คำจำกัดความแบบขนานที่ถูกต้องคืออะไร รูปทรงเรขาคณิต ขนานกัน ขั้นตอนการได้มาซึ่งความรู้

ข้อความถอดความของบทเรียน:

พิจารณารายการเหล่านี้:

อิฐก่อ ลูกเต๋า เตาไมโครเวฟ วัตถุเหล่านี้รวมกันเป็นหนึ่งเดียวตามรูปร่าง

พื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันที่เท่ากัน ABCD และ A1B1C1D1

และสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่อัน AA1B1B และ BB1C1C, СС1D1D, AA1D1D เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าใบหน้า เผชิญหน้ากับ А1В1С1D1 ขอบ ВВ1С1С. ขอบเอบีซีดี

ในกรณีนี้ ใบหน้า ABCD และ A1B1C1D1 มักเรียกว่าฐาน และใบหน้าที่เหลือจะอยู่ด้านข้าง

ด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซี่โครง A1B1. ซี่โครง CC1. ริบ AD.

Edge CC1 ไม่ได้อยู่ในฐาน เรียกว่าขอบด้านข้าง

จุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่าจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จุดยอด D1 เวอร์ชินา บี. เวอร์ชินา เอส.

จุดยอด D1 และ B

ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันและเรียกว่าตรงกันข้าม

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถอธิบายได้หลายวิธี

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และรูปใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขอบที่มองไม่เห็น AA1, AB, AD แสดงด้วยเส้นประ

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มักเรียกว่าลูกบาศก์

Parallepiped ที่ถือว่าทั้งหมดมีคุณสมบัติ ให้เรากำหนดและพิสูจน์พวกเขา

คุณสมบัติ 1. ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะขนานกันและเท่ากัน

ลองพิจารณา ABCDA1B1C1D1 ที่ขนานกัน แล้วพิสูจน์ความเท่าเทียมและความเท่ากันของหน้า BB1C1C และ AA1D1D เป็นต้น

ตามคำจำกัดความของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้า ABCD จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่า ตามคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขอบ BC จะขนานกับขอบ AD

ใบหน้า ABB1A1 ก็เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าขอบ BB1 และ AA1 จะขนานกัน

ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน BC และ BB1 ของระนาบหนึ่งตามลำดับจะขนานกับเส้นตรงสองเส้น AD และ AA1 ตามลำดับของอีกระนาบหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าระนาบ ABB1A1 และ BCC1D1 นั้นขนานกัน

หน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายถึง BC = AD, BB1 = AA1

ในกรณีนี้ ด้านของมุม B1BC และ A1AD มีทิศทางร่วมกันตามลำดับ ซึ่งหมายความว่ามุมทั้งสองเท่ากัน

ดังนั้น ด้านที่อยู่ติดกันสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABB1A1 จะเท่ากับสองด้านที่อยู่ติดกันตามลำดับ และมุมระหว่างทั้งสองด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน BCC1D1 ซึ่งหมายความว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานเหล่านี้เท่ากัน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยังมีคุณสมบัติเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมด้วย เส้นทแยงมุมของเส้นขนานคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่ติดกัน เส้นประในภาพวาดแสดงเส้นทแยงมุม B1D, BD1, A1C

ดังนั้น คุณสมบัติ 2 เส้นทแยงมุมของจุดตัดด้านขนานที่จุดหนึ่งและถูกหารครึ่งด้วยจุดตัดกัน

เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติ ให้พิจารณารูปสี่เหลี่ยม BB1D1D เส้นทแยงมุม B1D, BD1 คือเส้นทแยงมุมของ ABCDA1B1C1D1 ที่ขนานกัน

ในคุณสมบัติแรก เราพบแล้วว่าขอบ BB1 ​​ขนานและเท่ากับขอบ AA1 แต่ขอบ AA1 นั้นขนานและเท่ากับขอบ DD1 ดังนั้น ขอบ BB1 และ DD1 จึงขนานกันและเท่ากัน ซึ่งพิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยม BB1D1D เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตามคุณสมบัติ เส้นทแยงมุม B1D, BD1 ตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง O และจุดนี้ถูกหารครึ่ง

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน BC1D1A ก็เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานเช่นกัน โดยมีเส้นทแยงมุม C1A ตัดกันที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดนี้ เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน C1A, ВD1 คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่าคุณสมบัติตามสูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว

หากต้องการรวบรวมความรู้ทางทฤษฎีเกี่ยวกับรูปคู่ขนาน ให้พิจารณาปัญหาการพิสูจน์

ทำเครื่องหมายไว้ที่ขอบของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จุด L,M,N,Pดังนั้น BL=CM=A1N=D1P. พิสูจน์ว่า ALMDNB1C1P เป็นรูปขนาน

