X เป็นฟังก์ชันคู่และคี่ ฟังก์ชันคู่และคี่ ฟังก์ชันเป็นระยะ การตรวจสอบฟังก์ชันถึงขีดสุด

ฟังก์ชันเลขคู่และเลขคี่เป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลัก และพาริตีเป็นส่วนที่น่าประทับใจของหลักสูตรวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ส่วนใหญ่จะกำหนดลักษณะของพฤติกรรมของฟังก์ชันและอำนวยความสะดวกอย่างมากในการสร้างกราฟที่สอดคล้องกัน

ให้เรากำหนดพาริตี้ของฟังก์ชัน โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันภายใต้การศึกษาจะถูกพิจารณา แม้ว่าสำหรับค่าตรงข้ามของตัวแปรอิสระ (x) ที่อยู่ในโดเมน ค่าที่สอดคล้องกันของ y (ฟังก์ชัน) จะเท่ากัน

ให้เราให้คำจำกัดความที่เข้มงวดมากขึ้น พิจารณาฟังก์ชันบางอย่าง f (x) ซึ่งกำหนดไว้ในโดเมน D มันจะเป็นแม้ว่าสำหรับจุด x ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ:

• -x (จุดตรงข้าม) ก็อยู่ในขอบเขตที่กำหนดเช่นกัน

• ฉ(-x) = ฉ(x).

จากคำจำกัดความข้างต้น เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันดังกล่าวคือ ความสมมาตรเทียบกับจุด O ซึ่งเป็นจุดกำเนิดของพิกัด เนื่องจากหากจุด b อยู่ในโดเมนของนิยามของฟังก์ชันเลขคู่ ดังนั้นจุดที่สอดคล้องกัน - b ก็จะอยู่ในโดเมนนี้ด้วย จากที่กล่าวมาข้างต้น ดังนั้น ข้อสรุปดังต่อไปนี้: ฟังก์ชันคู่มีรูปแบบที่สมมาตรเมื่อเทียบกับแกนกำหนด (Oy)

จะกำหนดความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันในทางปฏิบัติได้อย่างไร?

ให้ใช้สูตร h(x)=11^x+11^(-x) ทำตามอัลกอริทึมที่ต่อจากคำจำกัดความโดยตรง ก่อนอื่นเราศึกษาโดเมนของคำจำกัดความ เห็นได้ชัดว่ามันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ นั่นคือ เป็นไปตามเงื่อนไขแรก

ขั้นตอนต่อไปคือการแทนที่อาร์กิวเมนต์ (x) ด้วยค่าตรงข้าม (-x)
เราได้รับ:
ซ(-x) = 11^(-x) + 11^x
เนื่องจากการบวกเป็นไปตามกฎการสลับที่ (การแทนที่) จึงเห็นได้ชัดว่า h(-x) = h(x) และการพึ่งพาการทำงานที่กำหนดนั้นเป็นเลขคู่

ตรวจสอบความสมดุลของฟังก์ชัน h(x)=11^x-11^(-x) กัน ทำตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราจะได้ h(-x) = 11^(-x) -11^x เอาลบออก เราก็ได้
ชั่วโมง(-x)=-(11^x-11^(-x))=- ชั่วโมง(x). ดังนั้น h(x) จึงเป็นเลขคี่

อย่างไรก็ตาม ควรระลึกไว้เสมอว่ามีฟังก์ชันที่ไม่สามารถจำแนกตามเกณฑ์เหล่านี้ได้ ซึ่งเรียกว่าไม่คู่หรือคี่

แม้แต่ฟังก์ชันก็มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

• อันเป็นผลมาจากการเพิ่มฟังก์ชั่นที่คล้ายกันทำให้ได้หนึ่งคู่
• อันเป็นผลมาจากการลบฟังก์ชันดังกล่าว จะได้หนึ่งคู่
• แม้กระทั่ง แม้กระทั่ง;
• อันเป็นผลมาจากการคูณสองฟังก์ชันดังกล่าว จะได้หนึ่งคู่
• อันเป็นผลมาจากการคูณฟังก์ชันคี่และคู่จะได้ค่าคี่
• อันเป็นผลมาจากการแบ่งฟังก์ชันคี่และคู่ทำให้ได้ค่าคี่
• อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นเลขคี่
• ถ้าเรายกกำลังสองของฟังก์ชันคี่ เราจะได้หนึ่งคู่

พาริตีของฟังก์ชันสามารถใช้ในการแก้สมการได้

ในการแก้สมการเช่น g(x) = 0 โดยที่ด้านซ้ายของสมการเป็นฟังก์ชันเลขคู่ ก็เพียงพอแล้วที่จะหาคำตอบสำหรับค่าตัวแปรที่ไม่เป็นลบ รากของสมการที่ได้จะต้องรวมกับเลขตรงข้าม หนึ่งในนั้นต้องได้รับการตรวจสอบ

เดียวกันนี้ใช้เพื่อแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานด้วยพารามิเตอร์ได้สำเร็จ

ตัวอย่างเช่น มีค่าใดๆ สำหรับพารามิเตอร์ a ที่จะทำให้สมการ 2x^6-x^4-ax^2=1 มีสามรากหรือไม่

หากเราพิจารณาว่าตัวแปรเข้าสู่สมการด้วยเลขยกกำลัง เป็นที่ชัดเจนว่า การแทนที่ x ด้วย -x จะไม่เปลี่ยนสมการที่กำหนด มันตามมาว่าถ้าจำนวนหนึ่งเป็นรากของมันแล้วจำนวนตรงข้ามก็จะเป็นเช่นนั้น ข้อสรุปนั้นชัดเจน: รากของสมการนอกเหนือจากศูนย์จะรวมอยู่ในชุดของคำตอบใน "คู่"

เป็นที่ชัดเจนว่าเลข 0 นั้นไม่ใช่ นั่นคือจำนวนของรากของสมการดังกล่าวสามารถเป็นเลขคู่ได้เท่านั้น และโดยธรรมชาติแล้ว สำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์นั้น เลขนั้นไม่สามารถมีสามรากได้

แต่จำนวนรากของสมการ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 อาจเป็นเลขคี่ และสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ อันที่จริง เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าเซตของรากของสมการที่กำหนดมีคำตอบเป็น "คู่" ตรวจสอบว่า 0 เป็นรูทหรือไม่ เมื่อแทนลงในสมการ จะได้ 2=2 ดังนั้น นอกจาก "จับคู่" แล้ว 0 ยังเป็นรากซึ่งพิสูจน์จำนวนคี่

ย้อนกลับ

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงขอบเขตทั้งหมดของงานนำเสนอ หากคุณสนใจงานนี้ โปรดดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

เป้าหมาย:

• เพื่อสร้างแนวคิดของฟังก์ชันคู่และคี่ เพื่อสอนความสามารถในการกำหนดและใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการศึกษาฟังก์ชัน การวางแผน
• เพื่อพัฒนากิจกรรมสร้างสรรค์ของนักเรียน, การคิดเชิงตรรกะ, ความสามารถในการเปรียบเทียบ, สรุป;
• เพื่อปลูกฝังความขยันหมั่นเพียรวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ พัฒนาทักษะการสื่อสาร .

อุปกรณ์:การติดตั้งมัลติมีเดีย ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ เอกสารประกอบคำบรรยาย

รูปแบบการทำงาน:ส่วนหน้าและกลุ่มที่มีองค์ประกอบของกิจกรรมการค้นหาและการวิจัย

แหล่งข้อมูล:

1. พีชคณิตชั้น 9 A.G. Mordkovich หนังสือเรียน.
2. พีชคณิตเกรด 9 A.G. Mordkovich หนังสืองาน.
3. พีชคณิตเกรด 9 งานเพื่อการเรียนรู้และพัฒนานักเรียน Belenkova E.Yu Lebedintseva E.A.

ระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

การกำหนดเป้าหมายและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

2. ตรวจการบ้าน

หมายเลข 10.17 (หนังสือปัญหาเกรด 9 A.G. Mordkovich)

ก) ที่ = ฉ(เอ็กซ์), ฉ(เอ็กซ์) =

ข) ฉ (–2) = –3; ฉ (0) = –1; ฉ(5) = 69;

ค) 1. ง( ฉ) = [– 2; + ∞)
2. อี( ฉ) = [– 3; + ∞)
3. ฉ(เอ็กซ์) = 0 สำหรับ เอ็กซ์ ~ 0,4
4. ฉ(เอ็กซ์) >0 ที่ เอ็กซ์ > 0,4 ; ฉ(เอ็กซ์) < 0 при – 2 < เอ็กซ์ < 0,4.
5. ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย เอ็กซ์ € [– 2; + ∞)
6. ฟังก์ชันถูกจำกัดจากด้านล่าง
7. ที่จ้าง = - 3, ที่นาอิบไม่อยู่
8. ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

(คุณใช้อัลกอริทึมการสำรวจคุณลักษณะหรือไม่) สไลด์

2. ตรวจสอบตารางที่คุณถูกถามบนสไลด์

เติมตาราง
	โดเมน	ฟังก์ชันเลขศูนย์	ช่วงเวลาคงที่		พิกัดของจุดตัดของกราฟกับ Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U คุณ(2;∞)	x € (–∞;–5) U คุณ (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U คุณ(2;∞)	x € (–∞;–5) U คุณ (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) คุณ คุณ(2;∞)	x € (–5; 2)

