กฎของโลปิตาล: ทฤษฎีและตัวอย่างการแก้ปัญหา หารด้วยอนันต์ ตัวเลขหารด้วยอนันต์เป็นศูนย์

บ่อยครั้งที่หลายคนสงสัยว่าทำไมจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้การหารด้วยศูนย์? ในบทความนี้ เราจะพูดถึงรายละเอียดอย่างมากว่ากฎนี้มาจากไหน รวมถึงการดำเนินการใดที่สามารถทำได้โดยมีค่าศูนย์

ติดต่อกับ

ศูนย์สามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวเลขที่น่าสนใจที่สุดตัวหนึ่ง ตัวเลขนี้ไม่มีความหมายมันหมายถึงความว่างเปล่าในความหมายที่แท้จริงของคำ อย่างไรก็ตาม หากคุณใส่ศูนย์ไว้ข้างๆ ตัวเลขใดๆ ค่าของตัวเลขนี้จะใหญ่ขึ้นหลายเท่า

ตัวเลขนั้นลึกลับมากในตัวเอง มันถูกใช้โดยชาวมายันโบราณ สำหรับมายา ศูนย์หมายถึง "จุดเริ่มต้น" และการนับถอยหลังของวันตามปฏิทินก็เริ่มจากศูนย์เช่นกัน

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจมากคือเครื่องหมายของศูนย์และเครื่องหมายของความไม่แน่นอนมีความคล้ายคลึงกันสำหรับพวกเขา ด้วยเหตุนี้ ชาวมายาต้องการแสดงให้เห็นว่า 0 เป็นเครื่องหมายเดียวกันกับความไม่แน่นอน ในยุโรปการกำหนดศูนย์ปรากฏขึ้นค่อนข้างเร็ว

นอกจากนี้ หลายคนทราบถึงข้อห้ามที่เกี่ยวข้องกับศูนย์ ใครๆก็ว่า หารด้วยศูนย์ไม่ได้. ครูที่โรงเรียนพูดเรื่องนี้ และเด็กๆ มักจะเชื่อคำพูดของพวกเขา โดยปกติ เด็กไม่สนใจที่จะรู้เรื่องนี้ หรือพวกเขารู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากเมื่อได้ยินข้อห้ามสำคัญ พวกเขาถามทันทีว่า "ทำไมคุณหารด้วยศูนย์ไม่ได้" แต่เมื่ออายุมากขึ้น ความสนใจก็ตื่นขึ้น และคุณต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสาเหตุของการห้ามดังกล่าว อย่างไรก็ตาม มีหลักฐานที่สมเหตุสมผล

การดำเนินการกับศูนย์

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดว่าการดำเนินการใดสามารถทำได้โดยมีค่าศูนย์ มีอยู่ กิจกรรมหลายประเภท:

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป;
การคูณ;
การลบ;
กอง (ศูนย์ตามจำนวน);
การยกกำลัง

สำคัญ!หากเพิ่มศูนย์ลงในตัวเลขใดๆ ในระหว่างการบวก ตัวเลขนี้จะยังคงเหมือนเดิมและจะไม่เปลี่ยนค่าตัวเลข สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นหากคุณลบศูนย์จากจำนวนใดๆ

ด้วยการคูณและการหาร สิ่งต่าง ๆ แตกต่างกันเล็กน้อย ถ้า คูณจำนวนใด ๆ ด้วยศูนย์จากนั้นผลิตภัณฑ์จะกลายเป็นศูนย์เช่นกัน

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

ลองเขียนสิ่งนี้เป็นส่วนเสริม:

มีเลขศูนย์เพิ่มมาทั้งหมดห้าตัว ปรากฎว่า

ลองคูณหนึ่งด้วยศูนย์กัน. ผลลัพธ์จะเป็นโมฆะด้วย

ศูนย์สามารถหารด้วยจำนวนอื่นที่ไม่เท่ากับมันได้ ในกรณีนี้จะกลายเป็นค่าที่จะเป็นศูนย์ กฎเดียวกันนี้ใช้กับตัวเลขติดลบ หากคุณหารศูนย์ด้วยจำนวนลบ คุณจะได้ศูนย์

