"ตัวเลขที่น่าเหลือเชื่อของศาสตราจารย์สจ๊วต" บทจากหนังสือ. หนังสือ: ตัวเลขที่น่าเหลือเชื่อของศาสตราจารย์สจ๊วร์ต อัลพิน สารคดีเรื่อง ตัวเลขเหลือเชื่อของศาสตราจารย์สจ๊วต อัลพิน fb2

โลกถูกสร้างขึ้นด้วยพลังของตัวเลข
พีทาโกรัส

แม้แต่ในวัยเด็ก เราเรียนรู้ที่จะนับ จากนั้นที่โรงเรียน เราก็ได้แนวคิดเกี่ยวกับอนุกรมจำนวนที่ไม่จำกัด เกี่ยวกับองค์ประกอบของเรขาคณิต เกี่ยวกับจำนวนเศษส่วนและอตรรกยะ เราศึกษาจุดเริ่มต้นของพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ บทบาทของคณิตศาสตร์ในความรู้สมัยใหม่กิจกรรมภาคปฏิบัติสมัยใหม่นั้นยอดเยี่ยมมาก

หากไม่มีคณิตศาสตร์ ความก้าวหน้าของฟิสิกส์ วิศวกรรม และการจัดระบบการผลิตคงเป็นไปไม่ได้
ตัวเลขเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่ให้คุณแสดงผลการนับหรือการวัดได้ เราต้องการตัวเลขเพื่อควบคุมทั้งชีวิตของเรา พวกเขาล้อมรอบเราทุกที่: จำนวนบ้าน, รถ, วันเดือนปีเกิด, รายรับ...

เอียน สจ๊วร์ต นักคณิตศาสตร์ชื่อดังระดับโลก ผู้เขียนหนังสือที่น่าสนใจหลายเล่ม ยอมรับว่าเขาหลงใหลในตัวเลขตั้งแต่ยังเด็ก และ “เขายังคงหลงใหลในตัวเลขและเรียนรู้ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับตัวเลขเหล่านี้มากขึ้นเรื่อยๆ”

ฮีโร่ของหนังสือเล่มใหม่ของเขาคือตัวเลข ตามที่ศาสตราจารย์ชาวอังกฤษ แต่ละคนมีความเป็นตัวของตัวเอง บางคนมีบทบาทสำคัญในหลายพื้นที่ของคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข π ซึ่งแสดงอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่ตามที่ผู้เขียนกล่าวว่า "แม้แต่ตัวเลขที่เจียมเนื้อเจียมตัวที่สุดก็ยังมีคุณสมบัติที่ผิดปกติอยู่บ้าง" ตัวอย่างเช่น มันเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วย 0 ไม่ว่าด้วยวิธีใด แต่ "ที่ไหนสักแห่งในรากฐานของคณิตศาสตร์ ตัวเลขทั้งหมดสามารถอนุมานได้จากศูนย์" จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดคือ 1 นี่คือหน่วยเลขคณิตหารไม่ได้ ซึ่งเป็นจำนวนบวกอย่างเดียวที่ไม่สามารถหาได้จากการบวกจำนวนบวกที่น้อยกว่า เราเริ่มนับจาก 1 ไม่มีใครมีปัญหาในการคูณด้วย 1 ตัวเลขใด ๆ เมื่อคูณด้วย 1 หรือหารด้วย 1 ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง นี่เป็นตัวเลขเดียวที่ทำงานในลักษณะนี้
สิ่งพิมพ์เปิดขึ้นพร้อมกับภาพรวมโดยย่อของระบบตัวเลข ผู้เขียนแสดงให้เห็นว่าพวกเขาพัฒนาอย่างไรในบริบทของการเปลี่ยนแปลงความคิดของมนุษย์เกี่ยวกับตัวเลข หากความรู้ทางคณิตศาสตร์ในอดีตอันไกลโพ้นถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาในชีวิตประจำวัน การฝึกฝนในปัจจุบันมีงานทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากขึ้นเรื่อยๆ
หนังสือแต่ละบทกล่าวถึง "ตัวเลขที่น่าสนใจ" หนึ่งชุด มีตอนที่ "0", "√2", "-1"... เมื่อคุณอ่านหนังสือของเอียน สจ๊วร์ต คุณจะเริ่มเข้าใจจริงๆ ว่าโลกแห่งตัวเลขช่างน่าอัศจรรย์! แน่นอน สำหรับผู้อ่านที่ไม่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขที่น่าเหลือเชื่อของศาสตราจารย์สจ๊วตอาจดูเหมือนเข้าใจยาก สิ่งพิมพ์นี้ส่งถึงผู้ที่มุ่งมั่นที่จะเป็นนักเลงหรือต้องการอวดความรู้ของพวกเขา แต่ถ้าคุณรักคณิตศาสตร์และต้องการเรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลขขนาดใหญ่พิเศษหรือจำนวนน้อยใหญ่ หนังสือเล่มนี้เหมาะสำหรับคุณ

ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Warwick ผู้มีชื่อเสียงด้านวิทยาศาสตร์เอียน สจ๊วร์ต อุทิศตนให้กับบทบาทของตัวเลขในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติและความเกี่ยวข้องของการศึกษาในสมัยของเรา

ด้านตรงข้ามมุมฉากพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสมีมุมฉากและด้านที่เป็นจำนวนเต็ม อย่างง่ายที่สุด ด้านที่ยาวที่สุดมีความยาว 5 ด้าน ส่วนที่เหลือคือ 3 และ 4 มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด 5 ด้าน สมการดีกรีที่ห้าไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยรากดีกรีห้า หรือรากอื่นๆ โครงตาข่ายในระนาบและในพื้นที่สามมิติไม่มีสมมาตรการหมุนแบบห้ากลีบ ดังนั้น ความสมมาตรดังกล่าวจึงไม่มีอยู่ในคริสตัล อย่างไรก็ตาม พวกมันสามารถอยู่ในโครงตาข่ายในพื้นที่สี่มิติและในโครงสร้างที่น่าสนใจที่เรียกว่าผลึกควอซิกคริสตัล

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่เล็กที่สุด

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉากฉาวโฉ่) สัมพันธ์กับอีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้ด้วยวิธีที่เรียบง่ายและสวยงามมาก: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของอีกด้านหนึ่ง สองข้าง.

ตามเนื้อผ้า เราเรียกทฤษฎีบทนี้ว่าหลังจากพีทาโกรัส แต่ที่จริงแล้ว ประวัติของทฤษฎีนี้ค่อนข้างคลุมเครือ เม็ดดินเหนียวแนะนำว่าชาวบาบิโลนโบราณรู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาก่อนพีทาโกรัสเอง ความรุ่งโรจน์ของผู้ค้นพบถูกนำมาให้เขาโดยลัทธิทางคณิตศาสตร์ของชาวพีทาโกรัสซึ่งผู้สนับสนุนเชื่อว่าจักรวาลมีพื้นฐานมาจากรูปแบบตัวเลข ผู้เขียนโบราณอ้างว่าเป็นชาวพีทาโกรัส - และด้วยเหตุนี้จึงมาจากพีทาโกรัส - ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย แต่อันที่จริงเราไม่รู้ว่าคณิตศาสตร์ประเภทใดของพีทาโกรัสเอง เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าชาวพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้หรือไม่ หรือพวกเขาแค่เชื่อว่ามันเป็นเรื่องจริง หรือมีแนวโน้มมากกว่า ที่พวกเขามีข้อมูลที่น่าเชื่อถือเกี่ยวกับความจริงของมัน ซึ่งยังไม่เพียงพอสำหรับสิ่งที่เราพิจารณาว่าเป็นข้อพิสูจน์ในปัจจุบัน

หลักฐานของพีทาโกรัส

หลักฐานที่รู้จักกันครั้งแรกของทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบได้ในองค์ประกอบของยุคลิด นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อนโดยใช้ภาพวาดที่เด็กนักเรียนชาววิกตอเรียจะจำได้ทันทีว่าเป็น "กางเกงพีทาโกรัส"; ภาพวาดคล้ายกับกางเกงชั้นในที่ตากด้วยเชือก แท้จริงแล้วมีหลักฐานอื่นๆ อีกหลายร้อยที่รู้กัน ซึ่งส่วนใหญ่ทำให้การยืนยันชัดเจนยิ่งขึ้น

การผ่าซากของ Perigal เป็นหลักฐานปริศนาอีกชิ้นหนึ่ง

นอกจากนี้ยังมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้สี่เหลี่ยมซ้อนบนระนาบ บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่ชาวพีทาโกรัสหรือบรรพบุรุษที่ไม่รู้จักค้นพบทฤษฎีบทนี้ ถ้าคุณดูว่าสี่เหลี่ยมเฉียงทับซ้อนกับอีกสองสี่เหลี่ยมที่เหลือ คุณจะเห็นวิธีการตัดสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่เป็นชิ้น ๆ แล้วรวมเข้าด้วยกันเป็นสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ สองอัน คุณยังสามารถดูสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ซึ่งด้านต่างๆ จะเป็นตัวกำหนดขนาดของสี่เหลี่ยมสามสี่เหลี่ยมที่เกี่ยวข้อง

มีการพิสูจน์ที่น่าสนใจโดยใช้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในตรีโกณมิติ อย่างน้อยห้าสิบหลักฐานที่แตกต่างกันเป็นที่รู้จักกัน

แฝดพีทาโกรัส

ในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้กลายเป็นที่มาของแนวคิดที่มีผล นั่นคือ เพื่อค้นหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการพีชคณิต พีทาโกรัสสามตัวเป็นเซตของจำนวนเต็ม a, b และ c ในลักษณะที่ว่า

ก 2 + ข 2 = ค 2 .

ในเชิงเรขาคณิต รูปสามเหลี่ยมดังกล่าวกำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็กที่สุดของพีทาโกรัสสามเท่าคือ 5

อีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้คือ 3 และ 4 ที่นี่

3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 .

ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดถัดไปคือ 10 เพราะ

6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 2 .

อย่างไรก็ตาม โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือสามเหลี่ยมเดียวกันที่มีด้านเป็นสองเท่า ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดและแตกต่างกันอย่างแท้จริงถัดไปคือ 13 ซึ่ง

5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 13 2 .

ยูคลิดรู้ว่ามีรูปแบบต่างๆ มากมายนับไม่ถ้วนของพีทาโกรัสสามเท่า และเขาได้ให้สิ่งที่อาจเรียกได้ว่าเป็นสูตรในการค้นหาพวกมันทั้งหมด ต่อมา Diophantus of Alexandria ได้เสนอสูตรอาหารง่ายๆ โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับ Euclidean

นำตัวเลขธรรมชาติสองตัวใดๆ มาคำนวณ:

ผลิตภัณฑ์คู่ของพวกเขา

ความแตกต่างของกำลังสอง

ผลรวมของกำลังสองของพวกเขา

ผลลัพธ์ทั้งสามจำนวนจะเป็นด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ยกตัวอย่างตัวเลข 2 และ 1 คำนวณ:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 2 × 1 = 4;

ความแตกต่างของกำลังสอง: 2 2 - 1 2 = 3;

ผลรวมของกำลังสอง: 2 2 + 1 2 = 5,

และเราได้สามเหลี่ยม 3-4-5 อันโด่งดัง หากเราใช้ตัวเลข 3 และ 2 แทน เราจะได้:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 3 × 2 = 12;

ความแตกต่างของกำลังสอง: 3 2 - 2 2 = 5;

ผลรวมของกำลังสอง: 3 2 + 2 2 = 13,

และเราได้สามเหลี่ยมดังต่อไป 5 - 12 - 13 ลองเอาตัวเลข 42 และ 23 แล้วได้:

ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 42 × 23 = 1932;

ความแตกต่างของกำลังสอง: 42 2 - 23 2 \u003d 1235;

ผลรวมของกำลังสอง: 42 2 + 23 2 = 2293,

ไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม 1235–1932–2293

แต่ตัวเลขเหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:

1235 2 + 1932 2 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 2293 2 .

มีคุณลักษณะอื่นในกฎไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการบอกใบ้ไปแล้ว: เมื่อได้รับตัวเลขสามตัว เราก็สามารถนำเลขอื่นมาคูณกับเลขนั้นได้ ดังนั้น สามเหลี่ยม 3-4-5 สามารถเปลี่ยนเป็นรูปสามเหลี่ยม 6-8-10 ได้โดยการคูณทุกด้านด้วย 2 หรือเป็นสามเหลี่ยม 15-20-25 โดยการคูณทุกอย่างด้วย 5

ถ้าเราเปลี่ยนไปใช้ภาษาของพีชคณิต กฎจะใช้รูปแบบต่อไปนี้: ให้ u, v และ k เป็นตัวเลขธรรมชาติ แล้วสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน

2kuv และ k (u 2 – v 2) มีด้านตรงข้ามมุมฉาก

มีวิธีอื่นในการนำเสนอแนวคิดหลัก แต่ทุกวิธีล้วนมาจากแนวคิดที่อธิบายข้างต้น วิธีนี้ช่วยให้คุณได้ทริเปิลพีทาโกรัสทั้งหมด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าตัวพอดี รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยม) เป็นรูปทรงสามมิติที่มีหน้าแบนจำนวนจำกัด แง่มุมมาบรรจบกันในเส้นที่เรียกว่าขอบ ขอบมาบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าจุดยอด

จุดสุดยอดของ "หลักการ" แบบยุคลิดเป็นข้อพิสูจน์ว่ามีเพียงห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดา นั่นคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ใบหน้าแต่ละข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากัน มุมเท่ากัน) ใบหน้าทั้งหมดเหมือนกัน และจุดยอดทั้งหมดล้อมรอบ โดยจำนวนใบหน้าที่เว้นระยะเท่ากัน ต่อไปนี้เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ:

จัตุรมุขที่มีสี่หน้าสามเหลี่ยมสี่จุดยอดและหกขอบ;

ลูกบาศก์หรือทรงหกเหลี่ยมที่มีหน้าเหลี่ยม 6 ด้าน จุดยอด 8 จุดและขอบ 12 ด้าน

รูปแปดด้านที่มี 8 หน้าสามเหลี่ยม 6 จุดยอดและ 12 ขอบ;

สิบสองเหลี่ยมที่มี 12 ใบหน้าห้าเหลี่ยม 20 จุดยอดและ 30 ขอบ

icosahedron ที่มีหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้า จุดยอด 12 จุด และขอบ 30 ด้าน

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในปี 1904 Ernst Haeckel ได้ตีพิมพ์ภาพวาดของสิ่งมีชีวิตขนาดเล็กที่เรียกว่าเรดิโอลาเรียน หลายคนมีรูปร่างเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าอันเหมือนกัน อย่างไรก็ตามบางทีเขาแก้ไขธรรมชาติเล็กน้อยและภาพวาดไม่ได้สะท้อนรูปร่างของสิ่งมีชีวิตที่เฉพาะเจาะจงอย่างสมบูรณ์ โครงสร้างสามตัวแรกยังพบในผลึก คุณจะไม่พบ dodecahedron และ icosahedron ในคริสตัลแม้ว่าบางครั้งจะเจอ dodecahedrons และ icosahedrons dodecahedrons ที่แท้จริงสามารถเกิดขึ้นได้เป็น quasicrystal ซึ่งเหมือนกับคริสตัลในทุก ๆ ด้าน ยกเว้นว่าอะตอมของพวกมันจะไม่ก่อตัวเป็นตารางธาตุ

การสร้างแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมธรรมดาจากกระดาษอาจเป็นเรื่องที่น่าสนใจโดยการตัดชุดใบหน้าที่เชื่อมต่อถึงกันออกก่อน ซึ่งเรียกว่าการกวาดรูปทรงหลายเหลี่ยม การสแกนจะถูกพับตามขอบและติดกาวที่ขอบที่เกี่ยวข้องกัน เป็นประโยชน์ในการเพิ่มพื้นที่เพิ่มเติมสำหรับกาวที่ขอบด้านหนึ่งของคู่แต่ละคู่ดังแสดงในรูปที่ 39. หากไม่มีแท่นคุณสามารถใช้เทปกาวได้

สมการของดีกรีที่ห้า

ไม่มีสูตรพีชคณิตสำหรับการแก้สมการของดีกรีที่ 5

โดยทั่วไป สมการของดีกรีที่ห้าจะมีลักษณะดังนี้:

ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + อดีต + f = 0

ปัญหาคือการหาสูตรสำหรับการแก้สมการดังกล่าว (สามารถมีได้มากถึงห้าคำตอบ) ประสบการณ์ในการจัดการกับสมการกำลังสองและสมการกำลังสาม เช่นเดียวกับสมการของดีกรีที่สี่ แสดงให้เห็นว่าสูตรดังกล่าวควรมีอยู่ในสมการของดีกรีที่ห้าด้วย และในทางทฤษฎี รากของดีกรีที่ห้า สาม และสองควรมี ปรากฏในนั้น อีกครั้งหนึ่งสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยว่าสูตรดังกล่าวหากมีอยู่จะกลายเป็นซับซ้อนมาก

สมมติฐานนี้กลับกลายเป็นว่าผิดในที่สุด อันที่จริงไม่มีสูตรดังกล่าวอยู่ อย่างน้อยก็ไม่มีสูตรที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ a, b, c, d, e และ f ซึ่งประกอบด้วยการบวก การลบ การคูณและการหาร และการรูท ดังนั้นจึงมีบางอย่างที่พิเศษมากเกี่ยวกับหมายเลข 5 สาเหตุของพฤติกรรมที่ผิดปกติของทั้งห้านี้ลึกซึ้งมาก และต้องใช้เวลามากในการหาคำตอบ

สัญญาณแรกของปัญหาคือไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะพยายามหาสูตรดังกล่าวมากแค่ไหน ไม่ว่าพวกเขาจะฉลาดแค่ไหน พวกเขาล้มเหลวเสมอ ในบางครั้ง ทุกคนเชื่อว่าเหตุผลอยู่ในความซับซ้อนที่เหลือเชื่อของสูตร เชื่อกันว่าไม่มีใครสามารถเข้าใจพีชคณิตนี้ได้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เมื่อเวลาผ่านไป นักคณิตศาสตร์บางคนเริ่มสงสัยว่าสูตรดังกล่าวมีอยู่จริง และในปี 1823 Niels Hendrik Abel สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้ ไม่มีสูตรดังกล่าว หลังจากนั้นไม่นาน Évariste Galois ก็พบวิธีที่จะตัดสินว่าสมการหนึ่งดีกรีหนึ่งหรืออย่างอื่น - 5, 6, 7, โดยทั่วไปแล้ว - แก้ได้โดยใช้สูตรประเภทนี้

ข้อสรุปจากทั้งหมดนี้เป็นเรื่องง่าย: หมายเลข 5 เป็นพิเศษ คุณสามารถแก้สมการพีชคณิต (โดยใช้รากที่ n สำหรับค่าต่างๆ ของ n) สำหรับกำลังของ 1, 2, 3 และ 4 แต่ไม่ใช่สำหรับเลขยกกำลัง 5 นี่คือจุดสิ้นสุดของรูปแบบที่ชัดเจน

