การจัดเรียงร่วมกันของระนาบสองระนาบของเส้นตรงและระนาบหนึ่ง การจัดเรียงกันของเส้นตรงและระนาบ สำหรับปริซึมตรง สูตรเป็นจริง

เส้นอาจเป็นหรือไม่ใช่ของเครื่องบินก็ได้ มันเป็นของเครื่องบินถ้ามีจุดอย่างน้อยสองจุดอยู่บนเครื่องบิน รูปที่ 93 แสดงระนาบ Sum (ขวานบี).ตรง lเป็นของระนาบ Sum เนื่องจากจุดที่ 1 และ 2 เป็นของระนาบนี้

ถ้าเส้นนั้นไม่ได้อยู่ในระนาบ มันอาจจะขนานกับมันหรือตัดกันก็ได้

เส้นขนานกับระนาบ ถ้าขนานกับเส้นอื่นในระนาบนั้น รูปที่ 93 ตรง ม || ผลรวมเพราะมันขนานกับเส้นตรง lเป็นของเครื่องบินลำนี้

เส้นตรงสามารถตัดระนาบในมุมต่างๆ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้ตั้งฉากกับระนาบ การสร้างเส้นตัดของเส้นตรงที่มีระนาบแสดงไว้ใน §61

รูปที่ 93 - เส้นตรงที่เป็นของระนาบ

จุดที่สัมพันธ์กับระนาบสามารถระบุได้ดังนี้: เป็นของหรือไม่เป็นของเครื่องบิน จุดเป็นของระนาบหากอยู่บนเส้นในระนาบนั้น รูปที่ 94 แสดงภาพวาดที่ซับซ้อนของระนาบ Sum ที่กำหนดโดยเส้นคู่ขนานสองเส้น lและ ป.สายอยู่ในระนาบ เมตรจุด A อยู่ในระนาบ Sum เนื่องจากอยู่บนเส้น เมตร Dot วีไม่ได้อยู่ในระนาบ เนื่องจากการฉายภาพครั้งที่สองไม่ได้อยู่บนเส้นโครงที่สอดคล้องกัน

รูปที่ 94 - รูปวาดที่ซับซ้อนของระนาบที่กำหนดโดยเส้นคู่ขนานสองเส้น

พื้นผิวทรงกรวยและทรงกระบอก

พื้นผิวรูปกรวยรวมถึงพื้นผิวที่เกิดขึ้นจากการกระจัดของ generatrix . เป็นเส้นตรง lตามแนวโค้ง เมตรคุณลักษณะของการก่อตัวของพื้นผิวรูปกรวยคือในกรณีนี้จุดหนึ่งของ generatrix จะได้รับการแก้ไขเสมอ จุดนี้เป็นจุดสูงสุดของพื้นผิวรูปกรวย (รูปที่ 95, ก)ตัวกำหนดพื้นผิวทรงกรวยรวมถึงจุดยอด สและมัคคุเทศก์ เมตรนั้น l"~ส; l"^ เมตร

พื้นผิวทรงกระบอกรวมถึงพื้นผิวที่เกิดจาก generatrix ตรง / เคลื่อนที่ไปตามเส้นบอกแนวโค้ง ตู่ขนานกับทิศทางที่กำหนด ส(รูปที่ 95, ข)พื้นผิวทรงกระบอกถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของพื้นผิวรูปกรวยที่มีจุดยอดที่อนันต์ เอส

ดีเทอร์มิแนนต์พื้นผิวทรงกระบอกประกอบด้วยไกด์ ตู่และทิศทาง S ขึ้นรูป lในขณะที่ l" || เอส; ล" ^ ม.

หากเครื่องกำเนิดของพื้นผิวทรงกระบอกตั้งฉากกับระนาบของการฉายภาพพื้นผิวดังกล่าวจะเรียกว่า ฉายรูปที่ 95 วีมีการแสดงพื้นผิวทรงกระบอกยื่นในแนวนอน

บนพื้นผิวทรงกระบอกและทรงกรวย จุดที่กำหนดจะถูกสร้างขึ้นโดยใช้เครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่ผ่านเข้าไป เส้นบนพื้นผิว เช่น เส้น เอคิด 95, วีหรือแนวนอน ชมในรูปที่ 95 ก, ข,ถูกสร้างขึ้นโดยใช้แต่ละจุดที่เป็นของเส้นเหล่านี้

รูปที่ 95 - พื้นผิวรูปกรวยและทรงกระบอก

พื้นผิวลำตัว

พื้นผิวลำตัวเป็นพื้นผิวที่เกิดจาก generatrix . เป็นเส้นตรง l, สัมผัสเส้นโค้งอวกาศบางตำแหน่งระหว่างการเคลื่อนที่ในทุกตำแหน่ง ทีเรียกว่า ขอบกลับ(รูปที่ 96). ขอบกลับเป็นตัวกำหนดเนื้อตัวอย่างสมบูรณ์ และเป็นส่วนทางเรขาคณิตของตัวกำหนดพื้นผิว ส่วนอัลกอริธึมเป็นการบ่งบอกถึงการสัมผัสกันของเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากับขอบยอด

พื้นผิวรูปกรวยเป็นกรณีพิเศษของลำตัวที่มีขอบกลับ ตู่เสื่อมสภาพเป็นจุด ส- ด้านบนของพื้นผิวทรงกรวย พื้นผิวทรงกระบอกเป็นกรณีพิเศษของลำตัวซึ่งมีขอบยอดเป็นจุดที่อนันต์

รูปที่ 96 - พื้นผิวลำตัว

พื้นผิวเหลี่ยมเพชรพลอย

พื้นผิวเหลี่ยมเพชรพลอยรวมถึงพื้นผิวที่เกิดขึ้นจากการกระจัดของ generatrix . เป็นเส้นตรง lตามเส้นขาด เมตรแต่ถ้าจุดใดจุดหนึ่ง สเจเนอเรทริกซ์ไม่เคลื่อนไหวจะมีการสร้างพื้นผิวเสี้ยม (รูปที่ 97) หากเจเนอเรทริกซ์ขนานกับทิศทางที่กำหนดเมื่อเคลื่อนที่ เอส,จากนั้นจึงสร้างพื้นผิวปริซึม (รูปที่ 98)

องค์ประกอบของพื้นผิวเหลี่ยมเพชรพลอยคือ: จุดยอด ส(ใกล้พื้นผิวปริซึมอยู่ที่อนันต์) ใบหน้า (ส่วนหนึ่งของระนาบล้อมรอบด้วยส่วนหนึ่งของไกด์ มและตำแหน่งสุดขั้วของ generatrix ที่สัมพันธ์กับมัน l) และขอบ (เส้นตัดของใบหน้าที่อยู่ติดกัน)

ดีเทอร์มิแนนต์พื้นผิวพีระมิดรวมถึงจุดยอด เอส,ผ่านเครื่องกำเนิดไฟฟ้าและมัคคุเทศก์: ล" ~ เอส; l^ ต.

ดีเทอร์มิแนนต์พื้นผิวเป็นแท่งปริซึม ยกเว้นไกด์ ทีมีทิศทาง เอส,ที่เครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดขนานกัน lพื้นผิว: ล||ส; ล^ ต.

รูปที่ 97 - พื้นผิวพีระมิด

รูปที่ 98 - พื้นผิวปริซึม

พื้นผิวที่ปิดสนิทซึ่งเกิดจากใบหน้าจำนวนหนึ่ง (อย่างน้อยสี่) เรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยม ในบรรดารูปทรงหลายเหลี่ยมนั้น กลุ่มของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมีความโดดเด่น ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สม่ำเสมอและสอดคล้องกัน และ มุมหลายเหลี่ยมที่จุดยอดจะนูนและมีจำนวนใบหน้าเท่ากัน ตัวอย่างเช่น: hexahedron - ลูกบาศก์ (รูปที่ 99, ก)จัตุรมุข - สี่เหลี่ยมปกติ (รูปที่ 99, 6) ทรงแปดหน้า - รูปทรงหลายเหลี่ยม (รูปที่ 99, วี)คริสตัลมีรูปร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมต่างๆ

รูปที่ 99 - รูปทรงหลายเหลี่ยม

พีระมิด- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมโดยพลการ และใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม เอส

ในรูปวาดที่ซับซ้อน ปิรามิดถูกกำหนดโดยการฉายภาพของจุดยอดและขอบ โดยคำนึงถึงการมองเห็น การมองเห็นขอบถูกกำหนดโดยใช้จุดที่แข่งขันกัน (ภาพที่ 100)