คุณสามารถเพิ่มหมายเลขใดก็ได้ สู่ศูนย์อำนาจ. ในกรณีนี้ คุณได้ 1 สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่านิพจน์ "zero to the zero power" นั้นไม่มีความหมายอย่างแน่นอน หากคุณพยายามเพิ่มศูนย์ให้เป็นกำลังใดๆ คุณจะได้ศูนย์ ตัวอย่าง:

เราใช้กฎการคูณ เราได้ 0

เป็นไปได้ไหมที่จะหารด้วยศูนย์

ทีนี้มาถึงคำถามหลัก เป็นไปได้ไหมที่จะหารด้วยศูนย์โดยทั่วไป? และเหตุใดจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ เนื่องจากการดำเนินการอื่น ๆ ที่มีค่าศูนย์นั้นมีอยู่ครบถ้วนแล้วจึงนำไปใช้ เพื่อตอบคำถามนี้ คุณต้องหันไปใช้คณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้น

เริ่มจากคำจำกัดความของแนวคิดก่อนว่าศูนย์คืออะไร? ครูโรงเรียนอ้างว่าศูนย์ไม่มีอะไร ความว่างเปล่า นั่นคือเมื่อคุณบอกว่าคุณมี 0 ปากกา หมายความว่าคุณไม่มีปากกาเลย

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง แนวคิดของ "ศูนย์" นั้นกว้างกว่า ไม่ได้แปลว่าว่างเลย ในที่นี้ 0 เรียกว่าความไม่แน่นอน เพราะหากคุณค้นคว้าเพียงเล็กน้อย ปรากฎว่าการหารศูนย์ด้วยศูนย์ เราจะได้จำนวนอื่นใดๆ ตามมา ซึ่งอาจไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ก็ได้

คุณรู้หรือไม่ว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายที่คุณเรียนที่โรงเรียนนั้นไม่เท่าเทียมกัน? ขั้นตอนพื้นฐานที่สุดคือ การบวกและการคูณ.

สำหรับนักคณิตศาสตร์ แนวคิดของ "" และ "การลบ" ไม่มีอยู่จริง สมมติว่า: ถ้าสามถูกลบออกจากห้า สองจะยังคงอยู่ นี่คือลักษณะของการลบ อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์จะเขียนแบบนี้:

ดังนั้น ปรากฎว่าความแตกต่างที่ไม่รู้จักคือจำนวนหนึ่งที่ต้องเพิ่มเป็น 3 เพื่อให้ได้ 5 นั่นคือคุณไม่จำเป็นต้องลบอะไรเลย คุณเพียงแค่ต้องหาจำนวนที่เหมาะสม กฎนี้ใช้กับการเพิ่ม

สิ่งต่าง ๆ เล็กน้อยด้วย กฎการคูณและการหารเป็นที่ทราบกันดีว่าการคูณด้วยศูนย์นำไปสู่ผลลัพธ์ที่เป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ถ้า 3:0=x ดังนั้นหากคุณพลิกบันทึก คุณจะได้ 3*x=0 และจำนวนที่คูณด้วย 0 จะให้ศูนย์ในผลคูณ ปรากฎว่าไม่มีตัวเลขที่จะให้ค่าใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ในผลิตภัณฑ์ที่มีค่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าการหารด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย นั่นคือ มันเข้ากับกฎของเรา

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณพยายามหารศูนย์ด้วยตัวเอง? ลองหา x เป็นจำนวนไม่แน่นอน ปรากฎสมการ 0 * x \u003d 0 ก็แก้ได้

ถ้าเราพยายามหาศูนย์แทนที่จะเป็น x เราจะได้ 0:0=0 มันจะดูเหมือนตรรกะ? แต่ถ้าเราลองเอาตัวเลขอื่นแทน x เช่น 1 เราก็จะได้ 0:0=1 สถานการณ์เดียวกันจะเป็นถ้าคุณใช้หมายเลขอื่นและ เสียบเข้าไปในสมการ.

