภูมิศาสตร์
ละติจูดทางภูมิศาสตร์ของจุดหนึ่งบนพื้นผิวโลกคือมุมระหว่างจุดปกติกับพื้นผิวของทรงรี ณ จุดนั้นกับระนาบของเส้นศูนย์สูตร ละติจูดทางภูมิศาสตร์ในการนำทางระบุด้วยตัวอักษรกรีก φ (phi) ละติจูดนับจากเส้นศูนย์สูตรถึงขั้วตั้งแต่ 0 ถึง 90° ละติจูดของซีกโลกเหนือถือเป็นค่าบวก และในการคำนวณเชิงวิเคราะห์จะใช้เครื่องหมายบวก ละติจูดเหนือแสดงด้วยตัวอักษร N ละติจูดของจุดในซีกโลกใต้ซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร S ถือเป็นค่าลบและได้รับมอบหมายเครื่องหมายลบ
ละติจูดทางภูมิศาสตร์จะกำหนดตำแหน่งของเส้นขนานที่จุดที่กำหนดตั้งอยู่
ลองจิจูดทางภูมิศาสตร์ของจุดหนึ่งคือมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบของเส้นลมปราณเริ่มต้นและระนาบของเส้นลมปราณที่ผ่านจุดนี้ มุมไดฮีดรัลวัดโดยมุมทรงกลมที่ขั้วระหว่างเส้นลมปราณเริ่มต้นและเส้นลมปราณของจุดที่กำหนดหรือส่วนโค้งของเส้นศูนย์สูตร ซึ่งมีตัวเลขเท่ากับมุมนั้น ซึ่งอยู่ระหว่างเส้นเมอริเดียนที่มีชื่อ
ตามหลักการแล้ว เส้นลมปราณภาคพื้นดินใดๆ ก็สามารถถือเป็นเส้นลมปราณเริ่มต้นได้ ตามข้อตกลงระหว่างประเทศในปี พ.ศ. 2427 ประเทศส่วนใหญ่ของโลกรวมทั้งสหภาพโซเวียต ได้รับการยอมรับว่าเป็นเส้นลมปราณเริ่มต้นที่ผ่านหอดูดาวกรีนิช ซึ่งตั้งอยู่ใกล้กับลอนดอน
ลองจิจูดทางภูมิศาสตร์จะนับทางตะวันออกและตะวันตกของเส้นลมปราณกรีนิชจาก 0 ถึง 180° ลองจิจูดทางภูมิศาสตร์ในการนำทางแสดงด้วยตัวอักษรกรีก γ (แลมบ์ดา) ลองจิจูดของจุดที่อยู่ในซีกโลกตะวันออกถือเป็นค่าบวก (เครื่องหมายบวก) ลองจิจูดทางตะวันตกถือเป็นค่าลบ (เครื่องหมายลบ) เมื่อกำหนดลองจิจูดของจุดใดจุดหนึ่งบนพื้นผิวโลกจำเป็นต้องระบุชื่อของมัน: ตะวันออก - Ost หรือตามที่ได้รับการยอมรับในขณะนี้ E, ตะวันตก - W. ขึ้นอยู่กับวิธีการคำนวณพิกัดทางภูมิศาสตร์ พิกัดทางภูมิศาสตร์และดาราศาสตร์ มีความโดดเด่น
ในคำจำกัดความทางเรขาคณิตของพิกัดทางภูมิศาสตร์ซึ่งได้มาจากการวัดทางเรขาคณิต (รูปสามเหลี่ยม, รูปหลายเหลี่ยม) ไม่มีความแตกต่างจากการกำหนดพิกัดทางภูมิศาสตร์ทั่วไป ตำแหน่งของจุดที่ถูกกำหนดโดยละติจูดจีโอเดติกและลองจิจูดจีโอเดติกยังอ้างอิงถึงรูปวงรีที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ของการปฏิวัติด้วย
เมื่อระบุสถานที่ด้วยวิธีทางดาราศาสตร์ ผู้สังเกตการณ์กำลังเผชิญกับเส้นดิ่งที่เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของแรงโน้มถ่วง ไม่ใช่เส้นปกติกับพื้นผิวทรงรี ดังนั้น ในระบบพิกัดทางดาราศาสตร์ ละติจูดจึงถูกกำหนดให้เป็นมุมระหว่างระนาบของเส้นศูนย์สูตรกับทิศทางของเส้นดิ่ง ณ จุดที่กำหนด ลองจิจูดของสถานที่ที่กำหนดโดยวิธีทางดาราศาสตร์คือมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบของเส้นลมปราณสำคัญ (เส้นลมปราณกรีนิช) และระนาบของเส้นลมปราณทางดาราศาสตร์ของจุดที่กำหนด คำที่ใช้ - เส้นลมปราณทางดาราศาสตร์ - จะต้องเข้าใจว่าเป็นร่องรอยจากส่วนของพื้นผิวโลกโดยเครื่องบินที่แล่นผ่านเส้นลูกดิ่ง ณ จุดที่กำหนดและขนานกับแกนของโลก จากคำจำกัดความของพิกัดทางดาราศาสตร์จะเห็นได้ว่าต่างจากพิกัดทางภูมิศาสตร์ตรงที่พวกมันกำหนดตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับพื้นผิวของร่างที่แท้จริงของ Earth-geoid

