เศษที่เหลือจากการหารด้วย 45 คืออะไร. การหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ: กฎ, ตัวอย่าง. แนวคิดทั่วไปของการหารจำนวนเต็มกับเศษ
สัญญาณของการหารตัวเลข- กฎเหล่านี้เป็นกฎที่อนุญาตให้โดยไม่ต้องหารเพื่อค้นหาอย่างรวดเร็วว่าตัวเลขนี้หารด้วยตัวเลขที่กำหนดโดยไม่มีเศษเหลือได้หรือไม่.
บางส่วนของ สัญญาณของความแตกแยกค่อนข้างง่ายบางอย่างยากขึ้น ในหน้านี้ คุณจะพบสัญญาณของการหารจำนวนเฉพาะทั้งสองอย่าง เช่น 2, 3, 5, 7, 11 และเครื่องหมายของการหารจำนวนเฉพาะ เช่น 6 หรือ 12
ฉันหวังว่าข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณ
มีความสุขในการเรียนรู้!
เครื่องหมายของการหารด้วย2
นี่เป็นหนึ่งในสัญญาณของการหารลงตัวที่ง่ายที่สุด ดูเหมือนว่านี้: หากบันทึกของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยหลักคู่ มันจะเป็นคู่ (หารโดยไม่เหลือเศษ 2) และหากบันทึกของตัวเลขลงท้ายด้วยหลักคี่ ตัวเลขนี้เป็นคี่
กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าหลักสุดท้ายของตัวเลขคือ 2
, 4
, 6
, 8
หรือ 0
- จำนวนหารด้วย 2 ลงตัว ถ้าหารไม่ได้ก็หารไม่ได้
ตัวอย่างเช่น ตัวเลข: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
หารด้วย 2 ลงตัวเพราะเป็นคู่
ตัวเลข: 23 5
, 137
, 2303
หารด้วย 2 ไม่ลงตัวเพราะเป็นเลขคี่
เครื่องหมายของการหารด้วย3
เครื่องหมายของการหารนี้มีกฎที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง: หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนั้นก็จะหารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ไม่ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 3 ไม่ลงตัว
ดังนั้น เพื่อให้เข้าใจว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ คุณแค่ต้องบวกตัวเลขที่รวมกันเป็นตัวเลขเข้าด้วยกัน
ดูเหมือนว่านี้: 3987 และ 141 หารด้วย 3 เพราะในกรณีแรก 3+9+8+7= 27
(27:3=9 - หารโดยไม่มีเศษเหลือ 3) และในวินาที 1+4+1= 6
(6:3=2 - หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษ)
แต่ตัวเลข: 235 และ 566 หารด้วย 3 ไม่ลงตัวเพราะ 2+3+5= 10
และ 5+6+6= 17
(และเรารู้ว่าทั้ง 10 และ 17 ไม่สามารถหารด้วย 3 โดยไม่มีเศษได้)
หารด้วย 4 เครื่องหมาย
การทดสอบการแยกตัวนี้จะซับซ้อนกว่า หากตัวเลข 2 ตัวสุดท้ายของตัวเลขเป็นตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัวหรือเป็น 00 ตัวเลขนั้นหารด้วย 4 ลงตัว มิฉะนั้น ตัวเลขนี้จะไม่สามารถหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
ตัวอย่างเช่น: 1 00
และ 3 64
หารด้วย 4 ลงตัวเพราะในกรณีแรกเลขลงท้ายด้วย 00
และในวินาที 64
ซึ่งหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ (64:4=16)
ตัวเลข 3 57
และ 8 86
หารด้วย 4 ไม่ลงตัวเพราะว่า 57
ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง 86
หารด้วย 4 ไม่ลงตัว จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารนี้
เครื่องหมายหารด้วย 5
และอีกครั้ง เรามีสัญญาณการหารที่ค่อนข้างง่าย: หากบันทึกของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยตัวเลข 0 หรือ 5 ตัวเลขนี้จะหารโดยไม่มีเศษเหลือ 5 หากบันทึกของตัวเลขลงท้ายด้วยตัวเลขอื่น แล้วจำนวนที่ไม่มีเศษจะหารด้วย 5 ลงตัวไม่ได้
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขใดๆ ที่ลงท้ายด้วยตัวเลข 0
และ 5
, ตัวอย่างเช่น 1235 5
และ 43 0
ตกอยู่ภายใต้กฎและหารด้วย 5 ลงตัว
และตัวอย่างเช่น 1549 3
และ 56 4
ไม่ลงท้ายด้วย 5 หรือ 0 ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถหารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
เครื่องหมายของการหารด้วย 6
ข้างหน้าเราคือจำนวนประกอบ 6 ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลข 2 และ 3 ดังนั้นเครื่องหมายของการหารด้วย 6 ก็ประกอบเช่นกัน: เพื่อให้ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวจะต้องสอดคล้องกับเครื่องหมายการหารสองอัน ในเวลาเดียวกัน: เครื่องหมายของการหารด้วย 2 และเครื่องหมายของการหารด้วย 3 ในเวลาเดียวกันโปรดทราบว่าจำนวนประกอบเช่น 4 มีเครื่องหมายของการหารด้วยตัวมันเองเพราะเป็นผลคูณของเลข 2 ด้วยตัวเอง . แต่กลับไปที่การทดสอบการหารด้วย 6
ตัวเลข 138 และ 474 เป็นเลขคู่และสอดคล้องกับเครื่องหมายหารด้วย 3 (1+3+8=12, 12:3=4 และ 4+7+4=15, 15:3=5) ซึ่งหมายความว่า หารด้วย 6 ลงตัว แต่ 123 กับ 447 หารด้วย 3 ลงตัว (1+2+3=6, 6:3=2 และ 4+4+7=15, 15:3=5) ลงตัวแต่ก็คี่ จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารด้วย 2 จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารด้วย 6
เครื่องหมายของการหารด้วย7
เกณฑ์การหารนี้ซับซ้อนกว่า: ตัวเลขหารด้วย 7 ลงตัว ถ้าผลลัพธ์ของการลบหลักสุดท้ายออกจากจำนวนหลักสิบของตัวเลขนี้หารด้วย 7 หรือเท่ากับ 0 ลงตัว
ฟังดูค่อนข้างสับสน แต่ในทางปฏิบัติ มันง่าย ดูด้วยตัวคุณเอง: หมายเลข 95
9 หารด้วย 7 ลงตัวเพราะ 95
-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 หารด้วย 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ). นอกจากนี้ หากมีปัญหากับจำนวนที่ได้รับระหว่างการแปลง (เนื่องจากขนาดของมัน เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าหารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่ ขั้นตอนนี้สามารถดำเนินต่อไปได้หลายครั้งตามที่เห็นสมควร)
ตัวอย่างเช่น, 45
5 และ 4580
1 มีเครื่องหมายการหารด้วย 7 ลงตัว ในกรณีแรกทุกอย่างค่อนข้างง่าย: 45
-2*5=45-10=35, 35:7=5. ในกรณีที่สอง เราจะทำสิ่งนี้: 4580
-2*1=4580-2=4578. มันยากสำหรับเราที่จะเข้าใจว่า 457
8 คูณ 7 ลองทำขั้นตอนนี้ซ้ำ: 457
-2*8=457-16=441. และอีกครั้งเราจะใช้เครื่องหมายหารด้วยเพราะเรายังมีเลขสามหลักอยู่ข้างหน้าเรา 44
1. ดังนั้น 44
-2*1=44-2=42, 42:7=6, เช่น 42 หารด้วย 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่า 45801 หารด้วย 7 ลงตัว
และนี่คือตัวเลข 11
1 และ 34
5 หารด้วย 7 ไม่ลงตัวเพราะ 11
-2*1=11-2=9 (9 หารด้วย 7) ไม่ลงตัวและ 34
-2*5=34-10=24 (24 ไม่หารด้วย 7) ไม่ลงตัว.
เครื่องหมายของการหารด้วย8
เครื่องหมายของการหารด้วย 8 มีเสียงดังนี้: หากตัวเลข 3 หลักสุดท้ายเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว หรือเป็น 000 ตัวเลขที่ระบุจะหารด้วย 8 ลงตัว
ตัวเลข 1 000
หรือ 1 088
หารด้วย 8 ลงตัว: อันแรกลงท้ายด้วย 000
, ที่สอง 88
:8=11 (หารด้วย 8 โดยไม่เหลือเศษ).
และนี่คือตัวเลข 1 100
หรือ 4 757
หารด้วย 8 ไม่ได้เพราะตัวเลข 100
และ 757
ไม่หารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.
เครื่องหมายหารด้วย 9
เครื่องหมายของการหารด้วย 3 นี้คล้ายกับเครื่องหมายของการหารด้วย 3: ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 9 ลงตัวเช่นกัน หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ไม่ลงตัว ตัวเลขนั้นจะไม่สามารถหารด้วย 9 ลงตัว
ตัวอย่างเช่น 3987 และ 144 หารด้วย 9 ลงตัวเพราะในกรณีแรก 3+9+8+7= 27
(27:9=3 - หารโดยไม่มีเศษเหลือ 9) ลงตัว และใน 1+4+4= . ที่สอง 9
(9:9=1 - หารด้วย 9) ลงตัวไม่มีเศษ.
แต่ตัวเลข: 235 และ 141 หารด้วย 9 ไม่ลงตัวเพราะ 2+3+5= 10
และ 1+4+1= 6
(และเรารู้ว่าทั้ง 10 และ 6 ไม่สามารถหารด้วย 9 โดยไม่มีเศษได้)
สัญญาณของการหารด้วย 10, 100, 1000 และหน่วยบิตอื่นๆ
ฉันรวมเกณฑ์การหารเหล่านี้เข้าด้วยกันเพราะสามารถอธิบายได้ในลักษณะเดียวกัน: ตัวเลขสามารถหารด้วยหน่วยบิตได้ หากจำนวนศูนย์ที่ส่วนท้ายของตัวเลขมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนศูนย์ในหน่วยบิตที่กำหนด
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เรามีตัวเลขดังนี้: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
. ซึ่งทั้งหมดหารด้วย 1 . ลงตัว 0
; 46400
และ 867 000
ก็หารด้วย 1 . ลงตัวเช่นกัน 00
; และมีเพียงคนเดียว - 867 000
หารด้วย1 000
.
ตัวเลขใดๆ ที่ลงท้ายด้วยศูนย์น้อยกว่าหน่วยบิตจะไม่สามารถหารด้วยหน่วยบิตนั้นได้ เช่น 600 30
และ 7 93
ห้ามแชร์ 1 00
.
เครื่องหมายหารด้วย 11
ในการค้นหาว่าตัวเลขหารด้วย 11 ลงตัวหรือไม่ คุณต้องหาผลต่างระหว่างผลรวมของเลขคู่และเลขคี่ของตัวเลขนี้ หากผลต่างนี้เท่ากับ 0 หรือหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ จำนวนนั้นหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ฉันเสนอให้พิจารณาตัวอย่าง: 2
35
4 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
และนี่คือ 1 1
1 หรือ 4
35
4 หารด้วย 11 ไม่ลงตัว เนื่องจากในกรณีแรกเราได้ (1 + 1) - 1
=1 และในวินาที ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.
เครื่องหมายหารด้วย 12
หมายเลข 12 เป็นส่วนประกอบ เครื่องหมายของการหารลงตัวคือความสอดคล้องของสัญญาณการหารด้วย 3 และ 4 ในเวลาเดียวกัน
ตัวอย่างเช่น 300 และ 636 สอดคล้องกับทั้งเครื่องหมายของการหารด้วย 4 (ตัวเลข 2 หลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือหารด้วย 4) และเครื่องหมายของการหารด้วย 3 (ผลรวมของตัวเลขและตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองหารด้วย 3 ลงตัว) ) ดังนั้น พวกมันจึงหารด้วย 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.
แต่ 200 หรือ 630 หารด้วย 12 ไม่ลงตัวเพราะในกรณีแรก จำนวนจะสอดคล้องกับเครื่องหมายของการหารด้วย 4 เท่านั้น และในวินาที - เฉพาะเครื่องหมายของการหารด้วย 3 เท่านั้น แต่ไม่ใช่สัญญาณทั้งสองพร้อมกัน
เครื่องหมายหารด้วย 13
เครื่องหมายของการหารด้วย 13 คือถ้าจำนวนหลักสิบ บวกกับหน่วยของจำนวนนี้คูณด้วย 4 เป็นผลคูณของ 13 หรือเท่ากับ 0 ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 13 ลงตัว
ยกตัวอย่าง 70
2. โซ 70
+4*2=78, 78:13=6 (78 หารด้วย 13 ลงตัว) ดังนั้น 70
2 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ. อีกตัวอย่างหนึ่งคือตัวเลข 114
4. 114
+4*4=130, 130:13=10. จำนวน 130 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่าจำนวนที่กำหนดสอดคล้องกับเครื่องหมายหารด้วย 13
ถ้าเราเอาตัวเลข 12
5 หรือ 21
2 แล้วเราจะได้ 12
+4*5=32 และ 21
+4*2=29 ตามลำดับ และทั้ง 32 และ 29 ไม่สามารถหารด้วย 13 โดยไม่มีเศษได้ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขที่กำหนดนั้นหารด้วย 13 หารด้วย 13 ไม่ได้โดยไม่มีเศษเหลือ
การหารตัวเลข
ดังที่เห็นได้จากด้านบน สันนิษฐานได้ว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถจับคู่กับเครื่องหมายการหารลงตัวของตัวมันเอง หรือเครื่องหมาย "ประกอบ" หากตัวเลขนั้นเป็นจำนวนหลายจำนวนจากจำนวนที่แตกต่างกันหลายจำนวน แต่ตามแบบฝึกหัดแล้ว ยิ่งตัวเลขมากเท่าไหร่ คุณสมบัติก็จะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น บางทีเวลาที่ใช้ตรวจสอบเกณฑ์การหารอาจเท่ากับหรือมากกว่าตัวหารเอง นั่นคือเหตุผลที่เรามักจะใช้เกณฑ์การหารที่ง่ายที่สุด
บทความวิเคราะห์แนวคิดของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ เราพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือและดูความเชื่อมโยงระหว่างตัวหารและตัวหาร ผลหารที่ไม่สมบูรณ์และเศษเหลือ พิจารณากฎเมื่อทำการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ โดยตรวจสอบรายละเอียดพร้อมตัวอย่าง ในตอนท้ายของการแก้ปัญหา เราจะทำการตรวจสอบ
ความเข้าใจทั่วไปเกี่ยวกับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ
การหารจำนวนเต็มที่มีเศษเหลือถือเป็นการหารทั่วไปโดยเหลือจำนวนธรรมชาติ สิ่งนี้ทำได้เพราะจำนวนธรรมชาติเป็นองค์ประกอบของจำนวนเต็ม
การหารด้วยจำนวนที่เหลือตามอำเภอใจบอกว่าจำนวนเต็ม a หารด้วยจำนวน b ลงตัว ซึ่งต่างจากศูนย์ ถ้า b = 0 จะไม่มีการหารด้วยเศษเหลือ
เช่นเดียวกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษที่เหลือ การหารจำนวนเต็ม a และ b จะถูกดำเนินการ โดยที่ b แตกต่างจากศูนย์โดย c และ d ในกรณีนี้ a และ b เรียกว่าเงินปันผลและตัวหาร และ d คือเศษที่เหลือของการหาร c คือจำนวนเต็มหรือผลหารบางส่วน
หากเราคิดว่าเศษที่เหลือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ ค่าของมันจะไม่เกินโมดูลัสของตัวเลข b ลองเขียนแบบนี้: 0 ≤ d ≤ b . ห่วงโซ่ความไม่เท่าเทียมกันนี้ใช้ในการเปรียบเทียบตัวเลขตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป
หาก c คือผลหารที่ไม่สมบูรณ์ ดังนั้น d คือส่วนที่เหลือของการหารจำนวนเต็ม a ด้วย b คุณสามารถแก้ไขได้โดยสังเขป: a: b \u003d c (คงเป็น d)
ส่วนที่เหลือเมื่อหารตัวเลข a ด้วย b เป็นไปได้เป็นศูนย์ จากนั้นพวกเขาบอกว่า a ถูกหารด้วย b ทั้งหมดนั่นคือไม่มีเศษเหลือ กองที่ไม่มีเศษเหลือถือเป็นกรณีพิเศษของดิวิชั่น
ถ้าเราหารศูนย์ด้วยจำนวนใดจำนวนหนึ่ง เราจะได้ศูนย์ตามผลลัพธ์ ส่วนที่เหลือของการหารจะเป็นศูนย์ด้วย ดังจะเห็นได้จากทฤษฎีการหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม
พิจารณาความหมายของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ
เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนเต็มบวกเป็นธรรมชาติ จากนั้นเมื่อหารด้วยเศษเหลือ ความหมายจะเหมือนกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษเหลือ
การหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b สมเหตุสมผล มาดูตัวอย่างกัน ลองนึกภาพสถานการณ์ที่เรามีหนี้เป็นจำนวน a ที่คน b จะต้องชดใช้ การทำเช่นนี้ทุกคนต้องมีส่วนร่วมอย่างเท่าเทียมกัน ในการกำหนดจำนวนหนี้แต่ละรายนั้นจำเป็นต้องคำนึงถึงมูลค่าของเอกชนค. ส่วนที่เหลือ d แสดงว่าทราบจำนวนรายการหลังจากชำระหนี้แล้ว
ลองมาดูตัวอย่างกับแอปเปิ้ลกัน ถ้าคน 2 คนต้องการ 7 แอปเปิ้ล หากเราคำนวณว่าทุกคนต้องคืนแอปเปิล 4 ผล หลังจากคำนวณครบแล้ว แอปเปิลจะเหลือ 1 ผล ลองเขียนสิ่งนี้เป็นความเท่าเทียมกัน: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .
การหารจำนวนใด ๆ ด้วยจำนวนเต็มไม่สมเหตุสมผล แต่เป็นไปได้เป็นตัวเลือก
ทฤษฎีบทการหารจำนวนเต็มกับเศษเหลือ
เราพบว่า a คือเงินปันผล จากนั้น b เป็นตัวหาร c คือผลหารบางส่วน และ d คือเศษเหลือ พวกเขาเชื่อมต่อถึงกัน เราจะแสดงความสัมพันธ์นี้โดยใช้ความเท่าเทียมกัน a = b · c + d ความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขามีลักษณะเฉพาะโดยทฤษฎีบทการหารด้วยเศษ
ทฤษฎีบท
จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงได้เฉพาะในรูปของจำนวนเต็มและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ b ในลักษณะนี้: a = b · q + r โดยที่ q และ r เป็นจำนวนเต็มบางจำนวน ที่นี่เรามี 0 ≤ r ≤ b .
ให้เราพิสูจน์ความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของ a = b · q + r .
การพิสูจน์
หากมีตัวเลขสองตัว a และ b และ a หารด้วย b ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ จากนิยามว่ามีตัวเลข q แสดงว่าความเสมอภาค a = b · q เป็นจริง จากนั้นความเท่าเทียมกันถือได้ว่าเป็นจริง: a = b q + r สำหรับ r = 0
จากนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ q ที่กำหนดโดยอสมการ b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
เรามีค่าของนิพจน์ a − b · q มากกว่าศูนย์และไม่เกินค่าของตัวเลข b ดังนั้น r = a − b · q จึงตามมา เราพบว่าจำนวน a สามารถแสดงเป็น a = b · q + r
ตอนนี้เราต้องพิจารณาความเป็นไปได้ของการแสดง a = b · q + r สำหรับค่าลบของ b .
โมดูลัสของตัวเลขกลายเป็นบวก จากนั้นเราจะได้ a = b q 1 + r โดยที่ค่า q 1 เป็นจำนวนเต็ม r คือจำนวนเต็มที่ตรงกับเงื่อนไข 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
พิสูจน์เอกลักษณ์
สมมติว่า a = b q + r , q และ r เป็นจำนวนเต็มโดยมีเงื่อนไข 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где คิว 1และ r1เป็นตัวเลขบางตัวที่ q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .
เมื่อลบอสมการออกจากด้านซ้ายและด้านขวา เราจะได้ 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 , ซึ่งเทียบเท่ากับ r - r 1 = b · q 1 - q . เนื่องจากใช้โมดูล เราจึงได้ความเท่าเทียมกัน r - r 1 = b · q 1 - q
เงื่อนไขที่กำหนดบอกว่า 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qและ คิว 1- ทั้งหมดและ คิว ≠ คิว 1จากนั้น q 1 - q ≥ 1 ดังนั้นเราจึงมีว่า b · q 1 - q ≥ b ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
จากนี้ไปตัวเลข a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบอื่นได้ ยกเว้นโดยสัญกรณ์ a = b · q + r
ความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และส่วนที่เหลือ
การใช้ความเท่าเทียมกัน a \u003d b c + d คุณสามารถหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก a เมื่อตัวหาร b เป็นที่รู้จักด้วยผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c และส่วนที่เหลือ d
ตัวอย่าง 1
กำหนดเงินปันผลหากเมื่อหาร เราได้ - 21 ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ 5 และเศษ 12
วิธีการแก้
จำเป็นต้องคำนวณเงินปันผล a ด้วยตัวหารที่ทราบ b = − 21, ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c = 5 และเศษ d = 12 เราจำเป็นต้องอ้างถึงความเท่าเทียมกัน a = b c + d จากตรงนี้เราจะได้ a = (− 21) 5 + 12 ขึ้นอยู่กับลำดับของการดำเนินการเราคูณ - 21 ด้วย 5 หลังจากนั้นเราจะได้ (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93
ตอบ: - 93 .
ความสัมพันธ์ระหว่างตัวหารและผลหารบางส่วนกับเศษสามารถแสดงได้โดยใช้ความเท่าเทียมกัน: b = (a - d) : c , c = (a − d) : b และ d = a − b · c ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา เราสามารถคำนวณตัวหาร ผลหารบางส่วน และส่วนที่เหลือได้ สิ่งนี้ทำให้ต้องค้นหาส่วนที่เหลืออย่างต่อเนื่องของการหารจำนวนเต็ม a ด้วย b ด้วยเงินปันผล ตัวหาร และความฉลาดบางส่วนที่ทราบ ใช้สูตร d = a − b · c ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด
ตัวอย่าง 2
หาเศษของการหารจำนวนเต็ม - 19 ด้วยจำนวนเต็ม 3 โดยทราบผลหารที่ไม่สมบูรณ์เท่ากับ - 7
วิธีการแก้
ในการคำนวณเศษของการหาร เราใช้สูตรในรูปแบบ d = a − b c ตามเงื่อนไข ข้อมูลทั้งหมด a = − 19 , b = 3 , c = − 7 พร้อมใช้งาน จากที่นี่เราจะได้ d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (ผลต่าง - 19 - (- 21)... ตัวอย่างนี้คำนวณโดยกฎการลบจำนวนเต็มลบ
ตอบ: 2 .
จำนวนเต็มบวกทั้งหมดเป็นธรรมชาติ ตามมาด้วยว่าการหารจะดำเนินการตามกฎการหารทั้งหมดด้วยจำนวนที่เหลือตามธรรมชาติ ความเร็วของการหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือมีความสำคัญ เนื่องจากไม่เพียงแต่การหารของจำนวนบวกจะขึ้นอยู่กับมันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกฎสำหรับการหารจำนวนเต็มตามอำเภอใจด้วย
วิธีการหารที่สะดวกที่สุดคือคอลัมน์ เนื่องจากง่ายกว่าและเร็วกว่าในการหาผลหารที่ไม่สมบูรณ์หรือผลหารที่มีเศษเหลือ พิจารณาวิธีแก้ปัญหาในรายละเอียดเพิ่มเติม
ตัวอย่างที่ 3
หาร 14671 ด้วย 54 .
วิธีการแก้
การแบ่งนี้ต้องทำในคอลัมน์:
นั่นคือ ผลหารที่ไม่สมบูรณ์เท่ากับ 271 และส่วนที่เหลือคือ 37
ตอบ: 14671: 54 = 271 (พัก 37)
กฎการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง
ในการหารด้วยจำนวนบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ จำเป็นต้องกำหนดกฎขึ้นมา
คำจำกัดความ 1
ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มบวก a ด้วยจำนวนเต็มลบ b ให้จำนวนที่ตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารโมดูลของตัวเลข a ด้วย b แล้วเศษที่เหลือก็คือเศษเมื่อ a หารด้วย b
ดังนั้น เรามีผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบถือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก
เราได้รับอัลกอริทึม:
- หารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร แล้วเราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์และ
- ส่วนที่เหลือ;
- เขียนตัวเลขตรงข้าม
พิจารณาตัวอย่างของอัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ
ตัวอย่างที่ 4
ทำการหารด้วยเศษ 17 คูณ - 5 .
วิธีการแก้
ลองใช้อัลกอริทึมการหารกับส่วนที่เหลือของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ จำเป็นต้องหาร 17 ด้วย - 5 โมดูโล จากตรงนี้เราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์คือ 3 และส่วนที่เหลือคือ 2
เราได้จำนวนที่ต้องการจากการหาร 17 ด้วย - 5 \u003d - 3 โดยเหลือเศษ 2
ตอบ: 17: (− 5) = − 3 (เหลือ 2)
ตัวอย่างที่ 5
หาร 45 ด้วย - 15 .
วิธีการแก้
มีความจำเป็นต้องแบ่งโมดูโลตัวเลข เราหารจำนวน 45 ด้วย 15 เราได้ผลหาร 3 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้นจำนวน 45 หารด้วย 15 ลงตัวโดยไม่เหลือเศษ. ในคำตอบที่เราได้รับ - 3 เนื่องจากการแบ่งดำเนินการแบบโมดูโล
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
ตอบ: 45: (− 15) = − 3 .
การกำหนดกฎการหารด้วยเศษที่เหลือมีดังนี้
คำจำกัดความ 2
เพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c เมื่อหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยค่าบวก b คุณต้องใช้ค่าตรงข้ามของตัวเลขนี้แล้วลบ 1 จากนั้นส่วนที่เหลือ d จะถูกคำนวณโดยสูตร: d = a − b · ค.
ตามกฎแล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าเมื่อหาร เราได้จำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ เพื่อความถูกต้องของการแก้ปัญหา ใช้อัลกอริทึมสำหรับการหาร a ด้วย b ด้วยเศษ:
- ค้นหาโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร
- แบ่งโมดูโล;
- เขียนตรงข้ามของตัวเลขที่กำหนดและลบ 1 ;
- ใช้สูตรสำหรับส่วนที่เหลือ d = a − b c
ลองพิจารณาตัวอย่างของโซลูชันที่ใช้อัลกอริทึมนี้
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาผลหารที่ไม่สมบูรณ์และส่วนที่เหลือของการหาร - 17 คูณ 5
วิธีการแก้
เราแบ่งโมดูโลตัวเลขที่กำหนด เราได้เมื่อหาร ผลหารคือ 3 และส่วนที่เหลือคือ 2 เนื่องจากเราได้ 3 ตรงกันข้ามคือ 3 จำเป็นต้องลบ 1 .
− 3 − 1 = − 4 .
ค่าที่ต้องการเท่ากับ - 4
ในการคำนวณส่วนที่เหลือ คุณต้องมี a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , จากนั้น d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
ซึ่งหมายความว่าผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารคือตัวเลข - 4 ที่เหลือเท่ากับ 3
ตอบ:(− 17) : 5 = − 4 (เหลือ 3).
ตัวอย่าง 7
หารจำนวนเต็มลบ - 1404 ด้วยค่าบวก 26 .
วิธีการแก้
จำเป็นต้องหารด้วยคอลัมน์และโมดูลัส
เราได้การแบ่งโมดูลของตัวเลขโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่าการหารจะดำเนินการโดยไม่มีเศษเหลือ และผลหารที่ต้องการ = - 54
ตอบ: (− 1 404) : 26 = − 54 .
กฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือ ตัวอย่าง
จำเป็นต้องกำหนดกฎการหารด้วยจำนวนลบที่เป็นจำนวนเต็มที่เหลือ
คำจำกัดความ 3
เพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มลบ b จำเป็นต้องทำการคำนวณแบบโมดูโล หลังจากนั้นจึงบวก 1 จากนั้นเราสามารถคำนวณโดยใช้สูตร d = a − b · c
จากนี้ไปผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มลบจะเป็นจำนวนบวก
เรากำหนดกฎนี้ในรูปแบบของอัลกอริทึม:
- ค้นหาโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร
- หารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหารเพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ด้วย
- ส่วนที่เหลือ;
- บวก 1 ให้กับผลหารที่ไม่สมบูรณ์
- การคำนวณส่วนที่เหลือตามสูตร d = a − b c .
ลองพิจารณาอัลกอริทึมนี้ด้วยตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 8
ค้นหาผลหารและเศษส่วนที่ไม่สมบูรณ์เมื่อหาร - 17 ด้วย - 5
วิธีการแก้
เพื่อความถูกต้องของการแก้ปัญหา เราใช้อัลกอริทึมสำหรับการหารด้วยเศษที่เหลือ ขั้นแรกให้แบ่งโมดูลตัวเลข จากที่นี่เราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ \u003d 3 และส่วนที่เหลือคือ 2 ตามกฎแล้วจำเป็นต้องเพิ่มผลหารที่ไม่สมบูรณ์และ 1 เราได้ 3+1 = 4 จากตรงนี้เราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการหารตัวเลขที่กำหนดคือ 4
ในการคำนวณส่วนที่เหลือเราจะใช้สูตร ตามเงื่อนไขเรามี a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4 จากนั้นโดยใช้สูตรเราจะได้ d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . คำตอบที่ต้องการ นั่นคือ ส่วนที่เหลือ คือ 3 และผลหารที่ไม่สมบูรณ์คือ 4
ตอบ:(− 17) : (− 5) = 4 (เหลือ 3).
ตรวจผลการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ
หลังจากทำการหารตัวเลขด้วยเศษที่เหลือแล้วจำเป็นต้องทำการตรวจสอบ การตรวจสอบนี้มี 2 ขั้นตอน ขั้นแรก ส่วนที่เหลือ d ถูกตรวจสอบหาค่าที่ไม่เป็นลบ เงื่อนไข 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
มาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 9
ฝ่ายผลิต - 521 โดย - 12. ผลหารคือ 44 ส่วนที่เหลือคือ 7 เรียกใช้การตรวจสอบ
วิธีการแก้
เนื่องจากส่วนที่เหลือเป็นจำนวนบวก ค่าของมันจึงน้อยกว่าโมดูลัสของตัวหาร ตัวหารคือ -12 โมดูลัสของมันคือ 12 คุณสามารถไปยังด่านต่อไปได้
โดยเงื่อนไขเราได้ว่า a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . จากที่นี่เราคำนวณ b c + d โดยที่ b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . ตามมาว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริง สอบผ่าน.
ตัวอย่าง 10
เช็คหาร (− 17) : 5 = − 3 (เหลือ − 2) ความเท่าเทียมกันจริงหรือ?
วิธีการแก้
ความหมายของขั้นแรกคือจำเป็นต้องตรวจสอบการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ นี่แสดงว่าการกระทำถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้อง เนื่องจากได้รับส่วนที่เหลือ เท่ากับ - 2 ส่วนที่เหลือไม่เป็นจำนวนลบ
เรามีว่าเงื่อนไขที่สองเป็นที่พอใจ แต่ไม่เพียงพอสำหรับกรณีนี้
ตอบ:ไม่.
ตัวอย่าง 11
จำนวน - 19 หารด้วย - 3 . ผลหารบางส่วนคือ 7 และส่วนที่เหลือคือ 1 ตรวจสอบว่าการคำนวณนี้ถูกต้องหรือไม่
วิธีการแก้
ให้เหลือ 1 เขาเป็นบวก ค่าน้อยกว่าโมดูลตัวแบ่ง ซึ่งหมายความว่ามีการดำเนินการสเตจแรก มาต่อกันที่ขั้นตอนที่สองกันเลย
มาคำนวณค่าของนิพจน์ b · c + d กัน ตามเงื่อนไขเรามี b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1 ดังนั้นการแทนที่ค่าตัวเลขเราจะได้ b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. เป็นไปตามที่ a = b · c + d ความเท่าเทียมกันไม่พอใจเนื่องจากเงื่อนไขได้รับ a = - 19 .
นี่หมายความว่าการแบ่งส่วนนั้นเกิดจากความผิดพลาด
ตอบ:ไม่.
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ:
15:5=3
ในตัวอย่างนี้ เราหารจำนวนธรรมชาติ 15 อย่างสมบูรณ์ 3 ไม่เหลือ.
บางครั้งจำนวนธรรมชาติไม่สามารถแบ่งออกทั้งหมดได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหา:
มีของเล่น 16 ชิ้นในตู้ มีเด็กห้าคนในกลุ่ม เด็กแต่ละคนใช้ของเล่นจำนวนเท่ากัน เด็กแต่ละคนมีของเล่นกี่ชิ้น?
วิธีการแก้:
หารจำนวน 16 ด้วย 5 ตามคอลัมน์และรับ:
เรารู้ว่า 16 คูณ 5 ไม่หารลงตัว. จำนวนที่น้อยกว่าที่ใกล้ที่สุดที่หารด้วย 5 ลงตัวคือ 15 โดยเหลือเศษ 1 เราสามารถเขียนเลข 15 เป็น 5⋅3 เป็นผลให้ (16 - เงินปันผล, 5 - ตัวหาร, 3 - ผลหารบางส่วน, 1 - ส่วนที่เหลือ) ได้ สูตร หารด้วยเศษที่สามารถทำได้ การตรวจสอบโซลูชัน.
เอ=
ข⋅
ค+
d
เอ - แบ่งได้
ข - ตัวแบ่ง
ค - ผลหารไม่สมบูรณ์
d - ส่วนที่เหลือ
คำตอบ: เด็กแต่ละคนจะได้รับของเล่น 3 ชิ้นและของเล่นจะยังคงอยู่
ส่วนที่เหลือของดิวิชั่น
ส่วนที่เหลือจะต้องน้อยกว่าตัวหารเสมอ
หากส่วนที่เหลือเป็นศูนย์เมื่อหาร เงินปันผลจะหารลงตัว อย่างสมบูรณ์หรือไม่มีเศษเหลือต่อตัวหาร
หากเมื่อทำการหาร เศษที่เหลือมากกว่าตัวหาร แสดงว่าจำนวนที่พบไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด มีจำนวนมากขึ้นที่จะแบ่งเงินปันผลและส่วนที่เหลือจะน้อยกว่าตัวหาร
คำถามในหัวข้อ "หารด้วยเศษ":
เศษเหลือมากกว่าตัวหารได้หรือไม่?
คำตอบ: ไม่
ส่วนที่เหลือสามารถเท่ากับตัวหารได้หรือไม่?
คำตอบ: ไม่
จะหาเงินปันผลจากผลหารหารและเศษส่วนที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไร?
คำตอบ: เราแทนที่ค่าของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ ตัวหาร และเศษที่เหลือลงในสูตรแล้วหาเงินปันผล สูตร:
a=b⋅c+d
ตัวอย่าง # 1:
ทำการหารด้วยเศษที่เหลือและตรวจสอบ: a) 258:7 b) 1873:8
วิธีการแก้:
ก) แบ่งเป็นคอลัมน์:
258 - หารได้
7 - ตัวแบ่ง
36 - ผลหารไม่สมบูรณ์
6 - ส่วนที่เหลือ เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) แบ่งเป็นคอลัมน์:
2416 - แบ่งได้
8 - ตัวแบ่ง
234 - ผลหารไม่สมบูรณ์
1 คือส่วนที่เหลือ เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร 1<8.
