การใช้พีทาโกรัสสามเท่าในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตและงานตรีโกณมิติในข้อสอบ พีทาโกรัสทวีคูณ จำนวนเฉพาะในพีทาโกรัสสามเท่า

คุณสมบัติ

เนื่องจากสมการ x 2 + y 2 = z 2 เป็นเนื้อเดียวกันเมื่อคูณ x , yและ zสำหรับหมายเลขเดียวกันคุณจะได้อีกสามพีทาโกรัส สามพีทาโกรัสเรียกว่า ดั้งเดิมหากไม่สามารถทำได้ในลักษณะนี้ นั่นคือ - จำนวนเฉพาะ

ตัวอย่าง

พีทาโกรัสสามตัวบางตัว (เรียงลำดับจากน้อยไปมากของจำนวนสูงสุด, ตัวดั้งเดิมจะถูกเน้น):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

ตามคุณสมบัติของตัวเลขฟีโบนักชี คุณสามารถสร้างมันได้ ตัวอย่างเช่น พีทาโกรัสสามเท่า:

เรื่องราว

แฝดสามพีทาโกรัสรู้จักกันมานานมาก ในสถาปัตยกรรมของหลุมฝังศพของชาวเมโสโปเตเมียโบราณพบสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอันที่มีด้าน 9, 12 และ 15 ศอก ปิรามิดของฟาโรห์สเนฟรู (ศตวรรษที่ XXVII ก่อนคริสต์ศักราช) ถูกสร้างขึ้นโดยใช้สามเหลี่ยมที่มีด้านเป็น 20, 21 และ 29 รวมทั้ง 18, 24 และ 30 สิบศอกของอียิปต์

ดูสิ่งนี้ด้วย

ลิงค์

• อี.เอ.โกรินยกกำลังของจำนวนเฉพาะในพีทาโกรัสสามเท่า // คณิตศาสตร์ศึกษา. - 2551. - ว. 12. - ส. 105-125.

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .

ดูว่า "ตัวเลขพีทาโกรัส" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ โดยที่สามเหลี่ยมที่ด้านยาวเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากับ) กับตัวเลขเหล่านี้เป็นมุมฉาก เช่น เลขสามตัว: 3, 4, 5… พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ โดยที่สามเหลี่ยมที่ด้านยาวเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากับ) กับจำนวนเหล่านี้เป็นสี่เหลี่ยม เช่น เลขสามตัว: 3, 4, 5. * * * เลขพีทาโกรัน เลขพีทาโกรัน เลขสามตัวของจำนวนธรรมชาติดังกล่าว นั่น ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ โดยที่สามเหลี่ยมที่ด้านยาวเป็นสัดส่วน (หรือเท่ากับ) กับตัวเลขเหล่านี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามทฤษฎีบทผกผันของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ดูทฤษฎีบทพีทาโกรัส) สำหรับสิ่งนี้ก็เพียงพอแล้วที่พวกเขา ... ...

สามของจำนวนเต็ม ตัวเลขบวก x, y, z เป็นไปตามสมการ x2+y 2=z2 คำตอบทั้งหมดของสมการนี้ และด้วยเหตุนี้ หน้า p ทั้งหมดแสดงโดยสูตร x=a 2 b2, y=2ab, z=a2+b2 โดยที่ a, b เป็นจำนวนเต็มบวกตามอำเภอใจ (a>b) ป. ห ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

จำนวนสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ เช่น สามเหลี่ยม ความยาวของด้านที่เป็นสัดส่วน (หรือเท่ากับ) กับตัวเลขเหล่านี้ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นต้น เลขสามตัว: 3, 4, 5… วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

ในวิชาคณิตศาสตร์ ตัวเลขพีทาโกรัส (พีทาโกรัสสามตัว) เป็นทูเพิลของจำนวนเต็มที่สามตัวที่เป็นไปตามความสัมพันธ์พีทาโกรัส: x2 + y2 = z2 สารบัญ 1 คุณสมบัติ 2 ตัวอย่าง ... Wikipedia

ตัวเลขหยิกเป็นชื่อทั่วไปของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตโดยเฉพาะ แนวคิดทางประวัติศาสตร์นี้ย้อนกลับไปถึงชาวพีทาโกรัส สมมุติว่านิพจน์ "Square or cube" เกิดขึ้นจากตัวเลขหยิก สารบัญ ... ... Wikipedia

ตัวเลขหยิกเป็นชื่อทั่วไปของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตโดยเฉพาะ แนวคิดทางประวัติศาสตร์นี้ย้อนกลับไปถึงชาวพีทาโกรัส ตัวเลขหยิกมีประเภทต่อไปนี้: ตัวเลขเชิงเส้นคือตัวเลขที่ไม่แยกตัวเป็นปัจจัยนั่นคือ ... ... Wikipedia

- "Pi Paradox" เรื่องตลกในหัวข้อคณิตศาสตร์ซึ่งแพร่หลายในหมู่นักเรียนจนถึงยุค 80 (อันที่จริงก่อนการกระจายมวลของไมโครเครื่องคิดเลข) และเกี่ยวข้องกับความแม่นยำในการคำนวณที่ จำกัด ฟังก์ชันตรีโกณมิติและ ... ... Wikipedia

- (เลขคณิตกรีก จากเลขคณิต) ศาสตร์แห่งตัวเลข ส่วนใหญ่เป็นตัวเลขธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก) และเศษส่วน (ตรรกยะ) และการดำเนินการกับตัวเลขเหล่านี้ ครอบครองแนวคิดที่พัฒนาเพียงพอของจำนวนธรรมชาติและความสามารถในการ ... ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

หนังสือ

• ฤดูร้อนอาร์คิมีดีนหรือประวัติศาสตร์ของชุมชนนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ ระบบเลขฐานสอง Bobrov Sergey Pavlovich ระบบเลขฐานสอง "หอคอยฮานอย" การเคลื่อนไหวของอัศวิน สี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ สามเหลี่ยมเลขคณิต เลขลอน การรวมกัน แนวคิดของความน่าจะเป็น แถบโมบิอุส และขวดไคลน์...

"ศูนย์การศึกษาภูมิภาค"

การพัฒนาระเบียบวิธี

ใช้พีทาโกรัสสามเท่าในการแก้

ปัญหาทางเรขาคณิตและงานตรีโกณมิติ USE

Kaluga, 2016

ฉัน บทนำ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในทฤษฎีหลักและอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดของเรขาคณิต ความสำคัญของมันอยู่ที่ความจริงที่ว่าทฤษฎีบทส่วนใหญ่ของเรขาคณิตสามารถอนุมานได้จากมันหรือด้วยความช่วยเหลือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังมีความโดดเด่นในตัวมันเองที่ไม่ชัดเจนเลย ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วสามารถเห็นได้โดยตรงบนภาพวาด แต่ไม่ว่าคุณจะมองสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างไร คุณจะไม่มีวันเห็นว่ามีอัตราส่วนง่ายๆ ระหว่างด้านของมัน: a2+b2=c2. อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่พีทาโกรัสที่ค้นพบทฤษฎีบทที่มีชื่อของเขา เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วก่อนหน้านี้ แต่อาจเป็นเพียงข้อเท็จจริงที่ได้มาจากการวัดเท่านั้น สันนิษฐานว่าพีทาโกรัสรู้เรื่องนี้ แต่พบหลักฐาน

มีจำนวนธรรมชาติจำนวนอนันต์ ก, ข, ค, สนองความสัมพันธ์ a2+b2=c2.. จะเรียกว่าเลขพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขดังกล่าวสามารถใช้เป็นความยาวของด้านบางส่วนได้ สามเหลี่ยมมุมฉากเราจะเรียกพวกมันว่าสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

วัตถุประสงค์:เพื่อศึกษาความเป็นไปได้และประสิทธิผลของการใช้พีทาโกรัสสามเท่าในการแก้ปัญหาของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน การมอบหมาย USE

ตามวัตถุประสงค์ของงาน ดังนี้ งาน:

เพื่อศึกษาประวัติศาสตร์และการจำแนกประเภทของพีทาโกรัสแฝดสาม วิเคราะห์งานโดยใช้พีทาโกรัสสามเท่าที่มีอยู่ในหนังสือเรียนของโรงเรียนและพบได้ในสื่อการควบคุมและการวัดของข้อสอบ ประเมินประสิทธิผลของการใช้พีทาโกรัสสามเท่าและคุณสมบัติของพวกมันในการแก้ปัญหา

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: จำนวนสามเท่าของพีทาโกรัส

วิชาที่เรียน: งานของหลักสูตรวิชาตรีโกณมิติและเรขาคณิตของโรงเรียนซึ่งใช้พีทาโกรัสสามเท่า

ความเกี่ยวข้องของการวิจัย. พีทาโกรัสทริปเปิ้ลมักใช้ในเรขาคณิตและตรีโกณมิติ โดยรู้ว่าจะขจัดข้อผิดพลาดในการคำนวณและประหยัดเวลา

ครั้งที่สอง ส่วนสำคัญ. การแก้ปัญหาโดยใช้พีทาโกรัสสามเท่า

2.1 ตารางเลขพีทาโกรัสสามเท่า (ตาม Perelman)

ตัวเลขพีทาโกรัสมีรูปแบบ เอ= ม น, , โดยที่ m และ n เป็นจำนวนคี่คู่กัน

ตัวเลขพีทาโกรัสมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ:

หนึ่งใน "ขา" จะต้องเป็นผลคูณของสาม

หนึ่งใน "ขา" จะต้องเป็นผลคูณของสี่

หนึ่งในจำนวนพีทาโกรัสต้องเป็นผลคูณของห้า

หนังสือ "พีชคณิตแห่งความบันเทิง" ประกอบด้วยตารางพีทาโกรัสสามตัวที่มีตัวเลขมากถึงหนึ่งร้อยซึ่งไม่มีปัจจัยร่วม

2.2. การจำแนกประเภทพีทาโกรัสของชูสตรอฟ

Shustrov ค้นพบรูปแบบต่อไปนี้: หากสามเหลี่ยมพีทาโกรัสทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็นกลุ่ม สูตรต่อไปนี้ใช้ได้กับขาคี่ x, แม้แต่ y และด้านตรงข้ามมุมฉาก z:

x \u003d (2N-1) (2n + 2N-1); y = 2n (n+2N-1); z = 2n (n+2N-1)+(2N-1) 2 โดยที่ N คือจำนวนตระกูลและ n คือเลขลำดับของรูปสามเหลี่ยมในตระกูล

แทนที่ด้วยสูตรแทน N และ n จำนวนเต็มบวกใดๆ เริ่มจากหนึ่ง คุณจะได้ตัวเลขหลักสามตัวของพีทาโกรัสทั้งหมด รวมถึงผลคูณของบางประเภท คุณสามารถสร้างตารางพีทาโกรัสทริปเปิ้ลทั้งหมดสำหรับแต่ละครอบครัว

2.3. งาน Planimetry

ลองพิจารณาปัญหาจากตำราหลายเล่มเกี่ยวกับเรขาคณิตและดูว่างานเหล่านี้พบทริเปิลพีทาโกรัสบ่อยเพียงใด ปัญหาเล็กน้อยในการค้นหาองค์ประกอบที่สามในตารางพีทาโกรัสสามตัวจะไม่ได้รับการพิจารณาแม้ว่าจะพบในตำราเรียนก็ตาม ให้เราแสดงวิธีลดวิธีแก้ปัญหาซึ่งข้อมูลไม่ได้แสดงด้วยจำนวนธรรมชาติเป็นสามเท่าของพีทาโกรัส

พิจารณางานจากตำราเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9

№ 000. หาด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก เอ=, ข=.

วิธีการแก้. คูณความยาวของขาด้วย 7 เราได้สององค์ประกอบจากพีทาโกรัสสาม 3 และ 4 องค์ประกอบที่ขาดหายไปคือ 5 ซึ่งเราหารด้วย 7 คำตอบ

№ 000. ในรูปสี่เหลี่ยม ABCD หา BC ถ้า CD=1.5, AC=2.5

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

วิธีการแก้. ลองแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก ACD กัน เราคูณความยาวด้วย 2 เราได้สององค์ประกอบจากพีทาโกรัสสาม 3 และ 5 องค์ประกอบที่ขาดหายไปคือ 4 ซึ่งเราหารด้วย 2 คำตอบ: 2

เมื่อแก้เลขถัดไป ให้ตรวจสอบอัตราส่วน a2+b2=c2เป็นทางเลือกที่สมบูรณ์ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ตัวเลขพีทาโกรัสและคุณสมบัติของมัน

№ 000. ค้นหาว่าสามเหลี่ยมมีมุมฉากหรือไม่ถ้าด้านของมันแสดงด้วยตัวเลข:

ก) 6,8,10 (พีทาโกรัสสาม 3,4.5) - ใช่;

ขาหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากต้องหารด้วย 4 ลงตัว คำตอบ: ไม่

c) 9,12,15 (พีทาโกรัสสาม 3,4.5) - ใช่;

d) 10,24,26 (พีทาโกรัสสาม 5,12.13) - ใช่;

หนึ่งในจำนวนพีทาโกรัสต้องเป็นผลคูณของห้า คำตอบ: ไม่

g) 15, 20, 25 (พีทาโกรัสสาม 3,4.5) - ใช่

จากงาน 39 รายการในส่วนนี้ (ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) ยี่สิบสองงานได้รับการแก้ไขโดยใช้ตัวเลขพีทาโกรัสและความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติ

พิจารณาปัญหา #000 (จากส่วน "งานเพิ่มเติม"):

จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD โดยที่ AB=5 cm, BC=13 cm, CD=9 cm, DA=15 cm, AC=12 cm.

งานคือการตรวจสอบอัตราส่วน a2+b2=c2และพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมที่ให้มาประกอบด้วยสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป (ทฤษฎีบทผกผัน) และความรู้เกี่ยวกับพีทาโกรัสสามเท่า: 3, 4, 5 และ 5, 12, 13 ขจัดความจำเป็นในการคำนวณ

มาแก้ปัญหาต่าง ๆ จากตำราเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9

ปัญหา 156 (ซ) ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ 9 และ 40 หาค่ามัธยฐานของด้านตรงข้ามมุมฉาก

วิธีการแก้ . ค่ามัธยฐานที่วาดไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่ง พีทาโกรัสสามเท่าคือ 9.40 และ 41 ดังนั้น ค่ามัธยฐานคือ 20.5

ปัญหาที่ 156 (i) ด้านของสามเหลี่ยมคือ: เอ= 13 ซม. ข=สูง 20 ซม. hс = 12 ซม. หาฐาน กับ.

งาน (KIM USE) จงหารัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ถ้าความสูง BH คือ 12 และเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า บาป A=,บาป C \u003d ซ้าย "\u003e

วิธีการแก้.เราแก้สี่เหลี่ยม ∆ ASC: sin A=, BH=12 ดังนั้น AB=13,AK=5 (พีทาโกรัสทริปเปิ้ล 5,12,13) แก้สี่เหลี่ยม ∆ BCH: BH =12, sin C===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Pythagorean ทริปเปิ้ล 3,4,5).รัศมีนั้นหาได้จากสูตร r === 4. คำตอบ.4.

หลัก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ– กรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัส: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. ดังนั้นงานตรีโกณมิติบางงานจึงสามารถแก้ไขได้ง่าย ๆ โดยใช้สมการพีทาโกรัสสามเท่า

งานที่ต้องใช้ ตั้งค่าฟังก์ชันหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือ แก้ได้โดยไม่ต้องยกกำลังสองและแยกออก รากที่สอง. งานประเภทนี้ทั้งหมดในหนังสือเรียนพีชคณิต (10-11) Mordkovich (หมายเลข 000-No. 000) สามารถแก้ไขได้ด้วยวาจาโดยรู้เพียงไม่กี่พีทาโกรัสสามเท่า: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของสองปัญหา

หมายเลข 000 ก) บาป t = 4/5, π/2< t < π.