ใบหน้า BB1A1A เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งหมายความว่าขอบ BB1 ​​เท่ากับและขนานกับขอบ AA1 แต่ตามเงื่อนไข เซ็กเมนต์ BL และ A1N ซึ่งหมายความว่าเซ็กเมนต์ LB1 และ NA จะเท่ากันและขนานกัน

3) ดังนั้น LB1NA รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

4) เนื่องจาก CC1D1D เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน หมายความว่าขอบ CC1 เท่ากับและขนานกับขอบ D1D และ CM เท่ากับ D1P ตามเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าส่วน MC1 และ DP เท่ากันและขนานกัน

ดังนั้น MC1PD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย

5) มุม LB1N และ MC1P เท่ากันกับมุมที่มีด้านขนานกันและมีทิศตรงเท่ากันตามลำดับ

6) เราพบว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานและ MC1PD มีด้านที่สอดคล้องกันเท่ากัน และมุมระหว่างทั้งสองเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน

7) ส่วนจะเท่ากันตามเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่า BLMC เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และด้าน BC ขนานกับด้าน LM ขนานกับด้าน B1C1

8) ในทำนองเดียวกัน จากสี่เหลี่ยมด้านขนาน NA1D1P จะตามหลังด้าน A1D1 ขนานกับด้าน NP และขนานกับด้าน AD

9) ด้านตรงข้าม ABB1A1 และ DCC1D1 ของเส้นขนานนั้นขนานกันในคุณสมบัติ และส่วนของเส้นตรงขนานระหว่างระนาบขนานเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเส้น B1C1, LM, AD, NP เท่ากัน

พบว่าในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD ทั้งสองด้านขนานกันและเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จากนั้นพื้นผิว ALMDNB1C1P ของเราประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานหกรูป ซึ่งสองรูปมีค่าเท่ากัน และตามคำจำกัดความแล้ว มันเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หรือ (เทียบเท่า) รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หกเหลี่ยม

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ ขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้, ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเหล่านี้คือ ขอบของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ ยอดเขา ขนานกัน. ในรูปขนานกันแต่ละหน้าจะเป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ตามกฎแล้ว จะมีการระบุและเรียกใบหน้าที่ตรงกันข้าม 2 ใบหน้า ฐานของรูปขนานและใบหน้าที่เหลือ - ใบหน้าด้านข้างของรูปขนาน. ขอบของเส้นขนานที่ไม่อยู่ในฐานคือ ซี่โครงด้านข้าง.

ใบหน้าคู่ขนาน 2 หน้าที่มีขอบร่วมกันคือ ที่อยู่ติดกันและผู้ที่ไม่มีขอบร่วมกัน - ตรงข้าม.

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอด 2 จุดที่ไม่อยู่ในใบหน้าที่ 1 คือ เส้นทแยงมุมขนานกัน.

ความยาวซี่โครง เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันซึ่งไม่ขนานกันก็คือ มิติเชิงเส้น (การวัด) ขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีมิติเชิงเส้น 3 มิติ

ประเภทของขนาน

Parallepiped มีหลายประเภท:

โดยตรงเป็นรูปขนานที่มีขอบ ตั้งฉากกับเครื่องบินบริเวณ

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมิติเท่ากันทั้ง 3 มิติ ลูกบาศก์. ใบหน้าของลูกบาศก์แต่ละด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยม .

ขนานใดๆปริมาตรและอัตราส่วนของเส้นขนานที่มีความลาดเอียงถูกกำหนดโดยใช้พีชคณิตเวกเตอร์เป็นหลัก ปริมาตรของเส้นขนานนั้นเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ 3 ตัว ซึ่งถูกกำหนดโดยด้านทั้ง 3 ของเส้นขนาน (ซึ่งมาจากจุดยอดเดียวกัน) ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของเส้นขนานและมุมระหว่างพวกมันแสดงให้เห็นว่าตัวกำหนดแกรมของเวกเตอร์ 3 ตัวที่กำหนดนั้นเท่ากับกำลังสองของผลิตภัณฑ์ผสมกัน

คุณสมบัติของรูปขนาน

• เส้นขนานนั้นมีความสมมาตรประมาณกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม
• ส่วนใด ๆ ที่มีปลายที่เป็นของพื้นผิวของเส้นขนานและผ่านจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน เส้นทแยงมุมทั้งหมดของเส้นขนานที่ตัดกันที่จุดที่ 1 และแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน
• ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานกันและมีขนาดเท่ากัน
• กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับ

ในบทเรียนนี้ ทุกคนจะสามารถศึกษาหัวข้อ “สี่เหลี่ยมด้านขนาน” ได้ ในตอนต้นของบทเรียนเราจะทำซ้ำสิ่งที่ขนานกันโดยพลการและตรงจำคุณสมบัติของใบหน้าตรงข้ามและเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน จากนั้น เราจะมาดูว่าทรงลูกบาศก์คืออะไรและอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของมัน

หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

บทเรียน: ทรงลูกบาศก์

พื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันที่เท่ากัน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 และสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่อัน ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 เรียกว่า ขนานกัน(รูปที่ 1)

ข้าว. 1 วางขนานกัน

นั่นคือ: เรามีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD สองอันที่เท่ากัน และ A 1 B 1 C 1 D 1 (ฐาน) พวกมันอยู่ในระนาบขนานกัน เพื่อให้ขอบด้านข้าง AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ขนานกัน ดังนั้นจึงเรียกว่าพื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน.

ดังนั้น พื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานและเท่ากัน

(รูปร่างเท่ากันคือสามารถนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน)

ตัวอย่างเช่น:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันตามคำจำกัดความ)

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 B 1 B และ DD 1 C 1 C เป็นด้านตรงข้ามกันของเส้นขนาน)

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 D 1 D และ BB 1 C 1 C เป็นหน้าตรงข้ามของเส้นขนาน)

2. เส้นทแยงมุมของจุดตัดด้านขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดนี้

เส้นทแยงมุมของ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ตัดกันที่จุดหนึ่ง O และแต่ละเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดนี้ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2 เส้นทแยงมุมของจุดตัดด้านขนานและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด

3. ขอบขนานที่เท่ากันและขนานกันมีสามสี่เท่า: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1

คำนิยาม. เส้นขนานเรียกว่าเส้นตรงหากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน

ให้ขอบด้านข้าง AA 1 ตั้งฉากกับฐาน (รูปที่ 3) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง AA 1 ตั้งฉากกับเส้นตรง AD และ AB ซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน ซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฐานมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามใจชอบ ให้เราแสดงว่า ∠BAD = φ มุม φ สามารถเป็นมุมใดก็ได้

ข้าว. 3 ขนานขนานกัน

ดังนั้น เส้นขนานด้านขวาคือเส้นขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานของเส้นขนาน

คำนิยาม. ด้านขนานเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 4) ถ้า:

1. AA 1 ⊥ ABCD (ขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือ เส้นตรงขนานกัน)

2. ∠BAD = 90° เช่น ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ข้าว. 4 สี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจแต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ได้มาจากคำจำกัดความของทรงลูกบาศก์

ดังนั้น, ทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานของทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

1. ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำจำกัดความ

2. ซี่โครงด้านข้างตั้งฉากกับฐาน. ซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

3. ทั้งหมด มุมไดฮีดรัลเส้นตรงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุมไดฮีดรัลของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ AB นั่นคือ มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ ABC 1 และ ABC

AB คือขอบ โดยจุด A 1 อยู่ในระนาบเดียว - ในระนาบ ABB 1 และจุด D ในอีกระนาบ - ในระนาบ A 1 B 1 C 1 D 1 จากนั้นมุมไดฮีดรัลที่กำลังพิจารณาก็สามารถแสดงได้ดังนี้: ∠A 1 ABD

ลองหาจุด A บนขอบ AB กัน AA 1 ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ АВВ-1, AD ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABC ซึ่งหมายความว่า ∠A 1 AD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด ∠A 1 AD = 90° ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB คือ 90°

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°

ในทำนองเดียวกัน มีการพิสูจน์แล้วว่ามุมไดฮีดรัลใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นถูกต้อง

กำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ

บันทึก. ความยาวของขอบทั้งสามที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งของทรงลูกบาศก์คือการวัดขนาดของทรงลูกบาศก์ บางครั้งเรียกว่าความยาว ความกว้าง ความสูง

ให้ไว้: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)

พิสูจน์: .

ข้าว. 5 สี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

เส้นตรง CC 1 ตั้งฉากกับระนาบ ABC ดังนั้นกับเส้นตรง AC ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม CC 1 A เป็นมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ลองพิจารณาดู สามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซี ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

แต่ BC และ AD - ฝั่งตรงข้ามสี่เหลี่ยมผืนผ้า. ดังนั้น BC = AD แล้ว:

เพราะ , ก , ที่. เนื่องจาก CC 1 = AA 1 นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน

ให้เราแสดงขนาดของ ABC ที่ขนานกันเป็น a, b, c (ดูรูปที่ 6) จากนั้น AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =