การคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันออนไลน์ ลำดับแรกอนุพันธ์ย่อยบางส่วน เฟืองท้ายเต็ม ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันที่มีตัวแปร 3 ตัว
และคุณไม่จำเป็นต้องค้นหาอะไรเลย: ในบทความแยกต่างหากของเราเราได้เตรียมทุกอย่างไว้แล้วเพื่อให้คุณทำสิ่งนี้ได้ และตอนนี้เราจะพูดถึงอนุพันธ์ย่อย
ยินดีต้อนรับสู่ช่องโทรเลขของเราสำหรับจดหมายข่าวที่เป็นประโยชน์และข่าวสารนักศึกษาปัจจุบัน
ฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่สองตัวขึ้นไป
ก่อนที่เราจะพูดถึงอนุพันธ์ย่อย เราต้องพูดถึงแนวคิดเรื่องฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวก่อน โดยที่อนุพันธ์ย่อยไม่มีประโยชน์ ที่โรงเรียน เราคุ้นเคยกับการจัดการฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง:
ก่อนหน้านี้เราพิจารณาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว กราฟของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งจะเป็นเส้นตรงบนระนาบ เช่น เส้นตรง พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา เป็นต้น
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเพิ่มตัวแปรอื่นเข้าไป? คุณจะได้รับฟังก์ชั่นดังต่อไปนี้:
เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระสองตัว xและ ย. กราฟของฟังก์ชันดังกล่าวคือพื้นผิวในปริภูมิสามมิติ เช่น ลูกบอล ไฮเปอร์โบลอยด์ พาราโบลอยด์ หรือม้าทรงกลมอื่นๆ ในสุญญากาศ ฟังก์ชันอนุพันธ์บางส่วน z X และ Y ตามลำดับเขียนดังนี้:
นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชันของตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไปอีกด้วย จริงอยู่ เป็นไปไม่ได้ที่จะวาดกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว ซึ่งจะต้องมีพื้นที่อย่างน้อยสี่มิติ ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้
ลำดับแรกอนุพันธ์ย่อยบางส่วน
จำกฎหลัก:
เมื่อคำนวณอนุพันธ์ย่อยเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ตัวแปรตัวที่สองจะถูกใช้เป็นค่าคงที่ มิฉะนั้นกฎในการคำนวณอนุพันธ์จะไม่เปลี่ยนแปลง
นั่นคืออนุพันธ์ย่อยโดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากอนุพันธ์ทั่วไป ดังนั้นควรเก็บตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานและกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์สามัญไว้ต่อหน้าต่อตาคุณ ลองดูตัวอย่างเพื่อให้ชัดเจน สมมติว่าเราจำเป็นต้องคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งของฟังก์ชันต่อไปนี้:
ก่อนอื่น ลองหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ x โดยพิจารณาว่า y เป็นจำนวนสามัญ:
ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพต่อ y โดยให้ x เป็นค่าคงที่:
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้ และความสำเร็จด้วยตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นนั้นเป็นเพียงเรื่องของการปฏิบัติเท่านั้น
อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
อนุพันธ์ย่อยอันดับสองพบได้อย่างไร? เช่นเดียวกับอันแรก ในการค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง คุณเพียงแค่หาอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 กลับไปที่ตัวอย่างด้านบนแล้วคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
โดยเกมเมอร์:
อนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่สามขึ้นไปไม่มีหลักการคำนวณแตกต่างกัน มาจัดระบบกฎกัน:
- เมื่อสร้างความแตกต่างด้วยตัวแปรอิสระตัวหนึ่ง ตัวที่สองจะถูกมองว่าเป็นค่าคงที่
- อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ลำดับที่สาม – อนุพันธ์ของอนุพันธ์ลำดับที่สอง ฯลฯ
อนุพันธ์บางส่วนและฟังก์ชันอนุพันธ์รวม
คำถามทั่วไปในงานภาคปฏิบัติคือการหาผลรวมของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ส่วนต่างทั้งหมดถูกกำหนดให้เป็นส่วนเชิงเส้นหลักของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยทั้งหมดโดยสัมพันธ์กับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์
คำจำกัดความฟังดูยุ่งยาก แต่ด้วยตัวอักษรทุกอย่างจะง่ายกว่า ผลต่างรวมลำดับแรกของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวมีลักษณะดังนี้:
เมื่อทราบวิธีคำนวณอนุพันธ์ย่อยแล้ว ก็ไม่มีปัญหาในการคำนวณส่วนต่างรวม
อนุพันธ์บางส่วนไม่ใช่หัวข้อที่ไร้ประโยชน์ ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับสองถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการอธิบายกระบวนการทางกายภาพในชีวิตจริงทางคณิตศาสตร์
ที่นี่เราได้ให้เฉพาะแนวคิดทั่วไปแบบผิวเผินเกี่ยวกับอนุพันธ์บางส่วนของลำดับที่หนึ่งและที่สอง คุณสนใจในหัวข้อนี้หรือมีคำถามเฉพาะเจาะจงหรือไม่? ถามพวกเขาในความคิดเห็นและติดต่อผู้เชี่ยวชาญด้านบริการนักศึกษาระดับมืออาชีพเพื่อขอความช่วยเหลือที่มีคุณภาพและฉุกเฉินในการศึกษาของคุณ กับเราคุณจะไม่ถูกทิ้งให้อยู่ตามลำพังกับปัญหา!
การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?
ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์
ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) . คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์
มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:
จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง
อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:
เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:
กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่
ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .
ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:
กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน
เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
สารละลาย: 
สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ
ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:
ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ
กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:
เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์
หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ในระยะเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและเข้าใจงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม
หลักการทั่วไปในการค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัวนั้นคล้ายคลึงกับหลักการหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว
ในการค้นหาอนุพันธ์บางส่วนอันดับสอง คุณต้องค้นหาอนุพันธ์บางส่วนอันดับ 1 ก่อน หรือในรูปแบบอื่น:
มีอนุพันธ์บางส่วนอันดับสองเก้าตัว
กลุ่มแรกคืออนุพันธ์อันดับสองที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเดียวกัน:
หรือ – อนุพันธ์อันดับสองเกี่ยวกับ “x”;
หรือ – อนุพันธ์อันดับสองเกี่ยวกับ “Y”;
หรือ – อนุพันธ์อันดับสองที่เกี่ยวข้องกับ “zet”
กลุ่มที่สองคือ ผสมอนุพันธ์บางส่วนอันดับที่ 2 มีหกรายการ:
หรือ - ผสมอนุพันธ์ “โดย x igrek”;
หรือ - ผสมอนุพันธ์ "โดยเกม x";
หรือ - ผสมอนุพันธ์ "เทียบกับ x z";
หรือ - ผสมอนุพันธ์ “โดย zt x”;
หรือ - ผสมอนุพันธ์ "เกี่ยวกับ igrek z";
หรือ - ผสมอนุพันธ์ "โดย zt igrek"
เช่นเดียวกับในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว เมื่อแก้ไขปัญหา คุณสามารถมุ่งเน้นไปที่ความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์อันดับสองแบบผสมดังต่อไปนี้:
หมายเหตุ: พูดอย่างเคร่งครัด มันไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป เพื่อให้อนุพันธ์แบบผสมมีความเท่าเทียมกัน จะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดของความต่อเนื่อง
ในกรณีนี้ ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของวิธีอ่านออกเสียงความอับอายนี้อย่างถูกต้อง:
- “สองจังหวะมีสองครั้งต่อเกม”;
– “de two y คูณ de z square”;
– “มีสองจังหวะใน X และ Z”;
- “เดทูอีโปเดเซทโปเดอิเกรก”
ตัวอย่างที่ 10
ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 และ 2 ทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว:
.
สารละลาย:ขั้นแรก เรามาค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 กันก่อน:
เราหาอนุพันธ์ที่พบ
และแยกความแตกต่างด้วย "Y":
เราหาอนุพันธ์ที่พบ
และแยกความแตกต่างด้วย "x":
ความเท่าเทียมกันได้รับการเติมเต็ม ดี.
มาจัดการกับอนุพันธ์ผสมคู่ที่สองกัน
เราหาอนุพันธ์ที่พบ
และแยกความแตกต่างด้วย "z":
เราหาอนุพันธ์ที่พบ
และแยกความแตกต่างด้วย "x":
ความเท่าเทียมกันได้รับการเติมเต็ม ดี.
เราจัดการกับอนุพันธ์แบบผสมคู่ที่สามในลักษณะเดียวกัน:
ความเท่าเทียมกันได้รับการเติมเต็ม ดี.
หลังจากงานเสร็จสิ้น เราสามารถรับประกันได้ว่า ประการแรก เราพบอนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 ทั้งหมดอย่างถูกต้อง และประการที่สอง เรายังพบอนุพันธ์บางส่วนอันดับ 2 แบบผสมอย่างถูกต้องด้วย
ยังคงต้องหาอนุพันธ์ย่อยอีกสามตัวของลำดับที่สอง ที่นี่ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด คุณควรมุ่งความสนใจของคุณให้มากที่สุด:
พร้อม. ขอย้ำอีกครั้งว่างานไม่ได้ยากเท่าไหร่แต่ก็ใหญ่โต วิธีแก้ปัญหาสามารถย่อให้สั้นลงและอ้างอิงถึงความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์บางส่วนแบบผสม แต่ในกรณีนี้ จะไม่มีการตรวจสอบยืนยัน ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะใช้เวลาและค้นหา ทั้งหมดอนุพันธ์ (นอกจากนี้ ครูอาจต้องการสิ่งนี้) หรือตรวจสอบฉบับร่างเป็นทางเลือกสุดท้าย
ตัวอย่างที่ 11
ค้นหาอนุพันธ์ย่อยอันดับ 1 และ 2 ทั้งหมดสำหรับฟังก์ชันของตัวแปร 3 ตัว
.
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง
แนวทางแก้ไขและคำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2:สารละลาย:
ตัวอย่างที่ 4:สารละลาย: ลองหาอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกกัน
มาสร้างส่วนต่างที่สมบูรณ์ของลำดับแรกกัน:
ตัวอย่างที่ 6:สารละลาย: ม(1, -1, 0):
ตัวอย่างที่ 7:สารละลาย: ให้เราคำนวณอนุพันธ์ย่อยอันดับแรก ณ จุดนั้นม(1, 1, 1):
ตัวอย่างที่ 9:สารละลาย:
ตัวอย่างที่ 11:สารละลาย: มาหาอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกกัน:
มาหาอนุพันธ์ย่อยอันดับสองกัน:
.
ปริพันธ์
8.1. อินทิกรัลไม่ จำกัด โซลูชันตัวอย่างโดยละเอียด
เรามาเริ่มศึกษาหัวข้อกันดีกว่า” อินทิกรัลไม่จำกัด"และเราจะวิเคราะห์ตัวอย่างโดยละเอียดของคำตอบของอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) ตามปกติ เราจะจำกัดตัวเองให้อยู่ในทฤษฎีขั้นต่ำซึ่งมีอยู่ในหนังสือเรียนหลายเล่ม หน้าที่ของเราคือเรียนรู้วิธีแก้ปริพันธ์
คุณจำเป็นต้องรู้อะไรบ้างเพื่อที่จะเชี่ยวชาญเนื้อหานี้ให้สำเร็จ? เพื่อที่จะรับมือกับแคลคูลัสอินทิกรัล คุณต้องสามารถค้นหาอนุพันธ์ได้อย่างน้อยที่สุดในระดับกลาง มันจะไม่เสียประสบการณ์หากคุณมีอนุพันธ์อิสระหลายร้อยรายการหรือดีกว่านั้นที่คุณพบ อย่างน้อยที่สุด คุณไม่ควรสับสนกับงานเพื่อแยกแยะฟังก์ชันที่ง่ายและธรรมดาที่สุด
ดูเหมือนว่าอนุพันธ์เกี่ยวอะไรกับมันถ้าบทความเกี่ยวกับอินทิกรัล! นี่คือสิ่งที่ ความจริงก็คือการค้นหาอนุพันธ์และการค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด (ความแตกต่างและปริพันธ์) เป็นการกระทำที่ผกผันซึ่งกันและกัน เช่น การบวก/การลบ หรือการคูณ/หาร ดังนั้นหากไม่มีทักษะและประสบการณ์ในการค้นหาอนุพันธ์ โชคไม่ดีที่คุณไม่สามารถก้าวไปข้างหน้าได้
ในเรื่องนี้เราจะต้องมีสื่อการสอนดังต่อไปนี้: ตารางอนุพันธ์และ ตารางปริพันธ์.
