การนำเสนอในหัวข้อของมุมหลายหน้า บทเรียนคณิตศาสตร์ "มุมไดฮีดรัล มุมหลายหน้า" มุมหลายเหลี่ยมแนวตั้ง

มุมหลายหน้า พื้นผิวที่เกิดจากชุดมุมระนาบจำกัด A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 ที่มีจุดยอดร่วม S ซึ่งมุมที่อยู่ติดกันไม่มีจุดร่วม ยกเว้นจุดของรังสีร่วมและไม่อยู่ติดกัน มุมไม่มีจุดร่วม ยกเว้นจุดยอดร่วม จะเรียกว่าพื้นผิวหลายหน้า รูปที่เกิดจากพื้นผิวที่ระบุและหนึ่งในสองส่วนของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยมันถูกเรียกว่ามุมหลายเหลี่ยม จุดยอดทั่วไป S เรียกว่า จุดยอดของมุมหลายหน้า คาน SA1,…, SAn เรียกว่าขอบของมุมหลายหน้า และมุมระนาบ A1SA2, A2SA3,…, An-1SAn, AnSA1 เรียกว่าใบหน้าของมุมหลายหน้า มุมหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยตัวอักษร SA1 ... An ระบุจุดยอดและจุดบนขอบ

ขนาด: 960 x 720 พิกเซล, รูปแบบ: jpg. ในการดาวน์โหลดสไลด์ฟรีเพื่อใช้ในบทเรียนเรขาคณิต ให้คลิกขวาที่รูปภาพแล้วคลิก "บันทึกรูปภาพเป็น ..." คุณสามารถดาวน์โหลดงานนำเสนอทั้งหมด "Polyhedral Angle.ppt" ในรูปแบบไฟล์ zip-archive ขนาด 329 KB

มุมในอวกาศ

"มุมระหว่างเส้นในอวกาศ" - ในลูกบาศก์ A ... D1 หามุมระหว่างเส้น: AB1 และ BC1 มุมระหว่างเส้นตรงในอวกาศ คำตอบ: 90o คำตอบ: 45o ในลูกบาศก์ A… D1 หามุมระหว่างเส้นตรง: A1C1 และ B1D1 ในลูกบาศก์ A… D1 หามุมระหว่างเส้นตรง: AA1 และ BC คำตอบ: ในลูกบาศก์ A… D1 หามุมระหว่างเส้นตรง: AA1 และ BD1 ในลูกบาศก์ A… D1 หามุมระหว่างเส้นตรง: AA1 และ BC1

"มุมจารึก" - สร้างมุมฉาก? เท่ากับอันนี้? ทฤษฎีบท: คำจำกัดความ: รองรับ งานภาคปฏิบัติ. Khasanova E.I. ครูคณิตศาสตร์ แผนการสอน: มุมจารึก หลักฐาน: ให้: สรุปบทเรียน ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 NS). มุม AOB และ ACB มีความเหมือนและแตกต่างกันอย่างไร? MOU "MSOSH หมายเลข 16", Miass, ภูมิภาค Chelyabinsk

มุมหลายหน้า - การวัดมุมหลายหน้า มุมระนาบทั้งสองมุมของมุมสามเหลี่ยมคือ 70 ° และ 80 ° เพราะฉะนั้น, ? เอเอสบี+? บีเอสซี+? ASC< 360° . Трехгранные углы. Таким образом, остается доказать неравенство?ASС < ?ASB + ?BSC. Доказательство аналогично доказательству соответствующего свойства для трехгранного угла.

"มุมที่อยู่ติดกัน" - รับ:? AOC และ? BOC - อยู่ติดกัน พิสูจน์:? AOC +? BOC = 180 ? มุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้ง NS. ค. ทฤษฎีบท. ผลพวงจากทฤษฎีบท NS. และที่อยู่ติดกันปรับใช้? กำหนดโดยพลการ? (Ab) แตกต่างจากแบบขยาย คำนิยาม. NS. บทที่ 11 ผลรวมของมุมประชิดคือ 180? การพิสูจน์.

