กำหนดการฉายจุดในมุมมอง การสร้างจุดฉายมุมฉาก

ในบทความนี้ เราจะพบคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับวิธีการสร้างการฉายภาพจุดบนระนาบ และวิธีกำหนดพิกัดของการฉายภาพนี้ ในส่วนทางทฤษฎีเราจะอาศัยแนวคิดของการฉายภาพ เราจะกำหนดเงื่อนไขและให้ข้อมูลพร้อมภาพประกอบ มารวบรวมความรู้ที่ได้รับด้วยการแก้ตัวอย่าง

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

การฉายภาพประเภทของการฉายภาพ

เพื่อความสะดวกในการดูตัวเลขเชิงพื้นที่ จึงมีการใช้ภาพวาดที่แสดงถึงตัวเลขเหล่านี้

คำจำกัดความ 1

การฉายภาพบนเครื่องบิน– การวาดภาพเชิงพื้นที่

แน่นอนว่ามีกฎหลายข้อที่ใช้ในการสร้างการฉายภาพ

คำจำกัดความ 2

การฉายภาพ– กระบวนการสร้างภาพวาดรูปทรงอวกาศบนเครื่องบินโดยใช้กฎการก่อสร้าง

เครื่องบินฉายภาพ- นี่คือระนาบที่ใช้สร้างภาพ

การใช้กฎบางอย่างจะกำหนดประเภทของการฉายภาพ: ศูนย์กลางหรือ ขนาน.

กรณีพิเศษของการฉายภาพแบบขนานคือการฉายภาพตั้งฉากหรือมุมฉาก: ส่วนใหญ่จะใช้ในรูปทรงเรขาคณิต ด้วยเหตุนี้ คำคุณศัพท์ "ตั้งฉาก" จึงมักถูกละเว้นในคำพูด: ในเรขาคณิตพวกเขาเพียงแค่พูดว่า "การฉายภาพ" และด้วยเหตุนี้พวกเขาหมายถึงการสร้างการฉายภาพโดยใช้วิธีการฉายภาพตั้งฉาก แน่นอนว่าในกรณีพิเศษอาจมีการตกลงอย่างอื่นได้

ให้เราสังเกตว่าการฉายภาพบนเครื่องบินนั้นเป็นการฉายภาพทุกจุดของรูปนี้ ดังนั้น เพื่อให้สามารถศึกษารูปทรงเชิงพื้นที่ในรูปวาดได้ จึงจำเป็นต้องได้รับทักษะพื้นฐานในการฉายจุดบนเครื่องบิน สิ่งที่เราจะพูดถึงด้านล่าง

ขอให้เราระลึกว่าบ่อยครั้งในเรขาคณิต เมื่อพูดถึงการฉายภาพบนระนาบ หมายถึงการใช้การฉายภาพในแนวตั้งฉาก

ขอให้เราสร้างสิ่งก่อสร้างที่จะให้โอกาสเราได้คำจำกัดความของการฉายภาพจุดบนเครื่องบิน

สมมติว่ามีการกำหนดพื้นที่สามมิติไว้ และในนั้นมีระนาบ α และจุด M 1 ซึ่งไม่อยู่ในระนาบ α ลากเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนด M กตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด α เราแสดงจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ α เป็น H 1 โดยการก่อสร้าง มันจะทำหน้าที่เป็นฐานของเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุด M 1 ไปยังระนาบ α

หากให้จุด M 2 ซึ่งเป็นของระนาบที่กำหนด α แล้ว M 2 จะทำหน้าที่เป็นเส้นโครงของตัวเองบนระนาบ α

คำจำกัดความ 3

- นี่คือจุดนั้นเอง (หากเป็นของระนาบที่กำหนด) หรือฐานของตั้งฉากที่ตกลงจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบที่กำหนด

ตัวอย่างการหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนระนาบ

ให้สิ่งต่อไปนี้กำหนดในปริภูมิสามมิติ: ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z, ระนาบ α, จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 บนระนาบที่กำหนด

วิธีแก้ปัญหาเป็นไปตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นของการฉายภาพจุดบนระนาบอย่างชัดเจน

ให้เราแสดงการฉายภาพของจุด M 1 บนระนาบ α เป็น H 1 . ตามคำจำกัดความ H 1 คือจุดตัดของระนาบ α ที่กำหนด และเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M 1 (ตั้งฉากกับระนาบ) เหล่านั้น. พิกัดของการฉายภาพจุด M1 ที่เราต้องการคือพิกัดของจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ α

ดังนั้นในการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนระนาบจึงจำเป็น:

รับสมการของระนาบ α (หากไม่ได้ระบุ) บทความเกี่ยวกับประเภทของสมการเครื่องบินจะช่วยคุณได้ที่นี่

กำหนดสมการของเส้นที่ผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับระนาบ α (ศึกษาหัวข้อเกี่ยวกับสมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด)

ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ α (บทความ - การค้นหาพิกัดของจุดตัดของระนาบและเส้น) ข้อมูลที่ได้รับจะเป็นพิกัดที่เราต้องการสำหรับการฉายภาพจุด M 1 ลงบนระนาบ α

ลองดูทฤษฎีพร้อมตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 (- 2, 4, 4) บนระนาบ 2 x – 3 y + z - 2 = 0

สารละลาย

ดังที่เราเห็นสมการของระนาบถูกกำหนดให้กับเรานั่นคือ ไม่จำเป็นต้องคอมไพล์มัน

ให้เราเขียนสมการทางบัญญัติของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้ เราจะกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a เนื่องจากเส้น a ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด เวกเตอร์ทิศทางของเส้น a จึงเป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ดังนั้น, a → = (2, - 3, 1) – เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a

ตอนนี้เรามาเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงในปริภูมิที่ผ่านจุด M 1 (- 2, 4, 4) และมีเวกเตอร์ทิศทาง ก → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

ในการค้นหาพิกัดที่ต้องการ ขั้นตอนต่อไปคือการกำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้นตรง x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 และระนาบ 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . เพื่อจุดประสงค์เหล่านี้ เราย้ายจากสมการมาตรฐานไปเป็นสมการของระนาบที่ตัดกันสองระนาบ:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

มาสร้างระบบสมการกันดีกว่า:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

และลองแก้มันโดยใช้วิธีของ Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

ดังนั้นพิกัดที่ต้องการของจุดที่กำหนด M 1 บนระนาบที่กำหนด α จะเป็น: (0, 1, 5)

คำตอบ: (0 , 1 , 5) .

ตัวอย่างที่ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y z ของปริภูมิสามมิติ ให้จุด A (0, 0, 2) บี (2, - 1, 0); ค (4, 1, 1) และ ม 1 (-1, -2, 5) จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของการฉายภาพ M 1 บนระนาบ A B C

สารละลาย

ก่อนอื่น เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 ปี + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 ปี + 2 z - 4 = 0

ให้เราเขียนสมการพาราเมตริกของเส้น a ซึ่งจะผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ A B C ระนาบ x – 2 y + 2 z – 4 = 0 มีเวกเตอร์ปกติที่มีพิกัด (1, - 2, 2) กล่าวคือ เวกเตอร์ a → = (1, - 2, 2) – เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a

ตอนนี้เมื่อมีพิกัดของจุดของเส้น M 1 และพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้เราจะเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นในอวกาศ:

จากนั้นเรากำหนดพิกัดของจุดตัดของระนาบ x – 2 y + 2 z – 4 = 0 และเส้นตรง

x = - 1 + แลม y = - 2 - 2 แลมบ์ซ = 5 + 2 แลม

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่สมการของระนาบ:

x = - 1 + แลมบ์, y = - 2 - 2 แลมบ์ดา, z = 5 + 2 แลมบ์

ตอนนี้การใช้สมการพาราเมตริก x = - 1 + แล y = - 2 - 2 · lam z = 5 + 2 · แลม เราจะค้นหาค่าของตัวแปร x, y และ z สำหรับ แล = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

ดังนั้นการฉายภาพจุด M 1 ลงบนระนาบ A B C จะมีพิกัด (- 2, 0, 3)

คำตอบ: (- 2 , 0 , 3) .

ให้เราแยกประเด็นในการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนระนาบพิกัดและระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

ให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และกำหนดระนาบพิกัด O x y, O x z และ O y z พิกัดของการฉายภาพของจุดนี้บนระนาบเหล่านี้จะเป็นตามลำดับ: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) และ (0, y 1, z 1) ให้เราพิจารณาระนาบขนานกับระนาบพิกัดที่กำหนดด้วย:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , By + D = 0 ⇔ y = - D B

และการฉายภาพของจุดที่กำหนด M 1 บนระนาบเหล่านี้จะเป็นจุดที่มีพิกัด x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 และ - D A, y 1, z 1

ให้เราสาธิตวิธีการได้รับผลลัพธ์นี้

ตามตัวอย่าง ลองนิยามเส้นโครงของจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) บนระนาบ A x + D = 0 กรณีที่เหลือก็คล้ายกัน

ระนาบที่กำหนดขนานกับระนาบพิกัด O y z และ i → = (1, 0, 0) เป็นเวกเตอร์ปกติ เวกเตอร์เดียวกันนี้ทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตั้งฉากกับระนาบ O y z จากนั้นสมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่ลากผ่านจุด M 1 และตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดจะมีรูปแบบ:

x = x 1 + แลม y = y 1 z = z 1

ลองหาพิกัดของจุดตัดของเส้นนี้กับระนาบที่กำหนดกัน ก่อนอื่นให้เราแทนที่ความเท่าเทียมกันลงในสมการ A x + D = 0: x = x 1 + แล , y = y 1 , z = z 1 และรับ: A · (x 1 + แลมบ์ดา) + D = 0 ⇒ แลม = - ดี เอ - x 1

จากนั้นเราคำนวณพิกัดที่ต้องการโดยใช้สมการพาราเมตริกของเส้นตรงด้วย แล = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

นั่นคือการฉายภาพจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) บนเครื่องบินจะเป็นจุดที่มีพิกัด - D A, y 1, z 1

ตัวอย่างที่ 2

มีความจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 (- 6, 0, 1 2) บนระนาบพิกัด O x y และบนระนาบ 2 y - 3 = 0

สารละลาย

ระนาบพิกัด O x y จะสอดคล้องกับสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของระนาบ z = 0 เส้นโครงของจุด M 1 ลงบนระนาบ z = 0 จะมีพิกัด (- 6, 0, 0)

สมการระนาบ 2 y - 3 = 0 สามารถเขียนเป็น y = 3 2 2 ตอนนี้เพียงเขียนพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 (- 6, 0, 1 2) ลงบนระนาบ y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

คำตอบ:(- 6 , 0 , 0) และ - 6 , 3 2 2 , 1 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ลองพิจารณาระนาบโปรไฟล์ของการฉายภาพ การฉายภาพบนระนาบตั้งฉากสองระนาบมักจะกำหนดตำแหน่งของร่างและทำให้สามารถทราบขนาดและรูปร่างที่แท้จริงได้ แต่มีบางครั้งที่การคาดการณ์สองครั้งไม่เพียงพอ จากนั้นจึงใช้การก่อสร้างเส้นโครงที่สาม

ระนาบการฉายภาพที่สามถูกวาดเพื่อให้ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพทั้งสองพร้อมกัน (รูปที่ 15) ระนาบที่สามมักเรียกว่า ประวัติโดยย่อ.

ในการก่อสร้างดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรงทั่วไปของระนาบแนวนอนและส่วนหน้า แกน เอ็กซ์ เส้นตรงร่วมของระนาบแนวนอนและระนาบโปรไฟล์ – แกน ที่ และเส้นตรงทั่วไปของระนาบส่วนหน้าและส่วนกำหนดค่าคือ แกน z . จุด เกี่ยวกับซึ่งอยู่ในระนาบทั้งสามนั้นเรียกว่าจุดกำเนิด

รูปที่ 15a แสดงจุด กและการคาดการณ์สามประการ การฉายภาพบนระนาบโปรไฟล์ ( ก) ถูกเรียก การฉายโปรไฟล์และแสดงถึง ก.

เพื่อให้ได้แผนภาพของจุด A ซึ่งประกอบด้วยสามเส้นโครง ก, ก, กจำเป็นต้องตัดรูปทรงสามเหลี่ยมที่เกิดจากระนาบทั้งหมดตามแนวแกน y (รูปที่ 15b) และรวมระนาบเหล่านี้เข้ากับระนาบของการฉายภาพด้านหน้า ระนาบแนวนอนจะต้องหมุนรอบแกน เอ็กซ์และระนาบโปรไฟล์จะเกี่ยวกับแกน zในทิศทางที่ระบุโดยลูกศรในรูปที่ 15

รูปที่ 16 แสดงตำแหน่งของเส้นโครง กและ กคะแนน กได้มาจากการรวมระนาบทั้งสามเข้ากับระนาบการวาด

จากผลของการตัด แกน y จะปรากฏในตำแหน่งที่แตกต่างกันสองตำแหน่งบนแผนภาพ บนระนาบแนวนอน (รูปที่ 16) จะใช้ตำแหน่งแนวตั้ง (ตั้งฉากกับแกน เอ็กซ์) และบนระนาบโปรไฟล์ – แนวนอน (ตั้งฉากกับแกน z).

มีการคาดการณ์สามแบบในรูปที่ 16 กและ กจุด A มีตำแหน่งที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดบนแผนภาพและอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่ชัดเจน:

กและ กควรอยู่บนเส้นแนวตั้งเดียวกันตั้งฉากกับแกนเสมอ เอ็กซ์;

กและ กควรอยู่บนเส้นตรงแนวนอนเส้นเดียวกันตั้งฉากกับแกนเสมอ z;

3) เมื่อดำเนินการผ่านการฉายภาพแนวนอนและเส้นตรงแนวนอนและผ่านการฉายภาพโปรไฟล์ ก– เส้นตรงแนวตั้ง เส้นตรงที่สร้างขึ้นจะต้องตัดกันบนเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างแกนฉาย เนื่องจากรูป โอ้ที่ ก 0 ก n – สี่เหลี่ยม

เมื่อสร้างการฉายภาพสามจุด คุณต้องตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขทั้งสามประการสำหรับแต่ละจุดหรือไม่

พิกัดจุด

ตำแหน่งของจุดในอวกาศสามารถกำหนดได้โดยใช้ตัวเลขสามตัวที่เรียกว่าจุดนั้น พิกัด. แต่ละพิกัดสอดคล้องกับระยะห่างของจุดจากระนาบการฉายภาพบางจุด

ระยะทางจุดที่กำหนด กไปที่ระนาบโปรไฟล์คือพิกัด เอ็กซ์ในที่นั้น เอ็กซ์ = ก(รูปที่ 15) ระยะห่างจากระนาบส่วนหน้าคือพิกัด y และ y = เอเอและระยะทางถึงระนาบแนวนอนคือพิกัด zในที่นั้น z = เอเอ.

ในรูปที่ 15 จุด A ครอบครองความกว้างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และการวัดของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้สอดคล้องกับพิกัดของจุดนี้ กล่าวคือ แต่ละพิกัดจะแสดงในรูปที่ 15 สี่ครั้ง กล่าวคือ:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = а x а = а z а˝;

z = aA = Oa z = a x á = a y a˝

ในแผนภาพ (รูปที่ 16) พิกัด x และ z ปรากฏขึ้นสามครั้ง:

x = a z a ́= Oa x = a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝

ทุกส่วนที่สอดคล้องกับพิกัด เอ็กซ์(หรือ z) ขนานกัน ประสานงาน ที่แสดงสองครั้งด้วยแกนที่อยู่ในแนวตั้ง:

y = โอ้ y = a x a

และสองครั้ง - ตั้งอยู่ในแนวนอน:

y = โอ้ y = a z a˝

ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นเนื่องจากมีแกน y อยู่บนแผนภาพในตำแหน่งที่แตกต่างกันสองตำแหน่ง

ควรคำนึงว่าตำแหน่งของแต่ละเส้นโครงถูกกำหนดบนไดอะแกรมโดยพิกัดเพียงสองพิกัดเท่านั้น ได้แก่:

1) แนวนอน – พิกัด เอ็กซ์และ ที่,

2) หน้าผาก – พิกัด xและ z,

3) โปรไฟล์ – พิกัด ที่และ z.