แทนที่ในสูตรและตรวจสอบว่าเราแก้ตัวอย่างถูกต้องหรือไม่:
8⋅234+1=1872+1=1873
ตัวอย่าง #2:
ได้เศษอะไรจากการหารจำนวนธรรมชาติ: a) 3 b) 8?
ตอบ:
ก) เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น น้อยกว่า 3 ในกรณีของเรา เศษสามารถเป็น 0, 1 หรือ 2
b) เศษที่เหลือน้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น น้อยกว่า 8 ในกรณีของเรา เศษที่เหลือสามารถเป็น 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 หรือ 7
ตัวอย่าง #3:
เศษซากที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหาได้จากการหารจำนวนธรรมชาติคืออะไร: a) 9 b) 15?
ตอบ:
ก) เศษที่เหลือน้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น น้อยกว่า 9 แต่เราต้องระบุเศษที่ใหญ่ที่สุด นั่นคือจำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดกับตัวหาร ตัวเลขนี้คือ 8
b) เศษที่เหลือน้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น น้อยกว่า 15 แต่เราต้องระบุเศษที่ใหญ่ที่สุด นั่นคือจำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดกับตัวหาร หมายเลขนี้คือ 14
ตัวอย่าง #4:
ค้นหาเงินปันผล: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)
วิธีการแก้:
ก) แก้โดยใช้สูตร:
a=b⋅c+d
(a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหารบางส่วน d คือส่วนที่เหลือ)
a:6=3(พัก.4)
(a คือเงินปันผล 6 คือตัวหาร 3 คือผลหารไม่สมบูรณ์ 4 คือเศษ) แทนที่ตัวเลขในสูตร:
ก=6⋅3+4=22
คำตอบ: a=22
b) แก้โดยใช้สูตร:
a=b⋅c+d
(a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหารบางส่วน d คือส่วนที่เหลือ)
s:24=4(พัก.11)
(c คือเงินปันผล 24 คือตัวหาร 4 คือผลหารไม่สมบูรณ์ 11 คือเศษ) แทนที่ตัวเลขในสูตร:
ค=24⋅4+11=107
คำตอบ: s=107
งาน:
ลวด 4ม. ต้องหั่นเป็นชิ้นยาว 13 ซม. จะมีกี่ชิ้นเนี่ย?
วิธีการแก้:
ก่อนอื่นคุณต้องแปลงเมตรเป็นเซนติเมตร
4ม.=400ซม.
คุณสามารถหารด้วยคอลัมน์หรือในใจเราได้:
400:13=30(พัก 10)
มาตรวจสอบกัน:
13⋅30+10=390+10=400
คำตอบ: 30 ชิ้นจะเปิดออกและลวดจะยังคงอยู่ 10 ซม.
ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ การหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ. เริ่มต้นด้วยหลักการทั่วไปของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการหารลงตัวของจำนวนเต็มกับเศษที่เหลือ และติดตามความเชื่อมโยงระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษที่เหลือ ต่อไป เราจะประกาศกฎที่ใช้ทำการหารจำนวนเต็มกับเศษที่เหลือ และพิจารณาการนำกฎเหล่านี้ไปใช้เมื่อแก้ตัวอย่าง หลังจากนั้น เราจะได้เรียนรู้วิธีการตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ
การนำทางหน้า
แนวคิดทั่วไปของการหารจำนวนเต็มกับเศษ
การหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ เราจะพิจารณาเป็นการสรุปทั่วไป หารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือ. นี้เป็นเพราะ จำนวนเต็มเป็นส่วนสำคัญ จำนวนเต็ม.
เริ่มต้นด้วยข้อกำหนดและสัญกรณ์ที่ใช้ในคำอธิบาย
โดยการเปรียบเทียบกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ เราคิดว่าผลลัพธ์ของการหารด้วยเศษของจำนวนเต็มสองตัว a และ b (b ไม่เท่ากับศูนย์) เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน c และ d ตัวเลข a และ b เรียกว่า แบ่งได้และ ตัวแบ่งตามลำดับ หมายเลข d คือ ส่วนที่เหลือจากการหาร a ด้วย b และเรียกจำนวนเต็ม c ว่า ส่วนตัวไม่สมบูรณ์(หรือง่ายๆ ส่วนตัวถ้าส่วนที่เหลือเป็นศูนย์)
สมมุติว่ายังมีเศษเหลืออยู่ จำนวนเต็มไม่เป็นลบและค่าของมันไม่เกิน b นั่นคือ (เราพบความไม่เท่าเทียมกันที่คล้ายกันเมื่อเราพูดถึง เปรียบเทียบจำนวนเต็มตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไป).
หากตัวเลข c เป็นผลหารบางส่วน และจำนวน d คือเศษของการหารจำนวนเต็ม a ด้วยจำนวนเต็ม b เราจะเขียนสั้น ๆ ว่าข้อเท็จจริงนี้เป็นความเท่าเทียมกันของรูปแบบ a:b=c (ส่วนที่เหลือ d)
โปรดทราบว่าเมื่อจำนวนเต็ม a หารด้วยจำนวนเต็ม b เศษที่เหลือจะเป็นศูนย์ได้ ในกรณีนี้ เราบอกว่า a หารด้วย b . ลงตัว ไร้ร่องรอย(หรือ อย่างสมบูรณ์). ทางนี้, การหารจำนวนเต็มโดยไม่มีเศษเหลือเป็นกรณีพิเศษของการหารจำนวนเต็มกับเศษ
นอกจากนี้ยังควรบอกด้วยว่าเมื่อหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม เราจะจัดการกับการหารโดยไม่เหลือเศษ เพราะในกรณีนี้ ผลหารจะเท่ากับศูนย์ (ดูส่วนทฤษฎี การหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม) และส่วนที่เหลือจะเป็นศูนย์ด้วย
เราได้ตัดสินใจเกี่ยวกับคำศัพท์และสัญกรณ์แล้ว ทีนี้ลองหาความหมายของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือกัน
การหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b ก็สมเหตุสมผลเช่นกัน สำหรับสิ่งนี้โปรดพิจารณา จำนวนเต็มลบเป็นหนี้. ลองนึกภาพสถานการณ์ดังกล่าว หนี้ที่ประกอบขึ้นเป็นรายการจะต้องชำระคืนโดยประชาชน ข. มีส่วนร่วมเช่นเดียวกัน ค่าสัมบูรณ์ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c ในกรณีนี้จะเป็นตัวกำหนดจำนวนหนี้ของคนเหล่านี้แต่ละคน และส่วนที่เหลือ d จะแสดงว่าจำนวนรายการจะคงเหลือหลังจากชำระหนี้แล้ว ลองมาดูตัวอย่างกัน สมมุติว่าคน 2 คนเป็นหนี้แอปเปิ้ล 7 ผล หากเราคิดว่าแต่ละอันเป็นหนี้แอปเปิ้ล 4 ลูก หลังจากชำระหนี้แล้ว พวกเขาจะเหลือแอปเปิ้ล 1 ลูก สถานการณ์นี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน (−7):2=−4 (เหลือ 1)
หารด้วยจำนวนเต็มที่เหลือ a โดยจำนวนเต็มลบ เราจะไม่แนบความหมายใด ๆ แต่เราจะปล่อยให้มันมีสิทธิที่จะมีอยู่
ทฤษฎีบทการหารจำนวนเต็มกับเศษเหลือ
เมื่อเราพูดถึงการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ เราพบว่าเงินปันผล a, ตัวหาร b, ผลหารบางส่วน c และเศษ d สัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน a=b c+d จำนวนเต็ม a , b , c และ d มีความสัมพันธ์กัน การเชื่อมต่อนี้ได้รับการยืนยันโดยสิ่งต่อไปนี้ ทฤษฎีบทการหารด้วยเศษเหลือ.