เส้นตั้งฉากกับพื้นผิวทรงรีของโลกโดยทั่วไปจะไม่ผ่านใจกลางโลก ในเวลาเดียวกันเมื่อแก้ไขปัญหาทางดาราศาสตร์รวมถึงปัญหาพิเศษบางประการของการทำแผนที่ทางคณิตศาสตร์จำเป็นต้องกำหนดตำแหน่งของจุดบนพื้นผิวโลกที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของโลก ในกรณีนี้ ลองจิจูดของจุดใดก็ได้ K จะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับในระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ และจะได้ละติจูดเป็นมุมระหว่างระนาบเส้นศูนย์สูตรกับเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดนี้กับศูนย์กลางของ ทรงรี ละติจูดดังกล่าวเรียกว่าละติจูดเชิงภูมิศาสตร์และเขียนแทนด้วย φ" รูปนี้แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปละติจูดศูนย์กลางทางภูมิศาสตร์จะน้อยกว่าละติจูดทางภูมิศาสตร์ด้วยการลด r ของละติจูด ซึ่งสามารถคำนวณได้จากสูตร
r "" \u003d φ - φ" \u003d α sin 2 φ / ส่วนโค้ง 1 "" (สูตรที่ 3)
สำหรับจุดที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรและที่ขั้วโลก การลดละติจูดจะเป็นศูนย์ การลดลงถึงค่าสูงสุด (11.5 นิ้ว) ที่ละติจูด 45°
ในกรณีที่รูปร่างของโลกถูกมองว่าเป็นทรงกลม ตำแหน่งของจุดบนลูกบอลโลกจะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับบนพื้นผิวทรงรี โดยพิกัดทางภูมิศาสตร์ของจุดเหล่านั้น เช่น ละติจูดและลองจิจูด แต่เส้นปกติบนลูกบอลโลกนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับรัศมีของมัน
ดังนั้น ละติจูดทางภูมิศาสตร์ φ ของจุด M บางจุดบนโลกจะเป็นมุมที่ศูนย์กลางของทรงกลมระหว่างระนาบเส้นศูนย์สูตรกับรัศมีที่ผ่านจุดที่กำหนด จากการเปรียบเทียบคำจำกัดความของละติจูด จะเห็นได้ว่าละติจูดศูนย์กลางโลกเป็นเพียงกรณีพิเศษของละติจูดทรงกลมเท่านั้น

บทที่ 1

§ 3. ความแตกต่างระหว่างละติจูดและลองจิจูด

พิกัดทางภูมิศาสตร์ - ละติจูดและลองจิจูด - กำหนดตำแหน่งของจุดใดจุดหนึ่งบนพื้นผิวโลกโดยไม่ซ้ำกัน การเปลี่ยนจากจุดหนึ่งบนพื้นผิวโลกไปยังอีกจุดหนึ่งจะมาพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงพิกัดทางภูมิศาสตร์ จุดที่วางอยู่บนเส้นขนานเดียวกันจะมีละติจูดและลองจิจูดเท่ากัน จุดที่อยู่บนเส้นลมปราณเดียวกันจะมีลองจิจูดและละติจูดต่างกัน โดยทั่วไป จุดสองจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นลมปราณเดียวกันหรือขนานกันจะมีละติจูดและลองจิจูดต่างกัน ในการฝึกเดินเรือ มักจำเป็นต้องรู้ว่าพิกัดทางภูมิศาสตร์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรหรือจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งบนพื้นผิวโลกไปยังอีกจุดหนึ่ง และเพื่อให้สามารถคำนวณการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ได้ ค่าที่แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงพิกัดทางภูมิศาสตร์ระหว่างการเปลี่ยนจากจุดหนึ่งบนพื้นผิวโลกไปยังอีกจุดหนึ่งคือความแตกต่างในละติจูดและลองจิจูดที่แตกต่างกัน
ความแตกต่างของละติจูด (RS) ของจุดสองจุดบนพื้นผิวโลกคือส่วนโค้งของเส้นลมปราณที่อยู่ระหว่างแนวขนานของจุดเหล่านี้
หากต้องการคำนวณความแตกต่างในละติจูด ให้ใช้สูตร
RSh \u003d φ 2 - φ 1,
โดยคำนึงถึงเครื่องหมาย + และ - ตามลำดับชื่อ แท้จริงแล้วตัวเลขแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงในละติจูด (RL) ในระหว่างการเปลี่ยนเรือจากจุด A ไปยังจุด B นั้นมีลักษณะเป็นส่วนโค้ง A "B ซึ่งเท่ากับตัวเลขในความแตกต่างระหว่างส่วนโค้งของเส้นเมอริเดียนของจุดที่มาถึง B และการออกเดินทาง A กำหนดตามลำดับโดยละติจูด φ B และ φ A
ผลต่างละติจูดที่คำนวณโดยสูตร (4) จะได้รับเครื่องหมายบวกหากกำหนดให้เป็น N และเครื่องหมายลบหากสร้างผลต่างละติจูดให้กับ S ผลต่างของละติจูดอาจแตกต่างกันได้ตั้งแต่ 0 ถึง ±180°
ความแตกต่างลองจิจูด (RD) ซึ่งแสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของลองจิจูดดังที่เห็นได้จากรูปคือมุมที่ศูนย์กลางระหว่างเส้นเมอริเดียนของจุดสองจุด มุมนี้วัดโดยส่วนโค้งของเส้นศูนย์สูตรระหว่างเส้นเมอริเดียนที่ระบุ บนพื้นฐานนี้ ความแตกต่างระหว่างลองจิจูดของจุดสองจุดบนพื้นผิวโลกคือส่วนโค้งที่เล็กที่สุดของเส้นศูนย์สูตรที่อยู่ระหว่างเส้นเมอริเดียนของจุดเหล่านี้ ตามคำจำกัดความนี้ความแตกต่างในลองจิจูดสามารถมีค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง ± 180° โดยคำนึงถึงสัญกรณ์ที่ยอมรับก่อนหน้านี้ (เครื่องหมายบวกสำหรับลองจิจูดตะวันออกและเครื่องหมายลบสำหรับลองจิจูดตะวันตก) เราสามารถเขียนสูตรสำหรับคำนวณ RD ของสองจุด:
RD \u003d แลมบ์ 2 - แลมบ์ 1
ความแตกต่างของลองจิจูดจะมีเครื่องหมายบวกหากทำกับ Ost และเครื่องหมายลบหากทำกับ W กฎนี้มีความหมายทางเรขาคณิตดังต่อไปนี้: หากเส้นลมปราณของจุดที่มาถึง แลมบ์ดา 2 ตั้งอยู่ทางตะวันออกของเส้นลมปราณ ของจุดเริ่มต้น lam 1 จากนั้นจะมีการสร้างความแตกต่างในลองจิจูดให้กับ Оst และมีเครื่องหมายบวกถูกกำหนดไว้ ในทางกลับกัน เมื่อเส้นแวงของจุดที่มาถึงตั้งอยู่ทางทิศตะวันตกของเส้นเมริเดียนของจุดที่ออกเดินทาง จะมีการสร้างความแตกต่างในลองจิจูดให้กับ W และมีเครื่องหมายลบถูกกำหนดไว้

เมื่อแก้ไขปัญหาการคำนวณ RD โดยใช้สูตร จะได้ผลลัพธ์ที่เกิน 180° ในกรณีเหล่านี้ หากต้องการค้นหาส่วนโค้งของเส้นศูนย์สูตรที่เล็กกว่า ผลลัพธ์ที่ได้ควรลบออกจาก 360 ° และเครื่องหมาย (ชื่อ) กลับด้าน

พารามิเตอร์ทรงรีของโลก

ทรงรีของโลกมีพารามิเตอร์หลักสามประการ โดยสองตัวใดตัวหนึ่งจะกำหนดรูปร่างของมันโดยเฉพาะ:

นอกจากนี้ยังมีพารามิเตอร์อื่น ๆ ของทรงรี:

สำหรับการใช้งานจริงของทรงรีของโลกนั้นเป็นสิ่งจำเป็น กำหนดทิศทางในร่างกายของโลก. ในกรณีนี้ จะมีการหยิบยกเงื่อนไขทั่วไป: การวางแนวจะต้องดำเนินการในลักษณะที่ทำให้ความแตกต่างในพิกัดทางดาราศาสตร์และภูมิศาสตร์มีน้อยที่สุด

อ้างอิงทรงรี

ตัวเลขของทรงรีอ้างอิงเหมาะที่สุดสำหรับอาณาเขตของประเทศเดียวหรือหลายประเทศ ตามกฎแล้ว ทรงรีอ้างอิงได้รับการยอมรับสำหรับการประมวลผลการวัดทางจีโอเดติก ตามกฎหมาย. ในรัสเซีย/สหภาพโซเวียต มีการใช้ทรงรี Krasovsky ตั้งแต่ปีนี้

การวางแนวของทรงรีอ้างอิงในร่างกายของโลกอยู่ภายใต้ข้อกำหนดต่อไปนี้:

1. กึ่งแกนรองของทรงรี ( ข) จะต้องขนานกับแกนการหมุนของโลก
2. พื้นผิวของทรงรีควรอยู่ใกล้กับพื้นผิวของ geoid ภายในขอบเขตที่กำหนดมากที่สุด

ในการแก้ไขทรงรีอ้างอิงในร่างกายของโลก จำเป็นต้องตั้งค่าพิกัดทางภูมิศาสตร์ B0, L0, H0จุดเริ่มต้นของเครือข่าย geodetic และราบเริ่มต้น A0ไปยังจุดที่อยู่ติดกัน จำนวนทั้งสิ้นของปริมาณเหล่านี้เรียกว่า วันที่ geodetic ดั้งเดิม.

ทรงรีอ้างอิงพื้นฐานและพารามิเตอร์

ทรงรีโลกทั่วไป

ทรงรีของโลกทั่วไปจะต้องอยู่ในทิศทางของร่างกายโลกตามข้อกำหนดต่อไปนี้:

เมื่อกำหนดทิศทางทรงรีของโลกทั่วไปในร่างกายของโลก (ไม่เหมือนกับทรงรีอ้างอิง) ไม่จำเป็นต้องป้อนวันที่เชิงภูมิศาสตร์เริ่มต้น

เนื่องจากข้อกำหนดสำหรับทรงรีของโลกทั่วไปนั้นได้รับความพึงพอใจในทางปฏิบัติโดยมีความคลาดเคลื่อนอยู่บ้าง และการปฏิบัติตามอย่างหลัง (3) อย่างสมบูรณ์นั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นในธรณีวิทยาและวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง จึงสามารถใช้ทรงรีแบบต่าง ๆ ได้ พารามิเตอร์ที่ อยู่ใกล้กันมากแต่ไม่ตรงกัน (ดูด้านล่าง)

ทรงรีโลกทั่วไปสมัยใหม่และพารามิเตอร์