การใช้พิกัด เอ็กซ์, ยและ zคุณสามารถสร้างเส้นโครงของจุดบนไดอะแกรมได้

หากกำหนดจุด A ตามพิกัด การบันทึกจะถูกกำหนดดังนี้: A ( เอ็กซ์; ใช่; z).

เมื่อสร้างการฉายภาพแบบจุด กต้องตรวจสอบเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) การฉายภาพแนวนอนและด้านหน้า กและ ก เอ็กซ์ เอ็กซ์;

2) การฉายภาพด้านหน้าและโปรไฟล์ กและ กจะต้องอยู่ในแนวตั้งฉากกับแกนเดียวกัน zเนื่องจากมีพิกัดร่วมกัน z;

3) การฉายภาพแนวนอนและลบออกจากแกนด้วย เอ็กซ์เช่นการฉายภาพโปรไฟล์ กห่างจากแกน zเนื่องจากเส้นโครง á และ a˝ มีพิกัดร่วมกัน ที่.

หากจุดใดจุดหนึ่งอยู่ในระนาบการฉายภาพ พิกัดจุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์

เมื่อจุดหนึ่งอยู่บนแกนฉายภาพ พิกัดสองจุดจะเท่ากับศูนย์

หากจุดหนึ่งอยู่ที่จุดเริ่มต้น พิกัดทั้งสามจะเป็นศูนย์

การฉายเส้น

ในการกำหนดเส้นตรง จำเป็นต้องมีจุดสองจุด จุดถูกกำหนดโดยการฉายสองจุดบนระนาบแนวนอนและระนาบส่วนหน้า นั่นคือ เส้นตรงถูกกำหนดโดยใช้การฉายภาพสองจุดบนระนาบแนวนอนและส่วนหน้า

รูปที่ 17 แสดงการคาดการณ์ ( กและ ก, ขและ ข) สองจุด กและ B. ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ตำแหน่งของเส้นหนึ่งจะถูกกำหนด เอบี. เมื่อเชื่อมต่อเส้นโครงของจุดเหล่านี้ด้วยชื่อเดียวกัน (เช่น กและ ข, กและ ข) สามารถรับการคาดการณ์ได้ เกี่ยวกับและ เกี่ยวกับเอบีตรง

รูปที่ 18 แสดงเส้นโครงของทั้งสองจุด และรูปที่ 19 แสดงเส้นโครงของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านั้น

หากเส้นโครงของเส้นถูกกำหนดโดยเส้นโครงของจุดสองจุด ก็จะถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละตินสองด้านเคียงข้างกันซึ่งสอดคล้องกับการกำหนดเส้นโครงของจุดที่อยู่บนเส้น: โดยมีจังหวะเพื่อระบุการฉายภาพด้านหน้าของ เส้นหรือไม่มีเส้นสำหรับการฉายภาพแนวนอน

หากเราไม่ได้พิจารณาจุดแต่ละจุดของเส้น แต่พิจารณาการคาดการณ์โดยรวม การคาดการณ์เหล่านี้จะถูกกำหนดด้วยตัวเลข

ถ้าจุดใดจุดหนึ่ง กับอยู่บนเส้นตรง เอบีเส้นโครง с และ с́ อยู่บนเส้นโครงเดียวกัน เกี่ยวกับและ เกี่ยวกับ. สถานการณ์นี้แสดงไว้ในรูปที่ 19

ร่องรอยของเส้นตรง

เส้นทางเป็นทางตรง- นี่คือจุดตัดกับระนาบหรือพื้นผิวที่แน่นอน (รูปที่ 20)

ร่องรอยแนวนอนของเส้นตรงบางจุดเรียกว่า ชมโดยที่เส้นตรงบรรจบกับระนาบแนวนอน และ หน้าผาก- จุด วีซึ่งเส้นตรงนี้บรรจบกับระนาบส่วนหน้า (รูปที่ 20)

รูปที่ 21a แสดงร่องรอยแนวนอนของเส้นตรง และร่องรอยด้านหน้าแสดงในรูปที่ 21b

บางครั้งก็มีการพิจารณาร่องรอยโปรไฟล์ของเส้นตรงด้วย ว– จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบโปรไฟล์

การติดตามแนวนอนอยู่ในระนาบแนวนอน เช่น การฉายภาพในแนวนอน ชม.เกิดขึ้นพร้อมกับร่องรอยนี้และหน้าผาก ชมอยู่บนแกน x ร่องรอยด้านหน้าอยู่ในระนาบส่วนหน้า ดังนั้นการฉายภาพด้านหน้า ν́ จึงเกิดขึ้นพร้อมกัน และการฉายภาพแนวนอน v อยู่บนแกน x

ดังนั้น, ชม = ชม., และ วี= ν́. ดังนั้นในการกำหนดร่องรอยของเส้นตรงจึงสามารถใช้ตัวอักษรได้ ชม.และ ν́

ตำแหน่งตรงต่างๆ

เรียกว่าโดยตรง ตำแหน่งทั่วไปถ้ามันไม่ขนานหรือตั้งฉากกับระนาบฉายใดๆ เส้นโครงของเส้นตรงในตำแหน่งทั่วไปก็ไม่ขนานกันและไม่ตั้งฉากกับแกนของเส้นโครงเช่นกัน

เส้นตรงที่ขนานกับระนาบฉายภาพด้านใดด้านหนึ่ง (ตั้งฉากกับแกนด้านใดด้านหนึ่ง)รูปที่ 22 แสดงเส้นตรงที่ขนานกับระนาบแนวนอน (ตั้งฉากกับแกน z) - เส้นตรงแนวนอน รูปที่ 23 แสดงเส้นตรงที่ขนานกับระนาบส่วนหน้า (ตั้งฉากกับแกน ที่), – เส้นตรงหน้าผาก; รูปที่ 24 แสดงเส้นตรงที่ขนานกับระนาบโปรไฟล์ (ตั้งฉากกับแกน เอ็กซ์) – เส้นตรงของโปรไฟล์ แม้ว่าเส้นเหล่านี้แต่ละเส้นจะสร้างมุมฉากกับแกนใดแกนหนึ่ง แต่พวกมันไม่ได้ตัดกัน แต่จะตัดกับมันเท่านั้น

เนื่องจากความจริงที่ว่าเส้นตรงแนวนอน (รูปที่ 22) ขนานกับระนาบแนวนอน การฉายภาพด้านหน้าและโปรไฟล์จะขนานกับแกนที่กำหนดระนาบแนวนอน เช่น แกน เอ็กซ์และ ที่. ดังนั้นการคาดการณ์ ab́|| เอ็กซ์และ a˝b˝|| ที่ z. เส้นโครงแนวนอน ab สามารถใช้ตำแหน่งใดก็ได้บนแผนภาพ

ที่แนวเส้นตรงด้านหน้า (รูปที่ 23) การฉายภาพ เกี่ยวกับ|| x และ a˝b˝ || zกล่าวคือตั้งฉากกับแกน ที่และในกรณีนี้คือ การฉายภาพด้านหน้า เกี่ยวกับเส้นตรงสามารถเข้ารับตำแหน่งใดก็ได้

ที่โปรไฟล์ เส้นตรง (รูปที่ 24) เกี่ยวกับ|| ใช่แล้ว|| zและทั้งคู่ตั้งฉากกับแกน x การฉายภาพ a˝b˝สามารถวางบนไดอะแกรมได้ทุกวิธี

