สมการตรีโกณมิติ - สูตร, โซลูชั่น, ตัวอย่าง บทเรียน "Arctgennce และ Arkkothencence การแก้ปัญหาของสมการ TGX \u003d A, CTGX \u003d A" โซลูชันของสมการ CTG X A

ด้วยศูนย์กลางที่จุด A
α - มุมแสดงในเรเดียน

แทนเจนต์ ( tg α) - มันเป็นฟังก์ชั่นตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุมαระหว่าง hypothenooma และ triangle triangle แข็งเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของหมวดหมู่ตรงข้าม | BC | ถึงความยาวของหมวดหมู่ที่อยู่ติดกัน | AB | .

kotnence ( ctg α) - เป็นฟังก์ชั่นตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุมαระหว่าง hypothenooma และท้องของรูปสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยมเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของหมวดหมู่ที่อยู่ติดกัน | AB | ถึงความยาวของหมวดหมู่ตรงข้าม | BC | .

แทนเจนต์

ที่ไหน น. - ทั้งหมด

ในวรรณคดีตะวันตกแทนเจนต์ถูกกำหนดให้เป็น:
.
;
;
.

กราฟฟังก์ชั่นแทนเจนต์, y \u003d tg x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน น. - ทั้งหมด

ในวรรณคดีตะวันตก Kothanns ถูกระบุดังนี้:
.
สัญลักษณ์ต่อไปนี้ยังดำเนินการ:
;
;
.

กราฟฟังก์ชั่น cotanence, y \u003d ctg x

สรรพคุณของ Tangent และ Kotnence

ระยะเวลา

ฟังก์ชั่น y \u003d tG X และ y \u003d cTG X. เป็นระยะกับช่วงเวลาπ

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชั่นของแทนเจนต์และ Kotangenes แปลก

ฟิลด์ของความหมายและค่าเพิ่มขึ้นลดลง

ฟังก์ชั่นของ Tangent และ Cotangenes ต่อเนื่องในเขตข้อมูลของความหมายของพวกเขา (ดูหลักฐานความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และ Kotnence จะถูกนำเสนอในตาราง ( น. - ทั้งหมด)

สูตร

นิพจน์ผ่านไซนัสและโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และ cotangent จากจำนวนและความแตกต่าง

สูตรที่เหลือง่ายต่อการรับตัวอย่างเช่น

ทำงานแทนเจนต์

สูตรของผลรวมและความแตกต่างของการแทนเจนต์

ตารางนี้นำเสนอค่าของการแทนเจนต์และ catangers ในบางค่าของอาร์กิวเมนต์

นิพจน์ในตัว

นิพจน์ผ่านฟังก์ชั่นไฮเพอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์สั่งซื้อ N-TH โดย Variable X จากฟังก์ชั่น:
.
สูตรเอาท์พุทสำหรับแทนเจนต์ \u003e\u003e\u003e; สำหรับ Cotanza \u003e\u003e\u003e

บูรณาการ

การสลายตัวในอันดับ

เพื่อให้ได้การสลายตัวของสัมผัสแทนเจนต์ในองศา x คุณต้องใช้สมาชิกสลายตัวหลายคนในแถวพลังงานสำหรับฟังก์ชั่น บาปเอ็กซ์ และ cos x. และแบ่งพหุนามเหล่านี้ไปซึ่งกันและกัน ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะได้รับ

ที่.

ที่.
ที่ไหน b n - เบอร์นูลลี่ตัวเลข พวกเขาจะถูกกำหนดอย่างใดอย่างหนึ่งจากอัตราส่วนกำเริบ:
;
;
ที่ไหน.
ทั้งสูตร Laplace:

ฟังก์ชั่นย้อนกลับ

ฟังก์ชั่นผกผันเพื่อแทนเจนต์และ Kotangent เป็น Arctanens และ Arkcotanence ตามลำดับ

Arctgennes, Arctg

ที่ไหน น. - ทั้งหมด

Arkkothangenes, Arcctg

ที่ไหน น. - ทั้งหมด

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. Bronstein, K.A. Semendyaev หนังสืออ้างอิงเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักเรียนของผู้เข้าร่วมงาน "LAN", 2009
Korn, Mathematics Directory สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร, 2012

ก่อนหน้านี้ตามโปรแกรมนักเรียนได้รับแนวคิดในการแก้ไขสมการตรีโกณมิติทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของ Arkkosinus และ Arksinus ตัวอย่างของการแก้ปัญหาของ COS T \u003d สมการ SIN ในภาษาวิดีโอนี้ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของสมการ tg x \u003d a และ ctg x \u003d a

ที่จุดเริ่มต้นของการศึกษาหัวข้อนี้ให้พิจารณาสมการ tg x \u003d 3 และ tg x \u003d - 3. ถ้าสมการ TG X \u003d 3 ได้รับการแก้ไขโดยใช้กราฟิกเราจะเห็นว่าจุดตัดของฟังก์ชั่น y \u003d tg x และ y \u003d 3 มีโซลูชันชุดอนันต์ที่ x \u003d x 1 + πk ค่า x 1 คือจุดพิกัด X ของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชั่น y \u003d tg x และ y \u003d 3. ผู้เขียนแนะนำแนวคิดของ Arctangent: ARCTG 3 คือหมายเลข TG ซึ่งเป็น 3 และหมายเลขนี้เป็นของ ช่วงเวลาจาก-π / 2 ถึงπ / 2 การใช้แนวคิดของ Arctangent วิธีการแก้ปัญหาของสมการ TG X \u003d 3 สามารถเขียนได้ในแบบฟอร์ม X \u003d ARCTG 3 + πk

โดยการเปรียบเทียบ, tg x \u003d - - 3 สมการได้รับการแก้ไขตามโครงสร้างของฟังก์ชั่น y \u003d tg x และ y \u003d - 3 มันสามารถเห็นได้ว่าจุดตัดของกราฟและดังนั้นการแก้ปัญหาของสมการจะ เป็น x \u003d x 2 + πk ด้วยความช่วยเหลือของ Arctangent โซลูชันสามารถเขียนเป็น x \u003d arctg (- 3) + πk ในรูปต่อไปนี้ดูว่า Arctg (- 3) \u003d - arctg 3 อะไร

คำนิยามทั่วไปของ Arctangent มีลักษณะเช่นนี้: Arctangent A เรียกว่าตัวเลขดังกล่าวจากช่องว่างจาก-π / 2 ถึงπ / 2 สัมผัสซึ่งเท่ากับ จากนั้นโดยการแก้ปัญหาของ TG X \u003d สมการคือ X \u003d ARCTG A + πk

ผู้เขียนนำตัวอย่าง 1. ค้นหาโซลูชันการแสดงออกของ ARCTG เราขอขอบคุณ: จำนวน X คือ X ดังนั้น TG X จะเท่ากับหมายเลขที่กำหนดโดยที่ x เป็นของการตัดจาก -7 / 2 ถึงπ / 2 เช่นเดียวกับในตัวอย่างในหัวข้อก่อนหน้านี้เราใช้ตารางค่า บนโต๊ะนี้ซึ่งแทนเจนต์ของหมายเลขนี้สอดคล้องกับ x \u003d π / 3 เราเขียนสารละลายของสมการหมายเลข Arctanhancens คือπ / 3, π / 3 เป็นของช่วงเวลาจาก-π / 2 ถึงπ / 2

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณ Arctangent ของจำนวนลบ การใช้ ARCTG Equality (- A) \u003d - ARCTG A เราแนะนำค่า X อย่างคล้ายคลึงกับตัวอย่างที่ 2 เขียนค่าของ x ซึ่งเป็นของส่วนจาก -7 / 2 ถึงπ / 2 บนตารางของค่าเราพบว่า x \u003d π / 3 ดังนั้น tg x \u003d - π / 3 การตอบสนองของสมการจะเป็นπ / 3

พิจารณาตัวอย่าง 3. ให้สมการ tg x \u003d 1. เขียน x \u003d arctg 1 + πk ในตารางค่าของ TG 1 สอดคล้องกับ x \u003d π / 4 ดังนั้น ARCTG 1 \u003d π / 4 เราแทนที่ค่านี้เป็นสูตร X เดิมและเขียนคำตอบ x \u003d π / 4 + πk

ตัวอย่างที่ 4: คำนวณ TG X \u003d - 4.1 ในกรณีนี้ X \u003d ARCTG (- 4.1) + πk เพราะ เป็นไปไม่ได้ที่จะหาค่า arctg ในกรณีนี้คำตอบจะดูเหมือน x \u003d arctg (- 4.1) + πk

ในตัวอย่างที่ 5 การแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกัน TG X\u003e 1. การแก้ปัญหากราฟของฟังก์ชั่น y \u003d tg x และ y \u003d 1. ตามที่สามารถเห็นได้ในรูปกราฟเหล่านี้ตัดกันที่จุด x \u003d π / 4 + πk . เพราะ ในกรณีนี้ TG X\u003e 1 บนแผนภูมิเลือกพื้นที่ของ Tangensoid ซึ่งอยู่เหนือกราฟ Y \u003d 1 โดยที่ x เป็นของช่วงเวลาจากπ / 4 ถึงπ / 2 คำตอบเขียนเป็นπ / 4 + πk< x < π/2 + πk.

ถัดไปพิจารณา CTG X \u003d สมการ รูปแสดงกราฟของฟังก์ชั่น y \u003d ctg x, y \u003d a, y \u003d - a, ซึ่งมีจุดตัดที่หลากหลาย การตัดสินใจสามารถเขียนเป็น x \u003d x 1 + πkโดยที่ x 1 \u003d arcctg a และ x \u003d x 2 + πkโดยที่ x 2 \u003d arcctg (- a) มีการตั้งข้อสังเกตว่า x 2 \u003d π - x 1 จากสิ่งนี้เป็นไปตามความเท่าเทียมกันของ arcctg (- a) \u003d π - arcctg a. ถัดไปจะได้รับการให้คำจำกัดความของ Arkkothangence: Arkkothangent A เรียกว่าตัวเลขดังกล่าวจากช่องว่างจาก 0 ถึงπซึ่งมี catangent เท่ากับ การแก้ปัญหาของ CTG X \u003d สมการจะถูกเขียนในแบบฟอร์ม: x \u003d arcctg a + πk

ในตอนท้ายของการสอนวิดีโอเอาต์พุตที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งคือการแสดงออก CTG X \u003d A สามารถเขียนได้ในแบบฟอร์ม TG X \u003d 1 / A โดยมีเงื่อนไขว่า A ไม่ใช่ศูนย์

การถอดรหัสข้อความ:

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของสมการ tg x \u003d 3 และ tg x \u003d - 3. การแก้สมการแรกที่มีกราฟิกเราเห็นว่ากราฟของฟังก์ชั่น y \u003d tg x และ y \u003d 3 มีจุดตัดหลายจุดมากมายซึ่งจะเขียน abscissions ในรูปแบบของ

x \u003d x 1 + πkโดยที่ x 1 คือ abscissa ของจุดตัดของเส้นตรง y \u003d 3 กับสาขาหลักของ tangentsoids (รูปที่ 1) ซึ่งมีการคิดค้นการกำหนด

arctg 3 (Arctgernes Three)

จะเข้าใจ arctg 3 ได้อย่างไร

หมายเลขนี้ซึ่งสัมผัสกันคือ 3 และหมายเลขนี้เป็นของช่วงเวลา (-;) จากนั้นรากทั้งหมดของสมการ TG X \u003d 3 สามารถเขียนได้โดย Formula X \u003d ARCTG 3 + πk

ในทำนองเดียวกันการแก้สมการ TG X \u003d - 3 สามารถเขียนได้ในแบบฟอร์ม x \u003d x 2 + πkโดยที่ x 2 คือ abscissa ของจุดตัดของ y \u003d 3 ที่มีสาขาหลักของ tangentsoids ( รูปที่ 1) ซึ่งมีการคิดค้นการกำหนด ARCTG (- 3) (Arctangen ลบสาม) จากนั้นรูททั้งหมดของสมการสามารถบันทึกได้โดยสูตร: X \u003d ARCTG (-3) + πk รูปแสดงว่า arctg (- 3) \u003d - arctg 3

เรากำหนดคำจำกัดความของ Arctangent ARCTANGENT A เรียกว่าตัวเลขดังกล่าวจากช่องว่าง (-;) ซึ่งแทนเจนต์มีค่าเท่ากับ

มักใช้ความเท่าเทียมกัน: arctg (-a) \u003d -arctg a ซึ่งใช้ได้สำหรับทุกคน

รู้คำจำกัดความของ Arctangent เราจะสรุปทั่วไปเกี่ยวกับการแก้สมการ

tg x \u003d a: สมการ tg x \u003d a มีโซลูชัน x \u003d arctg a + πk

พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1. ฟรี ARCTG

การตัดสินใจ ให้ arctg \u003d x จากนั้น tgx \u003d และxε (-;) แสดงตารางของค่าที่ส่งผลให้ x \u003d, ตั้งแต่ tg \u003d และε (-;)

ดังนั้น arctg \u003d.

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณ ARCTG (-)

การตัดสินใจ การใช้ ARCTG Equality (- A) \u003d - ARCTG A, เขียน:

arctg (-) \u003d - arctg ให้ - arctg \u003d x แล้ว - tgh \u003d และxε (-;) ดังนั้น x \u003d, ตั้งแต่ tg \u003d และε (-;) แสดงค่าตาราง

ดังนั้น - arctg \u003d - tgx \u003d -

ตัวอย่าง 3. แก้สมการ TGX \u003d 1

1. เราเขียนสูตรการแก้ปัญหา: x \u003d arctg 1 + πk

2. ค้นหาความหมายของ Arctangent

ตั้งแต่ tg \u003d. แสดงค่าตาราง

ดังนั้น arctg1 \u003d.

3. ใส่ค่าที่พบในสูตรการตัดสินใจ:

ตัวอย่างที่ 4. แก้สมการ TGX \u003d - 4.1 (แทนเจนต์ x เท่ากับลบสี่จำนวนเต็มหนึ่งสิบ)

การตัดสินใจ เราเขียนสูตรโซลูชัน: X \u003d ARCTG (- 4.1) + πk

เราไม่สามารถคำนวณมูลค่าของ Arctangent ได้ดังนั้นการแก้สมการจะถูกทิ้งไว้ในแบบฟอร์มผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 5. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน TGX 1

การตัดสินใจ เราจะตัดสินใจแบบกราฟิก

1. สร้าง tangentsoid

y \u003d tgh และ y \u003d 1 (รูปที่ 2) พวกเขาตัดกันที่จุดของสายพันธุ์ x \u003d + πk

2. เราเน้นช่องว่างของแกน X ซึ่งสาขาหลักของ Tangentsoid ตั้งอยู่เหนือเส้นตรง Y \u003d 1 เนื่องจากภายใต้เงื่อนไข TGX 1. นี่คือช่วงเวลา (;)

3. ใช้ความถี่ของฟังก์ชั่น

nivestly 2. y \u003d tg x เป็นฟังก์ชั่นเป็นระยะกับช่วงเวลาหลักπ

ให้ความถี่ของฟังก์ชั่น Y \u003d TGX เราเขียนคำตอบ:

(;) คำตอบสามารถเขียนในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันสองครั้ง:

ให้เราหันไปใช้ CTG X \u003d สมการ ลองนึกภาพภาพประกอบกราฟิกในการแก้สมการสำหรับ A บวกและลบ A (รูปที่ 3)

กราฟของฟังก์ชั่น y \u003d ctg x และ y \u003d เช่นกัน

y \u003d ctg x และ y \u003d -a

มีประเด็นทั่วไปมากมายที่ไม่มีแผล:

x \u003d x 1 + โดยที่ x 1 เป็นจุด abscissa ของจุดตัดของ direct y \u003d a กับสาขาหลักของ tangentsoids และ

x 1 \u003d arcstg a;

x \u003d x 2 + โดยที่ x 2 คือจุด abscissa ของสี่แยก

y \u003d - และด้วยสาขาหลักของ Tangentzoids และ x 2 \u003d arcstg (- a)

โปรดทราบว่า x 2 \u003d π - x 1 ดังนั้นเราจึงเขียนความเท่าเทียมกันที่สำคัญ:

arcstg (-a) \u003d π - arcstg a.

เรากำหนดคำจำกัดความ: Arkkothangent A เรียกว่าตัวเลขดังกล่าวจากช่วงเวลา (0; π) catangent ที่เท่ากับ

การแก้ปัญหาของสมการ CTG X \u003d A ถูกเขียนในแบบฟอร์ม: X \u003d ARCSTG A +

โปรดทราบว่าสมการ CTG x \u003d สามารถแปลงเป็นความคิด

tg x \u003d สำหรับข้อยกเว้นเมื่อ A \u003d 0

คุณสามารถสั่งซื้อโซลูชันรายละเอียดกับงานของคุณ !!!

ความเท่าเทียมกันที่มีฟังก์ชั่นตรีโกณมิติที่ไม่รู้จัก (`sin x, cos x, tg x` หรือ` ctg x`) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติเราจะพิจารณาสูตรของพวกเขาต่อไป

ที่ง่ายที่สุดเรียกว่าสมการ `sin x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a`, where` x` เป็นมุมที่จะค้นหา` A` - หมายเลขใด ๆ เราเขียนสำหรับแต่ละสูตรสูตร

1. สมการ `Sin X \u003d A`

ด้วย `| A | \u003e\u003e 1` ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ด้วย `| A | \\ leq 1` มีจำนวนโซลูชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด

รากสูตร: `x \u003d (- 1) ^ n arcsin a + \\ pi n, n \\ in z`

2. สมการ `cos x \u003d a`

ด้วย `| A |\u003e 1` - เช่นเดียวกับในกรณีของไซนัสไม่มีวิธีแก้ปัญหาในจำนวนที่ถูกต้อง

ด้วย `| A | \\ leq 1` มีโซลูชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด

รากสูตร: `x \u003d \\ pm arccos a + 2 \\ pi n, n \\ in z`

กรณีส่วนตัวสำหรับไซนัสและโคไซน์ในชาร์ต

3. สมการ `tg x \u003d a`

มันมีชุดโซลูชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับค่าใด ๆ ของ `A`

สูตรของราก: `x \u003d arctg a + \\ pi n, n \\ in z`

4. สมการ `ctg x \u003d a`

นอกจากนี้ยังมีโซลูชั่นที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับค่าใด ๆ ของ `A`

สูตรสูตร: `x \u003d arcctg a + \\ pi n, n \\ in z`

สูตรของรากฐานของสมการตรีโกณมิติในตาราง

สำหรับไซนัส:
สำหรับโคไซน์:
สำหรับแทนเจนต์และ Kotnence:
สูตรสำหรับการแก้สมการที่มีฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน:

วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

การแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติใด ๆ ประกอบด้วยสองขั้นตอน:

• โดยการแปลงให้ง่ายที่สุด
• เพื่อแก้สมการที่ง่ายที่สุดที่เกิดขึ้นโดยใช้สูตรเขียนด้านบนของรากและตาราง

พิจารณาวิธีการพื้นฐานของการแก้ปัญหาในตัวอย่าง

วิธีพีชคณิต

ในวิธีนี้ตัวแปรจะถูกแทนที่และการทดแทนเป็นความเสมอภาค

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3sin (\\ frac \\ pi 3 - x) + 1 \u003d 0``

`2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ pi 6) + 1 \u003d 0`

เราทำการทดแทน: `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d y ',` 2y ^ 2-3y + 1 \u003d 0`

เราพบว่าราก: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, ที่สองกรณีปฏิบัติตาม:

1. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d 2 \\ pi n`, `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`

2. `cos (x + \\ frac \\ pi 6) \u003d 1 / 2`,` x + \\ frac \\ pi 6 \u003d \\ pm arccos 1/2 + 2 \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`

คำตอบ: `x_1 \u003d - \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pm \\ frac \\ pi 3- \\ frac \\ pi 6 + 2 \\ pi n`

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `Sin X + COS X \u003d 1`

การตัดสินใจ ย้ายออกจากสมาชิกทุกคนในความเท่าเทียมกัน: `SIN X + COS X-1 \u003d 0` การใช้เราแปลงและสลายชิ้นส่วนซ้าย:

`Sin X - 2SIN ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2sin x / 2 (cos x / 2-sin x / 2) \u003d 0`

1. `SIN X / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d \\ pi n`, `x_1 \u003d 2 \\ pi n`
2. `cos x / 2-sin x / 2 \u003d 0,` tg x / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d arctg 1+ \\ pi n`,` x / 2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`

คำตอบ: `x_1 \u003d 2 \\ pi n`,` x_2 \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`

นำไปสู่สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ในขั้นต้นสมการตรีโกณมิตินี้ควรนำไปสู่หนึ่งในสองประเภท:

`ain x + b cos x \u003d 0 (สมการที่เป็นเนื้อเดียวกันของระดับแรก) หรือ 'a sin ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (สมการเป็นเนื้อเดียวกันของระดับที่สอง)

จากนั้นหารทั้งสองส่วนใน `cos x \\ ne 0` - สำหรับกรณีแรกและ on` cos ^ 2 x \\ ne 0` - เป็นครั้งที่สอง เราได้รับสมการที่เกี่ยวข้องกับ TG X`: `a tg x + b \u003d 0 และ 'a tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0` ซึ่งคุณต้องแก้วิธีการที่รู้จักกันดี

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2 Sin ^ 2 x + Sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1 '

การตัดสินใจ เราเขียนด้านขวาเป็น `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 บาป ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`

`2 บาป ^ 2 x + Sin x cos x - cos ^ 2 x-` 'sin ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`บาป ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`

นี่คือสมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกันของระดับที่สองเราแบ่งชิ้นส่วนซ้ายและขวาสำหรับ `cos ^ 2 x \\ n 0` เราได้รับ:

`\\ FRAC (SIN ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ FRAC (SIN x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0` ^ 2 x) \u003d 0`"

`tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0` เราแนะนำการเปลี่ยน `tg x \u003d t` เป็นผลมาจาก 't ^ 2 + t - 2 \u003d 0` รากของสมการนี้: `t_1 \u003d -2 'และ` t_2 \u003d 1' จากนั้น:

1. `tg x \u003d -2 ',` x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`, `n \\ in z`
2. `tg x \u003d 1`,` x \u003d arctg 1+ \\ pi n`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`,` n \\ in z '

ตอบ. `x_1 \u003d arctg (-2) + \\ pi n`,` n \\ in z`, `x_2 \u003d \\ pi / 4 + \\ pi n`` n \\ in z '

เปลี่ยนเป็นครึ่งมุม

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `11 SIN X - 2 cos x \u003d 10 '

การตัดสินใจ แอพลิเคชันสูตรมุมคู่เป็นผลให้: `22 Sin (x / 2) cos (x / 2) -`` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 sin ^ 2 x / 2 \u003d `` 10 sin ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 tg ^ 2 x / 2 - 11 tg x / 2 + 6 \u003d 0`

การใช้วิธีพีชคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้นเราได้รับ:

1. `tg x / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`,
2. `tg x / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z '

ตอบ. `x_1 \u003d 2 arctg 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z`,` x_2 \u003d arctg 3/4 + 2 \\ pi n`, `n \\ in z`

การเปิดตัวมุมเสริม

ในสมการตรีโกณมิติ `ain x + b cos x \u003d c` ที่ A, B, C - สัมประสิทธิ์และ x เป็นตัวแปรเราแบ่งทั้งสองส่วนใน` SQRT (A ^ 2 + B ^ 2) `:

`\\ FRAC A (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) Sin X +` `\\ \\ Frac B (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) cos x \u003d` `` `` `` `` `` `` `\\ \\ Frac C (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) `

ค่าสัมประสิทธิ์ในส่วนด้านซ้ายมีคุณสมบัติของไซนัสและโคไซน์คือผลรวมของสแควร์สเท่ากับ 1 และโมดูลของพวกเขาไม่เกิน 1 หมายถึงพวกเขาดังต่อไปนี้: `\\ Frac A (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d cos \\ varphi`, `\\ Frac B (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d SIN \\ VARPHI`,` \\ Frac C (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d C `แล้ว:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d c '

ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่าง. แก้สมการ: `3 บาป x + 4 cos x \u003d 2`

การตัดสินใจ เราแบ่งทั้งสองส่วนของความเสมอภาคใน `SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)` เราได้รับ:

`\\ FRAC (3 SIN X) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ frac (4 cos x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ Frac 2 (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2) `

`3/5 SIN X + 4/5 cos x \u003d 2/5 '

แสดงโดย `3/5 \u003d cos \\ varphi`,` 4/5 \u003d sin \\ varphi` ตั้งแต่ `sin \\ varphi\u003e 0,` cos \\ varphi\u003e 0, จากนั้นเป็นมุมเสริม, ใช้ `\\ varphi \u003d arcsin 4 / 5` จากนั้นความเสมอภาคของเราจะเขียนในแบบฟอร์ม:

`cos \\ varphi sin x + sin \\ varphi cos x \u003d 2/5`

ด้วยการใช้ผลรวมของผลรวมของมุมสำหรับไซนัสเราเขียนความเท่าเทียมกันของเราในรูปแบบต่อไปนี้:

`Sin (x + \\ varphi) \u003d 2 / 5`

`x + \\ varphi \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5 + \\ pi n`,` n \\ in z`

`x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in z '

ตอบ. `x \u003d (- 1) ^ n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5 + \\ pi n`,` n \\ in z '

สมการตรีโกณมิติที่มีเหตุผล

สิ่งเหล่านี้มีความเท่าเทียมกับเศษส่วนในตัวเศษและตัวหารที่มีฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง. แก้สมการ `\\ FRAC (SIN X) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`

การตัดสินใจ ทวีคูณและแบ่งด้านขวามือของความเท่าเทียมกับ `(1 + cos x)` เป็นผลให้เราได้รับ:

`\\ FRAC (SIN X) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`\\ FRAC (SIN X) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ FRAC (SIN X) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (SIN ^ 2 x) (1 + cos x)`

`\\ FRAC (SIN X) (1 + cos x)-` '\\ Frac (SIN ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`\\ Frac (Sin X-Sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

เมื่อพิจารณาว่าตัวหารมีค่าเท่ากับศูนย์ไม่สามารถเราได้รับ `1 + cos x \\ n 0,` cos x \\ ne -1`, `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z`

เราเปรียบเสมือนศูนย์เศษส่วนของตัวเลข: `Sin X-Sin ^ 2 x \u003d 0`` sin x (1-sin x) \u003d 0` จากนั้น `sin x \u003d 0` หรือ` 1-sin x \u003d 0`

1. `SIN X \u003d 0`,` x \u003d \\ pi n`, `n \\ in z`
2. `1-sin x \u003d 0`,` sin x \u003d -1 ', `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n, n \\ in z'

เมื่อพิจารณาว่า `x \\ ne \\ pi + 2 \\ pi n, n \\ in z` โซลูชั่นจะเป็น 'x \u003d 2 \\ pi n, n \\ in z` และ` x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n` , `n \\ in z '

ตอบ. `x \u003d 2 \\ pi n`,` n \\ in z`, `x \u003d \\ pi / 2 + 2 \\ pi n`,` n \\ in z '

ตรีโกณมิติและสมการตรีโกณมิติใช้ในเกือบทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตฟิสิกส์วิศวกรรม การศึกษาในเกรด 10 เริ่มต้นงานจำเป็นต้องมีการสอบดังนั้นลองจดจำสูตรทั้งหมดของสมการตรีโกณมิติ - พวกเขาจะใช้คุณอย่างแน่นอน!

อย่างไรก็ตามไม่จำเป็นต้องจำไว้ว่าสิ่งสำคัญคือการเข้าใจสาระสำคัญและสามารถถอนได้ มันไม่ยากอย่างที่เห็น อย่าลืมดูวิดีโอ

ในบทเรียนนี้เราจะศึกษาต่อไปและแก้ไขสมการของ Type TG X \u003d A สำหรับทุกคน ที่จุดเริ่มต้นของบทเรียนสมการที่มีค่าตารางและแสดงวิธีแก้ปัญหาบนแผนภูมิแล้วในวงกลม ถัดไปแก้สมการ TGX \u003d AV ด้วยแบบฟอร์มทั่วไปและนำสูตรการตอบกลับทั่วไป เราแสดงให้เห็นถึงการคำนวณตามกำหนดเวลาและในวงกลมและพิจารณาการตอบสนองในรูปแบบต่าง ๆ ในตอนท้ายของบทเรียนเราตัดสินใจทำงานบางอย่างด้วยภาพประกอบโซลูชั่นในตารางและเป็นวงกลม

เรื่องสมการตรีโกณมิติ

บทเรียน: Arcthangence และการแก้ปัญหา TGX \u003d สมการ (ต่อ)

1. เรื่องของบทเรียนบทนำ

ในบทเรียนนี้เราจะพิจารณาวิธีแก้สมการสำหรับการใช้งานใด ๆ ที่ถูกต้อง

2. วิธีการแก้ปัญหาของสมการ TGX \u003d √3

ภารกิจ 1. แก้สมการ

ค้นหาวิธีแก้ไขด้วยความช่วยเหลือของกราฟของฟังก์ชั่น (รูปที่ 1)

พิจารณาช่วงเวลาที่ฟังก์ชั่นช่องว่างนี้ของ Monotonne ซึ่งหมายความว่าสามารถทำได้ด้วยค่าฟังก์ชันเดียวเท่านั้น

ตอบ:

เราตัดสินใจสมการเดียวกันโดยใช้วงกลมตัวเลข (รูปที่ 2)

ตอบ:

3. การแก้ปัญหาของ TGX \u003d สมการโดยทั่วไป

เราแก้สมการในรูปแบบทั่วไป (รูปที่ 3)

ในช่วงเวลาสมการมีทางออกเดียว

ระยะเวลาบวกที่เล็กที่สุด

เราแสดงให้เห็นถึงวงกลมตัวเลข (รูปที่ 4)

4. วิธีการแก้ปัญหา

ภารกิจ 2. แก้สมการ

เราจะแทนที่ตัวแปร

ภารกิจ 3. แก้ปัญหาระบบ:

โซลูชัน (รูปที่ 5):

ณ จุดนี้ค่าคือการแก้ปัญหาระบบเป็นเพียงจุด

ตอบ:

ภารกิจ 4. แก้สมการ

ฉันตัดสินใจที่จะแทนที่ตัวแปร:

ภารกิจ 5. ค้นหาจำนวนการแก้ปัญหาของสมการในช่วงเวลา

เราจะแก้ปัญหาโดยใช้กราฟ (รูปที่ 6)

สมการมีสามวิธีในช่วงเวลาที่กำหนด

เราแสดงให้เห็นถึงวงกลมตัวเลข (รูปที่ 7) แม้ว่ามันจะไม่ชัดเจนเหมือนในกราฟ

คำตอบ: สามโซลูชั่น

5. บทสรุปสรุป

เราแก้ไขสมการสำหรับการใช้งานที่ถูกต้องโดยใช้แนวคิดของ Arctangent ในบทเรียนต่อไปเราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของ Arkkothangence

บรรณานุกรม

1. พีชคณิตและการวิเคราะห์เริ่มต้นเกรด 10 (ในสองส่วน) ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) เอ็ด A. G. Mordkovich -m.: Mnemozina, 2009

2. พีชคณิตและการวิเคราะห์เริ่มต้นเกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) คือเอ็ด A. G. Mordkovich -m.: Mnemozina, 2007

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S. , Schwarzburg S. I. พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 10 (ตำราเรียนสำหรับนักเรียนของโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาเชิงลึกของคณิตศาสตร์. 1996

4. Galitsky M. L. , Moshkovich M. M. , Schwarzburg S. I. การศึกษาเชิงลึกของพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: การศึกษา, 1997

5. การรวบรวมภารกิจในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครในดิน (เอ็ดเอ็ม I. Skanavi). - M .- โรงเรียนมัธยมศึกษาปี 1992

6. Merzlyak A. G. , Polonsky V. B. , Yakir M. S. Algebraic Simulator - K. : A. S.K. , 1997

7. Sahakyan S. M. , Goldman A. M. , Denisov D.V ภ. งานสำหรับพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ (คู่มือสำหรับนักเรียนเกรด 10-11 ของ Hosoms สถาบัน) .- ม.: การตรัสรู้ 2546

8. Karp A. P. คอลเลกชันของงานเกี่ยวกับพีชคณิตและต้นกำเนิดของการวิเคราะห์: การศึกษา คู่มือสำหรับ 10-11 cl ด้วยถ่านหิน การวิจัย. คณิตศาสตร์. -m.: ตรัสรู้, 2549

การบ้าน

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เกรด 10 (ในสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) คือเอ็ด A. G. Mordkovich -m.: Mnemozina, 2007

№№ 22.18, 22.21.

ทรัพยากรเว็บเพิ่มเติม

1. คณิตศาสตร์

2. ปัญหาพอร์ทัลอินเทอร์เน็ต RU

3. พอร์ทัลการศึกษาสำหรับการเตรียมการสอบ

\u003e\u003e Arcthangence และ Arkkothangenes การแก้ปัญหาของสมการ tgx \u003d a, ctgx \u003d a

§ 19. Arctanens and Arkotanens การแก้ปัญหาของสมการ tgx \u003d a, ctgx \u003d a

ในตัวอย่างที่ 2 §16เราไม่สามารถแก้สมการสามสมการได้:

สองคนที่เราได้ตัดสินใจแล้ว - ครั้งแรกใน§ 17 และที่สองใน§ 18 สำหรับสิ่งนี้เราต้องแนะนำแนวคิด arkkosinus และอาร์กส์ซินัส พิจารณาสมการที่สาม x \u003d 2
กราฟของฟังก์ชั่น y \u003d tg x และ y \u003d 2 มีจุดทั่วไปมากมาย abscissa ของจุดทั้งหมดเหล่านี้มีรูปแบบ - abscissa ของจุดตัดของโดยตรง y \u003d 2 กับสาขาหลักของ tangensoid (รูปที่ 90) สำหรับคณิตศาสตร์หมายเลข X1 การกำหนดของ Agstg 2 ถูกคิดค้นขึ้นมา ("Arcthangencence of the Two") จากนั้นรากทั้งหมดของสมการ x \u003d 2 สามารถอธิบายได้โดย Formula X \u003d AGSTG 2 + PC
Agstg 2 คืออะไร นี่คือตัวเลข แทนเจนต์ ซึ่งคือ 2 และซึ่งเป็นของช่วงเวลา
พิจารณาตอนนี้สมการ TG X \u003d -2
ฟังก์ชั่นกราฟิก มีประเด็นทั่วไปมากมาย Abscissa ของคะแนนทั้งหมดเหล่านี้ถูกดู จุด abscissa ของจุดตัดของ y \u003d -2 ตรงกับสาขาหลักของ tangentsoids สำหรับคณิตศาสตร์หมายเลข X 2 การกำหนดของ AGSTG (-2) ถูกคิดค้น จากนั้นรากทั้งหมดของสมการ x \u003d -2 สามารถอธิบายได้โดยสูตร

AGSTG (-2) คืออะไร หมายเลขนี้ซึ่งแทนเจนต์คือ -2 และซึ่งเป็นของช่วงเวลา โปรดทราบ (ดูรูปที่ 90): x 2 \u003d -x 2 ซึ่งหมายความว่า AGSTG (-2) \u003d - AGSTG 2
เรากำหนดนิยามของ Arctgennes โดยทั่วไป

คำนิยาม 1. AGSTG A (Arctangens A) เป็นตัวเลขดังกล่าวจากช่วงเวลาที่สัมผัสแทนเจนต์ ดังนั้น,

ตอนนี้เราสามารถสรุปได้ทั่วไปเกี่ยวกับการตัดสินใจ สมการ X \u003d A: สมการ x \u003d a มีโซลูชั่น