สไลด์ 1

สไลด์2

สไลด์ 3

สไลด์ 4

สไลด์ 5

สไลด์ 6

สไลด์ 7

สไลด์ 8

สไลด์ 9

สไลด์ 10

มุมไดฮีดรัลคือรูปที่เกิดจากเส้นตรง NS และครึ่งระนาบสองระนาบที่มีขอบเขตร่วมกัน NS ที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน

ตรง NS – ขอบไดฮีดรัล

NS

ในชีวิตประจำวัน เรามักจะพบกับวัตถุที่มีรูปร่างเป็นมุมไดฮีดรัล วัตถุดังกล่าว ได้แก่ หลังคาหน้าจั่วของอาคาร หนังสือกึ่งเปิด ผนังห้องพร้อมพื้น เป็นต้น

สองระนาบครึ่ง - ใบหน้าของมุมไดฮีดรัล

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างมุมเชิงเส้น

มุม POC - มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล P DE K.

การวัดองศาของมุมไดฮีดรัลคือการวัดองศาของมุมเชิงเส้น

มุมสามเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยม

แนะนำคำจำกัดความของมุมสามเหลี่ยมและหลายเหลี่ยม

ทำความคุ้นเคยกับมุมรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบต่างๆ

ศึกษาคุณสมบัติของมุมหลายเหลี่ยมและเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

มุมเอนกประสงค์

พื้นผิวที่เกิดจากชุดมุมระนาบจำกัด NS 1 SA 2 , NS 2 SA 3 , …, NS NS -1 SA NS , NS NS SA 1 กับยอดทั่วไป NSซึ่งมุมที่อยู่ติดกันไม่มีจุดร่วม ยกเว้นจุดของรังสีร่วม และมุมที่อยู่ติดกันจะไม่มีจุดร่วม ยกเว้นจุดยอดร่วม จะเรียกว่าพื้นผิวหลายหน้า

รูปที่เกิดจากพื้นผิวที่ระบุและหนึ่งในสองส่วนของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยมันถูกเรียกว่ามุมหลายเหลี่ยม ทั่วไปด้านบน NSเรียกว่าจุดยอดของมุมหลายหน้า คาน SA 1 , …, SA NSเรียกว่าขอบของมุมหลายหน้า และมุมแบนนั้นเอง NS 1 SA 2 , NS 2 SA 3 , …, NS NS -1 SA NS , NS NS SA 1 - ใบหน้าของมุมหลายหน้า มุมหลายเหลี่ยมแสดงด้วยตัวอักษร SA 1 … NS NSระบุจุดยอดและจุดบนขอบ

มุมเอนกประสงค์

ขึ้นอยู่กับจำนวนของใบหน้า มุมหลายหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม จัตุรมุข ห้าเหลี่ยม ฯลฯ

มุมสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท. มุมระนาบใดๆ ของมุมสามส่วนจะน้อยกว่าผลรวมของมุมระนาบสองมุมที่เหลือ

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

มุมสามเหลี่ยม

ด้วยทรัพย์สิน. ผลรวมของมุมแบนของมุมสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่า 360 

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

มุมนูนหลายหน้า

มุมหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูน ถ้าเป็นรูปนูน กล่าวคือ เมื่อรวมกับจุดสองจุดใดๆ ก็จะมีส่วนทั้งหมดที่เชื่อมต่อกัน รูปภาพแสดงตัวอย่างมุมหลายเหลี่ยมนูนและไม่นูน

คุณสมบัติ. ผลรวมของมุมระนาบทั้งหมดของมุมหลายหน้านูนมีค่าน้อยกว่า 360 °

มุมหลายเหลี่ยมแนวตั้ง

ตัวเลขแสดงตัวอย่างมุมแนวตั้งสามเหลี่ยม จตุรัส และห้าเหลี่ยม

ทฤษฎีบท. มุมแนวตั้งเท่ากัน

การวัดมุมหลายเหลี่ยม

เนื่องจากค่าดีกรีของมุมไดฮีดรัลที่กางออกนั้นวัดโดยค่าดีกรีของมุมเชิงเส้นที่สอดคล้องกันและเท่ากับ 180 ° เราจะถือว่าค่าดีกรีของพื้นที่ทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วยมุมไดฮีดรัลที่กางออกสองมุมคือ 360 ° . ขนาดของมุมรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงเป็นองศา แสดงว่ามีพื้นที่ว่างเท่าใดที่มุมหลายหน้ากำหนด ตัวอย่างเช่น มุมสามเหลี่ยมของลูกบาศก์กินพื้นที่หนึ่งในแปดของพื้นที่ ดังนั้น ค่าองศาของลูกบาศก์คือ 360 °: 8 = 45 ° มุมสามเหลี่ยมที่ถูกต้อง NS- ปริซึมเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้าง เมื่อพิจารณาว่ามุมไดฮีดรัลนี้เท่ากัน เราพบว่ามุมสามด้านของปริซึมคือ

