วิธีหาผลรวมของครั้งแรก ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นลำดับตัวเลข ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากับ

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย ทั้งในความหมายและในสูตร แต่มีงานทุกประเภทในหัวข้อนี้ ตั้งแต่พื้นฐานจนถึงค่อนข้างแข็ง

อันดับแรก มาจัดการกับความหมายและสูตรของผลรวมกันก่อน แล้วเราจะตัดสินใจ เพื่อความสุขของคุณเอง) ความหมายของผลรวมนั้นง่ายพอๆ ในการหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มสมาชิกทั้งหมดอย่างระมัดระวัง หากเงื่อนไขเหล่านี้มีน้อย คุณสามารถเพิ่มได้โดยไม่ต้องมีสูตรใดๆ แต่ถ้ามีมากหรือมาก...เพิ่มก็น่ารำคาญ) ในกรณีนี้ สูตรจะประหยัด

สูตรผลรวมนั้นง่าย:

ลองหาว่าตัวอักษรชนิดใดที่รวมอยู่ในสูตร สิ่งนี้จะชัดเจนขึ้นมาก

ส น คือผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผลบวก ทั้งหมดสมาชิกด้วย แรกบน ล่าสุด.มันเป็นสิ่งสำคัญ บวกกันชัดๆ ทั้งหมดสมาชิกในแถวโดยไม่มีช่องว่างและกระโดด และเริ่มต้นจาก แรก.ในปัญหาต่างๆ เช่น การหาผลรวมของเทอมที่สามและแปด หรือผลรวมของเทอมที่ห้าถึงยี่สิบ การใช้สูตรโดยตรงจะทำให้ผิดหวัง)

1 - คนแรกสมาชิกของความก้าวหน้า ทุกอย่างชัดเจนที่นี่มันง่าย แรกหมายเลขแถว

หนึ่ง- ล่าสุดสมาชิกของความก้าวหน้า หมายเลขสุดท้ายของแถว ไม่ใช่ชื่อที่คุ้นหูนัก แต่เมื่อนำมาประยุกต์ใช้ในปริมาณที่เหมาะสมมาก แล้วคุณจะเห็นเอง

น คือหมายเลขสมาชิกคนสุดท้าย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าในสูตรตัวเลขนี้ ตรงกับจำนวนสมาชิกที่เพิ่มเข้ามา

มากำหนดแนวคิดกัน ล่าสุดสมาชิก หนึ่ง. เติมคำถาม: สมาชิกประเภทไหนจะ ล่าสุด,ถ้าให้ ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์?

เพื่อคำตอบที่มั่นใจ คุณต้องเข้าใจความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และ ... อ่านงานอย่างละเอียด!)

ในการหาผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมสุดท้ายจะปรากฏขึ้นเสมอ (ทางตรงหรือทางอ้อม) ซึ่งควรจะจำกัดมิฉะนั้น จำนวนจำกัด ไม่มีอยู่จริงสำหรับการแก้ปัญหานั้น ไม่สำคัญว่าจะได้รับความก้าวหน้าแบบใด: มีจำกัดหรือไม่มีสิ้นสุด ไม่สำคัญว่าจะให้มาอย่างไร: โดยชุดของตัวเลข หรือโดยสูตรของสมาชิกที่ n

สิ่งสำคัญที่สุดคือต้องเข้าใจว่าสูตรทำงานตั้งแต่เทอมแรกของการก้าวหน้าไปจนถึงเทอมที่มีตัวเลข น.อันที่จริงชื่อเต็มของสูตรมีลักษณะดังนี้: ผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จำนวนสมาชิกกลุ่มแรกๆ เหล่านี้ กล่าวคือ นถูกกำหนดโดยงานเท่านั้น ในงาน ข้อมูลอันมีค่าทั้งหมดนี้มักถูกเข้ารหัส ใช่ ... แต่ไม่มีอะไรเลย เราจะเปิดเผยความลับเหล่านี้ในตัวอย่างด้านล่าง)

ตัวอย่างงานสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ก่อนอื่น ข้อมูลที่เป็นประโยชน์:

ปัญหาหลักในงานสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือการกำหนดองค์ประกอบของสูตรอย่างถูกต้อง

ผู้เขียนงานมอบหมายเข้ารหัสองค์ประกอบเหล่านี้ด้วยจินตนาการที่ไร้ขอบเขต) สิ่งสำคัญที่นี่ไม่ต้องกลัว การทำความเข้าใจสาระสำคัญขององค์ประกอบก็เพียงพอที่จะถอดรหัสได้ ลองดูตัวอย่างบางส่วนโดยละเอียด เริ่มจากงานที่อิงจาก GIA จริง

1. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดโดยเงื่อนไข: a n = 2n-3.5 หาผลรวมของ 10 เทอมแรก

งานดี. ง่าย.) การกำหนดปริมาณตามสูตร เราต้องรู้อะไรบ้าง? สมาชิกคนแรก 1, ระยะสุดท้าย หนึ่งใช่จำนวนเทอมสุดท้าย น.

จะรับหมายเลขสมาชิกล่าสุดได้ที่ไหน น? ใช่ในที่เดียวกันในสภาพ! มันบอกว่าหาผลรวม สมาชิก 10 คนแรกแล้วจะได้เลขอะไร ล่าสุด,สมาชิกคนที่สิบ?) ไม่เชื่อหรอก เลขเขาอยู่ที่สิบ!) ดังนั้นแทนที่จะเป็น หนึ่งเราจะเปลี่ยนเป็นสูตร 10แต่แทนที่จะ น- สิบ ย้ำอีกครั้งว่าจำนวนสมาชิกคนสุดท้ายเท่ากับจำนวนสมาชิก

ยังต้องกำหนดกันต่อไป 1และ 10. คำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรของเทอมที่ n ซึ่งระบุในข้อความแจ้งปัญหา ไม่ทราบว่าจะทำอย่างไร? ไปที่บทเรียนก่อนหน้าโดยไม่มีสิ่งนี้ - ไม่มีอะไร

1= 2 1 - 3.5 = -1.5

10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

ส น = S 10.

เราพบความหมายขององค์ประกอบทั้งหมดของสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มันยังคงแทนที่พวกเขาและนับ:

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้ คำตอบ: 75.

งานอื่นตาม GIA ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย:

2. กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ความแตกต่างคือ 3.7 1 \u003d 2.3 หาผลรวมของ 15 เทอมแรก

เราเขียนสูตรผลรวมทันที:

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถหาค่าของสมาชิกคนใดก็ได้ด้วยจำนวนของมัน เรากำลังมองหาการทดแทนอย่างง่าย:

15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

มันยังคงแทนที่องค์ประกอบทั้งหมดในสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และคำนวณคำตอบ:

คำตอบ: 423

โดยวิธีการที่ถ้าอยู่ในสูตรผลรวมแทน หนึ่งแค่แทนสูตรของเทอมที่ n เราได้:

เราให้สิ่งที่คล้ายกัน เราได้รับสูตรใหม่สำหรับผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

อย่างที่คุณเห็นไม่จำเป็นต้องมี สมาชิกที่ n หนึ่ง. ในบางงาน สูตรนี้ช่วยได้มาก ใช่ ... คุณจำสูตรนี้ได้ และคุณสามารถถอนออกได้ในเวลาที่เหมาะสม อย่างที่นี่ เพราะต้องจำสูตรผลรวมและสูตรสำหรับเทอมที่ n ทุกวิถีทาง)

ตอนนี้งานในรูปแบบของการเข้ารหัสสั้น ๆ ):

3. ค้นหาผลรวมของตัวเลขสองหลักที่เป็นบวกทั้งหมดที่เป็นทวีคูณของสาม

ยังไง! ไม่มีสมาชิกคนแรก ไม่มีคนสุดท้าย ไม่มีความคืบหน้าเลย... จะอยู่ยังไง!?

คุณจะต้องคิดด้วยหัวของคุณและดึงองค์ประกอบทั้งหมดของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ออกจากเงื่อนไข ตัวเลขสองหลักคืออะไร - เรารู้ ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว.) เลขสองหลักจะเป็นเลขอะไร แรก? 10 น่าจะเป็น) สิ่งสุดท้ายตัวเลขสองหลัก? 99 แน่นอน! เลขสามหลักจะตามเขาไป ...

ผลคูณของสาม... หืม... นี่คือตัวเลขที่หารด้วยสามลงตัวพอดี! สิบหารด้วยสามไม่ลงตัว 11 หารไม่ได้... 12... หารลงตัว! ดังนั้น มีบางอย่างกำลังเกิดขึ้น คุณสามารถเขียนชุดตามเงื่อนไขของปัญหาได้แล้ว:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ชุดนี้จะเป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่? แน่นอน! แต่ละเทอมต่างจากเทอมก่อนหน้าอย่างเคร่งครัดสาม หากเพิ่ม 2 หรือ 4 ลงในเทอม เช่น ผลลัพธ์ เช่น ตัวเลขใหม่จะไม่ถูกหารด้วย 3 อีกต่อไป คุณสามารถกำหนดความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับฮีปได้ทันที: ง = 3มีประโยชน์!)

ดังนั้น เราสามารถเขียนพารามิเตอร์ความก้าวหน้าบางอย่างได้อย่างปลอดภัย:

จะเป็นเลขอะไร นสมาชิกคนสุดท้าย? ใครก็ตามที่คิดว่า 99 ผิดพลาดร้ายแรง ... ตัวเลข - พวกเขามักจะไปในแถวและสมาชิกของเรากระโดดข้ามสามอันดับแรก พวกเขาไม่ตรงกัน

มีสองวิธีแก้ไขปัญหาที่นี่ วิธีหนึ่งคือการทำงานหนักมาก คุณสามารถระบายสีการคืบหน้า ชุดตัวเลขทั้งหมด และนับจำนวนพจน์ด้วยนิ้วของคุณ) วิธีที่สองคือการไตร่ตรอง คุณต้องจำสูตรสำหรับเทอมที่ n ถ้าสูตรถูกนำไปใช้กับปัญหาของเรา เราจะได้ 99 เป็นสมาชิกที่สามสิบของความคืบหน้า เหล่านั้น. น = 30

เราดูสูตรสำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

เรามองและชื่นชมยินดี) เราดึงทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับการคำนวณจำนวนเงินออกจากเงื่อนไขของปัญหา:

1= 12.

30= 99.

ส น = S 30.

สิ่งที่เหลืออยู่คือเลขคณิตเบื้องต้น แทนที่ตัวเลขในสูตรและคำนวณ:

คำตอบ: 1665

ปริศนายอดนิยมอีกประเภทหนึ่ง:

4. ให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

หาผลรวมของเทอมตั้งแต่ยี่สิบถึงสามสิบสี่

เราดูสูตรผลรวมแล้ว ... เราอารมณ์เสีย) สูตรให้ฉันเตือนคุณคำนวณผลรวม ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิก. และในปัญหาคุณต้องคำนวณผลรวม ตั้งแต่ยี่สิบ...สูตรจะไม่ทำงาน

แน่นอน คุณสามารถวาดความคืบหน้าทั้งหมดเป็นแถวและวางสมาชิกจาก 20 เป็น 34 แต่ ... มันกลับกลายเป็นว่าโง่เขลาและเป็นเวลานานใช่ไหม)

มีวิธีแก้ปัญหาที่หรูหรากว่านั้น ขอแบ่งซีรีส์ของเราออกเป็นสองส่วน ภาคแรกจะ ตั้งแต่ภาคเรียนแรกถึงวันที่สิบเก้าส่วนที่สอง - ยี่สิบถึงสามสิบสี่เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าเราคำนวณผลรวมของเงื่อนไขของส่วนแรก เอส 1-19, มาบวกกับผลรวมของสมาชิกในภาคสองกันเถอะ เอส 20-34, เราได้ผลรวมของความก้าวหน้าจากภาคเรียนที่หนึ่งถึงสามสิบสี่ เอส 1-34. แบบนี้:

เอส 1-19 + เอส 20-34 = เอส 1-34

แสดงว่าการหาผลรวม เอส 20-34ทำได้โดยการลบอย่างง่าย

เอส 20-34 = เอส 1-34 - เอส 1-19

ให้นับทั้งผลรวมทางด้านขวา ตั้งแต่ครั้งแรกสมาชิก กล่าวคือ สูตรผลรวมมาตรฐานค่อนข้างใช้ได้กับพวกเขา เรามาเริ่มกันเลยไหม?

เราแยกพารามิเตอร์ความคืบหน้าออกจากเงื่อนไขงาน:

ง = 1.5

1= -21,5.

ในการคำนวณผลรวมของ 19 เทอมแรกและ 34 เทอมแรก เราต้องใช้เทอมที่ 19 และ 34 เรานับพวกมันตามสูตรของเทอมที่ n เช่นในปัญหาที่ 2:

19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

ไม่มีอะไรเหลือ ลบผลรวมของ 19 เทอมจากผลรวมของ 34 เทอม:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

คำตอบ: 262.5

บันทึกสำคัญอย่างหนึ่ง! มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์มากในการแก้ปัญหานี้ แทนการคำนวณโดยตรง สิ่งที่คุณต้องการ (S 20-34)เรานับ ดูเหมือนว่าไม่จำเป็น - S 1-19แล้วพวกเขาก็ตัดสินใจ เอส 20-34ละทิ้งสิ่งที่ไม่จำเป็นออกจากผลเต็ม "การหลอกลวงด้วยหู" เช่นนี้มักจะช่วยในปริศนาที่ชั่วร้าย)

ในบทนี้ เราตรวจสอบปัญหาที่เพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณต้องรู้สูตรสองสามสูตร)

คำแนะนำในทางปฏิบัติ:

เมื่อแก้ปัญหาใด ๆ สำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ขอแนะนำให้เขียนสูตรหลักสองสูตรจากหัวข้อนี้ทันที

สูตรของสมาชิกที่ n:

สูตรเหล่านี้จะบอกคุณทันทีว่าต้องมองหาอะไร ทิศทางไหนที่ต้องคิดเพื่อแก้ปัญหา ช่วย.

และตอนนี้งานสำหรับโซลูชันอิสระ

5. ค้นหาผลรวมของตัวเลขสองหลักทั้งหมดที่หารด้วยสามไม่ลงตัว

เจ๋ง?) คำใบ้ถูกซ่อนอยู่ในบันทึกย่อของปัญหาที่ 4 ปัญหาที่ 3 จะช่วยได้

6. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: a 1 =-5.5; n+1 = n +0.5 หาผลรวมของ 24 เทอมแรก

ผิดปกติ?) นี่เป็นสูตรที่เกิดซ้ำ คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทเรียนที่แล้ว อย่าเพิกเฉยต่อลิงค์ปริศนาดังกล่าวมักพบใน GIA

7. Vasya ประหยัดเงินสำหรับวันหยุด มากถึง 4550 รูเบิล! และฉันตัดสินใจที่จะมอบความสุขให้กับคนที่รักที่สุด (ตัวเอง) สักสองสามวัน) ใช้ชีวิตอย่างสวยงามโดยไม่ปฏิเสธอะไรเลย ใช้จ่าย 500 รูเบิลในวันแรกและใช้จ่าย 50 รูเบิลในแต่ละวันถัดไปมากกว่าวันก่อนหน้า! จนกว่าเงินจะหมด Vasya มีความสุขกี่วัน?

ยากไหม) สูตรเพิ่มเติมจากภารกิจที่ 2 จะช่วยได้

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย): 7, 3240, 6

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

บางคนถือว่าคำว่า "ก้าวหน้า" ด้วยความระมัดระวัง เป็นคำที่ซับซ้อนมากจากหมวดวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง ในขณะเดียวกัน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดคือการทำงานของเคาน์เตอร์แท็กซี่ และการที่จะเข้าใจแก่นแท้ (และในวิชาคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรสำคัญไปกว่า "การเข้าใจแก่นแท้") ของลำดับเลขคณิตนั้นไม่ยากนัก โดยได้วิเคราะห์แนวคิดพื้นฐานสองสามข้อแล้ว

ลำดับเลขคณิต

เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกลำดับตัวเลขว่าชุดของตัวเลข ซึ่งแต่ละชุดมีหมายเลขของตัวเอง

และ 1 เป็นสมาชิกคนแรกของลำดับ

และ 2 เป็นสมาชิกที่สองของลำดับ

และ 7 เป็นสมาชิกตัวที่เจ็ดของลำดับ;

และ n คือสมาชิกที่ n ของลำดับ;

อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้สนใจชุดตัวเลขและตัวเลขใดๆ โดยพลการ เราจะมุ่งความสนใจไปที่ลำดับตัวเลขซึ่งค่าของสมาชิกที่ n สัมพันธ์กับเลขลำดับของมันโดยการพึ่งพากันซึ่งสามารถกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ค่าตัวเลขของจำนวนที่ n คือฟังก์ชันบางอย่างของ n

เอ - ค่าของสมาชิกของลำดับตัวเลข;

n คือหมายเลขประจำเครื่อง

f(n) เป็นฟังก์ชันที่ลำดับในลำดับตัวเลข n คืออาร์กิวเมนต์

คำนิยาม

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกว่าลำดับตัวเลขซึ่งแต่ละเทอมต่อมามีค่ามากกว่า (น้อยกว่า) ก่อนหน้าด้วยตัวเลขเดียวกัน สูตรสำหรับสมาชิกที่ n ของลำดับเลขคณิตมีดังนี้:

a n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n+1 - สูตรของตัวเลขถัดไป

d - ความแตกต่าง (จำนวนหนึ่ง)

มันง่ายที่จะตัดสินว่าถ้าผลต่างเป็นบวก (d>0) สมาชิกที่ตามมาแต่ละชุดที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมากกว่าค่าก่อนหน้า และความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวจะเพิ่มขึ้น

ในกราฟด้านล่าง จะเห็นว่าเหตุใดจึงเรียกลำดับตัวเลขว่า "เพิ่มขึ้น"

ในกรณีที่ผลต่างเป็นลบ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

มูลค่าของสมาชิกที่ระบุ

บางครั้งก็จำเป็นต้องกำหนดค่าของคำศัพท์บางคำโดยพลการ a n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถทำได้โดยการคำนวณค่าของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องตั้งแต่แรกจนถึงค่าที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ไม่เป็นที่ยอมรับเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากจำเป็นต้องหาค่าของเทอมที่ห้าในพันหรือแปดล้าน การคำนวณแบบดั้งเดิมจะใช้เวลานาน อย่างไรก็ตาม สามารถตรวจสอบความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เฉพาะได้โดยใช้สูตรบางอย่าง นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับเทอมที่ n: ค่าของสมาชิกใด ๆ ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นผลรวมของสมาชิกตัวแรกของความก้าวหน้ากับผลต่างของความก้าวหน้า คูณด้วยจำนวนของสมาชิกที่ต้องการ ลบหนึ่ง .

สูตรนี้เป็นสากลสำหรับการเพิ่มและลดความก้าวหน้า

ตัวอย่างการคำนวณมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด

มาแก้ปัญหาต่อไปนี้ในการหาค่าของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

เงื่อนไข: มีความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์พร้อมพารามิเตอร์:

สมาชิกคนแรกของลำดับคือ 3;

ความแตกต่างในชุดตัวเลขคือ 1.2

ภารกิจ: จำเป็นต้องค้นหาค่าของ 214 เงื่อนไข

วิธีแก้ไข: เพื่อกำหนดมูลค่าของสมาชิกที่กำหนด เราใช้สูตร:

a(n) = a1 + d(n-1)

แทนที่ข้อมูลจากคำสั่งปัญหาลงในนิพจน์ เรามี:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

คำตอบ: สมาชิกลำดับที่ 214 ของลำดับเท่ากับ 258.6

ข้อดีของวิธีการคำนวณนี้ชัดเจน - โซลูชันทั้งหมดใช้เวลาไม่เกิน 2 บรรทัด

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนด

บ่อยครั้งในอนุกรมเลขคณิตที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดผลรวมของค่าของบางกลุ่ม นอกจากนี้ยังไม่จำเป็นต้องคำนวณค่าของแต่ละเทอมแล้วสรุป วิธีนี้ใช้ได้หากจำนวนเงื่อนไขที่ต้องพบผลรวมมีน้อย ในกรณีอื่นจะสะดวกกว่าที่จะใช้สูตรต่อไปนี้

ผลรวมของสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 1 ถึง n เท่ากับผลรวมของสมาชิกที่หนึ่งและ n คูณด้วยหมายเลขสมาชิก n และหารด้วยสอง หากในสูตร ค่าของสมาชิกที่ n ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์จากย่อหน้าก่อนหน้าของบทความ เราจะได้:

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างเช่น มาแก้ปัญหาด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้:

เทอมแรกของลำดับคือศูนย์

ความแตกต่างคือ 0.5

ในปัญหาจะต้องกำหนดผลรวมของเงื่อนไขของชุดข้อมูลตั้งแต่ 56 ถึง 101

วิธีการแก้. ลองใช้สูตรในการพิจารณาผลรวมของความก้าวหน้า:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ขั้นแรกเรากำหนดผลรวมของค่า 101 สมาชิกของความคืบหน้าโดยการแทนที่เงื่อนไขที่กำหนดของปัญหาของเราลงในสูตร:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

เห็นได้ชัดว่าเพื่อที่จะหาผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าจาก 56 ถึง 101 จำเป็นต้องลบ S 55 จาก S 101

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

ดังนั้นผลรวมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างนี้คือ:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

ตัวอย่างการใช้งานจริงของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ในตอนท้ายของบทความ กลับไปที่ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตในย่อหน้าแรก - เครื่องวัดระยะทาง (มิเตอร์รถแท๊กซี่) ลองพิจารณาตัวอย่างดังกล่าว

การขึ้นแท็กซี่ (ซึ่งรวมถึง 3 กม.) มีค่าใช้จ่าย 50 รูเบิล แต่ละกิโลเมตรต่อ ๆ มาจะจ่ายในอัตรา 22 รูเบิล / กม. ระยะทางเดินทาง 30 กม. คำนวณค่าใช้จ่ายในการเดินทาง

1. ทิ้ง 3 กม. แรกซึ่งราคารวมอยู่ในค่าลงจอดแล้ว

30 - 3 = 27 กม.

2. การคำนวณเพิ่มเติมไม่มีอะไรมากไปกว่าการแยกวิเคราะห์ชุดเลขคณิต

หมายเลขสมาชิกคือจำนวนกิโลเมตรที่เดินทาง (ลบสามตัวแรก)

มูลค่าของสมาชิกคือผลรวม

เทอมแรกในปัญหานี้จะเท่ากับ 1 = 50 รูเบิล

ความแตกต่างของความก้าวหน้า d = 22 p

จำนวนที่น่าสนใจสำหรับเรา - ค่าของสมาชิกที่ (27 + 1) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ - การอ่านมิเตอร์เมื่อสิ้นสุดกิโลเมตรที่ 27 - 27.999 ... = 28 กม.

28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

การคำนวณข้อมูลปฏิทินเป็นระยะเวลานานตามอำเภอใจจะขึ้นอยู่กับสูตรที่อธิบายลำดับตัวเลขบางอย่าง ในทางดาราศาสตร์ ความยาวของวงโคจรจะขึ้นอยู่กับระยะทางของเทห์ฟากฟ้าถึงดวงสว่าง นอกจากนี้ อนุกรมตัวเลขต่างๆ ยังใช้สำเร็จในสถิติและสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่นำไปใช้ได้สำเร็จ

ลำดับตัวเลขอีกประเภทหนึ่งคือเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นมีลักษณะเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงที่มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับเลขคณิต ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่การเมือง สังคมวิทยา การแพทย์ บ่อยครั้ง เพื่อแสดงความเร็วสูงของการแพร่กระจายของปรากฏการณ์เฉพาะ เช่น โรคระหว่างการระบาด พวกเขากล่าวว่ากระบวนการพัฒนาแบบทวีคูณ

สมาชิกตัวที่ N ของชุดเลขเรขาคณิตแตกต่างจากชุดก่อนหน้าโดยคูณด้วยจำนวนคงที่ - ตัวส่วน ตัวอย่างเช่น สมาชิกตัวแรกคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ตามลำดับ จากนั้น:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ค่าของสมาชิกปัจจุบันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

b n+1 - สูตรของสมาชิกถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

q เป็นตัวหารของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (จำนวนคงที่)

หากกราฟของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นเส้นตรง กราฟทางเรขาคณิตจะวาดภาพที่ต่างออกไปเล็กน้อย:

ในกรณีของเลขคณิต ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมีสูตรสำหรับค่าของสมาชิกตามอำเภอใจ เทอมที่ n ใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลคูณของเทอมแรกและตัวหารของความก้าวหน้าต่อกำลังของ n ลดลงหนึ่ง:

ตัวอย่าง. เรามีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยเทอมแรกเท่ากับ 3 และตัวส่วนของความก้าวหน้าเท่ากับ 1.5 ค้นหาระยะที่ 5 ของความก้าวหน้า

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

ผลรวมของจำนวนสมาชิกที่กำหนดจะคำนวณโดยใช้สูตรพิเศษเช่นกัน ผลรวมของสมาชิก n แรกของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตเท่ากับผลต่างระหว่างผลคูณของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้ากับตัวส่วนและสมาชิกแรกของการก้าวหน้า หารด้วยตัวส่วนลดลงหนึ่ง:

ถ้า b n ถูกแทนที่โดยใช้สูตรที่กล่าวถึงข้างต้น ค่าของผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของชุดตัวเลขที่พิจารณาจะอยู่ในรูปแบบ:

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเริ่มต้นด้วยเทอมแรกเท่ากับ 1 ตัวส่วนถูกตั้งค่าเท่ากับ 3 มาหาผลรวมของแปดเทอมแรกกัน

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก..." อย่างแรง
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือชุดของตัวเลขที่แต่ละจำนวนมากกว่า (หรือน้อยกว่า) มากกว่าจำนวนก่อนหน้าด้วยจำนวนเท่ากัน

หัวข้อนี้มักจะยากและเข้าใจยาก ดัชนีตัวอักษรระยะที่ n ของความก้าวหน้าความแตกต่างของความก้าวหน้า - ทั้งหมดนี้ทำให้สับสนใช่ ... ลองหาความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และทุกอย่างจะทำงานทันที)

แนวคิดของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดที่เรียบง่ายและชัดเจนมาก สงสัย? เปล่าประโยชน์) ดูเอาเอง

ฉันจะเขียนชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:

1, 2, 3, 4, 5, ...

คุณขยายบรรทัดนี้ได้ไหม ตัวเลขอะไรจะไปต่อไปหลังจากห้า? ทุกคน ... เอ่อ ... ในระยะสั้นทุกคนจะคิดว่าตัวเลข 6, 7, 8, 9 และอื่น ๆ จะไปไกลกว่านี้

มาทำให้งานซับซ้อนกันเถอะ ฉันให้ชุดตัวเลขที่ยังไม่เสร็จ:

2, 5, 8, 11, 14, ...

คุณสามารถจับรูปแบบ ขยายชุด และชื่อ ที่เจ็ดหมายเลขแถว?

หากคุณพบว่าตัวเลขนี้คือ 20 - ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณ! คุณไม่เพียงแต่รู้สึก ประเด็นสำคัญของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แต่ยังประสบความสำเร็จในการใช้งานทางธุรกิจ! ถ้าไม่เข้าใจอ่านต่อ

ทีนี้มาแปลประเด็นสำคัญจากความรู้สึกเป็นคณิตศาสตร์กัน)

ประเด็นสำคัญประการแรก

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับชุดของตัวเลขสิ่งนี้ทำให้เกิดความสับสนในตอนแรก เราใช้แก้สมการ สร้างกราฟ และอื่นๆ ... แล้วขยายอนุกรม หาเลขชุด ...

ไม่เป็นไร. ความก้าวหน้าเป็นเพียงความคุ้นเคยครั้งแรกกับสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ ส่วนนี้เรียกว่า "ชุดข้อมูล" และทำงานกับชุดตัวเลขและนิพจน์ ทำความคุ้นเคย.)

จุดสำคัญที่สอง

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขใด ๆ ที่แตกต่างจากตัวเลขก่อนหน้า ด้วยจำนวนเงินที่เท่ากัน

ในตัวอย่างแรก ความแตกต่างนี้คือหนึ่ง ไม่ว่าคุณจะใช้เลขอะไร มันมากกว่าเลขก่อนหน้าหนึ่งตัว ในช่วงที่สอง - สาม ตัวเลขใด ๆ มากกว่าตัวเลขก่อนหน้าสามเท่า อันที่จริงมันเป็นช่วงเวลาที่ทำให้เรามีโอกาสจับรูปแบบและคำนวณตัวเลขที่ตามมา

จุดสำคัญที่สาม

ช่วงเวลานี้ไม่โดดเด่นใช่ ... แต่สำคัญมาก เขาคือ: แต่ละหมายเลขความคืบหน้าอยู่ในตำแหน่งมีหมายเลขแรก มีเจ็ด มีสี่สิบห้า และอื่น ๆ หากคุณสร้างความสับสนอย่างไม่ตั้งใจ รูปแบบจะหายไป ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ก็จะหายไปเช่นกัน มันเป็นแค่ชุดตัวเลข

นั่นคือประเด็นทั้งหมด

แน่นอนว่าข้อกำหนดและสัญกรณ์ใหม่จะปรากฏในหัวข้อใหม่ พวกเขาจำเป็นต้องรู้ มิฉะนั้น คุณจะไม่เข้าใจงาน ตัวอย่างเช่น คุณต้องตัดสินใจบางอย่างเช่น:

เขียนหกเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

มันเป็นแรงบันดาลใจหรือไม่) จดหมาย ดัชนีบางส่วน... และงานก็ไม่อาจง่ายไปกว่านี้แล้ว คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจความหมายของข้อกำหนดและสัญกรณ์ ตอนนี้เราจะเชี่ยวชาญเรื่องนี้และกลับไปที่ภารกิจ

ข้อกำหนดและการกำหนด

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นชุดของตัวเลขที่แต่ละตัวเลขต่างจากชุดที่แล้ว ด้วยจำนวนเงินที่เท่ากัน

ค่านี้เรียกว่า . มาจัดการกับแนวคิดนี้ในรายละเอียดเพิ่มเติม

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือจำนวนเงินที่เลขคืบหน้าใด ๆ มากกว่าอันก่อนหน้า

จุดสำคัญอย่างหนึ่ง โปรดใส่ใจกับคำว่า "มากกว่า".ในทางคณิตศาสตร์ หมายความว่าได้เลขคืบหน้ามาแต่ละหมายเลข เพิ่มความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กับจำนวนก่อนหน้า

ในการคำนวณ สมมุติว่า ที่สองตัวเลขของแถวนั้นจำเป็นต้อง แรกตัวเลข เพิ่มความแตกต่างอย่างมากของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สำหรับการคำนวณ ที่ห้า- ความแตกต่างเป็นสิ่งจำเป็น เพิ่มถึง ที่สี่ดี เป็นต้น

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อาจจะ เชิงบวกแล้วเลขแต่ละชุดก็จะกลายเป็นของจริง มากกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นตัวอย่างเช่น:

8; 13; 18; 23; 28; .....

ที่นี่แต่ละหมายเลขคือ เพิ่มจำนวนบวก +5 ไปยังค่าก่อนหน้า

ความแตกต่างได้ เชิงลบแล้วแต่ละตัวเลขในชุดจะเป็น น้อยกว่าครั้งก่อนความก้าวหน้านี้เรียกว่า (คุณจะไม่เชื่อ!) ลดลง

ตัวอย่างเช่น:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ที่นี่รับทุกเบอร์ด้วยนะ เพิ่มไปยังค่าก่อนหน้า แต่ติดลบแล้ว -5

โดยวิธีการที่เมื่อทำงานกับความก้าวหน้าจะมีประโยชน์มากในการกำหนดลักษณะของมันทันที - ไม่ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง จะช่วยได้มากในการค้นหาทิศทางในการตัดสินใจ ตรวจจับข้อผิดพลาดและแก้ไขก่อนที่จะสายเกินไป

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์มักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร ง.

วิธีค้นหา d? ง่ายมาก. จำเป็นต้องลบออกจากอนุกรมจำนวนเท่าใดก็ได้ ก่อนหน้าตัวเลข. ลบ. อีกอย่าง ผลลัพธ์ของการลบเรียกว่า "ความแตกต่าง")

มากำหนดกัน เช่น dสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้น:

2, 5, 8, 11, 14, ...

เราเอาจำนวนแถวที่เราต้องการ เช่น 11 ลบออกจากมัน หมายเลขก่อนหน้าเหล่านั้น. แปด:

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้ ผลต่างคือสาม

ทานได้เลย จำนวนความคืบหน้าใด ๆเพราะ เพื่อความก้าวหน้าโดยเฉพาะ ง-เหมือนกันเสมออย่างน้อยที่สุดที่ต้นแถว อย่างน้อยตรงกลาง อย่างน้อยที่ใดก็ได้ คุณไม่สามารถรับเฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น เพียงเพราะตัวเลขแรกสุด ไม่มีก่อนหน้านี้)

โดยวิธีการที่รู้ว่า d=3การหาจำนวนที่เจ็ดของความก้าวหน้านี้ง่ายมาก เราบวก 3 เข้ากับตัวเลขที่ห้า - เราได้ตัวที่หกมันจะเป็น 17 เราบวกสามเข้ากับตัวเลขที่หกเราได้ตัวเลขที่เจ็ด - ยี่สิบ

มากำหนดกัน dสำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ลดลง:

8; 3; -2; -7; -12; .....

ฉันเตือนคุณว่าไม่ว่าจะมีสัญญาณอะไรให้ตัดสิน dต้องการจากหมายเลขใด ๆ เอาอันที่แล้วไปเราเลือกจำนวนความคืบหน้า เช่น -7 หมายเลขก่อนหน้าของเขาคือ -2 แล้ว:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้: จำนวนเต็ม, เศษส่วน, อตรรกยะ, ใดๆ

ข้อกำหนดและการกำหนดอื่น ๆ

แต่ละหมายเลขในชุดจะเรียกว่า สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้า มีเบอร์ของเขาตัวเลขจะเรียงตามลำดับโดยไม่มีกลอุบายใดๆ ที่หนึ่ง สอง สาม สี่ เป็นต้น ตัวอย่างเช่นในความคืบหน้า 2, 5, 8, 11, 14, ... สองเป็นสมาชิกคนแรก, ห้าคือที่สอง, สิบเอ็ดคือสี่, เข้าใจแล้ว ... ) โปรดเข้าใจอย่างชัดเจน - ตัวเลขตัวเองเป็นอะไรก็ได้ ทั้งหมด เศษส่วน ลบ อะไรก็ได้ แต่ การนับ- ตามลำดับอย่างเคร่งครัด!

จะเขียนความก้าวหน้าในรูปแบบทั่วไปได้อย่างไร? ไม่มีปัญหา! แต่ละหมายเลขในชุดจะเขียนเป็นตัวอักษร เพื่อแสดงถึงความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตามกฎแล้วจะใช้ตัวอักษร เอ. หมายเลขสมาชิกจะแสดงโดยดัชนีที่ด้านล่างขวา สมาชิกจะเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (หรืออัฒภาค) ดังนี้:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1เป็นหมายเลขแรก 3- ที่สาม ฯลฯ ไม่มีอะไรยุ่งยาก คุณสามารถเขียนชุดนี้สั้น ๆ ดังนี้: (หนึ่ง).

มีความก้าวหน้า จำกัดและอนันต์

สุดยอดความคืบหน้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ห้า สามสิบแปด อะไรก็ได้ แต่มันเป็นจำนวนจำกัด

ไม่มีที่สิ้นสุดความก้าวหน้า - มีจำนวนสมาชิกไม่สิ้นสุดอย่างที่คุณอาจเดาได้)

คุณสามารถเขียนความคืบหน้าขั้นสุดท้ายผ่านชุดข้อมูลเช่นนี้ สมาชิกทั้งหมดและจุดต่อท้าย:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

หรือแบบนี้ถ้ามีสมาชิกเยอะ:

1 , 2 , ... 14 , 15 .

ในรายการสั้นๆ คุณจะต้องระบุจำนวนสมาชิกเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น (สำหรับสมาชิกยี่สิบคน) เช่นนี้

(n) n = 20

จุดไข่ปลาที่ท้ายแถวสามารถจดจำความก้าวหน้าที่ไม่สิ้นสุดได้ ดังตัวอย่างในบทเรียนนี้

ตอนนี้คุณสามารถแก้ไขงานได้แล้ว งานนั้นง่าย เพียงเพื่อทำความเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างงานเพื่อความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

มาดูงานด้านบนกันดีกว่า:

1. เขียนสมาชิกหกคนแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 2 = 5, d = -2.5

เราแปลงานเป็นภาษาที่เข้าใจได้ ให้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์อนันต์ หมายเลขที่สองของความก้าวหน้านี้เป็นที่รู้จัก: ก 2 = 5ความแตกต่างของความก้าวหน้าที่ทราบ: ง = -2.5เราต้องหาสมาชิกที่หนึ่ง สาม สี่ ห้า และหกของความก้าวหน้านี้

เพื่อความชัดเจน ฉันจะเขียนชุดข้อมูลตามเงื่อนไขของปัญหา สมาชิกหกคนแรก โดยที่สมาชิกคนที่สองมีห้าคน:

1 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 ,....

3 = 2 + d

เราแทนที่ในนิพจน์ a 2 = 5และ d=-2.5. อย่าลืมเครื่องหมายลบ!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

เทอมที่สามน้อยกว่าที่สอง ทุกอย่างมีเหตุผล หากจำนวนมากกว่าเดิม เชิงลบค่า ดังนั้นตัวเลขเองจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า ความก้าวหน้าลดลง เอาล่ะลองพิจารณาดู) เราพิจารณาสมาชิกคนที่สี่ของซีรีส์ของเรา:

4 = 3 + d

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + d

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + d

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ดังนั้น เงื่อนไขจากที่สามถึงหกได้ถูกคำนวณ ส่งผลให้มีซีรีส์:

1 , 5 , 2.5 , 0, -2.5 , -5 , ....

มันยังคงเพื่อค้นหาเทอมแรก 1ตามที่สองที่รู้จักกันดี นี้เป็นขั้นตอนไปทางซ้าย) ดังนั้นความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ dไม่ควรเพิ่มลงใน 2, แ เอาไป:

1 = 2 - d

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้ การตอบสนองของงาน:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

ผ่านไปแล้ว ฉันทราบว่าเราได้แก้ไขงานนี้แล้ว กำเริบทาง. คำที่น่ากลัวนี้หมายถึงเพียงการค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้า โดยหมายเลขก่อนหน้า (ที่อยู่ติดกัน)วิธีอื่น ๆ ในการทำงานกับความก้าวหน้าจะกล่าวถึงในภายหลัง

ข้อสรุปที่สำคัญอย่างหนึ่งสามารถดึงออกมาจากงานง่ายๆ นี้

จดจำ:

ถ้าเรารู้อย่างน้อยหนึ่งสมาชิกและความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เราจะสามารถหาสมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้านี้ได้

จดจำ? ข้อสรุปง่ายๆ นี้ช่วยให้เราแก้ปัญหาส่วนใหญ่ของหลักสูตรของโรงเรียนในหัวข้อนี้ได้ งานทั้งหมดหมุนรอบพารามิเตอร์หลักสามประการ: สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่างของความก้าวหน้า จำนวนสมาชิกของความก้าวหน้าทุกอย่าง.

แน่นอน พีชคณิตก่อนหน้าทั้งหมดจะไม่ถูกยกเลิก) ความไม่เท่าเทียมกัน สมการ และสิ่งอื่น ๆ ถูกแนบมากับความก้าวหน้า แต่ ตามความก้าวหน้า- ทุกอย่างหมุนรอบสามพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น พิจารณางานยอดนิยมบางอย่างในหัวข้อนี้

2. เขียนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายเป็นอนุกรม ถ้า n=5, d=0.4 และ a 1=3.6

ทุกอย่างง่ายที่นี่ ให้ทุกอย่างแล้ว คุณต้องจำไว้ว่าสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คำนวณ นับ และจดบันทึกอย่างไร ขอแนะนำไม่ให้ข้ามคำในเงื่อนไขงาน: "สุดท้าย" และ " n=5" เพื่อไม่ให้นับจนกว่าคุณจะหน้าซีดอย่างสมบูรณ์) มีสมาชิกเพียง 5 (ห้า) คนในความคืบหน้านี้:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

4 = 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2

มันยังคงเขียนคำตอบ:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

งานอื่น:

3. กำหนดว่าเลข 7 จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่ (a n) if 1 \u003d 4.1; ง = 1.2

อืม... ใครจะรู้? วิธีการกำหนดบางสิ่งบางอย่าง?

How-how ... ใช่เขียนความคืบหน้าในรูปแบบของซีรีส์และดูว่าจะมีเซเว่นหรือไม่! พวกเราเชื่อว่า:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

4 = 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

เห็นได้ชัดว่าเราเพิ่งเจ็ดขวบ เล็ดลอดผ่านระหว่าง 6.5 ถึง 7.7! เจ็ดไม่อยู่ในชุดตัวเลขของเรา ดังนั้น เจ็ดจะไม่เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าที่กำหนด

คำตอบ: ไม่

และนี่คืองานที่อิงจาก GIA เวอร์ชันจริง:

4. สมาชิกที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเขียนไว้:

...; สิบห้า; เอ็กซ์; 9; 6; ...

นี่คือชุดที่ไม่มีจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้น ไม่มีเลขสมาชิก ก็ไม่ต่างกัน d. ไม่เป็นไร. ในการแก้ปัญหาก็เพียงพอที่จะเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มาดูกันดีกว่าว่าเราทำได้แค่ไหน ที่จะรู้ว่าจากบรรทัดนี้? พารามิเตอร์ของสามตัวหลักคืออะไร?

หมายเลขสมาชิก? ไม่มีหมายเลขเดียวที่นี่

แต่มีสามตัวเลขและ - ความสนใจ! - คำ "ติดต่อกัน"อยู่ในสภาพ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขมีลำดับอย่างเคร่งครัดโดยไม่มีช่องว่าง มีสองคนในแถวนี้หรือไม่? เพื่อนบ้านตัวเลขที่รู้จัก? ใช่มี! เหล่านี้คือ 9 และ 6 ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ได้! เราลบออกจากหก ก่อนหน้าตัวเลข กล่าวคือ เก้า:

มีพื้นที่ว่างเหลืออยู่ หมายเลขใดจะเป็นตัวเลขก่อนหน้าของ x? สิบห้า. ดังนั้น x จึงสามารถหาได้ง่ายด้วยการบวกง่ายๆ ถึง 15 เพิ่มความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

นั่นคือทั้งหมดที่ ตอบ: x=12

เราแก้ปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง หมายเหตุ: ปริศนาเหล่านี้ไม่ได้มีไว้สำหรับสูตร เพื่อการเข้าใจความหมายของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่านั้น) เราเพียงแค่เขียนชุดตัวเลข-ตัวอักษร มองและคิด

5. ค้นหาเทอมบวกแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถ้า 5 = -3; ง = 1.1.

6. เป็นที่ทราบกันว่าหมายเลข 5.5 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) โดยที่ 1 = 1.6; ง = 1.3 กำหนดจำนวน n ของเทอมนี้

7. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 = 4; 5 \u003d 15.1. หา 3 .

8. สมาชิกที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเขียนไว้:

...; 15.6; เอ็กซ์; 3.4; ...

หาระยะของความก้าวหน้า แทนด้วยตัวอักษร x

9. รถไฟเริ่มเคลื่อนตัวจากสถานี ค่อยๆ เพิ่มความเร็วขึ้น 30 เมตรต่อนาที ความเร็วของรถไฟในห้านาทีจะเป็นอย่างไร? ให้คำตอบเป็นกม./ชม.

10. เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a 2 = 5; 6 = -5 ค้นหา 1.

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; สี่.

ทุกอย่างได้ผล? มหัศจรรย์! คุณสามารถเรียนรู้ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในระดับที่สูงขึ้นได้ในบทเรียนต่อไปนี้

ทุกอย่างไม่ได้ผล? ไม่มีปัญหา. ในส่วนพิเศษ 555 ปริศนาเหล่านี้จะถูกแยกย่อยทีละชิ้น) และแน่นอนว่ามีการอธิบายเทคนิคการใช้งานแบบง่าย ๆ ที่เน้นการแก้ปัญหาของงานดังกล่าวอย่างชัดเจนในทันทีเช่นเดียวกับในฝ่ามือของคุณ!

อย่างไรก็ตาม ในปริศนาเกี่ยวกับรถไฟ มีปัญหาสองประการที่ผู้คนมักจะสะดุด หนึ่ง - โดยความก้าวหน้าอย่างหมดจด และครั้งที่สอง - เหมือนกันกับงานใด ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ด้วย นี่คือการแปลมิติจากที่หนึ่งไปอีกมิติหนึ่ง แสดงให้เห็นว่าควรแก้ไขปัญหาเหล่านี้อย่างไร

ในบทนี้ เราตรวจสอบความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และพารามิเตอร์หลัก นี้ก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดในหัวข้อนี้ เพิ่ม dกับตัวเลข เขียนชุด ทุกอย่างจะถูกตัดสิน

วิธีแก้ปัญหาด้วยนิ้วทำงานได้ดีกับชุดสั้นๆ ของซีรีส์ ดังในตัวอย่างในบทเรียนนี้ หากอนุกรมยาวขึ้น การคำนวณก็จะซับซ้อนขึ้น ตัวอย่างเช่น หากอยู่ในปัญหาที่ 9 ในคำถาม ให้แทนที่ "ห้านาที"บน “สามสิบห้านาที”ปัญหาจะยิ่งแย่ลงไปอีก)

และยังมีงานที่ง่ายในสาระสำคัญ แต่ไร้สาระที่สุดในแง่ของการคำนวณเช่น:

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) หา 121 ถ้า a 1 =3 และ d=1/6

แล้วเราจะเพิ่ม 1/6 หลายต่อหลายครั้ง! ฆ่าตัวตายได้เหรอ!?

คุณทำได้) หากคุณไม่ทราบสูตรง่ายๆ ที่คุณสามารถแก้ปัญหาดังกล่าวได้ภายในหนึ่งนาที สูตรนี้จะอยู่ในบทเรียนต่อไป และปัญหานั้นได้รับการแก้ไขที่นั่น ในหนึ่งนาที)

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ตัวอย่างเช่น ลำดับ \(2\); \(5\); \(แปด\); \(สิบเอ็ด\); \(14\)… เป็นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากองค์ประกอบถัดไปแต่ละองค์ประกอบแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าทีละสาม (สามารถรับได้จากองค์ประกอบก่อนหน้าโดยการเพิ่มสาม):

ในความคืบหน้านี้ ผลต่าง \(d\) เป็นค่าบวก (เท่ากับ \(3\)) ดังนั้นแต่ละเทอมถัดไปจึงมากกว่าค่าก่อนหน้า ความก้าวหน้าดังกล่าวเรียกว่า เพิ่มขึ้น.

อย่างไรก็ตาม \(d\) สามารถเป็นจำนวนลบได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น, ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(16\); \(สิบ\); \(สี่\); \(-2\); \(-8\)… ความแตกต่างของความก้าวหน้า \(d\) เท่ากับลบหก

และในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า ความก้าวหน้าเหล่านี้เรียกว่า ลดลง.

สัญกรณ์ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ตัวเลขที่ก่อให้เกิดความก้าวหน้านั้นเรียกว่า สมาชิก(หรือองค์ประกอบ)

พวกมันเขียนแทนด้วยตัวอักษรเดียวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ แต่มีดัชนีตัวเลขเท่ากับหมายเลของค์ประกอบตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ประกอบด้วยองค์ประกอบ \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) เป็นต้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับความก้าวหน้า \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

การแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

โดยหลักการแล้ว ข้อมูลข้างต้นก็เพียงพอแล้วที่จะแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดเกี่ยวกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (รวมถึงปัญหาที่ OGE เสนอให้)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(b_1=7; d=4\) ค้นหา \(b_5\)
วิธีการแก้:

ตอบ: \(b_5=23\)

ตัวอย่าง (OGE) สามเทอมแรกของการก้าวหน้าเลขคณิตจะได้รับ: \(62; 49; 36…\) ค้นหาค่าของเทอมเชิงลบแรกของการก้าวหน้านี้..
วิธีการแก้:

ตอบ: \(-3\)

ตัวอย่าง (OGE) องค์ประกอบที่ต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเลขคณิตได้รับ: \(...5; x; 10; 12.5...\) ค้นหาค่าขององค์ประกอบที่แสดงด้วยตัวอักษร \(x\)
วิธีการแก้:

ตอบ: \(7,5\).

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไขต่อไปนี้: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) หาผลรวมของหกเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
วิธีการแก้:

ตอบ: \(S_6=9\).

ตัวอย่าง (OGE) ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). ค้นหาความแตกต่างของความก้าวหน้านี้
วิธีการแก้:

ตอบ: \(d=7\).

สูตรก้าวหน้าเลขคณิตที่สำคัญ

อย่างที่คุณเห็น ปัญหาความก้าวหน้าทางเลขคณิตจำนวนมากสามารถแก้ไขได้โดยการทำความเข้าใจในสิ่งสำคัญ - ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เป็นห่วงโซ่ของตัวเลข และองค์ประกอบถัดไปแต่ละองค์ประกอบในห่วงโซ่นี้ได้มาโดยการเพิ่มตัวเลขเดียวกันเข้ากับค่าก่อนหน้า (ส่วนต่าง) ของความก้าวหน้า)

อย่างไรก็ตาม บางครั้งก็มีสถานการณ์ที่ไม่สะดวกอย่างยิ่งที่จะแก้ "บนหน้าผาก" ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าในตัวอย่างแรก เราจำเป็นต้องค้นหาองค์ประกอบที่ห้า \(b_5\) ไม่ใช่องค์ประกอบที่ห้า แต่องค์ประกอบที่สามร้อยแปดสิบหก \(b_(386)\) มันคืออะไรเรา \ (385 \) ครั้งเพื่อเพิ่มสี่? หรือลองนึกภาพว่าในตัวอย่างสุดท้าย คุณต้องหาผลรวมขององค์ประกอบเจ็ดสิบสามตัวแรก การนับทำให้สับสน...

ดังนั้นในกรณีเช่นนี้พวกเขาจะไม่แก้ "บนหน้าผาก" แต่ใช้สูตรพิเศษที่ได้รับมาจากการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และตัวหลักคือสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าและสูตรสำหรับผลรวม \(n\) ของเทอมแรก

สูตรสำหรับสมาชิก \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\) โดยที่ \(a_1\) เป็นสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้า
\(n\) – จำนวนองค์ประกอบที่ต้องการ;
\(a_n\) เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าด้วยตัวเลข \(n\)

สูตรนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาองค์ประกอบที่สามร้อยเป็นอย่างน้อย แม้แต่ส่วนที่ล้านได้อย่างรวดเร็ว โดยรู้เพียงความแตกต่างแรกและความแตกต่างของความก้าวหน้า

ตัวอย่าง. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). ค้นหา \(b_(246)\)
วิธีการแก้:

ตอบ: \(b_(246)=1850\).

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกคือ: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\) โดยที่

\(a_n\) เป็นเทอมสุดท้าย;

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข \(a_n=3.4n-0.6\) หาผลรวมของเงื่อนไข \(25\) แรกของความคืบหน้านี้
วิธีการแก้:

ตอบ: \(S_(25)=1090\).

สำหรับผลรวม \(n\) ของเทอมแรก คุณสามารถรับสูตรอื่น: คุณเพียงแค่ต้อง \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) แทน \(a_n\) แทนที่สูตรสำหรับมัน \(a_n=a_1+(n-1)d\) เราได้รับ:

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกคือ: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) โดยที่

\(S_n\) – ผลรวมที่ต้องการ \(n\) ขององค์ประกอบแรก;
\(a_1\) เป็นเทอมแรกที่จะถูกรวม;
\(d\) – ความแตกต่างของความก้าวหน้า;
\(n\) - จำนวนองค์ประกอบในผลรวม

ตัวอย่าง. ค้นหาผลรวมของเงื่อนไขแรก \(33\)-ex ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: \(17\); \(15,5\); \(สิบสี่\)…
วิธีการแก้:

ตอบ: \(S_(33)=-231\).

ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตอนนี้คุณมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกือบทุกอย่างแล้ว มาจบหัวข้อกันโดยพิจารณาถึงปัญหาที่ไม่ใช่แค่ใช้สูตรแต่คิดนิดหน่อยด้วย (ในวิชาคณิตศาสตร์นี่มีประโยชน์นะ☺)

ตัวอย่าง (OGE) ค้นหาผลรวมของเงื่อนไขเชิงลบทั้งหมดของความก้าวหน้า: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
วิธีการแก้:

ตอบ: \(S_(65)=-630.5\)

ตัวอย่าง (OGE) ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\) ค้นหาผลรวมจากองค์ประกอบ \(26\)th ถึง \(42\)
วิธีการแก้:

ตอบ: \(ส=1683\).

สำหรับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีอีกหลายสูตรที่เรายังไม่ได้พิจารณาในบทความนี้เนื่องจากมีประโยชน์ในทางปฏิบัติต่ำ อย่างไรก็ตาม คุณสามารถค้นหาได้อย่างง่ายดาย

สาระสำคัญของสูตรคืออะไร?

สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหา ใดๆ ตามหมายเลขของเขา" น" .

แน่นอนคุณต้องรู้คำศัพท์แรก 1และความแตกต่างของความก้าวหน้า dหากไม่มีพารามิเตอร์เหล่านี้ คุณจะไม่สามารถเขียนความคืบหน้าเฉพาะได้

การท่องจำ (หรือโกง) สูตรนี้ไม่เพียงพอ มีความจำเป็นต้องหลอมรวมสาระสำคัญและใช้สูตรในปัญหาต่างๆ ใช่และอย่าลืมในเวลาที่เหมาะสมใช่ ... ) อย่างไร ไม่ลืม- ฉันไม่รู้. แต่ วิธีจำถ้าจำเป็น ฉันจะให้คำใบ้แก่คุณ สำหรับผู้ที่เชี่ยวชาญบทเรียนจนจบ)

เรามาจัดการกับสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กัน

สูตรโดยทั่วไปคืออะไร - เรานึกภาพออก) อะไรคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หมายเลขสมาชิก ความแตกต่างของความก้าวหน้า - มีการระบุไว้อย่างชัดเจนในบทเรียนที่แล้ว ลองดูถ้าคุณยังไม่ได้อ่าน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น มันยังคงที่จะคิดออกว่า สมาชิกคนที่ n

ความก้าวหน้าโดยทั่วไปสามารถเขียนได้เป็นชุดของตัวเลข:

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1- หมายถึงเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 3- สมาชิกคนที่สาม 4- ที่สี่และอื่น ๆ ถ้าเราสนใจภาคเรียนที่ 5 สมมุติว่าเรากำลังทำงานด้วย 5, ถ้าหนึ่งร้อยยี่สิบ - จาก 120.

วิธีการกำหนดโดยทั่วไป ใดๆสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ s ใดๆตัวเลข? ง่ายมาก! แบบนี้:

หนึ่ง

นั่นแหละค่ะ สมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ภายใต้ตัวอักษร n ตัวเลขทั้งหมดของสมาชิกจะถูกซ่อนพร้อมกัน: 1, 2, 3, 4 และอื่น ๆ

และบันทึกดังกล่าวให้อะไรเราบ้าง? แค่คิดว่าแทนที่จะเขียนตัวเลขพวกเขาเขียนจดหมาย ...

สัญกรณ์นี้ทำให้เราเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการทำงานกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การใช้สัญกรณ์ หนึ่ง,เราสามารถหาได้อย่างรวดเร็ว ใดๆสมาชิก ใดๆความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และงานมากมายที่ต้องแก้ไขในความคืบหน้า คุณจะเห็นเพิ่มเติม

ในสูตรของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

1- สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

น- หมายเลขสมาชิก

สูตรจะเชื่อมโยงพารามิเตอร์หลักของความก้าวหน้าใดๆ: หนึ่ง ; 1 ; dและ น. รอบๆ พารามิเตอร์เหล่านี้ ปริศนาทั้งหมดจะหมุนเวียนไปเรื่อย ๆ

สูตรคำที่ n สามารถใช้เพื่อเขียนความก้าวหน้าเฉพาะได้ ตัวอย่างเช่น ในปัญหา อาจกล่าวได้ว่าความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

n = 5 + (n-1) 2

ปัญหาดังกล่าวอาจทำให้สับสนได้ ... ไม่มีอนุกรมไม่มีความแตกต่าง ... แต่เมื่อเปรียบเทียบเงื่อนไขกับสูตรแล้ว เข้าใจได้ง่ายว่าในความคืบหน้านี้ a 1 \u003d 5 และ d \u003d 2

และอาจยิ่งโกรธมากขึ้น!) ถ้าเราใช้เงื่อนไขเดียวกัน: n = 5 + (n-1) 2,ใช่ เปิดวงเล็บและให้สิ่งที่คล้ายกัน? เราได้รับสูตรใหม่:

อัน = 3 + 2n

มัน ไม่ใช่ทั่วไป แต่สำหรับความก้าวหน้าเฉพาะ นี่คือจุดที่หลุมพรางอยู่ บางคนคิดว่าเทอมแรกเป็นสาม แม้ว่าในความเป็นจริงแล้ว สมาชิกคนแรกคือห้า ... ต่ำกว่านี้เล็กน้อย เราจะทำงานกับสูตรที่ดัดแปลงดังกล่าว

ในงานเพื่อความก้าวหน้ามีสัญกรณ์อื่น - n+1. คุณเดาได้ว่านี่คือเทอม "n บวกแรก" ของความคืบหน้า ความหมายของมันเรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย) นี่คือสมาชิกของความก้าวหน้า ซึ่งมีจำนวนมากกว่าจำนวน n ต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้าในบางปัญหา เราใช้ for หนึ่งเทอมที่ 5 แล้ว n+1จะเป็นสมาชิกคนที่หก เป็นต้น

ส่วนใหญ่มักจะกำหนด n+1เกิดขึ้นในสูตรแบบเรียกซ้ำ อย่ากลัวคำที่น่ากลัวนี้!) นี่เป็นเพียงวิธีแสดงเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผ่านครั้งก่อนสมมติว่าเราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบนี้ โดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ:

n+1 = n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

สี่ - ผ่านที่สาม, ห้า - ผ่านสี่, และอื่นๆ. และวิธีนับทันที พูดระยะที่ยี่สิบ 20? แต่ไม่มีทาง!) แม้จะไม่รู้จักเทอมที่ 19 แต่นับที่ 20 ไม่ได้ นี่คือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสูตรแบบเรียกซ้ำกับสูตรของเทอมที่ n ทำงานซ้ำได้เฉพาะผ่าน ก่อนหน้าเทอมและสูตรของเทอมที่ n - ถึง คนแรกและอนุญาตให้ ทันทีค้นหาสมาชิกคนใดก็ได้ตามหมายเลข ไม่นับชุดตัวเลขทั้งหมดตามลำดับ

ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรแบบเรียกซ้ำสามารถเปลี่ยนเป็นสูตรปกติได้อย่างง่ายดาย นับคู่เทอมที่ต่อเนื่องกัน คำนวณส่วนต่าง ง,หา ถ้าจำเป็น เทอมแรก 1เขียนสูตรในรูปแบบปกติและทำงานกับมัน ใน GIA มักพบงานดังกล่าว

การประยุกต์ใช้สูตรของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ขั้นแรกให้ดูที่การใช้สูตรโดยตรง เมื่อสิ้นสุดบทเรียนก่อนหน้านี้ เกิดปัญหาขึ้น:

กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) หา 121 ถ้า a 1 =3 และ d=1/6

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใด ๆ เพียงแค่ขึ้นอยู่กับความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เพิ่มใช่เพิ่ม ... หนึ่งหรือสองชั่วโมง)

และตามสูตร การแก้ปัญหาจะใช้เวลาไม่ถึงนาที คุณสามารถจับเวลาได้) เราตัดสินใจ

เงื่อนไขให้ข้อมูลทั้งหมดสำหรับการใช้สูตร: 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.คงต้องดูกันต่อไปว่า น.ไม่มีปัญหา! เราต้องหา 121. ที่นี่เราเขียน:

กรุณาให้ความสนใจ! แทนที่จะเป็นดัชนี นจำนวนเฉพาะปรากฏขึ้น: 121 ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) เราสนใจสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ที่หนึ่งร้อยยี่สิบเอ็ดนี่จะเป็นของเรา น.มันคือความหมายนี้เอง น= 121 เราจะแทนที่สูตรเพิ่มเติมในวงเล็บ แทนที่ตัวเลขทั้งหมดในสูตรแล้วคำนวณ:

121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้ เร็วที่สุดเท่าที่จะหาสมาชิกคนที่ห้าร้อยสิบและพันสามก็ได้ เราใส่แทน นตัวเลขที่ต้องการในดัชนีของตัวอักษร " ก"และในวงเล็บและเราพิจารณา

ผมขอเตือนคุณถึงสาระสำคัญ: สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหา ใดๆระยะของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ตามหมายเลขของเขา" น" .

มาแก้ปัญหาอย่างชาญฉลาดกันดีกว่า สมมติว่าเรามีปัญหาดังต่อไปนี้:

หาเทอมแรกของการคืบหน้าเลขคณิต (a n) ถ้า 17 =-2; ง=-0.5.

หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันจะแนะนำขั้นตอนแรก เขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์!ใช่ ๆ. เขียนด้วยมือในสมุดบันทึกของคุณ:

และตอนนี้เมื่อดูตัวอักษรของสูตรแล้ว เราเข้าใจว่าเรามีข้อมูลอะไรบ้างและอะไรหายไป? มีอยู่ ง=-0.5,มีสมาชิกคนที่สิบเจ็ด ... ทุกอย่าง? ถ้าคิดว่าหมดปัญหาก็แก้ไม่ได้ ใช่...

เรามีเบอร์ น! อยู่ในสภาพ 17 = -2ที่ซ่อนอยู่ สองตัวเลือกนี่เป็นทั้งค่าของสมาชิกตัวที่สิบเจ็ด (-2) และจำนวน (17) เหล่านั้น. น=17."สิ่งเล็กน้อย" นี้มักจะเล็ดลอดผ่านศีรษะและไม่มีมัน (หากไม่มี "สิ่งเล็กน้อย" ไม่ใช่ศีรษะ!) ปัญหาไม่สามารถแก้ไขได้ ทั้งที่...และไม่มีหัวด้วย)

ตอนนี้เราสามารถแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรอย่างโง่เขลา:

17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

โอ้ใช่, 17เรารู้ว่ามันคือ -2 โอเค มาใส่ใน:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

โดยพื้นฐานแล้วนั่นคือทั้งหมด มันยังคงแสดงเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จากสูตรและคำนวณ คุณได้รับคำตอบ: ก 1 = 6

เทคนิคดังกล่าว - การเขียนสูตรและเพียงแค่แทนที่ข้อมูลที่รู้จัก - ช่วยได้มากใน งานง่ายๆ. แน่นอนว่าคุณต้องสามารถแสดงตัวแปรจากสูตรได้ แต่จะทำอย่างไร!? หากไม่มีทักษะนี้ คณิตศาสตร์ก็ไม่สามารถเรียนได้เลย ...

ปัญหายอดนิยมอื่น:

ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า a 1 =2; 15 = 12.

เรากำลังทำอะไรอยู่? คุณจะประหลาดใจเราเขียนสูตร!)

พิจารณาสิ่งที่เรารู้: 1 =2; 15 =12; และ (ไฮไลท์พิเศษ!) n=15. อย่าลังเลที่จะแทนที่ในสูตร:

12=2 + (15-1)d

มาคิดเลขกัน)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ดังนั้นงาน n , 1และ dตัดสินใจแล้ว. ยังคงต้องเรียนรู้วิธีค้นหาหมายเลข:

หมายเลข 99 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) โดยที่ 1 =12; ง=3. ค้นหาหมายเลขของสมาชิกรายนี้

เราแทนที่ปริมาณที่ทราบเป็นสูตรของเทอมที่ n:

n = 12 + (n-1) 3

เมื่อมองแวบแรก มีปริมาณที่ไม่รู้จักสองปริมาณที่นี่: n และ nแต่ หนึ่งเป็นสมาชิกของความก้าวหน้าด้วยจำนวน น... และสมาชิกของความก้าวหน้านี้ที่เรารู้! 99. เราไม่รู้เบอร์เขา น,จึงต้องหาเลขนี้ด้วย แทนที่ระยะความก้าวหน้า 99 ลงในสูตร:

99 = 12 + (n-1) 3

เราแสดงจากสูตร น, พวกเราคิดว่า. เราได้รับคำตอบ: น=30.

และตอนนี้ปัญหาในหัวข้อเดียวกัน แต่สร้างสรรค์กว่า):

กำหนดว่าหมายเลข 117 จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หรือไม่ (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

ลองเขียนสูตรอีกครั้ง อะไรไม่มีตัวเลือก? หืม... ทำไมเราต้องตา?) เรามองเห็นสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าหรือไม่? ที่เราเห็น. นี่คือ -3.6 คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย: 1 \u003d -3.6.ความแตกต่าง dสามารถกำหนดได้จากซีรีส์? เป็นเรื่องง่ายถ้าคุณรู้ว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คืออะไร:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

ใช่ เราทำสิ่งที่ง่ายที่สุด มันยังคงจัดการกับจำนวนที่ไม่รู้จัก นและเลข 117 ที่เข้าใจยาก ในปัญหาที่แล้ว อย่างน้อยก็รู้อยู่ว่าเป็นระยะของความก้าวหน้าที่ให้ไว้ แต่นี่เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่า ... จะเป็นอย่างไร!? จะเป็นอย่างไร จะเป็นอย่างไร... เปิด ทักษะความคิดสร้างสรรค์!)

เรา สมมติว่า 117 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าของเรา ด้วยหมายเลขที่ไม่รู้จัก น. และเช่นเดียวกับในปัญหาที่แล้ว ลองหาตัวเลขนี้กัน เหล่านั้น. เราเขียนสูตร (ใช่ใช่!)) และแทนที่ตัวเลขของเรา:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

อีกครั้งเราแสดงจากสูตรน, เรานับและรับ:

อ๊ะ! ปรากฎว่า เศษส่วน!หนึ่งร้อยครึ่ง. และเศษส่วนในความคืบหน้า ไม่สามารถ.เราสรุปอะไร? ใช่! หมายเลข 117 ไม่ใช่สมาชิกของความก้าวหน้าของเรา มันอยู่ระหว่างสมาชิกคนที่ 101 และ 102 หากตัวเลขออกมาเป็นธรรมชาติเช่น จำนวนเต็มบวกจากนั้นจำนวนจะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้ากับจำนวนที่ค้นพบ และในกรณีของเรา คำตอบของปัญหาคือ: ไม่.

งานตาม GIA เวอร์ชันจริง:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

n \u003d -4 + 6.8n

ค้นหาเงื่อนไขที่หนึ่งและสิบของความคืบหน้า

ที่นี่ความคืบหน้าถูกกำหนดในลักษณะที่ผิดปกติ สูตรบางอย่าง ... มันเกิดขึ้น) อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ (ตามที่เขียนไว้ด้านบน) - ยังเป็นสูตรของสมาชิกที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์!เธอยังยอมให้ ค้นหาสมาชิกของความคืบหน้าใด ๆ ตามจำนวน

เรากำลังมองหาสมาชิกคนแรก คนที่คิด. ว่าเทอมแรกเป็นลบสี่ ผิดอย่างมหันต์!) เพราะสูตรในโจทย์มีการปรับเปลี่ยน เทอมแรกของการคืบหน้าเลขคณิตในนั้น ที่ซ่อนอยู่.ไม่มีอะไรเดี๋ยวก็เจอ)

เช่นเดียวกับงานก่อนหน้านี้ เราแทนที่ n=1ใน สูตรนี้:

1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

ที่นี่! เทอมแรกคือ 2.8 ไม่ใช่ -4!

ในทำนองเดียวกัน เรากำลังมองหาคำที่สิบ:

10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

นั่นคือทั้งหมดที่มีให้

และตอนนี้สำหรับผู้ที่อ่านถึงบรรทัดเหล่านี้ โบนัสที่สัญญาไว้)

สมมติว่าในสถานการณ์การต่อสู้ที่ยากลำบากของ GIA หรือการสอบ Unified State คุณลืมสูตรที่มีประโยชน์ของสมาชิกคนที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ บางสิ่งบางอย่างเข้ามาในความคิด แต่อย่างใดไม่แน่นอน ... ไม่ว่า นที่นั่นหรือ n+1 หรือ น-1...จะเป็นอย่างไร!?

ความสงบ! สูตรนี้หาได้ง่าย ไม่เข้มงวดมาก แต่เพียงพอสำหรับความมั่นใจและการตัดสินใจที่ถูกต้อง!) สำหรับข้อสรุป ก็เพียงพอที่จะจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และมีเวลาสองสามนาที คุณเพียงแค่ต้องวาดภาพ เพื่อความชัดเจน

เราวาดแกนตัวเลขและทำเครื่องหมายอันแรกบนแกนนั้น ที่สอง สาม ฯลฯ สมาชิก. และสังเกตความแตกต่าง dระหว่างสมาชิก. แบบนี้:

เราดูรูปแล้วคิดว่า เทอมที่สองมีค่าเท่ากับอะไร? ที่สอง หนึ่ง d:

เอ 2 =a 1 + 1 d

เทอมที่สามคืออะไร? ที่สามเทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สอง d.

เอ 3 =a 1 + 2 d

คุณเข้าใจไหม? ฉันไม่ใส่คำบางคำเป็นตัวหนาเพื่ออะไร โอเค อีกก้าวหนึ่ง)

เทอมที่สี่คืออะไร? ที่สี่เทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สาม d.

เอ 4 =a 1 + 3 d

ถึงเวลาต้องตระหนักว่าจำนวนช่องว่างคือ d, เสมอ น้อยกว่าจำนวนสมาชิกที่คุณกำลังมองหา น. นั่นคือถึงจำนวน n จำนวนช่องว่างจะ น-1ดังนั้นสูตรจะเป็น (ไม่มีตัวเลือก!):

โดยทั่วไปแล้ว รูปภาพที่มองเห็นได้จะมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมาย อย่าละเลยภาพ แต่ถ้ามันยากที่จะวาดภาพ งั้น ... แค่สูตรเท่านั้น!) นอกจากนี้ สูตรของเทอมที่ n ยังให้คุณเชื่อมต่อคลังแสงอันทรงพลังของคณิตศาสตร์กับคำตอบ - สมการ ความไม่เท่าเทียมกัน ระบบ ฯลฯ คุณไม่สามารถใส่รูปภาพในสมการ...

งานสำหรับการตัดสินใจอย่างอิสระ

สำหรับการอุ่นเครื่อง:

1. ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) a 2 =3; ก 5 \u003d 5.1 หา 3 .

คำแนะนำ: ตามภาพปัญหาได้รับการแก้ไขใน 20 วินาที ... ตามสูตรปรากฏว่ายากขึ้น แต่สำหรับการเรียนรู้สูตรจะมีประโยชน์มากกว่า) ในมาตรา 555 ปัญหานี้แก้ไขได้ทั้งด้วยรูปภาพและโดยสูตร รู้สึกถึงความแตกต่าง!)

และนี่ไม่ใช่การวอร์มอัพอีกต่อไป)

2. ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. ค้นหา 3 .

อะไรไม่เต็มใจที่จะวาดภาพ?) ยัง! ดีกว่าในสูตรใช่ ...

3. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:1 \u003d -5.5; n+1 = n +0.5 จงหาระยะที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

ในงานนี้ ความคืบหน้าจะได้รับในลักษณะที่เกิดซ้ำ แต่นับถึงหนึ่งร้อยยี่สิบห้า... ไม่ใช่ทุกคนที่สามารถทำได้) แต่สูตรของเทอมที่ n อยู่ในอำนาจของทุกคน!

4. รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

หาจำนวนระยะบวกที่น้อยที่สุดของความก้าวหน้า

5. ตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 4 ให้หาผลรวมของสมาชิกเชิงลบที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของความคืบหน้า

6. ผลคูณของเทอมที่ห้าและสิบสองของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้นคือ -2.5 และผลรวมของเทอมที่สามและสิบเอ็ดเป็นศูนย์ หา 14.

ไม่ใช่งานที่ง่ายที่สุดใช่ ... ) ที่นี่วิธีการ "บนนิ้ว" จะไม่ทำงาน คุณต้องเขียนสูตรและแก้สมการ

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

เกิดขึ้น? มันดีนะ!)

ทุกอย่างไม่ได้ผล? มันเกิดขึ้น. อย่างไรก็ตาม ในงานสุดท้ายมีประเด็นที่ละเอียดอ่อนอยู่จุดหนึ่ง จะต้องมีความเอาใจใส่เมื่ออ่านปัญหา และตรรกะ

วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ได้กล่าวถึงในรายละเอียดในมาตรา 555 และองค์ประกอบแฟนตาซีสำหรับส่วนที่สี่ และช่วงเวลาที่ละเอียดอ่อนสำหรับข้อที่หก และแนวทางทั่วไปในการแก้ปัญหาใดๆ สำหรับสูตรของเทอมที่ n - ทุกอย่างถูกทาสี ฉันแนะนำ

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์