รูปที่ 100 - การกำหนดการมองเห็นของขอบโดยใช้จุดที่แข่งขันกัน

ปริซึม- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เหมือนกันและขนานกันสองรูป และใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าขอบของปริซึมตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรง ถ้าขอบของปริซึมตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพใดๆ ดังนั้น พื้นผิวด้านข้างเรียกว่าโปรเจกทีฟ รูปที่ 101 แสดงภาพวาดที่ซับซ้อนของปริซึมสี่เหลี่ยมตรงที่มีพื้นผิวยื่นในแนวนอน

รูปที่ 101 - การวาดที่ซับซ้อนของปริซึมสี่เหลี่ยมตรงที่มีพื้นผิวยื่นในแนวนอน

เมื่อทำงานกับภาพวาดรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน คุณต้องสร้างเส้นบนพื้นผิว และเนื่องจากเส้นคือจุดสะสม คุณจึงต้องสามารถสร้างจุดบนพื้นผิวได้

จุดใดๆ บนพื้นผิวเหลี่ยมเพชรพลอยสามารถสร้างได้โดยใช้ generatrix ที่ผ่านจุดนี้ ในรูปที่ 100 บนใบหน้า ACSจุดที่สร้างขึ้น เอ็มด้วยความช่วยเหลือของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า เอส-5.

พื้นผิวลาน

พื้นผิวลานเป็นพื้นผิวที่สร้างขึ้นระหว่างการเคลื่อนที่เป็นเกลียวของเครื่องกำเนิดเป็นเส้นตรง พื้นผิวเกลียวที่ถูกปกครองเรียกว่า เฮลิคอยด์

เฮลิคอยด์ตรงเกิดจากการเคลื่อนที่ของเจเนอเรทริกซ์เป็นเส้นตรง ผมตามไกด์สองตัว: เกลียว ตู่และแกนของมัน ผม; ในขณะที่สร้าง lตัดผ่านแกนเกลียวเป็นมุมฉาก (รูปที่ 102, a) เฮลิคอดแบบตรงใช้ในการสร้างบันไดเวียน สกรู และเกลียวกำลังในเครื่องมือกล

helicoid เอียงเกิดขึ้นจากการเคลื่อนที่ของ generatrix ตามแนวเกลียว ตู่และแกนของมัน ผมเพื่อให้เครื่องกำเนิดไฟฟ้า lข้ามแกน ผมที่มุมคงที่ φ นอกเหนือจากมุมฉาก กล่าวคือ ในตำแหน่งใดๆ ตัวสร้าง lขนานกับหนึ่งในเจนเนอเรชั่นของกรวยนำทางที่มีมุมที่ยอดเท่ากับ2φ (รูปที่ 102, ข)เฮลิคอยด์แบบเอียงจะจำกัดพื้นผิวของเกลียว

รูปที่ 102 - เฮลิคออยด์

พื้นผิวของการปฏิวัติ

พื้นผิวของการปฏิวัติรวมถึงพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของเส้น l รอบเส้นตรง ผม แทนแกนของการหมุน พวกเขาสามารถปกครองได้เช่นกรวยหรือทรงกระบอกแห่งการปฏิวัติและไม่เชิงเส้นหรือโค้งเช่นทรงกลม ดีเทอร์มิแนนต์ของพื้นผิวของการปฏิวัติรวมถึง generatrix l และแกน ผม . แต่ละจุดของ generatrix ระหว่างการหมุนจะอธิบายวงกลม ซึ่งระนาบนั้นตั้งฉากกับแกนของการหมุน วงกลมของพื้นผิวแห่งการปฏิวัติดังกล่าวเรียกว่าแนวขนาน เส้นขนานที่ใหญ่ที่สุดเรียกว่า เส้นศูนย์สูตร.เส้นศูนย์สูตรกำหนดโครงร่างแนวนอนของพื้นผิวหาก i _|_ P 1 . ในกรณีนี้ เส้นขนานคือแนวนอนของพื้นผิวนี้

เส้นโค้งของพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกิดขึ้นจากการตัดกันของพื้นผิวที่มีระนาบผ่านแกนของการปฏิวัติเรียกว่า เส้นเมอริเดียนเส้นเมอริเดียนทั้งหมดของพื้นผิวเดียวกันมีความสอดคล้องกัน เส้นเมอริเดียนหน้าผากเรียกว่าเส้นเมอริเดียนหลัก มันกำหนดโครงร่างด้านหน้าของพื้นผิวของการปฏิวัติ เส้นเมอริเดียนของโปรไฟล์กำหนดโครงร่างโปรไฟล์ของพื้นผิวของการปฏิวัติ

เป็นวิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างจุดบนพื้นผิวโค้งของการปฏิวัติโดยใช้แนวขนานของพื้นผิว รูปที่ 103 dot เอ็มสร้างขึ้นบนขนาน ชั่วโมง 4 .

รูปที่ 103 - การสร้างจุดบนพื้นผิวโค้ง

พื้นผิวของการปฏิวัติได้พบการประยุกต์ใช้งานด้านวิศวกรรมที่กว้างที่สุด พวกเขาจำกัดพื้นผิวของชิ้นส่วนทางวิศวกรรมส่วนใหญ่

พื้นผิวทรงกรวยของการปฏิวัติเกิดขึ้นจากการหมุนของเส้นตรง ผมรอบเส้นตรงที่ตัดกับมัน - แกน ผม(รูปที่ 104, เอ). Dot เอ็มบนพื้นผิวถูกสร้างขึ้นโดยใช้ generatrix lและความคล้ายคลึงกัน ชม.พื้นผิวนี้เรียกอีกอย่างว่ากรวยแห่งการปฏิวัติหรือกรวยวงกลมด้านขวา

พื้นผิวทรงกระบอกของการปฏิวัติเกิดขึ้นจากการหมุนของเส้นตรง lรอบแกนคู่ขนาน ผม(รูปที่ 104, ข)พื้นผิวนี้เรียกอีกอย่างว่าทรงกระบอกหรือทรงกระบอกกลมด้านขวา

ทรงกลมเกิดจากการหมุนวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลาง (รูปที่ 104, วี). จุด A บนพื้นผิวทรงกลมอยู่ในเส้นเมริเดียนที่สำคัญ ฉจุด วี- เส้นศูนย์สูตร ชม,จุด เอ็มสร้างขึ้นบนขนานเสริม ชม".

รูปที่ 104 - การก่อตัวของพื้นผิวของการปฏิวัติ

พรูถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนวงกลมหรือส่วนโค้งของมันรอบแกนที่อยู่ในระนาบของวงกลม หากแกนอยู่ภายในวงกลมที่ก่อตัวขึ้น พรูดังกล่าวจะเรียกว่าปิด (รูปที่ 105, a) หากแกนหมุนอยู่นอกวงกลมพรูดังกล่าวจะเรียกว่าเปิด (รูปที่ 105, ข)พรูเปิดเรียกอีกอย่างว่าวงแหวน

รูปที่ 105 - การก่อตัวของพรู

พื้นผิวของการปฏิวัติสามารถเกิดขึ้นได้ด้วยเส้นโค้งอื่นของลำดับที่สอง วงรีแห่งการปฏิวัติ (รูปที่ 106, ก)เกิดจากการหมุนวงรีรอบแกนของมัน พาราโบลาของการปฏิวัติ (รูปที่ 106, ข) - การหมุนของพาราโบลารอบแกนของมัน ไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติแบบแผ่นเดียว (รูปที่ 106, วี) เกิดขึ้นจากการหมุนของไฮเปอร์โบลารอบแกนจินตภาพและเกิดเป็นสองแผ่น (รูปที่ 106, จี) - การหมุนของไฮเปอร์โบลารอบแกนจริง

รูปที่ 106 - การก่อตัวของพื้นผิวของการปฏิวัติโดยเส้นโค้งของลำดับที่สอง

ในกรณีทั่วไป พื้นผิวถูกแสดงเป็นไม่จำกัดในทิศทางของการขยายพันธุ์ของเส้นกำเนิด (ดูรูปที่ 97, 98) เพื่อแก้ปัญหาเฉพาะและรับรูปทรงเรขาคณิต พวกเขาจะจำกัดให้ตัดระนาบ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ทรงกระบอกกลม จำเป็นต้องจำกัดส่วนของพื้นผิวทรงกระบอกด้วยระนาบตัด (ดูรูปที่ 104 ข)เป็นผลให้เราได้ฐานบนและล่าง หากระนาบการตัดตั้งฉากกับแกนหมุน กระบอกก็จะตรง ถ้าไม่เช่นนั้น กระบอกก็จะเอียง