แบบฝึกหัด 1

มีมุมสามเหลี่ยมที่มีมุมแบนได้ไหม: a) 30 °, 60 °, 20 °; ข) 45 °, 45 °, 90 °; ค) 30 °, 45 °, 60 °?

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

ไม่มีคำตอบ;

แบบฝึกหัดที่ 2

ยกตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าตัดกันที่จุดยอดเท่านั้น: a) มุมสามหน้า; b) มุมจัตุรมุข; c) มุมห้าเหลี่ยม

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: ก) จัตุรมุข, ลูกบาศก์, สิบสองหน้า;

b) แปดด้าน;

c) icosahedron

แบบฝึกหัด # 3

มุมระนาบทั้งสองมุมของมุมสามเหลี่ยมคือ 70 ° และ 80 ° อะไรคือขอบเขตของมุมแบนที่สาม?

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: 10 o

1. รูปภาพแสดงรูปทรงหลายเหลี่ยม มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแนวตรง ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดยอด A และ C2

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

3. ค้นหามุม CAD2 ของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูป มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแนวตรง ให้คำตอบเป็นองศา

พิจารณาสามเหลี่ยม CAD2 โดยที่ AC = CD2 = AD2 เนื่องจากเป็นเส้นทแยงมุมที่มีกำลังสองเท่ากัน ดังนั้น สามเหลี่ยม CAD2 จึงมีด้านเท่ากันหมด ดังนั้น มุมทั้งหมดของมันคือ 60 °

4. ค้นหามุม ABD ของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูป มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแนวตรง ให้คำตอบเป็นองศา

โปรดทราบว่า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน 2 และ BD เป็นเส้นทแยงมุม ดังนั้นสามเหลี่ยม ABD จึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีหน้าจั่ว AB = AD มุม ABD คือ 45 °

5. รูปแสดงรูปทรงหลายเหลี่ยม มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแนวตรง จงหากำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดยอด B2 และ D3

6. รูปภาพแสดงรูปทรงหลายเหลี่ยม มุมไดเฮดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแนวตรง จงหากำลังสองของระยะห่างระหว่างจุดยอด A และ C3

7. ค้นหามุม EAD2 ของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูป มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นแนวตรง ให้คำตอบเป็นองศา

แบบฝึกหัดที่ 5

ในมุมสามเหลี่ยม มุมแบนสองมุมมีค่าเท่ากับ 45 ° มุมไดฮีดรัลระหว่างพวกมันเป็นเส้นตรง หามุมแบนที่สาม

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: 18.00 น.

แบบฝึกหัด 6

มุมแบนของมุมสามเหลี่ยมคือ 60 ° 60 ° และ 90 ° ส่วนที่เท่ากันถูกวางบนขอบจากด้านบน OA , OB , OC . จงหามุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบมุม 90 องศากับระนาบ ABC .

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: 9 0 น.

แบบฝึกหัด 7

แต่ละมุมแบนของมุมสามเหลี่ยมคือ 60 ° ที่ขอบด้านหนึ่งมีการวางส่วนที่เท่ากับ 3 ซม. จากด้านบนและแนวตั้งฉากจะลดลงจากปลายไปยังใบหน้าตรงข้าม หาความยาวของเส้นตั้งฉากนี้

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: ดู

แบบฝึกหัด 8

หาโลคัสของจุดด้านในของมุมสามเหลี่ยมที่ห่างจากขอบเท่ากัน

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: รังสีเอกซ์ ซึ่งเป็นจุดยอดของมุมสามเหลี่ยม วางอยู่บนเส้นตัดของระนาบที่แบ่งมุมไดฮีดรัลออกเป็นสองส่วน