3. อัพเดทความรู้

- ฟังก์ชั่นจะได้รับ
– ระบุโดเมนของคำจำกัดความสำหรับแต่ละฟังก์ชัน
– เปรียบเทียบค่าของแต่ละฟังก์ชันสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์แต่ละคู่: 1 และ – 1; 2 และ - 2
– สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดในโดเมนของคำนิยามที่มีความเท่าเทียมกัน ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์), ฉ(– เอ็กซ์) = – ฉ(เอ็กซ์)? (ใส่ข้อมูลในตาราง) สไลด์

4. วัสดุใหม่

- ในขณะที่ทำงานนี้ พวกเราได้เปิดเผยคุณสมบัติของฟังก์ชั่นอีกหนึ่งอย่าง ซึ่งคุณไม่คุ้นเคย แต่มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่าคุณสมบัติอื่นๆ นั่นคือ ความสม่ำเสมอและความแปลกของฟังก์ชั่น เขียนหัวข้อของบทเรียน: "ฟังก์ชันคู่และคี่" งานของเราคือเรียนรู้วิธีกำหนดฟังก์ชันคู่และคี่ ค้นหาความสำคัญของคุณสมบัตินี้ในการศึกษาฟังก์ชันและการวางแผน
ลองหาคำจำกัดความในหนังสือเรียนแล้วอ่าน (น. 110) . สไลด์

เดฟ 1การทำงาน ที่ = ฉ (เอ็กซ์) ที่กำหนดไว้ในชุด X เรียกว่า สม่ำเสมอถ้ามีค่าใดๆ เอ็กซ์กำลังดำเนินการ Є X ความเท่าเทียมกัน f (–x) = f (x) ยกตัวอย่าง.

เดฟ 2การทำงาน y = ฉ(x)ที่กำหนดไว้ในชุด X เรียกว่า แปลกถ้ามีค่าใดๆ เอ็กซ์Є X ความเท่าเทียมกัน f(–х)= –f(х) เป็นที่น่าพอใจ ยกตัวอย่าง.

เราพบคำว่า "คู่" และ "คี่" ที่ไหน
คุณคิดว่าฟังก์ชันใดต่อไปนี้จะเป็นเลขคู่ ทำไม อันไหนแปลก? ทำไม
สำหรับฟังก์ชันใด ๆ ของแบบฟอร์ม ที่= x n, ที่ไหน นเป็นจำนวนเต็ม มันสามารถโต้แย้งได้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคี่สำหรับ นเป็นเลขคี่และฟังก์ชันเป็นเลขคู่ น- สม่ำเสมอ.
- ดูฟังก์ชั่น ที่= และ ที่ = 2เอ็กซ์– 3 ไม่เป็นเลขคู่หรือเลขคี่ เพราะ ไม่พบความเท่าเทียมกัน ฉ(– เอ็กซ์) = – ฉ(เอ็กซ์), ฉ(– เอ็กซ์) = ฉ(เอ็กซ์)

การศึกษาคำถามที่ว่าฟังก์ชันเป็นคู่หรือคี่เรียกว่าการศึกษาฟังก์ชันสำหรับพาริตีสไลด์

นิยาม 1 และ 2 จัดการกับค่าของฟังก์ชันที่ x และ - x ดังนั้นจึงถือว่าฟังก์ชันถูกกำหนดด้วยค่า เอ็กซ์และที่ - เอ็กซ์.

อปท.3.หากชุดตัวเลขร่วมกับองค์ประกอบ x แต่ละชุดมีองค์ประกอบตรงข้าม x ชุดนั้น เอ็กซ์เรียกว่าเซตสมมาตร

ตัวอย่าง:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) เป็นเซตสมมาตร และ , [–5;4] เป็นเซตไม่สมมาตร

- ฟังก์ชันมีโดเมนของคำจำกัดความ - ชุดสมมาตรหรือไม่? พวกแปลก ๆ ?
- ถ้า D( ฉ) เป็นเซตอสมมาตร แล้วฟังก์ชันคืออะไร?
– ดังนั้นหากฟังก์ชั่น ที่ = ฉ(เอ็กซ์) เป็นคู่หรือคี่ ดังนั้นโดเมนของนิยามคือ D( ฉ) เป็นเซตสมมาตร แต่ในทางกลับกัน จริงหรือไม่ ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็นเซตสมมาตร มันจะเป็นเลขคู่หรือเลขคี่
- ดังนั้นการมีอยู่ของชุดสมมาตรของโดเมนของคำนิยามจึงเป็นเงื่อนไขที่จำเป็น แต่ไม่เพียงพอ
– แล้วเราจะตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อหาความเท่าเทียมกันได้อย่างไร? มาลองเขียนอัลกอริทึมกัน

