จุดยอดของสามเหลี่ยมจะได้รับออนไลน์ จะเรียนรู้การแก้ปัญหาในเรขาคณิตวิเคราะห์ได้อย่างไร? ปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับสามเหลี่ยมบนระนาบ โดยใช้จุดยอดของสามเหลี่ยม

จะเรียนรู้การแก้ปัญหาในเรขาคณิตวิเคราะห์ได้อย่างไร?
ปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับสามเหลี่ยมบนระนาบ

บทเรียนนี้สร้างขึ้นจากการเข้าใกล้เส้นศูนย์สูตรระหว่างเรขาคณิตของระนาบและเรขาคณิตของอวกาศ ในขณะนี้มีความจำเป็นต้องจัดระบบข้อมูลที่สะสมและตอบคำถามที่สำคัญมาก: จะเรียนรู้การแก้ปัญหาในเรขาคณิตวิเคราะห์ได้อย่างไร?ความยากอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าโจทย์เรขาคณิตมีมากมายนับไม่ถ้วน และไม่มีตำราเล่มใดที่มีตัวอย่างมากมายและหลากหลายได้ทั้งหมด ไม่ใช่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันด้วยกฎความแตกต่าง 5 ข้อ ตาราง และเทคนิคเล็กน้อย….

มีทางออก! ฉันจะไม่พูดเสียงดังว่าฉันได้พัฒนาเทคนิคที่ยิ่งใหญ่บางอย่างอย่างไรก็ตามในความคิดของฉันมีแนวทางที่มีประสิทธิภาพในการพิจารณาปัญหาซึ่งช่วยให้แม้แต่กาต้มน้ำเต็มรูปแบบเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีและยอดเยี่ยม อย่างน้อยอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตก็ชัดเจนมากในหัวของฉัน

สิ่งที่คุณต้องรู้และสามารถ
เพื่อแก้ปัญหาในเรขาคณิตได้สำเร็จ?

ไม่มีทางหนีจากสิ่งนี้ - เพื่อไม่ให้จมูกของคุณสะกิดปุ่มแบบสุ่ม คุณต้องเชี่ยวชาญพื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์ ดังนั้น หากคุณเพิ่งเริ่มเรียนเรขาคณิตหรือลืมไปหมดแล้ว โปรดเริ่มที่บทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่น. นอกจากเวกเตอร์และการกระทำกับพวกมันแล้ว คุณจำเป็นต้องรู้แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตระนาบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการเส้นตรงในระนาบและ . รูปทรงเรขาคณิตของพื้นที่แสดงด้วยบทความ สมการระนาบ, สมการเส้นตรงในอวกาศ, งานพื้นฐานบนเส้นตรงและระนาบ และบทเรียนอื่นๆ เส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพื้นที่ของลำดับที่สองนั้นค่อนข้างห่างกันและไม่มีปัญหาเฉพาะมากนัก

สมมติว่านักเรียนมีความรู้และทักษะเบื้องต้นในการแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์แล้ว แต่มันเกิดขึ้นดังนี้: คุณอ่านเงื่อนไขของปัญหา และ ... คุณต้องการปิดสิ่งทั้งหมดทั้งหมด โยนมันไปที่มุมไกลๆ แล้วลืมมันไป เหมือนฝันร้าย ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับระดับคุณสมบัติของคุณโดยพื้นฐาน ในบางครั้ง ตัวฉันเองต้องเผชิญกับงานที่หาทางออกไม่ชัดเจน จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ไม่ต้องกลัวงานไม่เข้าใจ!

ประการแรก, ควรตั้งค่าเป็น มันเป็น "ระนาบ" หรือปัญหาเชิงพื้นที่?ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ที่มีสองพิกัดปรากฏในเงื่อนไข แน่นอนว่านี่คือเรขาคณิตของระนาบ และถ้าครูบรรจุปิรามิดให้กับผู้ฟังที่รู้สึกขอบคุณแสดงว่ามีรูปทรงเรขาคณิตของอวกาศอย่างชัดเจน ผลลัพธ์ของขั้นตอนแรกค่อนข้างดีอยู่แล้ว เนื่องจากเราจัดการตัดข้อมูลจำนวนมากที่ไม่จำเป็นสำหรับงานนี้ออกไปได้!

ที่สอง. ตามกฎแล้วเงื่อนไขจะเกี่ยวข้องกับคุณด้วยรูปทรงเรขาคณิต เดินไปตามทางเดินของมหาวิทยาลัยในประเทศของคุณแล้วคุณจะเห็นใบหน้ากังวลมากมาย

ในปัญหา "แบน" ไม่ต้องพูดถึงจุดและเส้นที่ชัดเจน รูปที่นิยมที่สุดคือรูปสามเหลี่ยม เราจะวิเคราะห์อย่างละเอียด ถัดมาคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน ส่วนสี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน วงกลม และตัวเลขอื่นๆ นั้นพบได้น้อยกว่ามาก

ในงานเชิงพื้นที่ รูปทรงแบนๆ เดียวกัน + ระนาบและพีระมิดสามเหลี่ยมทั่วไปที่มีท่อคู่ขนานสามารถบินได้

คำถามที่สอง - คุณรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับตัวเลขนี้หรือไม่?สมมติว่าเงื่อนไขเกี่ยวกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และคุณจำได้อย่างคลุมเครือว่ามันเป็นรูปสามเหลี่ยมชนิดใด เราเปิดหนังสือเรียนและอ่านเกี่ยวกับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จะทำอย่างไร ... หมอบอกว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดังนั้นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นเรขาคณิตวิเคราะห์แต่ ปัญหาจะช่วยแก้ไขคุณสมบัติทางเรขาคณิตของตัวเลขเองเรารู้จักกันจากหลักสูตรของโรงเรียน หากคุณไม่ทราบว่าผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมเป็นเท่าใด คุณอาจต้องทนทุกข์ทรมานเป็นเวลานาน

ที่สาม. พยายามทำตามพิมพ์เขียวเสมอ(บนร่าง / สะอาด / จิตใจ) แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่จำเป็นตามเงื่อนไขก็ตาม ในงาน "แบน" Euclid เองก็สั่งให้ใช้ไม้บรรทัดด้วยดินสอ - และไม่เพียง แต่เพื่อให้เข้าใจเงื่อนไขเท่านั้น แต่ยังเพื่อจุดประสงค์ในการทดสอบตัวเองด้วย ในกรณีนี้ สเกลที่สะดวกที่สุดคือ 1 หน่วย = 1 ซม. (2 เซลล์เตตราด) อย่าพูดถึงนักเรียนที่ประมาทและนักคณิตศาสตร์ที่หมุนอยู่ในหลุมฝังศพ - แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำผิดพลาดในปัญหาดังกล่าว สำหรับงานเชิงพื้นที่ เราจะวาดแผนผังซึ่งจะช่วยวิเคราะห์สภาพด้วย

ภาพวาดหรือแผนผังมักจะช่วยให้คุณเห็นวิธีแก้ปัญหาในทันที แน่นอนว่าคุณจำเป็นต้องรู้พื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตและตัดคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต (ดูย่อหน้าก่อนหน้า)

ประการที่สี่. การพัฒนาอัลกอริทึมโซลูชัน. ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมากเป็นแบบหลายทาง ดังนั้นจึงสะดวกมากที่จะแยกวิธีแก้ปัญหาและการออกแบบออกเป็นจุดๆ บ่อยครั้งที่อัลกอริทึมจะนึกถึงทันทีหลังจากที่คุณอ่านเงื่อนไขหรือวาดเสร็จแล้ว ในกรณีที่มีปัญหา เราจะเริ่มต้นด้วยคำถามของปัญหา. ตัวอย่างเช่นตามเงื่อนไข "จำเป็นต้องสร้างเส้นตรง ... " คำถามที่มีเหตุผลที่สุดคือ: "มีความรู้อะไรเพียงพอที่จะสร้างบรรทัดนี้" สมมติว่า "เรารู้จุด เราต้องรู้เวกเตอร์ทิศทาง" เราถามคำถามต่อไปนี้: "จะหาเวกเตอร์ทิศทางนี้ได้อย่างไร? ที่ไหน?" เป็นต้น

บางครั้งมี "ปลั๊ก" - งานไม่ได้รับการแก้ไขและนั่นก็คือ สาเหตุของจุกอาจเป็นดังต่อไปนี้:

- ช่องว่างร้ายแรงในความรู้พื้นฐาน คุณไม่รู้หรือ (และ) ไม่เห็นบางสิ่งง่ายๆ

- ไม่รู้คุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต

- งานเป็นเรื่องยาก ใช่มันเกิดขึ้น ไม่มีประโยชน์ที่จะนึ่งเป็นเวลาหลายชั่วโมงและเก็บน้ำตาไว้ในผ้าเช็ดหน้า ถามอาจารย์ เพื่อนนักเรียน หรือถามคำถามในฟอรัมเพื่อขอคำแนะนำ ยิ่งกว่านั้น เป็นการดีกว่าที่จะทำให้คำแถลงเป็นรูปธรรม - เกี่ยวกับส่วนนั้นของโซลูชันที่คุณไม่เข้าใจ เสียงร้องในรูปแบบ ?แก้ปัญหายังไง? ดูไม่ดี... และเหนือสิ่งอื่นใด เพื่อชื่อเสียงของคุณเอง

ขั้นตอนที่ห้า. เราแก้-ตรวจ แก้-ตรวจ แก้-ตรวจ-ให้คำตอบ การตรวจสอบแต่ละรายการของงานจะเป็นประโยชน์ ทันทีหลังจากเสร็จสิ้น. วิธีนี้จะช่วยให้คุณพบข้อผิดพลาดได้ทันที โดยธรรมชาติแล้วไม่มีใครห้ามการแก้ปัญหาทั้งหมดอย่างรวดเร็ว แต่มีความเสี่ยงที่จะเขียนใหม่ทั้งหมดอีกครั้ง (มักมีหลายหน้า)

นี่อาจเป็นข้อควรพิจารณาหลักทั้งหมดที่แนะนำให้ได้รับคำแนะนำเมื่อแก้ปัญหา

ส่วนปฏิบัติของบทเรียนแสดงด้วยรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบ จะมีเพียงสองตัวอย่าง แต่ดูเหมือนจะไม่เพียงพอ =)

มาดูหัวข้อของอัลกอริทึมที่ฉันเพิ่งตรวจสอบในงานทางวิทยาศาสตร์เล็ก ๆ ของฉัน:

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุดยอดสามจุดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ค้นหาด้านบน

มาเริ่มกันเลย:

ขั้นตอนแรก: เห็นได้ชัดว่าเรากำลังพูดถึงปัญหา "แบน"

ขั้นตอนที่สอง: โจทย์เกี่ยวกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน ทุกคนจำรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้หรือไม่? ไม่จำเป็นต้องยิ้ม ผู้คนจำนวนมากได้รับการศึกษาเมื่ออายุ 30-40-50 ปีขึ้นไป ดังนั้นแม้แต่ข้อเท็จจริงง่ายๆ ก็สามารถลบออกจากความทรงจำได้ คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่ในตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียน การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์.

ขั้นตอนที่สาม: มาวาดรูปที่เราทำเครื่องหมายจุดยอดที่รู้จักสามจุด เป็นเรื่องตลกที่จะสร้างจุดที่ต้องการได้ทันที:

แน่นอนว่าการสร้างนั้นดี แต่วิธีการแก้ปัญหานั้นจะต้องถูกทำให้เป็นทางการในเชิงวิเคราะห์

ขั้นตอนที่สี่: การพัฒนาอัลกอริทึมของโซลูชัน สิ่งแรกที่ควรคำนึงถึงคือมีจุดที่สามารถหาเป็นจุดตัดของเส้นได้ เราไม่รู้จักสมการของพวกเขา ดังนั้นเราต้องจัดการกับปัญหานี้:

1) ด้านตรงข้ามขนานกัน ตามคะแนน หาเวกเตอร์ทิศทางของด้านเหล่านี้ นี่เป็นงานที่ง่ายที่สุดที่ได้รับการพิจารณาในบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่น.

บันทึก: มันถูกต้องกว่าที่จะพูดว่า "สมการของเส้นตรงที่มีด้าน" แต่ต่อจากนี้เพื่อความกระชับ ฉันจะใช้วลี "สมการของด้าน", "กำกับเวกเตอร์ของด้าน" เป็นต้น

3) ด้านตรงข้ามขนานกัน จากจุดที่เราพบเวกเตอร์ทิศทางของด้านเหล่านี้

4) เขียนสมการของเส้นตรงโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

ในย่อหน้าที่ 1-2 และ 3-4 เราแก้ปัญหาเดียวกันสองครั้งจริง ๆ แล้วมันถูกวิเคราะห์ในตัวอย่างหมายเลข 3 ของบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนระนาบ. เป็นไปได้ที่จะไปไกลกว่านั้น - ก่อนอื่นให้หาสมการของเส้นจากนั้นจึง "ดึง" เวกเตอร์ทิศทางออกจากพวกมัน

5) ตอนนี้ทราบสมการของเส้นแล้ว ยังคงต้องเขียนและแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน (ดูตัวอย่างหมายเลข 4, 5 ของบทเรียนเดียวกัน ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนระนาบ).

พบจุดที่

งานค่อนข้างง่ายและวิธีแก้ปัญหานั้นชัดเจน แต่มีวิธีที่สั้นกว่า!

วิธีที่สองในการแก้ปัญหา:

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งออกด้วยจุดตัดกัน ฉันทำเครื่องหมายจุด แต่เพื่อไม่ให้ภาพวาดยุ่งเหยิงฉันไม่ได้วาดเส้นทแยงมุมด้วยตัวเอง

มาสร้างสมการด้านข้างด้วยคะแนน:

ในการตรวจสอบ ในใจหรือแบบร่าง ให้แทนที่พิกัดของแต่ละจุดในสมการผลลัพธ์ ทีนี้มาหาความชันกัน ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการทั่วไปใหม่ในรูปแบบของสมการที่มีความชัน:

ดังนั้นปัจจัยความชันคือ:

ในทำนองเดียวกัน เราพบสมการด้านข้าง ฉันไม่เห็นประโยชน์มากนักในการวาดภาพสิ่งเดียวกัน ดังนั้นฉันจะให้ผลลัพธ์ที่เสร็จแล้วทันที:

2) หาความยาวของด้าน นี่เป็นงานที่ง่ายที่สุดที่กล่าวถึงในบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่น. สำหรับคะแนน เราใช้สูตร:

ใช้สูตรเดียวกัน หาความยาวของด้านอื่นได้ง่าย การตรวจสอบดำเนินการอย่างรวดเร็วด้วยไม้บรรทัดปกติ

เราใช้สูตร .

มาหาเวกเตอร์กันเถอะ:

ดังนั้น:

ระหว่างทาง เราพบความยาวของด้าน

ผลที่ตามมา:

ดูเหมือนว่าจะเป็นจริงเพื่อโน้มน้าวใจคุณสามารถติดไม้โปรแทรกเตอร์ที่มุมได้

ความสนใจ! อย่าสับสนระหว่างมุมของสามเหลี่ยมกับมุมระหว่างเส้นตรง มุมของสามเหลี่ยมสามารถเป็นมุมป้านได้ แต่มุมระหว่างเส้นตรงไม่ใช่มุม (โปรดดูย่อหน้าสุดท้ายของบทความ ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนระนาบ). อย่างไรก็ตาม สูตรของบทเรียนข้างต้นสามารถใช้หามุมของสามเหลี่ยมได้เช่นกัน แต่ความหยาบคือสูตรเหล่านั้นให้มุมแหลมเสมอ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา ฉันแก้ปัญหานี้แบบร่างและได้ผลลัพธ์ และในสำเนาที่สะอาด คุณจะต้องเขียนข้อแก้ตัวเพิ่มเติมว่า

4) เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่ขนานกับเส้นตรง

งานมาตรฐานที่กล่าวถึงโดยละเอียดในตัวอย่างหมายเลข 2 ของบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนระนาบ. จากสมการทั่วไปของเส้นตรง ดึงเวกเตอร์ทิศทางออกมา ลองเขียนสมการของเส้นตรงด้วยจุดและเวกเตอร์กำกับ:

จะหาความสูงของสามเหลี่ยมได้อย่างไร?

5) ลองสร้างสมการความสูงแล้วเราจะหาความยาวของมันได้

ไม่มีทางหนีจากคำจำกัดความที่เข้มงวด ดังนั้นคุณต้องขโมยจากหนังสือเรียน:

ความสูงของสามเหลี่ยม เรียกว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมไปยังเส้นที่มีด้านตรงข้าม

นั่นคือจำเป็นต้องสร้างสมการของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดไปด้านข้าง งานนี้พิจารณาในตัวอย่างหมายเลข 6, 7 ของบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนระนาบ. จากสมการ ลบเวกเตอร์ปกติ เราจะสร้างสมการความสูงสำหรับจุดและเวกเตอร์ทิศทาง:

โปรดทราบว่าเราไม่ทราบพิกัดของจุด

บางครั้งพบสมการความสูงจากอัตราส่วนของความชันของเส้นตั้งฉาก: . ในกรณีนี้: . เราจะเขียนสมการความสูงของจุดและความชัน (ดูตอนเริ่มต้นบทเรียน สมการเส้นตรงบนระนาบ):

ความยาวความสูงหาได้สองทาง

มีทางอ้อมดังนี้

ก) ค้นหา - จุดตัดของความสูงและด้านข้าง
b) ค้นหาความยาวของส่วนด้วยจุดที่ทราบสองจุด

แต่ในชั้นเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับเส้นตรงบนระนาบมีการพิจารณาสูตรที่สะดวกสำหรับระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง จุดเป็นที่รู้จัก: , สมการของเส้นเป็นที่รู้จักกัน: , ดังนั้น:

6) คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม ในอวกาศพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคำนวณแบบดั้งเดิมโดยใช้ ผลคูณข้ามของเวกเตอร์แต่ที่นี่มีการกำหนดรูปสามเหลี่ยมในระนาบ เราใช้สูตรของโรงเรียน:
พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของผลคูณของฐานคูณด้วยความสูง

ในกรณีนี้:

จะหาค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมได้อย่างไร?

7) เขียนสมการค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐานสามเหลี่ยม ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมกับจุดยอดของสามเหลี่ยมโดยมีจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามเรียกว่า

ก) ค้นหาจุด - จุดกึ่งกลางของด้านข้าง เราใช้ สูตรพิกัดจุดกึ่งกลาง. ทราบพิกัดของจุดสิ้นสุดของส่วน: แล้วพิกัดของตรงกลาง:

ดังนั้น:

เราสร้างสมการมัธยฐานตามจุด :

ในการตรวจสอบสมการ คุณต้องแทนพิกัดของจุดลงไป

8) ค้นหาจุดตัดของความสูงและค่ามัธยฐาน ฉันคิดว่าทุกคนได้เรียนรู้วิธีการเล่นสเก็ตลีลานี้โดยไม่ล้ม:

ในรูปทรงเรขาคณิต มักมีการพิจารณาแนวคิดเช่น "จุดยอดของสามเหลี่ยม" นี่คือจุดตัดของด้านทั้งสองของรูปนี้ แนวคิดนี้พบได้ในเกือบทุกงาน ดังนั้นจึงเหมาะสมที่จะพิจารณาในรายละเอียดเพิ่มเติม

การหาจุดยอดของสามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยม มีจุดตัดของด้านสามจุด ทำให้เกิดมุมสามมุม เรียกว่าจุดยอด และด้านที่เหลือเรียกว่าด้านของรูปสามเหลี่ยม

ข้าว. 1. จุดยอดในรูปสามเหลี่ยม

จุดยอดในรูปสามเหลี่ยมแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่ ดังนั้นในวิชาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มักจะแสดงด้านข้างด้วยตัวอักษรละตินสองตัวตามชื่อของจุดยอดที่รวมอยู่ในด้านข้าง ตัวอย่างเช่น ด้าน AB คือด้านของสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดยอด A และ B

ข้าว. 2. การกำหนดจุดยอดในรูปสามเหลี่ยม

ลักษณะแนวคิด

หากเราใช้รูปสามเหลี่ยมโดยพลการโดยพลการในระนาบแล้วในทางปฏิบัติจะสะดวกมากที่จะแสดงลักษณะทางเรขาคณิตของมันในแง่ของพิกัดของจุดยอดของรูปนี้ ดังนั้น จุดยอด A ของสามเหลี่ยมสามารถแสดงเป็นจุดด้วยพารามิเตอร์ตัวเลข A(x; y)

เมื่อทราบพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมแล้ว คุณจะพบจุดตัดของค่ามัธยฐาน ความยาวของความสูงที่ลดลงไปยังด้านใดด้านหนึ่งของรูป และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สำหรับสิ่งนี้ คุณสมบัติของเวกเตอร์ที่ปรากฎในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนถูกนำมาใช้ เนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมถูกกำหนดผ่านความยาวของเวกเตอร์ที่มีจุดที่มีจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปนี้

โดยใช้จุดยอดของสามเหลี่ยม

ที่จุดยอดใดๆ ของสามเหลี่ยม คุณสามารถหามุมที่จะอยู่ติดกับมุมภายในของรูปที่เป็นปัญหาได้ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องขยายด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากจุดยอดแต่ละจุดมีสองด้าน จึงมีมุมภายนอกสองมุมที่จุดยอดแต่ละจุด มุมภายนอกเท่ากับผลบวกของมุมภายในสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

ข้าว. 3. คุณสมบัติของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

หากคุณสร้างมุมภายนอกสองมุมที่จุดยอดเดียว พวกมันก็จะเท่ากันเหมือนมุมแนวตั้ง

เราได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

หนึ่งในแนวคิดที่สำคัญของเรขาคณิตเมื่อพิจารณาสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ คือจุดยอด นี่คือจุดที่ด้านทั้งสองของมุมของรูปเรขาคณิตที่กำหนดตัดกัน มันแสดงด้วยหนึ่งในตัวพิมพ์ใหญ่ของอักษรละติน จุดยอดของสามเหลี่ยมสามารถแสดงในรูปของพิกัด x และ y ซึ่งจะช่วยในการกำหนดความยาวของด้านของสามเหลี่ยมเป็นความยาวของเวกเตอร์

แบบทดสอบหัวข้อ

การให้คะแนนบทความ

คะแนนเฉลี่ย: 4.2. เรตติ้งทั้งหมดที่ได้รับ: 153.

บทวี. เรขาคณิตวิเคราะห์บนระนาบ

และในอวกาศ

ส่วนนี้รวมถึงงานที่พิจารณาในหัวข้อ "เรขาคณิตวิเคราะห์บนระนาบและในอวกาศ": การวาดสมการเส้นต่างๆบนระนาบและในอวกาศ การกำหนดตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นตรงบนระนาบ เส้นตรง เส้นตรงกับระนาบ ระนาบในอวกาศ ภาพเส้นโค้งลำดับที่สอง ควรสังเกตว่าส่วนนี้นำเสนอปัญหาของเนื้อหาทางเศรษฐกิจในการแก้ปัญหาซึ่งใช้ข้อมูลจากเรขาคณิตวิเคราะห์บนระนาบ

เมื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ ขอแนะนำให้ใช้ตำราของผู้เขียนต่อไปนี้: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremera, D.T. เขียน V.I. มาลิกขิ่นเพราะ วรรณกรรมนี้ครอบคลุมงานที่หลากหลายซึ่งสามารถใช้ศึกษาด้วยตนเองในหัวข้อนี้ได้ การประยุกต์ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์เพื่อแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจได้อธิบายไว้ในเอกสารเผยแพร่การศึกษาของ MS Crass และ V.I. เออร์มาคอฟ

ปัญหา 5.1 กำหนดพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี . จำเป็น

ก) เขียนสมการด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

b) เขียนสมการสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมที่ลากจากจุดยอดกับ ไปด้านข้างเอบี และหาความยาวของมัน

c) เขียนสมการของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ลากจากจุดยอดใน ไปด้านข้างเครื่องปรับอากาศ ;

d) ค้นหามุมของสามเหลี่ยมและสร้างประเภทของมัน (สี่เหลี่ยม, มุมแหลม, มุมป้าน);

e) ค้นหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและกำหนดประเภทของมัน (ด้านเท่า, หน้าจั่ว, ด้านเท่า);

f) ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง (จุดตัดของค่ามัธยฐาน) ของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี ;

g) ค้นหาพิกัดของ orthocenter (จุดตัดของความสูง) ของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี .

สำหรับแต่ละจุด a) - c) ของการตัดสินใจให้วาดในระบบพิกัด ในรูป ให้ทำเครื่องหมายเส้นและจุดที่ตรงกับจุดที่เป็นปัญหา

ตัวอย่าง 5.1

กำหนดพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี : . จำเป็นต้องก) เขียนสมการของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม b) เขียนสมการสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมที่ลากจากจุดยอด กับ ไปด้านข้างเอบี และหาความยาวของมัน c) เขียนสมการของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ลากจากจุดยอดใน ไปด้านข้างเครื่องปรับอากาศ ; d) ค้นหาความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและกำหนดประเภทของมัน (ด้านเท่า, หน้าจั่ว, ด้านเท่า); e) ค้นหามุมของรูปสามเหลี่ยมและสร้างประเภทของมัน (สี่เหลี่ยม, มุมแหลม, มุมป้าน); f) ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง (จุดตัดของค่ามัธยฐาน) ของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี ; g) ค้นหาพิกัดของ orthocenter (จุดตัดของความสูง) ของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี .

สารละลาย

ก)สำหรับแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม จะทราบพิกัดของจุดสองจุดที่อยู่บนเส้นที่ต้องการ ซึ่งหมายความว่าสมการของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมคือสมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

ที่ไหน
และ
พิกัดจุดที่สอดคล้องกัน

ดังนั้นเราจึงได้รับพิกัดของจุดตรงที่เกี่ยวข้องแทนในสูตร (5.1)

,
,
,

ดังนั้น หลังจากการแปลงแล้ว เราเขียนสมการด้านต่างๆ ลงไป

บนมะเดื่อ 7 แสดงด้านที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยม
ตรง.

คำตอบ:

ข)อนุญาต
- ความสูงที่วาดจากด้านบน ไปด้านข้าง
. เพราะว่า
ผ่านจุด ตั้งฉากกับเวกเตอร์
จากนั้นเราสร้างสมการของเส้นตรงตามสูตรต่อไปนี้

ที่ไหน
คือพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ต้องการ
คือพิกัดของจุดที่เป็นของเส้นนี้ หาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเส้นตรง
และแทนค่าลงในสูตร (5.2)

,
,

.

หาความยาวของส่วนสูง ชเป็นระยะทางจากจุด ตรงไป

ที่ไหน
- สมการของเส้นตรง
,
- พิกัดจุด .

ในย่อหน้าที่แล้วพบว่า

แทนที่ข้อมูลในสูตร (5.3) เราได้รับ

,

บนมะเดื่อ 8 วาดสามเหลี่ยมและความสูงที่พบ ช.

คำตอบ: .

วี)ค่ามัธยฐาน
สามเหลี่ยม
แบ่งข้าง
เป็นสองส่วนเท่าๆ กัน กล่าวคือ จุด เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน
. จากนี้คุณสามารถค้นหาพิกัด
คะแนน

ที่ไหน
และ
และ แทนที่ลงในสูตร (5.4) เราได้รับ

;
.

สมการมัธยฐาน
สามเหลี่ยม
เขียนเป็นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดต่างๆ
และ
ตามสูตร (5.1)

,

.

คำตอบ:(รูปที่ 9)

ช)เราพบความยาวของด้านของสามเหลี่ยมเป็นความยาวของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน เช่น

,
,
.

ปาร์ตี้
และ
สามเหลี่ยม
เท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยมจึงเป็นหน้าจั่วที่มีฐาน
.

คำตอบ:สามเหลี่ยม
หน้าจั่วพร้อมฐาน
;

,
.

จ)มุมของสามเหลี่ยม
เราพบว่าเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ที่เกิดจากจุดยอดที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่กำหนด นั่นคือ

,
,
.

เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีฐาน
, ที่

,

เราคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ด้วยสูตร (4.4) ซึ่งต้องใช้ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์
,
.

ค้นหาพิกัดและโมดูลของเวกเตอร์ที่จำเป็นในการคำนวณมุม

,
;

,
,
.

แทนที่ข้อมูลที่พบในสูตร (4.4) เราได้รับ

,

เนื่องจากค่าของโคไซน์ของมุมที่พบทั้งหมดเป็นค่าบวก จึงเป็นรูปสามเหลี่ยม
เป็นเฉียบพลัน

คำตอบ:สามเหลี่ยม
มุมแหลม;

,
,
.

จ)อนุญาต

แล้วพิกัด
คะแนน
สามารถพบได้ตามสูตร (5.5)

ที่ไหน
,
และ
เป็นพิกัดของจุดตามลำดับ , และ , เพราะฉะนั้น,

,
.

คำตอบ:
- จุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม
.

และ)อนุญาต เป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม
. ค้นหาพิกัดของจุด เป็นพิกัดของจุดตัดของความสูงของสามเหลี่ยม สมการความสูง
ถูกพบที่จุด ข). มาหาสมการความสูงกัน
:

,
,

.

เพราะว่า
แล้ววิธีแก้ปัญหาของระบบ

เป็นพิกัดของจุด จากที่เราหามา
.

คำตอบ:
เป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม
.

ปัญหา 5.2. ค่าใช้จ่ายคงที่ในองค์กรสำหรับการเปิดตัวผลิตภัณฑ์บางอย่างคือฉ วี 0 ถู. ต่อหน่วยของผลผลิตในขณะที่รายได้คือร 0 ถู. ต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์ที่ผลิต เขียนฟังก์ชันกำไรพี (ถาม ) (ถาม

ข้อมูลสำหรับเงื่อนไขงานที่สอดคล้องกับตัวเลือก:

ตัวอย่าง 5.2

ค่าใช้จ่ายคงที่ในองค์กรสำหรับการเปิดตัวผลิตภัณฑ์บางอย่างคือ
ถู. ต่อเดือน ต้นทุนผันแปร -
ถู. ต่อหน่วยของผลผลิตในขณะที่รายได้คือ
ถู. ต่อหน่วยของผลิตภัณฑ์ที่ผลิต เขียนฟังก์ชันกำไรพี (ถาม ) (ถาม - จำนวนผลิตภัณฑ์ที่ผลิต); สร้างกราฟและกำหนดจุดคุ้มทุน

สารละลาย

ให้เราคำนวณต้นทุนการผลิตทั้งหมดสำหรับการเปิดตัว ถามหน่วยของผลิตภัณฑ์บางอย่าง

ถ้าขาย ถามหน่วยของผลผลิตแล้วรายได้รวมจะเป็น

จากฟังก์ชันที่ได้รับของรายได้รวมและต้นทุนทั้งหมด เราจะพบฟังก์ชันกำไร

,

.

จุดคุ้มทุน - จุดที่กำไรเป็นศูนย์หรือจุดที่ต้นทุนรวมเท่ากับรายได้ทั้งหมด

,

,

เราจะหาที่ไหน

- คุ้มทุน

ในการสร้างกราฟ (รูปที่ 10) ของฟังก์ชันกำไร เราจะพบอีกหนึ่งจุด

คำตอบ:ฟังก์ชั่นกำไร
คุ้มทุน
.

ปัญหา 5.3. กฎของอุปสงค์และอุปทานสำหรับสินค้าบางอย่างถูกกำหนดโดยสมการตามลำดับหน้า = หน้า ง (ถาม ), หน้า = หน้า ส (ถาม ), ที่ไหนหน้า - ราคาของสินค้าถาม - ปริมาณของสินค้า สันนิษฐานว่าความต้องการถูกกำหนดโดยราคาสินค้าในตลาดเท่านั้นหน้า กับ และข้อเสนอ - ในราคาเท่านั้นหน้า ส ได้รับจากซัพพลายเออร์ จำเป็น

ก) กำหนดจุดสมดุลของตลาด

b) จุดดุลยภาพหลังจากการแนะนำภาษีเท่ากับที . กำหนดราคาที่เพิ่มขึ้นและปริมาณการขายที่ลดลง

c) ค้นหาการสนับสนุนส ซึ่งจะนำไปสู่การเพิ่มยอดขายโดยถาม 0 หน่วย เทียบกับต้นฉบับ (กำหนดในวรรค a));

d) ค้นหาจุดสมดุลใหม่และรายได้ของรัฐบาลเมื่อแนะนำภาษีตามสัดส่วนราคาและเท่ากับเอ็น %;

จ) กำหนดจำนวนเงินที่รัฐบาลจะใช้จ่ายในการซื้อส่วนเกินในขณะที่กำหนดราคาขั้นต่ำเท่ากับ หน้า 0 .

สำหรับแต่ละจุดตัดสินใจ ให้วาดภาพในระบบพิกัด ในภาพ ทำเครื่องหมายเส้นและจุดที่ตรงกับรายการของปัญหา

ข้อมูลสำหรับเงื่อนไขงานที่สอดคล้องกับตัวเลือก: