สูตรสำหรับองศาและราก การยกกำลัง กฎ ตัวอย่าง

ภายในกรอบของเนื้อหานี้ เราจะวิเคราะห์ว่าระดับของตัวเลขคืออะไร นอกจากคำจำกัดความพื้นฐานแล้ว เราจะกำหนดองศาที่มีเลขชี้กำลังแบบธรรมชาติ ทั้งหมด ตรรกยะ และอตรรกยะ และเช่นเคย แนวคิดทั้งหมดจะแสดงตัวอย่างงาน

Yandex.RTB R-A-339285-1

อันดับแรก เรากำหนดนิยามพื้นฐานของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ ในการทำเช่นนี้ เราต้องจำกฎพื้นฐานของการคูณ ให้เราชี้แจงล่วงหน้าว่าในขณะนี้เราจะใช้จำนวนจริงเป็นฐาน (แสดงด้วยตัวอักษร a) และในฐานะตัวบ่งชี้ - ตัวเลขธรรมชาติ (แสดงด้วยตัวอักษร n)

คำจำกัดความ 1

ยกกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ n คือผลคูณของตัวประกอบจำนวน n -th ซึ่งแต่ละตัวจะเท่ากับจำนวน a ปริญญาเขียนดังนี้: หนึ่งและในรูปแบบของสูตร สามารถแสดงองค์ประกอบของสูตรได้ดังนี้

ตัวอย่างเช่น ถ้าเลขชี้กำลังเป็น 1 และฐานเป็น a ดังนั้นกำลังแรกของ a จะถูกเขียนเป็น 1... เนื่องจาก a คือค่าของตัวประกอบ และ 1 คือจำนวนตัวประกอบ เราสรุปได้ว่า a 1 = a.

โดยทั่วไป เราสามารถพูดได้ว่า ดีกรีเป็นรูปแบบที่สะดวกในการเขียนปัจจัยที่เท่ากันจำนวนมาก ดังนั้นการป้อนแบบฟอร์ม 8 8 8 8สามารถลดได้ถึง 8 4 ... ในทำนองเดียวกัน ผลิตภัณฑ์ช่วยให้เราหลีกเลี่ยงการเขียนคำศัพท์จำนวนมาก (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); เราได้ตรวจสอบสิ่งนี้แล้วในบทความเกี่ยวกับการคูณจำนวนธรรมชาติ

จะอ่านบันทึกปริญญาได้อย่างถูกต้องได้อย่างไร? ตัวเลือกที่ยอมรับโดยทั่วไปคือ "a ยกกำลัง n" หรือคุณสามารถพูดว่า "ระดับ n -th" หรือ "ระดับ n -th" หากตัวอย่างมีรายการ 8 12 เราสามารถอ่านได้ว่า "8 ถึง 12 องศา", "8 ถึง 12 องศา" หรือ "12 องศาคูณ 8"

ยกกำลังที่สองและสามของตัวเลขมีชื่อที่แน่ชัดคือ สี่เหลี่ยมและลูกบาศก์ หากเราเห็นดีกรีที่สอง เช่น เลข 7 (7 2) เราก็บอกว่า "7 กำลังสอง" หรือ "กำลังสองของเลข 7" ในทำนองเดียวกันระดับที่สามอ่านดังนี้: 5 3 เป็น "ลูกบาศก์ของตัวเลข 5" หรือ "5 ในลูกบาศก์" อย่างไรก็ตาม ก็ยังสามารถใช้สูตรมาตรฐาน “ในระดับที่สอง/สาม” ได้ ก็ไม่ผิด

ตัวอย่างที่ 1

มาวิเคราะห์ตัวอย่างดีกรีด้วยตัวบ่งชี้ธรรมชาติกัน: for 5 7 ห้าจะเป็นฐานและเจ็ดจะเป็นตัวบ่งชี้

ฐานไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม: สำหรับดีกรี (4 , 32) 9 ฐานคือเศษส่วน 4, 32 และเลขชี้กำลังคือเก้า ให้ความสนใจกับวงเล็บ: รายการดังกล่าวถูกสร้างขึ้นสำหรับทุกองศาซึ่งฐานที่แตกต่างจากตัวเลขธรรมชาติ

ตัวอย่างเช่น: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3

วงเล็บมีไว้เพื่ออะไร? ช่วยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการคำนวณ สมมติว่าเรามีสองรายการ: (− 2) 3 และ − 2 3 ... ตัวแรกหมายถึงจำนวนลบลบสอง ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติสาม ที่สองคือตัวเลขที่ตรงกับค่าตรงข้ามของดีกรี 2 3 .

บางครั้งในหนังสือ คุณอาจพบว่าการสะกดระดับของตัวเลขต่างกันเล็กน้อย - เป็น ^ n(โดยที่ a คือฐาน และ n คือเลขชี้กำลัง) นั่นคือ 4 ^ 9 เท่ากับ 4 9 ... ถ้า n เป็นจำนวนหลายหลัก ให้อยู่ในวงเล็บ ตัวอย่างเช่น 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156) แต่เราจะใช้สัญกรณ์ หนึ่งเป็นเรื่องธรรมดามากขึ้น

มันง่ายที่จะเดาวิธีการคำนวณค่าของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติจากคำจำกัดความของมัน: คุณเพียงแค่ต้องคูณจำนวน n -th เราเขียนเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความอื่น

แนวคิดของปริญญาเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์อื่น - รากของตัวเลข ถ้าเรารู้ค่าของดีกรีและเลขชี้กำลัง เราก็สามารถคำนวณฐานของมันได้ ระดับมีคุณสมบัติเฉพาะที่เป็นประโยชน์สำหรับการแก้ปัญหาที่เราวิเคราะห์ในวัสดุแยกต่างหาก

ในเลขชี้กำลัง ไม่เพียงแต่จำนวนธรรมชาติเท่านั้นที่สามารถยืนได้ แต่โดยทั่วไปแล้ว ค่าจำนวนเต็มใดๆ รวมถึงค่าลบและศูนย์ เนื่องจากพวกมันอยู่ในเซตของจำนวนเต็มด้วย

คำจำกัดความ 2

ยกกำลังของจำนวนเต็มบวกสามารถแสดงเป็นสูตรได้ดังนี้ .

นอกจากนี้ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ

มาจัดการกับแนวคิดของศูนย์องศา ในการทำเช่นนี้ เราใช้วิธีการที่คำนึงถึงคุณสมบัติของผลหารสำหรับองศาที่มีฐานเท่ากัน เป็นสูตรดังนี้

คำจำกัดความ 3

ความเท่าเทียมกัน a m: a n = a m - nจะเป็นจริงภายใต้เงื่อนไข: m และ n เป็นจำนวนธรรมชาติ m< n , a ≠ 0 .

เงื่อนไขสุดท้ายมีความสำคัญเนื่องจากหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ หากค่าของ m และ n เท่ากัน เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: n: n = n - n = 0

แต่ในขณะเดียวกัน a n: a n = 1 คือผลหารของจำนวนที่เท่ากัน หนึ่งและก. ปรากฎว่าระดับศูนย์ของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใด ๆ เท่ากับหนึ่ง

อย่างไรก็ตาม หลักฐานดังกล่าวใช้ไม่ได้กับศูนย์ถึงระดับศูนย์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องการคุณสมบัติอื่นขององศา - คุณสมบัติของผลคูณขององศาที่มีฐานเท่ากัน ดูเหมือนว่านี้: a m a n = a m + n .

ถ้าเรามี n เท่ากับ 0 แล้ว a m a 0 = a m(ความเท่าเทียมกันนี้ยังพิสูจน์ให้เราเห็นว่า 0 = 1). แต่ถ้า a เท่ากับศูนย์ด้วย ความเท่าเทียมกันของเราจะอยู่ในรูป 0 m 0 0 = 0 m, มันจะเป็นจริงสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ n, และไม่สำคัญว่าค่าของดีกรีเป็นอย่างไร 0 0 กล่าวคือสามารถเท่ากับจำนวนใดก็ได้และจะไม่ส่งผลต่อความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน ดังนั้น สัญกรณ์ของแบบฟอร์ม 0 0 ไม่มีความหมายพิเศษ และเราจะไม่ถือว่าสิ่งนั้นเป็นของเขา

หากต้องการก็ตรวจสอบได้ง่ายๆ ว่า 0 = 1มาบรรจบกับคุณสมบัติระดับ (a m) n = a m nโดยมีเงื่อนไขว่าฐานของดีกรีไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น ดีกรีของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์จึงเท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่าง 2

ลองดูตัวอย่างที่มีตัวเลขเฉพาะ: ดังนั้น 5 0 - หน่วย, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 และค่า 0 0 ไม่ได้กำหนด.

หลังจากศูนย์ดีกรีแล้ว เรายังต้องหาว่าดีกรีเชิงลบคืออะไร ในการทำเช่นนี้ เราต้องการคุณสมบัติเดียวกันกับผลคูณขององศาที่มีฐานเท่ากัน ซึ่งเราใช้ไปแล้วข้างต้น: a m · a n = a m + n

มาแนะนำเงื่อนไขกัน: m = - n แล้ว a ไม่ควรเท่ากับศูนย์ เป็นไปตามนั้น a - n a n = a - n + n = a 0 = 1... ปรากฎว่า n และ หนึ่งเรามีจำนวนผกผันซึ่งกันและกัน

ผลก็คือ a ยกกำลังลบเป็นจำนวนเต็มไม่ได้เป็นอะไรนอกจากเศษส่วน 1 a n

สูตรนี้ยืนยันว่าสำหรับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม คุณสมบัติเดียวกันทั้งหมดจะใช้ได้เป็นดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ (โดยมีเงื่อนไขว่าฐานไม่ใช่ศูนย์)

ตัวอย่างที่ 3

ยกกำลังของ a ที่มีจำนวนเต็มลบ n สามารถแสดงเป็นเศษส่วน 1 a n ดังนั้น a - n = 1 a n ภายใต้เงื่อนไข a 0และ n เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ

มาแสดงความคิดของเราด้วยตัวอย่างเฉพาะ:

ตัวอย่างที่ 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

ในส่วนสุดท้ายของย่อหน้า เราจะพยายามอธิบายทุกอย่างชัดเจนในสูตรเดียว:

คำจำกัดความ 4

กำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ z คือ: az = az, e กับ l และ z - จำนวนเต็มบวก 1, z = 0 และ a ≠ 0, (สำหรับ และ z = 0 และ a = 0, เราจะได้ 0 0, ค่าของนิพจน์คือ 0 0 ไม่ใช่ ( ถ้า z เป็นจำนวนเต็มและ a = 0 ให้ 0 z, ego z n ใน n n e n d e d e n t)

องศาเลขชี้กำลังตรรกยะคืออะไร

เราได้วิเคราะห์กรณีที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม คุณยังสามารถเพิ่มจำนวนขึ้นเป็นกำลังเมื่อมีตัวเลขเศษส่วนในเลขชี้กำลัง นี่เรียกว่าดีกรีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ในส่วนย่อยนี้ เราจะพิสูจน์ว่ามันมีคุณสมบัติเหมือนกับดีกรีอื่นๆ

จำนวนตรรกยะคืออะไร? ชุดประกอบด้วยทั้งจำนวนเต็มและเศษส่วน ในขณะที่ตัวเลขเศษส่วนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนธรรมดา (ทั้งบวกและลบ) ให้เรากำหนดนิยามของดีกรีของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m / n โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติและ m เป็นจำนวนเต็ม

เรามีดีกรีกับเลขชี้กำลังเศษส่วน a m n สำหรับคุณสมบัติของระดับที่จะบรรลุผล ความเท่าเทียมกัน a m n n = a m n · n = a m จะต้องเป็นจริง

จากคำจำกัดความของรากที่ n และ a m n n = a m เราสามารถยอมรับเงื่อนไข a m n = a m n ถ้า m n สมเหตุสมผลสำหรับค่าที่กำหนดของ m, n และ a

คุณสมบัติข้างต้นของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มจะถูกต้องหาก m n = a m n

ข้อสรุปหลักจากการให้เหตุผลของเรามีดังนี้: กำลังของจำนวน a บางตัวที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m / n คือรากที่ n ของจำนวน a ยกกำลัง m นี่เป็นจริงหากสำหรับค่าที่กำหนดของ m, n และ a นิพจน์ a m n ยังคงมีความหมาย

1. เราสามารถจำกัดค่าของฐานของดีกรีได้: ใช้ a ซึ่งสำหรับค่าบวกของ m จะมากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสำหรับค่าลบจะน้อยกว่าอย่างเคร่งครัด (เนื่องจากสำหรับ m ≤ 0 เราจะได้ 0 นาทีแต่ระดับนี้ไม่ได้กำหนดไว้) ในกรณีนี้ คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนจะมีลักษณะดังนี้:

เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m / n สำหรับจำนวนบวก a คือรากที่ n ของ a ยกกำลัง m ในรูปของสูตร สามารถแสดงได้ดังนี้

สำหรับดีกรีที่มีฐานเป็นศูนย์ ตำแหน่งนี้ก็เหมาะสมเช่นกัน แต่ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก

องศาที่มีศูนย์ฐานและเลขชี้กำลังบวกเศษส่วน m / n สามารถแสดงเป็น

0 m n = 0 m n = 0 ภายใต้เงื่อนไขของจำนวนเต็มบวก m และ n ธรรมชาติ

ด้วยอัตราส่วนลบ m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ขอทราบจุดหนึ่ง เนื่องจากเราแนะนำเงื่อนไขที่ a มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ เราจึงลดบางกรณี

นิพจน์ a m n บางครั้งสมเหตุสมผลสำหรับค่าลบของ a และ m บางตัว ดังนั้น รายการที่ถูกต้องคือ (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 ซึ่งฐานเป็นลบ

2. วิธีที่สองคือพิจารณาแยกราก a m n ด้วยเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่ จากนั้นเราจำเป็นต้องแนะนำอีกหนึ่งเงื่อนไข: กำลังของ a ซึ่งอยู่ในเลขชี้กำลังซึ่งมีเศษส่วนธรรมดาที่ยกเลิกได้ จะถือเป็นกำลังของ a ซึ่งอยู่ในเลขชี้กำลังซึ่งมีเศษส่วนที่ลดทอนไม่ได้ที่สอดคล้องกัน ต่อมาเราจะอธิบายว่าทำไมเราถึงต้องการเงื่อนไขนี้และเหตุใดจึงสำคัญ ดังนั้น หากเรามีบันทึก a m k n k เราก็สามารถลดให้เป็น m n และทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

ถ้า n เป็นจำนวนคี่และ m เป็นค่าบวก a คือจำนวนที่ไม่เป็นลบใดๆ ดังนั้น m n ก็สมเหตุสมผล จำเป็นต้องมีเงื่อนไขสำหรับ a ที่ไม่ใช่ค่าลบ เนื่องจากจะไม่มีการแยกรูทเลขคู่ของจำนวนลบออก หากค่าของ m เป็นบวก ดังนั้น a สามารถเป็นค่าลบหรือศูนย์ได้ เนื่องจาก สามารถแยกรูทคี่ออกจากจำนวนจริงใดๆ ได้

มารวมข้อมูลทั้งหมดข้างต้นคำจำกัดความไว้ในบันทึกเดียว:

ในที่นี้ m / n หมายถึงเศษส่วนที่ลดทอนไม่ได้ m คือจำนวนเต็มใดๆ และ n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คำจำกัดความ 5

สำหรับเศษส่วนธรรมดาที่ยกเลิกได้ m · k n · k เลขชี้กำลังสามารถแทนที่ด้วย m n

กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนลดทอนไม่ได้ m / n - สามารถแสดงเป็น m n ในกรณีต่อไปนี้: - สำหรับค่า a จริงใดๆ ค่าจำนวนเต็มบวก m และค่าธรรมชาติคี่ n ตัวอย่าง: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

สำหรับจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ a จำนวนเต็มลบ m และเลขคี่ n เช่น 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