สไลด์

อัลกอริทึมสำหรับการตรวจสอบฟังก์ชันสำหรับความเท่าเทียมกัน

1. กำหนดว่าโดเมนของฟังก์ชันมีความสมมาตรหรือไม่ ถ้าไม่ใช่ ฟังก์ชันนี้ก็ไม่ใช่คู่หรือคี่ ถ้าใช่ ให้ไปที่ขั้นตอนที่ 2 ของอัลกอริทึม

2. เขียนนิพจน์สำหรับ ฉ(–เอ็กซ์).

3. เปรียบเทียบ ฉ(–เอ็กซ์).และ ฉ(เอ็กซ์):

• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์).= ฉ(เอ็กซ์) จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่
• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์).= – ฉ(เอ็กซ์) จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นเลขคี่
• ถ้า ฉ(–เอ็กซ์) ≠ ฉ(เอ็กซ์) และ ฉ(–เอ็กซ์) ≠ –ฉ(เอ็กซ์) ฟังก์ชันนั้นไม่เป็นเลขคู่หรือเลขคี่

ตัวอย่าง:

ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อหาความเท่าเทียมกัน a) ที่= x 5 +; ข) ที่= ; วี) ที่= .

สารละลาย.

ก) ชั่วโมง (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), เซตสมมาตร

2) ชั่วโมง (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) ชั่วโมง (- x) \u003d - ชั่วโมง (x) \u003d\u003e ฟังก์ชัน ชั่วโมง(x)= x 5 + คี่

ข) y =,

ที่ = ฉ(เอ็กซ์), D(ฉ) = (–∞; –9)? (–9; +∞), เซตอสมมาตร ดังนั้นฟังก์ชันจึงไม่ใช่คู่หรือคี่

วี) ฉ(เอ็กซ์) = , y = ฉ(x),

1) ง( ฉ) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

ตัวเลือก 2

1. เซตที่กำหนดสมมาตรหรือไม่: a) [–2;2]; ข) (∞; 0], (0; 7) ?

ก) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

ตรวจสอบร่วมกัน สไลด์

6. การบ้าน: №11.11, 11.21,11.22;

การพิสูจน์ความหมายทางเรขาคณิตของคุณสมบัติพาริตี

*** (การกำหนดตัวเลือกการใช้งาน)

1. ฟังก์ชันคี่ y \u003d f (x) ถูกกำหนดไว้ในเส้นจริงทั้งหมด สำหรับค่าใดๆ ที่ไม่เป็นลบของตัวแปร x ค่าของฟังก์ชันนี้จะพ้องกับค่าของฟังก์ชัน g( เอ็กซ์) = เอ็กซ์(เอ็กซ์ + 1)(เอ็กซ์ + 3)(เอ็กซ์– 7). ค้นหาค่าของฟังก์ชัน h( เอ็กซ์) = ที่ เอ็กซ์ = 3.

7. สรุป

คำนิยาม 1. เรียกใช้ฟังก์ชัน สม่ำเสมอ (แปลก ) ถ้าร่วมกับแต่ละค่าของตัวแปร
ความหมาย - เอ็กซ์ยังเป็นของ
และความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ได้ก็ต่อเมื่อโดเมนของนิยามนั้นสมมาตรตามจุดกำเนิดของพิกัดบนเส้นจริง (ตัวเลข เอ็กซ์และ - เอ็กซ์เป็นเจ้าของพร้อมกัน
). ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน
ไม่ใช่คู่หรือคี่เนื่องจากโดเมนของคำจำกัดความ
ไม่สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

การทำงาน
แม้เพราะ
สมมาตรตามที่มาของพิกัดและ

การทำงาน
แปลกเพราะว่า
และ
.

การทำงาน
ไม่ใช่คู่หรือคี่ตั้งแต่แม้ว่า
และมีความสมมาตรตามแหล่งกำเนิด ความเท่าเทียมกัน (11.1) ไม่เป็นที่พอใจ ตัวอย่างเช่น,.

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกน อู๋เนื่องจากหากจุด

เป็นของกราฟด้วย กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด เพราะถ้า
เป็นของกราฟ จากนั้นเป็นจุด
เป็นของกราฟด้วย

เมื่อต้องการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันเป็นคู่หรือคี่ ข้อความต่อไปนี้มีประโยชน์

ทฤษฎีบท 1. ก) ผลบวกของฟังก์ชันคู่ (คี่) สองตัวเป็นฟังก์ชันคู่ (คี่)

b) ผลคูณของฟังก์ชันคู่ (คี่) สองตัวเป็นฟังก์ชันคู่

ค) ผลคูณของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันคี่

ง) ถ้า ฉเป็นฟังก์ชันคู่ในชุด เอ็กซ์และฟังก์ชัน กรัม ที่กำหนดไว้ในชุด
แล้วฟังก์ชัน
- สม่ำเสมอ.

จ) ถ้า ฉเป็นฟังก์ชันคี่ในชุด เอ็กซ์และฟังก์ชัน กรัม ที่กำหนดไว้ในชุด
และคู่ (คี่) แล้วฟังก์ชัน
- คู่ (คี่).

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ เช่น b) และ d)

ข) ให้
และ
เป็นฟังก์ชันด้วยซ้ำ ดังนั้น กรณีของฟังก์ชันคี่จะพิจารณาในทำนองเดียวกัน
และ
.

ง) ให้ ฉ เป็นฟังก์ชันคู่ แล้ว.

การยืนยันทฤษฎีบทอื่น ๆ ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2. ฟังก์ชั่นใดๆ
กำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์ซึ่งสมมาตรตามจุดกำเนิด สามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันเลขคู่และเลขคี่

การพิสูจน์. การทำงาน
สามารถเขียนในรูป

.

การทำงาน
เป็นเลขคู่ตั้งแต่
และฟังก์ชัน
เป็นเรื่องแปลกเพราะ ดังนั้น,
, ที่ไหน
- แม้กระทั่งและ
เป็นฟังก์ชันที่แปลก ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

คำนิยาม 2. ฟังก์ชั่น
เรียกว่า เป็นระยะ ถ้ามีจำนวน
เช่นนั้นสำหรับใด ๆ
ตัวเลข
และ
อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความด้วย
และความเท่าเทียมกัน

จำนวนดังกล่าว ตเรียกว่า ระยะเวลา ฟังก์ชั่น
.

คำจำกัดความ 1 หมายความว่าถ้า ต– ระยะเวลาการทำงาน
จากนั้นหมายเลข ตเดียวกัน เป็นช่วงของการทำงาน
(เพราะเมื่อเปลี่ยน ตบน - ตรักษาความเท่าเทียมกัน) โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ จะได้ว่า ถ้า ต– ระยะเวลาการทำงาน ฉแล้ว และ
ยังเป็นช่วงเวลา เป็นไปตามที่ว่าหากฟังก์ชันมีระยะเวลาก็จะมีระยะเวลามากมายนับไม่ถ้วน

คำนิยาม 3. คาบบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเรียกว่า ของมัน หลัก ระยะเวลา.

ทฤษฎีบท 3. ถ้า ตเป็นช่วงหลักของการทำงาน ฉแล้วระยะเวลาที่เหลือจะเป็นทวีคูณของมัน

การพิสูจน์. สมมติว่าตรงกันข้ามนั่นคือมีช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชั่น ฉ (>0) ไม่ใช่หลายรายการ ต. แล้วแบ่ง บน ตเราได้รับส่วนที่เหลือ
, ที่ไหน
. นั่นเป็นเหตุผล

นั่นคือ – ระยะเวลาการทำงาน ฉ, และ
ซึ่งขัดแย้งกับความจริงที่ว่า ตเป็นช่วงหลักของการทำงาน ฉ. การยืนยันทฤษฎีบทตามมาจากความขัดแย้งที่ได้รับ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นเป็นคาบ ช่วงหลัก
และ
เท่ากับ
,
และ
. ค้นหาระยะเวลาของฟังก์ชัน
. อนุญาต
คือช่วงเวลาของฟังก์ชันนี้ แล้ว

(เพราะ
.

อรอร
.

ความหมาย ตกำหนดจากความเท่าเทียมกันครั้งแรกไม่สามารถเป็นช่วงเวลาได้เนื่องจากขึ้นอยู่กับ เอ็กซ์, เช่น. เป็นหน้าที่ของ เอ็กซ์ไม่ใช่จำนวนคงที่ ระยะเวลาถูกกำหนดจากความเท่าเทียมกันที่สอง:
. มีมากมายนับไม่ถ้วน
ช่วงเวลาบวกที่เล็กที่สุดจะได้รับเมื่อ
:
. นี่คือช่วงเวลาหลักของการทำงาน
.

ตัวอย่างของฟังก์ชันคาบที่ซับซ้อนกว่าคือฟังก์ชันไดริชเลต

โปรดทราบว่าหาก ตเป็นจำนวนตรรกยะแล้ว
และ
เป็นจำนวนตรรกยะภายใต้จำนวนตรรกยะ เอ็กซ์และไม่มีเหตุผลเมื่อไม่มีเหตุผล เอ็กซ์. นั่นเป็นเหตุผล

สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ ต. ดังนั้น จำนวนตรรกยะใดๆ ตคือช่วงเวลาของฟังก์ชันไดริชเลต เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชันนี้ไม่มีจุดหลัก เนื่องจากจำนวนตรรกยะที่เป็นบวกมีค่าใกล้เคียงกับศูนย์โดยพลการ (ตัวอย่างเช่น จำนวนตรรกยะสามารถทำได้โดยการเลือก นใกล้ศูนย์โดยพลการ)

ทฤษฎีบท 4. ถ้าฟังก์ชั่น ฉ ตั้งอยู่บนชุด เอ็กซ์และมีระยะเวลา ตและฟังก์ชัน กรัม ตั้งอยู่บนชุด
แล้วฟังก์ชันเชิงซ้อน
มีระยะเวลาด้วย ต.

การพิสูจน์. เราจึงมี

นั่นคือการยืนยันทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างเช่นตั้งแต่ เพราะ x มีระยะเวลา
แล้วฟังก์ชั่น
มีระยะเวลา
.

คำนิยาม 4. เรียกฟังก์ชันที่ไม่เป็นระยะ ไม่ใช่เป็นระยะ .

การวิจัยฟังก์ชั่น

1) D(y) - โดเมนของคำจำกัดความ: ชุดของค่าทั้งหมดของตัวแปร x ภายใต้นิพจน์พีชคณิต f(x) และ g(x) เข้าท่า

หากสูตรกำหนดฟังก์ชั่นโดเมนของคำนิยามจะประกอบด้วยค่าทั้งหมดของตัวแปรอิสระที่สูตรเหมาะสม

2) คุณสมบัติของฟังก์ชัน: คู่/คี่, ช่วงเวลา:

แปลกและ สม่ำเสมอเรียกว่าฟังก์ชันที่มีกราฟสมมาตรเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันคี่- ฟังก์ชันที่เปลี่ยนค่าเป็นค่าตรงข้ามเมื่อเครื่องหมายของตัวแปรอิสระเปลี่ยน (สมมาตรที่จุดศูนย์กลางของพิกัด)

แม้กระทั่งฟังก์ชั่น- ฟังก์ชันที่ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อเครื่องหมายของตัวแปรอิสระเปลี่ยนแปลง (สมมาตรรอบแกน y)

ไม่มีฟังก์ชันคู่หรือคี่ (ฟังก์ชั่นทั่วไป)เป็นฟังก์ชันที่ไม่มีความสมมาตร หมวดหมู่นี้มีฟังก์ชันที่ไม่อยู่ใน 2 หมวดหมู่ก่อนหน้า

ฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในหมวดหมู่ใดๆ ข้างต้นจะถูกเรียกใช้ ไม่แม้แต่หรือคี่(หรือฟังก์ชันทั่วไป)

ฟังก์ชันแปลกๆ

เลขคี่ที่เป็นจำนวนเต็มโดยพลการ

แม้แต่ฟังก์ชั่น

เลขคู่ที่เป็นจำนวนเต็มโดยพลการ

ฟังก์ชันเป็นระยะเป็นฟังก์ชันที่ทำซ้ำค่าของมันในช่วงเวลาปกติของอาร์กิวเมนต์ เช่น ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์คงที่ถูกเพิ่มเข้าไปในอาร์กิวเมนต์ ( ระยะเวลาฟังก์ชัน) ทั่วทั้งโดเมนของคำนิยาม

3) ศูนย์ (ราก) ของฟังก์ชันคือจุดที่มันหายไป

การหาจุดตัดของกราฟกับแกน โอ๊ย. ในการทำเช่นนี้คุณต้องคำนวณค่า ฉ(0). ค้นหาจุดตัดของกราฟกับแกนด้วย วัว, หารากของสมการทำไม ฉ(x) = 0 (หรือตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีราก)

จุดที่กราฟตัดแกนเรียกว่า ฟังก์ชันเลขศูนย์. ในการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน คุณต้องแก้สมการ นั่นคือ ค้นหา ค่า x เหล่านั้นซึ่งฟังก์ชันจะหายไป

4) ช่วงเวลาของความมั่นคงของสัญญาณ, สัญญาณในพวกเขา

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน f(x) คงเครื่องหมายไว้

ช่วงคงที่คือช่วงเวลา ในทุกจุดที่ฟังก์ชั่นเป็นบวกหรือลบ

เหนือแกน x

แกนด้านล่าง

5) ความต่อเนื่อง (จุดความไม่ต่อเนื่อง ลักษณะของความไม่ต่อเนื่อง เส้นกำกับ)

ฟังก์ชันต่อเนื่อง- ฟังก์ชันที่ไม่มี "การกระโดด" นั่นคือการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอาร์กิวเมนต์นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของฟังก์ชัน

จุดพักที่ถอดออกได้

ถ้าลิมิตของฟังก์ชัน มีอยู่แต่ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนด ณ จุดนี้ หรือขีดจำกัดไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้:

,

แล้วจุดที่เรียกว่า จุดพักฟังก์ชัน (ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน จุดเอกพจน์ที่ถอดออกได้)

หากเรา "แก้ไข" ฟังก์ชัน ณ จุดที่ความไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้และวาง แล้วเราจะได้ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดนี้ การดำเนินการดังกล่าวในฟังก์ชันเรียกว่า ขยายฟังก์ชั่นให้ต่อเนื่องหรือ การขยายฟังก์ชันโดยความต่อเนื่องซึ่งทำให้ชื่อของจุดเป็นเหตุผล แบบใช้แล้วทิ้งช่องว่าง

จุดไม่ต่อเนื่องของประเภทที่หนึ่งและสอง

หากฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนด (นั่นคือ ลิมิตของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนดขาดหรือไม่ตรงกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด) ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันตัวเลข มีสองตัวเลือกที่เป็นไปได้ที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของฟังก์ชันตัวเลข ขีด จำกัด ฝ่ายเดียว:

ถ้าขีดจำกัดด้านเดียวมีอยู่และจำกัด จุดนั้นเรียกว่าจุดนั้น จุดแตกหักของประเภทแรก. จุดความไม่ต่อเนื่องที่ถอดออกได้คือจุดความไม่ต่อเนื่องของประเภทแรก

ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีอยู่หรือไม่ใช่ค่าจำกัด จุดนั้นจะเรียกว่า จุดแตกหักของประเภทที่สอง.

เส้นกำกับ - ตรงซึ่งมีคุณสมบัติที่ว่าระยะทางจากจุดหนึ่งของเส้นโค้งถึงจุดนี้ ตรงมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อจุดเคลื่อนที่ไปตามกิ่งไม้จนถึงระยะอนันต์

แนวตั้ง

เส้นกำกับแนวตั้ง - เส้นจำกัด .

ตามกฎแล้ว เมื่อกำหนดเส้นกำกับแนวดิ่ง พวกเขาไม่ได้มองหาขีดจำกัดเดียว แต่มองหาสองขีดจำกัดด้านเดียว (ซ้ายและขวา) สิ่งนี้ทำเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันทำงานอย่างไรเมื่อเข้าใกล้เส้นกำกับแนวดิ่งจากทิศทางต่างๆ ตัวอย่างเช่น:

แนวนอน

เส้นกำกับแนวนอน - ตรงสายพันธุ์ขึ้นอยู่กับการดำรงอยู่ จำกัด

.

เอียง

เส้นกำกับเฉียง - ตรงสายพันธุ์ขึ้นอยู่กับการดำรงอยู่ ขีด จำกัด

หมายเหตุ: ฟังก์ชันสามารถมีเส้นกำกับแนวเฉียง (แนวนอน) ได้ไม่เกินสองเส้น

หมายเหตุ: ถ้าอย่างน้อยหนึ่งในสองขีดจำกัดที่กล่าวถึงข้างต้นไม่มีอยู่ (หรือเท่ากับ ) แสดงว่าไม่มีเส้นกำกับเฉียงที่ (หรือ )

หากอยู่ในข้อ 2.) จากนั้น และจะพบขีดจำกัดโดยสูตรเส้นกำกับแนวนอน .

6) การหาช่วงเวลาของความซ้ำซากจำเจค้นหาช่วงความซ้ำซ้อนของฟังก์ชัน ฉ(x) (นั่นคือช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลง). สิ่งนี้ทำได้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ ฉ(x). ในการทำเช่นนี้ ให้หาอนุพันธ์ ฉ(x) และแก้อสมการ ฉ(x)0. ในช่วงที่ความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นที่พอใจ ฟังก์ชัน ฉ(x) เพิ่มขึ้น ที่ซึ่งอสมการย้อนกลับถืออยู่ ฉ(x)0, ฟังก์ชัน ฉ(x) ลดลง

การหาค่าสูงสุดในท้องถิ่นเมื่อพบช่วงเวลาของความเป็นโมโนโทนิกแล้ว เราสามารถกำหนดจุดของค่าสูงสุดในท้องถิ่นได้ทันทีโดยที่การเพิ่มขึ้นจะถูกแทนที่ด้วยการลดลง มีจุดสูงสุดในท้องถิ่น และเมื่อการลดลงถูกแทนที่ด้วยการเพิ่มขึ้น ขั้นต่ำในท้องถิ่น คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้ หากฟังก์ชันมีจุดวิกฤติที่ไม่ใช่จุดสุดโต่งเฉพาะจุด ก็จะมีประโยชน์ในการคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้เช่นกัน

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = f(x) ในส่วน(ต่อเนื่อง)

7) การหาช่วงความนูนและความเว้า. สิ่งนี้ทำได้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง ฉ(x). ค้นหาจุดเปลี่ยนที่จุดเชื่อมต่อของช่วงนูนและช่วงเว้า คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดเปลี่ยน หากฟังก์ชันมีจุดต่อเนื่องอื่นๆ (นอกเหนือจากจุดเปลี่ยนผัน) ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองเท่ากับ 0 หรือไม่มีอยู่ ดังนั้นที่จุดเหล่านี้ การคำนวณค่าของฟังก์ชันก็มีประโยชน์เช่นกัน หา ฉ(x) เราแก้อสมการ ฉ(x)0. ในแต่ละช่วงเวลาการแก้ปัญหา ฟังก์ชันจะนูนลง การแก้อสมการย้อนกลับ ฉ(x)0 เราพบช่วงที่ฟังก์ชันนูนขึ้น (นั่นคือเว้า) เรากำหนดจุดเปลี่ยนเป็นจุดที่ฟังก์ชันเปลี่ยนทิศทางของความนูน (และต่อเนื่อง)

จุดเปลี่ยนฟังก์ชัน- นี่คือจุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและเมื่อผ่านฟังก์ชันจะเปลี่ยนทิศทางของความนูน

เงื่อนไขของการดำรงอยู่

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีจุดเปลี่ยน:หากฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่าในย่านที่มีการเจาะทะลุของจุด ก็ให้ทั้งสองอย่าง .

แม้กระทั่งฟังก์ชั่น

สม่ำเสมอฟังก์ชันที่เครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมายถูกเรียก x.

xความเท่าเทียมกัน ฉ(–x) = ฉ(x). เข้าสู่ระบบ xไม่ส่งผลต่อสัญญาณ ย.

กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรรอบแกนพิกัด (รูปที่ 1)

ตัวอย่างฟังก์ชันคู่:

ย= คอส x

ย = x 2

ย = –x 2

ย = x 4

ย = x 6

ย = x 2 + x

คำอธิบาย:
ลองมาทำหน้าที่กัน ย = x 2 หรือ ย = –x 2 .
สำหรับค่าใด ๆ xฟังก์ชันเป็นบวก เข้าสู่ระบบ xไม่ส่งผลต่อสัญญาณ ย. กราฟมีความสมมาตรรอบแกนพิกัด นี่คือฟังก์ชันคู่

ฟังก์ชันคี่

แปลกเป็นฟังก์ชันที่เครื่องหมายเปลี่ยนเมื่อเครื่องหมายเปลี่ยน x.

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับค่าใด ๆ xความเท่าเทียมกัน ฉ(–x) = –ฉ(x).

กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด (รูปที่ 2)

ตัวอย่างของฟังก์ชันคี่:

ย= บาป x

ย = x 3

ย = –x 3

คำอธิบาย:

รับฟังก์ชั่น y = - x 3 .
ค่าทั้งหมด ที่มันจะมีเครื่องหมายลบ นั่นคือสัญญาณ xส่งผลต่อเครื่องหมาย ย. ถ้าตัวแปรอิสระเป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันจะเป็นบวก ถ้าตัวแปรอิสระเป็นจำนวนลบ ฟังก์ชันจะเป็นลบ: ฉ(–x) = –ฉ(x).
กราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด นี่เป็นฟังก์ชันที่แปลก

คุณสมบัติของฟังก์ชันคู่และคี่:

บันทึก:

คุณลักษณะทั้งหมดไม่ได้เป็นคู่หรือคี่ มีฟังก์ชันที่ไม่อยู่ภายใต้การไล่ระดับสีดังกล่าว ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันรูท ที่ = √เอ็กซ์ใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันคู่หรือคี่ (รูปที่ 3) เมื่อแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชันดังกล่าว ควรให้คำอธิบายที่เหมาะสม: ไม่คู่หรือคี่

ฟังก์ชันเป็นระยะ

อย่างที่คุณทราบ ช่วงเวลาคือการทำซ้ำของกระบวนการบางอย่างในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันที่อธิบายกระบวนการเหล่านี้เรียกว่า ฟังก์ชันเป็นระยะ. นั่นคือฟังก์ชันเหล่านี้มีองค์ประกอบในกราฟที่ทำซ้ำตามช่วงตัวเลขที่กำหนด