ในกรณีนี้ ปรากฎว่าเราเอาเลขอื่นเป็นตัวประกอบก็ได้ ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนอนันต์ของตัวเลขที่แตกต่างกัน บางครั้งการหารด้วย 0 ในวิชาคณิตศาสตร์ที่สูงกว่าก็สมเหตุสมผล แต่โดยปกติแล้วจะมีเงื่อนไขบางประการที่เราสามารถเลือกจำนวนที่เหมาะสมได้หนึ่งจำนวน การดำเนินการนี้เรียกว่า "การเปิดเผยความไม่แน่นอน" ในเลขคณิตธรรมดา การหารด้วยศูนย์จะสูญเสียความหมายไปอีกครั้ง เนื่องจากเราไม่สามารถเลือกตัวเลขใดจำนวนหนึ่งจากเซตได้

สำคัญ!ศูนย์ไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

ศูนย์และอนันต์

อินฟินิตี้เป็นเรื่องธรรมดามากในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง เนื่องจากมันไม่สำคัญสำหรับเด็กนักเรียนที่จะรู้ว่ายังมีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีอนันต์ ครูไม่สามารถอธิบายให้เด็กฟังได้อย่างถูกต้องว่าทำไมจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์

นักเรียนเริ่มเรียนรู้ความลับทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานเฉพาะในปีแรกของสถาบัน คณิตศาสตร์ชั้นสูงมีปัญหามากมายที่ไม่มีทางแก้ไข ปัญหาที่มีชื่อเสียงที่สุดคือปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุด แก้ได้ด้วย การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

สมัครอินฟินิตี้ก็ได้ การคำนวณทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น:บวกคูณด้วยจำนวน การลบและการหารก็มักใช้เช่นกัน แต่สุดท้ายก็ยังเหลือการดำเนินการง่ายๆ สองอย่าง

แต่สิ่งที่จะ ถ้าคุณลอง:

คูณอนันต์ด้วยศูนย์ ในทางทฤษฎี ถ้าเราพยายามคูณจำนวนใดๆ ด้วยศูนย์ เราก็จะได้ศูนย์ แต่อนันต์เป็นชุดของตัวเลขที่ไม่แน่นอน เนื่องจากเราไม่สามารถเลือกตัวเลขหนึ่งตัวจากชุดนี้ นิพจน์ ∞*0 จึงไม่มีคำตอบและไม่มีความหมายอย่างยิ่ง
ศูนย์หารด้วยอนันต์ เรื่องนี้เป็นเรื่องเดียวกับข้างบน เราไม่สามารถเลือกตัวเลขได้ ซึ่งหมายความว่าเราไม่รู้ว่าจะหารด้วยอะไร การแสดงออกไม่สมเหตุสมผล

สำคัญ!อินฟินิตี้ต่างจากความไม่แน่นอนเล็กน้อย! อินฟินิตี้เป็นความไม่แน่นอนชนิดหนึ่ง

ทีนี้ ลองหารอนันต์ด้วยศูนย์กัน ดูเหมือนว่าควรจะมีความไม่แน่นอน แต่ถ้าเราพยายามแทนที่การหารด้วยการคูณ เราจะได้คำตอบที่แน่ชัด

ตัวอย่างเช่น: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞

ออกมาเป็นแบบนี้ค่ะ ความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์

ทำไมหารด้วยศูนย์ไม่ได้

ทดลองคิดลองหารด้วยศูนย์

บทสรุป

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าศูนย์ขึ้นอยู่กับการดำเนินการเกือบทั้งหมดที่ดำเนินการด้วย ยกเว้นอันเดียว คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์เพียงเพราะผลลัพธ์คือความไม่แน่นอน เรายังได้เรียนรู้วิธีการใช้งานศูนย์และอนันต์ ผลของการกระทำดังกล่าวจะเกิดความไม่แน่นอน

ฟังก์ชั่นพื้นฐานหลักได้รับการแยกออก

เมื่อเปลี่ยนไปใช้ฟังก์ชันในรูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้น เราจะพบกับนิพจน์ที่ไม่มีการกำหนดค่าไว้อย่างแน่นอน สำนวนดังกล่าวเรียกว่า ความไม่แน่นอน.