สำหรับจำนวนเต็มบวก m และเลขคู่ที่ไม่ใช่ค่าลบใดๆ เช่น 2 1 4 = 2 1 4 (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18

สำหรับค่าบวก a, จำนวนเต็มลบ m และเลขคู่ เช่น 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,

สำหรับค่าอื่นๆ จะไม่มีการกำหนดเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างขององศาดังกล่าว: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5

ตอนนี้ มาอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขที่กล่าวถึงข้างต้น: เหตุใดจึงแทนที่เศษส่วนด้วยเลขชี้กำลังที่ยกเลิกได้ด้วยเศษส่วนที่มีเศษส่วนลดทอนไม่ได้ ถ้าเราไม่ทำสิ่งนี้ เราก็จะได้รับสถานการณ์ดังกล่าว เช่น 6/10 = 3/5 แล้วมันควรจะเป็นจริง (- 1) 6 10 = - 1 3 5 แต่ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 และ (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1

คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนซึ่งเราให้ไว้เป็นอันแรกนั้นสะดวกกว่าในทางปฏิบัติมากกว่าอันที่สอง ดังนั้นเราจะใช้ต่อไป

คำจำกัดความ 6

ดังนั้น ระดับของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน m / n ถูกกำหนดเป็น 0 m n = 0 m n = 0 ในกรณีที่เป็นลบ เอสัญกรณ์ a m n นั้นไม่มีความหมาย กำลังของศูนย์สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นบวก ม. / นถูกกำหนดเป็น 0 m n = 0 m n = 0 สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นลบ เราไม่ได้กำหนดระดับของศูนย์

โดยสรุป เราทราบว่าคุณสามารถเขียนตัวบ่งชี้เศษส่วนใดๆ ก็ได้ทั้งที่เป็นจำนวนคละและเป็นเศษส่วนทศนิยม: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7

เมื่อคำนวณ จะเป็นการดีกว่าที่จะแทนที่เลขชี้กำลังด้วยเศษส่วนธรรมดา แล้วใช้คำจำกัดความของเลขชี้กำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สำหรับตัวอย่างข้างต้น เราได้รับ:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

องศาที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะและถูกต้องคืออะไร

ตัวเลขจริงคืออะไร? ชุดประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ดังนั้น เพื่อให้เข้าใจว่าระดับที่มีตัวบ่งชี้ที่แท้จริงคืออะไร เราจำเป็นต้องกำหนดองศาด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลและไม่มีเหตุผล เราได้กล่าวถึงเหตุผลข้างต้นแล้ว มาจัดการกับอินดิเคเตอร์ที่ไม่ลงตัวทีละขั้นตอนกัน

ตัวอย่างที่ 5

สมมติว่าเรามีจำนวนอตรรกยะ a และลำดับของการประมาณทศนิยมของมันคือ 0, a 1, a 2, ... ... ... ตัวอย่างเช่น ลองหาค่า a = 1.67175331 ... ... , แล้ว

0 = 1.6, 1 = 1.67, 2 = 1.671, ... ... , 0 = 1.67, 1 = 1.6717, 2 = 1.671753,. ... ...

เราสามารถเชื่อมโยงลำดับของการประมาณกับลำดับขององศา a 0, a 1, a 2, ... ... ... หากเราจำสิ่งที่เราพูดไว้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับการบวกเลขยกกำลังเป็นตรรกยะ เราก็สามารถคำนวณค่าของพลังเหล่านี้ได้ด้วยตนเอง

ยกตัวอย่าง a = 3จากนั้น a 0 = 31.67, a a 1 = 31.6717, a 2 = 31.671753, ... ... ฯลฯ

ลำดับขององศาสามารถลดลงเป็นตัวเลขได้ ซึ่งจะเป็นค่าของดีกรีที่มีฐาน a และเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว a ผลลัพธ์ที่ได้คือ ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ เช่น 3 1, 67175331 ... ลดเหลือเลข 6,27 ได้

คำจำกัดความ 7

ยกกำลังของจำนวนบวก a ที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ a เขียนเป็น a ค่าของมันคือขีดจำกัดของลำดับ a 0, a 1, a 2, ... ... โดยที่ 0, a 1, 2,. ... ... เป็นการประมาณทศนิยมต่อเนื่องกันของจำนวนอตรรกยะ a ระดับที่มีฐานเป็นศูนย์ยังสามารถกำหนดได้สำหรับตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัวที่เป็นบวก ในขณะที่ 0 a = 0 ดังนั้น 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0 และสำหรับค่าลบ ค่านี้ไม่สามารถทำได้ ตัวอย่างเช่น ค่า 0 - 5, 0 - 2 π ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ หน่วยที่ยกกำลังอตรรกยะใดๆ ยังคงเป็น 1 ตัวอย่างเช่น และ 1 2, 1 5 ใน 2 และ 1 - 5 จะเท่ากับ 1

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter

เมื่อไหร่ตัวเลขคูณตัวเอง กับตัวเอง, งานเรียกว่า ระดับ.