แบบฝึกหัดที่ 9

หาตำแหน่งของจุดภายในของมุมสามเหลี่ยมที่ห่างจากขอบเท่ากัน

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: รังสีเอกซ์ ซึ่งเป็นจุดยอดของมุมสามเหลี่ยม วางอยู่บนเส้นตัดของระนาบที่ผ่านเส้นแบ่งครึ่งของมุมระนาบและตั้งฉากกับระนาบของมุมเหล่านี้

แบบฝึกหัด # 10

หาค่าโดยประมาณของมุมสามเหลี่ยมของจัตุรมุข

สำหรับมุมไดฮีดรัลของจัตุรมุข เรามี:

โดยที่ 70 ประมาณ 30 "

สำหรับมุมสามเหลี่ยมของจัตุรมุข เรามี:

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: 15 ประมาณ 45 "

แบบฝึกหัด 11

หาค่าโดยประมาณของมุมจัตุรมุขของรูปแปดด้าน

สำหรับมุมไดฮีดรัลของรูปแปดด้าน เรามี:

จากไหน 109 ประมาณ 30 "

สำหรับมุมจัตุรมุขของรูปแปดด้าน เรามี:

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: 38 ประมาณ 56 "

แบบฝึกหัด 12

หาค่าโดยประมาณของมุมห้าเหลี่ยมของรูปห้าเหลี่ยม

สำหรับมุมไดฮีดรัลของ icosahedron เรามี:

ที่ไหน 138 ประมาณ 11 "

สำหรับมุมห้าเหลี่ยมของ icosahedron เรามี:

คำตอบ: 75 ประมาณ 28 "

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

แบบฝึกหัด # 13

หาค่าโดยประมาณของมุมสามด้านของสิบสองหน้า

สำหรับมุมไดฮีดรัลของสิบสองหน้า เรามี:

โดยที่ 116 ประมาณ 3 4 "

สำหรับมุมสามหน้าของสิบสองเหลี่ยม เรามี:

คำตอบ: 84 ประมาณ 51 "

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

แบบฝึกหัด # 14

ในปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ SABCDด้านฐาน 2 ซม. สูง 1 ซม. หามุมสี่ด้านที่ยอดพีระมิดนี้

วิธีแก้ไข: ปิรามิดที่ระบุจะแบ่งลูกบาศก์ออกเป็นหกพีระมิดเท่าๆ กัน โดยมียอดอยู่ตรงกลางของลูกบาศก์ ดังนั้น มุมทั้ง 4 ด้านที่ปลายพีระมิดจึงเท่ากับหนึ่งในหกของมุม 360 ° กล่าวคือ เท่ากับ 60 หน้า

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: 60 น.

แบบฝึกหัด 15

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ ขอบด้านข้างเท่ากับ 1 มุมยอดคือ 90 ° หามุมสามด้านที่ด้านบนของปิรามิดนี้

วิธีแก้ปัญหา: ปิรามิดที่ระบุแบ่งรูปแปดด้านออกเป็นแปดพีระมิดเท่าๆ กันโดยมีจุดยอดอยู่ตรงกลาง อู๋รูปแปดด้าน ดังนั้น มุม 3 ด้านที่ปลายพีระมิดจึงเท่ากับหนึ่งในแปดของมุม 360 ° กล่าวคือ เท่ากับ 45 หน้า

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

คำตอบ: 45 น.

แบบฝึกหัด # 16

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ ขอบด้านข้างเท่ากับ 1 และความสูง จงหามุมสามด้านที่ยอดของพีระมิดนี้

วิธีแก้ปัญหา: ปิรามิดที่ระบุแบ่งสี่เหลี่ยมจตุรัสปกติออกเป็นสี่พีระมิดเท่ากันโดยมีจุดยอดอยู่ตรงกลาง อู๋จัตุรมุข. ดังนั้น มุม 3 ด้านที่ปลายพีระมิดจึงเท่ากับหนึ่งในสี่ของมุม 360 ° กล่าวคือ เท่ากับ 90 o

ในโหมดสไลด์ คำตอบจะปรากฏขึ้นหลังจากคลิกเมาส์

มุมสามเหลี่ยมและรูปทรงหลายเหลี่ยม: มุมสามเหลี่ยมเป็นรูปที่เกิดจากระนาบสามระนาบที่ล้อมรอบด้วยรังสีสามเส้นที่เปล่งออกมาจากจุดหนึ่งและไม่นอนอยู่ในระนาบเดียว พิจารณารูปหลายเหลี่ยมแบนๆ และจุดที่อยู่นอกระนาบของรูปหลายเหลี่ยมนี้ ลองวาดจากจุดนี้รังสีที่ผ่านจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม เราได้รูปร่างที่เรียกว่ามุมหลายหน้า

มุมสามเหลี่ยมเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยมุมแบนสามมุมที่มีจุดยอดร่วมและด้านร่วมคู่ที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน จุดยอดร่วม O ของมุมเหล่านี้เรียกว่าจุดยอดของมุมสามส่วน ด้านข้างของมุมเรียกว่าขอบและมุมแบนที่จุดยอดของมุมสามเหลี่ยมเรียกว่าใบหน้า ใบหน้าทั้งสามคู่ของมุมสามส่วนสร้างมุมไดฮีดรัลที่มีมุมระนาบ

; +>; +> 2. ผลรวมของมุมระนาบของมุมสามส่วนมีค่าน้อยกว่า 360 องศา α, β, γ มุมระนาบ, A, B, C มุมไดฮีดรัล องค์ประกอบ "title =" (! LANG: คุณสมบัติพื้นฐานของมุมสามส่วน 1. มุมระนาบแต่ละมุมของมุมสามด้านมีค่าน้อยกว่าผลรวมของมุมแบนอีกสองมุม +>; +>; +> 2. ผลรวมของมุมเรียบของมุมสามส่วนน้อยกว่า 360 องศา α, β, γ มุมแบน A, B, C มุมไดฮีดรัล องค์ประกอบ" class="link_thumb"> 4 !}คุณสมบัติพื้นฐานของมุมสามเหลี่ยม 1 มุมระนาบแต่ละมุมของมุมสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลรวมของมุมระนาบสองมุมที่เหลือ +>; +>; +> 2. ผลรวมของมุมระนาบของมุมสามส่วนน้อยกว่า 360 องศา Α, β, γ คือมุมระนาบ, A, B, C คือมุมไดฮีดรัลที่ประกอบขึ้นจากระนาบของมุม β และ γ, α และ γ, α และ β 3. ทฤษฎีบทโคไซน์แรกสำหรับมุมสามส่วน 4. ทฤษฎีบทโคไซน์ที่สองสำหรับมุมสามส่วน ; +>; +> 2. ผลรวมของมุมแบนของมุมสามส่วนน้อยกว่า 360 องศา α, β, γ มุมแบน A, B, C มุมไดฮีดรัล องค์ประกอบ ">; +>; +> 2. ผลรวมของ มุมเรียบของมุมสามส่วนน้อยกว่า 360 องศา α, β , γ คือมุมระนาบ A, B, C คือมุมไดฮีดรัลที่ประกอบด้วยระนาบของมุม β และ γ, α และ γ, α และ β 3 โคไซน์แรก ทฤษฎีบทสำหรับมุมสามส่วน 4 ทฤษฎีบทโคไซน์ที่สองสำหรับมุมสามส่วน ">; +>; +> 2. ผลรวมของมุมแบนของมุมสามส่วนมีค่าน้อยกว่า 360 องศา α, β, γ มุมแบน A, B, C มุมไดฮีดรัล องค์ประกอบ "title =" (! LANG: คุณสมบัติพื้นฐานของมุมสามส่วน 1. มุมแบนแต่ละมุมของมุมสามส่วนมีค่าน้อยกว่าผลรวมของมุมแบนอีกสองมุม +>; +>; +> 2. ผลรวมของมุมแบนของมุมสามส่วนน้อยกว่า 360 องศา α, β, γ มุมแบน A, B, C มุมไดฮีดรัล องค์ประกอบ"> title="คุณสมบัติพื้นฐานของมุมสามเหลี่ยม 1 มุมระนาบแต่ละมุมของมุมสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่าผลรวมของมุมระนาบสองมุมที่เหลือ +>; +>; +> 2 ผลรวมของมุมแบนของมุมสามส่วนน้อยกว่า 360 องศา α, β, γ มุมแบน A, B, C มุมไดฮีดรัล องค์ประกอบ"> !}

ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมที่ก่อตัวขึ้น ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอด 2 จุดที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

สไลด์ 1

รูปที่เกิดจากพื้นผิวที่ระบุและหนึ่งในสองส่วนของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยมันถูกเรียกว่ามุมหลายเหลี่ยม จุดยอดทั่วไป S เรียกว่า จุดยอดของมุมหลายหน้า คาน SA1,…, SAn เรียกว่าขอบของมุมหลายหน้า และมุมระนาบ A1SA2, A2SA3,…, An-1SAn, AnSA1 เรียกว่าใบหน้าของมุมหลายหน้า มุมหลายเหลี่ยมแสดงด้วยตัวอักษร SA1 ... An ระบุจุดยอดและจุดบนขอบ พื้นผิวที่เกิดจากชุดมุมระนาบจำกัด A1SA2, A2SA3, ..., An-1SAn, AnSA1 ที่มีจุดยอดร่วม S ซึ่งมุมที่อยู่ติดกันไม่มีจุดร่วม ยกเว้นจุดของรังสีร่วม และไม่ใช่- มุมที่อยู่ติดกันไม่มีจุดร่วม ยกเว้นจุดยอดร่วม เราจะเรียกว่าพื้นผิวหลายหน้า

สไลด์2


ขึ้นอยู่กับจำนวนของใบหน้า มุมหลายหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม จัตุรมุข ห้าเหลี่ยม ฯลฯ

สไลด์ 3

มุมสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท. มุมระนาบใดๆ ของมุมสามส่วนจะน้อยกว่าผลรวมของมุมระนาบอีกสองมุมที่เหลือ พิสูจน์ พิจารณามุมสามหน้า SABC ให้มุมแบนที่ใหญ่ที่สุดคือมุม ASC แล้วความไม่เท่าเทียมกัน ASB ASC

สไลด์ 4


คุณสมบัติ. ผลรวมของมุมแบนของมุมสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่า 360 ° ในทำนองเดียวกัน สำหรับมุมสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด B และ C จะมีความเหลื่อมล้ำดังต่อไปนี้: ABС

สไลด์ 5

มุมนูนหลายหน้า

มุม polyhedral เรียกว่า convex ถ้าเป็นรูปนูน กล่าวคือ เมื่อรวมกับจุดสองจุดใด ๆ ก็จะมีส่วนที่เชื่อมต่อกัน รูปนี้แสดงตัวอย่างมุม polyhedral นูนและไม่นูน คุณสมบัติ: ผลรวมของมุมระนาบทั้งหมดของมุมหลายเหลี่ยมนูนมีค่าน้อยกว่า 360 ° การพิสูจน์นั้นคล้ายกับการพิสูจน์คุณสมบัติที่สอดคล้องกันสำหรับมุมสามส่วน

สไลด์ 6

มุมหลายเหลี่ยมแนวตั้ง

ตัวเลขแสดงตัวอย่างมุมแนวตั้งสามหน้า จัตุรมุข และห้าเหลี่ยม ทฤษฎีบท มุมแนวตั้งเท่ากัน

สไลด์ 7

การวัดมุมหลายเหลี่ยม

เนื่องจากค่าดีกรีของมุมไดฮีดรัลที่กางออกนั้นวัดโดยค่าดีกรีของมุมเชิงเส้นที่สอดคล้องกันและเท่ากับ 180o เราจะถือว่าค่าดีกรีของพื้นที่ทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วยมุมไดฮีดรัลที่กางออกสองมุมคือ 360o ขนาดของมุมรูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงเป็นองศา แสดงว่ามีพื้นที่ว่างเท่าใดที่มุมหลายหน้ากำหนด ตัวอย่างเช่น มุมสามด้านของลูกบาศก์ใช้พื้นที่หนึ่งในแปด ดังนั้น ค่าองศาของลูกบาศก์คือ 360 °: 8 = 45 ° มุมสามเหลี่ยมในปริซึม n ด้านปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้าง เมื่อพิจารณาว่ามุมไดฮีดรัลนี้เท่ากัน เราพบว่ามุมสามด้านของปริซึมคือ

สไลด์ 8

การวัดมุมสามเหลี่ยม *

ให้เราหาสูตรที่แสดงค่าของมุมสามส่วนผ่านมุมไดฮีดรัลของมัน เราอธิบายหน่วยทรงกลมใกล้กับจุดยอดของมุมสามหน้าของ S และแสดงจุดตัดของขอบของมุมสามเหลี่ยมที่มีทรงกลม A, B, C นี้ ระนาบของใบหน้าของมุมสามส่วนแบ่งทรงกลมนี้เป็นหกคู่ เส้นทแยงมุมทรงกลมเท่ากันซึ่งสอดคล้องกับมุมไดฮีดรัลของมุมสามส่วนนี้ สามเหลี่ยมทรงกลม ABC และสามเหลี่ยมทรงกลมสมมาตร A "B" C "เป็นจุดตัดของไดฮีดรัลสามส่วน ดังนั้น ผลรวมสองเท่าของมุมไดฮีดรัลคือ 360 ° บวกกับค่าสี่เท่าของมุมสามเหลี่ยม หรือ  SA + SB + SC = 180 ° + 2SABC.

สไลด์ 9

การวัดมุมหลายเหลี่ยม *

ให้ SA1… An เป็นมุมนูนด้าน n หารเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก วาดเส้นทแยงมุม A1A3,…, A1An-1 และใช้สูตรที่ได้กับพวกมัน เราจะได้:  SA1 +… + SAn = 180о (n - 2) + 2SA1… An. มุมหลายเหลี่ยมสามารถวัดได้ด้วยตัวเลข อันที่จริงจำนวน2πสอดคล้องกับพื้นที่ทั้งหมดสามร้อยหกสิบองศา ผ่านจากองศาเป็นตัวเลขในสูตรผลลัพธ์ จะได้: SA1 +… + SAn = π (n - 2) + 2SA1…

สไลด์ 10

แบบฝึกหัด 1

มีมุมสามเหลี่ยมที่มีมุมแบนได้ไหม: a) 30 °, 60 °, 20 °; ข) 45 °, 45 °, 90 °; ค) 30 °, 45 °, 60 °? ไม่มีคำตอบ; B: ไม่; ค) ใช่

สไลด์ 11

แบบฝึกหัดที่ 2

ยกตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าตัดกันที่จุดยอดเท่านั้น: a) มุมสามหน้า; b) มุมจัตุรมุข; c) มุมห้าเหลี่ยม คำตอบ: ก) จัตุรมุข, ลูกบาศก์, สิบสองหน้า; b) แปดด้าน; c) icosahedron

สไลด์ 12

แบบฝึกหัด # 3

มุมระนาบทั้งสองมุมของมุมสามเหลี่ยมคือ 70 ° และ 80 ° อะไรคือขอบเขตของมุมแบนที่สาม? คำตอบ: 10o

สไลด์ 13

แบบฝึกหัด 4

มุมแบนของมุมสามเหลี่ยมคือ 45 °, 45 ° และ 60 ° หามุม 45 องศาระหว่างระนาบของมุมแบน คำตอบ: 90o

สไลด์ 14

แบบฝึกหัดที่ 5

ในมุมสามเหลี่ยม มุมแบนสองมุมมีค่าเท่ากับ 45 ° มุมไดฮีดรัลระหว่างพวกมันนั้นถูกต้อง หามุมแบนที่สาม คำตอบ: 60o

สไลด์ 15

แบบฝึกหัด 6

มุมแบนของมุมสามเหลี่ยมคือ 60 ° 60 ° และ 90 ° ส่วนที่เท่ากัน OA, OB, OC ถูกวางบนขอบจากจุดยอด หามุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบมุม 90 องศากับระนาบ ABC คำตอบ: 90o

สไลด์ 16

แบบฝึกหัด 7

แต่ละมุมแบนของมุมสามเหลี่ยมคือ 60 ° ที่ขอบด้านใดด้านหนึ่งจะวางส่วนที่เท่ากับ 3 ซม. จากด้านบนและแนวตั้งฉากจะลดลงจากปลายไปยังใบหน้าตรงข้าม หาความยาวของเส้นตั้งฉากนี้ คำตอบ: ดู

สไลด์ 17

แบบฝึกหัด 8

หาตำแหน่งของจุดภายในของมุมสามเหลี่ยมที่ห่างจากขอบเท่ากัน คำตอบ: รังสีเอกซ์ ซึ่งเป็นจุดยอดของมุมสามเหลี่ยม วางอยู่บนเส้นตัดของระนาบที่แบ่งมุมไดฮีดรัลออกเป็นสองส่วน

สไลด์ 18

แบบฝึกหัดที่ 9

หาตำแหน่งของจุดภายในของมุมสามเหลี่ยมที่ห่างจากขอบเท่ากัน คำตอบ: รังสีเอกซ์ ซึ่งเป็นจุดยอดของมุมสามเหลี่ยม วางอยู่บนเส้นตัดของระนาบที่ผ่านเส้นแบ่งครึ่งของมุมระนาบและตั้งฉากกับระนาบของมุมเหล่านี้

สไลด์ 19

แบบฝึกหัด # 10

สำหรับมุมไดฮีดรัลของจัตุรมุข เรามี: ที่ไหน70о30 " สำหรับมุมสามหน้าของจัตุรมุข เรามี: 15о45". คำตอบ: 15o45 " ค้นหาค่าโดยประมาณของมุมสามเหลี่ยมของจัตุรมุข

สไลด์ 20

แบบฝึกหัด 11

หาค่าโดยประมาณของมุมจัตุรมุขของรูปแปดด้าน สำหรับมุมไดฮีดรัลของรูปแปดด้าน เรามี:, ที่ไหน109о30 " สำหรับมุมจัตุรมุขของรูปแปดด้าน เรามี: 38о56". คำตอบ: 38-56 "

สไลด์ 21

แบบฝึกหัด 12

หาค่าโดยประมาณของมุมห้าเหลี่ยมของรูปห้าเหลี่ยม สำหรับมุมไดฮีดรัลของรูปหน้าเหลี่ยมที่เรามี: จากไหน 138о11 " สำหรับมุมห้าเหลี่ยมของรูปหน้าเหลี่ยมที่เรามี: 75о28" คำตอบ: 75-28 "

สไลด์ 22

แบบฝึกหัด # 13

สำหรับมุมไดฮีดรัลของสิบสองหน้า เรามี: ที่ไหน 116о34 " สำหรับมุมสามหน้าของสิบสองหน้า เรามี: 84о51". คำตอบ: 84o51 " ค้นหาค่าโดยประมาณของมุมสามด้านของสิบสองเหลี่ยม

สไลด์ 23

แบบฝึกหัด # 14

ใน SABCD พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมปกติ ด้านข้างของฐานคือ 2 ซม. ความสูงคือ 1 ซม. จงหามุมของสี่เหลี่ยมที่ปลายสุดของพีระมิดนี้ วิธีแก้ปัญหา: ปิรามิดที่ระบุแบ่งลูกบาศก์ออกเป็นหกปิรามิดเท่าๆ กัน โดยมียอดอยู่ตรงกลางของลูกบาศก์ ดังนั้น มุม 4 ด้านที่ด้านบนของปิรามิดจึงเท่ากับหนึ่งในหกของมุม 360° กล่าวคือ เท่ากับ 60o คำตอบ: 60o

สไลด์ 24

แบบฝึกหัด 15

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ ขอบด้านข้างเท่ากับ 1 มุมยอดคือ 90 ° หามุมสามเหลี่ยมที่ด้านบนของปิรามิดนี้ วิธีแก้ปัญหา: ปิรามิดที่ระบุแบ่งรูปแปดด้านออกเป็นแปดพีระมิดเท่าๆ กัน โดยมีจุดยอดอยู่ตรงกลาง O octahedron ดังนั้น มุม 3 ด้านที่ปลายปิรามิดจึงเท่ากับหนึ่งในแปดของมุม 360° กล่าวคือ เท่ากับ 45o คำตอบ: 45o

สไลด์ 25

แบบฝึกหัด # 16

ในปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ ขอบด้านข้างเท่ากับ 1 และความสูง จงหามุมสามเหลี่ยมที่ปลายพีระมิดนี้ วิธีแก้ปัญหา: ปิรามิดที่ระบุแบ่งจัตุรมุขปกติออกเป็นสี่พีระมิดเท่าๆ กัน โดยมีจุดยอดอยู่ตรงกลางของโอเททราเฮดรอน ดังนั้นมุม 3 ด้านที่ปลายปิรามิดจึงเท่ากับหนึ่งในสี่ของมุม 360 องศา กล่าวคือ เท่ากับ 90o คำตอบ: 90o

ดูสไลด์ทั้งหมด