เมื่อพิจารณาระนาบที่ฉายเส้นตรงแนวนอนไปยังระนาบส่วนหน้า (รูปที่ 22) คุณจะสังเกตได้ว่าเครื่องบินฉายเส้นตรงนี้ไปยังระนาบโปรไฟล์ กล่าวคือ เป็นระนาบที่ฉายเส้นตรงไปยังระนาบฉายภาพสองระนาบพร้อมกัน - หน้าผากและโปรไฟล์ ตามนี้จึงเรียกว่า เครื่องบินฉายคู่. ในทำนองเดียวกันสำหรับเส้นตรงด้านหน้า (รูปที่ 23) ระนาบที่ฉายภาพสองครั้งจะฉายมันลงบนระนาบของการฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์และสำหรับเส้นโปรไฟล์ (รูปที่ 23) - บนระนาบแนวนอนและหน้าผาก การคาดการณ์

เส้นโครงทั้งสองไม่สามารถกำหนดเส้นตรงได้ สองการคาดการณ์ 1 และ 1เส้นโปรไฟล์ (รูปที่ 25) โดยไม่ระบุการฉายภาพสองจุดของเส้นนี้จะไม่กำหนดตำแหน่งของเส้นนี้ในอวกาศ

ในระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบสมมาตรสองระนาบที่กำหนด การมีอยู่ของเส้นตรงจำนวนอนันต์เป็นไปได้ โดยข้อมูลในแผนภาพ 1 และ 1เป็นการคาดการณ์ของพวกเขา

หากจุดอยู่บนเส้นตรง ดังนั้นเส้นโครงในทุกกรณีจะอยู่บนเส้นโครงเดียวกัน สถานการณ์ตรงกันข้ามอาจไม่เป็นจริงเสมอไปสำหรับเส้นตรงของโปรไฟล์ ในการฉายภาพคุณสามารถระบุการฉายภาพของจุดใดจุดหนึ่งโดยพลการและไม่แน่ใจว่าจุดนี้อยู่บนเส้นนี้

ในกรณีพิเศษทั้งสามกรณี (รูปที่ 22, 23 และ 24) ตำแหน่งของเส้นตรงที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพเป็นส่วนที่กำหนดเองของมัน เอบีซึ่งถ่ายบนเส้นตรงแต่ละเส้นจะถูกฉายลงบนระนาบการฉายภาพใดระนาบหนึ่งโดยไม่มีการบิดเบือน กล่าวคือ บนระนาบที่ระนาบนั้นขนานกัน ส่วนของเส้น เอบีเส้นตรงแนวนอน (รูปที่ 22) ให้การฉายภาพขนาดเต็มบนระนาบแนวนอน ( เกี่ยวกับ = เอบี); ส่วนของเส้น เอบีเส้นตรงด้านหน้า (รูปที่ 23) - ขนาดเต็มบนระนาบของระนาบส่วนหน้า V ( ab́ = เอบี) และเซ็กเมนต์ เอบีโปรไฟล์แบบตรง (รูปที่ 24) – ในขนาดเต็มบนระนาบโปรไฟล์ ว (a˝b˝= AB) เช่น ดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่จะวัดขนาดที่แท้จริงของส่วนในรูปวาด

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การใช้ไดอะแกรมทำให้คุณสามารถกำหนดขนาดตามธรรมชาติของมุมที่เส้นตรงนั้นก่อตัวขึ้นพร้อมกับระนาบการฉายภาพได้

มุมที่เส้นตรงทำกับระนาบแนวนอน เอ็นโดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษร α โดยมีระนาบส่วนหน้า - ด้วยตัวอักษร β โดยมีระนาบโปรไฟล์ - ด้วยตัวอักษร γ

เส้นตรงใดๆ ที่พิจารณาไม่มีร่องรอยบนระนาบขนานกับมัน เช่น เส้นตรงแนวนอนไม่มีเส้นแนวนอน (รูปที่ 22) เส้นตรงด้านหน้าไม่มีเส้นตรงด้านหน้า (รูปที่ 23) และโปรไฟล์เส้นตรง line ไม่มีการติดตามโปรไฟล์ (รูปที่ 24 )

จุดตามแนวคิดทางคณิตศาสตร์ไม่มีมิติ แน่นอนว่า หากวัตถุของการฉายภาพเป็นวัตถุที่มีมิติเป็นศูนย์ การพูดถึงการฉายภาพก็ไม่มีความหมาย

รูปที่ 9 รูปที่ 10

ในเรขาคณิต ขอแนะนำให้พิจารณาจุดเป็นวัตถุทางกายภาพที่มีมิติเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้ว ลูกบอลที่มีรัศมีไม่สิ้นสุดสามารถถือเป็นจุดหนึ่งได้ ด้วยการตีความแนวคิดของประเด็นนี้ เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการคาดการณ์ของมันได้

เมื่อสร้างเส้นโครงมุมฉากของจุดหนึ่ง ควรได้รับคำแนะนำจากคุณสมบัติไม่แปรเปลี่ยนแรกของเส้นโครงมุมฉาก: เส้นโครงมุมฉากของจุดคือจุด

ตำแหน่งของจุดในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดสามประการ: X, Y, Z,แสดงระยะทางที่จุดหนึ่งถูกลบออกจากระนาบการฉายภาพ ในการกำหนดระยะทางเหล่านี้ ก็เพียงพอที่จะกำหนดจุดนัดพบของเส้นตรงเหล่านี้ด้วยระนาบการฉายภาพและวัดปริมาณที่สอดคล้องกันซึ่งจะระบุค่า abscissa ตามนั้น เอ็กซ์, กำหนด ยและการใช้นิ้ว ซีจุด (รูปที่ 10)

เส้นโครงของจุดคือฐานของเส้นตั้งฉากที่ดึงจากจุดนั้นไปยังระนาบการฉายภาพที่สอดคล้องกัน การฉายภาพแนวนอนคะแนน กเรียกว่าการฉายภาพมุมฉากของจุดบนระนาบการฉายภาพแนวนอน การฉายภาพด้านหน้า a /– ตามลำดับบนระนาบส่วนหน้าของเส้นโครงและ โปรไฟล์ // –บนระนาบโปรไฟล์ของการฉายภาพ

โดยตรง อา อา อา /และ อ่า //เรียกว่าเส้นฉาย ขณะเดียวกันก็ตรง อา,จุดที่ฉาย กบนระนาบแนวนอนของเส้นโครงเรียกว่า ฉายเป็นเส้นตรงแนวนอน Aa /และ อ่า //- ตามลำดับ: ข้างหน้าและ เส้นฉายโปรไฟล์

เส้นฉายสองเส้นผ่านจุดหนึ่ง กกำหนดระนาบซึ่งโดยปกติจะเรียกว่า กำลังฉาย

เมื่อเปลี่ยนเค้าโครงเชิงพื้นที่การฉายภาพด้านหน้าของจุด เอ-เอ /ยังคงอยู่ในตำแหน่งที่เป็นของเครื่องบินที่ไม่เปลี่ยนตำแหน่งระหว่างการเปลี่ยนแปลงที่กำลังพิจารณา การฉายภาพแนวนอน – กร่วมกับระนาบการฉายแนวนอนจะหมุนตามทิศทางการเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกาและจะอยู่ในแนวตั้งฉากเดียวกันกับแกน เอ็กซ์ด้วยการฉายภาพด้านหน้า การฉายโปรไฟล์ - ก //จะหมุนไปพร้อมกับระนาบโปรไฟล์และเมื่อสิ้นสุดการเปลี่ยนแปลงจะเข้ารับตำแหน่งที่ระบุในรูปที่ 10 ในกรณีนี้ - ก //จะอยู่ในแนวตั้งฉากกับแกน ซีดึงมาจากจุด เอ /และจะถูกลบออกจากแกน ซีให้มีระยะห่างเท่ากับการฉายภาพในแนวนอน กห่างจากแกน เอ็กซ์. ดังนั้น การเชื่อมโยงระหว่างการฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์ของจุดหนึ่งๆ จึงสามารถสร้างได้โดยใช้ส่วนที่ตั้งฉากสองส่วน อ๋อ.และ ใช่แล้ว //และส่วนโค้งของวงกลมเชื่อมเข้ากับจุดศูนย์กลางตรงจุดตัดของแกน ( เกี่ยวกับ- ต้นทาง). การเชื่อมต่อที่ทำเครื่องหมายไว้ใช้เพื่อค้นหาเส้นโครงที่ขาดหายไป (ได้รับสองอัน) ตำแหน่งของการฉายโปรไฟล์ (แนวนอน) ตามแนวนอน (โปรไฟล์) และการฉายภาพด้านหน้าที่กำหนดสามารถพบได้โดยใช้เส้นตรงที่วาดที่มุม 45 0 จากจุดเริ่มต้นถึงแกน ย(เส้นแบ่งครึ่งนี้เรียกว่าเส้นตรง เค– ค่าคงที่ Monge) วิธีแรกเป็นวิธีที่ดีกว่าเนื่องจากมีความแม่นยำมากกว่า

ดังนั้น:

1. ลบจุดในอวกาศ:

จากระนาบแนวนอน ชม ซี,

จากระนาบส่วนหน้า วีตามค่าของพิกัดที่กำหนด ใช่

จากระนาบโปรไฟล์ วโดยค่าพิกัด เอ็กซ์

2. เส้นโครงสองจุดของจุดใด ๆ อยู่ในแนวตั้งฉากเดียวกัน (เส้นเชื่อมต่อหนึ่งเส้น):

แนวนอนและหน้าผาก – ตั้งฉากกับแกน เอ็กซ์,

แนวนอนและโปรไฟล์ – ตั้งฉากกับแกน Y

หน้าผากและโปรไฟล์ - ตั้งฉากกับแกน Z

3. ตำแหน่งของจุดในอวกาศถูกกำหนดโดยตำแหน่งของเส้นโครงมุมฉากทั้งสองของมัน ดังนั้น - การใช้เส้นโครงมุมฉากของจุดใดจุดหนึ่งใดๆ จะทำให้สามารถสร้างเส้นโครงที่สามที่ขาดหายไปได้เสมอ

หากจุดหนึ่งมีพิกัดเฉพาะสามจุด จุดดังกล่าวจะถูกเรียก จุดตำแหน่งทั่วไปหากจุดหนึ่งหรือสองพิกัดที่มีค่าเป็นศูนย์ จุดดังกล่าวจะถูกเรียก จุดส่วนตัว

ข้าว. 11 รูปที่. 12

รูปที่ 11 แสดงการวาดเชิงพื้นที่ของจุดต่างๆ ของตำแหน่งเฉพาะ และรูปที่ 12 แสดงการวาดแบบที่ซับซ้อน (แผนภาพ) ของจุดเหล่านี้ จุด กอยู่ในระนาบส่วนหน้าของการฉายภาพ จุด ใน– ระนาบการฉายภาพแนวนอน, จุด กับ– ระนาบการฉายโปรไฟล์และจุด ดี– แกน x ( เอ็กซ์).

การฉายภาพจุดบนระนาบสามระนาบของการฉายภาพมุมที่ประสานกันเริ่มต้นด้วยการได้ภาพบนระนาบ H ซึ่งเป็นระนาบการฉายภาพแนวนอน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลำแสงฉายจะถูกส่งผ่านจุด A (รูปที่ 4.12, a) ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ H

ในรูป ตั้งฉากกับระนาบ H ขนานกับแกนออนซ์ จุดตัดของลำแสงกับระนาบ H (จุด a) ถูกเลือกโดยพลการ ส่วน Aa เป็นตัวกำหนดว่าจุด A อยู่ห่างจากระนาบ H เท่าใด จึงระบุตำแหน่งของจุด A อย่างชัดเจนโดยสัมพันธ์กับระนาบฉายภาพ จุด a เป็นการฉายภาพสี่เหลี่ยมของจุด A บนระนาบ H และเรียกว่าการฉายภาพแนวนอนของจุด A (รูปที่ 4.12, a)

เพื่อให้ได้ภาพของจุด A บนระนาบ V (รูปที่ 4.12,b) ลำแสงฉายจะถูกส่งผ่านจุด A ซึ่งตั้งฉากกับระนาบส่วนหน้าของเส้นโครง V ในภาพ ตั้งฉากกับระนาบ V จะขนานกับแกน Oy . บนระนาบ H ระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ V จะแสดงด้วยส่วน aa x ซึ่งขนานกับแกน Oy และตั้งฉากกับแกน Ox ถ้าเราจินตนาการว่ารังสีที่ฉายและภาพของมันถูกดำเนินการพร้อมกันในทิศทางของระนาบ V ดังนั้นเมื่อภาพของรังสีตัดกับแกน Ox ที่จุด a x รังสีจะตัดกันระนาบ V ที่จุด a" การวาดภาพ จากจุด x ในระนาบ V ตั้งฉากกับแกน Ox ซึ่งเป็นภาพของรังสีที่ฉาย Aa บนระนาบ V ที่จุดตัดกับรังสีที่ฉาย จะได้จุด a" จุด a" คือการฉายภาพด้านหน้าของจุด A เช่น รูปภาพบนระนาบ V

ภาพของจุด A บนระนาบการฉายโปรไฟล์ (รูปที่ 4.12, c) ถูกสร้างขึ้นโดยใช้ลำแสงฉายที่ตั้งฉากกับระนาบ W ในรูป ตั้งฉากกับระนาบ W จะขนานกับแกน Ox รังสีที่ฉายจากจุด A ถึงระนาบ W บนระนาบ H จะแสดงด้วยส่วน aa y ซึ่งขนานกับแกน Ox และตั้งฉากกับแกน Oy จากจุด Oy ขนานกับแกน Oz และตั้งฉากกับแกน Oy รูปภาพของรังสีที่ฉาย aA จะถูกสร้างขึ้น และที่จุดตัดกับรังสีที่ฉาย จะได้จุด a" จุด a" คือการฉายภาพโปรไฟล์ของจุด A นั่นคือภาพของจุด A บนระนาบ W

จุด a" สามารถสร้างขึ้นได้โดยการวาดส่วน a"az จากจุด a" (ภาพของรังสีที่ฉาย Aa" บนระนาบ V) ขนานกับแกน Ox และจากจุด a z - ส่วน a"az ขนานกับ Oy แกนจนกระทั่งตัดกับรังสีที่ฉาย

เมื่อได้รับการฉายภาพจุด A สามครั้งบนระนาบการฉาย มุมพิกัดจะถูกขยายเป็นระนาบเดียว ดังแสดงในรูป 4.11,b พร้อมกับเส้นโครงของจุด A และรังสีที่ฉาย และจุด A และรังสีที่ฉาย Aa, Aa" และ Aa" จะถูกลบออก ขอบของระนาบการฉายภาพแบบรวมจะไม่ถูกวาด แต่จะวาดเฉพาะแกนฉายภาพ Oz, Oy และ Ox, Oy 1 เท่านั้น (รูปที่ 4.13)

การวิเคราะห์การวาดจุดตั้งฉากของจุดแสดงให้เห็นว่าสามระยะทาง - Aa", Aa และ Aa" (รูปที่ 4.12, c) ซึ่งกำหนดลักษณะของจุด A ในอวกาศสามารถกำหนดได้โดยการทิ้งวัตถุที่ฉายภาพเอง - จุด A ในมุมพิกัดกลายเป็นระนาบเดียว (รูปที่ 4.13) ส่วน a"az, aa y และ Oa x เท่ากับ Aa" เป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (รูปที่ 4.12c และ 4.13) กำหนดระยะห่างที่จุด A อยู่ห่างจากระนาบการฉายภาพ ส่วน a"a x, a"a y1 และ Oa y เท่ากับส่วน Aa ซึ่งกำหนดระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบการฉายภาพแนวนอน ส่วน aa x, a"a z และ Oa y 1 เท่ากับส่วน Aa " ซึ่งกำหนดระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบส่วนหน้าของเส้นโครง

ส่วน Oa x, Oa y และ Oa z ซึ่งอยู่บนแกนฉายภาพเป็นการแสดงออกทางกราฟิกของขนาดของพิกัด X, Y และ Z ของจุด A พิกัดของจุดจะถูกระบุด้วยดัชนีของตัวอักษรที่เกี่ยวข้อง . ด้วยการวัดขนาดของส่วนเหล่านี้ คุณสามารถกำหนดตำแหน่งของจุดในอวกาศได้ เช่น กำหนดพิกัดของจุด

บนแผนภาพ เซ็กเมนต์ a"a x และ aa x อยู่ในตำแหน่งหนึ่งบรรทัดที่ตั้งฉากกับแกน Ox และเซ็กเมนต์ a"a z และ a"a z - ไปยังแกน Oz เส้นเหล่านี้เรียกว่าเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพ เส้นเหล่านี้ตัดกัน แกนฉายที่จุดขวานและ z ตามลำดับ เส้นเชื่อมต่อการฉายภาพซึ่งเชื่อมต่อการฉายภาพแนวนอนของจุด A กับโปรไฟล์อันหนึ่งกลายเป็น "ตัด" ที่จุด y

เส้นโครงสองอันที่จุดเดียวกันจะอยู่บนเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพเดียวกันเสมอ ซึ่งตั้งฉากกับแกนของเส้นโครง

เพื่อแสดงตำแหน่งของจุดในอวกาศ เส้นโครงสองเส้นและจุดกำเนิดที่กำหนด (จุด O) ก็เพียงพอแล้ว ในรูป 4.14, b เส้นโครงสองจุดของจุดหนึ่งกำหนดตำแหน่งในอวกาศโดยสมบูรณ์ การใช้เส้นโครงทั้งสองนี้ สามารถสร้างเส้นโครงโปรไฟล์ของจุด A ได้ ดังนั้น ในอนาคต หากไม่จำเป็นต้องมีเส้นโครงโปรไฟล์ แผนภาพจะ สร้างขึ้นบนระนาบฉายภาพ 2 ระนาบ: V และ H

ข้าว. 4.14. ข้าว. 4.15.

ลองดูตัวอย่างการสร้างและอ่านแบบจุดต่างๆ

ตัวอย่างที่ 1การกำหนดพิกัดของจุด J ที่ระบุบนแผนภาพในสองเส้นโครง (รูปที่ 4.14) มีการวัดสามส่วน: ส่วน OB X (พิกัด X), ส่วน b X b (พิกัด Y) และส่วน b X b" (พิกัด Z) พิกัดจะถูกเขียนตามลำดับต่อไปนี้: X, Y และ Z หลังตัวอักษร การกำหนดจุดเช่น , B20; 30; 15.

ตัวอย่างที่ 2. การสร้างจุดที่พิกัดที่กำหนด จุด C กำหนดโดยพิกัด C30 10; 40. บนแกน Ox (รูปที่ 4.15) ค้นหาจุด c x ที่เส้นเชื่อมต่อการฉายภาพตัดกับแกนการฉายภาพ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ พิกัด X (ขนาด 30) จะถูกพล็อตตามแกน Ox จากจุดกำเนิด (จุด O) และได้รับจุดที่มี x เส้นเชื่อมต่อการฉายภาพถูกลากผ่านจุดนี้ตั้งฉากกับแกน Ox และวางพิกัด Y (ขนาด 10) จากจุด จะได้จุด c - การฉายภาพแนวนอนของจุด C พิกัด Z (ขนาด 40) คือ วางจากจุด c x ตามแนวเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพ จะได้จุด c" - การฉายภาพด้านหน้าของจุด C

ตัวอย่างที่ 3. การสร้างโปรไฟล์การฉายภาพจุดโดยใช้การฉายภาพที่กำหนด เส้นโครงของจุด D จะได้รับ - d และ d" ผ่านจุด O แกนฉายภาพ Oz, Oy และОу 1 จะถูกวาดขึ้น (รูปที่ 4.16, a) ในการสร้างเส้นโครงโปรไฟล์ของจุด D จุด d" ซึ่งเป็นเส้นโครง เส้นเชื่อมต่อถูกลากตั้งฉากกับแกน Oz และลากต่อไปทางขวาด้านหลังแกน Oz การฉายโปรไฟล์ของจุด D จะอยู่บนบรรทัดนี้ มันจะอยู่ที่ระยะทางเดียวกันกับแกน Oz กับการฉายภาพแนวนอนของจุด d: จากแกน Ox เช่น ที่ระยะทาง dd x ส่วน d z d" และ dd x เท่ากัน เนื่องจากกำหนดระยะทางเท่ากัน นั่นคือระยะห่างจากจุด D ถึงระนาบส่วนหน้าของเส้นโครง ระยะนี้คือพิกัด Y ของจุด D

ในเชิงกราฟิก ส่วน d z d" ถูกสร้างขึ้นโดยการถ่ายโอนส่วน dd x จากระนาบแนวนอนของการฉายภาพไปยังโปรไฟล์ 1 เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้วาดเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพขนานกับแกน Ox รับจุด d y บนแกน Oy ( รูปที่ 4.16, b) จากนั้นถ่ายโอนขนาดของส่วน Od y ไปยังแกน Oy 1 โดยการวาดส่วนโค้งจากจุด O ด้วยรัศมีเท่ากับส่วน Od y ไปยังจุดตัดด้วยแกน Oy 1 (รูปที่ 4.16 , b) เราได้จุด dy 1 จุดนี้สามารถสร้างได้เช่นกัน ดังแสดงในรูปที่ 4.16, c โดยการวาดเส้นตรงที่มุม 45° ถึงแกน Oy จากจุด dy y จากจุด d y1 วาดเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพขนานกับแกนออนซ์และวางส่วนที่เท่ากับส่วน d"d x เพื่อให้ได้จุด d"

การถ่ายโอนค่าของส่วน d x d ไปยังระนาบโปรไฟล์ของการฉายภาพสามารถทำได้โดยใช้เส้นตรงคงที่ของการวาดภาพ (รูปที่ 4.16, d) ในกรณีนี้ เส้นเชื่อมต่อการฉายภาพ dd y จะถูกลากผ่านการฉายภาพแนวนอนของจุดที่ขนานกับแกน Oy 1 จนกระทั่งตัดกับเส้นตรงคงที่ จากนั้นขนานกับแกน Oy จนกระทั่งตัดกับความต่อเนื่องของการฉายภาพ สายเชื่อมต่อ d"d z.

กรณีพิเศษของตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ

ตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพถูกกำหนดโดยพิกัดที่สอดคล้องกัน เช่น ขนาดของส่วนของเส้นเชื่อมต่อการฉายภาพจากแกน Ox ไปยังเส้นโครงที่สอดคล้องกัน ในรูป 4.17 พิกัด Y ของจุด A ถูกกำหนดโดยส่วน aa x - ระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ V พิกัด Z ของจุด A ถูกกำหนดโดยส่วน a "a x - ระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ H ถ้ามี ของพิกัดเป็นศูนย์แล้วจุดจะอยู่บนระนาบการฉายภาพ รูปที่ 4.17 แสดงตัวอย่างตำแหน่งต่างๆ ของจุดสัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ พิกัด Z ของจุด B เป็นศูนย์ จุดอยู่ในระนาบ H การฉายภาพด้านหน้าคือ บนแกน Ox และเกิดขึ้นพร้อมกับจุด b x พิกัด Y ของจุด C เป็นศูนย์ จุดนั้นตั้งอยู่บนระนาบ V การฉายภาพแนวนอน c อยู่บนแกน Ox และเกิดขึ้นพร้อมกับจุด c x

ดังนั้น หากจุดหนึ่งอยู่บนระนาบการฉายภาพ หนึ่งในการฉายภาพของจุดนี้ก็จะอยู่บนแกนฉายภาพ

ในรูป ในแผนภูมิ 4.17 พิกัด Z และ Y ของจุด D เท่ากับศูนย์ ดังนั้น จุด D จึงตั้งอยู่บนแกนฉาย Ox และเส้นโครงทั้งสองจุดตรงกัน

เครื่องฉายภาพ

เครื่องฉายภาพ (รูปที่ 1) ประกอบด้วยระนาบการฉายภาพสามแบบ:

พาย 1 –เครื่องบินฉายแนวนอน

พาย 2 –ระนาบหน้าผากของการฉายภาพ

พาย 3– เครื่องบินฉายโปรไฟล์ .

ระนาบการฉายภาพตั้งฉากกัน ( พาย 1^ พาย 2^ พาย 3) และเส้นตัดกันเป็นแกน:

จุดตัดของเครื่องบิน พาย 1และ พาย 2สร้างแกน 0X (พาย 1∩ พาย 2 = 0X);

จุดตัดของเครื่องบิน พาย 1และ พาย 3สร้างแกน 0ป (พาย 1∩ พาย 3 = 0ป);

จุดตัดของเครื่องบิน พาย 2และ พาย 3สร้างแกน 0Z (พาย 2∩ พาย 3 = 0Z).

จุดตัดของแกน (OX∩OY∩OZ=0) ถือเป็นจุดเริ่มต้น (จุดที่ 0)

เนื่องจากระนาบและแกนตั้งฉากกัน อุปกรณ์ดังกล่าวจึงคล้ายกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

เครื่องบินฉายแบ่งพื้นที่ทั้งหมดออกเป็นแปดออคแทนต์ (ในรูปที่ 1 ระบุด้วยเลขโรมัน) ระนาบการฉายภาพถือว่าทึบแสง และผู้ชมจะอยู่ในนั้นเสมอ ฉัน-ต.ค.

การฉายภาพมุมฉากพร้อมศูนย์การฉายภาพ ส 1, เอส 2และ ส 3ตามลำดับสำหรับระนาบการฉายภาพแนวนอน หน้าผาก และโปรไฟล์

ก.

จากศูนย์ฉายภาพ ส 1, เอส 2และ ส 3รังสีที่ฉายออกมา ล. 1, ลิตร 2และ ลิตร 3 ก

- เอ 1 ก;

- เอ 2– การฉายภาพด้านหน้าของจุด ก;

- เอ 3– การฉายโปรไฟล์ของจุด ก.

จุดในอวกาศมีลักษณะเฉพาะด้วยพิกัดของมัน ก(x,y,z). คะแนน เอกซ์, เอ ยและ AZตามลำดับบนแกน 0X, 0ปและ 0Zแสดงพิกัด เอ็กซ์, ยและ zคะแนน ก. ในรูป 1 ให้สัญลักษณ์ที่จำเป็นทั้งหมดและแสดงความเชื่อมโยงระหว่างจุดนั้น กพื้นที่ การฉายภาพ และพิกัด

แผนภาพจุด

เพื่อให้ได้โครงประเด็น ก(รูปที่ 2) ในเครื่องฉายภาพ (รูปที่ 1) ของเครื่องบิน พาย 1 เอ 1 0X พาย 2. แล้วเครื่องบิน พาย 3ด้วยการฉายภาพแบบจุด เอ 3ให้หมุนทวนเข็มนาฬิการอบแกน 0Zจนกระทั่งมันอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ พาย 2. ทิศทางการหมุนของระนาบ พาย 2และ พาย 3แสดงในรูปที่. ลูกศร 1 อัน ขณะเดียวกันก็ตรง ก 1 ก xและ เอ 2 เอ x 0Xตั้งฉาก เอ 1 เอ 2และเส้นตรง เอ 2 เอ xและ เอ 3 เอ xจะอยู่บนแกนร่วม 0Zตั้งฉาก ก 2 ก 3. ต่อไปนี้เราจะเรียกบรรทัดเหล่านี้ตามลำดับ แนวตั้ง และ แนวนอน สายการสื่อสาร

ควรสังเกตว่าเมื่อย้ายจากเครื่องฉายภาพไปยังแผนภาพวัตถุที่ฉายภาพจะหายไป แต่ข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับรูปร่างขนาดทางเรขาคณิตและตำแหน่งในอวกาศจะถูกเก็บรักษาไว้

ก(x ก , ย ก , z กx ก , ย กและ แซด เอตามลำดับต่อไปนี้ (รูปที่ 2) ลำดับนี้เรียกว่าวิธีการสร้างแผนภาพจุด

1. ลากแกนตั้งฉาก อ็อกซ์, ออยและ ออนซ์.

2. บนแกน วัว เอ็กซ์เอคะแนน กและรับตำแหน่งของจุด เอกซ์.

3.ผ่านจุด เอกซ์ตั้งฉากกับแกน วัว

เอกซ์ตามแนวแกน โอ้ค่าตัวเลขของพิกัดถูกพล็อต คุณเอคะแนน ก เอ 1บนแผนภาพ

เอกซ์ตามแนวแกน ออนซ์ค่าตัวเลขของพิกัดถูกพล็อต ซาคะแนน ก เอ 2บนแผนภาพ

6.ผ่านจุด เอ 2ขนานกับแกน วัวมีการวาดเส้นสื่อสารแนวนอน จุดตัดของเส้นนี้กับแกน ออนซ์จะให้ตำแหน่งของจุด AZ.

7. บนสายสื่อสารแนวนอนจากจุดหนึ่ง AZตามแนวแกน โอ้ค่าตัวเลขของพิกัดถูกพล็อต คุณเอคะแนน กและกำหนดตำแหน่งของเส้นโครงโปรไฟล์ของจุดนั้น เอ 3บนแผนภาพ

ลักษณะของจุด

ทุกจุดในอวกาศแบ่งออกเป็นจุดเฉพาะและตำแหน่งทั่วไป

จุดเฉพาะตำแหน่ง จุดที่เป็นของเครื่องฉายภาพเรียกว่าจุดของตำแหน่งเฉพาะ ซึ่งรวมถึงจุดที่เป็นของระนาบการฉายภาพ แกน จุดกำเนิด และศูนย์การฉายภาพ คุณลักษณะเฉพาะของจุดตำแหน่งเฉพาะคือ:

Metathematical - ค่าพิกัดตัวเลขหนึ่ง, สองหรือทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์และ (หรือ) อนันต์

ในแผนภาพ เส้นโครงสองจุดหรือทั้งหมดจะอยู่บนแกนและ (หรือ) อยู่ที่ระยะอนันต์

จุดตำแหน่งทั่วไป จุดตำแหน่งทั่วไปรวมถึงจุดที่ไม่อยู่ในเครื่องฉายภาพ ตัวอย่างเช่น จุด กในรูป 1 และ 2.

ในกรณีทั่วไป ค่าตัวเลขของพิกัดของจุดจะแสดงลักษณะของระยะห่างจากระนาบการฉายภาพ: พิกัด เอ็กซ์จากเครื่องบิน พาย 3; ประสานงาน ยจากเครื่องบิน พาย 2; ประสานงาน zจากเครื่องบิน พาย 1. ควรสังเกตว่าเครื่องหมายสำหรับค่าตัวเลขของพิกัดระบุทิศทางที่จุดเคลื่อนที่ออกจากระนาบการฉายภาพ ขึ้นอยู่กับการรวมกันของเครื่องหมายสำหรับค่าตัวเลขของพิกัดของจุดนั้นขึ้นอยู่กับว่ามีค่าออกเทนเท่าใด

วิธีสองภาพ

ในทางปฏิบัติ นอกเหนือจากวิธีการฉายภาพแบบเต็มแล้ว ยังใช้วิธีสองภาพอีกด้วย มันแตกต่างตรงที่วิธีนี้กำจัดการฉายภาพครั้งที่สามของวัตถุ เพื่อให้ได้อุปกรณ์การฉายภาพแบบสองภาพ ระนาบการฉายภาพโปรไฟล์ที่มีศูนย์กลางการฉายภาพจะไม่รวมอยู่ในอุปกรณ์การฉายภาพแบบเต็ม (รูปที่ 3) ยิ่งไปกว่านั้นบนแกน 0Xมีการกำหนดจุดอ้างอิง (จุดที่ 0 ) และจากนั้นตั้งฉากกับแกน 0Xในระนาบการฉายภาพ พาย 1และ พาย 2วาดแกน 0ปและ 0Zตามลำดับ

ในอุปกรณ์นี้ พื้นที่ทั้งหมดแบ่งออกเป็นสี่จตุภาค ในรูป 3 มีการระบุด้วยเลขโรมัน

ระนาบการฉายภาพถือว่าทึบแสง และผู้ชมจะอยู่ในนั้นเสมอ ฉัน-จตุรัสที่

ลองพิจารณาการทำงานของอุปกรณ์โดยใช้ตัวอย่างการฉายจุด ก.

จากศูนย์ฉายภาพ ส 1และ เอส 2รังสีที่ฉายออกมา ล. 1และ ลิตร 2. รังสีเหล่านี้ทะลุผ่านจุดนั้น กและตัดกับระนาบฉายภาพทำให้เกิดเส้นโครง:

- เอ 1– การฉายภาพแนวนอนของจุด ก;

- เอ 2– การฉายภาพด้านหน้าของจุด ก.

เพื่อให้ได้โครงประเด็น ก(รูปที่ 4) ในเครื่องฉายภาพ (รูปที่ 3) ของเครื่องบิน พาย 1กับการฉายภาพจุดนั้น เอ 1หมุนตามเข็มนาฬิการอบแกน 0Xจนกระทั่งมันอยู่ในแนวเดียวกับระนาบ พาย 2. ทิศทางการหมุนของระนาบ พาย 1แสดงในรูปที่. 3 ลูกศร ในกรณีนี้บนไดอะแกรมของจุดที่ได้รับโดยวิธีสองภาพจะเหลือเพียงจุดเดียวเท่านั้น แนวตั้งสายการสื่อสาร เอ 1 เอ 2.

ในทางปฏิบัติ การวางแผนประเด็น ก(x ก , ย ก , z ก) ดำเนินการตามค่าตัวเลขของพิกัด x ก , ย กและ แซด เอตามลำดับต่อไปนี้ (รูปที่ 4)

1. วาดแกนแล้ว วัวและกำหนดจุดอ้างอิง (จุดที่ 0 ).

2. บนแกน วัวค่าตัวเลขของพิกัดถูกพล็อต เอ็กซ์เอคะแนน กและรับตำแหน่งของจุด เอกซ์.

3.ผ่านจุด เอกซ์ตั้งฉากกับแกน วัวเส้นสื่อสารแนวตั้งถูกวาดขึ้น

4. บนสายสื่อสารแนวตั้งจากจุดหนึ่ง เอกซ์ตามแนวแกน โอ้ค่าตัวเลขของพิกัดถูกพล็อต คุณเอคะแนน กและกำหนดตำแหน่งการฉายภาพแนวนอนของจุด เอ 1 โอ้ไม่ได้ถูกวาด แต่สันนิษฐานว่าค่าบวกของมันอยู่ใต้แกน วัวและค่าลบจะสูงกว่า

5. บนสายสื่อสารแนวตั้งจากจุดหนึ่ง เอกซ์ตามแนวแกน ออนซ์ค่าตัวเลขของพิกัดถูกพล็อต ซาคะแนน กและกำหนดตำแหน่งการฉายภาพด้านหน้าของจุด เอ 2บนแผนภาพ ควรสังเกตว่าในแผนภาพแกน ออนซ์ไม่ได้ถูกวาด แต่สันนิษฐานว่าค่าบวกของมันอยู่เหนือแกน วัวและค่าลบจะต่ำกว่า

จุดแข่งขัน

จุดบนลำแสงฉายเดียวกันเรียกว่าจุดแข่งขัน ในทิศทางของลำแสงที่ยื่นออกมาจะมีการฉายภาพร่วมกันเช่น การคาดการณ์ของพวกเขาเหมือนกัน คุณลักษณะเฉพาะของคะแนนที่แข่งขันกันบนแผนภาพคือความบังเอิญที่เหมือนกันของการฉายภาพที่มีชื่อเดียวกัน การแข่งขันอยู่ที่การมองเห็นการฉายภาพเหล่านี้โดยสัมพันธ์กับผู้สังเกตการณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในอวกาศสำหรับผู้สังเกตการณ์ มีจุดหนึ่งที่มองเห็นได้ ส่วนอีกจุดหนึ่งไม่สามารถมองเห็นได้ และตามนั้นในภาพวาด: มองเห็นการฉายภาพของจุดแข่งขันจุดหนึ่งได้และการฉายภาพของอีกจุดหนึ่งจะมองไม่เห็น

บนแบบจำลองการฉายภาพเชิงพื้นที่ (รูปที่ 5) จาก 2 จุดที่แข่งขันกัน กและ ในจุดที่มองเห็นได้ กตามลักษณะสองประการที่เกื้อกูลกัน ตัดสินโดยห่วงโซ่ ส 1 →ก→บีจุด กใกล้กับผู้สังเกตมากกว่าจุด ใน. และตามด้วยระนาบการฉายภาพ พาย 1(เหล่านั้น. ซา > ซา).

ข้าว. 5 รูปที่ 6

หากมองเห็นจุดนั้นเอง กจากนั้นจึงมองเห็นเส้นโครงของมันได้เช่นกัน เอ 1. ที่เกี่ยวข้องกับการฉายภาพประจวบกับมัน บี 1. เพื่อความชัดเจนและหากจำเป็น บนแผนภาพ โดยปกติแล้วการฉายจุดที่มองไม่เห็นจะอยู่ในวงเล็บ

มาลบจุดบนโมเดลกัน กและ ใน. ภาพฉายที่ตรงกันบนเครื่องบินจะยังคงอยู่ พาย 1และฉายภาพแบบแยก – เปิด พาย 2. ให้เราปล่อยให้การฉายภาพด้านหน้าของผู้สังเกตการณ์ (⇩) ซึ่งอยู่ตรงกลางของการฉายภาพมีเงื่อนไข ส 1. จากนั้นตามสายของภาพ ⇩ → เอ 2 → บี 2มันจะเป็นไปได้ที่จะตัดสินสิ่งนั้น ซา > ซี บีและจุดนั้นก็ปรากฏให้เห็น กและการฉายภาพของมัน เอ 1.

ให้เราพิจารณาคะแนนการแข่งขันในทำนองเดียวกัน กับและ ดีในลักษณะสัมพันธ์กับระนาบ π 2 เนื่องจากลำแสงที่ฉายร่วมกันของจุดเหล่านี้ ลิตร 2ขนานกับแกน 0ปแล้วเป็นสัญญาณมองเห็นจุดแข่งขัน กับและ ดีถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน y C > y D. ฉะนั้นจุดนั้น ดีปิดด้วยจุด กับและการฉายภาพจุดตามนั้น ดี 2จะถูกบังด้วยเส้นโครงของจุด ค 2บนพื้นผิว พาย 2.

ลองพิจารณาว่าการมองเห็นคะแนนการแข่งขันในรูปวาดที่ซับซ้อนนั้นถูกกำหนดอย่างไร (รูปที่ 6)

ตัดสินโดยการคาดคะเนโดยบังเอิญ เอ 1≡ใน 1จุดนั้นเอง กและ ในอยู่บนคานฉายอันหนึ่งขนานกับแกน 0Z. ซึ่งหมายความว่าสามารถเปรียบเทียบพิกัดได้ ซาและ ซี บีจุดเหล่านี้ ในการทำเช่นนี้ เราใช้ระนาบการฉายภาพด้านหน้าพร้อมภาพจุดต่างๆ ที่แยกจากกัน ในกรณีนี้ ซา > ซี บี. จากนี้ไปจะมองเห็นการฉายภาพได้ เอ 1.

คะแนน คและ ดีในการวาดภาพที่ซับซ้อนภายใต้การพิจารณา (รูปที่ 6) ก็อยู่บนลำแสงฉายเดียวกัน แต่ขนานกับแกนเท่านั้น 0ป. ดังนั้นจากการเปรียบเทียบ y C > y Dเราสรุปได้ว่ามองเห็นเส้นโครง C 2 ได้

กฎทั่วไป. การมองเห็นสำหรับการจับคู่จุดที่แข่งขันกันจะถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบพิกัดของจุดเหล่านั้นในทิศทางของรังสีฉายร่วม การฉายภาพของจุดที่พิกัดมากกว่านั้นสามารถมองเห็นได้ ในกรณีนี้ พิกัดจะถูกเปรียบเทียบบนระนาบการฉายภาพโดยมีภาพจุดต่างๆ แยกกัน