ดังนั้น 2.2 = 4 กำลังสองหรือกำลังสองของ2
2.2.2 = 8 ลูกบาศก์หรือดีกรีที่สาม
2.2.2.2 = 16 องศาที่สี่

นอกจากนี้ 10.10 = 100 กำลังสองคือ 10
10/10/10 = 1,000 องศาที่สาม
10.10.10.10 = 10000 องศาที่สี่

และ a.a = aa ดีกรีที่สองของ a
a.a.a = aaa, ดีกรีสาม a
a.a.a.a = อ่าาาา องศาที่สี่ a

เบอร์เดิมเรียกว่า รากพลังของตัวเลขนั้น เพราะนั่นคือตัวเลขที่สร้างองศา

อย่างไรก็ตาม ไม่สะดวกอย่างยิ่งโดยเฉพาะในกรณีขององศาสูง ที่จะจดปัจจัยทั้งหมดที่ประกอบเป็นองศา ดังนั้นจึงใช้วิธีสัญกรณ์ย่อ รากของดีกรีเขียนเพียงครั้งเดียวและทางด้านขวาและสูงกว่าเล็กน้อยใกล้ ๆ แต่ในแบบอักษรที่เล็กกว่าเล็กน้อยเขียนกี่ครั้ง ทำหน้าที่เป็นรากเป็นปัจจัย... ตัวเลขหรือตัวอักษรนี้เรียกว่า เลขชี้กำลังหรือ ระดับตัวเลข ดังนั้น 2 เท่ากับ a.a หรือ aa เพราะรากของ a ต้องคูณด้วยตัวมันเองสองครั้งจึงจะได้กำลัง aa นอกจากนี้ a 3 หมายถึง aaa นั่นคือที่นี่มีการทำซ้ำ สามครั้งเป็นปัจจัย

ระดับแรกคือ 1 แต่โดยปกติแล้วจะไม่ถูกบันทึก ดังนั้น 1 เขียนเป็น

คุณไม่ควรสับสนองศากับ ค่าสัมประสิทธิ์... สัมประสิทธิ์แสดงว่าค่าถูกนำมาเป็น .บ่อยเพียงใด ส่วนหนึ่งทั้งหมด. ดีกรีแสดงความถี่ที่ค่าถูกนำมาเป็น ปัจจัยทำงาน.
ดังนั้น 4a = a + a + a + a แต่ 4 = a.a.a.a

แบบแผนสัญลักษณ์กำลังมีข้อได้เปรียบพิเศษที่ทำให้เราสามารถแสดงออกได้ ไม่รู้จักระดับ. เพื่อจุดประสงค์นี้ แทนที่จะเป็นตัวเลข เลขชี้กำลังจะถูกเขียนขึ้น จดหมาย... ในกระบวนการแก้ปัญหา เราจะได้ค่า ซึ่งเท่าที่ทราบคือ บางระดับของปริมาณอื่น แต่จนถึงตอนนี้เราไม่รู้ว่ามันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ หรือระดับที่สูงกว่านี้ ดังนั้น ในนิพจน์ a x เลขชี้กำลังหมายความว่านิพจน์นี้มี บางระดับแม้ว่าจะไม่ได้กำหนดไว้ ระดับไหน... ดังนั้น b m และ d n จะถูกยกกำลังของ m และ n เมื่อพบเลขชี้กำลังแล้ว ตัวเลขแทนที่ด้วยจดหมาย ดังนั้น ถ้า m = 3 แล้ว b m = b 3; แต่ถ้า m = 5 แล้ว b m = b 5

วิธีการเขียนค่าโดยใช้อำนาจก็เป็นข้อได้เปรียบอย่างมากในกรณีของการใช้ สำนวน... ดังนั้น (a + b + d) 3 คือ (a + b + d) (A + b + d) (A + b + d) นั่นคือลูกบาศก์ของไตรนาม (a + b + d) . แต่ถ้าคุณเขียนพจน์นี้หลังจากลูกบาศก์จะมีลักษณะดังนี้
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3

ถ้าเราหาชุดขององศาที่มีเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นหรือลดลง 1 เราจะพบว่าผลคูณเพิ่มขึ้นโดย ปัจจัยร่วมหรือลดลงโดย ตัวหารร่วมและตัวประกอบหรือตัวหารนี้เป็นจำนวนเดิมที่ยกกำลัง

ดังนั้นในซีรีส์ aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
หรือ 5, 4, 3, 2, 1;
ตัวบ่งชี้หากนับจากขวาไปซ้ายจะเท่ากับ 1, 2, 3, 4, 5; และความแตกต่างระหว่างค่าของพวกเขาคือ 1 ถ้าเราเริ่ม ด้านขวา คูณใน a เราได้รับหลายค่าสำเร็จ

ดังนั้น a.a = a 2 เทอมที่สอง และ 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 เทอมที่สาม 4 .a = a 5

ถ้าเราเริ่ม ซ้าย แบ่งปันบน,
เราได้ 5: a = a 4 และ a 3: a = a 2
a 4:a = a 3 a 2: a = a 1

แต่กระบวนการแบ่งดังกล่าวสามารถดำเนินต่อไปได้ และเราได้รับค่านิยมชุดใหม่

ดังนั้น a: a = a / a = 1 (1 / a): a = 1 / aa
1: a = 1 / a (1 / aa): a = 1 / aaa

แถวเต็มจะเป็น: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1 / a, 1 / aa, 1 / aaa

หรือ 5, 4, 3, 2, a, 1, 1 / a, 1 / a 2, 1 / a 3

ที่นี่ค่า ด้านขวาจากที่หนึ่งมี ย้อนกลับค่าทางด้านซ้ายของหนึ่ง ดังนั้น จึงเรียกระดับนี้ว่า องศาผกผันก. เราสามารถพูดได้ว่าองศาทางซ้ายผกผันกับองศาทางขวา

ดังนั้น 1: (1 / a) = 1. (a / 1) = a และ 1: (1 / a 3) = a 3

สามารถใช้แผนการบันทึกเดียวกันได้กับ พหุนาม... ดังนั้นสำหรับ a + b เราได้เซต
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1 / (a ​​​​+ b), 1 / (a ​​​​+ b) 2, 1 / (a ​​​​+ ข) 3.

เพื่อความสะดวก จะใช้รูปแบบอื่นในการเขียนกำลังผกผัน

ตามแบบฟอร์มนี้ 1 / a หรือ 1 / a 1 = a -1 และ 1 / aaa หรือ 1 / a 3 = a -3
1 / aa หรือ 1 / a 2 = a -2 1 / aaaa หรือ 1 / a 4 = a -4

และเพื่อให้เป็นอนุกรมที่สมบูรณ์ด้วยตัวบ่งชี้ที่มี 1 เป็นผลต่างทั้งหมด a / a หรือ 1 ให้ถือว่าไม่มีดีกรีและเขียนเป็น 0

แล้วคำนึงถึงอำนาจตรงและผกผัน
แทน aaa, aaa, aa, a, a / a, 1 / a, 1 / aa, 1 / aaa, 1 / aaaa
คุณสามารถเขียน 4, 3, 2, 1, a 0, -1, a -2, a -3, a -4
หรือ +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4

และจำนวนองศาเดี่ยวจะมีลักษณะดังนี้:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

รากของพลังสามารถแสดงได้มากกว่าหนึ่งตัวอักษร

ดังนั้น aa.aa หรือ (aa) 2 คือดีกรีที่สองของ aa
และ aa.aa.aa หรือ (aa) 3 คือดีกรีที่สามของ aa

พลังทั้งหมดของหมายเลข 1 เหมือนกัน: 1.1 หรือ 1.1.1 จะเท่ากับ 1

การยกกำลังคือการหาค่าของตัวเลขใดๆ โดยการคูณตัวเลขนี้ด้วยตัวมันเอง กฎการยกกำลัง:

คูณค่าด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้งตามที่ระบุในยกกำลังของตัวเลข

กฎนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับตัวอย่างทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นระหว่างกระบวนการยกกำลัง แต่จะเป็นการถูกต้องที่จะให้คำอธิบายเกี่ยวกับวิธีการนำไปใช้กับบางกรณี

หากมีเพียงพจน์เดียวที่ยกกำลังขึ้น มันจะถูกคูณด้วยตัวมันเองหลาย ๆ ครั้งตามที่เลขชี้กำลังระบุ

ยกกำลังที่สี่ของ a คือ 4 หรือ aaaa (ข้อ 195.)
ยกกำลังหกของ y คือ y 6 หรือ yyyyyy
ยกกำลังที่ n ของ x คือ x n หรือ xxx ..... ซ้ำ n ครั้ง

หากจำเป็นต้องยกนิพจน์ที่มีพจน์หลายพจน์ให้เป็นเลขชี้กำลัง หลักการจะใช้ตามนั้น กำลังของผลคูณของปัจจัยหลายอย่างเท่ากับผลคูณของปัจจัยเหล่านี้ยกกำลัง

ดังนั้น (ay) 2 = a 2 y 2; (เอ) 2 = เอย์
แต่ ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2
ดังนั้น (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3

ดังนั้น ในการหาระดับของผลิตภัณฑ์ เราสามารถดำเนินการกับผลิตภัณฑ์ทั้งหมดได้ในคราวเดียว หรือเราสามารถดำเนินการกับแต่ละปัจจัยแยกจากกัน แล้วคูณค่าของพวกเขาด้วยกำลัง

ตัวอย่างที่ 1 ยกกำลังที่สี่ของ dhy คือ (dhy) 4 หรือ d 4 h 4 y 4

ตัวอย่างที่ 2 ดีกรีที่สาม 4b คือ (4b) 3 หรือ 4 3 b 3 หรือ 64b 3

ตัวอย่างที่ 3 ยกกำลังที่ n ของ 6ad คือ (6ad) n หรือ 6 n a n d n

ตัวอย่างที่ 4 องศาที่สาม 3m.2y คือ (3m.2y) 3 หรือ 27m 3 .8y 3

กำลังของเทอมสองซึ่งประกอบด้วยเทอมที่เชื่อมต่อด้วยเครื่องหมาย + และ - คำนวณโดยการคูณเทอมของมัน ดังนั้น,

(a + b) 1 = a + b ดีกรีแรก
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 ดีกรีที่สอง (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ดีกรีที่สาม
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 ดีกรีที่สี่

สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ a - b มี 2 - 2ab + b 2

เครื่องคิดเลขช่วยในการเพิ่มตัวเลขอย่างรวดเร็วทางออนไลน์ ฐานของดีกรีสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ (ทั้งจำนวนเต็มและจำนวนจริง) เลขชี้กำลังอาจเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนจริงก็ได้ และทั้งค่าบวกและค่าลบก็ได้ ควรจำไว้ว่าการยกกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มไม่ได้ถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขติดลบ ดังนั้น เครื่องคิดเลขจะรายงานข้อผิดพลาดหากคุณยังคงพยายามทำมัน

เครื่องคิดเลของศา

ยกกำลังขึ้น

เลขชี้กำลัง: 28399

พลังธรรมชาติของตัวเลขคืออะไร?

จำนวน p เรียกว่ากำลังที่ n ของจำนวน a ถ้า p เท่ากับจำนวน a คูณด้วยตัวมันเอง n คูณ: p = a n = a ... a
n - เรียกว่า เลขชี้กำลังและหมายเลข a - ระดับพื้นฐาน.

จะเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติได้อย่างไร?

เพื่อให้เข้าใจวิธีการเพิ่มจำนวนต่างๆ ให้เป็นกำลังธรรมชาติ ให้พิจารณาตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่างที่ 1... ยกเลขสามยกกำลังสี่ นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 3 4
สารละลาย: ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
ตอบ: 3 4 = 81 .

ตัวอย่าง 2... เพิ่มจำนวนห้ายกกำลังห้า นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 5 5
สารละลาย: ในทำนองเดียวกัน 5 5 = 5 5 5 5 5 5 = 3125
ตอบ: 5 5 = 3125 .

ดังนั้น หากต้องการเพิ่มจำนวนให้เป็นกำลังธรรมชาติ คุณแค่ต้องคูณมันด้วยตัวมันเอง n ครั้ง

พลังลบของตัวเลขคืออะไร?

ในกรณีนี้ กำลังลบจะมีอยู่สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น มิฉะนั้น การหารด้วยศูนย์จะเกิดขึ้น

จะเพิ่มจำนวนเป็นจำนวนเต็มลบได้อย่างไร?

หากต้องการเพิ่มจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ให้เป็นกำลังลบ คุณต้องคำนวณค่าของจำนวนนั้นให้เป็นกำลังบวกเท่ากันแล้วหารด้วยผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 1... ยกเลขสองขึ้นเพื่อลบยกกำลังสี่ นั่นคือจำเป็นต้องคำนวณ 2 -4

ตอบ: 2 -4 = 0.0625 .

สูตรพลังใช้ในกระบวนการลดและลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อน ในการแก้สมการและอสมการ

ตัวเลข คเป็น น- เลขยกกำลังตัวที่ เอเมื่อไร:

การดำเนินงานที่มีองศา

1. การคูณองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้รวมกัน:

เช้าน = ม. + น.

2. ในการหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ตัวบ่งชี้จะถูกลบ:

3. ดีกรีของผลคูณของปัจจัยตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป เท่ากับผลคูณของดีกรีของปัจจัยเหล่านี้:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. ยกกำลังเศษส่วนเท่ากับอัตราส่วนกำลังเงินปันผลและตัวหาร:

(a / b) n = a n / b n.

5. การเพิ่มดีกรีเป็นดีกรี เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

(a m) n = a m n.

แต่ละสูตรข้างต้นเป็นจริงจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกัน

ตัวอย่างเช่น. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

การดำเนินการรูท

1. รากของผลคูณของปัจจัยหลายตัวเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้:

2. รากของความสัมพันธ์เท่ากับอัตราส่วนของเงินปันผลและตัวหารของราก:

3. เมื่อทำการรูทเป็นพาวเวอร์ มันก็เพียงพอแล้วที่จะเพิ่มจำนวนรูทเป็นพาวเวอร์นี้:

4. หากคุณเพิ่มระดับของรากใน นครั้งเดียวและในขณะเดียวกันก็สร้างใน น- ยกกำลังของหมายเลขรูท ค่ารูทจะไม่เปลี่ยนแปลง:

5. ถ้าคุณลดระดับของรากใน นถอนรากครั้งเดียวและในเวลาเดียวกัน น- ยกกำลัง th ของจำนวนราก ค่าของรูทจะไม่เปลี่ยนแปลง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังติดลบยกกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นบวก (จำนวนเต็ม) ถูกกำหนดให้เป็นหน่วยหารด้วยกำลังของจำนวนเดียวกันโดยมีเลขชี้กำลังเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นบวก:

สูตร เช้า: a n = a m - nสามารถใช้ได้ไม่เฉพาะสำหรับ ม> นแต่ยังอยู่ที่ ม< น.

ตัวอย่างเช่น. เอ4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

เพื่อให้สูตร เช้า: a n = a m - nยุติธรรมเมื่อ ม = นจำเป็นต้องมีระดับศูนย์

เกรดศูนย์.ยกกำลังของจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังศูนย์เท่ากับหนึ่ง

ตัวอย่างเช่น. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

เลขชี้กำลังเศษส่วนเพื่อสร้างจำนวนจริง เอในระดับ ม. / น, คุณต้องแยกรูท น- องศาของ ม-กำลังที่เลขนี้ เอ.

การสนทนาเกี่ยวกับดีกรีของจำนวนต่อๆ ไป เป็นเรื่องสมเหตุผลที่จะคิดหาวิธีค้นหาความหมายของดีกรี กระบวนการนี้มีชื่อว่า การยกกำลัง... ในบทความนี้ เราจะศึกษาวิธีการยกกำลัง ขณะที่สัมผัสกับเลขชี้กำลังที่เป็นไปได้ทั้งหมด - โดยธรรมชาติ ทั้งหมด ตรรกยะ และอตรรกยะ และตามประเพณี เราจะพิจารณาโดยละเอียดถึงวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างการเพิ่มจำนวนเป็นกำลังต่างๆ

การนำทางหน้า

"การยกกำลัง" หมายถึงอะไร?

คุณควรเริ่มต้นด้วยการอธิบายสิ่งที่เรียกว่าการยกกำลัง นี่คือคำจำกัดความที่เหมาะสม

คำนิยาม.

การยกกำลัง- นี่คือการหาค่ายกกำลังของจำนวน

ดังนั้น การหาค่ายกกำลังของจำนวน a ด้วยเลขชี้กำลัง r และการเพิ่มจำนวน a ยกกำลัง r จึงเป็นสิ่งเดียวกัน ตัวอย่างเช่น หากปัญหาคือ “คำนวณค่าของดีกรี (0.5) 5” ก็สามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: “เพิ่มตัวเลข 0.5 ยกกำลัง 5”

ตอนนี้คุณสามารถไปที่กฎที่ใช้การยกกำลังได้โดยตรง

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ

ในทางปฏิบัติ ความเท่าเทียมกันบนพื้นฐานมักใช้ในรูปแบบ นั่นคือเมื่อเพิ่มจำนวน a เป็นยกกำลังเศษส่วน m / n อันดับแรก รากที่ n ของจำนวน a จะถูกแยกออก หลังจากนั้นผลลัพธ์จะถูกยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม m

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างการเพิ่มกำลังเศษส่วน

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าเลขชี้กำลัง

สารละลาย.

เราจะแสดงสองวิธีในการแก้ปัญหา

วิธีแรก. ตามนิยาม เลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เราคำนวณค่าของดีกรีภายใต้เครื่องหมายรูท หลังจากนั้นเราแยกรูทคิวบ์: .

วิธีที่สอง โดยนิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนและยึดตามคุณสมบัติของราก ความเท่าเทียมกันนั้นเป็นจริง ... ตอนนี้เราแยกราก สุดท้ายยกกำลังทั้งหมด .

เห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์ที่ได้จากการเพิ่มกำลังเศษส่วนเกิดขึ้นพร้อมกัน

ตอบ:

โปรดทราบว่าสามารถเขียนเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนได้ในรูปของเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละ ในกรณีเหล่านี้ ควรแทนที่ด้วยเศษส่วนธรรมดาที่เกี่ยวข้อง หลังจากนั้นจึงทำการยกกำลัง

ตัวอย่าง.

คำนวณ (44.89) 2.5.

สารละลาย.

ลองเขียนเลขชี้กำลังในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดา (ถ้าจำเป็น ดูบทความ): ... ตอนนี้เราทำการยกกำลังแบบเศษส่วน:

ตอบ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

นอกจากนี้ยังควรกล่าวด้วยว่าการเพิ่มจำนวนเป็นเลขยกกำลังที่มีเหตุมีผลเป็นกระบวนการที่ค่อนข้างลำบาก (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพบตัวเลขจำนวนมากเพียงพอในตัวเศษและตัวส่วนของเลขชี้กำลังเศษส่วน) ซึ่งมักใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

โดยสรุปในประเด็นนี้ ให้เราพิจารณาการเพิ่มจำนวนศูนย์เป็นยกกำลังเศษส่วน เราได้ให้ความหมายต่อไปนี้กับระดับเศษส่วนของศูนย์ของแบบฟอร์ม: สำหรับเรามี และที่ศูนย์กำลังของ m / n นั้นไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้น ศูนย์ในกำลังบวกที่เป็นเศษส่วนจึงเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น ... และศูนย์ในกำลังลบเศษส่วนก็ไม่สมเหตุสมผล เช่น นิพจน์และ 0 -4.3 ไม่สมเหตุสมผล

การยกกำลังอย่างไม่ลงตัว

บางครั้งจำเป็นต้องหาค่ายกกำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว ในกรณีนี้ เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ มักจะเพียงพอที่จะได้ค่าของระดับที่ถูกต้องแม่นยำกับเครื่องหมายบางอย่าง เราทราบทันทีว่าค่านี้คำนวณในทางปฏิบัติโดยใช้คอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ เนื่องจากการเพิ่มกำลังอตรรกยะด้วยตนเองต้องใช้การคำนวณที่ยุ่งยากมากมาย แต่ถึงกระนั้นเราจะอธิบายสาระสำคัญของการกระทำในแง่ทั่วไป

เพื่อให้ได้ค่าโดยประมาณของกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ จะใช้ค่าประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลัง และคำนวณค่าของเลขชี้กำลัง ค่านี้เป็นค่าโดยประมาณของกำลังของจำนวน a ที่มีเลขชี้กำลังอตรรกยะ ยิ่งการประมาณค่าทศนิยมของตัวเลขมีความแม่นยำมากขึ้นในตอนแรกเท่าใด ค่าองศาก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น

ยกตัวอย่าง ลองคำนวณค่าโดยประมาณของยกกำลัง 2 1.174367 .... ลองใช้การประมาณทศนิยมของเลขชี้กำลังอตรรกยะต่อไปนี้: ตอนนี้เรายก 2 เป็นพลังตรรกยะของ 1.17 (เราอธิบายสาระสำคัญของกระบวนการนี้ในย่อหน้าก่อนหน้า) เราได้รับ 2 1.17 ≈ 2.250116 ทางนี้, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... ตัวอย่างเช่น หากเราใช้การประมาณทศนิยมที่แม่นยำยิ่งขึ้นของเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว เราจะได้ค่าของเลขชี้กำลังดั้งเดิมที่แม่นยำยิ่งขึ้น: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. ตำราคณิตศาสตร์ Zh สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับเกรด 7 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับเกรด 8 สถาบันการศึกษา.
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 สถาบันการศึกษา.
• Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาเกรด 10 - 11
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)