มาลงรายการทุกอย่างกัน ความไม่แน่นอนประเภทหลัก: ศูนย์หารด้วยศูนย์ (0 คูณ 0), อนันต์หารด้วยอนันต์, ศูนย์คูณอินฟินิตี้, อนันต์ลบอนันต์, หนึ่งยกกำลังอนันต์, ศูนย์ยกกำลังศูนย์, อินฟินิตี้ยกกำลังศูนย์

การแสดงออกอื่นๆ ทั้งหมดไม่ใช่ความไม่แน่นอน และใช้มูลค่าที่จำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุดโดยสมบูรณ์

เปิดเผยความไม่แน่นอนอนุญาตให้:

การลดความซับซ้อนของประเภทของฟังก์ชัน (การแปลงนิพจน์โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ, สูตรตรีโกณมิติ, การคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกตด้วยการลดลงที่ตามมา ฯลฯ );
การใช้ขอบเขตที่โดดเด่น
การประยุกต์ใช้กฎของโรงพยาบาล L'Hospital;
การใช้การแทนที่นิพจน์ขนาดเล็กที่เทียบเท่ากัน (โดยใช้ตารางที่มีขนาดเท่ากัน)

เราจัดกลุ่มความไม่แน่นอนเป็น ตารางความไม่แน่นอน. สำหรับความไม่แน่นอนแต่ละประเภท เราได้ใส่วิธีการเปิดเผยข้อมูล (วิธีการหาขีดจำกัด) ไว้ในการติดต่อสื่อสาร

ตารางนี้ พร้อมด้วยตารางขีดจำกัดของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน จะเป็นเครื่องมือหลักของคุณในการค้นหาขีดจำกัดใดๆ

ยกตัวอย่างสองสามตัวอย่างเมื่อทุกอย่างได้มาทันทีหลังจากการแทนค่าและไม่ความไม่แน่นอนเกิดขึ้น

ตัวอย่าง.

คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

เราแทนที่ค่า:

และเราได้คำตอบทันที

ตอบ:

ตัวอย่าง.

คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

เราแทนที่ค่า x=0 ลงในฐานของฟังก์ชันกำลังเลขชี้กำลังของเรา:

นั่นคือขีด จำกัด สามารถเขียนใหม่เป็น

ทีนี้มาดูดัชนีกัน นี่คือฟังก์ชันกำลัง ให้เราดูตารางข้อ จำกัด สำหรับฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบ จากนั้นเราก็มี และ ดังนั้นเราจึงสามารถเขียน .

จากสิ่งนี้ ขีด จำกัด ของเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

อีกครั้งเราหันไปที่ตารางขีด จำกัด แต่สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่งซึ่งเรามี:

ตอบ:

มาดูตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียดกัน การเปิดเผยความคลุมเครือโดยการแปลงนิพจน์.

บ่อยครั้ง นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายขีด จำกัด จำเป็นต้องเปลี่ยนเล็กน้อยเพื่อกำจัดความกำกวม

ตัวอย่าง.

คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

เราแทนที่ค่า:

มาถึงความไม่แน่นอน เราดูตารางความไม่แน่นอนเพื่อเลือกวิธีการแก้ไข เรามาลองลดความซับซ้อนของนิพจน์กัน

ตอบ:

ตัวอย่าง.

คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

เราแทนที่ค่า:

มาถึงความไม่แน่นอน (0 คูณ 0) เราดูที่ตารางความไม่แน่นอนเพื่อเลือกวิธีการแก้ปัญหาและพยายามทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เราคูณทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์ผันตัวส่วน

สำหรับตัวส่วน นิพจน์ adjoint คือ

เราคูณตัวส่วนเพื่อใช้สูตรคูณแบบย่อ - ผลต่างของกำลังสองแล้วลดนิพจน์ผลลัพธ์

หลังจากการเปลี่ยนแปลงหลายครั้ง ความไม่แน่นอนก็หายไป

ตอบ:

ความคิดเห็น:สำหรับขีดจำกัดของประเภทนี้ วิธีการคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกตเป็นเรื่องปกติ ดังนั้นอย่าลังเลที่จะใช้มัน

ตัวอย่าง.

คำนวณขีดจำกัด

สารละลาย.

เราแทนที่ค่า:

มาถึงความไม่แน่นอน เราดูที่ตารางความไม่แน่นอนเพื่อเลือกวิธีการแก้ปัญหาและพยายามทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เนื่องจากทั้งตัวเศษและตัวส่วนหายไปที่ x=1 ถ้านิพจน์เหล่านี้สามารถลดลงได้ (x-1) และความไม่แน่นอนจะหายไป

ลองแยกตัวประกอบตัวเศษ:

ลองแยกตัวประกอบตัวหาร:

ขีดจำกัดของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

หลังจากการเปลี่ยนแปลง ความไม่แน่นอนก็ถูกเปิดเผย

ตอบ:

พิจารณาขีดจำกัดที่อนันต์ของการแสดงออกของพลัง ถ้าเลขชี้กำลังของนิพจน์เลขชี้กำลังเป็นค่าบวก ลิมิตที่อนันต์จะเป็นอนันต์ นอกจากนี้ ค่าหลักมีดีกรีสูงสุด ส่วนที่เหลือสามารถละทิ้งได้

ตัวอย่าง.

หากนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายจำกัดเป็นเศษส่วน และทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นนิพจน์กำลัง (m คือกำลังของตัวเศษ และ n คือกำลังของตัวส่วน) เมื่อมีความไม่แน่นอนของรูปแบบอนันต์ โดยอนันต์ในกรณีนี้ ความไม่แน่นอนถูกเปิดเผยตัวหารและตัวเศษและตัวส่วนโดย

ตัวอย่าง.

คำนวณขีดจำกัด

ถ้าจำนวนหารด้วยอนันต์ ผลหารมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์หรือไม่? เข้าไปข้างในก็ได้คำตอบที่ดีขึ้น

คำตอบจาก Olenka[มือใหม่]
ทั้งหมด 0
แคร็บบาร์
Oracle
(56636)
ไม่. ศูนย์ที่แน่นอน เนื่องจากตัวหารมีแนวโน้มเป็นอนันต์ ผลหารมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ และถ้าเราไม่หารด้วยตัวเลขที่พุ่งไปที่อนันต์ แต่โดยอินฟินิตี้เอง (โดยวิธีการให้ละเอียดกว่านี้ไม่ถือว่าเป็นตัวเลขอย่างเป็นทางการเลย แต่ถือเป็นสัญลักษณ์พิเศษที่เสริมการกำหนดตัวเลข) - เป็นศูนย์อย่างแน่นอน

คำตอบจาก จูเกอุส วลาดิเมียร์[คุรุ]
แม้แต่หารศูนย์ คูณด้วยจำนวนใด ๆ มันก็ยังคงเป็นศูนย์!

คำตอบจาก 1 23 [คุรุ]
ถ้าอึบางอย่างมีแนวโน้มเป็นศูนย์ การคูณมันด้วยสิ่งที่จำกัด (ตัวเลขหรือฟังก์ชันจำกัด) จะไม่เจ็บปวด เพราะ all-rna มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์
แต่ถ้าคุณคูณมันด้วยบางสิ่งที่มีแนวโน้มไม่สิ้นสุด ก็อาจมีทางเลือกอื่น

คำตอบจาก แคร็บบาร์[คุรุ]
การหารจำนวนใด ๆ ด้วยอนันต์ส่งผลให้เป็นศูนย์ ศูนย์ที่แน่นอนไม่มี "ไปที่ศูนย์" แล้วคูณด้วยเลขอะไรก็ตาม ได้ศูนย์ และผลลัพธ์ของการหารศูนย์ด้วยจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นศูนย์ เมื่อหารศูนย์ด้วยศูนย์เท่านั้น ผลลัพธ์ไม่ได้ถูกกำหนด ตัวเลขใดๆ จะเหมาะสมเป็นผลหาร

อนุพันธ์ของฟังก์ชันอยู่ไม่ไกล และในกรณีของกฎของโลปิตาล ฟังก์ชันจะตกอยู่ที่ตำแหน่งเดิมพอดี สถานการณ์นี้ช่วยในการเปิดเผยความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ และความไม่แน่นอนอื่นๆ ที่เกิดขึ้นในการคำนวณ ขีดจำกัดอัตราส่วนของฟังก์ชันขนาดเล็กหรืออนันต์สองฟังก์ชัน การคำนวณนั้นง่ายขึ้นอย่างมากโดยกฎนี้ (อันที่จริงมีกฎสองข้อและหมายเหตุไว้):

ตามสูตรข้างต้นแสดงให้เห็นว่า เมื่อคำนวณขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันขนาดเล็กหรือขนาดใหญ่สองฟังก์ชัน ขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันสองฟังก์ชันสามารถแทนที่ด้วยขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันดังกล่าว อนุพันธ์และได้ผลลัพธ์ที่แน่นอน