เพื่อให้ได้กรวยทรงกลม (ดูรูปที่ 104 เอ) คุณต้องตัดตามจุดยอดและอื่น ๆ หากระนาบตัดของฐานของกระบอกสูบตั้งฉากกับแกนหมุน กรวยก็จะตั้งตรง ถ้าไม่เช่นนั้น ก็จะเอียง หากระนาบตัดทั้งสองไม่ผ่านจุดยอด กรวยจะถูกตัดทอน

การใช้ระนาบตัดคุณจะได้ปริซึมและปิรามิด ตัวอย่างเช่น พีระมิดหกเหลี่ยมจะตรงถ้าขอบทั้งหมดมีความชันเท่ากันกับระนาบที่ตัด ในกรณีอื่นๆ จะเป็นแบบเฉียง ถ้าเสร็จแล้ว กับด้วยความช่วยเหลือของเครื่องบินตัดแต่งและไม่มีใครผ่านด้านบน - ปิรามิดถูกตัดทอน

สามารถหาปริซึม (ดูรูปที่ 101) ได้โดยการจำกัดส่วนหนึ่งของพื้นผิวปริซึมให้เป็นระนาบตัดสองระนาบ หากระนาบการตัดตั้งฉากกับขอบ เช่น ปริซึมแปดเหลี่ยม ก็จะเป็นเส้นตรง ถ้าไม่ตั้งฉากก็จะเอียง

โดยการเลือกตำแหน่งที่เหมาะสมของระนาบการตัด เป็นไปได้ที่จะได้รูปทรงต่างๆ ของรูปทรงเรขาคณิต ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหาที่กำลังแก้ไข

ในการวัดระนาบระนาบ เครื่องบินเป็นหนึ่งในตัวเลขหลัก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องสำคัญมากที่จะต้องมีแนวคิดที่ชัดเจน บทความนี้จัดทำขึ้นเพื่อครอบคลุมหัวข้อนี้ ประการแรก แนวคิดของเครื่องบิน การแสดงกราฟิก และการกำหนดเครื่องบิน นอกจากนี้ เครื่องบินจะพิจารณาร่วมกับจุด เส้นตรง หรือระนาบอื่น ในขณะที่ทางเลือกเกิดขึ้นจากตำแหน่งสัมพัทธ์ในอวกาศ ในย่อหน้าที่สอง, สามและสี่ของบทความ, ตัวแปรทั้งหมดของการจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบินสองระนาบ, เส้นตรงและระนาบ, เช่นเดียวกับจุดและระนาบ, จะได้รับการวิเคราะห์, สัจพจน์หลักและภาพประกอบกราฟิก โดยสรุปมีวิธีการหลักในการระบุระนาบในอวกาศ

การนำทางหน้า

เครื่องบิน - แนวคิดพื้นฐาน สัญกรณ์และภาพ

ที่ง่ายที่สุดและพื้นฐาน รูปทรงเรขาคณิตในปริภูมิสามมิติ คือ จุด เส้น และระนาบ เรามีแนวคิดเกี่ยวกับจุดและเส้นในระนาบแล้ว หากเราวางระนาบซึ่งแสดงจุดและเส้นในพื้นที่สามมิติ เราก็จะได้จุดและเส้นในอวกาศ แนวคิดเรื่องเครื่องบินในอวกาศช่วยให้คุณได้พื้นผิวของโต๊ะหรือผนัง อย่างไรก็ตาม โต๊ะหรือผนังมีขนาดจำกัด และระนาบขยายเกินขอบเขตจนไม่มีที่สิ้นสุด

จุดและเส้นในอวกาศแสดงในลักษณะเดียวกับบนเครื่องบิน - เป็นตัวพิมพ์ใหญ่และตัวอักษรละตินตัวเล็กตามลำดับ ตัวอย่างเช่น จุด A และ Q เส้น a และ d หากให้สองจุดที่อยู่บนเส้นหนึ่ง เส้นนั้นสามารถแสดงด้วยตัวอักษรสองตัวที่สอดคล้องกับจุดเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น เส้น AB หรือ BA ผ่านจุด A และ B เครื่องบินมักใช้อักษรกรีกตัวเล็กๆ แทน เช่น เครื่องบิน หรือ

เมื่อแก้ปัญหาจำเป็นต้องวาดภาพระนาบในรูปวาด เครื่องบินมักจะแสดงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือพื้นที่ปิดอย่างง่ายตามอำเภอใจ

เครื่องบินมักจะพิจารณาร่วมกับจุด เส้นตรง หรือระนาบอื่นๆ และรูปแบบต่างๆ ของการจัดเรียงร่วมกันของพวกมันก็เกิดขึ้น เราหันไปที่คำอธิบายของพวกเขา

การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบินและจุด

เริ่มจากสัจพจน์: มีจุดในทุกระนาบ จากนั้นจึงเป็นไปตามรูปแบบแรกของการจัดเรียงร่วมกันของระนาบและจุด - จุดอาจเป็นของระนาบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เครื่องบินสามารถผ่านจุดหนึ่งได้ เพื่อระบุตำแหน่งของจุดบนระนาบใด ๆ จะใช้สัญลักษณ์ "" ตัวอย่างเช่น หากเครื่องบินผ่านจุด A คุณสามารถเขียนสั้นๆ ได้

ควรเข้าใจว่ามีหลายจุดบนระนาบที่กำหนดในอวกาศ

สัจพจน์ต่อไปนี้แสดงจำนวนจุดที่ต้องทำเครื่องหมายในช่องว่างเพื่อให้พวกเขากำหนดระนาบเฉพาะ: ผ่านจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวเครื่องบินผ่านและเพียงจุดเดียว หากทราบว่ามีสามจุดที่อยู่บนระนาบ ระนาบสามารถแสดงด้วยตัวอักษรสามตัวที่สอดคล้องกับจุดเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น หากเครื่องบินผ่านจุด A, B และ C ก็จะสามารถกำหนด ABC ได้

ให้เรากำหนดสัจพจน์อีกประการหนึ่ง ซึ่งให้ตัวแปรที่สองของการจัดเรียงระนาบและจุดร่วมกัน: มีจุดอย่างน้อยสี่จุดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบเดียวกัน ดังนั้นจุดหนึ่งในอวกาศอาจไม่ใช่ของระนาบ อันที่จริง โดยอาศัยสัจพจน์ก่อนหน้านี้ เครื่องบินผ่านช่องว่างสามจุด และจุดที่สี่อาจอยู่บนระนาบนี้หรือไม่ก็ได้ เมื่อจดชวเลข จะใช้สัญลักษณ์ "" ซึ่งเทียบเท่ากับวลี "ไม่เข้าข่าย"

ตัวอย่างเช่น ถ้าจุด A ไม่อยู่ในระนาบ ก็จะใช้สัญกรณ์สั้นๆ

เส้นและระนาบในอวกาศ

อย่างแรก เส้นสามารถนอนบนเครื่องบินได้ ในกรณีนี้ อย่างน้อยสองจุดของเส้นนี้อยู่ในระนาบ หลักการนี้กำหนดขึ้นโดยสัจพจน์: ถ้าจุดสองจุดอยู่ในระนาบ จุดทั้งหมดของเส้นนี้จะอยู่ในระนาบ สำหรับบันทึกสั้น ๆ ของการเป็นเจ้าของเส้นหนึ่งของระนาบที่กำหนด ให้ใช้สัญลักษณ์ "" ตัวอย่างเช่น รายการหมายความว่าเส้น a อยู่ในระนาบ

ประการที่สอง เส้นสามารถตัดระนาบได้ ในกรณีนี้ เส้นตรงและระนาบมีจุดร่วมจุดเดียว ซึ่งเรียกว่าจุดตัดของเส้นกับระนาบ ด้วยบันทึกสั้น ๆ ทางแยกจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ "" ตัวอย่างเช่น รายการหมายความว่าเส้น a ตัดกับระนาบที่จุด M เมื่อเส้นบางเส้นตัดกับระนาบ แนวความคิดของมุมระหว่างเส้นกับระนาบจะเกิดขึ้น

แยกจากกัน ควรอยู่บนเส้นที่ตัดระนาบและตั้งฉากกับเส้นใดๆ ที่อยู่ในระนาบนี้ เส้นดังกล่าวเรียกว่าตั้งฉากกับระนาบ สำหรับการบันทึกความตั้งฉากสั้น ๆ จะใช้สัญลักษณ์ "" หากต้องการศึกษาเนื้อหาในเชิงลึกยิ่งขึ้น โปรดดูบทความเรื่องความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

สิ่งที่สำคัญเป็นพิเศษในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับระนาบคือสิ่งที่เรียกว่าเวกเตอร์ปกติของระนาบ เวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบคือเวกเตอร์ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ที่วางอยู่บนเส้นตั้งฉากกับระนาบนี้

ประการที่สาม เส้นตรงสามารถขนานกับระนาบ นั่นคือ ไม่มีจุดร่วมในนั้น เมื่อจดชวเลขความขนาน จะใช้สัญลักษณ์ "" ตัวอย่างเช่น หากเส้น a ขนานกับระนาบ คุณสามารถเขียน . เราขอแนะนำให้คุณศึกษากรณีนี้โดยละเอียดโดยอ้างถึงบทความเรื่องความเท่าเทียมของเส้นตรงและระนาบ

ควรจะกล่าวว่าเส้นตรงที่วางอยู่บนระนาบแบ่งระนาบนี้เป็นระนาบครึ่งสองระนาบ เส้นตรงในกรณีนี้เรียกว่าขอบเขตของระนาบครึ่ง จุดสองจุดใดๆ ของครึ่งระนาบเดียวกันจะอยู่บนด้านเดียวกันของเส้นตรง และจุดสองจุดของครึ่งระนาบที่ต่างกันอยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นเขต

การจัดเรียงร่วมกันของเครื่องบิน

เครื่องบินสองลำในอวกาศสามารถเกิดขึ้นได้ ในกรณีนี้ พวกเขามีอย่างน้อยสามจุดที่เหมือนกัน

เครื่องบินสองลำในอวกาศสามารถตัดกันได้ จุดตัดของระนาบสองระนาบเป็นเส้นตรงซึ่งกำหนดโดยสัจพจน์: หากระนาบสองระนาบมีจุดร่วม ก็จะมีเส้นตรงร่วมที่จุดร่วมทั้งหมดของระนาบเหล่านี้อยู่

ในกรณีนี้ แนวความคิดของมุมระหว่างระนาบที่ตัดกันเกิดขึ้น สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่มุมระหว่างระนาบเท่ากับเก้าสิบองศา ระนาบดังกล่าวเรียกว่าตั้งฉาก เราได้พูดถึงพวกเขาในบทความเรื่องความตั้งฉากของระนาบ

ในที่สุด ระนาบสองระนาบในอวกาศสามารถขนานกันได้ นั่นคือไม่มีจุดร่วม เราแนะนำให้คุณอ่านบทความเรื่องความเท่าเทียมของระนาบเพื่อให้ได้ภาพที่สมบูรณ์ของตัวแปรตำแหน่งสัมพัทธ์ของระนาบนี้

วิธีการกำหนดระนาบ

ตอนนี้เราแสดงรายการวิธีหลักในการกำหนดระนาบเฉพาะในอวกาศ

ประการแรก เครื่องบินสามารถกำหนดได้โดยการกำหนดจุดสามจุดในช่องว่างที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน วิธีนี้ขึ้นอยู่กับสัจพจน์: มีระนาบเดียวบนจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

หากระนาบได้รับการแก้ไขและกำหนดในปริภูมิสามมิติโดยการระบุพิกัดของจุดต่าง ๆ สามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว เราก็สามารถเขียนสมการของระนาบที่ผ่านสามจุดที่กำหนดได้

สองวิธีถัดไปในการระบุระนาบเป็นผลมาจากวิธีก่อนหน้า สิ่งเหล่านี้ขึ้นอยู่กับผลที่ตามมาของสัจพจน์เกี่ยวกับระนาบที่ผ่านสามจุด:

• เครื่องบินผ่านเส้นหนึ่งและจุดที่ไม่ได้อยู่บนนั้น ยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงจุดเดียว (ดูสมการบทความของระนาบที่ผ่านเส้นหนึ่งและจุดหนึ่ง)
• ระนาบเดียวผ่านเส้นตัดสองเส้น (เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาของบทความ สมการของระนาบที่ผ่านเส้นตัดกันสองเส้น)

วิธีที่สี่ในการกำหนดระนาบในอวกาศนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของเส้นคู่ขนาน จำได้ว่าเส้นสองเส้นในอวกาศเรียกว่าขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ตัดกัน ดังนั้น โดยการระบุเส้นขนานสองเส้นในอวกาศ เราจะกำหนดระนาบเดียวที่เส้นเหล่านี้วางอยู่

หากในปริภูมิสามมิติเทียบกับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ให้ระนาบด้วยวิธีนี้ เราก็สามารถเขียนสมการสำหรับระนาบที่ลากผ่านเส้นคู่ขนานสองเส้นได้

ฉันรู้ มัธยมในบทเรียนเรขาคณิต ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว: ระนาบเดียวผ่านจุดคงที่ในอวกาศ ตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด ดังนั้น เราสามารถกำหนดระนาบได้หากเราระบุจุดที่เครื่องบินผ่านและเส้นตั้งฉากกับระนาบ

หากระบบพิกัดสี่เหลี่ยมถูกกำหนดตายตัวในปริภูมิสามมิติและกำหนดระนาบตามวิธีที่ระบุ ก็เป็นไปได้ที่จะสร้างสมการสำหรับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดในแนวตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

แทนที่จะเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบ สามารถระบุหนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบนี้ได้ ในกรณีนี้สามารถเขียน

บทความกล่าวถึงแนวคิดของเส้นตรงบนระนาบ พิจารณาข้อกำหนดพื้นฐานและการกำหนด มาทำงานกับการจัดเรียงร่วมกันของเส้นตรงและจุดและสองเส้นบนระนาบ มาพูดถึงสัจพจน์กัน ด้วยเหตุนี้ เราจะพูดถึงวิธีการและวิธีการกำหนดเส้นตรงบนระนาบ

เส้นบนเครื่องบิน - แนวคิด

ก่อนอื่นคุณต้องมีความคิดที่ชัดเจนว่าเครื่องบินคืออะไร พื้นผิวใดๆ ของบางสิ่งสามารถนำมาประกอบกับระนาบได้ เพียงแต่แตกต่างไปจากวัตถุที่อยู่ในระยะอนันต์ หากเราจินตนาการว่าเครื่องบินเป็นโต๊ะ ในกรณีของเราจะไม่มีขอบเขต แต่จะมีขนาดใหญ่มาก

หากคุณแตะโต๊ะด้วยดินสอ เครื่องหมายจะยังคงอยู่ ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็น "จุด" ดังนั้นเราจึงได้แนวคิดเกี่ยวกับจุดหนึ่งบนเครื่องบิน

พิจารณาแนวคิดของเส้นตรงบนระนาบ หากคุณวาดเส้นตรงบนแผ่นงาน จะแสดงเส้นตรงด้วยความยาวที่จำกัด เราไม่ได้เส้นทั้งหมด แต่เพียงบางส่วนเท่านั้น เพราะมันไม่มีที่สิ้นสุด เหมือนกับเครื่องบิน ดังนั้นภาพของเส้นและระนาบในสมุดบันทึกจึงเป็นทางการ

เรามีสัจพจน์:

คำจำกัดความ 1

คะแนนสามารถทำเครื่องหมายได้ในแต่ละบรรทัดและในแต่ละระนาบ

คะแนนจะแสดงด้วยตัวอักษรละตินทั้งตัวใหญ่และตัวเล็ก ตัวอย่างเช่น A และ D หรือ a และ d

สำหรับจุดและเส้นหนึ่ง รู้จักสถานที่เพียงสองรูปแบบ: จุดบนเส้นหรืออีกนัยหนึ่งคือเส้นที่ผ่านหรือจุดที่ไม่อยู่บนเส้นนั่นคือเส้นไม่ผ่าน .

หากต้องการระบุว่าเป็นจุดบนเครื่องบินหรือจุดบนเส้นตรง ให้ใช้เครื่องหมาย " ∈ " หากกำหนดโดยมีเงื่อนไขว่าจุด A อยู่บนเส้น a ก็จะมีรูปแบบ A ∈ a ในกรณีที่ไม่มีจุด A อีกบันทึกหนึ่งคือ A ∉ a

การตัดสินที่ยุติธรรม:

คำจำกัดความ 2

ผ่านจุดสองจุดในระนาบใด ๆ มีเพียงหนึ่งเส้นที่ผ่านพวกเขา

คำสั่งนี้ถือเป็น akisome ดังนั้นจึงไม่ต้องการการพิสูจน์ หากคุณพิจารณาด้วยตัวเอง คุณจะเห็นว่าด้วยสองจุดที่มีอยู่ มีเพียงตัวเลือกเดียวในการเชื่อมต่อ ถ้าเรามีสองจุดที่กำหนด A และ B เส้นที่ลากผ่านจุดเหล่านี้สามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวอักษรเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น เส้น A B พิจารณาจากรูปด้านล่าง

เส้นตรงที่อยู่บนเครื่องบินมีจุดจำนวนมาก นี่คือที่มาของสัจพจน์:

คำจำกัดความ 3

หากจุดสองจุดอยู่บนระนาบ จุดอื่นของเส้นตรงจะอยู่ในระนาบ

เซตของจุดระหว่างจุดที่กำหนดสองจุดเรียกว่า ส่วนของเส้นตรงมันมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด กำหนดด้วยอักษรสองตัว

หากกำหนดให้จุด A และ P เป็นจุดสิ้นสุดของเซ็กเมนต์ การกำหนดจะอยู่ในรูปแบบ Р А หรือ А Р เนื่องจากการกำหนดเซ็กเมนต์และบรรทัดตรงกัน ขอแนะนำให้เพิ่มหรือเติมคำว่า " ส่วน”, “เส้นตรง”.

เครื่องหมายแสดงความเป็นเจ้าของที่กระชับรวมถึงการใช้เครื่องหมาย ∈ และ ∉ ในการแก้ไขตำแหน่งของส่วนที่สัมพันธ์กับเส้นตรงที่กำหนด ให้ใช้ ⊂ หากกำหนดในเงื่อนไขว่าเซ็กเมนต์ А Р อยู่ในบรรทัด b บันทึกจะมีลักษณะดังนี้: А Р ⊂ b

กรณีของสามจุดถึงหนึ่งเส้นตรงในเวลาเดียวกันเกิดขึ้น สิ่งนี้เป็นจริงเมื่อจุดหนึ่งอยู่ระหว่างจุดอื่น ประโยคนี้ถือเป็นสัจธรรม หากให้จุด A, B, C ซึ่งอยู่ในเส้นเดียวกัน และจุด B อยู่ระหว่าง A และ C จะตามมาว่าจุดที่กำหนดทั้งหมดอยู่ในเส้นเดียวกัน เนื่องจากทั้งสองข้างของจุด B

จุดแบ่งเส้นออกเป็นสองส่วน เรียกว่า รังสี เรามีสัจพจน์:

คำจำกัดความ 4

จุดใดก็ตามที่อยู่บนเส้นตรงจะแบ่งออกเป็นสองรังสี และจุดสองจุดใดๆ ของรังสีหนึ่งจะอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของรังสีที่สัมพันธ์กับจุด O และจุดอื่นๆ จะอยู่อีกด้านหนึ่งของรังสี

การจัดเรียงเส้นตรงบนระนาบสามารถอยู่ในรูปของสองสถานะ

คำจำกัดความ 5

ตรงกัน.

ความเป็นไปได้นี้จะปรากฏขึ้นเมื่อเส้นมีจุดร่วม จากสัจพจน์ที่เขียนไว้ข้างต้น เรามีเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดและจุดเดียว ซึ่งหมายความว่าเมื่อเส้น 2 เส้นผ่านจุดที่กำหนด 2 จุด จะตรงกัน

คำจำกัดความ 6

เส้นตรงสองเส้นในระนาบ ข้าม.

กรณีนี้แสดงว่ามีหนึ่ง จุดร่วมซึ่งเรียกว่าจุดตัดของเส้น สี่แยกสัญกรณ์ถูกแนะนำโดยสัญลักษณ์ ∩ . หากมีรูปแบบ a ∩ b = M แสดงว่าเส้นที่กำหนด a และ b ตัดกันที่จุด M

ที่จุดตัดของเส้นตรง เราจัดการกับมุมที่เกิดขึ้น ส่วนที่ตัดกันของเส้นบนระนาบจะมีการพิจารณาแยกกันโดยมีมุม 90 องศาซึ่งก็คือมุมฉาก จากนั้นเส้นจะเรียกว่าตั้งฉากรูปแบบการเขียนเส้นตั้งฉากสองเส้นคือ: a ⊥ b ซึ่งหมายความว่าเส้น a ตั้งฉากกับเส้น b

คำจำกัดความ 7

เส้นตรงสองเส้นในระนาบสามารถ ขนานกัน.

เฉพาะในกรณีที่เส้นที่ให้มาสองเส้นไม่มีจุดตัดร่วมกัน และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีจุดจะขนานกัน ใช้สัญกรณ์ที่สามารถเขียนเพื่อความขนานของเส้น a และ b: a ∥ b

เส้นตรงบนระนาบถือเป็นเวกเตอร์ด้วย ความสำคัญเป็นพิเศษติดอยู่กับเวกเตอร์ศูนย์ที่อยู่บนเส้นที่กำหนดหรือบนเส้นคู่ขนานใดๆ เรียกว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้น พิจารณารูปด้านล่าง

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งอยู่บนเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนดจะเรียกว่าเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง มีคำอธิบายโดยละเอียดในบทความ เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงบนระนาบ พิจารณารูปด้านล่าง

ถ้าให้ 3 เส้นบนเครื่องบิน ตำแหน่งของเส้นจะต่างกันมาก มีหลายทางเลือกสำหรับตำแหน่งของพวกเขา: จุดตัดของทั้งหมด ความขนาน หรือการมีอยู่ของจุดตัดต่างๆ รูปภาพแสดงจุดตัดตั้งฉากของเส้นสองเส้นเทียบกับเส้นเดียว

ในการทำเช่นนี้ เรานำเสนอปัจจัยที่จำเป็นเพื่อพิสูจน์ตำแหน่งสัมพัทธ์:

• ถ้าเส้นสองเส้นขนานกับเส้นที่สามแสดงว่าเส้นขนานทั้งหมด
• ถ้าเส้นสองเส้นตั้งฉากกับเส้นที่สาม แสดงว่าเส้นทั้งสองขนานกัน
• หากเส้นตัดกับเส้นคู่ขนานในระนาบ เส้นนั้นจะตัดกับอีกเส้นหนึ่ง

ลองมาดูที่ภาพ

เส้นตรงบนระนาบสามารถกำหนดได้หลายวิธี ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสภาพของปัญหาและแนวทางแก้ไขของปัญหา ความรู้นี้สามารถช่วยในการระบุตำแหน่งของเส้น

คำจำกัดความ 8

เส้นตรงถูกกำหนดโดยใช้จุดสองจุดที่ระบุไว้ในระนาบ

จากสัจพจน์ที่พิจารณาแล้ว เป็นไปได้ว่าสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดได้ และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียว เมื่อระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าระบุพิกัดของจุดสองจุดที่ไม่บังเอิญ จึงเป็นไปได้ที่จะแก้ไขสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดที่กำหนด พิจารณารูปที่เรามีเส้นตรงผ่านจุดสองจุด.

คำจำกัดความ 9

เส้นสามารถกำหนดได้ผ่านจุดและเส้นที่ขนานกัน

วิธีนี้มีอยู่จริง เนื่องจากเมื่อถึงจุดหนึ่ง คุณสามารถวาดเส้นตรงขนานกับเส้นที่กำหนดและมีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น หลักฐานเป็นที่รู้จักจากหลักสูตรของโรงเรียนในเรขาคณิต

หากให้เส้นตรงสัมพันธ์กับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนก็เป็นไปได้ที่จะกำหนดสมการของเส้นตรงที่ผ่าน คะแนนที่กำหนดขนานกับเส้นที่กำหนด พิจารณาหลักการตั้งเส้นตรงบนระนาบ

คำจำกัดความ 10

เส้นถูกระบุผ่านจุดที่ระบุและเวกเตอร์ทิศทาง

เมื่อกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เป็นไปได้ที่จะเขียนสมการมาตรฐานและสมการพาราเมทริกบนระนาบ พิจารณาในรูปตำแหน่งของเส้นตรงต่อหน้าเวกเตอร์ทิศทาง

จุดที่สี่ของการกำหนดเส้นตรงนั้นสมเหตุสมผลเมื่อมีการระบุจุดที่ควรลากเส้น และเส้นตรงตั้งฉากกับจุดนั้น จากสัจพจน์ที่เรามี:

คำจำกัดความ 11

ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งอยู่บนเครื่องบิน จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่จะผ่าน ซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

และจุดสุดท้ายที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดเส้นตรงบนระนาบอยู่ที่จุดที่กำหนดซึ่งเส้นตรงผ่านและต่อหน้าเวกเตอร์ปกติของเส้นตรง ด้วยพิกัดที่ทราบของจุดที่อยู่บนเส้นที่กำหนดและพิกัดของเวกเตอร์ปกติจึงเป็นไปได้ที่จะเขียน สมการทั่วไปตรง.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

กระป๋องโดยตรง อยู่ในเครื่องบิน, เป็นเธอ ขนานหรือ ข้ามเครื่องบิน. เส้นนั้นเป็นของระนาบ ถ้าจุดสองจุดที่เป็นของเส้นและเครื่องบินมีระดับความสูงเท่ากัน. ผลพวงของสิ่งที่กล่าวว่า: จุดเป็นของระนาบหากอยู่ในเส้นที่อยู่ในระนาบนั้น

เส้นขนานกับระนาบ ถ้าขนานกับเส้นในระนาบนั้น

เส้นตรงที่ตัดกับระนาบในการหาจุดตัดของเส้นตรงที่มีระนาบ จำเป็น (รูปที่ 3.28):

1) ลากระนาบเสริมผ่านเส้นที่กำหนด m ตู่;

2) สร้างเส้น นจุดตัดของระนาบที่กำหนด Σ กับระนาบเสริม T;

3) ทำเครื่องหมายจุดสี่แยก อาร์ให้สาย มกับแนวแยก น.

พิจารณาปัญหา (รูปที่ 3.29) เส้น m ถูกกำหนดโดยจุด A 6และมุมเอียง 35° ระนาบแนวตั้งเสริมถูกลากผ่านเส้นนี้ ทีซึ่งตัดระนาบ Σ ตามเส้น น (บี2ซี3). ดังนั้นพวกเขาจึงย้ายจากตำแหน่งร่วมกันของเส้นตรงและระนาบไปยังตำแหน่งร่วมกันของเส้นตรงสองเส้นที่วางอยู่ในระนาบแนวตั้งเดียวกัน ปัญหานี้แก้ไขได้ด้วยการสร้างโปรไฟล์ของเส้นตรงเหล่านี้ แยกเส้น มและ นกำหนดจุดที่ต้องการบนโปรไฟล์ R. ระดับความสูงของจุด Rกำหนดโดยมาตราส่วนแนวตั้ง

เส้นตรงตั้งฉากกับระนาบ เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบ หากตั้งฉากกับเส้นตัดสองเส้นใดๆ ของระนาบนั้น รูปที่ 3.30 แสดงเส้นตรง ม, ตั้งฉากกับระนาบ Σ และตัดกันที่จุด A. บนแผนฉายเส้นตรง มและแนวนอนของระนาบตั้งฉากกัน (มุมฉากด้านหนึ่งขนานกับระนาบของการฉายภาพฉายโดยไม่มีการบิดเบือนเส้นทั้งสองอยู่ในระนาบแนวตั้งเดียวกันดังนั้นตำแหน่งของเส้นดังกล่าวจึงผกผันกับ กันและกัน: lม = ลิตร/ลิตรยู . แต่ lคุณΣ = lΣ แล้ว lม = ลิตร/ลิตรΣ นั่นคือการวางเส้นตรง m เป็นสัดส่วนผกผันกับการวางระนาบ ตกเป็นเส้นตรงและเครื่องบินมีทิศทางต่างกัน

3.4. การฉายภาพด้วยเครื่องหมายตัวเลข พื้นผิว

3.4.1 รูปทรงหลายเหลี่ยมและพื้นผิวโค้ง พื้นผิวภูมิประเทศ

ในธรรมชาติ สารหลายชนิดมีโครงสร้างผลึกในรูปของรูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมคือชุดของรูปหลายเหลี่ยมระนาบที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน โดยที่แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมจะอยู่อีกด้านหนึ่งในเวลาเดียวกัน เมื่อวาดภาพรูปทรงหลายเหลี่ยมก็เพียงพอที่จะระบุการคาดการณ์ของจุดยอดโดยเชื่อมต่อตามลำดับที่แน่นอนด้วยเส้นตรง - การฉายภาพของขอบ ในกรณีนี้จะต้องระบุขอบที่มองเห็นและมองไม่เห็นบนภาพวาด ในรูป 3.31 แสดงปริซึมและปิรามิด ตลอดจนการหาเครื่องหมายของจุดที่เป็นของพื้นผิวเหล่านี้

รูปหลายเหลี่ยมนูนกลุ่มพิเศษคือกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีใบหน้าเท่ากันหมด รูปหลายเหลี่ยมปกติและมุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมปกติมีห้าประเภท

จัตุรมุข- สี่เหลี่ยมจตุรัสปกติที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่ามีจุดยอด 4 จุดและขอบ 6 จุด (รูปที่ 3.32 ก)

รูปหกเหลี่ยม- หกเหลี่ยมปกติ (ลูกบาศก์) - 8 จุดยอด 12 ขอบ (รูปที่ 3.32b)

รูปแปดด้าน- แปดเหลี่ยมปกติ จำกัด ด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดรูป - 6 จุดยอด 12 ขอบ (รูปที่ 3.32c)

สิบสองหน้า- สิบสองเหลี่ยมปกติ ถูกจำกัดด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติสิบสองรูป เชื่อมต่อกันด้วยสามอันใกล้จุดยอดแต่ละอัน

มีจุดยอด 20 จุดและขอบ 30 จุด (รูปที่ 3.32 ง)

icosahedron- สามเหลี่ยมยี่สิบด้านปกติ จำกัดด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่ายี่สิบรูป เชื่อมต่อกันด้วยห้าจุดใกล้จุดยอดแต่ละจุด จุดยอด 12 จุดและขอบ 30 จุด (รูปที่ 3.32 จ)

เมื่อสร้างจุดที่อยู่บนใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม จำเป็นต้องวาดเส้นที่เป็นของใบหน้านี้และทำเครื่องหมายการฉายภาพของจุดที่ฉาย

พื้นผิวรูปกรวยเกิดขึ้นจากการเคลื่อนตัวสร้างเส้นตรงตามแนวเส้นนำโค้งเพื่อให้ในทุกตำแหน่ง generatrix ผ่านจุดคงที่ - ด้านบนของพื้นผิว พื้นผิวทรงกรวยของมุมมองทั่วไปในแผนผังแสดงเป็นเส้นบอกแนวแนวนอนและจุดยอด ในรูป 3.33 แสดงการหาเครื่องหมายของจุดบนพื้นผิวของพื้นผิวทรงกรวย

รูปกรวยทรงกลมแบบตรงจะแสดงเป็นชุดของวงกลมที่มีศูนย์กลางศูนย์กลางที่วาดเป็นช่วงๆ (รูปที่ 3.34a) กรวยวงรีที่มีฐานเป็นวงกลม - ชุดของวงกลมนอกรีต (รูปที่ 3.34 ข)

พื้นผิวทรงกลม พื้นผิวทรงกลมเรียกว่าพื้นผิวแห่งการปฏิวัติ เกิดขึ้นจากการหมุนเป็นวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลาง ในแผนจะมีการกำหนดพื้นผิวทรงกลมโดยศูนย์กลาง ถึงและการฉายภาพของหนึ่งในรูปทรงของมัน (เส้นศูนย์สูตรของทรงกลม) (รูปที่ 3.35)

พื้นผิวภูมิประเทศ พื้นผิวภูมิประเทศเรียกว่าพื้นผิวที่ผิดปกติทางเรขาคณิตเนื่องจากไม่มีกฎการก่อตัวทางเรขาคณิต เพื่อกำหนดลักษณะพื้นผิว ตำแหน่งของจุดคุณลักษณะที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายจะถูกกำหนด ในรูป 3.3 b และตัวอย่างของส่วนของพื้นผิวภูมิประเทศซึ่งแสดงการฉายภาพของแต่ละจุด แผนดังกล่าวแม้ว่าจะทำให้สามารถเข้าใจรูปร่างของพื้นผิวที่ปรากฎได้ แต่ก็ไม่ชัดเจนนัก เพื่อให้ภาพวาดมีความชัดเจนมากขึ้น และด้วยเหตุนี้จึงอำนวยความสะดวกในการอ่าน การฉายภาพของจุดที่มีเครื่องหมายเดียวกันจะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งเรียบๆ ซึ่งเรียกว่าเส้นชั้นความสูง (ไอโซลีน) (รูปที่ 3.36 ข)

แนวนอนของพื้นผิวภูมิประเทศบางครั้งถูกกำหนดให้เป็นเส้นตัดของพื้นผิวนี้ด้วยระนาบแนวนอนที่เว้นระยะห่างจากกันในระยะทางเท่ากัน (รูปที่ 3.37) ความแตกต่างระหว่างระดับความสูงของแนวนอนสองแนวที่อยู่ติดกันเรียกว่าความสูงของส่วน

ยิ่งภาพพื้นผิวภูมิประเทศมีความแม่นยำมากเท่าใด ความแตกต่างในระดับความสูงระหว่างเส้นชั้นความสูงสองเส้นที่อยู่ติดกันก็ยิ่งน้อยลงเท่านั้น บนแผนผัง เส้นชั้นความสูงจะปิดภายในภาพวาดหรือภายนอก บนทางลาดชันของพื้นผิว การฉายภาพของเส้นชั้นความสูงมาบรรจบกัน บนทางลาดที่ไม่รุนแรง การฉายภาพจะแตกต่างกัน

ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างเส้นโครงของแนวนอนสองแนวที่อยู่ติดกันบนแผนผังเรียกว่าการวาง ในรูป 3.38 ผ่านจุด อาพื้นผิวภูมิประเทศ วาดเส้นตรงหลายส่วน และคุณและ AD. ล้วนมีมุมตกกระทบต่างกัน มุมตกกระทบที่ใหญ่ที่สุดมีส่วน ACซึ่งตำแหน่งมีค่าต่ำสุด ดังนั้นจะเป็นการฉายภาพของเส้นอุบัติการณ์ของพื้นผิว ณ ตำแหน่งที่กำหนด

ในรูป 3.39 เป็นตัวอย่างการสร้างเส้นโครงของเส้นล้มผ่านจุดที่กำหนด อา. จากจุดหนึ่ง A 100ให้วาดส่วนโค้งของวงกลมแทนเจนต์จากจุดศูนย์กลางไปยังแนวราบที่ใกล้ที่สุดที่จุด ที่ 90. Dot ที่ 90,นอนราบ ชั่วโมง 90 ,จะเป็นของตกเส้น จากจุดหนึ่ง ที่ 90ลากเส้นสัมผัสอาร์คไปยังแนวนอนถัดไปที่จุด ตั้งแต่ 80เป็นต้น จะเห็นได้จากภาพวาดว่าเส้นอุบัติการณ์ของพื้นผิวภูมิประเทศเป็นเส้นขาด ซึ่งแต่ละเส้นตั้งฉากกับแนวราบที่ลากผ่านปลายด้านล่างของตัวเชื่อมซึ่งมีระดับความสูงต่ำกว่า

3.4.2 จุดตัดของพื้นผิวรูปกรวยโดยระนาบ

หากระนาบการตัดผ่านจุดยอดของพื้นผิวทรงกรวย มันจะตัดผ่านเส้นตรงที่ก่อตัวเป็นพื้นผิว ในกรณีอื่นๆ เส้นส่วนจะเป็นเส้นโค้งแบน: วงกลม วงรี ฯลฯ พิจารณากรณีของจุดตัดของพื้นผิวรูปกรวยโดยระนาบ

ตัวอย่างที่ 1 สร้างการฉายภาพของเส้นแยก กรวยกลม Φ( ชั่วโมง o , S5) โดยระนาบ Ω ขนานกับกำเนิดของพื้นผิวทรงกรวย

พื้นผิวรูปกรวย ณ ตำแหน่งที่กำหนดของระนาบตัดกับพาราโบลา มีการสอดแทรกเจเนอเรทริกซ์ tเราสร้างแนวนอนของกรวยวงกลม - วงกลมศูนย์กลางที่มีจุดศูนย์กลาง ส 5 . จากนั้นเรากำหนดจุดตัดของแนวนอนชื่อเดียวกันของระนาบและกรวย (รูปที่ 3.40)

3.4.3. จุดตัดของพื้นผิวภูมิประเทศที่มีระนาบและเส้นตรง

กรณีของจุดตัดของพื้นผิวภูมิประเทศที่มีระนาบมักพบในการแก้ปัญหาทางธรณีวิทยา ในรูป 3.41 ให้ตัวอย่างการสร้างจุดตัดของพื้นผิวภูมิประเทศด้วยระนาบ Σ เส้นโค้งที่ต้องการ มถูกกำหนดโดยจุดตัดของเส้นชั้นความสูงที่มีชื่อเดียวกันของระนาบและพื้นผิวภูมิประเทศ

ในรูป 3.42 ให้ตัวอย่างการสร้างมุมมองที่แท้จริงของพื้นผิวภูมิประเทศด้วยระนาบแนวตั้ง Σ เส้นที่ต้องการ m ถูกกำหนดโดยจุด A, B, C… จุดตัดของเส้นชั้นความสูงของพื้นผิวภูมิประเทศกับระนาบการตัด Σ ในแผน การฉายภาพของเส้นโค้งจะลดลงเป็นเส้นตรงประจวบกับการฉายภาพของระนาบ: ม. โปรไฟล์ของเส้นโค้ง m ถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงตำแหน่งบนแผนผังของการฉายจุดต่างๆ เช่นเดียวกับระดับความสูง

3.4.4. พื้นผิวลาดเท่ากัน

พื้นผิวที่มีความลาดเอียงเท่ากันเป็นพื้นผิวที่มีกฎเกณฑ์ ซึ่งเครื่องกำเนิดเป็นเส้นตรงทั้งหมดทำมุมคงที่กับระนาบแนวนอน พื้นผิวดังกล่าวสามารถหาได้โดยการย้ายรูปกรวยวงกลมด้านขวาที่มีแกนตั้งฉากกับระนาบของแผนผัง เพื่อให้จุดยอดเลื่อนไปตามเส้นบอกแนวบางส่วน และแกนยังคงเป็นแนวตั้งในตำแหน่งใดก็ได้

ในรูป 3.43 แสดงพื้นผิวที่มีความชันเท่ากัน (i \u003d 1/2) ซึ่งถูกชี้นำโดยเส้นโค้งเชิงพื้นที่ เอบีซีดี.

สำเร็จการศึกษาเครื่องบิน ตัวอย่างเช่น พิจารณาระนาบของความลาดชันของถนน

ตัวอย่างที่ 1 ความชันตามยาวของถนน i=0, ความชันของตลิ่ง i n = 1:1.5, (รูปที่ 3.44a) จำเป็นต้องวาดเส้นแนวนอนผ่าน 1 ม. วิธีแก้ปัญหามีดังต่อไปนี้ เราวาดมาตราส่วนความชันของระนาบตั้งฉากกับขอบถนน ทำเครื่องหมายจุดที่ระยะห่างเท่ากับช่วงเวลา 1.5 ม. นำมาจากมาตราส่วนเชิงเส้น และกำหนดเครื่องหมาย 49, 48 และ 47 ผ่าน จุดที่ได้รับเราวาดเส้นแนวนอนของความลาดชันที่ขนานกับขอบถนน

ตัวอย่างที่ 2 ความชันตามยาวของถนน i≠0, ความชันของตลิ่ง i n = 1:1.5, (รูปที่ 3.44b) เครื่องบินของถนนสำเร็จการศึกษา ความชันของถนนแบ่งได้ดังนี้ ที่จุดยอด 50.00 (หรือจุดอื่น) เราวางส่วนบนของกรวย อธิบายวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับช่วงความชันของตลิ่ง (ในตัวอย่างของเรา l= 1.5ม.) ความสูงของเส้นแนวนอนของกรวยนี้จะน้อยกว่าความสูงของจุดยอดหนึ่งจุด นั่นคือ 49ม. เราวาดชุดของวงกลมเราได้รับเครื่องหมายของเส้นขอบ 48, 47, แทนเจนต์ที่เราวาดเส้นแนวนอนของความชันของเขื่อนจากจุดขอบด้วยเครื่องหมาย 49, 48, 47

