ตัวเลขพีทาโกรัส ตัวเลขที่น่าเหลือเชื่อของศาสตราจารย์สจ๊วต

ตัวอย่างที่สำคัญของสมการไดโอแฟนไทน์มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งสัมพันธ์ความยาว x และ y ของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากกับความยาว z ของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แน่นอน คุณเคยเจอหนึ่งในคำตอบที่ยอดเยี่ยมของสมการนี้เป็นจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ เลขสามตัวของพีทาโกรัส x=3, y=4, z=5.มีแฝดสามอื่น ๆ หรือไม่?

ปรากฎว่ามีพีทาโกรัสสามตัวมากมายนับไม่ถ้วน และพวกมันทั้งหมดถูกค้นพบเมื่อนานมาแล้ว พวกเขาสามารถหาได้จากสูตรที่รู้จักกันดีซึ่งคุณจะได้เรียนรู้จากย่อหน้านี้

หากสมการไดโอแฟนไทน์ของระดับที่หนึ่งและสองได้รับการแก้ไขแล้ว คำถามของการแก้สมการที่มีระดับสูงกว่านั้นยังคงเปิดอยู่ แม้ว่าจะมีความพยายามของนักคณิตศาสตร์ชั้นนำก็ตาม ในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การคาดเดาอันโด่งดังของแฟร์มาต์ว่าค่าจำนวนเต็มใดๆ n2สมการ

ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

สำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์บางประเภทเรียกว่า ตัวเลขที่ซับซ้อนมันคืออะไร? ให้ตัวอักษร i แสดงถึงวัตถุบางอย่างที่ตรงตามเงื่อนไข ผม 2 \u003d -1(เป็นที่ชัดเจนว่าไม่มีจำนวนจริงตรงตามเงื่อนไขนี้) พิจารณานิพจน์ของแบบฟอร์ม α+iβ,โดยที่ α และ β เป็นจำนวนจริง เราจะเรียกนิพจน์ดังกล่าวว่า จำนวนเชิงซ้อน โดยได้กำหนดการดำเนินการของการบวกและคูณกับพวกมัน เช่นเดียวกับทวินาม แต่มีความแตกต่างเพียงอย่างเดียวที่นิพจน์ ฉัน2ทุกที่ที่เราจะแทนที่หมายเลข -1:

7.1. จำนวนมากในสาม

พิสูจน์ว่าถ้า x0, y0, z0- สามพีทาโกรัส แล้วก็ ทริปเปิ้ล y 0, x 0, z 0และ x 0 k, y 0 k, z 0 kสำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ธรรมชาติ k ก็คือพีทาโกรัสด้วย

7.2. สูตรส่วนตัว

ตรวจสอบว่าค่าธรรมชาติใด ๆ m>nทรินิตี้ของแบบฟอร์ม

คือปีทาโกรัส เป็นพีทาโกรัสสามตัวหรือเปล่า x, y, zสามารถแสดงในรูปแบบนี้ได้ หากคุณอนุญาตให้จัดเรียงตัวเลข x และ y ใหม่เป็นสามเท่า?

7.3. แฝดสามที่ลดไม่ได้

เลขสามตัวของพีทาโกรัสที่ไม่มีตัวหารร่วมมากกว่า 1 จะถูกเรียกว่าลดไม่ได้ พิสูจน์ว่าทริปเปิ้ลพีทาโกรัสลดไม่ได้ก็ต่อเมื่อตัวเลขสองตัวในสามตัวเป็นโคไพรม์

7.4. คุณสมบัติของทริปเปิ้ลสามตัว

พิสูจน์ว่าในพีทาโกรัส ทริปเปิ้ล x, y, z ที่ลดทอนไม่ได้ใดๆ ตัวเลข z และหนึ่งในตัวเลข x หรือ y เป็นเลขคี่

7.5. ทริปเปิ้ลที่ลดไม่ได้ทั้งหมด

พิสูจน์ว่าเลขสามตัว x, y, z เป็นเลขสามตัวของพีทาโกรัสที่ลดไม่ได้ก็ต่อเมื่อมันตรงกับเลขสามตัวขึ้นไปในลำดับของตัวเลขสองตัวแรก 2 นาที, ม. 2 - น. 2, ม. 2 + น. 2,ที่ไหน m>n- coprime จำนวนธรรมชาติของความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน

7.6. สูตรทั่วไป

พิสูจน์ว่าคำตอบของสมการทั้งหมด

ในจำนวนธรรมชาติจะได้รับคำสั่งของ x และ y ที่ไม่รู้จักโดยสูตร

โดยที่ m>n และ k เป็นพารามิเตอร์ทางธรรมชาติ (เพื่อหลีกเลี่ยงความซ้ำซ้อนของทริเปิลใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะเลือกตัวเลขของประเภท coprime และยิ่งไปกว่านั้น ความเท่าเทียมกันที่แตกต่างกัน)

7.7. แฝดสาม 10 คนแรก

ค้นหาทริเปิลพีทาโกรัสทั้งหมด x, y, zตรงตามเงื่อนไข x

7.8. คุณสมบัติของแฝดพีทาโกรัส

พิสูจน์ว่าสำหรับสามคนพีทาโกรัส x, y, zข้อความเป็นจริง:

ก) อย่างน้อยหนึ่งตัวเลข x หรือ y เป็นผลคูณของ 3;

b) อย่างน้อยหนึ่งตัวเลข x หรือ y เป็นผลคูณของ 4;

c) อย่างน้อยหนึ่งตัวเลข x, y หรือ z เป็นผลคูณของ 5

7.9. การประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อน

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน α + iβเรียกว่าเลขไม่ติดลบ

ตรวจสอบว่าสำหรับจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ α + iβและ γ + ฉันδทรัพย์สินถูกดำเนินการ

ใช้คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนและโมดูลัสของพวกมัน พิสูจน์ว่าจำนวนเต็มสองตัวใดๆ m และ n เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน

กล่าวคือพวกเขาให้คำตอบของสมการ

จำนวนเต็ม (เปรียบเทียบกับปัญหา 7.5)

7.10. แฝดที่ไม่ใช่พีทาโกรัส

ใช้คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อนและโมดูลัสของพวกมัน (ดูปัญหาที่ 7.9) ให้ค้นหาสูตรสำหรับคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มใดๆ ของสมการ:

ก) x 2 + y 2 \u003d z 3; b) x 2 + y 2 \u003d z 4

โซลูชั่น

7.1. ถ้า x 0 2 + y 0 2 = z 0 2 ,แล้ว y 0 2 + x 0 2 = z 0 2 ,และสำหรับค่าธรรมชาติใดๆ ของ k เรามี

คิวอีดี

7.2. จากความเท่าเทียมกัน

เราสรุปได้ว่าสามที่ระบุในปัญหาตรงกับสมการ x 2 + y 2 = z 2ในจำนวนธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่สามพีทาโกรัสทุกคน x, y, zสามารถแสดงในรูปแบบนี้ ตัวอย่างเช่น เลข 9, 12, 15 คือพีทาโกรัส แต่ไม่สามารถแทนเลข 15 เป็นผลรวมของกำลังสองของตัวเลขธรรมชาติสองตัว m และ n ได้

7.3. หากมีเลขสองตัวใดจากเลขสามตัวของพีทาโกรัส x, y, zมีตัวหารร่วม d แล้วมันจะเป็นตัวหารของจำนวนที่สามด้วย (ในกรณีนี้ x = x 1 d, y = y 1 dเรามี z 2 \u003d x 2 + y 2 \u003d (x 1 2 + y 1 2) d 2,โดยที่ z 2 หารด้วย d 2 ลงตัว และ z หารด้วย d ลงตัว) ดังนั้น สำหรับพีทาโกรัสทริปเปิ้ลที่จะลดทอนลงได้ มันเป็นสิ่งจำเป็นที่ตัวเลขสองตัวใด ๆ ในสามตัวเป็นคู่กัน

7.4. โปรดทราบว่าหนึ่งในตัวเลข x หรือ y พูดว่า x ของสามพีทาโกรัสที่ลดทอนไม่ได้ x, y, zเป็นเลขคี่เพราะไม่เช่นนั้นตัวเลข x และ y จะไม่คู่กัน (ดูปัญหา 7.3) หากอีกจำนวนหนึ่ง y เป็นเลขคี่ แสดงว่าทั้งสองจำนวน

ให้เศษ 1 เมื่อหารด้วย 4 และจำนวน z 2 \u003d x 2 + y 2ให้เศษ 2 เมื่อหารด้วย 4 คือหารด้วย 2 ลงตัว แต่หารด้วย 4 ลงตัวไม่ได้ ซึ่งหารด้วย 4 ลงตัวไม่ได้ ดังนั้น จำนวน y ต้องเป็นเลขคู่ และจำนวน z ต้องเป็นเลขคี่

7.5. ให้พีทาโกรัสสามเท่า x, y, zลดไม่ได้และเพื่อความชัดเจน ตัวเลข x เป็นคู่ ในขณะที่ตัวเลข y, z เป็นเลขคี่ (ดูปัญหาที่ 7.4) แล้ว

ตัวเลขอยู่ที่ไหน ทั้งหมด ให้เราพิสูจน์ว่าจำนวน a และ b เป็นคู่กัน แท้จริงแล้ว ถ้าพวกมันมีตัวหารร่วมมากกว่า 1 แล้วจำนวนนั้นก็มีตัวหารเหมือนกัน z = a + b, y = a - b,นั่นคือ ทริปเปิ้ลจะไม่ลดลง (ดูปัญหา 7.3) ตอนนี้ การขยายจำนวน a และ b ไปเป็นผลิตภัณฑ์ของตัวประกอบเฉพาะ เราสังเกตว่าปัจจัยเฉพาะใดๆ จะต้องรวมอยู่ในผลิตภัณฑ์ 4ab = x2ในระดับที่เท่ากันเท่านั้น และหากรวมอยู่ในการขยายจำนวน a ก็จะไม่รวมอยู่ในการขยายจำนวน b และในทางกลับกัน ดังนั้น ปัจจัยเฉพาะใดๆ จะรวมอยู่ในการขยายจำนวน a หรือ b แยกกันเป็นระดับคู่เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นกำลังสองของจำนวนเต็ม มาใส่กัน แล้วเราจะได้ความเท่าเทียมกัน

นอกจากนี้ พารามิเตอร์ธรรมชาติ m>n เป็น coprime (เนื่องจาก coprimeness ของตัวเลข a และ b) และมีความเท่าเทียมกันต่างกัน (เนื่องจากจำนวนคี่ z \u003d ม 2 + n 2).

ให้จำนวนธรรมชาติ m>n ของพาริตีต่างกันเป็น coprime แล้วทรอยกะ x \u003d 2mn, y \u003d m 2 - n 2, z \u003d m 2 + n 2ตาม ปัญหา 7.2 คือ พีทาโกรัส ให้เราพิสูจน์ว่ามันลดไม่ได้ ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบว่าตัวเลข y และ z ไม่มีตัวหารร่วม (ดู ปัญหา 7.3) อันที่จริง ตัวเลขทั้งสองนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจากหมายเลขประเภทมีความเท่าเทียมกันต่างกัน หากตัวเลข y และ z มีตัวหารร่วมธรรมดาบางตัว (จากนั้นจะต้องเป็นเลขคี่) แสดงว่าตัวเลขแต่ละตัวและกับตัวเลขเหล่านี้และตัวเลข m และ n แต่ละตัวมีตัวหารเหมือนกัน ซึ่งขัดแย้งกับความเรียบง่ายร่วมกัน

7.6. อาศัยอำนาจของการยืนยันที่กำหนดในปัญหา 7.1 และ 7.2 สูตรเหล่านี้กำหนดเฉพาะพีทาโกรัสสามเท่า ในทางกลับกัน พีทาโกรัสทริปเปิ้ล x, y, zหลังจากการลดลงด้วยตัวหารร่วมมาก k คู่ของตัวเลข x และ y จะไม่ลดลง (ดูปัญหา 7.3) ดังนั้นจึงสามารถแสดงได้ถึงลำดับของตัวเลข x และ y ในรูปแบบที่อธิบายไว้ในปัญหาที่ 7.5 ดังนั้นพีทาโกรัสสามตัวใด ๆ จะได้รับจากสูตรที่ระบุสำหรับค่าพารามิเตอร์บางค่า

7.7. จากความไม่เท่าเทียมกัน z และสูตรของปัญหา 7.6 เราได้ค่าประมาณ ม. 2 เช่น m≤5. สมมติ m = 2, n = 1และ k = 1, 2, 3, 4, 5,เราได้แฝด 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. สมมติ ม.=3, น=2และ k = 1, 2,เราได้แฝด 5, 12, 13; 10, 24, 26. สมมติ m = 4, n = 1, 3และ k = 1,เราได้แฝด 8, 15, 17; 7, 24, 25. สุดท้ายสมมติว่า ม=5, n=2และ k = 1,เราได้สาม 20, 21, 29.

Chervyak Vitaly

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

การแข่งขันโครงงานวิทยาศาสตร์ของเด็กนักเรียน

ภายในกรอบการประชุมทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติระดับภูมิภาค "ยูเรก้า"

Minor Academy of Sciences ของนักเรียน Kuban

การศึกษาตัวเลขพีทาโกรัส

สาขาวิชาคณิตศาสตร์.

Chervyak Vitaliy Gennadievich เกรด 9

MOBU SOSH №14

เขต Korenovsky

ศิลปะ. Zhuravskaya

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:

Manko Galina Vasilievna

ครูคณิตศาสตร์

MOBU SOSH №14

Korenovsk 2011

Chervyak Vitaly Gennadievich

ตัวเลขพีทาโกรัส

คำอธิบายประกอบ

หัวข้อการวิจัย:ตัวเลขพีทาโกรัส

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

• การระบุและการพัฒนาความสามารถทางคณิตศาสตร์
• การขยายการแทนค่าทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อ
• การก่อตัวของความสนใจอย่างยั่งยืนในเรื่อง;
• การพัฒนาทักษะการสื่อสารและการศึกษาทั่วไปของงานอิสระ ความสามารถในการอภิปราย โต้แย้ง ฯลฯ
• การก่อตัวและการพัฒนาการคิดเชิงวิเคราะห์และเชิงตรรกะ

วิธีการวิจัย:

• การใช้ทรัพยากรอินเทอร์เน็ต
• การเข้าถึงวรรณกรรมอ้างอิง
• ทำการทดลอง;

เอาท์พุท:

• งานนี้สามารถนำมาใช้ในบทเรียนเรขาคณิตเป็นวัสดุเพิ่มเติมสำหรับการดำเนินการหลักสูตรวิชาเลือกหรือวิชาเลือกในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนในงานนอกหลักสูตรในวิชาคณิตศาสตร์

Chervyak Vitaly Gennadievich

ดินแดนครัสโนดาร์หมู่บ้าน Zhuravskaya โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14 เกรด 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างาน: Manko Galina Vasilievna ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14

1. บทนำ……………………………………………………………………3
2. ส่วนสำคัญ

2.1 หน้าประวัติศาสตร์…………………………………………………………4

2.2 ข้อพิสูจน์ของขาคู่และคี่………………………………………………………… .........5-6

2.3 ที่มาของแบบแผนในการหา

ตัวเลขพีทาโกรัส………………………………………………………………7

2.4 คุณสมบัติของตัวเลขพีทาโกรัส ……………………………………………… 8

3. บทสรุป……………………………………………………………………………9

4. รายการแหล่งข้อมูลและวรรณกรรมที่ใช้แล้ว…………………… 10

ใบสมัคร ................................................. ................................................. . .....สิบเอ็ด

ภาคผนวกที่ 1………………………………………………………………………… 11

ภาคผนวก II…………………………………………………………………..13

Chervyak Vitaly Gennadievich

ดินแดนครัสโนดาร์หมู่บ้าน Zhuravskaya โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14 เกรด 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างาน: Manko Galina Vasilievna ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14

บทนำ

ฉันได้ยินเกี่ยวกับปีทาโกรัสและชีวิตของเขาในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และฉันก็สนใจข้อความที่ว่า "กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" เมื่อศึกษาทฤษฎีบทพีทาโกรัสฉันเริ่มสนใจตัวเลขพีทาโกรัส ฉันใส่วัตถุประสงค์ของการศึกษา: เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ "ตัวเลขพีทาโกรัส"

ความเกี่ยวข้องของหัวข้อ. คุณค่าของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและพีทาโกรัสสามเท่าได้รับการพิสูจน์โดยนักวิทยาศาสตร์หลายคนทั่วโลกมานานหลายศตวรรษ ปัญหาที่จะกล่าวถึงในงานของฉันนั้นดูค่อนข้างง่าย เพราะมันอิงจากข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ทุกคนรู้ - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่สร้างบน ขา. ตอนนี้เป็นสามเท่าของจำนวนธรรมชาติ x, y, z ซึ่ง x 2 + y 2 = z 2 ,ที่เรียกกันทั่วไปว่าแฝดพีทาโกรัส. ปรากฎว่าพีทาโกรัสแฝดสามเป็นที่รู้จักในบาบิโลนแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกก็ค่อยๆ พบพวกเขาเช่นกัน

จุดประสงค์ของงานนี้

1. สำรวจตัวเลขพีทาโกรัส;
2. ทำความเข้าใจวิธีการหาตัวเลขพีทาโกรัส
3. ค้นหาว่าตัวเลขพีทาโกรัสมีคุณสมบัติอย่างไร
4. ทดลองสร้างเส้นตั้งฉากบนพื้นโดยใช้ตัวเลขพีทาโกรัส

ตามวัตถุประสงค์ของงาน ดังนี้งาน :

1. ศึกษาประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น

2. การวิเคราะห์คุณสมบัติสากลของพีทาโกรัสสามเท่า

3. การวิเคราะห์การใช้งานจริงของพีทาโกรัสสามเท่า

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: พีทาโกรัสแฝดสาม.

วิชาที่เรียน: คณิต.

วิธีการวิจัย: - การใช้ทรัพยากรอินเทอร์เน็ต - อุทธรณ์วรรณกรรมอ้างอิง - ทำการทดลอง;

ความสำคัญทางทฤษฎี:บทบาทที่เล่นโดยการค้นพบพีทาโกรัสสามเท่าในด้านวิทยาศาสตร์ การประยุกต์ใช้การค้นพบพีทาโกรัสในชีวิตมนุษย์

ค่าที่ใช้การวิจัยประกอบด้วยการวิเคราะห์แหล่งวรรณกรรมและการจัดระบบข้อเท็จจริง

Chervyak Vitaly Gennadievich

ดินแดนครัสโนดาร์หมู่บ้าน Zhuravskaya โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14 เกรด 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างาน: Manko Galina Vasilievna ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14

จากประวัติเลขพีทาโกรัส

• จีนโบราณ:

หนังสือคณิตศาสตร์ Chu-pei:[ 2]

"ถ้ามุมฉากถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบ เส้นที่เชื่อมต่อปลายด้านข้างจะเป็น 5 เมื่อฐานเป็น 3 และสูงเท่ากับ 4"

• อียิปต์โบราณ: [2]

ต้นเสียง (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3² + 4² = 5² ชาวอียิปต์รู้จักเมื่อประมาณ 2,300 ปีก่อนคริสตกาล จ. ในสมัยของพระมหากษัตริย์อะมีเนมัต (ตาม Papyrus 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคันเตอร์พิณ, หรือ "ตัวปรับความตึงเชือก" สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3 4 และ 5

• บาบิโลเนีย: [ 3 ]

“ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกคนแรก เช่น เทลส์ พีทาโกรัส และพีทาโกรัส ไม่ใช่การค้นพบคณิตศาสตร์ แต่เป็นการจัดระบบและให้เหตุผล ในมือของพวกเขา สูตรการคำนวณตามแนวคิดที่คลุมเครือได้กลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน

• ประวัติทฤษฎีบทพีทาโกรัส:,

แม้ว่าทฤษฎีบทนี้จะเกี่ยวข้องกับชื่อของพีทาโกรัส แต่ก็เป็นที่รู้จักมานานก่อนหน้าเขา

ในตำราของชาวบาบิโลน เธอเกิดขึ้น 1200 ปีก่อนพีทาโกรัส

เห็นได้ชัดว่าเขาเป็นคนแรกที่พบหลักฐาน ในเรื่องนี้ มีการสร้างรายการต่อไปนี้: "... เมื่อเขาค้นพบว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านตรงข้ามมุมฉากที่สอดคล้องกับขาเขาเสียสละวัวที่ทำจากแป้งสาลี"

Chervyak Vitaly Gennadievich

ดินแดนครัสโนดาร์หมู่บ้าน Zhuravskaya โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14 เกรด 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างาน: Manko Galina Vasilievna ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14

ศึกษาเลขพีทาโกรัส

• สามเหลี่ยมแต่ละอัน ด้านสัมพันธ์กันเป็น 3:4:5 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี เป็นมุมฉาก เนื่องจาก

3 2 + 4 2 = 5 2.

• นอกจากตัวเลข 3,4 และ 5 แล้ว ยังมีเซตของจำนวนเต็มบวก a, b และ c ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเป็นไปตามความสัมพันธ์
• A 2 + ใน 2 = c 2
• ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขพีทาโกรัส

พีทาโกรัสแฝดเป็นที่รู้จักกันมาเป็นเวลานานมาก ในสถาปัตยกรรมของหลุมฝังศพของ Forest Potam โบราณ มีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งประกอบด้วยสี่เหลี่ยมสองอันที่มีด้าน 9, 12 และ 15 ศอก ปิรามิดของฟาโรห์สเนฟรู (ศตวรรษที่ XXVII ก่อนคริสต์ศักราช) สร้างขึ้นโดยใช้สามเหลี่ยมที่มีด้านเป็น 20, 21 และ 29 รวมทั้ง 18, 24 และ 30 สิบศอกของอียิปต์[ 1 ]

สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา 3, 4 และด้านตรงข้ามมุมฉาก 5 เรียกว่า สามเหลี่ยมอียิปต์ พื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับจำนวนสมบูรณ์ 6 เส้นรอบวงเท่ากับ 12 ซึ่งเป็นตัวเลขที่ถือว่าเป็นสัญลักษณ์ของความสุขและความเจริญรุ่งเรือง

ด้วยความช่วยเหลือของเชือกที่แบ่งนอตออกเป็น 12 ส่วนเท่า ๆ กัน ชาวอียิปต์โบราณได้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมฉาก วิธีที่สะดวกและแม่นยำมากที่นักสำรวจที่ดินใช้ในการวาดเส้นตั้งฉากบนพื้น จำเป็นต้องใช้สายไฟและหมุดสามอันสายไฟถูกจัดเรียงเป็นรูปสามเหลี่ยมเพื่อให้ด้านหนึ่งประกอบด้วย 3 ส่วนส่วนที่สองจาก 4 ส่วนและส่วนสุดท้ายของห้าส่วนดังกล่าว สายไฟจะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก

วิธีการแบบโบราณนี้ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าใช้เมื่อหลายพันปีก่อนโดยผู้สร้างปิรามิดอียิปต์ มีพื้นฐานมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าทุก ๆ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสัมพันธ์กันเป็น 3:4:5 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

Euclid, Pythagoras, Diophantus และอีกหลายคนกำลังค้นหาพีทาโกรัสแฝด[ 1]

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้า (x, y, z ) เป็นพีทาโกรัสสามดังนั้นสำหรับธรรมชาติใด ๆ k สาม (kx, ky, kz ) จะเป็นพีทาโกรัสทริปเปิ้ลด้วย โดยเฉพาะ (6, 8, 10), (9, 12, 15) เป็นต้น คือพีทาโกรัสแฝดสาม

เมื่อจำนวนเพิ่มขึ้น พีทาโกรัสทวีคูณจะหายากขึ้นและหาได้ยากขึ้น ชาวพีทาโกรัสคิดค้นวิธีการค้นหา

ทริปเปิ้ลดังกล่าวและใช้มันพิสูจน์ว่ามีทริปเปิ้ลพีทาโกรัสมากมายนับไม่ถ้วน

ทริเพิลที่ไม่มีตัวหารร่วมมากกว่า 1 เรียกว่า ทริเปิลธรรมดา

พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของพีทาโกรัสแฝดสาม[ 1]

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขเหล่านี้สามารถใช้เป็นความยาวของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปได้ ดังนั้น a และ b จึงเรียกว่า "ขา" และ c เรียกว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก"
เป็นที่ชัดเจนว่าถ้า a, b, c เป็นจำนวนสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัส ดังนั้น pa, p, pc โดยที่ p เป็นปัจจัยจำนวนเต็ม ก็คือจำนวนพีทาโกรัส
ตรงกันข้ามก็จริง!
ดังนั้น อันดับแรก เราจะศึกษาเฉพาะจำนวน coprime Pythagorean สามเท่าเท่านั้น (ส่วนที่เหลือได้มาจากการคูณด้วยตัวประกอบจำนวนเต็ม p)

ขอให้เราแสดงให้เห็นว่าในแต่ละสามเท่า a, b, c หนึ่งใน "ขา" ต้องเป็นคู่และอีกข้างเป็นคี่ มาเถียงกัน "ตรงกันข้าม" ถ้าทั้ง "ขา" a และ b เป็นคู่ ดังนั้นจำนวน a จะเป็นคู่ 2 + ใน 2 และด้วยเหตุนี้ด้านตรงข้ามมุมฉาก แต่สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลข a, b และ c ไม่มีตัวประกอบร่วม เนื่องจากเลขคู่สามตัวมีตัวประกอบร่วมเป็น 2 ดังนั้น "ขา" a และ b อย่างน้อยหนึ่งตัวจึงเป็นเลขคี่

ยังมีความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือ "ขา" ทั้งสองข้างเป็นคี่ และ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" เป็นคู่ มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้เพราะถ้า "ขา" มีรูปแบบ 2 x + 1 และ 2y + 1 ผลรวมของกำลังสองจะเท่ากับ

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4 (x 2 + x + y 2 + y) +2 นั่นคือ เป็นจำนวนที่เมื่อหารด้วย 4 ให้เหลือเศษ 2 ในขณะเดียวกัน กำลังสองของจำนวนคู่ใดๆ ต้องหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

ดังนั้นผลรวมของกำลังสองของเลขคี่สองตัวไม่สามารถเป็นกำลังสองของจำนวนคู่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขทั้งสามของเราไม่ใช่พีทาโกรัส

เอาท์พุท:

ดังนั้น จาก "ขา" a ไปหนึ่งคู่ และอีกข้างเป็นคี่ ดังนั้นตัวเลข a 2 + ใน 2 คี่ ซึ่งหมายความว่า “ด้านตรงข้ามมุมฉาก” ค.

พีทาโกรัสพบสูตรที่ในสัญลักษณ์สมัยใหม่สามารถเขียนได้ดังนี้: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2น 2 +2n+1 โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม

ตัวเลขเหล่านี้เป็นสามเท่าของพีทาโกรัส

Chervyak Vitaly Gennadievich

ดินแดนครัสโนดาร์หมู่บ้าน Zhuravskaya โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14 เกรด 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างาน: Manko Galina Vasilievna ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14

ที่มาของรูปแบบการหาจำนวนพีทาโกรัส

นี่คือสามพีทาโกรัสต่อไปนี้:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

มันง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อคูณตัวเลขของพีทาโกรัสสามตัวแต่ละตัวด้วย 2, 3, 4, 5 ฯลฯ เราจะได้สามเท่าต่อไปนี้

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 เป็นต้น

เป็นเลขพีทาโกรัสด้วย/

Chervyak Vitaly Gennadievich

ดินแดนครัสโนดาร์หมู่บ้าน Zhuravskaya โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14 เกรด 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างาน: Manko Galina Vasilievna ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14

คุณสมบัติของตัวเลขพีทาโกรัส

• เมื่อพิจารณาตัวเลขพีทาโกรัส ฉันเห็นคุณสมบัติหลายประการ:
• 1) หนึ่งในจำนวนพีทาโกรัสต้องเป็นผลคูณของสาม;
• 2) อีกอันหนึ่งจะต้องเป็นผลคูณของสี่
• 3) และหนึ่งในสามของจำนวนพีทาโกรัสจะต้องเป็นผลคูณของห้า;

Chervyak Vitaly Gennadievich

ดินแดนครัสโนดาร์หมู่บ้าน Zhuravskaya โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14 เกรด 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างาน: Manko Galina Vasilievna ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14

บทสรุป.

เรขาคณิตก็เหมือนกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ ที่เกิดขึ้นจากความต้องการของการฝึกฝน คำว่า "เรขาคณิต" ในภาษากรีกแปลว่า "การสำรวจ"

ผู้คนจำนวนมากต้องเผชิญกับความต้องการวัดที่ดินตั้งแต่เนิ่นๆ แล้วสำหรับ 3-4 พันปีก่อนคริสต์ศักราช ผืนดินอันอุดมสมบูรณ์ทุกผืนในหุบเขาของแม่น้ำไนล์ ยูเฟรตีส์ และไทกริส แม่น้ำของจีนมีความสำคัญต่อชีวิตของผู้คน สิ่งนี้ต้องการความรู้ทางเรขาคณิตและเลขคณิตจำนวนหนึ่ง

ผู้คนเริ่มวัดและศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้นทีละน้อย

ทั้งในอียิปต์และในบาบิโลนมีการสร้างวัดขนาดมหึมาซึ่งการก่อสร้างสามารถทำได้บนพื้นฐานของการคำนวณเบื้องต้นเท่านั้น ท่อระบายน้ำก็ถูกสร้างขึ้นเช่นกัน ภาพวาดและการคำนวณที่จำเป็นทั้งหมดนี้ ถึงตอนนี้ กรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักกันดี พวกเขารู้อยู่แล้วว่าถ้าเราหาสามเหลี่ยมที่มีด้าน x, y, z โดยที่ x, y, z เป็นจำนวนเต็มที่ x 2 + y 2 = z 2 จากนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเป็นมุมฉาก

ความรู้ทั้งหมดนี้ถูกนำไปใช้โดยตรงในหลายๆ ด้านของชีวิตมนุษย์

ดังนั้นจนถึงขณะนี้การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ของนักวิทยาศาสตร์และปราชญ์แห่งสมัยโบราณ Pythagoras พบการประยุกต์ใช้โดยตรงในชีวิตของเรา

การก่อสร้างบ้าน ถนน ยานอวกาศ รถยนต์ เครื่องมือกล ท่อส่งน้ำมัน เครื่องบิน อุโมงค์ รถไฟใต้ดิน และอีกมากมาย แฝดพีทาโกรัสพบการประยุกต์ใช้โดยตรงในการออกแบบหลายสิ่งรอบตัวเราในชีวิตประจำวัน

และจิตใจของนักวิทยาศาสตร์ยังคงมองหาเวอร์ชันใหม่ของการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

• ใน จากการทำงานของฉัน ฉันสามารถ:
• 1. เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับพีทาโกรัส ชีวิตของเขา ภราดรพีทาโกรัส
• 2. ทำความคุ้นเคยกับประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
• 3. เรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลขพีทาโกรัส คุณสมบัติ เรียนรู้วิธีค้นหาและนำไปใช้ในทางปฏิบัติ

Chervyak Vitaly Gennadievich

ดินแดนครัสโนดาร์หมู่บ้าน Zhuravskaya โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14 เกรด 9

ตัวเลขพีทาโกรัส

หัวหน้างาน: Manko Galina Vasilievna ครูคณิตศาสตร์ โรงเรียนมัธยม MOBU หมายเลข 14

วรรณกรรม.

1. พีชคณิตที่สนุกสนาน ฉันและ. เปเรลมัน (น.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. อโนซอฟ ดี.วี. ดูคณิตศาสตร์และอะไรบางอย่างจากมัน – ม.: MTsNMO, 2546.

5. สารานุกรมสำหรับเด็ก - M.: สำนักพิมพ์ของ Academy of Pedagogical Sciences of RSFSR, 1959

6. Stepanova L.L. บทที่เลือกของทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น – ม.: โพรมีธีอุส, 2001.

7. V. Sierpinsky สามเหลี่ยมพีทาโกรัส - M.: Uchpedgiz, 1959. S.111

ความคืบหน้าของงานวิจัย หน้าประวัติศาสตร์ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส พิสูจน์ว่า "ขา" ข้างหนึ่งต้องเป็นคู่และอีกข้างเป็นคี่ ที่มาของรูปแบบการหาจำนวนพีทาโกรัส เปิดเผยคุณสมบัติของตัวเลขพีทาโกรัส

บทนำ ฉันได้ยินเกี่ยวกับพีทาโกรัสและชีวิตของเขาในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 และสนใจข้อความที่ว่า "กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" เมื่อศึกษาทฤษฎีบทพีทาโกรัส ฉันเริ่มสนใจตัวเลขพีทาโกรัส ฉันกำหนดเป้าหมายของการศึกษา: เพื่อเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ "จำนวนพีทาโกรัส"

ความจริงจะคงอยู่ชั่วนิรันดร์ คนอ่อนแอจะรู้ได้เร็วแค่ไหน! และตอนนี้ทฤษฎีบทของ Pythagoras Verne ในวัยอันใกล้ของเขา

จากประวัติเลขพีทาโกรัส หนังสือคณิตศาสตร์จีนโบราณ Chu-pei: "ถ้ามุมฉากถูกแยกออกเป็นส่วนประกอบแล้วเส้นที่เชื่อมต่อปลายด้านข้างจะเป็น 5 เมื่อฐานเป็น 3 และสูงเท่ากับ 4"

ตัวเลขพีทาโกรัสในหมู่ชาวอียิปต์โบราณ Kantor (นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ใหญ่ที่สุด) เชื่อว่าความเท่าเทียมกัน 3 ² + 4 ² = 5² เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่ชาวอียิปต์เมื่อประมาณ 2300 ปีก่อนคริสตกาล e. ในช่วงเวลาของ King Amenemhat (ตามปาปิรัส 6619 ของพิพิธภัณฑ์เบอร์ลิน) ตามคำบอกเล่าของต้นเสียง ฮาร์ปิโดนาปต์หรือ "สตริงเนอร์" ได้สร้างมุมฉากโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านละ 3 ด้าน 4 และ 5

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในบาบิโลน “ข้อดีของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกคนแรก เช่น เทลส์ พีทาโกรัส และพีทาโกรัส ไม่ใช่การค้นพบคณิตศาสตร์ แต่เป็นการจัดระบบและการให้เหตุผล ในมือของพวกเขา สูตรการคำนวณตามแนวคิดที่คลุมเครือได้กลายเป็นวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน

สามเหลี่ยมแต่ละอัน ด้านสัมพันธ์กันเป็น 3:4:5 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจาก 3 2 + 4 2 \u003d 5 2 นอกจากตัวเลข 3,4 และ 5 แล้ว ยังมี ดังที่คุณทราบ ชุดจำนวนเต็มบวกอนันต์ a , ใน และ ค ซึ่งเป็นไปตามความสัมพันธ์ A 2 + ใน 2 \u003d c 2 ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลขพีทาโกรัส

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขเหล่านี้สามารถใช้เป็นความยาวของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปได้ ดังนั้น a และ b จึงเรียกว่า "ขา" และ c เรียกว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" เป็นที่ชัดเจนว่าถ้า a, b, c เป็นจำนวนสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัส ดังนั้น pa, p, pc โดยที่ p เป็นปัจจัยจำนวนเต็ม ก็คือจำนวนพีทาโกรัส ตรงกันข้ามก็จริง! ดังนั้น อันดับแรก เราจะศึกษาเฉพาะจำนวน coprime Pythagorean สามเท่า (ส่วนที่เหลือได้มาจากการคูณด้วยตัวประกอบจำนวนเต็ม p)

เอาท์พุต! ดังนั้น จากตัวเลข a และ b ตัวหนึ่งเป็นเลขคู่ และอีกตัวเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขที่สามเป็นเลขคี่เช่นกัน

ต่อไปนี้คือสามพีทาโกรัสต่อไปนี้: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

มันง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อคูณตัวเลขของพีทาโกรัสสามตัวแต่ละตัวด้วย 2, 3, 4, 5 ฯลฯ เราจะได้สามเท่าต่อไปนี้ 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 เป็นต้น เป็นเลขพีทาโกรัสด้วย

คุณสมบัติของตัวเลขพีทาโกรัส เมื่อพิจารณาตัวเลขพีทาโกรัส ฉันเห็นคุณสมบัติหลายประการ: 1) หนึ่งในจำนวนพีทาโกรัสจะต้องเป็นผลคูณของสาม; 2) หนึ่งในนั้นจะต้องเป็นผลคูณของสี่ 3) และอีกจำนวนหนึ่งของจำนวนพีทาโกรัสจะต้องเป็นผลคูณของห้า

การประยุกต์ใช้ตัวเลขพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ

สรุป: จากการทำงานของฉัน ฉันสามารถเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับพีทาโกรัส ชีวิตของเขา ภราดรพีทาโกรัส 2. ทำความคุ้นเคยกับประวัติของทฤษฎีบทพีทาโกรัส 3. เรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลขพีทาโกรัส คุณสมบัติ เรียนรู้วิธีค้นหา ทดลองจัดฉากกันมุมฉากโดยใช้ตัวเลขพีทาโกรัส

วิธีที่สะดวกและแม่นยำมากที่นักสำรวจที่ดินใช้ในการวาดเส้นตั้งฉากบนพื้นมีดังนี้ กำหนดให้ต้องลากเส้นตั้งฉากกับเส้น MN ผ่านจุด A (รูปที่ 13) ออกจาก A ไปทาง AM สามครั้งระยะทาง a. จากนั้นผูกปมสามอันบนเชือกซึ่งมีระยะห่างระหว่าง 4a และ 5a ผูกปมสุดขั้วกับจุด A และ B แล้วดึงสายไฟเหนือปมตรงกลาง สายไฟจะอยู่ในรูปสามเหลี่ยม โดยมุม A เป็นมุมขวา

วิธีการแบบโบราณนี้ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าใช้กันเมื่อหลายพันปีก่อนโดยผู้สร้างปิรามิดอียิปต์ มีพื้นฐานมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยมแต่ละรูปซึ่งด้านข้างสัมพันธ์กันเป็น 3:4:5 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดีคือ มุมขวาตั้งแต่

3 2 + 4 2 = 5 2 .

นอกจากเลข 3, 4, 5 แล้ว ยังมีชุดของจำนวนเต็มบวก a, b, c ที่นับไม่ได้ตามความสัมพันธ์

A 2 + b 2 \u003d c 2

เรียกว่าเลขพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตัวเลขดังกล่าวสามารถใช้เป็นความยาวของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปได้ ดังนั้น a และ b จึงเรียกว่า "ขา" และ c เรียกว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก"

เป็นที่ชัดเจนว่าถ้า a, b, c เป็นจำนวนสามเท่าของจำนวนพีทาโกรัส ดังนั้น pa, pb, pc โดยที่ p เป็นปัจจัยจำนวนเต็ม ก็คือจำนวนพีทาโกรัส ในทางกลับกัน หากจำนวนพีทาโกรัสมีตัวประกอบร่วม ด้วยปัจจัยร่วมนี้ คุณสามารถลดจำนวนทั้งหมดลงได้ และอีกครั้งคุณจะได้ตัวเลขพีทาโกรัสสามเท่า ดังนั้น อันดับแรก เราจะศึกษาเฉพาะจำนวน coprime Pythagorean สามเท่าเท่านั้น (ส่วนที่เหลือได้มาจากการคูณด้วยตัวประกอบจำนวนเต็ม p)

ให้เราแสดงให้เห็นว่าในแต่ละแฝดนั้น a, b, c หนึ่งใน "ขา" ต้องเป็นคู่และอีกข้างเป็นคี่ มาเถียงกัน "ตรงกันข้าม" หาก "ขา" a และ b เป็นคู่ ตัวเลข a 2 + b 2 จะเป็นคู่ และด้วยเหตุนี้ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลข a, b, c ไม่มีตัวประกอบร่วม เนื่องจากเลขคู่สามตัวมีตัวประกอบร่วมเป็น 2 ดังนั้น "ขา" อย่างน้อยหนึ่งตัว a, b จึงเป็นเลขคี่

ยังมีความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือ "ขา" ทั้งสองข้างเป็นคี่ และ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" เป็นคู่ มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้ แท้จริงแล้วถ้า "ขา" มีรูปแบบ

2x + 1 และ 2y + 1,

ผลรวมของกำลังสองของมันคือ

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 \u003d 4 (x 2 + x + y 2 + y) + 2,

กล่าวคือ เป็นจำนวนที่เมื่อหารด้วย 4 แล้ว ให้เหลือเศษ 2 ในขณะเดียวกัน กำลังสองของจำนวนคู่ใดๆ ต้องหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้นผลรวมของกำลังสองของเลขคี่สองตัวไม่สามารถเป็นกำลังสองของจำนวนคู่ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวเลขทั้งสามของเราไม่ใช่พีทาโกรัส

ดังนั้น จาก "ขา" a, b ตัวหนึ่งเป็นคู่และอีกข้างเป็นคี่ ดังนั้นตัวเลข a 2 + b 2 จึงเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" c เป็นเลขคี่เช่นกัน

เพื่อความชัดเจน คี่นั้นคือ "ขา" a และแม้กระทั่ง b จากความเท่าเทียมกัน

a 2 + b 2 = c 2

เราได้รับอย่างง่ายดาย:

A 2 \u003d c 2 - b 2 \u003d (c + b) (c - b)

ตัวประกอบ c + b และ c - b ทางด้านขวาคือโคไพรม์ อันที่จริง หากตัวเลขเหล่านี้มีตัวประกอบเฉพาะร่วมมากกว่าหนึ่งตัว ผลรวมก็จะถูกหารด้วยตัวประกอบนี้ด้วย

(c + b) + (c - b) = 2c,

และความแตกต่าง

(c + b) - (c - b) = 2b,

และทำงาน

(c + b) (c - b) \u003d a 2,

นั่นคือตัวเลข 2c, 2b และ a จะมีตัวประกอบร่วมกัน เนื่องจาก a เป็นเลขคี่ ปัจจัยนี้จึงแตกต่างจากสองตัว ดังนั้นตัวเลข a, b, c จึงมีตัวประกอบร่วมเหมือนกัน ซึ่งอย่างไรก็ตาม ไม่สามารถเป็นได้ ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกันแสดงให้เห็นว่าตัวเลข c + b และ c - b เป็น coprime

แต่ถ้าผลคูณของจำนวนโคไพรม์เป็นกำลังสองที่แน่นอน แล้วแต่ละตัวก็เป็นกำลังสอง กล่าวคือ

การแก้ปัญหาระบบนี้ เราพบว่า:

C \u003d (m 2 + n 2) / 2, b \u003d (m 2 - n 2) / 2 และ 2 \u003d (c + b) (c - b) \u003d m 2 n 2, a \u003d นาที.

ดังนั้นจำนวนพีทาโกรัสที่พิจารณาจึงมีรูปแบบ

A \u003d mn, b \u003d (m 2 - n 2) / 2, c \u003d (m 2 + n 2) / 2

โดยที่ m และ n เป็นจำนวนคี่คู่ ผู้อ่านสามารถตรวจสอบสิ่งที่ตรงกันข้ามได้อย่างง่ายดาย: สำหรับประเภทคี่สูตรที่เขียนจะให้ตัวเลขพีทาโกรัสสามตัว a, b, c

ต่อไปนี้คือแฝดสามของตัวเลขพีทาโกรัสที่ได้จากประเภทต่างๆ:

สำหรับ m = 3, n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2 สำหรับ m = 5, n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2 สำหรับ m = 7, n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 สำหรับ m = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 ที่ m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 ที่ m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 ที่ m = 5 , n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2 สำหรับ m = 7, n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2 สำหรับ m = 11, n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2 สำหรับ m = 13, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 ที่ m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 ที่ m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 ที่ m = 11, n = 5 55 2 + 48 2 = 73 2 ที่ m = 13, n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2 ที่ m = 9, n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2 ที่ m = 11, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(เลขสามตัวอื่นๆ ของพีทาโกรัสอาจมีตัวประกอบร่วมหรือมีตัวเลขที่มากกว่าร้อย)

ต่อไป เราพิจารณาวิธีการที่รู้จักกันดีในการสร้างพีทาโกรัสสามเท่าที่มีประสิทธิผล นักเรียนของพีทาโกรัสเป็นคนแรกที่คิดค้นวิธีง่ายๆ ในการสร้างพีทาโกรัสสามเท่า โดยใช้สูตรที่ส่วนประกอบต่างๆ เป็นตัวแทนของพีทาโกรัสสามเท่า:

ม 2 + ((ม 2 − 1)/2) 2 = ((ม 2 + 1)/2) 2 ,

ที่ไหน ม- ไม่จับคู่ ม>2. จริงๆ,

4ม 2 + ม 4 − 2ม 2 + 1
ม 2 + ((ม 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((ม 2 + 1)/2) 2 .
4

สูตรที่คล้ายกันนี้เสนอโดย Plato นักปรัชญาชาวกรีกโบราณ:

(2ม) 2 + (ม 2 − 1) 2 = (ม 2 + 1) 2 ,

ที่ไหน ม- เบอร์ไหนก็ได้ สำหรับ ม= 2,3,4,5 สร้างแฝดสามต่อไปนี้:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

อย่างที่คุณเห็น สูตรเหล่านี้ไม่สามารถให้ค่าสามเท่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด

พิจารณาพหุนามต่อไปนี้ ซึ่งถูกแยกย่อยเป็นผลรวมของพหุนาม:

(2ม 2 + 2ม + 1) 2 = 4ม 4 + 8ม 3 + 8ม 2 + 4ม + 1 =
=4ม 4 + 8ม 3 + 4ม 2 + 4ม 2 + 4ม + 1 = (2ม(ม+1)) 2 + (2ม +1) 2 .

ดังนั้นสูตรต่อไปนี้สำหรับการได้รับสามเท่าดั้งเดิม:

เอ = 2ม +1 , ข = 2ม(ม+1) = 2ม 2 + 2ม , ค = 2ม 2 + 2ม + 1.

สูตรเหล่านี้สร้างสามเท่าซึ่งจำนวนเฉลี่ยแตกต่างจากจำนวนที่มากที่สุดโดยหนึ่งเท่านั้น นั่นคือ ไม่ใช่จำนวนสามเท่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะถูกสร้างขึ้นด้วย ทริปเปิ้ลแรกมีดังนี้: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61)

เพื่อกำหนดวิธีการสร้างสามเท่าดั้งเดิมทั้งหมด เราต้องตรวจสอบคุณสมบัติของพวกมัน อันดับแรก ถ้า ( a,b,c) เป็นสามเท่าดั้งเดิมแล้ว เอและ ข, ขและ ค, แต่และ ค- ต้องเป็น coprime ปล่อยให้เป็น เอและ ขแบ่งออกเป็น d. แล้ว เอ 2 + ข 2 หารด้วย d. ตามลำดับ ค 2 และ คควรแบ่งออกเป็น d. นั่นคือมันไม่ใช่สามเท่าดั้งเดิม

ประการที่สอง ท่ามกลางตัวเลข เอ, ขหนึ่งต้องจับคู่และอีกอันหนึ่งไม่มีการจับคู่ แท้จริงแล้วถ้า เอและ ข- จับคู่แล้ว จากจะถูกจับคู่และตัวเลขสามารถหารด้วยอย่างน้อย 2 หากทั้งคู่ไม่ได้จับคู่ก็สามารถแสดงเป็น 2 k+1 ฉัน 2 l+1 โดยที่ k,l- ตัวเลขบางส่วน แล้ว เอ 2 + ข 2 = 4k 2 +4k+1+4l 2 +4l+1 นั่นคือ จาก 2 เช่นเดียวกับ เอ 2 + ข 2 มีเศษเหลือ 2 เมื่อหารด้วย 4

ปล่อยให้เป็น จาก- ตัวเลขใด ๆ นั่นคือ จาก = 4k+ฉัน (ฉัน=0,…,3). แล้ว จาก 2 = (4k+ฉัน) 2 มีเศษเหลือ 0 หรือ 1 และไม่สามารถมีเศษ 2 ได้ ดังนั้น เอและ ขไม่สามารถ unpaired นั่นคือ เอ 2 + ข 2 = 4k 2 +4k+4l 2 +4l+1 และเศษที่เหลือ จาก 2 คูณ 4 ควรเป็น 1 ซึ่งหมายความว่า จากควรเลิกจับคู่

ข้อกำหนดดังกล่าวสำหรับองค์ประกอบของพีทาโกรัสสามตัวนั้นเป็นไปตามตัวเลขต่อไปนี้:

เอ = 2m, ข = ม 2 − น 2 , ค = ม 2 + น 2 , ม > น, (2)

ที่ไหน มและ นเป็น coprime ที่มีการจับคู่ที่แตกต่างกัน เป็นครั้งแรกที่การพึ่งพาอาศัยกันเหล่านี้กลายเป็นที่รู้จักจากผลงานของยุคลิดซึ่งอาศัยอยู่ 2,300 r. กลับ.

ให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของการพึ่งพา (2) ปล่อยให้เป็น แต่- สองเท่า แล้วก็ ขและ ค- ไม่มีคู่ แล้ว ค + ขฉัน ค − ข- คู่รัก พวกเขาสามารถแสดงเป็น ค + ข = 2ยูและ ค − ข = 2วี, ที่ไหน ยู,วีเป็นจำนวนเต็มบางจำนวน นั่นเป็นเหตุผลที่

เอ 2 = จาก 2 − ข 2 = (ค + ข)(ค − ข) = 2ยู 2 วี = 4ยูวี

และดังนั้นจึง ( เอ/2) 2 = ยูวี.

สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความขัดแย้งว่า ยูและ วีเป็นโคไพรม์ ปล่อยให้เป็น ยูและ วี- แบ่งออกเป็น d. แล้ว ( ค + ข) และ ( ค − ข) แบ่งออกเป็น d. และดังนั้นจึง คและ ขควรแบ่งออกเป็น dและสิ่งนี้ขัดแย้งกับเงื่อนไขของพีทาโกรัสทรี

เพราะ ยูวี = (เอ/2) 2 และ ยูและ วี coprime มันง่ายที่จะพิสูจน์ว่า ยูและ วีต้องเป็นกำลังสองของตัวเลขบางตัว

จึงมีจํานวนเต็มบวก มและ น, ดังนั้น ยู = ม 2 และ วี = น 2. แล้ว

แต่ 2 = 4ยูวี = 4ม 2 น 2 ดังนั้น
แต่ = 2m; ข = ยู − วี = ม 2 − น 2 ; ค = ยู + วี = ม 2 + น 2 .

เพราะ ข> 0 แล้วก็ ม > น.

ยังคงแสดงให้เห็นว่า มและ นมีการจับคู่ที่แตกต่างกัน ถ้า มและ น- จับคู่แล้ว ยูและ วีจะต้องจับคู่กัน แต่มันเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากพวกมันเป็นคู่กัน ถ้า มและ น- unpaired แล้ว ข = ม 2 − น 2 และ ค = ม 2 + น 2 จะจับคู่กันซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ คและ ขเป็นโคไพรม์

ดังนั้น ทรีพีทาโกรัสดั้งเดิมใดๆ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข (2) ในขณะเดียวกัน ตัวเลข มและ นเรียกว่า การสร้างตัวเลขแฝดสามดั้งเดิม ตัวอย่างเช่น ลองมีพีทาโกรัสสามเท่าดั้งเดิม (120,119,169) ในกรณีนี้

แต่= 120 = 2 12 5, ข= 119 = 144 − 25 และ ค = 144+25=169,

ที่ไหน ม = 12, น= 5 - สร้างตัวเลข 12 > 5; 12 และ 5 เป็น coprime และของการจับคู่ที่แตกต่างกัน

สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลข ม, นสูตร (2) ให้พีทาโกรัสสามเท่าดั้งเดิม (a,b,c) จริงๆ,

แต่ 2 + ข 2 = (2m) 2 + (ม 2 − น 2) 2 = 4ม 2 น 2 + (ม 4 − 2ม 2 น 2 + น 4) =
= (ม 4 + 2ม 2 น 2 + น 4) = (ม 2 + น 2) 2 = ค 2 ,

เช่น ( เอ,ข,ค) เป็นทริปเปิ้ลพีทาโกรัส ให้เราพิสูจน์ในขณะที่ เอ,ข,คเป็นตัวเลขคู่กันโดยขัดแย้งกัน ให้ตัวเลขเหล่านี้หารด้วย พี> 1. ตั้งแต่ มและ นมีคู่ที่แตกต่างกันแล้ว ขและ ค- unpaired นั่นคือ พี≠ 2. ตั้งแต่ Rแบ่ง ขและ ค, แล้ว Rต้องหาร2 ม 2 และ 2 น 2 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ พี≠ 2. ดังนั้น ม, นเป็น coprime และ เอ,ข,คเป็นโคไพรม์ด้วย

ตารางที่ 1 แสดงพีทาโกรัสดั้งเดิมทั้งหมดที่สร้างโดยสูตร (2) for ม≤10.

ตารางที่ 1. พีทาโกรัสดั้งเดิมสามเท่าสำหรับ ม≤10

การวิเคราะห์ตารางนี้แสดงการมีอยู่ของรูปแบบต่างๆ ต่อไปนี้:

• หรือ เอ, หรือ ขถูกหารด้วย 3;
• หนึ่งในตัวเลข เอ,ข,คหารด้วย 5 ลงตัว;
• ตัวเลข แต่หารด้วย 4 ลงตัว;
• งาน เอ· ขหารด้วย 12 ลงตัว

ในปี 1971 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Teigan และ Hedwin เสนอพารามิเตอร์ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นความสูง (ความสูง) เพื่อสร้างแฝดสาม ชม = ค− b และส่วนเกิน (ความสำเร็จ) อี = เอ + ข − ค. ในรูปที่ 1 ปริมาณเหล่านี้แสดงบนสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปที่ 1. สามเหลี่ยมมุมฉากและการเติบโตและส่วนเกิน

ชื่อ "ส่วนเกิน" มาจากข้อเท็จจริงที่ว่านี่คือระยะทางเพิ่มเติมที่ต้องเดินทางตามขาของสามเหลี่ยมจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกด้าน ถ้าคุณไม่ไปตามเส้นทแยงมุม

โดยส่วนเกินและการเติบโต ด้านข้างของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสสามารถแสดงเป็น:

อี 2 อี 2
เอ = ชม + อี, ข = อี + ——, ค = ชม + อี + ——, (3)
2ชม 2ชม

ไม่ใช่ชุดค่าผสมทั้งหมด ชมและ อีอาจสอดคล้องกับสามเหลี่ยมพีทาโกรัส สำหรับให้ ชมค่าที่เป็นไปได้ อีเป็นผลคูณของตัวเลขบางตัว d. เบอร์นี้ dเรียกว่า การเติบโต และหมายถึง ชมด้วยวิธีต่อไปนี้: dเป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดซึ่งกำลังสองหารด้วย 2 . ลงตัว ชม. เพราะ อีหลายรายการ dแล้วเขียนว่า อี = kd, ที่ไหน kเป็นจำนวนเต็มบวก

ด้วยความช่วยเหลือของคู่ ( k,ชม) คุณสามารถสร้างสามเหลี่ยมพีทาโกรัสทั้งหมดได้ ซึ่งรวมถึงแบบ non-primitive และ generalized ได้ดังนี้:

(dk) 2 (dk) 2
เอ = ชม + dk, ข = dk + ——, ค = ชม + dk + ——, (4)
2ชม 2ชม

ยิ่งกว่านั้น ทริปเปิ้ลเป็นพื้นฐาน if kและ ชมเป็น coprime และ if ชม =± q 2 ที่ q- ไม่มีคู่
ยิ่งไปกว่านั้น มันจะเป็นพีทาโกรัสสามเท่าถ้า k> √2 ชม/dและ ชม > 0.

การค้นหา kและ ชมจาก ( เอ,ข,ค) ดำเนินการดังต่อไปนี้:

• ชม = ค − ข;
• เขียนลงไป ชมอย่างไร ชม = pq 2 ที่ไหน พี> 0 และนั่นไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
• d = 2pqถ้า พี- unpaired และ d = pq, ถ้า p ถูกจับคู่;
• k = (เอ − ชม)/d.

ตัวอย่างเช่น สำหรับทริปเปิ้ล (8,15,17) เรามี ชม= 17−15 = 2 1, ดังนั้น พี= 2 และ q = 1, d= 2 และ k= (8 − 2)/2 = 3 ดังนั้นสามตัวนี้จึงถูกกำหนดเป็น ( k,ชม) = (3,2).

สำหรับทริปเปิ้ล (459,1260,1341) เรามี ชม= 1341 − 1260 = 81 ดังนั้น พี = 1, q= 9 และ d= 18 ดังนั้น k= (459 - 81)/18 = 21 ดังนั้นรหัสของสามตัวนี้คือ ( k,ชม) = (21, 81).

ระบุสามตัวด้วย ชมและ kมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมากมาย พารามิเตอร์ kเท่ากับ

k = 4ส/(dP), (5)

ที่ไหน ส = อะบี/2 คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมและ พี = เอ + ข + คคือปริมณฑล สืบเนื่องมาจากความเท่าเทียมกัน eP = 4สซึ่งมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก อีเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม นี่มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก จาก = (แต่ − r)+(ข − r) = เอ + ข − 2r, ที่ไหน rคือรัศมีของวงกลม จากที่นี่ ชม = ค − ข = แต่ − 2rและ อี = เอ − ชม = 2r.

สำหรับ ชม> 0 และ k > 0, kเป็นเลขลำดับของแฝดสาม เอ-ข-คในลำดับของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสที่มีการเพิ่มขึ้น ชม. จากตารางที่ 2 ซึ่งแสดงหลายตัวเลือกสำหรับแฝดสามที่สร้างโดยคู่ ชม, kจะเห็นได้ว่าเมื่อเพิ่มขึ้น kด้านของสามเหลี่ยมเพิ่มขึ้น จึงไม่เหมือนกับการนับเลขแบบคลาสสิก การนับเป็นคู่ ชม, kมีลำดับที่สูงกว่าในลำดับแฝดสาม

ตารางที่ 2. พีทาโกรัสทริปเปิ้ลที่สร้างโดยคู่ h, k.

สำหรับ ชม > 0, dสนองความไม่เท่าเทียมกัน 2√ ชม ≤ d ≤ 2ชมซึ่งถึงขอบเขตล่างที่ พี= 1 และอันบน ที่ q= 1 ดังนั้น ค่า dด้วยความเคารพ2√ ชมเป็นตัววัดว่า ชมไกลจากกำลังสองของจำนวนหนึ่ง

พีทาโกรัสสามตัวของตัวเลข

งานสร้างสรรค์

นักเรียน 8 “เอ”ระดับ

MAOU "โรงยิมหมายเลข 1"

เขต Oktyabrsky ของ Saratov

ปานฟิโลว่า วลาดิเมียร์

หัวหน้างาน - ครูสอนคณิตศาสตร์ประเภทสูงสุด

Grishina Irina Vladimirovna

เนื้อหา

บทนำ………………………………………………………………………………………… 3

ส่วนทฤษฎีของงาน

การหาสามเหลี่ยมพีทาโกรัสพื้นฐาน

(สูตรของชาวฮินดูโบราณ)…………………………………………………………………4

ส่วนปฏิบัติของงาน

การแต่งพีทาโกรัสทริปเปิ้ลในรูปแบบต่างๆ………………………… 6

คุณสมบัติที่สำคัญของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส……………………………………………………8

บทสรุป………………………………………………………………………………….9

วรรณคดี………………………………………………………………………………………………...10

บทนำ

ในปีการศึกษานี้ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราได้ศึกษาหนึ่งในทฤษฎีบทที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในเรขาคณิต นั่นคือ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตในทุกขั้นตอน โดยพบว่ามีการนำไปใช้อย่างกว้างขวางทั้งในทางปฏิบัติและในชีวิตประจำวัน แต่นอกเหนือจากตัวทฤษฎีบทแล้ว เรายังศึกษาทฤษฎีบทผกผันกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ในการศึกษาทฤษฎีบทนี้ เราได้ทำความคุ้นเคยกับตัวเลขสามเท่าของพีทาโกรัส นั่นคือ กับชุดเลขธรรมชาติ 3 ตัวเอ , ข และค ซึ่งความสัมพันธ์นั้นถูกต้อง: = + . เซตดังกล่าวรวมถึง ตัวอย่างเช่น แฝดสามต่อไปนี้:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

ฉันมีคำถามทันที: คุณสามารถสร้างพีทาโกรัสสามตัวได้กี่ตัว? และจะแต่งอย่างไร?

ในหนังสือเรียนเรขาคณิตของเรา หลังจากนำเสนอทฤษฎีบทที่สนทนากับทฤษฎีบทพีทาโกรัสแล้ว ก็มีข้อสังเกตที่สำคัญ: สามารถพิสูจน์ได้ว่าขาแต่ และข และด้านตรงข้ามมุมฉากจาก สามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านยาวแสดงเป็นตัวเลขธรรมชาติ หาได้จากสูตร:

แต่ = 2km ข = k( - )c = k( + , (1)

ที่ไหนk , ม , น เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ และม > น .

ตามธรรมชาติแล้วคำถามก็เกิดขึ้น - จะพิสูจน์สูตรเหล่านี้ได้อย่างไร? และด้วยสูตรเหล่านี้เท่านั้นที่สามารถเกิดขึ้นได้สามเท่าของพีทาโกรัส?

ในงานของฉัน ฉันพยายามตอบคำถามที่เกิดขึ้นในใจ

ส่วนทฤษฎีของงาน

ค้นหาสามเหลี่ยมพีทาโกรัสหลัก (สูตรของชาวฮินดูโบราณ)

ให้เราพิสูจน์สูตรก่อน (1):

ให้เราระบุความยาวของขาผ่านX และที่ และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากผ่านz . ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรามีความเท่าเทียมกัน:+ = .(2)

สมการนี้เรียกว่าสมการพีทาโกรัส การศึกษาสามเหลี่ยมพีทาโกรัสลดลงเป็นการแก้สมการ (2) ด้วยจำนวนธรรมชาติ

หากแต่ละด้านของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสเพิ่มขึ้นจำนวนเท่าๆ กัน เราก็จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากใหม่ที่คล้ายกับสามเหลี่ยมที่ให้มาโดยให้ด้านแสดงเป็นตัวเลขธรรมชาติ กล่าวคือ สามเหลี่ยมพีทาโกรัสอีกครั้ง

ในบรรดาสามเหลี่ยมที่คล้ายกันทั้งหมด มีอันที่เล็กที่สุด มันง่ายที่จะเดาว่านี่จะเป็นสามเหลี่ยมที่มีด้านX และที่ แสดงเป็นตัวเลข coprime

(gcd (x,y )=1).

เราเรียกสิ่งนี้ว่าสามเหลี่ยมพีทาโกรัสหลัก .

การหาสามเหลี่ยมพีทาโกรัสหลัก

ให้สามเหลี่ยม (x , y , z ) เป็นสามเหลี่ยมพีทาโกรัสหลัก ตัวเลขX และที่ เป็น coprime ดังนั้นจึงไม่สามารถทั้งคู่ได้ ให้เราพิสูจน์ว่าพวกเขาทั้งสองไม่สามารถแปลกได้ สำหรับสิ่งนี้เราทราบว่ากำลังสองของจำนวนคี่เมื่อหารด้วย 8 ให้เหลือเศษ 1 อันที่จริง จำนวนธรรมชาติคี่ใดๆ สามารถแสดงเป็น2 k -1 , ที่ไหนk เป็นของนู๋ .

จากที่นี่: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

ตัวเลข( k -1) และk ต่อเนื่องกันหนึ่งในนั้นต้องเท่ากัน แล้วนิพจน์k ( k -1) แบ่งโดย2 , 4 k ( k -1) หารด้วย 8 ลงตัว ซึ่งหมายความว่า เมื่อหารด้วย 8 เหลือเศษ 1

ผลรวมของกำลังสองของเลขคี่สองตัวให้เศษ 2 เมื่อหารด้วย 8 ดังนั้นผลรวมของกำลังสองของเลขคี่สองตัวจึงเป็นเลขคู่ แต่ไม่ใช่ผลคูณของ 4 ดังนั้นตัวเลขนี้ไม่สามารถเป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติได้

ดังนั้นความเท่าเทียมกัน (2) ไม่สามารถถือได้ถ้าx และที่ ทั้งคู่แปลก

ดังนั้น ถ้าสามเหลี่ยมพีทาโกรัส (x, y, z ) - ตัวหลักจากนั้นท่ามกลางตัวเลขX และที่ อันหนึ่งต้องเป็นเลขคู่และอีกอันต้องเป็นเลขคี่ ให้จำนวน y เป็นเลขคู่ ตัวเลขX และz คี่ (oddz ตามมาจากความเท่าเทียมกัน (2)).

จากสมการ+ = เราได้รับสิ่งนั้น= ( z + x )( z - x ) (3).

ตัวเลขz + x และz - x เนื่องจากผลรวมและผลต่างของเลขคี่สองตัวเป็นเลขคู่ ดังนั้น (4):

z + x = 2 เอ , z - x = 2 ข , ที่ไหนแต่ และข เป็นของนู๋ .

z + x =2 เอ , z - x = 2 ข ,

z = a+b , x = เอ - ข. (5)

จากความเท่าเทียมเหล่านี้จึงตามมาว่าเอ และข เป็นตัวเลขที่ค่อนข้างเฉพาะ

เราพิสูจน์สิ่งนี้โดยโต้แย้งจากสิ่งที่ตรงกันข้าม

ให้ GCD (เอ , ข )= d , ที่ไหนd >1 .

แล้วd z และx และด้วยเหตุนี้ตัวเลขz + x และz - x . จากนั้น บนพื้นฐานของความเท่าเทียมกัน (3) จะเป็นตัวหาร . ในกรณีนี้d จะเป็นตัวหารร่วมของตัวเลขที่ และX แต่ตัวเลขที่ และX ต้องเป็น coprime

ตัวเลขที่ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ดังนั้นy = 2s , ที่ไหนจาก - จำนวนธรรมชาติ ความเท่าเทียมกัน (3) ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน (4) มีรูปแบบดังต่อไปนี้: =2a*2 ข , หรือ = อับ

รู้จากเลขคณิตว่าถ้าผลคูณของจำนวน coprime สองตัวเป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ แล้วแต่ละจำนวนนั้นก็เป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติด้วย

วิธี,ก = และข = , ที่ไหนม และน เป็นเลขคู่กันเพราะ เป็นตัวหารของจำนวนโคไพรม์แต่ และข .

ตามความเท่าเทียมกัน (5) เรามี:

z = + , x = - , = อะบี = * = ; ค = m

แล้วy = 2 m .

ตัวเลขม และน , เพราะ เป็น coprime ไม่สามารถแม้แต่ในเวลาเดียวกัน แต่ก็จะแปลกในเวลาเดียวกันไม่ได้เพราะ ในกรณีนี้x = - จะเป็นคู่ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นหนึ่งในตัวเลขม หรือน เป็นคู่และอีกอันเป็นคี่ อย่างชัดเจน,y = 2 m หารด้วย 4 ลงตัว ดังนั้นในทุกสามเหลี่ยมพีทาโกรัสหลัก อย่างน้อยหนึ่งขาจะหารด้วย 4 ลงตัว ตามมาด้วยว่าไม่มีสามเหลี่ยมพีทาโกรัสซึ่งด้านทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ

ผลลัพธ์ที่ได้สามารถแสดงเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้:

สามเหลี่ยมใหญ่ทั้งหมดที่ที่ เป็นจำนวนคู่หาได้จากสูตร

x = - , y =2 m , z = + ( ม > น ), ที่ไหนม และน - จำนวนเฉพาะคู่ทุกคู่ โดยคู่หนึ่งเป็นคู่และอีกจำนวนเป็นคี่ (ไม่สำคัญว่าอันไหน) ทุกสามพื้นฐานของพีทาโกรัส (x, y, z ), ที่ไหนที่ - แม้จะถูกกำหนดในลักษณะนี้โดยเฉพาะ

ตัวเลขม และน ไม่สามารถเป็นทั้งคู่หรือทั้งสองคี่เพราะ ในกรณีเหล่านี้

x = จะเท่ากันซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นหนึ่งในตัวเลขม หรือน แม้และคี่อื่น ๆy = 2 m หารด้วย 4).

ส่วนปฏิบัติของงาน

การแต่งพีทาโกรัสทริปเปิ้ลในรูปแบบต่างๆ

ในสูตรฮินดูม และน - coprime แต่สามารถเป็นตัวเลขของความเท่าเทียมกันโดยพลการและเป็นการยากที่จะทำให้พีทาโกรัสมีสามเท่าได้ ดังนั้น ลองหาวิธีอื่นในการรวบรวมพีทาโกรัสสามเท่า

= - = ( z - y )( z + y ), ที่ไหนX - แปลก,y - สม่ำเสมอ,z - แปลก

วี = z - y , ยู = z + y

= ยูวี , ที่ไหนยู - แปลก,วี – คี่ (coprime)

เพราะ ผลคูณของจำนวน coprime คี่สองตัวคือกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ แล้วยู = , วี = , ที่ไหนk และl คือ coprime เลขคี่

z - y = z + y = k 2 , จากการบวกความเสมอภาคและการลบออกจากกัน เราจะได้:

2 z = + 2 y = - เช่น

z= y= x = cl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (สศูนย์)*(100…0 (สศูนย์) +1)+1 =200…0 (s-1ศูนย์) 200…0 (s-1ศูนย์) 1

คุณสมบัติที่สำคัญของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ทฤษฎีบท

ในรูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัสหลัก ขาข้างหนึ่งจำเป็นต้องหารด้วย 4 ขาหนึ่งจำเป็นต้องหารด้วย 3 ลงตัว และพื้นที่ของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสจำเป็นต้องเป็นผลคูณของ 6

การพิสูจน์

ดังที่เราทราบ ในรูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัสใดๆ อย่างน้อยหนึ่งขาหารด้วย 4

ให้เราพิสูจน์ว่าขาข้างหนึ่งหารด้วย 3 ลงตัวด้วย

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ สมมติว่าในรูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส (x , y , z x หรือy คูณ 3

ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมพีทาโกรัสหารด้วย 6 ลงตัว

สามเหลี่ยมพีทาโกรัสใด ๆ มีพื้นที่แสดงเป็นทวีคูณธรรมชาติของ 6 ซึ่งตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าอย่างน้อยหนึ่งขาหารด้วย 3 และอย่างน้อยหนึ่งขาหารด้วย 4 พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม กำหนดโดยครึ่งผลิตภัณฑ์ของขา ต้องแสดงโดยทวีคูณของ 6 .

บทสรุป

ในการทำงาน

- สูตรที่พิสูจน์แล้วของชาวฮินดูโบราณ

- ได้ทำการศึกษาจำนวนพีทาโกรัสสามเท่า (มีมากมายนับไม่ถ้วน)

- มีการระบุวิธีการหาพีทาโกรัสทริปเปิ้ลพีทาโกรัส

- ศึกษาคุณสมบัติบางประการของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

สำหรับฉันมันเป็นหัวข้อที่น่าสนใจมากและการหาคำตอบสำหรับคำถามของฉันกลายเป็นกิจกรรมที่น่าสนใจมาก ในอนาคต ฉันวางแผนที่จะพิจารณาความเชื่อมโยงของพีทาโกรัสสามเท่ากับลำดับฟีโบนักชีและทฤษฎีบทแฟร์มาต์ และเรียนรู้คุณสมบัติอื่นๆ อีกมากมายของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

วรรณกรรม

แอล.เอส. Atanasyan "เรขาคณิต 7-9 เกรด" ม.: การศึกษา, 2555

V. Serpinsky “สามเหลี่ยมพีทาโกรัส” M.: Uchpedgiz, 1959.

Saratov

2014