มาดูการกำหนดกฎเกณฑ์ของ L'Hopital ที่แม่นยำยิ่งขึ้นกัน

กฎของ L'Hopital สำหรับกรณีของขีดจำกัดของค่าขนาดเล็กอนันต์สองค่า. ให้ฟังก์ชั่น ฉ(x) และ g(x เอ. และ ณ จุดนั้น เอ เออนุพันธ์ของฟังก์ชัน g(x) ไม่เท่ากับศูนย์ ( g"(x เอมีค่าเท่ากันและเท่ากับศูนย์:

กฎของโลปิตาลสำหรับกรณีการจำกัดปริมาณมากเป็นอนันต์ 2 รายการ. ให้ฟังก์ชั่น ฉ(x) และ g(x) มีอนุพันธ์ (นั่นคือ อนุพันธ์) อยู่ในบริเวณใกล้เคียงของจุด เอ. และ ณ จุดนั้น เอพวกเขาอาจมีหรือไม่มีอนุพันธ์ นอกจากนี้ในบริเวณใกล้จุด เออนุพันธ์ของฟังก์ชัน g(x) ไม่เท่ากับศูนย์ ( g"(x)≠0 ) และลิมิตของฟังก์ชันเหล่านี้เนื่องจาก x มีแนวโน้มที่ค่าของฟังก์ชันที่จุด เอมีค่าเท่ากันและเท่ากับอนันต์:

จากนั้นขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชันเหล่านี้จะเท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ ลิมิตของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันจะเท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ของอนุพันธ์ ถ้าส่วนหลังมีอยู่ (จำกัด นั่นคือ เท่ากับ a จำนวนหนึ่งหรืออนันต์ นั่นคือ เท่ากับอนันต์)

หมายเหตุ.

1. กฎของ L'Hopital ยังมีผลบังคับใช้เมื่อฟังก์ชันต่างๆ ฉ(x) และ g(x) ไม่ได้กำหนดไว้ที่ x = เอ.

2. ถ้าเมื่อคำนวณขีดจำกัดอัตราส่วนของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) และ g(x) เรากลับมาพบกับความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞ ดังนั้นกฎของ L'Hopital ควรใช้ซ้ำๆ (อย่างน้อยสองครั้ง)

3. กฎของ L'Hopital ยังใช้ได้เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน (x) มีแนวโน้มเป็นจำนวนไม่จำกัด เอและถึงอนันต์ ( x → ∞).

ความไม่แน่นอนของประเภทอื่นสามารถลดลงเป็นความไม่แน่นอนของประเภท 0/0 และ ∞/∞ ได้เช่นกัน

การเปิดเผยความไม่แน่นอนของประเภท "ศูนย์หารด้วยศูนย์" และ "อนันต์หารด้วยอนันต์"

ตัวอย่างที่ 1

x=2 นำไปสู่ความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 ดังนั้นอนุพันธ์ของแต่ละฟังก์ชันจึงได้

ในตัวเศษ คำนวณอนุพันธ์ของพหุนามและในตัวส่วน - อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อน. ก่อนเครื่องหมายเท่ากับสุดท้าย ปกติ ขีดจำกัดแทน ดิวซ์ แทน x

ตัวอย่าง 2คำนวณขีด จำกัด ของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันโดยใช้กฎของ L'Hospital:

สารละลาย. แทนที่ลงในฟังก์ชันค่าที่กำหนด x

ตัวอย่างที่ 3คำนวณขีด จำกัด ของอัตราส่วนของสองฟังก์ชันโดยใช้กฎของ L'Hospital:

สารละลาย. แทนที่ลงในฟังก์ชันค่าที่กำหนด x=0 นำไปสู่ความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 ดังนั้นเราจึงคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในตัวเศษและส่วนและรับ:

ตัวอย่างที่ 4คำนวณ

สารละลาย. การแทนที่ค่าของ x เท่ากับบวกอนันต์ลงในฟังก์ชันที่กำหนดจะทำให้เกิดความไม่แน่นอนของรูปแบบ ∞/∞ ดังนั้นเราจึงใช้กฎของโลปิตาล:

ความคิดเห็น มาต่อกันที่ตัวอย่างที่ต้องใช้กฎ L'Hopital สองครั้ง นั่นคือ มาถึงจุดจำกัดอัตราส่วนของอนุพันธ์อันดับสอง เนื่องจากขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์อันดับ 1 คือความไม่แน่นอนของรูปแบบ 0/0 หรือ ∞/∞