สำรวจโซลูชันตัวอย่างฟังก์ชัน ปัญหาจากการเก็บรวบรวม Kuznetsov L.A. นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น
การสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้จุดเอกพจน์รวมถึงการศึกษาฟังก์ชันด้วย: การกำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของอาร์กิวเมนต์, การกำหนดช่วงของการแปรผันของฟังก์ชัน, การกำหนดว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่, กำหนดจุดพัก ของฟังก์ชัน การหาช่วงของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชัน การหาเส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน เมื่อใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง คุณสามารถกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น (ลดลง) ของฟังก์ชันและการมีอยู่ของจุดสุดขั้วได้ เมื่อใช้อนุพันธ์อันดับสอง คุณสามารถกำหนดช่วงเวลาของความนูน (ความเว้า) ของกราฟฟังก์ชัน รวมถึงจุดเปลี่ยนเว้าได้ ขณะเดียวกันเราก็เชื่อว่าหากถึงจุดใดจุดหนึ่ง เอ็กซ์โอสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันเหนือเส้นโค้ง จากนั้นกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้มีความนูน ถ้าแทนเจนต์อยู่ใต้เส้นโค้ง แสดงว่ากราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้มีความเว้า
y(x) = x³/(x²+3)
1. การศึกษาฟังก์ชั่น
ก) ช่วงของค่าที่อนุญาตของอาร์กิวเมนต์: (-∞,+∞)
b) พื้นที่ของการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน: (-∞, +∞)
c) ฟังก์ชันเป็นเลขคี่ เพราะ y(-x) = -y(x)เหล่านั้น. กราฟของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด
d) ฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ไม่มีจุดไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นจึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง
จ) การค้นหาสมการของเส้นกำกับเฉียง y(x) = k∙x + b, ที่ไหน
เค = /xและ ข = 
ในตัวอย่างนี้ พารามิเตอร์เส้นกำกับจะเท่ากันตามลำดับ:
k = เพราะ ระดับสูงสุดของตัวเศษและส่วนจะเท่ากัน เท่ากับ 3 และอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่ระดับสูงสุดเหล่านี้เท่ากับ 1 เมื่อ x → + ∞ ขีดจำกัดที่น่าทึ่งตัวที่สามถูกใช้ในการคำนวณขีดจำกัด
b = = = 0 เมื่อคำนวณขีด จำกัด ที่ x → + ∞ ใช้ขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สาม ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันนี้จึงมีเส้นกำกับเป๋ ย=x
2.
ย= /(x²+3)² -อนุพันธ์คำนวณโดยใช้สูตรผลหารผลหาร
ก) กำหนดศูนย์ของอนุพันธ์และจุดไม่ต่อเนื่อง โดยให้ตัวเศษและส่วนของอนุพันธ์เท่ากับศูนย์ ตามลำดับ: ย'=0,ถ้า x=0.อนุพันธ์อันดับ 1 ไม่มีจุดไม่ต่อเนื่อง
b) เรากำหนดช่วงเวลาของสัญญาณคงที่ของอนุพันธ์เช่น ช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน: ที่ -∞
3. การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 2
เราได้รับ: เมื่อใช้สูตรในการหาอนุพันธ์ผลหารและทำการแปลงพีชคณิต ย'` = /(x²+3)³
ก) กำหนดศูนย์ของอนุพันธ์อันดับ 2 และช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่: ย'' = 0,ถ้า x=0และ x= + 3 . อนุพันธ์อันดับ 2 ไม่มีจุดไม่ต่อเนื่อง
b) ให้เรากำหนดช่วงเวลาของความคงที่ของอนุพันธ์อันดับ 2 เช่น ช่วงเวลาของความนูนหรือความเว้าของกราฟของฟังก์ชัน ที่-∞
ตัวอย่าง: สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.การศึกษาฟังก์ชั่น
a) ช่วงของค่าที่ยอมรับได้: (-∞,0)U(0,+∞)
b) พื้นที่ของการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน: (-∞,+∞)
d) ฟังก์ชั่นนี้มีจุดไม่ต่อเนื่องของประเภทที่ 2 ที่ x=0.
จ) การค้นหาเส้นกำกับ เพราะ ฟังก์ชันมีจุดไม่ต่อเนื่องแบบที่ 2 ที่ x=0ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีเส้นกำกับแนวตั้ง x=0.ฟังก์ชันนี้ไม่มีเส้นกำกับแนวเฉียงหรือแนวนอน
2.การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1
มาแปลงฟังก์ชันโดยดำเนินการเชิงพีชคณิตทั้งหมดกัน เป็นผลให้รูปแบบของฟังก์ชันจะง่ายขึ้นอย่างมาก: y(x)=x²-x-1+(1/x)การหาอนุพันธ์จากผลรวมของเงื่อนไขนั้นง่ายมาก และเราจะได้: y' = 2x – 1 –(1/x²)
ก) กำหนดศูนย์และจุดไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์อันดับ 1 เรานำนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับ 1 มาใช้กับตัวส่วนร่วม และเมื่อทำให้ตัวเศษและตัวส่วนเท่ากันกับศูนย์ เราจะได้: ย'=0ที่ x=1, ย' -ไม่มีอยู่จริงเมื่อใด x=0.
b) ให้เรากำหนดช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชันนั่นคือ ช่วงของสัญญาณคงที่ของอนุพันธ์ ที่-∞<x<0
และ 0
3.
y'`= 2 + 2/x³. เมื่อใช้อนุพันธ์อันดับ 2 เราจะกำหนดช่วงเวลาของความนูนหรือความเว้าของกราฟฟังก์ชัน รวมถึงจุดเปลี่ยนเว้า (หากมี) ให้เรานำเสนอนิพจน์ของอนุพันธ์อันดับสองกับตัวส่วนร่วม จากนั้นเมื่อนำทั้งเศษและส่วนให้เป็นศูนย์ตามลำดับ เราจะได้: ย''=0ที่ x=-1, ย''-ไม่มีอยู่จริงเมื่อใด x=0.
ที่-∞
ข้าว. 4 รูปที่. 5
ตัวอย่าง: สำรวจฟังก์ชันและสร้างกราฟ y(x) = ln (x²+4x+5)
1.การศึกษาฟังก์ชั่น
ก) ช่วงของค่าอาร์กิวเมนต์ที่อนุญาต: ฟังก์ชันลอการิทึมมีอยู่เฉพาะสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าศูนย์เท่านั้น ดังนั้น x²+4x+5>0 –เงื่อนไขนี้เป็นไปตามค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์เช่น โอ.ดี.ซี. – (-∞, +∞)
b) พื้นที่ของการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน: (0, +∞) มาแปลงนิพจน์ใต้เครื่องหมายลอการิทึมและกำหนดให้ฟังก์ชันเป็นศูนย์: ฉัน((x+2)²+1) =0เหล่านั้น. ฟังก์ชั่นจะเป็นศูนย์เมื่อ x=-2.กราฟของฟังก์ชันจะมีความสมมาตรเทียบกับเส้นตรง x=-2.
c) ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องและไม่มีจุดพัก
d) กราฟของฟังก์ชันไม่มีเส้นกำกับ
2.การศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับ 1
เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน เราจะได้: y'= (2x+4)/(x²+4x+5)
ก) ให้เรากำหนดศูนย์และจุดไม่ต่อเนื่องของอนุพันธ์: ย'=0,ที่ x=-2.อนุพันธ์อันดับ 1 ไม่มีจุดไม่ต่อเนื่อง
b) เรากำหนดช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชันเช่น ช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง: ที่ -∞<x<-2
อนุพันธ์ ครับ'<0,
ดังนั้นฟังก์ชันจึงลดลง เมื่อ -2
3.ศึกษาฟังก์ชันในรูปของอนุพันธ์อันดับ 2
ลองแสดงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในรูปแบบต่อไปนี้: y'=2∙(x+2)/(1+(x+2)²) y``=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)²
ก) ให้เรากำหนดช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของอนุพันธ์อันดับสอง เนื่องจากตัวส่วนของอนุพันธ์อันดับ 2 ไม่เป็นลบเสมอ เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับ 2 จึงถูกกำหนดโดยตัวเศษเท่านั้น ย''=0ที่ x=-3และ x=-1.