การจัดระดับพื้นผิว

ตัวอย่างที่ 3 หากความชันตามยาวของถนน i = 0 และความชันของตลิ่งใน = 1: 1.5 ความชันในแนวนอนจะถูกลากผ่านจุดมาตราส่วนความชัน ซึ่งช่วงเวลาจะเท่ากับช่วงของความชันของ เขื่อน (รูปที่ 3.45a) ระยะห่างระหว่างเส้นโครงสองเส้นของแนวนอนที่อยู่ติดกันในทิศทางของบรรทัดฐานทั่วไป (มาตราส่วนความชัน) จะเท่ากันทุกที่

ตัวอย่างที่ 4 หากความชันตามยาวของถนน i≠0 และความชันของตลิ่งใน \u003d 1: 1.5 (รูปที่ 3.45b) แนวนอนจะถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันยกเว้นว่าแนวลาดเอียงนั้น ไม่ได้วาดเป็นเส้นตรง แต่เป็นเส้นโค้ง

3.4.5. การกำหนดเส้นขีด จำกัด การขุด

เนื่องจากดินส่วนใหญ่ไม่สามารถรักษาผนังแนวตั้งได้ จึงต้องสร้างทางลาด (โครงสร้างเทียม) ความชันที่กำหนดโดยความชันขึ้นอยู่กับพื้นดิน

เพื่อให้พื้นผิวโลกมีลักษณะเป็นระนาบที่มีความลาดชันบางอย่างคุณจำเป็นต้องรู้เส้นขีด จำกัด สำหรับการขุดและการทำงานเป็นศูนย์ เส้นนี้จำกัดพื้นที่ที่วางแผนไว้ แสดงโดยเส้นตัดของทางลาดของตลิ่งและรอยตัดที่มีพื้นผิวภูมิประเทศที่กำหนด

เนื่องจากแต่ละพื้นผิว (รวมถึงพื้นผิวเรียบ) ถูกวาดโดยใช้เส้นชั้นความสูง เส้นของจุดตัดของพื้นผิวจึงถูกสร้างขึ้นเป็นชุดของจุดตัดของเส้นชั้นความสูงที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน พิจารณาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 ในรูป ๓.๔๖ ให้สิ่งก่อสร้างเป็นดิน มีลักษณะเป็นปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมจตุรัส ยืนบนระนาบ ชม. ฐานบน เอบีซีดีปิรามิดมีเครื่องหมาย 4mและขนาดด้านข้าง 2×2.5 ม.. ด้านข้าง (ลาดตลิ่ง) มีความชัน 2:1 และ 1:1 ซึ่งแสดงทิศทางด้วยลูกศร

จำเป็นต้องสร้างแนวตัดของความลาดชันของโครงสร้างด้วยระนาบ ชมและระหว่างกันรวมถึงสร้างโปรไฟล์ตามยาวตามแนวแกนสมมาตร

ขั้นแรก ไดอะแกรมของความลาดชัน ช่วงเวลา และมาตราส่วนของฐานราก ให้สร้างความลาดชันขึ้น ตั้งฉากกับแต่ละด้านของไซต์ มาตราส่วนของความลาดชันของทางลาดจะถูกวาดตามช่วงเวลาที่กำหนด หลังจากนั้น เส้นโครงของเส้นชั้นความสูงที่มีเครื่องหมายเหมือนกันของใบหน้าที่อยู่ติดกันคือเส้นตัดของทางลาดซึ่งเป็นเส้นโครงของ ขอบด้านข้างของปิรามิดนี้

ฐานล่างของปิรามิดเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นชั้นความสูงศูนย์ของเนินลาด ถ้าดินนี้ข้ามด้วยระนาบแนวตั้ง คิวในส่วนที่คุณได้รับเส้นขาด - โปรไฟล์ตามยาวของโครงสร้าง

ตัวอย่าง 2. สร้างเส้นตัดของทางลาดของหลุมที่มีความลาดชันแบนและเข้าหากัน ล่าง ( เอบีซีดี) ของหลุมเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มีเครื่องหมาย 10 ม. และขนาด 3 x 4 ม. แกนของไซต์ทำมุม 5 °กับเส้นใต้ - เหนือ ความชันของช่องมีความชันเท่ากันที่ 2:1 (รูปที่ 3.47)

แนวการทำงานที่เป็นศูนย์ถูกกำหนดขึ้นตามแผนภูมิประเทศ มันถูกสร้างขึ้นตามจุดตัดของการฉายภาพที่มีชื่อเดียวกันของแนวนอนของพื้นผิวที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ตามจุดตัดของเส้นชั้นความสูงและพื้นผิวภูมิประเทศที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน จะพบเส้นตัดของทางลาด ซึ่งเป็นการคาดคะเนของขอบด้านข้างของหลุมที่กำหนด

ในกรณีนี้ ทางลาดด้านข้างของช่องจะติดกับด้านล่างของหลุม เส้น เอบีซีดีเป็นเส้นตรงที่ต้องการของทางแยก Aa, Bb, Cs, Dd- ขอบของหลุม, เส้นของทางแยกของทางลาดเข้าหากัน.

4. คำถามสำหรับการควบคุมตนเองและงานสำหรับ งานอิสระในหัวข้อ "การฉายภาพสี่เหลี่ยม"

Dot

4.1.1. สาระสำคัญของวิธีการฉายภาพ

4.1.2. การฉายแบบจุดคืออะไร?

4.1.3. ระนาบการฉายเรียกว่าอะไรและแสดงถึงอะไร?

4.1.4. เส้นเชื่อมต่อการฉายในรูปวาดคืออะไรและอยู่ในภาพวาดที่สัมพันธ์กับแกนฉายภาพอย่างไร

4.1.5. จะสร้างการฉายภาพจุดที่สาม (โปรไฟล์) ได้อย่างไร?

4.1.6. สร้างการฉายภาพจุด A, B, C สามภาพบนภาพวาดสามภาพ จดพิกัดและกรอกข้อมูลลงในตาราง

4.1.7. สร้างแกนฉายภาพที่ขาดหายไป x A =25, y A =20 สร้างการฉายภาพโปรไฟล์ของจุด A

4.1.8. สร้างเส้นโครงสามจุดตามพิกัด: A(25,20,15), B(20,25,0) และ C(35,0,10) ระบุตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบและแกนฉาย จุดไหนใกล้ระนาบ P 3 มากที่สุด?

4.1.9. คะแนนวัสดุ A และ B เริ่มล้มพร้อมกัน จุด B จะอยู่ตรงไหนเมื่อจุด A สัมผัสพื้น กำหนดการมองเห็นของจุด สร้างคะแนนในตำแหน่งใหม่

4.1.10. สร้างเส้นโครงสามจุดของจุด A หากจุดนั้นอยู่ในระนาบ P 3 และระยะห่างจากจุดนั้นไปยังระนาบ P 1 คือ 20 มม. ถึงระนาบ P 2 - 30 มม. เขียนพิกัดของจุด

ตรง

4.2.1. เส้นตรงในรูปวาดคืออะไร?

4.2.2. เส้นตรงใดที่เรียกว่าเส้นตรง ตำแหน่งทั่วไป?

4.2.3. เส้นตรงสามารถครอบครองตำแหน่งใดเมื่อเทียบกับระนาบการฉายภาพ?

4.2.4. การฉายภาพเส้นตรงจะกลายเป็นจุดเมื่อใด

4.2.5. อะไรเป็นเรื่องปกติสำหรับการวาดภาพที่ซับซ้อนในระดับตรง?

4.2.6. กำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นเหล่านี้

ก … ข … ข … ข

4.2.7. สร้างเส้นโครงของส่วนเส้นตรง AB ที่มีความยาว 20 มม. ขนานกับระนาบ: a) P 2; ข) หน้า 1; c) แกนวัว กำหนดมุมเอียงของส่วนต่อระนาบการฉายภาพ

4.2.8. สร้างเส้นโครงของส่วน AB ตามพิกัดของปลาย: A (30,10,10), B (10,15,30) สร้างการคาดคะเนของจุด C หารส่วนที่เกี่ยวข้องกับ AC:CB = 1:2

4.2.9. กำหนดและจดจำนวนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนดและตำแหน่งที่สัมพันธ์กับระนาบการฉายภาพ

4.2.10. ผ่านจุด A ลากเส้นแนวนอนและเส้นด้านหน้าที่ตัดกับเส้น m

4.2.11. กำหนดระยะห่างระหว่างเส้น b และจุด A

4.2.12. สร้างเส้นโครงของส่วน AB ที่มีความยาว 20 มม. ผ่านจุด A และ ตั้งฉากกับระนาบก) หน้า 2; ข) หน้า 1; ค) หน้า 3