ความยากในการเรียนรู้อินทิกรัลไม่จำกัดคืออะไร? หากในอนุพันธ์มีกฎการแยกความแตกต่าง 5 ข้ออย่างเคร่งครัดตารางอนุพันธ์และอัลกอริธึมการกระทำที่ค่อนข้างชัดเจนดังนั้นในปริพันธ์ทุกอย่างจะแตกต่างกัน มีวิธีและเทคนิคการบูรณาการหลายวิธี และหากเลือกวิธีการรวมเข้าด้วยกันในตอนแรกไม่ถูกต้อง (เช่น คุณไม่รู้วิธีแก้) คุณก็สามารถ "แทง" อินทิกรัลตามตัวอักษรเป็นเวลาหลายวันได้ เหมือนปริศนาจริง โดยพยายามมองหาเทคนิคและลูกเล่นต่างๆ บางคนถึงกับชอบมัน
อย่างไรก็ตาม เรามักจะได้ยินความคิดเห็นจากนักศึกษา (ที่ไม่ใช่สาขาวิชามนุษยศาสตร์) บ่อยครั้ง เช่น: “ฉันไม่เคยมีความสนใจในการแก้ขีดจำกัดหรืออนุพันธ์ใดๆ เลย แต่ปริพันธ์เป็นเรื่องที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง มันน่าทึ่งมาก มันมีอยู่เสมอ ความปรารถนาที่จะ "แฮ็ก" อินทิกรัลที่ซับซ้อน" หยุด. หมดมุกตลกไปแล้ว มาดูอินทิกรัลไม่ จำกัด เหล่านี้กันดีกว่า
เนื่องจากมีหลายวิธีในการแก้ปัญหา แล้วกาน้ำชาควรเริ่มศึกษาอินทิกรัลไม่จำกัดที่ไหน? ในความคิดของเราในแคลคูลัสอินทิกรัล มีเสาหลักสามเสาหรือ "แกน" ประเภทหนึ่งที่ทุกอย่างหมุนรอบ ก่อนอื่น คุณควรมีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับอินทิกรัลที่ง่ายที่สุด (บทความนี้)
จากนั้นคุณจะต้องศึกษาบทเรียนอย่างละเอียด นี่คือเทคนิคที่สำคัญที่สุด! บางทีอาจเป็นบทความที่สำคัญที่สุดของบทความเกี่ยวกับปริพันธ์ทั้งหมด และประการที่สาม คุณควรอ่านอย่างแน่นอน การบูรณาการโดยวิธีส่วนต่างๆเนื่องจากมีการรวมฟังก์ชันหลากหลายประเภทไว้ด้วยกัน หากคุณเชี่ยวชาญอย่างน้อยสามบทเรียนนี้ คุณจะไม่มีสองบทเรียนอีกต่อไป คุณอาจได้รับการอภัยสำหรับการไม่รู้ ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ, อินทิกรัลของเศษส่วน, อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ, ปริพันธ์ของฟังก์ชันไม่ลงตัว (ราก)แต่ถ้าคุณ “ประสบปัญหา” ด้วยวิธีทดแทนหรือวิธีการบูรณาการทีละส่วน ก็จะแย่มาก
เรามาเริ่มกันง่ายๆ ลองดูตารางอินทิกรัลกัน เช่นเดียวกับอนุพันธ์ เราสังเกตเห็นกฎการรวมหลายข้อและตารางปริพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง อินทิกรัลของตารางใดๆ (และอินทิกรัลไม่จำกัดใดๆ ก็ตาม) จะมีรูปแบบ:
มาทำความเข้าใจสัญลักษณ์และคำศัพท์กันทันที:
– ไอคอนอินทิกรัล
– ฟังก์ชันปริพันธ์ (เขียนด้วยตัวอักษร “s”)
– ไอคอนส่วนต่าง เราจะดูว่าสิ่งนี้จะเป็นอย่างไรเร็ว ๆ นี้ สิ่งสำคัญคือเมื่อเขียนอินทิกรัลและระหว่างการแก้ปัญหา สิ่งสำคัญคือต้องไม่สูญเสียไอคอนนี้ จะมีข้อบกพร่องที่เห็นได้ชัดเจน
– นิพจน์ปริพันธ์หรือ “การเติม” ของปริพันธ์
– แอนติเดริเวทีฟการทำงาน.
– . ไม่จำเป็นต้องเติมคำศัพท์ให้มากมาย สิ่งสำคัญที่สุดในที่นี้ก็คือค่าคงที่ในอินทิกรัลไม่แน่นอนใดๆ จะถูกบวกเข้ากับคำตอบ
การแก้อินทิกรัลไม่ จำกัด หมายถึงการค้นหาฟังก์ชั่นดั้งเดิมมากมายจากปริพันธ์ที่กำหนด
ลองดูที่รายการอีกครั้ง:
ลองดูตารางอินทิกรัลกัน
เกิดอะไรขึ้น? เรามีชิ้นส่วนด้านซ้าย เปลี่ยนเป็นไปยังฟังก์ชันอื่นๆ: .
มาทำให้คำจำกัดความของเราง่ายขึ้น:
แก้อินทิกรัลไม่จำกัด - นี่หมายถึงการแปลงให้เป็นฟังก์ชันที่ไม่ได้กำหนด (จนถึงค่าคงที่) โดยใช้กฎ เทคนิค และตารางบางประการ
ยกตัวอย่างเช่น อินทิกรัลของตาราง 
. เกิดอะไรขึ้น สัญกรณ์สัญลักษณ์ได้พัฒนาไปสู่ฟังก์ชันดั้งเดิมมากมาย
เช่นเดียวกับในกรณีของอนุพันธ์ เพื่อเรียนรู้วิธีหาอินทิกรัล ไม่จำเป็นต้องรู้ว่าฟังก์ชันอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟคืออะไรจากมุมมองทางทฤษฎี เพียงดำเนินการเปลี่ยนแปลงตามกฎที่เป็นทางการก็เพียงพอแล้ว ดังนั้นในกรณี ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องเข้าใจว่าเหตุใดอินทิกรัลจึงกลายเป็น คุณสามารถรับสูตรนี้และสูตรอื่นๆ ได้ ทุกคนใช้ไฟฟ้า แต่มีเพียงไม่กี่คนที่คิดว่าอิเล็กตรอนเดินทางผ่านสายไฟได้อย่างไร
เนื่องจากความแตกต่างและการอินทิเกรตเป็นการดำเนินการที่ตรงกันข้าม สำหรับแอนติเดริเวทีฟใดๆ ที่พบอย่างถูกต้อง สิ่งต่อไปนี้จึงเป็นจริง:
กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณแยกคำตอบที่ถูกต้องได้ คุณจะต้องได้ฟังก์ชันปริพันธ์ดั้งเดิม
ลองกลับไปที่อินทิกรัลตารางเดียวกัน .
ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของสูตรนี้ เราใช้อนุพันธ์ของด้านขวา:
คือฟังก์ชันอินทิแกรนด์ดั้งเดิม
อย่างไรก็ตาม มันชัดเจนขึ้นว่าทำไมค่าคงที่จึงถูกกำหนดให้กับฟังก์ชันเสมอ เมื่อหาอนุพันธ์แล้ว ค่าคงที่จะเปลี่ยนเป็นศูนย์เสมอ
แก้อินทิกรัลไม่จำกัด- มันหมายถึงการค้นหา พวงของ ทั้งหมดแอนติเดริเวทีฟ และไม่ใช่แค่ฟังก์ชันเดียว ในตัวอย่างตารางที่กำลังพิจารณา , , , ฯลฯ – ฟังก์ชันทั้งหมดนี้เป็นคำตอบของอินทิกรัล มีวิธีแก้ไขมากมายนับไม่ถ้วน ดังนั้นเราจึงเขียนไว้สั้นๆ:
ดังนั้นอินทิกรัลไม่จำกัดใดๆ จึงค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบ นี่คือการชดเชยสำหรับอินทิกรัลประเภทต่างๆ จำนวนมาก
มาดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกันดีกว่า เรามาเริ่มกันที่การศึกษาอนุพันธ์โดยใช้กฎการรวมสองข้อ:
- คงที่ คสามารถ (และควร) ถูกนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล
– อินทิกรัลของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอินทิกรัลทั้งสอง กฎนี้ใช้ได้กับเงื่อนไขจำนวนเท่าใดก็ได้
อย่างที่คุณเห็น กฎโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับอนุพันธ์ บางครั้งพวกเขาก็ถูกเรียก คุณสมบัติเชิงเส้นบูรณาการ
ตัวอย่างที่ 1
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด
ดำเนินการตรวจสอบ
สารละลาย:จะสะดวกกว่าในการแปลงเหมือน
(1) ใช้กฎ . เราลืมเขียนไอคอนดิฟเฟอเรนเชียลลงไป ดีเอ็กซ์ใต้อินทิกรัลแต่ละตัว ทำไมอยู่ต่ำกว่ากัน? ดีเอ็กซ์– นี่คือตัวคูณที่เต็มเปี่ยมหากเราอธิบายโดยละเอียด ขั้นตอนแรกควรเขียนดังนี้:
.
(2) ตามกฎ เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดไปไกลกว่าเครื่องหมายของอินทิกรัล โปรดทราบว่าในระยะสุดท้าย ทีจี 5 เป็นค่าคงที่ เราก็เอามันออกมาด้วย
นอกจากนี้ ในขั้นตอนนี้ เรายังเตรียมรากฐานและพลังสำหรับการบูรณาการ เช่นเดียวกับการสร้างความแตกต่าง รากจะต้องแสดงในรูปแบบ . ย้ายรากและกำลังที่อยู่ในตัวส่วนขึ้นไป.
บันทึก:ต่างจากอนุพันธ์ตรงที่รากในอินทิกรัลไม่ควรถูกลดทอนให้อยู่ในรูปเสมอไป และเลื่อนองศาขึ้น
ตัวอย่างเช่น, - นี่คืออินทิกรัลของตารางสำเร็จรูปซึ่งได้รับการคำนวณก่อนคุณแล้วและเทคนิคจีนทุกประเภท ไม่จำเป็นเลย เช่นเดียวกัน: – นี่เป็นอินทิกรัลของตารางด้วย จึงไม่มีประโยชน์ในการแสดงเศษส่วนในรูปแบบ . ศึกษาตารางให้ดี!
(3) อินทิกรัลทั้งหมดของเราเป็นแบบตาราง เราทำการเปลี่ยนแปลงโดยใช้ตารางโดยใช้สูตร: 
, และ
สำหรับฟังก์ชันกำลัง - 
.
ควรสังเกตว่าอินทิกรัลของตารางเป็นกรณีพิเศษของสูตรสำหรับฟังก์ชันกำลัง: 
.
คงที่ค เพียงเพิ่มหนึ่งครั้งที่ส่วนท้ายของนิพจน์ก็เพียงพอแล้ว
(แทนที่จะวางไว้หลังอินทิกรัลแต่ละตัว).
(4) เราเขียนผลลัพธ์ที่ได้ในรูปแบบที่กะทัดรัดมากขึ้น เมื่อเลขยกกำลังทั้งหมดอยู่ในรูป
อีกครั้งเราแสดงพวกมันในรูปของราก และเรารีเซ็ตกำลังที่มีเลขชี้กำลังลบกลับไปเป็นตัวส่วน
การตรวจสอบ. เพื่อดำเนินการตรวจสอบ คุณต้องแยกแยะคำตอบที่ได้รับ:
ได้รับต้นฉบับแล้ว บูรณาการกล่าวคือพบอินทิกรัลอย่างถูกต้อง สิ่งที่พวกเขาเต้นคือสิ่งที่พวกเขากลับมา เป็นเรื่องที่ดีเมื่อเรื่องราวที่มีอินทิกรัลจบลงแบบนี้
ในบางครั้ง มีแนวทางที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยในการตรวจสอบอินทิกรัลไม่ จำกัด เมื่อไม่ใช่อนุพันธ์ แต่ค่าดิฟเฟอเรนเชียลถูกนำมาจากคำตอบ:
.
ด้วยเหตุนี้ เราจึงไม่ใช่ฟังก์ชันจำนวนเต็ม แต่เป็นนิพจน์จำนวนเต็ม
อย่ากลัวแนวคิดเรื่องดิฟเฟอเรนเชียล
ส่วนต่างคืออนุพันธ์คูณด้วย ดีเอ็กซ์.
อย่างไรก็ตาม สิ่งที่สำคัญสำหรับเราไม่ใช่รายละเอียดปลีกย่อยทางทฤษฎี แต่จะทำอย่างไรต่อไปกับส่วนต่างนี้ ส่วนต่างถูกเปิดเผยดังนี้: ไอคอน ง เราลบมันออก ใส่ไพรม์ทางด้านขวาเหนือวงเล็บ เพิ่มตัวประกอบที่ส่วนท้ายของนิพจน์ ดีเอ็กซ์ :
ได้รับต้นฉบับ บูรณาการนั่นคือพบอินทิกรัลถูกต้อง
อย่างที่คุณเห็น ส่วนต่างลงมาเพื่อหาอนุพันธ์ ฉันชอบวิธีที่สองในการตรวจสอบน้อยลง เนื่องจากฉันต้องวาดวงเล็บขนาดใหญ่เพิ่มเติมแล้วลากไอคอนส่วนต่าง ดีเอ็กซ์ จนกระทั่งสิ้นสุดการตรวจสอบ แม้ว่าจะถูกต้องกว่าหรือ "น่านับถือกว่า" หรืออะไรบางอย่างก็ตาม
ในความเป็นจริง เป็นไปได้ที่จะนิ่งเฉยเกี่ยวกับวิธีการยืนยันวิธีที่สอง ประเด็นไม่ได้อยู่ที่วิธีการ แต่อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าเราได้เรียนรู้ที่จะเปิดส่วนต่าง อีกครั้ง.
ส่วนต่างถูกเปิดเผยดังนี้:
1) ไอคอน งลบ;
2) ทางด้านขวาเหนือวงเล็บเราใส่จังหวะ (แทนอนุพันธ์)
3) ในตอนท้ายของนิพจน์เรากำหนดปัจจัย ดีเอ็กซ์ .
ตัวอย่างเช่น:
จำสิ่งนี้ไว้ เราจะต้องใช้เทคนิคนี้ในไม่ช้า
ตัวอย่างที่ 2
.
เมื่อเราพบอินทิกรัลไม่ จำกัด เราจะพยายามตรวจสอบเสมอนอกจากนี้ยังมีโอกาสที่ดีสำหรับเรื่องนี้ ไม่ใช่ว่าปัญหาทุกประเภทในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะเป็นของขวัญจากมุมมองนี้ ไม่สำคัญว่ามักไม่จำเป็นต้องตรวจสอบในงานควบคุม ไม่มีใครและไม่มีอะไรขัดขวางไม่ให้คุณดำเนินการในแบบร่าง ข้อยกเว้นสามารถทำได้เฉพาะเมื่อมีเวลาไม่เพียงพอ (เช่น ระหว่างการสอบหรือการสอบ) โดยส่วนตัวแล้ว ฉันมักจะตรวจสอบอินทิกรัลอยู่เสมอ และฉันคิดว่าการขาดการตรวจสอบนั้นเป็นงานแฮ็กและเป็นงานที่ทำได้ไม่ดีนัก
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด :
. ดำเนินการตรวจสอบ
วิธีแก้: จากการวิเคราะห์อินทิกรัล เราจะพบว่าภายใต้อินทิกรัลนั้น เรามีผลคูณของสองฟังก์ชัน และแม้แต่การยกกำลังของนิพจน์ทั้งหมด น่าเสียดายในสนามรบแบบบูรณาการ เลขที่ดีและสะดวกสบาย สูตรสำหรับการบูรณาการผลคูณและความฉลาดทางเช่น: 
หรือ 
.
ดังนั้น เมื่อให้ผลคูณหรือผลหารมา มันสมเหตุสมผลเสมอที่จะดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะแปลงปริพันธ์ให้เป็นผลรวม? ตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือกรณีที่เป็นไปได้
ขั้นแรกเราจะนำเสนอวิธีแก้ปัญหาแบบสมบูรณ์ ความคิดเห็นจะอยู่ด้านล่าง
(1) เราใช้สูตรเก่าที่ดีของกำลังสองของผลรวมสำหรับจำนวนจริงใดๆ โดยกำจัดดีกรีที่อยู่เหนือวงเล็บร่วม นอกวงเล็บและใช้สูตรคูณแบบย่อไปในทิศทางตรงกันข้าม: .
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด
ดำเนินการตรวจสอบ
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบและคำตอบที่สมบูรณ์อยู่ท้ายบทเรียน
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด
. ดำเนินการตรวจสอบ
ในตัวอย่างนี้ จำนวนเต็มเป็นเศษส่วน เมื่อเราเห็นเศษส่วนในจำนวนเต็ม ความคิดแรกควรเป็นคำถาม: "เป็นไปได้ไหมที่จะกำจัดเศษส่วนนี้ออกไป หรืออย่างน้อยก็ทำให้มันง่ายขึ้น"
เราสังเกตเห็นว่าตัวส่วนมีรากเดียวของ "X" หนึ่งในสนามไม่ใช่นักรบ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหารตัวเศษด้วยเทอมตัวส่วนได้ทีละเทอม:
เราไม่แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการกระทำที่ยกกำลังเศษส่วน เนื่องจากมีการพูดคุยกันหลายครั้งในบทความเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
หากคุณยังคงสับสนกับตัวอย่างเช่น
และไม่ว่าในกรณีใดคำตอบที่ถูกต้องก็จะออกมา
โปรดทราบว่าวิธีแก้ปัญหาหายไปหนึ่งขั้นตอน นั่นคือการใช้กฎ , . โดยปกติแล้ว เมื่อมีประสบการณ์ในการแก้อินทิกรัลมาบ้าง กฎเหล่านี้จึงถือเป็นข้อเท็จจริงที่ชัดเจนและไม่ได้อธิบายโดยละเอียด
ตัวอย่างที่ 6
ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด ดำเนินการตรวจสอบ
นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบและคำตอบที่สมบูรณ์อยู่ท้ายบทเรียน
ในกรณีทั่วไปด้วยเศษส่วนในปริพันธ์ไม่ใช่ทุกอย่างจะง่ายนัก เนื้อหาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการรวมเศษส่วนบางประเภทสามารถพบได้ในบทความ: การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน. แต่ก่อนที่จะไปยังบทความข้างต้น คุณต้องทำความคุ้นเคยกับบทเรียนก่อน: วิธีการแทนค่าอินทิกรัลไม่จำกัด. ประเด็นก็คือการรวมฟังก์ชันภายใต้วิธีการแทนที่ดิฟเฟอเรนเชียลหรือตัวแปรคือ จุดสำคัญในการศึกษาหัวข้อนี้เนื่องจากไม่เพียงพบ "ในงานแท้ ๆ เกี่ยวกับวิธีการทดแทน" เท่านั้น แต่ยังพบในอินทิกรัลประเภทอื่น ๆ อีกมากมายด้วย
แนวทางแก้ไขและคำตอบ:
ตัวอย่างที่ 2: วิธีแก้ไข:
ตัวอย่างที่ 4: วิธีแก้ไข:
ในตัวอย่างนี้ เราใช้สูตรการคูณแบบย่อ
ตัวอย่างที่ 6: วิธีแก้ไข:
วิธีการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลไม่จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา
ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับเทคนิคหนึ่งที่สำคัญและพบบ่อยที่สุดซึ่งใช้ในการแก้ปริพันธ์ไม่จำกัด - วิธีการเปลี่ยนตัวแปร การเรียนรู้เนื้อหาให้ประสบความสำเร็จต้องอาศัยความรู้เบื้องต้นและทักษะบูรณาการ หากคุณรู้สึกว่าแคลคูลัสอินทิกรัลว่างเปล่าและเต็มกาต้มน้ำ คุณควรทำความคุ้นเคยกับวัสดุนั้นก่อน อินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยจะมีการอธิบายในรูปแบบที่เข้าถึงได้ว่าอินทิกรัลคืออะไร และตัวอย่างพื้นฐานสำหรับผู้เริ่มต้นจะได้รับการวิเคราะห์โดยละเอียด
ในทางเทคนิคแล้ว วิธีการเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลไม่จำกัดนั้นถูกนำไปใช้ในสองวิธี:
– การรวมฟังก์ชันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล
– จริงๆ แล้วการเปลี่ยนตัวแปร
โดยพื้นฐานแล้วสิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งเดียวกัน แต่การออกแบบโซลูชันดูแตกต่างออกไป เริ่มจากกรณีที่ง่ายกว่านี้กัน
พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:
เนื่องจากตัวแปร $x$ และ $y$ มีความเป็นอิสระ สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว เราจึงสามารถแนะนำแนวคิดของอนุพันธ์บางส่วนได้:
อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน $f$ ที่จุด $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ เทียบกับตัวแปร $x$ คือ ขีด จำกัด
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\เดลต้า x;((y)_(0)) \right))(\เดลต้า x)\]
ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถกำหนดอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร $y$ :
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\เดลต้า y \right))(\เดลต้า y)\]
กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากต้องการค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว คุณต้องแก้ไขตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดยกเว้นตัวแปรที่ต้องการ จากนั้นจึงหาอนุพันธ์สามัญเทียบกับตัวแปรที่ต้องการ
สิ่งนี้นำไปสู่เทคนิคหลักในการคำนวณอนุพันธ์ดังกล่าว เพียงสมมติว่าตัวแปรทั้งหมดยกเว้นตัวแปรนี้เป็นค่าคงที่ จากนั้นจึงแยกความแตกต่างของฟังก์ชันตามที่คุณต้องการแยกความแตกต่างจากตัวแปร "ธรรมดา" ด้วยตัวแปรตัวเดียว ตัวอย่างเช่น:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ ไพรม์ ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(จัด)$
แน่นอนว่าอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรต่างๆ ให้คำตอบที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นเรื่องปกติ มันสำคัญกว่ามากที่จะต้องเข้าใจว่าเหตุใดในกรณีแรกเราจึงลบ $10y$ ออกจากใต้เครื่องหมายอนุพันธ์อย่างใจเย็น และในกรณีที่สองเราทำให้เทอมแรกเป็นศูนย์โดยสิ้นเชิง ทั้งหมดนี้เกิดขึ้นเนื่องจากความจริงที่ว่าตัวอักษรทั้งหมดยกเว้นตัวแปรที่ใช้สร้างความแตกต่างนั้นถือเป็นค่าคงที่: สามารถนำออกมา "เผา" ฯลฯ
"อนุพันธ์บางส่วน" คืออะไร?
วันนี้เราจะพูดถึงฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวและอนุพันธ์บางส่วนของตัวแปรเหล่านั้น ประการแรก ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคืออะไร? จนถึงตอนนี้ เราคุ้นเคยกับการพิจารณาฟังก์ชันเป็น $y\left(x \right)$ หรือ $t\left(x \right)$ หรือตัวแปรใดๆ และฟังก์ชันเดียวของฟังก์ชันนั้น ตอนนี้เราจะมีฟังก์ชันเดียว แต่มีตัวแปรหลายตัว เมื่อ $y$ และ $x$ เปลี่ยนแปลง ค่าของฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป ตัวอย่างเช่น หาก $x$ เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยน และหาก $x$ เปลี่ยนแปลง แต่ $y$ ไม่เปลี่ยนแปลง ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนในลักษณะเดียวกัน
แน่นอนว่าฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวสามารถแยกความแตกต่างได้เช่นเดียวกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว อย่างไรก็ตาม เนื่องจากมีหลายตัวแปร จึงเป็นไปได้ที่จะแยกความแตกต่างตามตัวแปรที่ต่างกัน ในกรณีนี้ มีกฎเฉพาะเกิดขึ้นซึ่งไม่มีอยู่เมื่อแยกตัวแปรหนึ่งตัวแปร
ก่อนอื่น เมื่อเราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปรใดๆ เราจำเป็นต้องระบุว่าเรากำลังคำนวณอนุพันธ์ของตัวแปรใด ซึ่งเรียกว่าอนุพันธ์ย่อย ตัวอย่างเช่น เรามีฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว และเราสามารถคำนวณได้ทั้งในรูป $x$ และใน $y$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ย่อยสองตัวสำหรับตัวแปรแต่ละตัว
ประการที่สอง ทันทีที่เราแก้ไขตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งและเริ่มคำนวณอนุพันธ์ย่อยตามตัวแปรนั้น ตัวแปรอื่นๆ ทั้งหมดที่รวมอยู่ในฟังก์ชันนี้จะถือเป็นค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น ใน $z\left(xy \right)$ ถ้าเราพิจารณาอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพต่อ $x$ ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่เราเจอ $y$ เราจะถือว่ามันเป็นค่าคงที่และปฏิบัติต่อมันเช่นนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อคำนวณอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ เราสามารถนำ $y$ ออกจากวงเล็บ (เรามีค่าคงที่) และเมื่อคำนวณอนุพันธ์ของผลรวม หากที่ไหนสักแห่งที่เราได้รับอนุพันธ์ของนิพจน์ที่มี $y$ และ ที่ไม่มี $x$ ดังนั้นอนุพันธ์ของนิพจน์นี้จะเท่ากับ "ศูนย์" ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของค่าคงที่
เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าฉันกำลังพูดถึงสิ่งที่ซับซ้อนและนักเรียนหลายคนสับสนในตอนแรก อย่างไรก็ตาม ไม่มีอะไรเหนือธรรมชาติในอนุพันธ์ย่อย และตอนนี้เราจะเห็นสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างของปัญหาเฉพาะ
ปัญหาเกี่ยวกับรากและพหุนาม
งาน #1
เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลาเรามาเริ่มกันตั้งแต่ต้นด้วยตัวอย่างที่จริงจัง
ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณถึงสูตรนี้:
นี่คือค่าตารางมาตรฐานที่เราทราบจากหลักสูตรมาตรฐาน
ในกรณีนี้ อนุพันธ์ $z$ จะถูกคำนวณดังนี้:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]
ลองทำใหม่อีกครั้ง เนื่องจากรูทไม่ใช่ $x$ แต่เป็นนิพจน์อื่น ในกรณีนี้ $\frac(y)(x)$ จากนั้นเราจะใช้ค่าตารางมาตรฐานก่อน จากนั้น เนื่องจากรูทคือ ไม่ใช่ $x $ และอีกนิพจน์หนึ่ง เราต้องคูณอนุพันธ์ของเราด้วยนิพจน์นี้อีกตัวหนึ่งเทียบกับตัวแปรเดียวกัน ก่อนอื่นมาคำนวณสิ่งต่อไปนี้:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]
เรากลับมาที่การแสดงออกของเราและเขียน:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]
โดยพื้นฐานแล้วนั่นคือทั้งหมดที่ อย่างไรก็ตามมันเป็นเรื่องผิดที่จะปล่อยไว้ในรูปแบบนี้: โครงสร้างดังกล่าวไม่สะดวกที่จะใช้สำหรับการคำนวณเพิ่มเติมดังนั้นเรามาเปลี่ยนกันสักหน่อย:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]
พบคำตอบแล้ว ตอนนี้เรามาจัดการกับ $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]
มาเขียนแยกกัน:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
ตอนนี้เราเขียนลงไป:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
เสร็จแล้ว.
งาน #2
ตัวอย่างนี้ทั้งเรียบง่ายและซับซ้อนกว่าตัวอย่างก่อนหน้า มันซับซ้อนกว่าเพราะมีการกระทำมากกว่า แต่มันง่ายกว่าเพราะไม่มีรูท และนอกจากนี้ ฟังก์ชันยังสมมาตรเมื่อเทียบกับ $x$ และ $y$ เช่น ถ้าเราสลับ $x$ และ $y$ สูตรจะไม่เปลี่ยนแปลง หมายเหตุนี้จะทำให้การคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของเราง่ายขึ้น เช่น แค่นับหนึ่งอันก็เพียงพอแล้ว และอันที่สองก็แค่สลับ $x$ และ $y$
มาทำธุรกิจกันเถอะ:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\ไพรม์ ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
มานับกัน:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
อย่างไรก็ตาม นักเรียนหลายคนไม่เข้าใจสัญลักษณ์นี้ ดังนั้นลองเขียนดังนี้:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
ดังนั้นเราจึงมั่นใจอีกครั้งถึงความเป็นสากลของอัลกอริธึมอนุพันธ์บางส่วน: ไม่ว่าเราจะคำนวณมันอย่างไร หากใช้กฎทั้งหมดอย่างถูกต้อง คำตอบก็จะเหมือนเดิม
ตอนนี้เรามาดูอนุพันธ์บางส่วนจากสูตรใหญ่ของเรากันดีกว่า:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสูตรของเราแล้วรับ:
\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ ขวา)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\ซ้าย (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ ซ้าย(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]
จากการนับ $x$ และในการคำนวณ $y$ จากนิพจน์เดียวกัน อย่าทำลำดับการกระทำเดียวกัน แต่ใช้ประโยชน์จากความสมมาตรของนิพจน์ดั้งเดิมของเรา - เราเพียงแค่แทนที่ $y$ ทั้งหมดในนิพจน์ดั้งเดิมของเราด้วย $x$ และในทางกลับกัน:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
เนื่องจากความสมมาตร เราจึงคำนวณนิพจน์นี้ได้เร็วกว่ามาก
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
สำหรับอนุพันธ์ย่อย สูตรมาตรฐานทั้งหมดที่เราใช้สำหรับอนุพันธ์สามัญใช้ได้ผล กล่าวคือ อนุพันธ์ของผลหาร อย่างไรก็ตามในเวลาเดียวกันมีคุณสมบัติเฉพาะเกิดขึ้น: หากเราพิจารณาอนุพันธ์บางส่วนของ $x$ จากนั้นเมื่อเราได้รับจาก $x$ เราจะพิจารณาว่ามันเป็นค่าคงที่และดังนั้นอนุพันธ์ของมันจะเท่ากับ "ศูนย์" .
เช่นเดียวกับในกรณีของอนุพันธ์ทั่วไป ผลหาร (อนุพันธ์เดียวกัน) สามารถคำนวณได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น โครงสร้างเดียวกันกับที่เราเพิ่งคำนวณสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\ไพรม์ ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
ในทางกลับกัน คุณสามารถใช้สูตรจากผลรวมอนุพันธ์ได้ อย่างที่เรารู้ มันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น ลองเขียนดังต่อไปนี้:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
เมื่อทราบทั้งหมดนี้แล้ว เรามาลองใช้นิพจน์ที่จริงจังกว่านี้กัน เนื่องจากอนุพันธ์ย่อยจริงไม่ได้จำกัดอยู่เพียงพหุนามและรากเท่านั้น ยังมีตรีโกณมิติ ลอการิทึม และฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วย ทีนี้เรามาทำสิ่งนี้กันดีกว่า
ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและลอการิทึม
งาน #1
ให้เราเขียนสูตรมาตรฐานต่อไปนี้:
\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
ด้วยความรู้นี้เรามาลองแก้กัน:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ซ้าย (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
ลองเขียนตัวแปรหนึ่งตัวแยกกัน:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
กลับไปที่การออกแบบของเรา:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
เพียงเท่านี้ เราพบว่ามีราคา $x$ ตอนนี้มาคำนวณ $y$ กันดีกว่า:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ซ้าย (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
อีกครั้ง ลองคำนวณหนึ่งนิพจน์:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]
เรากลับสู่นิพจน์ดั้งเดิมและดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
เสร็จแล้ว.
งาน #2
มาเขียนสูตรที่เราต้องการ:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
ทีนี้ลองนับ $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\ไพรม์ ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]
พบในราคา $x$ เรานับด้วย $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]
แก้ไขปัญหา.
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
ดังนั้น ไม่ว่าเราจะหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันใดก็ตาม กฎก็ยังคงเหมือนเดิม ไม่ว่าเราจะทำงานกับตรีโกณมิติ ด้วยรากหรือลอการิทึมก็ตาม
กฎคลาสสิกของการทำงานกับอนุพันธ์มาตรฐานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง ผลหารและฟังก์ชันเชิงซ้อน
สูตรสุดท้ายมักพบเมื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับอนุพันธ์บางส่วน เราพบพวกเขาเกือบทุกที่ ไม่เคยมีงานไหนที่เราไม่เจอเลย แต่ไม่ว่าเราจะใช้สูตรอะไร เรายังคงมีข้อกำหนดเพิ่มเติมอีกประการหนึ่ง กล่าวคือ ลักษณะเฉพาะของการทำงานกับอนุพันธ์บางส่วน เมื่อเราแก้ไขตัวแปรตัวหนึ่งแล้ว ตัวอื่นๆ ทั้งหมดจะเป็นค่าคงที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเราพิจารณาอนุพันธ์บางส่วนของนิพจน์ $\cos \frac(x)(y)$ เทียบกับ $y$ แล้ว $y$ จะเป็นตัวแปร และ $x$ ยังคงเป็นค่าคงที่ทุกที่ สิ่งเดียวกันทำงานในทางกลับกัน สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของค่าคงที่นั้นจะเท่ากับ "ศูนย์"
ทั้งหมดนี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าอนุพันธ์บางส่วนของนิพจน์เดียวกัน แต่เมื่อพิจารณาจากตัวแปรที่ต่างกัน อาจดูแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น ลองดูที่นิพจน์ต่อไปนี้:
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม
งาน #1
ขั้นแรกให้เขียนสูตรต่อไปนี้:
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]
เมื่อรู้ข้อเท็จจริงนี้แล้วลองคำนวณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนกันดีกว่า ตอนนี้ผมจะแก้มันด้วยสองวิธีที่แตกต่างกัน สิ่งแรกและชัดเจนที่สุดคืออนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
มาแก้นิพจน์ต่อไปนี้แยกกัน:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
เรากลับไปสู่การออกแบบดั้งเดิมของเราและดำเนินการแก้ไขปัญหาต่อไป:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]
ทุกอย่าง $x$ ถูกคำนวณแล้ว
อย่างไรก็ตาม ตามที่ผมสัญญาไว้ ตอนนี้เราจะพยายามคำนวณอนุพันธ์ย่อยที่เหมือนกันนี้ด้วยวิธีที่แตกต่างออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบสิ่งต่อไปนี้:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]
มาเขียนแบบนี้:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]
เป็นผลให้เราได้รับคำตอบเดียวกันทุกประการ แต่จำนวนการคำนวณกลับน้อยลง ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบว่าเมื่อใช้งานผลิตภัณฑ์ สามารถเพิ่มตัวบ่งชี้ได้
ทีนี้ลองนับด้วย $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(ป)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]
มาแก้สำนวนหนึ่งแยกกัน:
\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
มาแก้ไขการก่อสร้างดั้งเดิมของเราต่อไป:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
แน่นอนว่า อนุพันธ์เดียวกันนี้สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีที่สอง และคำตอบก็จะเหมือนเดิม
งาน #2
ลองนับ $x$:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]
มาคำนวณหนึ่งนิพจน์แยกกัน:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
มาแก้ไขโครงสร้างเดิมต่อไป: $$
นี่คือคำตอบ
ยังคงค้นหาโดยการเปรียบเทียบโดยใช้ $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]
และเช่นเคย เราจะคำนวณนิพจน์หนึ่งรายการแยกกัน:
\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\ไพรม์ ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]
เราดำเนินการแก้ไขการออกแบบพื้นฐานต่อไป:
ทุกอย่างได้รับการคำนวณแล้ว อย่างที่คุณเห็น คำตอบจะแตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ใช้ในการสร้างความแตกต่าง
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
นี่เป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของวิธีการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดียวกันในสองวิธีที่แตกต่างกัน ดูนี่:
\[((((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ ซ้าย(1+\frac(1)(y) \right)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( จ)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]
เมื่อเลือกเส้นทางที่แตกต่างกันปริมาณการคำนวณอาจแตกต่างกัน แต่คำตอบหากทำทุกอย่างถูกต้องจะเท่ากัน สิ่งนี้ใช้ได้กับอนุพันธ์ทั้งแบบคลาสสิคและแบบบางส่วน ในเวลาเดียวกัน ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่อนุพันธ์ถูกนำมาใช้ เช่น ความแตกต่างคำตอบอาจแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ดู:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cดอท 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cดอท 1\]
โดยสรุป เพื่อรวมเนื้อหาทั้งหมดนี้ เรามาลองคำนวณอีกสองตัวอย่างกัน
ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันที่มีตัวแปร 3 ตัว
งาน #1
ลองเขียนสูตรต่อไปนี้:
\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]
ตอนนี้เรามาแก้นิพจน์ของเรากัน:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
มาคำนวณการก่อสร้างต่อไปนี้แยกกัน:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ ซ้าย(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
เรายังคงแก้ไขนิพจน์ดั้งเดิมต่อไป:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
นี่คือการตอบสนองขั้นสุดท้ายของตัวแปรส่วนตัวบน $x$ ทีนี้ลองนับด้วย $y$:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
มาแก้สำนวนหนึ่งแยกกัน:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ ซ้าย(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
มาแก้ไขการก่อสร้างของเราจนจบ:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
งาน #2
เมื่อมองแวบแรก ตัวอย่างนี้อาจดูค่อนข้างซับซ้อนเนื่องจากมีตัวแปรสามตัว อันที่จริง นี่เป็นหนึ่งในงานที่ง่ายที่สุดในวิดีโอสอนวันนี้
ค้นหาโดย $x$:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\ไพรม์ ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
ตอนนี้เรามาจัดการกับ $y$:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\ซ้าย (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]
เราได้พบคำตอบแล้ว
ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือค้นหาโดย $z$:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\ไพรม์ ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((อี)^(z))\]
เราได้คำนวณอนุพันธ์อันดับสามแล้ว ซึ่งช่วยแก้ปัญหาข้อที่สองได้สำเร็จ
ความแตกต่างของการแก้ปัญหา
อย่างที่คุณเห็น ไม่มีอะไรซับซ้อนในสองตัวอย่างนี้ สิ่งเดียวที่เรามั่นใจคือมีการใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนบ่อยครั้ง และคำตอบก็ต่างกันขึ้นอยู่กับอนุพันธ์ย่อยที่เราคำนวณ
ในงานสุดท้าย เราถูกขอให้จัดการกับฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวพร้อมกัน ไม่มีอะไรผิดปกติในเรื่องนี้ แต่ท้ายที่สุดแล้ว เราก็เชื่อมั่นว่าสิ่งเหล่านี้มีความแตกต่างกันอย่างมาก
ประเด็นสำคัญ
ประเด็นสุดท้ายจากวิดีโอสอนวันนี้มีดังนี้:
- อนุพันธ์บางส่วนคำนวณในลักษณะเดียวกับอนุพันธ์ทั่วไป แต่ในการคำนวณอนุพันธ์บางส่วนด้วยความเคารพต่อตัวแปรตัวหนึ่ง เราจะนำตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดที่รวมอยู่ในฟังก์ชันนี้เป็นค่าคงที่
- เมื่อทำงานกับอนุพันธ์ย่อย เราใช้สูตรมาตรฐานเดียวกันกับอนุพันธ์ทั่วไป ได้แก่ ผลรวม ผลต่าง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหาร และแน่นอนว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน
แน่นอนว่าการดูบทเรียนวิดีโอนี้เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะเข้าใจหัวข้อนี้อย่างถ่องแท้ ดังนั้นตอนนี้บนเว็บไซต์ของฉันจึงมีปัญหามากมายสำหรับวิดีโอนี้ที่เน้นไปที่หัวข้อของวันนี้โดยเฉพาะ - เข้าไป ดาวน์โหลด แก้ไขปัญหาเหล่านี้และตรวจสอบคำตอบ . และหลังจากนี้คุณจะไม่มีปัญหากับอนุพันธ์บางส่วนทั้งในการสอบหรือในงานอิสระ แน่นอนว่านี่ไม่ใช่บทเรียนสุดท้ายในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ดังนั้นเยี่ยมชมเว็บไซต์ของเรา เพิ่ม VKontakte สมัครสมาชิก YouTube ถูกใจและอยู่กับเรา!