ข้างต้นเราตั้งข้อสังเกตว่า AGSTG (-2) \u003d -agstg 2. โดยทั่วไปสำหรับค่าใด ๆ แต่สูตรนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณ:

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ:

a) ทำสูตรของโซลูชั่น:

เราไม่สามารถคำนวณมูลค่าของ Arctangent ในกรณีนี้ดังนั้นการบันทึกการแก้ปัญหาของสมการจะถูกทิ้งไว้ในแบบฟอร์มผลลัพธ์
ตอบ:
ตัวอย่างที่ 3 แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียม:
ความไม่เท่าเทียมกันของสปีชีส์สามารถแก้ไขได้อย่างชัดเจนโดยทำตามแผนต่อไปนี้
1) สร้าง Tangentsoid Y \u003d TG X และตรง Y \u003d A;
2) จัดสรรให้กับสาขาหลักของ tangeysoids ของแกนของแกน x ซึ่งมีความไม่เท่าเทียมที่ระบุ
3) ให้ความถี่ของฟังก์ชั่น Y \u003d TG X จดคำตอบโดยทั่วไป
ใช้แผนนี้เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมที่ระบุ

: a) เราสร้างกราฟของฟังก์ชั่น y \u003d tgx และ y \u003d 1. ที่สาขาหลักของ Tangensoids พวกเขาตัดกันที่จุด

เราเน้นช่องว่างของแกน X ซึ่งสาขาหลักของ Tangensoid ตั้งอยู่ด้านล่างโดยตรง y \u003d 1 เป็นช่วงเวลา
เมื่อพิจารณาถึงความถี่ของฟังก์ชัน Y \u003d TGX เราสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมที่ระบุจะดำเนินการในช่วงใด ๆ ของแบบฟอร์ม:

การรวมช่วงเวลาดังกล่าวทั้งหมดและแสดงถึงวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของความไม่เท่าเทียมที่ระบุ
คำตอบสามารถบันทึกได้แตกต่างกัน:

b) เราสร้างกราฟของฟังก์ชั่น y \u003d tg x และ y \u003d -2 ในสาขาหลักของ tangentsoids (รูปที่ 92) พวกเขาตัดกันที่จุด x \u003d AGSTG (-2)

เราเน้นย่านช่องว่างของแกน x ที่สาขาหลักของ Tangensoids

พิจารณาสมการด้วย TG X \u003d A ที่ A\u003e 0 กราฟของฟังก์ชั่น y \u003d ctg x และ y \u003d และมีจุดทั่วไปมากมาย abscissas ของจุดทั้งหมดเหล่านี้เป็นแบบฟอร์ม: X \u003d x 1 + PC โดยที่ x 1 \u003d AGSSORT A - Abscissa ของจุดตัดตรง y \u003d a กับสาขาหลักของ tangentsoids (ข้าว 93) หมายความว่า AGSSR A คือจำนวนที่ catangent เท่ากับและเป็นของช่วงเวลา (0, p); ในช่วงเวลานี้สาขาหลักของกราฟของฟังก์ชั่น y \u003d stg x กำลังถูกสร้างขึ้น

ในรูปที่ 93 แสดงภาพประกอบกราฟิกในการแก้ปัญหา C1TG \u003d -A กราฟของฟังก์ชั่น Y \u003d STG X และ Y \u003d -a มีจุดทั่วไปมากมาย Abscissas ของคะแนนทั้งหมดเหล่านี้เป็นของแบบฟอร์ม X \u003d x 2 + PC โดยที่ x 2 \u003d AGSSORT (A) - Abscissa ของสี่แยก คะแนนโดยตรง y \u003d -a tangentsoid สาขา หมายความว่า AGSSort (-a) คือจำนวนที่ catangent คือ -a และซึ่งเป็นของช่วงเวลา (o, p); ในช่วงเวลานี้สาขาหลักของกราฟของฟังก์ชั่น y \u003d stg x กำลังถูกสร้างขึ้น

นิยาม 2.aSTG A (Arkkothangence A) เป็นตัวเลขดังกล่าวจากช่วงเวลา (0, p) ซึ่งมี catangent เท่ากับ
ดังนั้น,

ตอนนี้เราสามารถสรุปได้ทั่วไปเกี่ยวกับการแก้ปัญหาของสมการ CTG X \u003d A: CTG สมการ x \u003d A มีโซลูชัน:

โปรดทราบ (ดูรูปที่ 93): x 2 \u003d P-X 1 มันหมายความว่า

ตัวอย่างที่ 4 คำนวณ:

a) ใส่มัน

สมการ CTG X \u003d A เป็นไปได้เกือบจะเป็นไปได้ที่จะแปลงข้อยกเว้นให้กับสมการ CTG X \u003d 0 แต่ในกรณีนี้ใช้ความจริงที่ว่าคุณสามารถไปที่
cos x \u003d 0 สมการ ดังนั้นสมการของสปีชีส์ x \u003d และความสนใจอิสระไม่ได้เป็นตัวแทน

ก. Mordkovich Algebra เกรด 10

ปฏิทินและการวางแผนใจในคณิตศาสตร์ วิดีโอ ในวิชาคณิตศาสตร์ออนไลน์คณิตศาสตร์ที่โรงเรียนดาวน์โหลด