ที่ -∞
ตัวอย่าง: สำรวจฟังก์ชันและพล็อตกราฟ y(x) = x²/(x+2)²
1.การศึกษาฟังก์ชั่น
ก) ช่วงของค่าที่อนุญาตของอาร์กิวเมนต์ (-∞, -2)U(-2, +∞)
b) พื้นที่ของการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น²
ก) ให้เรากำหนดศูนย์และช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของอนุพันธ์อันดับสอง เพราะ เนื่องจากตัวส่วนของเศษส่วนเป็นบวกเสมอ เครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองจึงถูกกำหนดโดยตัวเศษโดยสมบูรณ์ ที่-∞
สะดวกในการศึกษาฟังก์ชันทั้งหมดและสร้างกราฟตามรูปแบบต่อไปนี้:
1) ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
2) ค้นหาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือคี่เป็นงวด
3) สำรวจความต่อเนื่อง ค้นหาจุดพัก และค้นหาลักษณะของจุดพัก
4) ค้นหาเส้นกำกับของกราฟฟังก์ชัน
5) ตรวจสอบความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันและค้นหาจุดสุดยอดของมัน
6) ค้นหาจุดเปลี่ยน กำหนดช่วงเวลาของความนูนและความเว้าของกราฟฟังก์ชัน
7) กำหนดจุดเพิ่มเติมของกราฟฟังก์ชัน เช่น จุดตัดกับแกนพิกัด
ผลลัพธ์ของแต่ละจุดควรสะท้อนบนกราฟทันทีและสอดคล้องกับผลการศึกษาในจุดก่อนหน้า
ตัวอย่างที่ 1
ศึกษาฟังก์ชันให้ครบถ้วนแล้ววาดกราฟ
1. ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้ในช่วง xÎ (-¥; 1) È (-1; +¥)
2. ฟังก์ชันไม่สามารถเป็นเลขคู่หรือคี่ได้ เนื่องจาก โดเมนของคำจำกัดความไม่สมมาตรเมื่อเทียบกับ 0 ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงมีรูปแบบทั่วไป เช่น ไม่มีคุณสมบัติความเท่าเทียมกัน นอกจากนี้ฟังก์ชันยังไม่ใช่เป็นระยะ
ให้เราจำคำจำกัดความ:
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า สม่ำเสมอหากตรงตามเงื่อนไขสองประการ:
ก) ขอบเขตคำจำกัดความมีความสมมาตรเกี่ยวกับศูนย์
b) สำหรับค่าทั้งหมด เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความจะมีความเท่าเทียมกัน
กราฟของฟังก์ชันคู่มีความสมมาตรตามแนวแกนรอบแกน โอ้.
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า แปลก, ถ้า
ก) โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันมีความสมมาตรเกี่ยวกับศูนย์
b) สำหรับ "x นอกขอบเขตคำจำกัดความ
กราฟของฟังก์ชันคี่มีความสมมาตรตรงกลางเกี่ยวกับจุดกำเนิด
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เป็นระยะๆถ้ามีตัวเลข ต> 0 เพื่อให้เกิดความเท่าเทียมกัน" เอ็กซ์จากขอบเขตของคำจำกัดความ
เรียกว่าหมายเลข T ระยะเวลาของฟังก์ชันและเพียงพอที่จะสร้างกราฟตามช่วงความยาวใดๆ ก็ได้ ตจากนั้นดำเนินการต่อเป็นระยะๆ ทั่วทั้งพื้นที่คำจำกัดความทั้งหมด
3. ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องกันสำหรับทุก xÎ (-¥; -1) È (-1; +¥)
ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันพื้นฐาน ซึ่งเกิดจากการหารฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐานที่ต่อเนื่องกัน 2 รายการ และ ดังนั้น ตามคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง ฟังก์ชันที่กำหนดจะมีความต่อเนื่องในทุกจุดที่กำหนดไว้
จุด x = -1คือจุดพักเพราะว่า ฟังก์ชันนี้ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในนั้น เพื่อกำหนดลักษณะ (ประเภท) ของความไม่ต่อเนื่อง ให้เราคำนวณ ดังนั้นเมื่อ x = -1ฟังก์ชั่นมีความไม่ต่อเนื่องไม่สิ้นสุด (ความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง)
4. เส้นกำกับของกราฟของฟังก์ชัน
เส้นกำกับแนวตั้งเป็นเส้นตรง x = -1(สิ่งนี้ตามมาจากการศึกษาความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน)
เรามองหาเส้นกำกับเฉียงตามสมการ โดยที่
ดังนั้น สมการของเส้นกำกับเฉียง (ที่ x® ±¥) จึงเป็นสมการ
5. เรากำหนดความน่าเบื่อหน่ายและสุดขั้วของฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
จุดวิกฤติถูกกำหนดจากเงื่อนไข:
y สูงสุด =y(-3)= .