วิธีการแก้. พีทาโกรัสสามเท่า: 3, 4, 5. ดังนั้น cos t = -3/5; tg เสื้อ = -4/3,

หมายเลข 000 ข) tg เสื้อ = 2.4, π< t < 3π/2.

วิธีการแก้. tg t \u003d 2.4 \u003d 24/10 \u003d 12/5 พีทาโกรัส ทริปเปิ้ล 5,12,13. จากสัญญาณเราจะได้ sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12

3. การควบคุมและการวัดวัสดุของข้อสอบ

ก) cos (อาร์คซิน 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

b) บาป (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

ค) tg (อาร์คซิน 0.6)=0.75 (6, 8, 10)

ง) ctg (arccos 9/41) = 9/40 (9, 40, 41)

จ) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3 3/4=1

จ) ตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

วิธีการแก้. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

บาป (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = บาป (arccos 16/65)

บาป (อาร์คซิน 4/5) cos (อาร์คซิน 5/13) + คอส (อาร์คซิน 4/5) บาป (อาร์คซิน 5/13) = 63/65

4/5 12/13 + 3/5 5/13 = 63/65

สาม. บทสรุป

ในปัญหาทางเรขาคณิต เรามักจะต้องแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก บางครั้งหลายครั้ง หลังจากวิเคราะห์งานของหนังสือเรียนและสื่อ USE แล้ว เราสามารถสรุปได้ว่ามีการใช้แฝดสามเป็นส่วนใหญ่: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; ซึ่งจำง่าย เมื่อแก้งานตรีโกณมิติ วิธีแก้ปัญหาแบบคลาสสิกโดยใช้ สูตรตรีโกณมิติและการคำนวณจำนวนมากต้องใช้เวลา และความรู้เกี่ยวกับพีทาโกรัสสามเท่าจะช่วยขจัดข้อผิดพลาดในการคำนวณและประหยัดเวลาในการแก้ปัญหาที่ยากขึ้นในการสอบ

รายการบรรณานุกรม

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 เวลา 2 ทุ่ม ตอนที่ 2. สมุดงานสำหรับ สถาบันการศึกษา/ [ และอื่น ๆ.]; เอ็ด . - ครั้งที่ 8 ซีเนียร์ - M. : Mnemosyne, 2550. - 315 น. : ป่วย.

2. พีชคณิต Perelman - D.: VAP, 1994. - 200 p.

3. Roganovsky: Proc. สำหรับ 7-9 เซลล์ ด้วยความลึก วิชาคณิตศาสตร์ศึกษาทั่วไป โรงเรียน จากภาษารัสเซีย แลง การเรียนรู้ - ครั้งที่ 3 - ม.; นาร์ Asveta, 2000. - 574 p.: ป่วย

4. คณิตศาสตร์: ผู้อ่านเกี่ยวกับประวัติศาสตร์ วิธีการ การสอน / คอมพ์ . - M.: Publishing house of URAO, 2001. - 384 p.

5. วารสาร "คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน" ครั้งที่ 1, 2508.

6. การควบคุมและการวัดผลข้อสอบ

7. เรขาคณิต, 7-9: Proc. สำหรับสถาบันการศึกษา / ฯลฯ - ครั้งที่ 13 - ม.: การศึกษา, 2546 – 384 น. : ป่วย.

8. เรขาคณิต: Proc. สำหรับ 10-11 เซลล์ เฉลี่ย โรงเรียน / ฯลฯ - ครั้งที่ 2 - ม.: การศึกษา, 2536, - 207 หน้า: ป่วย

พีชคณิตเปเรลมัน - D.: VAP, 1994. - 200 p.

วารสาร "คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน" ครั้งที่ 1, 2508.

เรขาคณิต, 7-9: Proc. สำหรับสถาบันการศึกษา / ฯลฯ - ครั้งที่ 13 - ม.: การศึกษา, 2546 – 384 น. : ป่วย.

Roganovsky: Proc. สำหรับ 7-9 เซลล์ ด้วยความลึก วิชาคณิตศาสตร์ศึกษาทั่วไป โรงเรียน จากภาษารัสเซีย แลง การเรียนรู้ - ครั้งที่ 3 - ม.; นาร์ Asveta, 2000. - 574 p.: ป่วย

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 2 ชั่วโมง ส่วนที่ 2 หนังสืองานสำหรับสถาบันการศึกษา / [และอื่น ๆ ]; เอ็ด . - ครั้งที่ 8 ซีเนียร์ - M. : Mnemosyne, 2550. - 315 น. : ป่วย, หน้า 18.

» ศาสตราจารย์เกียรติคุณด้านคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Warwick ผู้มีชื่อเสียงด้านวิทยาศาสตร์เอียน สจ๊วร์ต อุทิศตนให้กับบทบาทของตัวเลขในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติและความเกี่ยวข้องของการศึกษาในสมัยของเรา

ด้านตรงข้ามมุมฉากพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสมีมุมฉากและด้านที่เป็นจำนวนเต็ม อย่างง่ายที่สุด ด้านที่ยาวที่สุดมีความยาว 5 ส่วนที่เหลือคือ 3 และ 4 มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด 5 ด้าน สมการดีกรีที่ห้าไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยรากดีกรีห้า หรือรากอื่นๆ ตาข่ายในระนาบและในพื้นที่สามมิติไม่มีสมมาตรการหมุนห้ากลีบ ดังนั้น ความสมมาตรดังกล่าวจึงไม่มีอยู่ในคริสตัล อย่างไรก็ตาม พวกมันสามารถอยู่ในโครงตาข่ายในพื้นที่สี่มิติและในโครงสร้างที่น่าสนใจที่เรียกว่าผลึกควอซิกคริสตัล

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่เล็กที่สุด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉากฉาวโฉ่) สัมพันธ์กับอีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้ด้วยวิธีที่เรียบง่ายและสวยงามมาก: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของอีกด้าน สองข้าง.

ตามเนื้อผ้า เราเรียกทฤษฎีบทนี้ว่าหลังจากพีทาโกรัส แต่ที่จริงแล้ว ประวัติของทฤษฎีนี้ค่อนข้างคลุมเครือ เม็ดดินเหนียวแนะนำว่าชาวบาบิโลนโบราณรู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาก่อนพีทาโกรัสเอง ความรุ่งโรจน์ของผู้ค้นพบถูกนำมาให้เขาโดยลัทธิทางคณิตศาสตร์ของชาวพีทาโกรัสซึ่งผู้สนับสนุนเชื่อว่าจักรวาลมีพื้นฐานมาจากรูปแบบตัวเลข ผู้เขียนโบราณประกอบกับพีทาโกรัส - และด้วยเหตุนี้กับพีทาโกรัส - ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย แต่อันที่จริงเราไม่รู้ว่าคณิตศาสตร์ประเภทใดที่พีทาโกรัสเองมีส่วนร่วม เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าชาวพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้หรือไม่ หรือพวกเขาเพียงแต่เชื่อว่ามันเป็นเรื่องจริง หรือมีแนวโน้มมากกว่า ที่พวกเขามีข้อมูลที่น่าเชื่อถือเกี่ยวกับความจริงของมัน ซึ่งยังไม่เพียงพอสำหรับสิ่งที่เราพิจารณาว่าเป็นข้อพิสูจน์ในปัจจุบัน

หลักฐานของพีทาโกรัส

หลักฐานที่รู้จักกันครั้งแรกของทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบได้ในองค์ประกอบของยุคลิด นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อนโดยใช้ภาพวาดที่เด็กนักเรียนชาววิกตอเรียจะจำได้ทันทีว่าเป็น "กางเกงพีทาโกรัส"; ภาพวาดคล้ายกับกางเกงชั้นในที่ตากด้วยเชือก เป็นที่ทราบกันดีว่ามีหลักฐานอื่นๆ อีกหลายร้อยฉบับ ซึ่งส่วนใหญ่ทำให้การยืนยันชัดเจนยิ่งขึ้น

// ข้าว. 33. กางเกงพีทาโกรัส

ข้อพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือปริศนาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง นำสามเหลี่ยมมุมฉากมาทำสำเนาสี่ชุดแล้วรวบรวมไว้ในสี่เหลี่ยม ด้วยการวางครั้งเดียว เราจะเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก กับอีกด้าน - สี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านของสามเหลี่ยม เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ในทั้งสองกรณีเท่ากัน

// ข้าว. 34. ซ้าย: สี่เหลี่ยมบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (บวกสามเหลี่ยมสี่รูป) ขวา: ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในอีกสองด้าน (บวกสามเหลี่ยมสี่รูปเดียวกัน) ตอนนี้กำจัดสามเหลี่ยม

การผ่าซากของ Perig เป็นหลักฐานปริศนาอีกชิ้นหนึ่ง

// ข้าว. 35. การผ่าของ Perigal

นอกจากนี้ยังมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้สี่เหลี่ยมซ้อนบนระนาบ บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่ชาวพีทาโกรัสหรือบรรพบุรุษที่ไม่รู้จักค้นพบทฤษฎีบทนี้ ถ้าคุณดูว่าสี่เหลี่ยมเฉียงทับซ้อนกับอีกสองช่อง คุณจะเห็นวิธีการตัด สี่เหลี่ยมใหญ่เป็นชิ้น ๆ แล้วพับเป็นสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ สองอัน คุณยังสามารถดูสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ซึ่งด้านต่างๆ จะเป็นตัวกำหนดขนาดของสี่เหลี่ยมสามสี่เหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง

// ข้าว. 36. พิสูจน์ด้วยการปู

มีการพิสูจน์ที่น่าสนใจโดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในตรีโกณมิติ อย่างน้อยห้าสิบหลักฐานที่แตกต่างกันเป็นที่รู้จักกัน

แฝดสามพีทาโกรัส

ในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นที่มาของแนวคิดที่มีผล นั่นคือ เพื่อค้นหาคำตอบของจำนวนเต็มของสมการพีชคณิต พีทาโกรัสสามตัวเป็นเซตของจำนวนเต็ม a, b และ c เช่นนั้น

ในเชิงเรขาคณิต รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวกำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็กที่สุดของพีทาโกรัสทริปเปิ้ลคือ 5

อีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้คือ 3 และ 4 ที่นี่

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดถัดไปคือ 10 เพราะ

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

อย่างไรก็ตาม โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือสามเหลี่ยมเดียวกันที่มีด้านเป็นสองเท่า ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดและแตกต่างกันอย่างแท้จริงถัดไปคือ 13 ซึ่ง

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

ยูคลิดรู้ว่ามีรูปแบบต่างๆ มากมายนับไม่ถ้วนของพีทาโกรัสสามเท่า และเขาได้ให้สิ่งที่อาจเรียกได้ว่าเป็นสูตรในการค้นหาพวกมันทั้งหมด ต่อมา Diophantus of Alexandria ได้เสนอสูตรอาหารง่ายๆ โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับ Euclidean

นำตัวเลขธรรมชาติสองตัวใดๆ มาคำนวณ:

ผลิตภัณฑ์คู่ของพวกเขา

ความแตกต่างของกำลังสอง

ผลรวมของกำลังสองของพวกเขา

ผลลัพธ์ทั้งสามจำนวนจะเป็นด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ยกตัวอย่างตัวเลข 2 และ 1 คำนวณ:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 2 × 1 = 4;

ความแตกต่างของกำลังสอง: 22 - 12 = 3;

ผลรวมของกำลังสอง: 22 + 12 = 5,

และเราได้สามเหลี่ยม 3-4-5 อันโด่งดัง หากเราใช้ตัวเลข 3 และ 2 แทน เราจะได้:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 3 × 2 = 12;

ความแตกต่างของกำลังสอง: 32 - 22 = 5;

ผลรวมของกำลังสอง: 32 + 22 = 13,

และเราได้สามเหลี่ยมดังตัวต่อไป 5 - 12 - 13 ลองเอาตัวเลข 42 และ 23 มาลองหา:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 42 × 23 = 1932;

ความแตกต่างของกำลังสอง: 422 - 232 = 1235;

ผลรวมของกำลังสอง: 422 + 232 = 2293,

ไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม 1235–1932–2293

แต่ตัวเลขเหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

มีคุณลักษณะอื่นในกฎไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการบอกใบ้ไปแล้ว: เมื่อได้รับตัวเลขสามตัว เราก็สามารถนำเลขอื่นมาคูณกับตัวเลขนั้นได้ ดังนั้น สามเหลี่ยม 3-4-5 สามารถเปลี่ยนเป็นรูปสามเหลี่ยม 6-8-10 ได้โดยการคูณทุกด้านด้วย 2 หรือกลายเป็นสามเหลี่ยม 15-20-25 โดยการคูณทุกอย่างด้วย 5

ถ้าเราเปลี่ยนไปใช้ภาษาของพีชคณิต กฎจะกลายเป็น มุมมองถัดไป: ให้ u, v และ k เป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน

2kuv และ k (u2 - v2) มีด้านตรงข้ามมุมฉาก

มีวิธีอื่นในการนำเสนอแนวคิดหลัก แต่ทุกวิธีล้วนมาจากแนวคิดที่อธิบายข้างต้น วิธีนี้ช่วยให้คุณได้ทริเปิลพีทาโกรัสทั้งหมด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้ารูป รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยม) เป็นรูปทรงสามมิติที่มีใบหน้าแบนจำนวนจำกัด แง่มุมมาบรรจบกันในเส้นที่เรียกว่าขอบ ขอบมาบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าจุดยอด

จุดสุดยอดของ "จุดเริ่มต้น" แบบยุคลิดเป็นข้อพิสูจน์ว่าสามารถมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้เพียงห้ารูปเท่านั้นนั่นคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แต่ละใบหน้าเป็น รูปหลายเหลี่ยมปกติ(ด้านเท่ากัน มุมเท่ากัน) ใบหน้าทั้งหมดเหมือนกัน และจุดยอดทั้งหมดล้อมรอบด้วยใบหน้าที่มีระยะห่างเท่ากันจำนวนเท่ากัน ต่อไปนี้เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ:

จัตุรมุขที่มีสี่หน้าสามเหลี่ยมสี่จุดยอดและหกขอบ;

ลูกบาศก์หรือทรงหกเหลี่ยมที่มีหน้าเหลี่ยม 6 หน้า จุดยอด 8 จุดและขอบ 12 ด้าน

รูปแปดด้านที่มี 8 หน้าสามเหลี่ยม 6 จุดยอดและ 12 ขอบ;

dodecahedron ที่มี 12 ใบหน้าห้าเหลี่ยม 20 จุดยอดและ 30 ขอบ

icosahedron ที่มีหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้า จุดยอด 12 จุด และขอบ 30 ด้าน

// ข้าว. 37. ห้าเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในปี ค.ศ. 1904 Ernst Haeckel ได้ตีพิมพ์ภาพวาดของสิ่งมีชีวิตขนาดเล็กที่เรียกว่าเรดิโอลาเรียน หลายคนมีรูปร่างเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าอันเหมือนกัน อย่างไรก็ตามบางทีเขาแก้ไขธรรมชาติเล็กน้อยและภาพวาดไม่ได้สะท้อนรูปร่างของสิ่งมีชีวิตที่เฉพาะเจาะจงอย่างสมบูรณ์ โครงสร้างสามตัวแรกยังพบในผลึก คุณจะไม่พบ dodecahedron และ icosahedron ในคริสตัลแม้ว่าบางครั้งจะเจอ dodecahedrons และ icosahedrons dodecahedrons ที่แท้จริงสามารถปรากฏเป็น quasicrystal ซึ่งเหมือนกับคริสตัลในทุก ๆ ด้าน ยกเว้นว่าอะตอมของพวกมันจะไม่ก่อตัวเป็นตารางธาตุ

// ข้าว. 38. ภาพวาดโดย Haeckel: radiolarians ในรูปแบบของ polyhedra

// ข้าว. 39. พัฒนาการของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

การสร้างแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดาจากกระดาษอาจเป็นเรื่องที่น่าสนใจโดยการตัดชุดใบหน้าที่เชื่อมต่อถึงกันออกก่อน ซึ่งเรียกว่าการกวาดรูปทรงหลายเหลี่ยม การสแกนจะถูกพับตามขอบและติดกาวที่ขอบที่เกี่ยวข้องกัน เป็นประโยชน์ในการเพิ่มพื้นที่เพิ่มเติมสำหรับกาวที่ขอบด้านหนึ่งของคู่แต่ละคู่ดังแสดงในรูปที่ 39. หากไม่มีแท่นคุณสามารถใช้เทปกาวได้

สมการของดีกรีที่ห้า

ไม่มีสูตรพีชคณิตสำหรับการแก้สมการของดีกรีที่ 5

โดยทั่วไป สมการของดีกรีที่ห้าจะมีลักษณะดังนี้:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + อดีต + f = 0

ปัญหาคือการหาสูตรสำหรับการแก้สมการดังกล่าว (สามารถมีได้มากถึงห้าคำตอบ) ประสบการณ์กับสมการกำลังสองและสมการกำลังสาม เช่นเดียวกับสมการของดีกรีที่สี่ แสดงให้เห็นว่าสูตรดังกล่าวควรมีอยู่ในสมการของดีกรีที่ห้าด้วย และในทางทฤษฎี รากของดีกรีที่ห้า สาม และสองควรปรากฏใน มัน. อีกครั้งหนึ่งสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยว่าสูตรดังกล่าวหากมีอยู่จะกลายเป็นซับซ้อนมาก

สมมติฐานนี้กลับกลายเป็นว่าผิดในที่สุด แท้จริงแล้วไม่มีสูตรดังกล่าว อย่างน้อยก็ไม่มีสูตรที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ a, b, c, d, e และ f ซึ่งประกอบด้วยการบวก การลบ การคูณ และการหาร รวมถึงการรูต ดังนั้นจึงมีบางอย่างที่พิเศษมากเกี่ยวกับหมายเลข 5 สาเหตุของพฤติกรรมที่ผิดปกติของทั้งห้านี้ลึกซึ้งมาก และต้องใช้เวลามากในการหาคำตอบ

สัญญาณแรกของปัญหาคือไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะพยายามหาสูตรดังกล่าวมากแค่ไหน ไม่ว่าพวกเขาจะฉลาดแค่ไหน พวกเขาล้มเหลวเสมอ ในบางครั้ง ทุกคนเชื่อว่าเหตุผลอยู่ในความซับซ้อนที่เหลือเชื่อของสูตร เชื่อกันว่าไม่มีใครสามารถเข้าใจพีชคณิตนี้ได้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เมื่อเวลาผ่านไป นักคณิตศาสตร์บางคนเริ่มสงสัยว่าสูตรดังกล่าวมีอยู่จริง และในปี 1823 Niels Hendrik Abel สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้ ไม่มีสูตรดังกล่าว หลังจากนั้นไม่นาน Évariste Galois ก็พบวิธีที่จะตัดสินว่าสมการหนึ่งดีกรีหนึ่งหรืออย่างอื่น - 5, 6, 7, โดยทั่วไปแล้ว - แก้ได้โดยใช้สูตรประเภทนี้

ข้อสรุปจากทั้งหมดนี้เป็นเรื่องง่าย: หมายเลข 5 เป็นพิเศษ คุณสามารถแก้สมการพีชคณิต (โดยใช้ราก องศาที่ nสำหรับค่า n ที่แตกต่างกัน) สำหรับองศา 1, 2, 3 และ 4 แต่ไม่ใช่สำหรับองศาที่ 5 นี่คือจุดสิ้นสุดของรูปแบบที่ชัดเจน

ไม่มีใครแปลกใจที่สมการของพลังที่มากกว่า 5 มีพฤติกรรมแย่กว่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาเดียวกันกับพวกเขา: ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหา นี่ไม่ได้หมายความว่าสมการไม่มีคำตอบ ไม่ได้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะหาค่าตัวเลขที่แม่นยำมากของโซลูชันเหล่านี้ มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับข้อจำกัดของเครื่องมือพีชคณิตแบบดั้งเดิม สิ่งนี้ชวนให้นึกถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดมุมด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ มีคำตอบ แต่วิธีการที่ระบุไว้ไม่เพียงพอและไม่อนุญาตให้คุณระบุได้ว่ามันคืออะไร

ข้อจำกัดด้านผลึกศาสตร์

คริสตัลในสองและสามมิติไม่มีสมมาตรในการหมุน 5 ลำ

อะตอมในผลึกก่อตัวเป็นโครงตาข่าย นั่นคือ โครงสร้างที่ทำซ้ำเป็นระยะๆ ในทิศทางที่เป็นอิสระหลายทิศทาง ตัวอย่างเช่นลวดลายบนวอลล์เปเปอร์ซ้ำตามความยาวของม้วน นอกจากนี้ มักจะทำซ้ำในแนวนอน บางครั้งมีการเปลี่ยนจากวอลล์เปเปอร์ชิ้นหนึ่งเป็นวอลล์เปเปอร์ถัดไป โดยพื้นฐานแล้ววอลล์เปเปอร์เป็นคริสตัลสองมิติ

ลวดลายวอลเปเปอร์บนเครื่องบินมี 17 แบบ (ดูบทที่ 17) พวกเขาแตกต่างกันในประเภทของความสมมาตรนั่นคือในวิธีการขยับรูปแบบอย่างเข้มงวดเพื่อให้มันวางอยู่บนตัวมันเองในตำแหน่งเดิม โดยเฉพาะอย่างยิ่งประเภทของสมมาตรรวมถึงรูปแบบต่างๆ ของสมมาตรแบบหมุน ซึ่งรูปแบบควรหมุนผ่านมุมหนึ่งรอบจุดใดจุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของสมมาตร

ลำดับความสมมาตรของการหมุนคือจำนวนครั้งที่คุณสามารถหมุนตัวกล้องให้เต็มวงกลม เพื่อให้รายละเอียดทั้งหมดของภาพกลับสู่ตำแหน่งเดิม ตัวอย่างเช่น การหมุน 90° เป็นสมมาตรในการหมุนอันดับที่ 4* รายการประเภทความสมมาตรในการหมุนที่เป็นไปได้ในโครงผลึกอีกครั้งชี้ให้เห็นถึงความผิดปกติของหมายเลข 5: มันไม่อยู่ที่นั่น มีรูปแบบต่างๆ ที่มีความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่ 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่มีรูปแบบวอลเปเปอร์ใดที่มีความสมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 นอกจากนี้ยังไม่มีสมมาตรในการหมุนของลำดับที่มากกว่า 6 ในคริสตัล แต่การละเมิดลำดับแรกยังคงเกิดขึ้นที่หมายเลข 5

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับระบบผลึกศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ ที่นี่ตาข่ายทำซ้ำตัวเองในสามทิศทางที่เป็นอิสระ ความสมมาตรมี 219 แบบ หรือ 230 แบบ หากเราพิจารณาการสะท้อนของกระจกของลวดลายเป็นรุ่นที่แยกจากกัน ยิ่งไปกว่านั้น ในกรณีนี้ จะไม่มีความสมมาตรของกระจก อีกครั้ง มีการสังเกตสมมาตรการหมุนของคำสั่ง 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่ใช่ 5 ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าข้อจำกัดด้านผลึกศาสตร์

ในพื้นที่สี่มิติ โครงตาข่ายที่มีสมมาตรอันดับที่ 5 มีอยู่; โดยทั่วไปแล้ว สำหรับโครงตาข่ายที่มีมิติสูงเพียงพอ ลำดับความสมมาตรในการหมุนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ ก็เป็นไปได้

// ข้าว. 40. คริสตัลขัดแตะของเกลือแกง ลูกบอลสีเข้มเป็นตัวแทนของอะตอมโซเดียม ลูกบอลแสงเป็นตัวแทนของอะตอมของคลอรีน

ควอซิคริสตัล

แม้ว่าความสมมาตรในการหมุนอันดับที่ 5 จะไม่สามารถทำได้ในโครงตาข่าย 2D และ 3D แต่ก็สามารถมีอยู่ในโครงสร้างปกติน้อยกว่าเล็กน้อยที่เรียกว่า quasicrystal Roger Penrose ใช้ภาพสเก็ตช์ของ Kepler ค้นพบระบบที่แบนราบซึ่งมีมากกว่านั้น ประเภททั่วไปสมมาตรห้าเท่า พวกเขาเรียกว่า quasicrystal

Quasicrystals มีอยู่ในธรรมชาติ ในปี 1984 Daniel Shechtman ค้นพบว่าโลหะผสมของอะลูมิเนียมและแมงกานีสสามารถก่อตัวเป็นผลึกกึ่งผลึกได้ ในขั้นต้น นักคริสตัลวิทยาได้ทักทายข้อความของเขาด้วยความสงสัย แต่ภายหลังการค้นพบก็ได้รับการยืนยัน และในปี 2011 Shekhtman ได้รับรางวัล รางวัลโนเบลในวิชาเคมี ในปี 2009 ทีมนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดย Luca Bindi ได้ค้นพบผลึกเสมือนในแร่จากที่ราบสูงรัสเซีย Koryak ซึ่งเป็นสารประกอบของอะลูมิเนียม ทองแดง และเหล็ก วันนี้แร่นี้เรียกว่า icosahedrite โดยการวัดปริมาณไอโซโทปออกซิเจนต่างๆ ในแร่ด้วยแมสสเปกโตรมิเตอร์ นักวิทยาศาสตร์พบว่าแร่นี้ไม่ได้เกิดขึ้นบนโลก ก่อตัวเมื่อประมาณ 4.5 พันล้านปีก่อน ในช่วงเวลาที่ ระบบสุริยะอยู่ในวัยทารกและใช้เวลาส่วนใหญ่ในแถบดาวเคราะห์น้อยที่โคจรรอบดวงอาทิตย์จนกระทั่งมีสิ่งรบกวนบางอย่างเปลี่ยนวงโคจรของมันและนำมันมาสู่โลกในที่สุด

// ข้าว. 41. ซ้าย: หนึ่งในสองโครงระแนงกึ่งผลึกที่มีความสมมาตรห้าเท่า ขวา: แบบจำลองอะตอมของควาซิคริสตัลอะลูมิเนียม-แพลเลเดียม-แมงกานีสไอโคซาเฮดรัล

วิธีที่สะดวกและแม่นยำมากที่นักสำรวจที่ดินใช้ในการวาดเส้นตั้งฉากบนพื้นมีดังนี้ กำหนดให้ต้องลากเส้นตั้งฉากกับเส้น MN ผ่านจุด A (รูปที่ 13) ออกจาก A ไปทาง AM สามครั้งระยะทาง a. จากนั้นผูกปมสามอันบนเชือกซึ่งมีระยะห่างระหว่าง 4a และ 5a ผูกปมสุดขั้วกับจุด A และ B ดึงสายไฟเหนือปมตรงกลาง สายไฟจะอยู่ในรูปสามเหลี่ยม โดยมุม A เป็นมุมขวา

วิธีการแบบโบราณนี้ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าใช้กันเมื่อหลายพันปีก่อนโดยผู้สร้างปิรามิดอียิปต์ โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยมแต่ละรูปซึ่งด้านข้างสัมพันธ์กันเป็น 3:4:5 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดีคือ มุมขวาตั้งแต่

3 2 + 4 2 = 5 2 .

นอกจากเลข 3, 4, 5 แล้ว ยังมีชุดของจำนวนเต็มบวกที่นับไม่ได้ a, b, c, สนองความสัมพันธ์

A 2 + b 2 \u003d c 2

เรียกว่าเลขพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขดังกล่าวสามารถใช้เป็นความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปได้ ดังนั้น a และ b จึงเรียกว่า "ขา" และ c เรียกว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก"

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้า a, b, c เป็นจำนวนสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัส ดังนั้น pa, pb, pc โดยที่ p เป็นปัจจัยจำนวนเต็ม ก็คือจำนวนพีทาโกรัส ในทางกลับกัน หากจำนวนพีทาโกรัสมีตัวประกอบร่วม ด้วยตัวประกอบร่วมนี้ คุณสามารถลดจำนวนทั้งหมดลงได้ และอีกครั้งคุณจะได้ตัวเลขพีทาโกรัสสามเท่า ดังนั้น อันดับแรก เราจะศึกษาเฉพาะจำนวน coprime พีทาโกรัสสามเท่าเท่านั้น (ส่วนที่เหลือได้มาจากการคูณด้วยตัวประกอบจำนวนเต็ม p)

ให้เราแสดงให้เห็นว่าในแต่ละแฝดนั้น a, b, c หนึ่งใน "ขา" ต้องเป็นคู่และอีกข้างเป็นคี่ มาเถียงกัน "ตรงกันข้าม" ถ้าทั้ง "ขา" a และ b เป็นคู่ ดังนั้นจำนวน a 2 + b 2 จะเป็นคู่ และด้วยเหตุนี้ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลข a, b, c ไม่มีตัวประกอบร่วม เนื่องจากเลขคู่สามตัวมีตัวประกอบร่วมเป็น 2 ดังนั้น "ขา" a, b อย่างน้อยหนึ่งตัวจึงเป็นเลขคี่

ยังมีความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือ "ขา" ทั้งสองข้างเป็นคี่ และ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" เป็นคู่ มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ แท้จริงแล้วถ้า "ขา" มีรูปแบบ

2x + 1 และ 2y + 1,

ผลรวมของกำลังสองของมันคือ

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

นั่นคือ เป็นจำนวนที่เมื่อหารด้วย 4 แล้ว ให้เหลือเศษ 2 ในขณะเดียวกัน กำลังสองของจำนวนคู่ใดๆ ต้องหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้นผลรวมของกำลังสองของเลขคี่สองตัวไม่สามารถเป็นกำลังสองของจำนวนคู่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขทั้งสามของเราไม่ใช่พีทาโกรัส

ดังนั้น จาก "ขา" a, b ตัวหนึ่งเป็นคู่และอีกข้างเป็นคี่ ดังนั้นตัวเลข a 2 + b 2 จึงเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" c เป็นเลขคี่เช่นกัน

เพื่อความชัดเจน คี่นั้นคือ "ขา" a และแม้กระทั่ง b จากความเท่าเทียมกัน

a 2 + b 2 = c 2

เราได้รับอย่างง่ายดาย:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b)

ตัวประกอบ c + b และ c - b ทางด้านขวาคือโคไพรม์ อันที่จริง หากตัวเลขเหล่านี้มีตัวประกอบเฉพาะร่วมมากกว่าหนึ่งตัว ผลรวมก็จะถูกหารด้วยตัวประกอบนี้เช่นกัน

(c + b) + (c - b) = 2c,

และความแตกต่าง

(c + b) - (c - b) = 2b,

และทำงาน

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

นั่นคือตัวเลข 2c, 2b และ a จะมีตัวประกอบร่วมกัน เนื่องจาก a เป็นเลขคี่ ปัจจัยนี้จึงแตกต่างจากสองตัว ดังนั้นตัวเลข a, b, c จึงมีตัวประกอบร่วมเหมือนกัน ซึ่งอย่างไรก็ตาม ไม่สามารถเป็นได้ ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นแสดงให้เห็นว่าตัวเลข c + b และ c - b เป็น coprime

แต่ถ้าผลคูณของจำนวนโคไพรม์เป็นกำลังสองที่แน่นอน แล้วแต่ละตัวก็เป็นกำลังสอง กล่าวคือ

การแก้ปัญหาระบบนี้ เราพบว่า:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 และ 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d นาที.

ดังนั้น ตัวเลขพีทาโกรัสที่พิจารณาจึงมีรูปแบบ

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2

โดยที่ m และ n เป็นจำนวนคี่คู่กัน ผู้อ่านสามารถตรวจสอบสิ่งที่ตรงกันข้ามได้อย่างง่ายดาย: สำหรับประเภทคี่สูตรที่เขียนจะให้ตัวเลขพีทาโกรัสสามตัว a, b, c

ต่อไปนี้คือแฝดสามของตัวเลขพีทาโกรัสที่ได้จากประเภทต่างๆ:

สำหรับ m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 สำหรับ m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 สำหรับ m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 สำหรับ m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 ที่ m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 ที่ m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 ที่ m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 สำหรับ m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 สำหรับ m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 สำหรับ m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 ที่ m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 ที่ m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 ที่ m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 ที่ m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 ที่ m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 ที่ m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(เลขสามตัวอื่นๆ ของพีทาโกรัสอาจมีตัวประกอบร่วมหรือมีตัวเลขที่มากกว่าร้อย)

เบโลเตลอฟ วี.เอ. พีทาโกรัสสามเท่าและจำนวน // สารานุกรมของ Nesterovs

บทความนี้เป็นคำตอบสำหรับศาสตราจารย์คนหนึ่ง - ตัวหนีบ ฟังนะ ศาสตราจารย์ พวกเขาทำกันอย่างไรในหมู่บ้านของเรา

ภูมิภาค Nizhny Novgorod, Zavolzhye

จำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ (ADDE) และความรู้เกี่ยวกับความก้าวหน้าของพหุนาม

IF เป็นจำนวนเฉพาะ

MF เป็นจำนวนประกอบ

ให้มีเลขคี่ N สำหรับเลขคี่ที่ไม่ใช่เลขหนึ่ง คุณสามารถเขียนสมการได้

p 2 + N \u003d q 2,

โดยที่ р + q = N, q – р = 1

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข 21 และ 23 สมการจะเป็น -

10 2 + 21 = 11 2 , 11 2 + 23 = 12 2 .

ถ้า N เป็นจำนวนเฉพาะ สมการนี้จะไม่ซ้ำกัน หากจำนวน N เป็นจำนวนประกอบ ก็สามารถเขียนสมการที่คล้ายกันสำหรับจำนวนคู่ของปัจจัยที่แทนตัวเลขนี้ ซึ่งรวมถึง 1 x N

ลองหาตัวเลข N = 45, -

1 x 45 = 45, 3 x 15 = 45, 5 x 9 = 45

ฉันใฝ่ฝัน แต่เป็นไปได้ไหมที่ยึดติดกับความแตกต่างระหว่าง IF และ MF เพื่อค้นหาวิธีการระบุตัวตน

ให้เราแนะนำสัญกรณ์

มาเปลี่ยนสมการล่างกัน -

N \u003d ใน 2 - a 2 \u003d (b - a) (b + a)

ให้เราจัดกลุ่มค่าของ N ตามเกณฑ์ใน - a, i.e. มาทำโต๊ะกัน

ตัวเลข N ถูกสรุปในเมทริกซ์, -

สำหรับงานนี้ ฉันต้องจัดการกับความก้าวหน้าของพหุนามและเมทริกซ์ของพวกมัน ทุกอย่างกลับกลายเป็นว่าไร้ประโยชน์ - การป้องกัน PCh นั้นแข็งแกร่ง ป้อนคอลัมน์ในตารางที่ 1 โดยที่ in - a \u003d 1 (q - p \u003d 1)

อีกครั้ง ตารางที่ 2 ได้มาจากความพยายามในการแก้ปัญหาการระบุ IF และ MF จากตารางตามตารางว่าสำหรับจำนวน N ใดๆ มีสมการมากมายของรูปแบบ a 2 + N \u003d ใน 2 ว่ามีตัวประกอบกี่คู่ที่ตัวเลข N สามารถแบ่งออกได้ รวมถึงตัวประกอบ 1 x N นอกจากนี้ ถึงตัวเลข N \u003d ℓ 2 โดยที่

ℓ - เอฟซี. สำหรับ N = ℓ 2 โดยที่ ℓ คือ IF มีสมการเฉพาะ p 2 + N = q 2 เราสามารถพูดถึงข้อพิสูจน์อะไรได้อีกถ้าตารางแสดงตัวประกอบที่เล็กกว่าจากคู่ของปัจจัยที่ก่อตัวเป็น N จากหนึ่งถึง∞ เราจะวางตารางที่ 2 ไว้ในหีบและซ่อนหน้าอกไว้ในตู้เสื้อผ้า

กลับไปที่หัวข้อที่ระบุไว้ในชื่อบทความ

บทความนี้เป็นคำตอบสำหรับศาสตราจารย์คนหนึ่ง - ตัวหนีบ

ฉันขอความช่วยเหลือ - ฉันต้องการชุดตัวเลขที่ไม่พบบนอินเทอร์เน็ต ฉันพบปัญหาเช่น - "เพื่ออะไร", "แต่แสดงวิธีการให้ฉันดู" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีคำถามว่าชุดของพีทาโกรัสสามเท่าไม่มีที่สิ้นสุด "จะพิสูจน์ได้อย่างไร" เขาไม่ได้ช่วยฉัน ฟังนะ ศาสตราจารย์ พวกเขาทำกันอย่างไรในหมู่บ้านของเรา

ลองใช้สูตรของพีทาโกรัสสามเท่า -

x 2 \u003d y 2 + z 2 (หนึ่ง)

ผ่าน ARDU กันเถอะ

เป็นไปได้สามสถานการณ์:

I. x เป็นเลขคี่

y เป็นจำนวนคู่

z เป็นเลขคู่

และมีเงื่อนไข x > y > z

ครั้งที่สอง x เป็นเลขคี่

y เป็นจำนวนคู่

z เป็นเลขคี่

x > z > y

III.x - เลขคู่

y เป็นเลขคี่

z เป็นเลขคี่

x > y > z.

มาเริ่มกันที่ I

มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน

แทนที่ลงในสมการ (1)

ให้เรายกเลิกโดยตัวแปรที่เล็กกว่า 2γ

(2α - 2γ + 2k + 1) 2 = (2β - 2γ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 .

ให้เราลดตัวแปร2β – 2γ ให้เล็กลงพร้อมกับการแนะนำพารามิเตอร์ใหม่ ƒ, -

(2α - 2β + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2 (2)

จากนั้น 2α - 2β = x - y - 1

สมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ –

(x - y + 2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2

ลองยกกำลังสองมัน -

(x - y) 2 + 2 (2ƒ + 2k) (x - y) + (2ƒ + 2k) 2 \u003d (2ƒ + 2k) 2 + (2k + 1) 2,

(x - y) 2 + 2(2ƒ + 2k)(x - y) - (2k + 1) 2 = 0 (3)

ARDU ให้พารามิเตอร์ผ่านความสัมพันธ์ระหว่างเทอมอาวุโสของสมการ ดังนั้นเราจึงได้สมการ (3)

มันไม่มั่นคงที่จะจัดการกับการเลือกวิธีแก้ปัญหา แต่ประการแรก ไม่มีทางที่จะไป และประการที่สอง จำเป็นต้องใช้โซลูชันเหล่านี้หลายอย่าง และเราสามารถกู้คืนโซลูชันจำนวนอนันต์ได้

สำหรับƒ = 1, k = 1 เรามี x – y = 1

ด้วยƒ = 12, k = 16 เรามี x - y = 9

ด้วยƒ = 4, k = 32 เรามี x - y = 25

คุณสามารถหยิบมันขึ้นมาได้เป็นเวลานาน แต่ในที่สุดซีรีย์จะอยู่ในรูปแบบ -

x - y \u003d 1, 9, 25, 49, 81, ....

พิจารณาตัวเลือก II

ให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ลงในสมการ (1)

(2α + 2k + 1) 2 = (2β + 2k) 2 + (2γ + 2k + 1) 2 .

เราลดด้วยตัวแปรที่เล็กกว่า 2 β, -

(2α - 2β + 2k + 1) 2 = (2α - 2β + 2k+1) 2 + (2k) 2 .

ให้เราลดด้วยตัวแปรที่เล็กกว่า 2α – 2β, –

(2α - 2γ + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 . (สี่)

2α - 2γ = x - z และแทนที่ลงในสมการ (4)

(x - z + 2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2

(x - z) 2 + 2 (2ƒ + 2k + 1) (x - z) + (2ƒ + 2k + 1) 2 = (2ƒ + 2k + 1) 2 + (2k) 2 (x - z) 2 + 2(2ƒ + 2k + 1) (x - z) - (2k) 2 = 0

ด้วยƒ = 3, k = 4 เรามี x - z = 2

ด้วยƒ = 8, k = 14 เรามี x - z = 8

ด้วยƒ = 3, k = 24 เรามี x - z = 18

x - z \u003d 2, 8, 18, 32, 50, ....

มาวาดสี่เหลี่ยมคางหมูกัน -

มาเขียนสูตรกัน

โดยที่ n=1, 2,...∞

จะไม่มีคำอธิบายกรณีที่ III - ไม่มีวิธีแก้ไข

สำหรับเงื่อนไข II ชุดของทริปเปิ้ลจะเป็นดังนี้:

สมการ (1) แสดงเป็น x 2 = z 2 + y 2 เพื่อความชัดเจน

สำหรับเงื่อนไข I เซตของทริปเปิ้ลจะเป็นดังนี้:

โดยรวมแล้วมีการทาสีเสาสามเสาทั้งหมด 9 คอลัมน์โดยแต่ละเสามีห้าเสา และแต่ละคอลัมน์ที่นำเสนอสามารถเขียนได้ถึง∞

ตัวอย่างเช่น พิจารณาสามเท่าของคอลัมน์สุดท้าย โดยที่ x - y \u003d 81

สำหรับค่าของ x เราเขียนสี่เหลี่ยมคางหมู -

มาเขียนสูตรกัน

สำหรับค่าที่เราเขียนสี่เหลี่ยมคางหมู -

มาเขียนสูตรกัน

สำหรับค่าของ z เราเขียนสี่เหลี่ยมคางหมู -

มาเขียนสูตรกัน

โดยที่ n = 1 ÷ ∞

ตามที่สัญญาไว้ ชุดแฝดสามตัวที่มี x - y = 81 บินไปที่∞

มีความพยายามสำหรับกรณีที่ I และ II เพื่อสร้างเมทริกซ์สำหรับ x, y, z

เขียนห้าคอลัมน์สุดท้ายของ x จากแถวบนสุดแล้วสร้างสี่เหลี่ยมคางหมู

มันไม่ได้ผล และรูปแบบควรเป็นกำลังสอง เพื่อให้ทุกอย่างเป็น openwork ปรากฎว่าจำเป็นต้องรวมคอลัมน์ I และ II

ในกรณี II ปริมาณ y, z จะถูกสับเปลี่ยนอีกครั้ง

เราจัดการเพื่อรวมเข้าด้วยกันด้วยเหตุผลเดียว - การ์ดเหมาะกับงานนี้ - เราโชคดี

ตอนนี้คุณสามารถเขียนเมทริกซ์สำหรับ x, y, z

ลองหาจากห้าคอลัมน์สุดท้ายของค่า x จากแถวบนสุด และสร้างสี่เหลี่ยมคางหมู

ทุกอย่างเรียบร้อยดี คุณสามารถสร้างเมทริกซ์ได้ เรามาเริ่มด้วยเมทริกซ์สำหรับ z กัน

ฉันวิ่งไปที่ตู้เสื้อผ้าเพื่อหน้าอก

ทั้งหมด: นอกเหนือจากหนึ่งแล้ว ตัวเลขคี่แต่ละอันของแกนตัวเลขยังมีส่วนร่วมในการก่อตัวของพีทาโกรัสสามเท่าด้วยจำนวนคู่ของปัจจัยที่เท่ากันซึ่งสร้างตัวเลขนี้ N รวมถึงปัจจัย 1 x N

จำนวน N \u003d ℓ 2 โดยที่ ℓ - IF สร้างหนึ่งพีทาโกรัสสามตัวถ้า ℓ คือ MF ดังนั้นปัจจัยสามประการของℓхℓ

มาสร้างเมทริกซ์สำหรับ x, y กัน

เริ่มจากเมทริกซ์ของ x กันก่อน ในการทำเช่นนี้ เราจะดึงกริดพิกัดจากปัญหาการระบุ IF และ MF

การนับแถวแนวตั้งถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยนิพจน์

มาลบคอลัมน์แรกกันเพราะ

เมทริกซ์จะอยู่ในรูปแบบ -

มาอธิบายแถวแนวตั้งกัน -

ให้เราอธิบายค่าสัมประสิทธิ์ที่ "a", -

มาอธิบายสมาชิกฟรีกันเถอะ -

ลองทำสูตรทั่วไปสำหรับ "x", -

ถ้าเราทำงานที่คล้ายกันสำหรับ "y" เราจะได้ -

คุณสามารถเข้าใกล้ผลลัพธ์นี้จากอีกด้านหนึ่ง

ลองหาสมการ

และ 2 + N = ใน 2 .

มาเปลี่ยนกันหน่อย -

N \u003d ใน 2 - a 2

ลองยกกำลังสองมัน -

N 2 \u003d ใน 4 - 2v 2 a 2 + a 4

ทางซ้ายและขวาของสมการ ให้บวกขนาด 4v 2 a 2, -

N 2 + 4v 2 a 2 \u003d ใน 4 + 2v 2 a 2 + a 4

และในที่สุดก็ -

(ใน 2 + a 2) 2 \u003d (2va) 2 + N 2

พีทาโกรัสทริปเปิ้ลประกอบด้วยดังนี้:

ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีตัวเลข N = 117

1 x 117 = 117, 3 x 39 = 117, 9 x 13 = 117

คอลัมน์แนวตั้งของตารางที่ 2 มีการกำหนดหมายเลขด้วยค่า - a ในขณะที่คอลัมน์แนวตั้งของตารางที่ 3 จะถูกกำหนดหมายเลขด้วยค่า x - y

x - y \u003d (c - a) 2,

x \u003d y + (c - a) 2

ลองทำสามสมการกัน

(y + 1 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 3 2) 2 \u003d y 2 + 117 2,

(y + 9 2) 2 \u003d y 2 + 117 2

x 1 = 6845, y 1 = 6844, z 1 = 117

x 2 = 765, y 2 = 756, z 2 = 117 (x 2 = 85, y 2 = 84, z 2 = 13)

x 3 = 125, y 3 = 44, z 3 = 117

ตัวประกอบ 3 และ 39 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ดังนั้นสามตัวจึงออกมาเป็นตัวประกอบของ 9

ให้เราอธิบายข้างต้นที่เขียนด้วยสัญลักษณ์ทั่วไป -

ในงานนี้ทุกอย่างรวมถึงตัวอย่างการคำนวณพีทาโกรัสสามเท่าด้วยตัวเลข

N = 117 ผูกติดอยู่กับตัวประกอบที่เล็กกว่าใน - a การเลือกปฏิบัติอย่างชัดแจ้งเกี่ยวกับปัจจัยใน + a มาแก้ไขความอยุติธรรมนี้กันเถอะ - เราจะเขียนสมการสามสมการที่มีตัวประกอบเป็น + a

กลับไปที่คำถามการระบุ IF และ MF

มีหลายสิ่งหลายอย่างที่ทำไปในทิศทางนี้ และในวันนี้ ความคิดต่อไปนี้ได้ผ่านมือมาแล้ว - ไม่มีสมการการระบุตัวตน และไม่มีสิ่งใดที่จะกำหนดปัจจัยได้

สมมติว่าเราพบความสัมพันธ์ F = a, b (N)

มีสูตร

คุณสามารถกำจัดในสูตร F จากใน และคุณจะได้สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่ n เทียบกับ a, i.e. F = (N)

สำหรับระดับ n ใดๆ ของสมการนี้ จะมีจำนวน N โดยมีตัวประกอบเป็นคู่ m สำหรับ m > n

และด้วยเหตุนี้ สมการเอกพันธ์ของดีกรี n จึงต้องมีราก m

ใช่สิ่งนี้ไม่สามารถ

ในบทความนี้ พิจารณาตัวเลข N สำหรับสมการ x 2 = y 2 + z 2 เมื่ออยู่ในสมการที่ตำแหน่ง z เมื่อ N แทนที่ x นี่เป็นอีกภารกิจหนึ่ง

ขอแสดงความนับถือ Belotelov V.A.