ไม่มีใครแปลกใจที่สมการของพลังที่มากกว่า 5 มีพฤติกรรมแย่กว่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาเดียวกันกับพวกเขา: ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหา นี่ไม่ได้หมายความว่าสมการไม่มีคำตอบ ไม่ได้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะหาค่าตัวเลขที่แม่นยำมากของโซลูชันเหล่านี้ มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับข้อจำกัดของเครื่องมือพีชคณิตแบบดั้งเดิม สิ่งนี้ชวนให้นึกถึงความเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดมุมด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ มีคำตอบ แต่วิธีการที่ระบุไว้ไม่เพียงพอและไม่อนุญาตให้คุณระบุได้ว่ามันคืออะไร

ข้อจำกัดด้านผลึกศาสตร์

คริสตัลในสองและสามมิติไม่มีสมมาตรในการหมุน 5 ลำ

อะตอมในผลึกก่อตัวเป็นโครงตาข่าย นั่นคือ โครงสร้างที่ทำซ้ำเป็นระยะๆ ในทิศทางที่เป็นอิสระหลายทิศทาง ตัวอย่างเช่นลวดลายบนวอลล์เปเปอร์จะทำซ้ำตามความยาวของม้วน นอกจากนี้ มักจะทำซ้ำในแนวนอน บางครั้งมีการเปลี่ยนจากวอลล์เปเปอร์ชิ้นหนึ่งเป็นวอลล์เปเปอร์ถัดไป โดยพื้นฐานแล้ววอลล์เปเปอร์เป็นคริสตัลสองมิติ

ลวดลายวอลเปเปอร์บนเครื่องบินมี 17 แบบ (ดูบทที่ 17) พวกเขาแตกต่างกันในประเภทของความสมมาตรนั่นคือในวิธีการขยับรูปแบบอย่างเข้มงวดเพื่อให้มันวางอยู่บนตัวมันเองในตำแหน่งเดิม โดยเฉพาะอย่างยิ่งประเภทของสมมาตรรวมถึงรูปแบบต่างๆ ของสมมาตรแบบหมุน ซึ่งรูปแบบควรหมุนผ่านมุมหนึ่งรอบจุดใดจุดหนึ่ง - ศูนย์กลางของสมมาตร

ลำดับความสมมาตรของการหมุนคือจำนวนครั้งที่คุณสามารถหมุนตัวกล้องให้เต็มวงกลม เพื่อให้รายละเอียดทั้งหมดของภาพกลับสู่ตำแหน่งเดิม ตัวอย่างเช่น การหมุน 90° เป็นสมมาตรในการหมุนอันดับที่ 4* รายการประเภทความสมมาตรในการหมุนที่เป็นไปได้ในโครงผลึกอีกครั้งชี้ให้เห็นถึงความผิดปกติของหมายเลข 5: มันไม่อยู่ที่นั่น มีรูปแบบต่างๆ ที่มีความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่ 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่มีรูปแบบวอลเปเปอร์ใดที่มีความสมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 นอกจากนี้ยังไม่มีสมมาตรในการหมุนของลำดับที่มากกว่า 6 ในคริสตัล แต่การละเมิดลำดับแรกยังคงเกิดขึ้นที่หมายเลข 5

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับระบบผลึกศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ ที่นี่ตาข่ายทำซ้ำตัวเองในสามทิศทางที่เป็นอิสระ มีความสมมาตรที่แตกต่างกัน 219 แบบ หรือ 230 แบบ หากเราพิจารณาการสะท้อนของกระจกของลวดลายเป็นรุ่นที่แยกจากกัน ยิ่งกว่านั้น ในกรณีนี้จะไม่มีความสมมาตรของกระจก อีกครั้ง มีการสังเกตสมมาตรการหมุนของคำสั่ง 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่ใช่ 5 ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าข้อจำกัดด้านผลึกศาสตร์

ในพื้นที่สี่มิติ โครงตาข่ายที่มีสมมาตรอันดับที่ 5 มีอยู่; โดยทั่วไปแล้ว สำหรับโครงตาข่ายที่มีมิติสูงเพียงพอ ลำดับความสมมาตรในการหมุนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ ก็เป็นไปได้

ควอซิคริสตัล

แม้ว่าความสมมาตรในการหมุนอันดับที่ 5 จะไม่สามารถทำได้ในโครงตาข่าย 2D และ 3D แต่ก็สามารถมีอยู่ในโครงสร้างปกติน้อยกว่าเล็กน้อยที่เรียกว่าผลึกควอซิก ด้วยการใช้ภาพร่างของเคปเลอร์ โรเจอร์ เพนโรสได้ค้นพบระบบที่แบนราบที่มีความสมมาตรห้าเท่าแบบทั่วไปมากกว่า พวกเขาถูกเรียกว่า quasicrystal

Quasicrystals มีอยู่ในธรรมชาติ ในปี 1984 Daniel Shechtman ค้นพบว่าโลหะผสมของอะลูมิเนียมและแมงกานีสสามารถก่อตัวเป็นผลึกกึ่งผลึกได้ ในขั้นต้น นักคริสตัลวิทยาได้ทักทายข้อความของเขาด้วยความสงสัย แต่ภายหลังการค้นพบนี้ก็ได้รับการยืนยัน และในปี 2011 เชชท์แมนได้รับรางวัลโนเบลสาขาเคมี ในปี 2009 ทีมนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดย Luca Bindi ได้ค้นพบผลึกเสมือนในแร่จากที่ราบสูงรัสเซีย Koryak ซึ่งเป็นสารประกอบของอะลูมิเนียม ทองแดง และเหล็ก วันนี้แร่นี้เรียกว่า icosahedrite โดยการวัดปริมาณไอโซโทปออกซิเจนต่างๆ ในแร่ด้วยแมสสเปกโตรมิเตอร์ นักวิทยาศาสตร์พบว่าแร่นี้ไม่ได้กำเนิดมาจากโลก มันก่อตัวขึ้นเมื่อประมาณ 4.5 พันล้านปีก่อน ในช่วงเวลาที่ระบบสุริยะเพิ่งเกิดขึ้น และใช้เวลาส่วนใหญ่ในแถบดาวเคราะห์น้อย โคจรรอบดวงอาทิตย์ จนกระทั่งมีสิ่งรบกวนบางอย่างเปลี่ยนวงโคจรของมันและนำมันมายังโลกในที่สุด

เมื่อจัดการกับตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 เราจะย้อนกลับไปพิจารณา 0
จากนั้นอีกหนึ่งก้าวเพื่อรับ -1
สิ่งนี้เปิดโลกทั้งใบของตัวเลขติดลบให้เรา ยังแสดงการใช้ตัวเลขแบบใหม่
ตอนนี้พวกเขาต้องการไม่เพียง แต่สำหรับบัญชีเท่านั้น

0. ไม่มีอะไร - เป็นตัวเลขหรือไม่?

Zero ปรากฏตัวครั้งแรกในระบบการเขียนตัวเลขและมีไว้สำหรับสิ่งนี้ - สำหรับการบันทึกนั่นคือสำหรับสัญกรณ์ ต่อมาศูนย์ได้รับการยอมรับว่าเป็นตัวเลขอิสระและได้รับอนุญาตให้แทนที่ - ซึ่งเป็นหนึ่งในองค์ประกอบพื้นฐานของระบบตัวเลขทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม 0 มีคุณสมบัติที่ผิดปกติหลายอย่างและบางครั้งก็ขัดแย้งกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นไปไม่ได้ที่จะหารสิ่งใดด้วย 0 ด้วยวิธีที่สมเหตุสมผล และที่ใดที่หนึ่ง ลึกลงไป ที่รากฐานของคณิตศาสตร์ ตัวเลขทั้งหมดสามารถหาได้จาก 0

อุปกรณ์ระบบตัวเลข

ในวัฒนธรรมโบราณหลายแห่ง สัญลักษณ์สำหรับ 1, 10 และ 100 ไม่ได้เชื่อมโยงกันแต่อย่างใด ตัวอย่างเช่น ชาวกรีกโบราณใช้ตัวอักษรของตัวอักษรเพื่อแสดงตัวเลข 1 ถึง 9, 10 ถึง 90 และ 100 ถึง 900 ระบบนี้อาจทำให้สับสนได้ แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะง่ายที่จะบอกจากบริบทว่าตัวอักษรหมายถึงอะไร : ตัวอักษรหรือตัวเลขจริง แต่นอกจากนี้ ระบบดังกล่าวยังทำให้การดำเนินการเลขคณิตทำได้ยากมาก

วิธีการเขียนตัวเลขของเรา เมื่อตัวเลขเดียวกันหมายถึงตัวเลขที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในตัวเลข เรียกว่า สัญกรณ์ตำแหน่ง (ดูบทที่ 10) ระบบนี้มีข้อได้เปรียบที่ร้ายแรงมากสำหรับการนับบนกระดาษ "ในคอลัมน์" และนี่คือวิธีการคำนวณส่วนใหญ่ในโลกจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ ด้วยสัญกรณ์ตำแหน่ง สิ่งสำคัญที่ต้องรู้คือกฎพื้นฐานสำหรับการเพิ่มและการคูณอักขระ 0-9 สิบตัว รูปแบบเหล่านี้ยังใช้เมื่อตัวเลขเดียวกันอยู่ในตำแหน่งอื่น
ตัวอย่างเช่น,
23 + 5 = 28   230 + 50 = 280   2300 + 500 = 2800.

อย่างไรก็ตาม ในสัญกรณ์กรีกโบราณ ตัวอย่างสองตัวอย่างแรกมีลักษณะดังนี้:
κγ + ε = κη     σλ + ν = σπ,
และไม่มีความคล้ายคลึงที่ชัดเจนระหว่างพวกเขา

อย่างไรก็ตาม สัญกรณ์ระบุตำแหน่งมีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกหนึ่งอย่าง ซึ่งแสดงออกมาโดยเฉพาะในหมายเลข 2015: ความต้องการสัญลักษณ์ว่าง ในกรณีนี้เขาบอกว่ามีจำนวนไม่ร้อย ไม่จำเป็นต้องมีอักขระว่างในสัญกรณ์กรีก ในจำนวน σπ สมมติว่า σ หมายถึง 200 และ π หมายถึง 80 เราสามารถมั่นใจได้ว่าไม่มีตัวเลขใดอยู่ในตัวเลข เพียงเพราะไม่มีสัญลักษณ์ α - θ อยู่ในนั้น แทนที่จะใช้อักขระ null เราไม่เขียนอักขระตัวเดียวในตัวเลข

หากเราพยายามทำแบบเดียวกันในรูปทศนิยม 2015 จะกลายเป็น 215 และเราไม่สามารถบอกได้ว่าตัวเลขดังกล่าวหมายถึงอะไร: 215, 2150, 2105, 2015 หรืออาจจะเป็น 2,000,150 ในระบบตำแหน่งเวอร์ชันแรกๆ มีการใช้พื้นที่ , 2 15 แต่ช่องว่างนั้นง่ายที่จะพลาด และสองช่องว่างในแถวนั้นเป็นช่องว่างที่ยาวกว่าเล็กน้อย จึงมีความสับสนและมักจะทำผิดพลาดได้ง่าย

ประวัติโดยย่อของ Zero

บาบิลอน

ชาวบาบิโลนเป็นประเทศแรกในบรรดาวัฒนธรรมของโลกที่มีสัญลักษณ์ที่หมายความว่า "ไม่มีตัวเลขที่นี่" ระลึกไว้ (ดูบทที่ 10) ว่าฐานของระบบตัวเลขของชาวบาบิโลนไม่ใช่ 10 แต่ 60 BC อี พวกเขาคิดค้นสัญลักษณ์พิเศษสำหรับสิ่งนี้ อย่างไรก็ตาม ชาวบาบิโลนไม่ได้ถือว่าสัญลักษณ์นี้เป็นตัวเลขจริง นอกจากนี้ สัญลักษณ์นี้ถูกละไว้ในตอนท้ายของตัวเลข และต้องเดาความหมายของมันจากบริบท

อินเดีย

แนวความคิดในการระบุตำแหน่งของตัวเลขในระบบเลขฐาน 10 ปรากฏครั้งแรกในคัมภีร์โลกวิภคซึ่งเป็นข้อความจักรวาลวิทยาเชนจากปี 458 ซึ่งยังใช้ shunya(ซึ่งหมายถึง "ความว่างเปล่า") โดยที่เราจะใส่ 0 ในปี 498 นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดียชื่อดัง Aryabhata ได้บรรยายสัญลักษณ์ตำแหน่งของตัวเลขว่า "สถานที่แล้วสถานที่ แต่ละแห่งมีขนาดใหญ่กว่า 10 เท่า" การใช้อักขระพิเศษครั้งแรกสำหรับเลข 0 ซึ่งสามารถพูดได้อย่างมั่นใจคือในปี 876 ในจารึกที่วัด Chaturbhuja ใน Gwalior; สัญลักษณ์นี้แสดงถึง - เดาอะไร? วงกลมเล็ก.

มายัน

อารยธรรมมายาในอเมริกากลางซึ่งมีจุดสูงสุดในช่วงระหว่าง 250 ถึง 900 ใช้ระบบเลขไวเจซิมอลและมีสัญลักษณ์พิเศษเป็นศูนย์ อันที่จริง วิธีนี้เกิดขึ้นเร็วกว่ามาก และเชื่อกันว่าถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย Olmec (1500-400 ปีก่อนคริสตกาล) นอกจากนี้ ชาวมายายังใช้ตัวเลขในระบบปฏิทินของตนอย่างแข็งขัน ซึ่งเป็นหนึ่งในกฎที่เรียกว่า "การนับจำนวนนาน" นี่หมายถึงการนับวันที่เป็นวันหลังจากวันที่ในตำนานของการสร้างโลกซึ่งตามปฏิทินตะวันตกสมัยใหม่จะตกในวันที่ 11 สิงหาคม 3114 ปีก่อนคริสตกาล อี ในระบบนี้ สัญลักษณ์ของค่า null มีความจำเป็นอย่างยิ่ง เนื่องจากหากไม่มีสัญลักษณ์นี้ จะไม่สามารถหลีกเลี่ยงความกำกวมได้

ศูนย์เป็นตัวเลขหรือไม่?

จนถึงศตวรรษที่ 9 ศูนย์ถูกมองว่าสะดวก สัญลักษณ์สำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขแต่ไม่ถือเป็นตัวเลขในตัวเอง อาจเป็นเพราะว่าไม่ได้ใช้ในการนับ

หากพวกเขาถามว่าคุณมีวัวกี่ตัว - และคุณมีวัว - คุณชี้ไปที่แต่ละตัวแล้วนับ: "หนึ่ง สอง สาม ... " แต่ถ้าคุณไม่มีวัว คุณจะไม่ชี้ ให้วัวตัวหนึ่งแล้วพูดว่า: "ไม่มี" - เพราะคุณไม่มีอะไรจะชี้ เนื่องจาก 0 ไม่เคยนับจึงไม่ใช่ตัวเลข

หากตำแหน่งดังกล่าวดูแปลกสำหรับคุณ ก็ควรสังเกตว่า “หนึ่ง” ก่อนหน้านี้ก็ไม่ถือว่าเป็นตัวเลขเช่นกัน ในบางภาษา คำว่า "จำนวน" ยังหมายถึง "หลาย" หรือแม้แต่ "มากมาย" ในภาษาสมัยใหม่เกือบทั้งหมด มีความแตกต่างระหว่างเอกพจน์และพหูพจน์ ในภาษากรีกโบราณยังมีตัวเลข "คู่" และในการสนทนาเกี่ยวกับวัตถุหรือบุคคลสองรายการมีการใช้คำรูปแบบพิเศษ ดังนั้น ในแง่นี้ "สอง" จึงไม่ถือว่าจำนวนเท่ากันกับจำนวนอื่นทั้งหมด มีให้เห็นในภาษาคลาสสิกอีกหลายภาษาและแม้แต่ภาษาสมัยใหม่บางภาษา เช่น สก็อตแลนด์เกลิคหรือสโลวีเนีย ร่องรอยของแบบฟอร์มเดียวกันจะปรากฏเป็นภาษาอังกฤษ โดยที่ "ทั้งสอง" ( ทั้งสอง) และทั้งหมด" ( ทั้งหมด) เป็นคำที่แตกต่างกัน

เนื่องจากเลขศูนย์กลายเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากขึ้น และแท้จริงแล้วตัวเลขไม่ได้ถูกนำมาใช้เพื่อการนับเท่านั้น เป็นที่แน่ชัดว่าศูนย์มีพฤติกรรมเหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ในหลายประการ ภายในศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียถือว่าศูนย์เป็นจำนวนจริงแล้ว ไม่ใช่แค่สัญลักษณ์ ซึ่งสะดวกต่อการระบุช่องว่างระหว่างสัญลักษณ์อื่นๆ เพื่อความชัดเจน Zero ถูกใช้อย่างอิสระในการคำนวณทุกวัน

บนเส้นจำนวน โดยที่ตัวเลข 1, 2, 3 ... เขียนเรียงจากซ้ายไปขวา ไม่มีใครมีปัญหากับตำแหน่งที่จะใส่ศูนย์: ทางซ้ายของ 1 เหตุผลชัดเจนเพียงพอ: เพิ่ม 1 ไปที่ตัวเลขใดๆ ก็ตาม เลื่อนไปทางขวาหนึ่งขั้น การเพิ่ม 1 ถึง 0 จะเลื่อนเป็น 1 ดังนั้นควรวาง 0 โดยที่ขั้นตอนทางขวาหนึ่งก้าวจะกลายเป็น 1 และนั่นหมายถึงก้าวหนึ่งไปทางซ้ายของ 1

ในที่สุดการรู้จำตัวเลขติดลบได้กำหนดตำแหน่งศูนย์ในชุดของจำนวนจริง ไม่มีใครโต้แย้งว่า 3 เป็นตัวเลข หากเรายอมรับว่า −3 ก็เป็นตัวเลขเช่นกัน และการบวกตัวเลขสองตัวนั้นทำให้เกิดตัวเลขเสมอ ผลลัพธ์ของ 3 + (−3) จะต้องเป็นตัวเลข และตัวเลขก็คือ 0

คุณสมบัติผิดปกติ

ฉันพูดว่า "ศูนย์มีพฤติกรรมเหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ในหลายๆ ด้าน" ในหลาย ๆ ด้านแต่ไม่ทั้งหมด ศูนย์เป็นตัวเลขพิเศษ ควรพิเศษเพราะเป็นตัวเลขเดี่ยว คั่นระหว่างตัวเลขบวกและลบอย่างเรียบร้อย

เป็นที่ชัดเจนว่าการเติม 0 ลงในตัวเลขใดๆ จะไม่เปลี่ยนตัวเลขนั้น ถ้าฉันมีแม่โคสามตัวแต่ไม่ได้เพิ่มอะไรเข้าไปอีก ฉันก็จะมีวัวอยู่สามตัว ต้องยอมรับว่ามีการคำนวณแปลกๆ แบบนี้ด้วย:

แมวตัวหนึ่งมีหางเดียว
ไม่มีแมวตัวไหนมีแปดหาง
ดังนั้น ขอเสริมว่า
แมวตัวหนึ่งมีเก้าหาง

เรื่องตลกเล็ก ๆ น้อย ๆ นี้เล่นกับการอ่าน "ไม่" เชิงลบที่แตกต่างกัน

คุณสมบัติพิเศษของศูนย์นี้หมายความว่า 0 + 0 = 0 ดังนั้น −0 = 0 ศูนย์จึงเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับตัวมันเอง นี่เป็นตัวเลขเดียวเท่านั้น และสิ่งนี้เกิดขึ้นอย่างแม่นยำเพราะศูนย์ถูกคั่นกลางระหว่างตัวเลขบวกและลบบนเส้นจำนวน

แล้วการคูณล่ะ? หากเราพิจารณาการคูณเป็นการบวกตามลำดับแล้ว
2 x 0 = 0 + 0 = 0
3 x 0 = 0 + 0 + 0 = 0
4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0,
และดังนั้นจึง
น× 0 = 0
สำหรับหมายเลขใด ๆ น. อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ก็สมเหตุสมผลในเรื่องการเงินเช่นกัน: ถ้าฉันใส่รูเบิลศูนย์สามครั้งในบัญชีของฉัน ในที่สุดฉันจะไม่ใส่อะไรเลย อีกครั้ง ศูนย์เป็นตัวเลขเดียวที่มีคุณสมบัตินี้

ในทางเลขคณิต ม × นเท่ากับ น × มสำหรับตัวเลขทั้งหมด นและ ม. ข้อตกลงนี้หมายความว่า
0 × น = 0
เพื่อใครก็ได้ นถึงแม้ว่าเราจะเพิ่ม "คูณศูนย์" ไม่ได้ก็ตาม น.

เป็นยังไงบ้างกับดิวิชั่น? การหารศูนย์ด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์นั้นง่ายและชัดเจน: จะได้ศูนย์ ครึ่งหนึ่งของความว่างเปล่า ส่วนที่สามหรือส่วนอื่นๆ ของความว่างเปล่านั้นไม่มีอะไรเลย แต่เมื่อพูดถึงการหารตัวเลขด้วยศูนย์ ความแปลกของศูนย์ก็เข้ามามีบทบาท ตัวอย่างเช่น 1:0 คืออะไร? เรากำหนด ม : นเหมือนเลข qซึ่งนิพจน์เป็นจริง q × น = ม. 1:0 เป็นแบบนี้ q, ซึ่ง q× 0 = 1 อย่างไรก็ตาม ไม่มีตัวเลขดังกล่าว อะไรก็ตามที่เราใช้เป็น q, เราได้รับ q× 0 = 0 และเราจะไม่มีวันได้หน่วย

วิธีที่ชัดเจนในการแก้ปัญหานี้คือการยอมรับ การหารด้วยศูนย์นั้นผิดกฎหมายเพราะไม่สมเหตุสมผล ในทางกลับกัน ก่อนการนำเศษส่วนมาใช้ เชื่อกันว่านิพจน์ 1: 2 ก็ไม่สมเหตุสมผลเช่นกัน ดังนั้นบางทีเราไม่ควรยอมแพ้อย่างรวดเร็ว เราอาจลองหาจำนวนใหม่ที่จะทำให้เราหารด้วยศูนย์ได้ ปัญหาคือตัวเลขดังกล่าวละเมิดกฎพื้นฐานของเลขคณิต ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า 1 × 0 = 2 × 0 เพราะทั้งคู่เป็นศูนย์แยกกัน หารทั้งสองส่วนด้วย 0 เราจะได้ 1 = 2 ซึ่งไร้สาระมาก ดังนั้นจึงดูสมเหตุสมผลที่จะไม่อนุญาตให้หารด้วยศูนย์

ตัวเลขจากอะไร

แนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่อาจใกล้เคียงกับแนวคิดเรื่อง "ไม่มีอะไร" ที่สุดสามารถพบได้ในทฤษฎีเซต พวงของเป็นชุดของวัตถุทางคณิตศาสตร์บางชุด: ตัวเลข รูปทรงเรขาคณิต ฟังก์ชัน กราฟ... ชุดถูกกำหนดโดยการแจงนับหรือคำอธิบายขององค์ประกอบ "เซตของตัวเลข 2, 4, 6, 8" และ "เซตของจำนวนคู่ที่มากกว่า 1 และน้อยกว่า 9" กำหนดชุดเดียวกันซึ่งเราสามารถสร้างโดยการแจงนับ: (2, 4, 6, 8)
โดยที่วงเล็บปีกกา () ระบุว่าองค์ประกอบของชุดนั้นอยู่ภายใน

ราวปี 1880 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Kantor ได้พัฒนาทฤษฎีเซตที่มีรายละเอียด เขาพยายามหาลักษณะทางเทคนิคบางอย่างของแคลคูลัสที่เกี่ยวข้องกับเบรกพอยต์ของฟังก์ชัน - ตำแหน่งที่ฟังก์ชันทำให้เกิดการกระโดดอย่างไม่คาดคิด โครงสร้างของความไม่ต่อเนื่องหลายอย่างมีบทบาทสำคัญในคำตอบของเขา ในเวลาเดียวกัน มันไม่ใช่การพักเดี่ยวที่มีความสำคัญ แต่เป็นทั้งชุด สิ่งที่ Cantor สนใจจริงๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์คือชุดใหญ่อย่างไม่มีขอบเขต เขาค้นพบอย่างจริงจัง: เขาพบว่าอนันต์ไม่เหมือนกัน - บางอันมีขนาดใหญ่กว่าส่วนอื่น ๆ นั้นเล็กกว่า (ดูบทที่ ℵ 0)

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วในหัวข้อ "ตัวเลขคืออะไร" Frege นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันอีกคนหนึ่งหยิบเอาแนวคิดของคันทอร์ แต่เขาสนใจเรื่องเซตไฟไนต์มากกว่ามาก เขาเชื่อว่าด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา จะสามารถแก้ปัญหาทางปรัชญาระดับโลกที่เกี่ยวข้องกับธรรมชาติของตัวเลขได้ เขาคิดว่าชุดมีความเกี่ยวข้องกันอย่างไร ตัวอย่างเช่น จำนวนถ้วยที่เกี่ยวข้องกับจานรองหลายใบ เจ็ดวันในหนึ่งสัปดาห์ คนแคระทั้งเจ็ด และตัวเลข 1 ถึง 7 ตรงกันอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นพวกเขาทั้งหมดจึงกำหนดหมายเลขเดียวกัน

เราควรเลือกชุดใดต่อไปนี้แทนเลขเจ็ด Frege ตอบคำถามนี้ไม่เสียเวลากับมโนสาเร่: ทุกอย่างในครั้งเดียว. เขากำหนดจำนวนเป็นชุดของชุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับชุดที่กำหนด ในกรณีนี้ ไม่ต้องการชุดใดชุดหนึ่ง และเลือกได้อย่างชัดเจน ไม่ใช่แบบสุ่มหรือตามอำเภอใจ สัญลักษณ์และชื่อตัวเลขของเราเป็นเพียงป้ายกำกับที่สะดวกสำหรับอาร์เรย์ขนาดยักษ์เหล่านี้ เลข "เจ็ด" เป็นเซต ทั้งหมดชุดที่เทียบเท่ากับโนมส์ และนี่คือชุดของชุดทั้งหมดที่เทียบเท่ากับวันในสัปดาห์หรือรายการ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

มันอาจจะซ้ำซากที่จะชี้ให้เห็นว่านี่เป็นวิธีแก้ปัญหาที่หรูหรามาก แนวความคิดปัญหาไม่ได้ให้อะไรเราเป็นรูปธรรมในแง่ของระบบที่เหมาะสมในการแทนตัวเลข

เมื่อ Frege นำเสนอความคิดของเขาในกฎพื้นฐานของเลขคณิตสองเล่ม (1893 และ 1903) ดูเหมือนว่าหลายคนจะประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหา ตอนนี้ทุกคนรู้ว่าตัวเลขคืออะไร แต่ก่อนที่เล่มที่สองจะออกมา เบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ ได้เขียนจดหมายถึง Frege ว่า (ฉันจะถอดความเอง): "เรียน Gottlob พิจารณาชุดของชุดทั้งหมดที่ไม่มีตัวเอง" เปรียบเหมือนช่างตัดผมในชนบทที่โกนหนวดผู้ไม่โกนหนวด คำจำกัดความนี้สร้างความขัดแย้ง ความขัดแย้งของรัสเซลล์ดังที่เรียกกันตอนนี้ แสดงให้เห็นว่าอันตรายเพียงใดที่จะถือว่าฉากที่ครอบคลุมทั้งหมดมีอยู่ (ดูบทที่ ℵ 0)

นักตรรกวิทยาทางคณิตศาสตร์พยายามแก้ปัญหา คำตอบกลับกลายเป็นตรงกันข้ามกับ "การคิดแบบกว้างๆ" ของ Frege และนโยบายของเขาในการทิ้งชุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดไว้ในกองเดียว เคล็ดลับคือเลือกชุดใดชุดหนึ่งที่เป็นไปได้ทั้งหมด ในการกำหนดหมายเลข 2 เราต้องสร้างชุดมาตรฐานที่มีสององค์ประกอบ ในการกำหนด 3 คุณสามารถใช้ชุดมาตรฐานที่มีสามองค์ประกอบ เป็นต้น ตรรกะในที่นี้ไม่ได้วนเป็นวงจร ถ้าชุดเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นครั้งแรกโดยไม่ได้ใช้ตัวเลขอย่างชัดเจน จากนั้นจึงกำหนดสัญลักษณ์ตัวเลขและชื่อให้กับชุดเหล่านี้เท่านั้น

ปัญหาหลักคือการเลือกใช้ชุดมาตรฐาน พวกเขาต้องได้รับการกำหนดในลักษณะที่ชัดเจนและไม่เหมือนใคร และโครงสร้างของพวกเขาต้องสัมพันธ์กับกระบวนการนับอย่างใด คำตอบมาจากชุดที่เฉพาะเจาะจงมากซึ่งเรียกว่าชุดว่าง

ศูนย์คือตัวเลข ซึ่งเป็นพื้นฐานของระบบตัวเลขทั้งหมดของเรา ดังนั้นจึงสามารถใช้เพื่อระบุองค์ประกอบของชุดใดชุดหนึ่งได้ ชุดอะไร? มันควรจะเป็นชุดที่ไม่มีองค์ประกอบ ชุดดังกล่าวคิดขึ้นได้ง่าย: ปล่อยให้เป็นเช่น "ชุดหนูทุกตัวที่มีน้ำหนักมากกว่า 20 ตันต่อตัว" ในภาษาของคณิตศาสตร์ นี่หมายความว่ามีเซตที่ไม่มีองค์ประกอบเดียวคือเซตว่าง ในวิชาคณิตศาสตร์ การหาตัวอย่างเป็นเรื่องง่ายเช่นกัน: ชุดของจำนวนเฉพาะที่ทวีคูณของ 4 หรือเซตของสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดยอดสี่จุด เซตเหล่านี้ดูแตกต่าง - ชุดหนึ่งมีตัวเลข อีกรูปสามเหลี่ยม - แต่อันที่จริงแล้วพวกมันเป็นชุดเดียวกัน เนื่องจากตัวเลขและสามเหลี่ยมดังกล่าวไม่มีอยู่จริง และเป็นไปไม่ได้เลยที่จะแยกแยะระหว่างเซต ชุดว่างทั้งหมดมีองค์ประกอบเหมือนกันทุกประการ กล่าวคือ ไม่มี ดังนั้นชุดว่างจึงไม่ซ้ำกัน สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้โดยกลุ่มนักวิทยาศาสตร์ที่ทำงานภายใต้นามแฝงทั่วไปของ Bourbaki ในปี 1939 และมีลักษณะดังนี้: ∅ ทฤษฎีเซตต้องการเซตว่างในลักษณะเดียวกับที่เลขคณิตต้องการเลข 0: ถ้าคุณรวมไว้ ทุกอย่างจะง่ายขึ้นมาก

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดได้ว่า 0 เป็นเซตว่าง

แล้วเลข 1 ล่ะ? เป็นที่ชัดเจนว่าที่นี่เราต้องการชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวและไม่ซ้ำกัน ก็... ชุดว่างๆ มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ดังนั้นเราจึงกำหนด 1 เป็นชุดที่มีองค์ประกอบเพียงอย่างเดียวคือชุดว่าง: ในภาษาสัญลักษณ์ (∅) ซึ่งไม่เหมือนกับชุดว่าง เนื่องจากชุดมีองค์ประกอบเดียว ในขณะที่ชุดว่างไม่มี ฉันยอมรับว่าองค์ประกอบเดียวนี้เป็นชุดว่าง มันเกิดขึ้น แต่องค์ประกอบนี้ยังคงมีอยู่ในชุด คิดว่าชุดนี้เป็นถุงกระดาษที่มีองค์ประกอบ ชุดว่างก็คือชุดเปล่า ชุดที่มีองค์ประกอบเดียวคือชุดว่างคือแพ็คเกจที่มีแพ็คเกจว่างอื่น คุณสามารถเห็นได้ด้วยตัวเองว่านี่ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน - ไม่มีอะไรในแพ็คเกจหนึ่งและมีแพ็คเกจในอีกแพ็คเกจหนึ่ง

ขั้นตอนสำคัญคือการกำหนดหมายเลข 2 เราจำเป็นต้องได้รับชุดเฉพาะที่มีสององค์ประกอบ เหตุใดจึงไม่ใช้สองชุดที่เรากล่าวถึงจนถึงตอนนี้: ∅ และ (∅) ดังนั้นเราจึงกำหนด 2 เป็นเซต (∅, (∅)) และนี่ ตามคำจำกัดความของเรา มันเหมือนกับ 0, 1

ตอนนี้รูปแบบทั่วไปกำลังเริ่มปรากฏให้เห็น มากำหนดกัน 3 = 0, 1, 2 - ชุดที่มีสามองค์ประกอบที่เราได้กำหนดไว้แล้ว จากนั้น 4 = 0, 1, 2, 3; 5 = 0, 1, 2, 3, 4 เป็นต้น ทุกอย่าง ถ้าคุณแยกออก ให้กลับไปเป็นเซตว่าง ตัวอย่างเช่น,
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}.

ไม่น่าเป็นไปได้ที่คุณจะต้องการดูว่าจำนวนของพวกโนมส์เป็นอย่างไร

วัสดุก่อสร้างที่นี่คือนามธรรม: ชุดว่างและการกระทำของการสร้างชุดโดยแจกแจงองค์ประกอบของมัน แต่วิธีที่ชุดเหล่านี้เกี่ยวข้องกันนำไปสู่การสร้างกรอบการทำงานที่เข้มงวดสำหรับระบบตัวเลข ซึ่งแต่ละหมายเลขเป็นชุดพิเศษที่ (โดยสัญชาตญาณ) มีจำนวนองค์ประกอบนั้นพอดี และเรื่องราวไม่ได้จบเพียงแค่นั้น เมื่อเรากำหนดจำนวนธรรมชาติแล้ว เราสามารถใช้กลอุบายที่คล้ายกันกับทฤษฎีเซตเพื่อกำหนดจำนวนลบ เศษส่วน จำนวนจริง (ทศนิยมอนันต์) ตัวเลขที่ซับซ้อน และอื่นๆ จนถึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยที่สุดในทฤษฎีควอนตัม

ดังนั้นตอนนี้คุณก็รู้ความลับที่น่ากลัวของคณิตศาสตร์แล้ว: ความว่างเปล่าอยู่ที่พื้นฐานของมัน

-หนึ่ง. น้อยกว่าไม่มีอะไร

ตัวเลขสามารถน้อยกว่าศูนย์ได้หรือไม่? การนับวัวคุณจะไม่ได้รับอะไรแบบนั้น เว้นแต่คุณจะจินตนาการถึง "วัวเสมือน" ที่คุณเป็นหนี้ใครสักคน ในกรณีนี้ คุณจะมีการขยายแนวคิดเรื่องตัวเลขอย่างเป็นธรรมชาติ ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมากสำหรับนักพีชคณิตและนักบัญชี ในเวลาเดียวกัน ความประหลาดใจรอคุณอยู่: ลบคูณลบให้บวก ทำไม

ตัวเลขติดลบ

เมื่อเรียนรู้การบวกตัวเลขแล้ว เราก็เริ่มที่จะเชี่ยวชาญการดำเนินการผกผัน: การลบ ตัวอย่างเช่น 4 - 3 ในคำตอบให้ตัวเลขที่เมื่อบวกกับ 3 จะให้ 4 นี้แน่นอนคือ 1 การลบมีประโยชน์เพราะถ้าไม่มีตัวอย่างเช่นเป็นเรื่องยากสำหรับเราที่จะรู้ว่า เราจะเหลือเงินอีกมากถ้าในตอนแรกเรามี 4 rubles และเราใช้ 3 rubles

การลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากขึ้นนั้นแทบจะไม่มีปัญหาเลย ถ้าเราใช้เงินน้อยกว่าที่เรามีในกระเป๋าหรือกระเป๋าเงิน เราก็ยังมีของเหลืออยู่ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราลบจำนวนที่มากกว่าออกจากจำนวนที่น้อยกว่า? 3 − 4 คืออะไร?

หากคุณมีเหรียญ 1 รูเบิลสามเหรียญในกระเป๋าของคุณ คุณจะไม่สามารถนำเหรียญดังกล่าวสี่เหรียญออกจากกระเป๋าของคุณและมอบให้กับแคชเชียร์ในซูเปอร์มาร์เก็ตได้ แต่ทุกวันนี้ บัตรเครดิต ใครๆ ก็สามารถใช้จ่ายเงินที่ไม่มีได้อย่างง่ายดาย และไม่เพียงแต่จะไม่มีในกระเป๋าเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในบัญชีธนาคารด้วย เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้นบุคคลนั้นเป็นหนี้ ในกรณีนี้หนี้จะมีจำนวน 1 รูเบิลไม่นับดอกเบี้ยธนาคาร ดังนั้น ในแง่หนึ่ง 3 − 4 เท่ากับ 1 แต่ อื่น 1: หน่วยของหนี้ไม่ใช่เงิน ถ้า 1 มีตรงกันข้ามก็จะเป็นเพียงแค่นั้น

เพื่อแยกความแตกต่างของหนี้ออกจากเงินสด เป็นเรื่องปกติที่จะใส่เครื่องหมายลบหน้าตัวเลข ในบันทึกดังกล่าว
3 − 4 = −1,
และเราสามารถพิจารณาได้ว่าเราได้คิดค้นตัวเลขประเภทใหม่: เชิงลบตัวเลข.

ประวัติของตัวเลขติดลบ

ในอดีต การขยายใหญ่ครั้งแรกของระบบตัวเลขคือเศษส่วน (ดูบทที่ ½) ที่สองคือจำนวนลบ อย่างไรก็ตาม ฉันตั้งใจที่จะจัดการกับตัวเลขประเภทนี้ในลำดับที่กลับกัน การอ้างอิงถึงตัวเลขติดลบครั้งแรกที่ทราบนั้นอยู่ในเอกสารจีนจากราชวงศ์ฮั่น (202 ปีก่อนคริสตกาล - 220 AD) เรื่อง "ศิลปะแห่งการนับในเก้าส่วน" ("Ju Zhang Xuan Shu")

หนังสือเล่มนี้ใช้ "ผู้ช่วย" ทางกายภาพในการนับ: นับไม้ เป็นแท่งเล็กๆ ที่ทำจากไม้ กระดูก หรือวัสดุอื่นๆ เพื่อแสดงตัวเลข แท่งไม้ถูกจัดวางเป็นตัวเลขบางตัว ในหลักหน่วยของตัวเลข เส้นแนวนอนหมายถึง "หนึ่ง" และเส้นแนวตั้งหมายถึง "ห้า" ตัวเลขในหลักร้อยเหมือนกัน ในตัวเลขหลักหมื่น ทิศทางของแท่งไม้จะกลับด้าน: อันแนวตั้งหมายถึง "หนึ่ง" และอันแนวนอน - "ห้า" โดยที่เราจะใส่ 0 คนจีนก็เว้นช่องว่างไว้ อย่างไรก็ตาม ช่องว่างนั้นง่ายต่อการพลาด ซึ่งในกรณีนี้กฎเกี่ยวกับการเปลี่ยนทิศทางจะช่วยหลีกเลี่ยงความสับสน ตัวอย่างเช่น ไม่มีอะไรในสิบส่วน วิธีนี้มีประสิทธิภาพน้อยกว่าหากตัวเลขมีเลขศูนย์หลายตัวติดต่อกัน แต่กรณีนี้พบไม่บ่อย

ในศิลปะการนับจำนวนเก้าส่วน แท่งไม้ยังใช้แทนตัวเลขติดลบ และด้วยวิธีง่ายๆ ก็คือ ทาสีดำไม่ใช่สีแดง ดังนั้น
4 แท่งสีแดง ลบ 3 แท่งสีแดง เท่ากับ 1 แท่งสีแดง
แต่
3 แท่งสีแดง ลบ 4 แท่งสีแดง เท่ากับ 1 แท่งสีดำ

ดังนั้น แท่งสีดำจึงหมายถึงหนี้ และจำนวนหนี้ก็สอดคล้องกับตัวเลขแท่งสีแดง

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียยังจำตัวเลขติดลบได้ นอกจากนี้ พวกเขาสร้างกฎที่สอดคล้องกันสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกเขา

ต้นฉบับ Bakhshali ซึ่งสืบเนื่องมาจากศตวรรษที่ 3 มีการคำนวณด้วยตัวเลขติดลบ ซึ่งสามารถแยกความแตกต่างจากที่อื่นได้ด้วยเครื่องหมาย + ในสถานที่ที่เราจะใช้ - (สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เปลี่ยนไปซ้ำแล้วซ้ำอีกตามกาลเวลา บางครั้งในลักษณะที่เราสับสนในตัวมันจึงไม่น่าแปลกใจ) นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับหยิบแนวคิดนี้ขึ้นมา และค่อยๆ แพร่กระจายไปทั่วยุโรปจากแนวคิดดังกล่าว จนถึงศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปมักจะตีความคำตอบเชิงลบเพื่อเป็นข้อพิสูจน์ว่าปัญหาที่เป็นปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข แต่ฟีโบนักชีเข้าใจดีอยู่แล้วว่าในการคำนวณทางการเงิน พวกเขาสามารถเป็นตัวแทนของหนี้ได้ ภายในศตวรรษที่ 19 ตัวเลขติดลบไม่ได้ทำให้นักคณิตศาสตร์หวาดกลัวอีกต่อไปและไม่ทำให้พวกเขาสับสน

การเขียนตัวเลขติดลบ

เป็นการสะดวกที่จะแทนตัวเลขทางเรขาคณิตเป็นจุดบนเส้นตรงที่เริ่มจากซ้ายไปขวาและเริ่มที่ 0 เราได้เห็นแล้วว่าสิ่งนี้ เส้นจำนวนมีความต่อเนื่องตามธรรมชาติ รวมทั้งตัวเลขติดลบและไปในทิศทางตรงกันข้าม

การบวกลบบนเส้นจำนวนนั้นสะดวกและง่ายมาก ตัวอย่างเช่น หากต้องการบวก 3 ลงในตัวเลขใดๆ ให้เลื่อนไปทางขวา 3 ขั้นตอน หากต้องการลบ 3 คุณต้องเลื่อน 3 ขั้นตอนไปทางซ้าย การดำเนินการนี้ให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องสำหรับทั้งตัวเลขบวกและลบ ตัวอย่างเช่น หากเราเริ่มต้นที่ -7 และเพิ่ม 3 เราก็ย้ายไปทางขวา 3 ขั้นและได้ -4 กฎสำหรับการคำนวณหาจำนวนลบยังแสดงให้เห็นว่าการบวกหรือลบจำนวนลบให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการลบหรือบวกจำนวนบวกที่เกี่ยวข้อง ในการบวก -3 ให้กับตัวเลขใดๆ เราต้องเลื่อน 3 ขั้นตอนไปทางซ้าย หากต้องการลบ -3 จากจำนวนใด ๆ คุณต้องเลื่อน 3 ขั้นตอนไปทางขวา

การคูณกับจำนวนลบนั้นน่าสนใจกว่า เมื่อเราพบการคูณครั้งแรก เราคิดว่าเป็นการบวกซ้ำ ตัวอย่างเช่น:
6 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30

วิธีการเดียวกันนี้แนะนำว่าเมื่อคูณ 6 × −5 เราควรดำเนินการในลักษณะเดียวกัน:
6 × −5 = −5 + (−5) + (−5) + (−5) + (−5) + (−5) = −30

นอกจากนี้ กฎของเลขคณิตข้อหนึ่งบอกว่าการคูณจำนวนบวกสองตัวให้ผลลัพธ์เหมือนกัน โดยไม่คำนึงถึงลำดับที่เราหาตัวเลข ดังนั้น 5 × 6 ควรเท่ากับ 30 ด้วย เพราะ
5 x 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30

ดังนั้นจึงดูสมเหตุสมผลที่จะใช้กฎเดียวกันสำหรับจำนวนลบ จากนั้น −5 × 6 ก็เท่ากับ −30 เช่นกัน

แล้ว -6 × -5 ล่ะ? มีความชัดเจนน้อยกว่าในเรื่องนี้ เข้าแถวไม่ได้ ลบหกคูณด้วย -5 แล้วเพิ่มเข้าไป ดังนั้นเราจึงต้องแก้ไขปัญหานี้อย่างสม่ำเสมอ มาดูกันว่าเรารู้อะไรบ้าง

6 x 5 = 30
6 × -5 = -30
−6 × 5 = −30
−6 × −5 =?

เมื่อมองแวบแรก ดูเหมือนว่าหลายคนควรตอบว่า -30 ในทางจิตวิทยา นี่อาจเป็นเหตุผลให้เหตุผล: การกระทำทั้งหมดเต็มไปด้วยจิตวิญญาณของ "การปฏิเสธ" ดังนั้นคำตอบจึงน่าจะเป็นแง่ลบ น่าจะเป็นความรู้สึกเดียวกันอยู่เบื้องหลังวลีปฏิบัติหน้าที่: "แต่ฉันไม่ได้ทำอะไรเลย" อย่างไรก็ตาม ถ้าคุณ ไม่มีอะไรไม่ได้ คุณน่าจะ "ไม่ทำอะไรเลย" นั่นคือ บางสิ่งบางอย่าง. คำพูดนั้นยุติธรรมหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับกฎไวยากรณ์ที่คุณใช้ การปฏิเสธที่มากเกินไปก็ถือได้ว่าเป็นการสร้างกำลังขยาย

ในทำนองเดียวกันสิ่งที่จะเท่ากับ -6 × -5 เป็นเรื่องของข้อตกลงของมนุษย์ เมื่อเราคิดเลขใหม่ ก็ไม่รับประกันว่าแนวคิดเก่าจะนำมาใช้กับตัวเลขเหล่านี้ นักคณิตศาสตร์จึงสามารถตัดสินได้ว่า −6 × −5 = −30 พูดอย่างเคร่งครัด พวกเขาสามารถตัดสินใจได้ว่าการคูณ -6 กับ -5 จะส่งผลให้มีเบเฮมอธสีม่วง

อย่างไรก็ตาม มีเหตุผลที่ดีหลายประการว่าทำไม -30 ในกรณีนี้จึงเป็นทางเลือกที่ไม่ดี และเหตุผลทั้งหมดเหล่านี้ชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม - ไปที่หมายเลข 30

เหตุผลหนึ่งก็คือถ้า −6 × −5 = −30 มันก็เหมือนกับ −6 × 5 หารทั้งคู่ด้วย −6 เราจะได้ −5 = 5 ซึ่งขัดแย้งกับทุกสิ่งที่เรากล่าวไปแล้วเกี่ยวกับจำนวนลบ .

เหตุผลที่สองเป็นเพราะเรารู้อยู่แล้วว่า: 5 + (−5) = 0 ดูที่เส้นจำนวน ห้าขั้นตอนทางด้านซ้ายของหมายเลข 5 คืออะไร? ศูนย์. การคูณจำนวนบวกใดๆ ด้วย 0 จะทำให้ได้ 0 และดูเหมือนว่ามีเหตุผลที่จะถือว่าการคูณจำนวนบวกนั้นมีผลกับจำนวนลบ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะสมมติว่า −6 × 0 = 0 ดังนั้น
0 = −6 × 0 = −6 × (5 + (−5))

ตามกฎเลขคณิตปกติ นี่จะเท่ากับ
−6 × 5 + −6 × −5

ในทางกลับกัน หากเราเลือก −6 × -5 = 30 เราก็จะได้
0 = −6 × 0 = −6 × (5 + (−5)) = −6 × 5 + (−6) × −5 =
= −30 + 30 = 0,
และทุกอย่างจะเข้าที่

เหตุผลที่สามคือโครงสร้างของเส้นจำนวน โดยการคูณจำนวนบวกด้วย -1 เราจะเปลี่ยนเป็นจำนวนลบที่สอดคล้องกัน นั่นคือ เราหมุนครึ่งบวกทั้งหมดของเส้นจำนวน 180° แปลจากขวาไปซ้าย ในทางทฤษฎีแล้ว ครึ่งลบควรไปทางไหน? ถ้าเราปล่อยมันเข้าที่ เราก็ได้ปัญหาเดียวกัน เพราะ -1 × -1 จะเป็น -1 ซึ่งเท่ากับ -1 × 1 และสรุปได้ว่า -1 = 1 ทางเลือกที่สมเหตุสมผลเพียงอย่างเดียวคือตรงนี้ ยังหมุนส่วนลบของเส้นจำนวน 180 ° โดยเลื่อนจากซ้ายไปขวา สิ่งนี้สวยงามเพราะตอนนี้การคูณด้วย -1 จะกลับเส้นจำนวนทั้งหมด เป็นการย้อนกลับลำดับของตัวเลข ตามด้วยคืนวันรุ่งขึ้น การคูณใหม่ด้วย -1 จะทำให้เส้นจำนวนเปลี่ยน 180° อีกครั้ง ในกรณีนี้ ลำดับของตัวเลขจะเปลี่ยนกลับด้านอีกครั้ง และทุกอย่างจะกลับสู่จุดเริ่มต้น ดังนั้น -1 × -1 คือตำแหน่งที่ -1 ตกเมื่อหมุนเส้นจำนวน นั่นคือ 1 และหากเราตัดสินใจว่า -1 × -1 = 1 ก็จะตามมาโดยตรงว่า −6 × −5 = 30

เหตุผลที่สี่คือการตีความจำนวนเงินติดลบเป็นหนี้ ในรูปแบบนี้ การคูณจำนวนเงินจำนวนหนึ่งด้วยจำนวนลบให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับการคูณด้วยจำนวนบวกที่สอดคล้องกัน ยกเว้นว่าเงินจริงจะกลายเป็นหนี้ อีกด้านหนึ่ง การลบการ "รับ" หนี้มีผลเหมือนกับว่าธนาคารได้ลบหนี้บางส่วนของคุณออกจากบันทึกและในสาระสำคัญได้คืนเงินบางส่วนให้คุณ การลบหนี้ 10 รูเบิลจากจำนวนบัญชีของคุณตรงกับการฝากเงิน 10 รูเบิลในบัญชีนี้: ในกรณีนี้จำนวนเงินในบัญชี เพิ่มขึ้นสำหรับ 10 รูเบิล ผลกระทบร่วมกันของทั้งสองกรณี มีแนวโน้มจะทำให้ยอดเงินในธนาคารของคุณกลับเป็นศูนย์ จากนี้ไป -6 × -5 มีผลเช่นเดียวกันกับบัญชีของคุณเหมือนกับการลบ (ลบ) หนี้ 5 รูเบิลหกครั้ง ซึ่งหมายความว่าควรเพิ่มยอดเงินในธนาคารของคุณ 30 รูเบิล

แมวตัวหนึ่งมีหางเดียว แมวศูนย์มีแปดหาง (อ่านว่า "ไม่มีแมวแปดหาง") เราจึงได้: แมวตัวหนึ่งมีเก้าหาง - บันทึก. เอ็ด

สจ๊วตสมควรได้รับการยกย่องอย่างสูงสำหรับเรื่องราวของเขาเกี่ยวกับบทบาทของสมาชิกแต่ละคนในชุมชนตัวเลขทั่วโลกที่ยอดเยี่ยม น่าทึ่ง และมีประโยชน์เพียงใด Kirkus Reviews Stewart เก่งในการอธิบายปัญหาที่ซับซ้อน New Scientist นักคณิตศาสตร์ยอดนิยมของสหราชอาณาจักรและอุดมสมบูรณ์ที่สุด Alex Bellos หนังสือเกี่ยวกับอะไร โดยพื้นฐานแล้ว คณิตศาสตร์คือตัวเลข ซึ่งเป็นเครื่องมือหลักของเราในการทำความเข้าใจโลก ในหนังสือของเขา ศาสตราจารย์เอียน สจ๊วร์ต นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้โด่งดังที่สุดได้นำเสนอข้อมูลเบื้องต้นที่น่ายินดีเกี่ยวกับตัวเลขที่อยู่รอบตัวเรา ตั้งแต่การผสมผสานของสัญลักษณ์ที่เราคุ้นเคยไปจนถึงสัญลักษณ์ที่แปลกใหม่ เช่น แฟกทอเรียล แฟร็กทัล หรือค่าคงที่ Aperi บนเส้นทางนี้ ผู้เขียนบอกเราเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ เกี่ยวกับสมการกำลังสาม เกี่ยวกับแนวคิดของศูนย์ เกี่ยวกับตัวแปรที่เป็นไปได้ของลูกบาศก์รูบิก เกี่ยวกับบทบาทของตัวเลขในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติ และความเกี่ยวข้องของการศึกษาของพวกเขาในสมัยของเรา ด้วยไหวพริบและความรู้ที่เป็นลักษณะเฉพาะของเขา สจวร์ตจึงเปิดเผยให้ผู้อ่านได้ทราบถึงโลกอันน่าทึ่งของคณิตศาสตร์ ทำไมหนังสือเล่มนี้จึงควรค่าแก่การอ่าน ที่น่าสนใจที่สุดเกี่ยวกับตัวเลขที่น่าทึ่งที่สุดในเรื่องราวของนักคณิตศาสตร์ยอดนิยมจากสหราชอาณาจักรผู้ชนะรางวัล Lewis Thomas Prize ประจำปี 2558 เอียน สจ๊วร์ตตรวจสอบคุณสมบัติอันน่าทึ่งของตัวเลขตั้งแต่ศูนย์จนถึงอนันต์ - ธรรมชาติ ซับซ้อน ไม่ลงตัว บวก ลบ เฉพาะ ประกอบ - และแสดงประวัติของตัวเลขตั้งแต่การค้นพบอันน่าทึ่งของนักคณิตศาสตร์โบราณจนถึงสถานะปัจจุบันของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ ภายใต้การแนะนำของผู้เชี่ยวชาญ คุณจะได้เรียนรู้ความลับของรหัสทางคณิตศาสตร์และซูโดกุ ลูกบาศก์ของรูบิก และเครื่องชั่งน้ำหนักดนตรี ดูว่าอินฟินิตี้หนึ่งมีค่ามากกว่าอีกอันหนึ่งได้อย่างไร และยังพบว่าคุณอาศัยอยู่ในพื้นที่สิบเอ็ดมิติ หนังสือเล่มนี้จะสร้างความสุขให้กับผู้ที่รักตัวเลขและผู้ที่ยังคิดว่าไม่ เกี่ยวกับผู้เขียน ศาสตราจารย์ เอียน สจ๊วร์ต เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงระดับโลกและเป็นผู้เขียนหนังสือที่น่าสนใจมากมาย และได้รับรางวัลด้านวิชาการระดับนานาชาติหลายรางวัล ในปี 2544 เขาได้เป็นสมาชิกของราชสมาคมแห่งลอนดอน ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัย Warwick มีส่วนร่วมในการวิจัยเกี่ยวกับพลวัตของระบบไม่เชิงเส้นและความก้าวหน้าของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ผู้เขียนหนังสือขายดี 'The Greatest Mathematical Problems' จัดพิมพ์โดย 'Alpina non-fiction ในปี 2015 แนวคิดหลักคณิตศาสตร์ ตัวเลข ตัวเลข ปริศนา คณิตศาสตร์ชั้นสูง ปัญหาทางคณิตศาสตร์ การวิจัยทางคณิตศาสตร์ ประวัติคณิตศาสตร์ ป๊อปวิทยาศาสตร์ วิทยาศาสตร์

สจ๊วตสมควรได้รับการยกย่องอย่างสูงสำหรับเรื่องราวของเขาเกี่ยวกับบทบาทของสมาชิกแต่ละคนในชุมชนตัวเลขทั่วโลกที่ยอดเยี่ยม น่าทึ่ง และมีประโยชน์เพียงใด Kirkus Reviews Stewart เก่งในการอธิบายปัญหาที่ซับซ้อน New Scientist นักคณิตศาสตร์ยอดนิยมของสหราชอาณาจักรและอุดมสมบูรณ์ที่สุด Alex Bellos หนังสือเกี่ยวกับอะไร โดยพื้นฐานแล้ว คณิตศาสตร์คือตัวเลข ซึ่งเป็นเครื่องมือหลักของเราในการทำความเข้าใจโลก ในหนังสือของเขา