ทฤษฎีบท.
จำนวนเต็ม a สามารถแสดงด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกันผ่านจำนวนเต็มและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ b ในรูปแบบ a=b q+r โดยที่ q และ r เป็นจำนวนเต็มบางส่วน และ
การพิสูจน์.
ให้เราพิสูจน์ความเป็นไปได้ของการแสดง a=b·q+r ก่อน
ถ้าจำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนที่ a หารด้วย b ลงตัว ดังนั้นตามคำจำกัดความจะมีจำนวนเต็ม q ที่ a=b q อยู่ ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b q+r ถือไว้สำหรับ r=0
ตอนนี้เราจะถือว่า b เป็นจำนวนเต็มบวก เราเลือกจำนวนเต็ม q ในลักษณะที่ผลิตภัณฑ์ b·q ไม่เกินจำนวน a และผลิตภัณฑ์ b·(q+1) มีค่ามากกว่า a อยู่แล้ว นั่นคือเราหา q โดยที่ไม่เท่ากัน b q
มันยังคงพิสูจน์ความเป็นไปได้ของการแทน a=b q+r สำหรับลบ b เนื่องจากโมดูลัสของจำนวน b ในกรณีนี้เป็นจำนวนบวก จึงมีการแทนค่าสำหรับ โดยที่ q 1 เป็นจำนวนเต็มบางส่วน และ r เป็นจำนวนเต็มที่ตรงตามเงื่อนไข จากนั้น สมมติว่า q=−q 1 เราได้รับการแสดงที่จำเป็น a=b q+r สำหรับลบ b เราหันไปหาการพิสูจน์เอกลักษณ์ สมมติว่านอกเหนือจากการแทนค่า a=b q+r แล้ว q และ r เป็นจำนวนเต็ม และ มีการแทนค่าอื่น a=b q 1 +r 1 โดยที่ q 1 และ r 1 เป็นจำนวนเต็ม และ q 1 ≠ q และ หลังจากลบออกจากส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันแรก ตามลำดับ ส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันที่สอง เราจะได้ 0=b (q−q 1)+r−r 1 ซึ่งเทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน r− r 1 =b (q 1 - q) . จากนั้นความเท่าเทียมกันของรูปแบบ และเนื่องจากคุณสมบัติของโมดูลัสของจำนวน - และความเท่าเทียมกัน .
จากเงื่อนไขและเราสามารถสรุปได้ว่า เนื่องจาก q และ q 1 เป็นจำนวนเต็มและ q≠q 1 ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า . จากความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับและ มันเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของรูปแบบ เป็นไปไม่ได้ภายใต้สมมติฐานของเรา ดังนั้นจึงไม่มีการแสดงตัวเลขอื่นใด ยกเว้น a=b·q+r ความเท่าเทียมกัน a=b c+d ช่วยให้คุณหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก a ถ้าตัวหาร b, ผลหารบางส่วน c และส่วนที่เหลือ d เป็นที่รู้จัก ขอพิจารณาตัวอย่าง. ตัวอย่าง. เงินปันผลจะเท่ากับเท่าใดหากการหารด้วยจำนวนเต็ม -21 ส่งผลให้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของ 5 และส่วนที่เหลือเป็น 12 วิธีการแก้. เราจำเป็นต้องคำนวณเงินปันผล a เมื่อเรารู้ตัวหาร b=−21 , ส่วนหารบางส่วน c=5 และส่วนที่เหลือ d=12 เปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกัน a=b c+d เราจะได้ a=(-21) 5+12 การสังเกต ขั้นแรกเราจะทำการคูณจำนวนเต็ม -21 และ 5 โดย กฎการคูณสำหรับจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายต่างกัน, หลังจากนั้นเราดำเนินการ การบวกจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายต่างกัน: (-21) 5+12=−105+12=−93 . ตอบ: −93
.
ความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษที่เหลือยังแสดงด้วยความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b=(a−d):c , c=(a−d):b และ d=a−b·c ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทำให้เราสามารถคำนวณตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษเหลือ ตามลำดับ เรามักจะต้องหาส่วนที่เหลือของการหารจำนวนเต็ม a ด้วยจำนวนเต็ม b เมื่อทราบเงินปันผล ตัวหาร และผลหารบางส่วน โดยใช้สูตร d=a−b·c เพื่อหลีกเลี่ยงคำถามเพิ่มเติม เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างการคำนวณส่วนที่เหลือ ตัวอย่าง. จงหาเศษที่เหลือจากการหารจำนวนเต็ม -19 ด้วยจำนวนเต็ม 3 หากทราบว่าผลหารบางส่วนเป็น −7 วิธีการแก้. ในการคำนวณเศษของการหาร เราใช้สูตรในรูปแบบ d=a−b·c จากเงื่อนไขที่เรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด a=−19 , b=3 , c=−7 . เราได้รับ d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(-21)=−19+21=2 (ผลต่าง −19−(-21) ที่เราคำนวณจาก กฎการลบจำนวนเต็มลบ).
ตอบ: ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วมากกว่าหนึ่งครั้ง จำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือจะดำเนินการตามกฎทั้งหมดสำหรับการหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือ มันสำคัญมากที่จะต้องสามารถดำเนินการได้อย่างง่ายดาย หารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือเนื่องจากเป็นรากฐานของการแบ่งจำนวนเต็มบวกไม่เพียงเท่านั้น แต่ยังเป็นพื้นฐานของกฎการหารทั้งหมดด้วยส่วนที่เหลือของจำนวนเต็มตามอำเภอใจ จากมุมมองของเรา การดำเนินการที่สะดวกที่สุด การแบ่งคอลัมน์วิธีนี้ช่วยให้คุณได้ทั้งผลหารที่ไม่สมบูรณ์ (หรือเฉพาะผลหาร) และส่วนที่เหลือ ลองพิจารณาตัวอย่างการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือ ตัวอย่าง. ดำเนินการหารด้วยส่วนที่เหลือ 14671 โดย 54 . วิธีการแก้. มาทำการหารจำนวนเต็มบวกเหล่านี้ด้วยคอลัมน์กัน: ผลหารที่ไม่สมบูรณ์กลายเป็น 271 และส่วนที่เหลือคือ 37 ตอบ: 14 671:54=271 (พัก 37) . มากำหนดกฎที่อนุญาตให้คุณทำการหารด้วยเศษที่เหลือของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ผลหารบางส่วนของการหารจำนวนเต็มบวก a ด้วยจำนวนเต็มลบ b เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับผลหารบางส่วนของการหาร a ด้วยโมดูลัสของ b และเศษที่เหลือของการหาร a ด้วย b คือเศษที่เหลือของการหารด้วย จากกฎข้อนี้ ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบคือ จำนวนเต็มไม่เป็นบวก. มาสร้างกฎที่เปล่งเสียงขึ้นใหม่เป็นอัลกอริทึมสำหรับการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ: ให้เรายกตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง. หารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือ 17 ด้วยจำนวนเต็มลบ −5 วิธีการแก้. ลองใช้อัลกอริทึมการหารกับส่วนที่เหลือของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ หาร ตัวเลข, หมายเลขตรงข้าม 3 คือ −3 ดังนั้น ผลหารบางส่วนที่ต้องการในการหาร 17 ด้วย −5 คือ −3 และเศษที่เหลือคือ 2 ตอบ: 17 :(−5)=−3 (ส่วนที่เหลือ 2). ตัวอย่าง. การแบ่ง 45 คูณ -15 . วิธีการแก้. โมดูลของเงินปันผลและตัวหารคือ 45 และ 15 ตามลำดับ ตัวเลข 45 หารด้วย 15 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ส่วนผลหารคือ 3 ดังนั้น จำนวนเต็มบวก 45 จึงหารด้วยจำนวนเต็มลบ −15 โดยไม่มีเศษเหลือ ในขณะที่ผลหารเท่ากับจำนวนที่ตรงข้ามกับ 3 นั่นคือ −3 แท้จริงแล้วโดย กฎการหารจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายต่างกันเรามี . ตอบ: 45:(−15)=−3
.
ให้เรากำหนดกฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือด้วยจำนวนเต็มบวก ในการรับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b คุณต้องนำตัวเลขตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการหารโมดูลของตัวเลขดั้งเดิมแล้วลบหนึ่งจากนั้นจึงคำนวณส่วนที่เหลือ d โดยใช้สูตร d=a−b c . จากกฎการหารนี้ด้วยเศษเหลือ ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนเต็มลบ จากกฎที่เปล่งออกมาจะเป็นไปตามอัลกอริธึมการหารด้วยส่วนที่เหลือของจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b: มาวิเคราะห์คำตอบของตัวอย่างกัน ซึ่งเราใช้อัลกอริธึมการหารแบบเขียนกับเศษที่เหลือ ตัวอย่าง. หาผลหารบางส่วนและเศษของจำนวนเต็มลบ -17 หารด้วยจำนวนเต็มบวก 5 วิธีการแก้. โมดูลัสของเงินปันผล -17 คือ 17 และโมดูลัสของตัวหาร 5 คือ 5 หาร 17 คูณ 5 เราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของ 3 และส่วนที่เหลือของ 2 ตรงข้ามของ 3 คือ −3 ลบหนึ่งจาก −3: −3−1=−4 . ดังนั้น ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ต้องการคือ −4 มันยังคงคำนวณส่วนที่เหลือ ในตัวอย่างของเรา a=−17 , b=5 , c=−4 จากนั้น d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 ดังนั้น ผลหารบางส่วนของจำนวนเต็มลบ -17 หารด้วยจำนวนเต็มบวก 5 คือ -4 และเศษที่เหลือคือ 3 ตอบ: (-17):5=−4 (พัก 3) . ตัวอย่าง. หารจำนวนเต็มลบ -1 404 ด้วยจำนวนเต็มบวก 26 วิธีการแก้. โมดูลัสการจ่ายเงินปันผลคือ 1404 โมดูลัสตัวหารคือ 26 หาร 1404 ด้วย 26 ในคอลัมน์: เนื่องจากโมดูลัสของเงินปันผลถูกหารด้วยโมดูลัสของตัวหารโดยไม่มีเศษเหลือ จำนวนเต็มดั้งเดิมจึงถูกหารโดยไม่มีเศษ และความฉลาดทางหารที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนตรงข้าม 54 นั่นคือ −54 ตอบ: (−1 404):26=−54
.
ให้เรากำหนดกฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือ ในการรับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มลบ b คุณต้องคำนวณผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการแบ่งโมดูลของตัวเลขเดิมแล้วบวกหนึ่งเข้าไป หลังจากนั้น ให้คำนวณส่วนที่เหลือโดยใช้สูตร d =a−b c . จากกฎนี้ ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มลบเป็นจำนวนเต็มบวก มาเขียนกฎที่เปล่งออกมาใหม่ในรูปแบบของอัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มลบ: พิจารณาการประยุกต์ใช้อัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มลบเมื่อแก้ตัวอย่าง ตัวอย่าง. หาผลหารบางส่วนและเศษที่เหลือของจำนวนเต็มลบ -17 หารด้วยจำนวนเต็มลบ −5 วิธีการแก้. เราใช้อัลกอริทึมการหารที่เหมาะสมกับส่วนที่เหลือ โมดูลัสการจ่ายเงินปันผลคือ 17 โมดูลัสตัวหารคือ 5 แผนก 17 คูณ 5 ให้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ 3 และเศษ 2 เราบวกหนึ่งเข้ากับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ 3: 3+1=4 ดังนั้น ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ต้องการของการหาร −17 ด้วย −5 ที่ต้องการคือ 4 มันยังคงคำนวณส่วนที่เหลือ ในตัวอย่างนี้ a=−17 , b=−5 , c=4 จากนั้น d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 ดังนั้น ผลหารบางส่วนของจำนวนเต็มลบ -17 หารด้วยจำนวนเต็มลบ −5 คือ 4 และเศษที่เหลือคือ 3 ตอบ: (-17):(−5)=4 (ส่วนที่เหลือ 3) . หลังจากทำการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือแล้ว จะเป็นประโยชน์ในการตรวจสอบผลลัพธ์ การตรวจสอบจะดำเนินการในสองขั้นตอน ในขั้นตอนแรกจะตรวจสอบว่าเศษ d ที่เหลือเป็นตัวเลขที่ไม่เป็นลบหรือไม่ และจะมีการตรวจสอบเงื่อนไขด้วย หากตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของขั้นตอนแรกของการตรวจสอบ คุณสามารถดำเนินการตรวจสอบขั้นตอนที่สอง มิฉะนั้น อาจมีการโต้แย้งว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่งเมื่อหารด้วยส่วนที่เหลือ ในขั้นตอนที่สอง ตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน a=b·c+d หากความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง การหารด้วยเศษก็ถูกดำเนินการอย่างถูกต้อง มิฉะนั้น จะเกิดข้อผิดพลาดขึ้นที่ไหนสักแห่ง ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่มีการตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ ตัวอย่าง. เมื่อหารจำนวน -521 ด้วย -12 ผลหารบางส่วนคือ 44 และส่วนที่เหลือคือ 7 ให้ตรวจสอบผลลัพธ์ วิธีการแก้. −2 สำหรับ b=−3 , c=7 , d=1 . เรามี ข c+d=−3 7+1=−21+1=−20. ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน a=b c+d ไม่ถูกต้อง (ในตัวอย่างของเรา a=−19 ) ดังนั้นการหารด้วยเศษจึงถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้องความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และส่วนที่เหลือ
หารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือ ตัวอย่าง
กฎการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง
หารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือด้วยจำนวนเต็มบวก ตัวอย่าง
กฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือ ตัวอย่าง
ตรวจผลการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