6. เราค้นหาช่วงเวลาของความนูนและความเว้าของกราฟของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยนเว้าของมันโดยใช้อนุพันธ์อันดับสอง:
จุดที่น่าสงสัยสำหรับการโก่งตัวจะถูกกำหนดจากเงื่อนไขต่อไปนี้:
เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับจุดนูน ความเว้า และจุดเปลี่ยนเว้า:
จุด โอ(0; 0)คือจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟ
บ่อยครั้งที่ผลลัพธ์ของการศึกษาฟังก์ชันโดยใช้อนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สองจะแสดงในรูปแบบของตารางทั่วไปซึ่งสะท้อนถึงคุณสมบัติหลักของกราฟฟังก์ชัน:
| x | (-¥;-3) | -3 | (-3;-1) | -1 | (-1;0) | (0;+¥) | |
| + | - | ไม่ได้อยู่ | + | + | |||
| - | - | - | ไม่ได้อยู่ | - | + | ||
| เพิ่มขึ้นเว้า | สูงสุด | ลดลงเว้า | ไม่ได้อยู่ | เพิ่มขึ้นเว้า | = 0 จุดเปลี่ยนเว้า | เพิ่มขึ้นนูน |
ผลลัพธ์ที่ได้จากการศึกษาฟังก์ชันทั้งหมดจะสะท้อนให้เห็นในกราฟ
ตัวอย่างที่ 2
OOF: xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ;+¥)
ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่เนื่องจากโดเมนของคำจำกัดความมีความสมมาตรเกี่ยวกับศูนย์และสำหรับ " เอ็กซ์Î OOF มีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันจึงมีสมมาตรตรงกลางเกี่ยวกับจุดกำเนิด
ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องกันสำหรับทุก xÎ (-¥; - ) È (- ; ) È ( ; +¥) เพราะ ฟังก์ชันพื้นฐานจะต่อเนื่องบน OOF คะแนน x=- และ x= เป็นจุดที่มีความต่อเนื่องไม่สิ้นสุด เนื่องจาก
เส้นกำกับแนวตั้งของกราฟเป็นเส้นตรง x = -และ x=.
เส้นกำกับเฉียง: , โดยที่
= = 0 .
นี่คือสมการของเส้นกำกับเฉียง
ช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน, สุดขีด
เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับภาวะสุดโต่ง:
Þ x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = -3- จุดวิกฤติ
เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความน่าเบื่อหน่ายและสุดขั้ว:
y สูงสุด =y(-3)= ;
ใช่ นาที =y(3)= .
ช่วงเวลาของความนูน ความเว้าของกราฟฟังก์ชัน และจุดเปลี่ยนเว้า:
จุด x = 0สงสัยจะโค้งงอ..
เงื่อนไขที่เพียงพอ:
จุด O(0; 0) คือจุดเปลี่ยนเว้า
ตารางทั่วไปของคุณสมบัติหลักของกราฟสำหรับฟังก์ชันที่กำหนดสามารถรวบรวมได้สำหรับ xО เท่านั้น)
