อนุพันธ์ที่ซับซ้อนสำหรับหุ่น ค้นหาอนุพันธ์: อัลกอริทึมและตัวอย่างของการแก้ปัญหา ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคืออะไร

จำได้ง่ายมาก

มากันเถอะอย่าไปไกลเราจะพิจารณาฟังก์ชั่นย้อนกลับทันที ฟังก์ชั่นใดที่เป็นฟังก์ชั่นสำหรับฟังก์ชั่นบ่งชี้? ลอการิทึม:

ในกรณีของเราพื้นฐานคือจำนวน:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และสำหรับมันเราใช้การกำหนดพิเศษ: แทนที่จะเขียน

เท่าไหร่เท่าไหร่? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมากเช่นกัน:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ
2. ฟังก์ชั่นที่ได้รับเท่ากันคืออะไร?

คำตอบ: ผู้เข้าร่วมงานและลอการิทึมธรรมชาติ - ฟังก์ชั่นนั้นง่ายไม่ซ้ำกันจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นการแลกเปลี่ยนและลอการิทึมที่มีฐานอื่น ๆ จะมีอนุพันธ์อื่นซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังกับคุณหลังจากผ่านกฎความแตกต่าง

กฎความแตกต่าง

กฎอะไร อีกครั้งเทอมใหม่อีกครั้งหรือไม่! ...

ความแตกต่าง - นี่คือกระบวนการในการค้นหาอนุพันธ์

เท่านั้นและทุกอย่าง และวิธีการที่จะตั้งชื่อกระบวนการนี้ในคำเดียว? ไม่ใช่การผลิตของ ... ความแตกต่างของคณิตศาสตร์เรียกว่าการเพิ่มฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นมากที่สุด คำนี้เกิดขึ้นจากละตินแตกต่างกัน - ความแตกต่าง ที่นี่

เมื่อแสดงกฎเหล่านี้ทั้งหมดเราจะใช้สองฟังก์ชั่นตัวอย่างเช่นและ เราจะต้องใช้สูตรสำหรับการเพิ่มขึ้นของพวกเขา:

รวมมี 5 กฎ

ค่าคงที่ทำจากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่บางอย่าง (คงที่) แล้ว

เห็นได้ชัดว่ากฎนี้ทำงานเพื่อความแตกต่าง:.

เราพิสูจน์ ปล่อยให้หรือง่ายขึ้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ:

1. ณ จุด;
2. ณ จุด;
3. ณ จุด;
4. ที่จุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์นั้นเหมือนกันในทุกจุดเนื่องจากนี่คือฟังก์ชั่นเชิงเส้นจำได้หรือไม่);

ผลงานที่ได้รับ

ที่นี่ทุกอย่างคล้ายกัน: เราแนะนำฟังก์ชั่นใหม่และค้นหาการเพิ่มขึ้นของมัน:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นและ;
2. ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์ที่จุด

โซลูชั่น:

ฟังก์ชั่นตัวบ่งชี้อนุพันธ์

ตอนนี้ความรู้ของคุณเพียงพอที่จะเรียนรู้วิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่บ่งบอกใด ๆ และไม่ใช่แค่ผู้แสดงสินค้า (ไม่ลืมว่ามันคืออะไร)

ดังนั้นจำนวนที่อยู่ที่ไหน

เรารู้ว่าฟังก์ชั่นอนุพันธ์แล้วดังนั้นลองนำฟังก์ชั่นของเราไปสู่ฐานใหม่:

ในการทำเช่นนี้เราใช้กฎง่าย ๆ :. จากนั้น:

มันเปิดออก ตอนนี้พยายามหาอนุพันธ์และอย่าลืมว่าคุณสมบัตินี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรกลายเป็นคล้ายกันมากกับการจัดแสดงตราอนุพันธ์: ตามที่เป็นอยู่มันยังคงมีเพียงตัวคูณที่ปรากฏซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถนับได้หากไม่มีเครื่องคิดเลขนั่นคืออย่าบันทึกในรูปแบบที่ง่ายกว่า ดังนั้นในการตอบสนองในรูปแบบนี้และออกไป

โปรดทราบว่ามีสองฟังก์ชั่นส่วนตัวที่นี่ดังนั้นจึงใช้กฎความแตกต่างที่เหมาะสม:

ในตัวอย่างนี้ผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชั่น:

ฟังก์ชั่นลอการิทึมลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่คล้ายกัน: คุณรู้ว่าอนุพันธ์จากลอการิทึมตามธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้นเพื่อหาแบบแยกทางจากลอการิทึมด้วยเหตุผลอื่นเช่น:

คุณต้องนำลอการิทึมนี้ไปยังฐาน และวิธีการเปลี่ยนพื้นฐานของลอการิทึม? ฉันหวังว่าคุณจำสูตรนี้:

ตอนนี้ แต่เราจะเขียน:

ในตัวหารมันกลับกลายเป็นค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์นั้นง่ายมาก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่บ่งชี้และลอการิทึมแทบจะไม่พบในการสอบ แต่มันจะไม่ฟุ่มเฟือยที่จะรู้จักพวกเขา

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

"ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่มันไม่ใช่ลอการิทึมและไม่ใช่ Arcthangence ฟังก์ชั่นเหล่านี้สามารถซับซ้อนสำหรับความเข้าใจ (แม้ว่าหากลอการิทึมดูเหมือนว่าคุณยากอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" และทุกอย่างจะผ่านไป) แต่จากมุมมองของคณิตศาสตร์คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งอยู่และมีการกระทำบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่นชิ้นแรกที่ห่อช็อคโกแลตในเสื้อคลุมและที่สองหมายถึงมันด้วยริบบิ้น ปรากฎว่าวัตถุสำคัญดังกล่าว: ช็อคโกแลตห่อและเรียงรายไปด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อคโกแลตคุณต้องทำแบบย้อนกลับในลำดับย้อนกลับ

มาสร้างสายพานลำเลียงทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกัน: ก่อนอื่นเราจะพบโคไซน์ของจำนวนแล้วหมายเลขผลลัพธ์ที่จะสร้างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นเราให้หมายเลข (ช็อคโกแลต) ฉันพบโคไซน์ของเขา (ห่อ) แล้วคุณจะถูกสร้างขึ้นโดยสิ่งที่ฉันทำในตาราง (ผูกกับริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น? ฟังก์ชั่น. นี่เป็นตัวอย่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน: เมื่อใดที่จะค้นหาความหมายของมันเราทำการกระทำแรกโดยตรงกับตัวแปรและจากนั้นการกระทำอื่นกับสิ่งที่เกิดขึ้นจากสิ่งแรก

ในคำอื่น ๆ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเป็นฟังก์ชั่นอาร์กิวเมนต์ที่เป็นคุณสมบัติอื่น: .

สำหรับตัวอย่างของเรา

เราสามารถดำเนินการเดียวกันอย่างสมบูรณ์และในลำดับย้อนกลับ: ก่อนอื่นคุณจะถูกสร้างขึ้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วฉันกำลังมองหาโคไซน์ของจำนวนผลลัพธ์:. มันง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างกันเกือบตลอดเวลา คุณสมบัติที่สำคัญของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน: เมื่อการเปลี่ยนแปลงขั้นตอนการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชั่น

ตัวอย่างที่สอง: (เหมือนกัน) .

การกระทำที่เราทำหลังจะโทร ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำที่ดำเนินการครั้งแรกตามลำดับ ฟังก์ชั่น "ภายใน" (เหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการฉันใช้เพียงเพื่ออธิบายเนื้อหาในภาษาง่าย ๆ เท่านั้น)

พยายามระบุตัวเองว่าฟังก์ชั่นใดที่อยู่ภายนอกและภายใน:

คำตอบ:การแยกของฟังก์ชั่นภายในและภายนอกคล้ายกับการเปลี่ยนตัวแปร: ตัวอย่างเช่นในการทำงาน

1. ก่อนอื่นเราจะทำการกระทำอะไร ก่อนอื่นให้พิจารณาไซนัส แต่ก็สร้างขึ้นในลูกบาศก์เท่านั้น ดังนั้นฟังก์ชั่นภายในและภายนอก
   และฟังก์ชั่นเริ่มต้นคือองค์ประกอบของพวกเขา:.
2. ภายใน:; ภายนอก:.
   ตรวจสอบ:.
3. ภายใน:; ภายนอก:.
   ตรวจสอบ:.
4. ภายใน:; ภายนอก:.
   ตรวจสอบ:.
5. ภายใน:; ภายนอก:.
   ตรวจสอบ:.

เราผลิตตัวแปรทดแทนและรับฟังก์ชั่น

ตอนนี้เราจะสกัดช็อคโกแลตช็อคโกแลตของเรา - ค้นหาอนุพันธ์ ขั้นตอนการย้อนกลับเสมอ: ครั้งแรกที่เรากำลังมองหาอนุพันธ์ฟังก์ชั่นภายนอกจากนั้นทวีคูณผลลัพธ์ของการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายใน เกี่ยวกับตัวอย่างต้นฉบับดูเหมือนว่านี้:

ตัวอย่างอื่น:

ดังนั้นในที่สุดเราก็กำหนดกฎอย่างเป็นทางการ:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

ดูเหมือนว่าทุกอย่างนั้นง่ายใช่มั้ย

ตรวจสอบตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน:;

ภายนอก:;

2) ภายใน:;

(ไม่คิดว่าตอนนี้จะตัด! จากใต้โคไซน์ไม่มีอะไรทำจำได้หรือไม่)

3) ภายใน:;

ภายนอก:;

มันชัดเจนทันทีว่าที่นี่ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนสามระดับ: หลังจากทั้งหมดมันเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอยู่แล้วและยังคงถอดรากออกจากมันนั่นคือเราดำเนินการที่สาม (ช็อคโกแลตใน wrapper และด้วย ริบบิ้นใส่ในพอร์ตโฟลิโอ) แต่ไม่มีเหตุผลที่จะต้องกลัว: "แกะ" เหมือนกันทั้งหมดนี้ฟังก์ชั่นนี้จะอยู่ในลำดับเดียวกันตามปกติ: จากจุดสิ้นสุด

นั่นคือก่อนใช้รูทแล้วโคไซน์และจากนั้นแสดงออกในวงเล็บ แล้วตัวแปรทั้งหมดนี้ทั้งหมด

ในกรณีเช่นนี้มันสะดวกในการดำเนินการหมายเลข นั่นคือจินตนาการว่าเราเป็นที่รู้จัก เราจะดำเนินการอะไรในการคำนวณค่าของนิพจน์นี้ เราจะตรวจสอบตัวอย่าง:

ในภายหลังการดำเนินการจะเกิดขึ้นยิ่ง "ภายนอก" ยิ่งเป็นฟังก์ชั่นที่สอดคล้องกัน ลำดับของการกระทำ - เหมือนก่อน:

นี่คือการทำรังโดยทั่วไป 4 ระดับ ลองกำหนดขั้นตอนกัน

1. การแสดงออกที่ถูกบังคับ .

2. ราก .

3. ไซนัส .

4. สแควร์ .

5. เรารวบรวมทุกอย่างในพวง:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ฟังก์ชั่นที่ได้รับมา - อัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชั่นต่อการเพิ่มขึ้นของการโต้แย้งด้วยการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของการโต้แย้ง:

อนุพันธ์ขั้นพื้นฐาน:

กฎความแตกต่าง:

ค่าคงที่ทำเพื่อสัญลักษณ์ของอนุพันธ์:

จำนวนเงินที่ได้รับ:

งานผลิต:

อนุพันธ์ส่วนตัว:

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชั่น "ภายใน" เราพบว่าอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชั่น "ภายนอก" เราพบว่าอนุพันธ์ของมัน
3. ทวีคูณผลลัพธ์ของรายการแรกและรายการที่สอง

ฟังก์ชั่นของสายพันธุ์ที่ซับซ้อนไม่ได้เรียกว่าคำว่า "ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน" อย่างถูกต้องอย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่นมันดูน่าประทับใจมาก แต่คุณสมบัตินี้ไม่ยากซึ่งแตกต่างจาก

ในบทความนี้เราจะจัดการกับแนวคิดของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเรียนรู้ที่จะระบุในองค์ประกอบของฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาเราจะให้สูตรสำหรับการค้นหามันเป็นอนุพันธ์และพิจารณาในรายละเอียดการแก้ปัญหาของตัวอย่างลักษณะ

เมื่อแก้ตัวอย่างเราจะใช้กฎอนุพันธ์และกฎความแตกต่างอย่างต่อเนื่องดังนั้นให้พวกเขาต่อหน้าต่อตาคุณ

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน - นี่คือฟังก์ชั่นการโต้แย้งที่ยังเป็นฟังก์ชั่น

จากมุมมองของเราคำจำกัดความนี้ชัดเจนที่สุด เงื่อนไขสามารถแสดงเป็น f (g (x)) นั่นคือ g (x) ตามที่เป็นฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ f (g (x))

ตัวอย่างเช่นให้ F เป็นฟังก์ชั่นของ Arctangent และ G (x) \u003d LNX เป็นฟังก์ชั่นของลอการิทึมธรรมชาติจากนั้นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน F (G (x)) คือ ARCTG (LNX) อีกตัวอย่างหนึ่ง: F - ฟังก์ชั่นของระดับที่สี่และ - ฟังก์ชั่นเหตุผลทั้งหมด (ดู) แล้ว .

ในทางกลับกัน G (x) อาจเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่น, . เงื่อนไขการแสดงออกดังกล่าวสามารถกำหนดได้ว่าเป็น . ที่นี่ F - ฟังก์ชั่นไซนัส - ฟังก์ชั่นของการสกัดของรากสแควร์ - ฟังก์ชั่นเหตุผลเศษส่วน มันเป็นเรื่องจริงที่จะสมมติว่าระดับของการทำรังภูมิคุ้มกันสามารถเป็นจำนวนธรรมชาติที่ จำกัด

บ่อยครั้งที่คุณสามารถได้ยินได้ว่าฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเรียกว่า องค์ประกอบของฟังก์ชั่น

สูตรสำหรับการค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

ตัวอย่าง.

ค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

การตัดสินใจ

ในตัวอย่างนี้ F - ฟังก์ชั่นการก่อสร้างของสแควร์และ G (x) \u003d 2x + 1 เป็นฟังก์ชั่นเชิงเส้น

นี่คือโซลูชันรายละเอียดโดยใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

ลองค้นหาอนุพันธ์นี้กันก่อนทำให้ฟังก์ชั่นต้นทางง่ายขึ้น

ดังนั้น

อย่างที่คุณเห็นผลลัพธ์ตรง

พยายามที่จะไม่สับสนฟังก์ชั่นอะไรคือ f และ g (x)

ให้เราอธิบายตัวอย่างสำหรับความใส่ใจ

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและ

การตัดสินใจ

ในกรณีแรก F - นี่คือฟังก์ชั่นของการก่อสร้างของสแควร์และ g (x) เป็นฟังก์ชั่นไซนัสดังนั้น
.

ในกรณีที่สอง F คือฟังก์ชั่นของไซนัสและฟังก์ชั่นกำลัง ดังนั้นโดยสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนที่เรามี

อนุพันธ์สูตรสำหรับฟังก์ชั่นมีแบบฟอร์ม

ตัวอย่าง.

ฟังก์ชั่นที่แตกต่าง .

การตัดสินใจ

ในตัวอย่างนี้ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนสามารถเขียนเป็นเงื่อนไขได้เป็น , ที่ไหน - ฟังก์ชั่นไซนัส, ฟังก์ชั่นการก่อสร้างจนถึงระดับที่สามฟังก์ชั่นลอการิทึมสำหรับฐาน e, ฟังก์ชั่นของการจับภาพของ arctgennes และฟังก์ชั่นเชิงเส้นตามลำดับ

โดยสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

พบตอนนี้

เรารวบรวมผลลัพธ์ระดับกลางด้วยกัน:

ไม่มีอะไรแย่มากถอดประกอบฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเป็น Matryoshki

มันจะเป็นไปได้ที่จะเสร็จสิ้นบทความนี้ถ้ามันไม่ ...

ขอแนะนำให้เข้าใจอย่างชัดเจนเมื่อใช้กฎความแตกต่างและตารางอนุพันธ์และเมื่อสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์.

ตอนนี้ระมัดระวังเป็นพิเศษ เราจะพูดถึงความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นของมุมมองที่ซับซ้อนจากฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน จากจำนวนที่คุณเห็นความแตกต่างนี้และความสำเร็จจะขึ้นอยู่กับเมื่อพบอนุพันธ์

เริ่มต้นด้วยตัวอย่างง่ายๆ ฟังก์ชั่น ถือได้ว่าเป็นคอมเพล็กซ์: g (x) \u003d TGX . ดังนั้นคุณสามารถใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์ได้ทันที

แต่ฟังก์ชั่น ไม่สามารถเรียกชื่อได้ยาก

คุณสมบัตินี้คือผลรวมของสามฟังก์ชั่น 3TGX และ 1 แม้ว่ามันจะเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน: - ฟังก์ชั่นพลังงาน (Parabola กำลังสอง) และ F เป็นฟังก์ชั่นของสัมผัส ดังนั้นก่อนอื่นใช้จำนวนสูตรความแตกต่าง:

มันยังคงที่จะหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

ดังนั้น.

เราหวังว่าสาระสำคัญที่คุณจับได้

หากคุณดูกันอย่างแพร่หลายมันอาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าฟังก์ชั่นของสปีชีส์ที่ซับซ้อนสามารถรวมอยู่ในฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนสามารถประกอบไปด้วยฟังก์ชั่นของสายพันธุ์ที่ซับซ้อน

เป็นตัวอย่างเราจะวิเคราะห์ฟังก์ชั่นชิ้นส่วนส่วนประกอบ .

ประการแรกนี่เป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนที่สามารถแสดงในรูปแบบที่ F คือฟังก์ชั่นลอการิทึมตาม 3 และ g (x) คือผลรวมของสองฟังก์ชั่น และ . i.e, .

ประการที่สองใช้ฟังก์ชั่น H (x) มันเป็นทัศนคติที่จะ .

นี่คือผลรวมของสองฟังก์ชั่นและ ที่ไหน - ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนพร้อมสัมประสิทธิ์ตัวเลข 3 - ฟังก์ชั่นการก่อสร้างในลูกบาศก์เป็นฟังก์ชั่นโคไซน์ - ฟังก์ชั่นเชิงเส้น

นี่คือผลรวมของสองฟังก์ชั่นและที่ไหน - ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน - ฟังก์ชั่นของเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชั่นกำลังไฟ

ทางนี้, .

ประการที่สามไปที่ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน และฟังก์ชั่นเหตุผลทั้งหมด

ฟังก์ชัน runoff เป็นฟังก์ชั่นลอการิทึมตาม E.

ดังนั้น.

สรุปแล้ว:

ตอนนี้โครงสร้างโครงสร้างมีความชัดเจนและกลายเป็นสูตรที่มองเห็นได้ซึ่งและลำดับที่จะนำไปใช้ในระหว่างการสร้างความแตกต่าง

ในส่วนความแตกต่างของฟังก์ชั่น (ค้นหาอนุพันธ์) คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับการแก้ปัญหาของงานดังกล่าว

ตัวอย่างของการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

ดูสิ่งนี้ด้วย: หลักฐานของสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

สูตรพื้นฐาน

ที่นี่เราให้ตัวอย่างของการคำนวณอนุพันธ์จากฟังก์ชั่นต่อไปนี้:
; ; ; ; .

หากฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในรูปแบบต่อไปนี้:
,
มันถูกกำหนดโดยอนุพันธ์โดยสูตร:
.
ในตัวอย่างด้านล่างเราจะบันทึกสูตรนี้ดังนี้:
.
ที่ไหน.
ต่อไปนี้เป็นดัชนีที่ต่ำกว่าหรือตั้งอยู่ใต้สัญลักษณ์ของอนุพันธ์แสดงตัวแปรที่แสดงความแตกต่าง

โดยปกติในตารางของอนุพันธ์อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นจากตัวแปร x จะได้รับ อย่างไรก็ตาม X เป็นพารามิเตอร์อย่างเป็นทางการ ตัวแปร x สามารถแทนที่ด้วยตัวแปรอื่น ๆ ดังนั้นเมื่อสร้างความแตกต่างของฟังก์ชั่นจากตัวแปรเราเพียงแค่เปลี่ยนในตารางของอนุพันธ์ตัวแปร x เป็นตัวแปร U

ตัวอย่างง่าย ๆ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน
.

เราเขียนฟังก์ชั่นที่ระบุในรูปแบบที่เทียบเท่า:
.
ในตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
;
.

โดยสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์เรามี:
.
ที่นี่

ตัวอย่างที่ 2

หาอนุพันธ์
.

เราดำเนินการถาวร 5 ต่อสัญญาณของอนุพันธ์และจากตารางของอนุพันธ์ที่เราพบ:
.

.
ที่นี่

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์
.

เราทนถาวร -1 สำหรับสัญลักษณ์ของอนุพันธ์และจากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
;
จากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
.

ใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:
.
ที่นี่

ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นเราใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนหลายครั้ง ในเวลาเดียวกันเราคำนวณอนุพันธ์จากจุดสิ้นสุด นั่นคือเราแบ่งฟังก์ชั่นไปยังส่วนประกอบและค้นหาอนุพันธ์ของชิ้นส่วนที่ง่ายที่สุดโดยใช้ อนุพันธ์ของตาราง . เรายังใช้ กฎความแตกต่างของผลรวม งานและเศษส่วน จากนั้นทำการทดแทนและใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์
.

เราเน้นส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรและค้นหาอนุพันธ์ .

.
ที่นี่เราใช้การกำหนด
.

เราพบว่าอนุพันธ์ของส่วนต่อไปของฟังก์ชั่นต้นทางโดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ ใช้กฎความแตกต่างของจำนวนเงิน:
.

อีกครั้งเราใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

.
ที่นี่

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์
.

เราเน้นส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรและจากตารางของอนุพันธ์เราจะพบอนุพันธ์ .

ใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน
.
ที่นี่
.

แยกความแตกต่างส่วนต่อไปนี้โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ
.
ที่นี่
.

แยกความแตกต่างในส่วนต่อไปนี้

.
ที่นี่
.

ตอนนี้เราพบว่าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ต้องการ

.
ที่นี่
.

เมื่อคุณมาที่นี่แล้วมันอาจมีเวลาที่จะเห็นสูตรนี้ในตำราเรียน

และเพื่อให้บุคคลดังกล่าว:

เพื่อนไม่ต้องกังวล! ในความเป็นจริงทุกอย่างง่ายต่อการขายหน้า คุณจะเข้าใจทุกอย่างแน่นอน คำขอเดียวเท่านั้น - อ่านบทความ ช้าพยายามทำความเข้าใจทุกขั้นตอน ฉันเขียนง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และชัดเจน แต่ฉันต้องคายเป็นความคิด และให้แน่ใจว่าได้แก้ปัญหาของบทความ

ฟังก์ชั่นที่ยากคืออะไร?

ลองนึกภาพว่าคุณย้ายไปยังอพาร์ตเมนต์อื่นและดังนั้นจึงรวบรวมสิ่งต่าง ๆ ในกล่องขนาดใหญ่ ปล่อยให้จำเป็นต้องรวบรวมรายการย่อยใด ๆ เช่นอุปกรณ์เสริมที่เขียนโรงเรียน หากคุณแค่โยนลงในกล่องขนาดใหญ่พวกเขาจะหลงทางท่ามกลางสิ่งอื่น ๆ เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้คุณใส่พวกเขาก่อนในแพ็คเกจซึ่งจะวางในกล่องขนาดใหญ่แล้วปิดผนึก กระบวนการ "ที่ยากที่สุด" นี้แสดงในแผนภาพด้านล่าง:

ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์อยู่ที่ไหน ใช่แม้จะมีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนนั้นเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกัน! "แพ็ค" เท่านั้นเราไม่ใช่โน้ตบุ๊คและจัดการและ \\ (x \\) ด้วย "แพ็คเกจ" และ "กล่อง" แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่นใช้ x และ "หมุน" ไปยังฟังก์ชั่น:

เป็นผลให้เราได้ชัดเจน \\ (\\ cos\u2061x \\) นี่คือ "แพ็คเกจของเรากับสิ่งต่าง ๆ " ตอนนี้ใส่ไว้ใน "กล่อง" - เราบรรจุตัวอย่างเช่นในการทำงานของลูกบาศก์

เกิดอะไรขึ้นในที่สุด? ใช่มันเป็นเรื่องจริงที่จะมี "แพ็คเกจกับสิ่งต่าง ๆ ในกล่อง" นั่นคือ "Cosinus Iksa ในคิวบา"

การออกแบบที่เกิดขึ้นเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน มันแตกต่างจากสิ่งง่าย ๆ ที่ หลาย "อิทธิพล" (แพ็คเกจ) ในแถวที่ใช้กับหนึ่ง ICSU และปรากฎว่า "ฟังก์ชั่นฟังก์ชั่น" - "บรรจุภัณฑ์ในแพ็คเกจ"

ในปีการศึกษาของสายพันธุ์ของแพ็คเกจ "มากที่สุดเหล่านี้ค่อนข้างน้อยสี่:

ตอนนี้ "แพ็ค" IX เป็นครั้งแรกในฟังก์ชั่นบ่งบอกถึงฐาน 7 แล้วในฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราได้รับ:

\\ (x → 7 ^ x →tg\u2061 (7 ^ x) \\)

และตอนนี้ "แพ็ค" x สองครั้งในฟังก์ชั่นตรีโกณมิติครั้งแรกในแล้วใน:

\\ (x →sin\u2061x→ctg\u2061 (sin\u2061x) \\)

พูดง่ายๆ?

เขียนตอนนี้ฟังก์ชั่นตัวเองโดยที่ x:
- ครั้งแรก "บรรจุ" ลงในโคไซน์แล้วในฟังก์ชั่นบ่งบอกถึงฐาน \\ (3 \\);
- อันดับแรกในระดับที่ห้าแล้วสัมผัสกัน
- ก่อนในลอการิทึมตามฐาน \\ (4 \\) จากนั้นถึงระดับ \\ (- 2 \\)

คำตอบสำหรับงานนี้ดูที่ส่วนท้ายของบทความ

เราสามารถ "แพ็ค" ไม่ใช่สอง "แพ็ค" และสามครั้ง? ไม่มีปัญหา! และสี่และห้าและยี่สิบห้าครั้ง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นที่ X คือ "บรรจุ" \\ (4 \\) ครั้ง:

\\ (y \u003d 5 ^ (\\ log_2\u2061 (\\ sin\u2061 (x ^ 4))) \\)

แต่สูตรดังกล่าวในการฝึกโรงเรียนจะไม่พบ (นักเรียนมีโชคดีกว่า - พวกเขาสามารถซับซ้อนมากขึ้น)

ฟังก์ชั่น "เปิดออก" ที่ซับซ้อน

ดูคุณสมบัติก่อนหน้านี้อีกครั้ง คุณสามารถหาลำดับของ "บรรจุภัณฑ์" ได้หรือไม่? สิ่งที่ x ถูกยัดเป็นอันดับแรกอะไรและเป็นต้นไปจนถึงที่สุด นั่นคือ - มีการลงทุนฟังก์ชั่นอะไรบ้าง? นำใบไม้และเขียนตามที่คุณคิด คุณสามารถทำให้ห่วงโซ่กับลูกศรได้ตามที่เราเขียนไว้ข้างต้นหรือด้วยวิธีอื่น

ตอนนี้คำตอบที่ถูกต้องคือ: ตอนแรก IKS "บรรจุ" ใน \\ (4 \\) - ระดับนี้ผลลัพธ์ถูกบรรจุในไซนัสในทางกลับกันพวกเขาถูกวางไว้ในลอการิทึมบนพื้นฐานของ \\ (2 \\) และ ในท้ายที่สุดการออกแบบทั้งหมดนี้ติดอยู่ในระดับห้า

นั่นคือมันเป็นสิ่งจำเป็นในการผ่อนคลายลำดับในลำดับย้อนกลับ จากนั้นเคล็ดลับวิธีการทำง่ายขึ้น: ดู X - จากเขาทันทีและจำเป็นต้องเต้น ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างเช่นนี่เป็นฟังก์ชั่น: \\ (y \u003d tg\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\) เราดูที่ x - เกิดอะไรขึ้นกับเขาก่อน? ใช้เวลาจากเขา แล้วเหรอ? สัมผัสกันจากผลลัพธ์ ที่นี่และลำดับจะเหมือนกัน:

\\ (x → \\ log_2\u2061x→tg\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\)

อีกตัวอย่างหนึ่ง: \\ (y \u003d \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\) เราวิเคราะห์ - ตอนแรก X ได้รับการยกระดับให้กับลูกบาศก์แล้วโคไซน์ก็ถูกนำมาจากผลลัพธ์ ดังนั้นลำดับจะเป็น: \\ (x → x ^ 3 → \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\) ให้ความสนใจฟังก์ชั่นดูเหมือนว่าจะคล้ายกับที่แรก (ที่มีรูปภาพ) แต่นี่เป็นฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันอย่างสมบูรณ์: ที่นี่ในคิวบา x (เช่น \\ cos\u2061 ((x · x · x))) \\) และที่นั่นในคิวบา Kosinus \\ (x \\) (นั่นคือ \\ (นั่นคือ \\ (\\ cos \u2061 x · \\ cos\u2061x· \\ cos\u2061x \\)) ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นเนื่องจากลำดับที่แตกต่างกันของ "บรรจุภัณฑ์"

ตัวอย่างสุดท้าย (พร้อมข้อมูลสำคัญในนั้น): \\ (y \u003d \\ sin\u2061 ((2x + 5)) \\) เป็นที่ชัดเจนว่าการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่มี X เป็นครั้งแรกที่ทำที่นี่จากนั้นไซนัสก็มาจากผลลัพธ์: \\ (x → 2x + 5 → \\ sin\u2061 ((2x + 5)) \\) และนี่เป็นประเด็นสำคัญ: แม้จะมีความจริงที่ว่าการกระทำทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติตัวเองไม่ใช่ที่นี่พวกเขายังทำหน้าที่เป็นวิธีการ "บรรจุภัณฑ์" ไปลึกซึ้งในความละเอียดอ่อนนี้

อย่างที่ฉันบอกข้างต้นในฟังก์ชั่นง่าย ๆ ของ x "บรรจุ" ครั้งเดียวและในที่ยาก - สองหรือมากกว่านั้น ในกรณีนี้การรวมกันของฟังก์ชั่นง่าย ๆ (นั่นคือผลรวมของพวกเขาความแตกต่างการคูณหรือการหาร) เป็นฟังก์ชั่นที่เรียบง่าย ตัวอย่างเช่น \\ (x ^ 7 \\) เป็นฟังก์ชั่นง่าย ๆ และ \\ (ctg x \\) - เช่นกัน ดังนั้นการรวมกันทั้งหมดของพวกเขาคือฟังก์ชั่นที่เรียบง่าย:

\\ (x ^ 7 + ctg x \\) เป็นเรื่องง่าย
\\ (x ^ 7 · ctg x \\) - ง่าย
\\ (\\ frac (x ^ 7) (ctg x) \\) - ง่าย ๆ ฯลฯ

อย่างไรก็ตามหากคุณใช้ฟังก์ชั่นอื่นเพื่อการรวมกันดังกล่าว - จะมีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเนื่องจาก "แพ็คเกจ" จะกลายเป็นสอง ดูโครงการ:

มาตอนนี้ด้วยตัวเอง เขียนลำดับของฟังก์ชั่น "ห่อ":
\\ (y \u003d cos (\u2061 (sin\u2061x)) \\)
\\ (y \u003d 5 ^ (x ^ 7) \\)
\\ (y \u003d arctg\u2061 (11 ^ x) \\)
\\ (y \u003d log_2\u2061 (1 + x) \\)
ตอบอีกครั้งในตอนท้ายของบทความ

ฟังก์ชั่นภายในและภายนอก

ทำไมเราต้องเข้าใจการทำรังของฟังก์ชั่น? สิ่งที่ทำให้เรานี้? ความจริงก็คือโดยที่ไม่มีการวิเคราะห์ดังกล่าวเราจะไม่สามารถค้นหาอนุพันธ์ถอดประกอบได้อย่างน่าเชื่อถือด้านบนฟังก์ชั่น

และเพื่อที่จะไปต่อเราต้องการสองแนวคิดเพิ่มเติม: ฟังก์ชั่นภายในและภายนอก นี่เป็นสิ่งที่ง่ายมากยิ่งไปกว่านั้นในความเป็นจริงเราได้ถอดประกอบพวกเขาด้านบนแล้ว: หากคุณจำการเปรียบเทียบของเราในตอนแรกฟังก์ชั่นภายในเป็น "แพ็คเกจ" และภายนอกคือ "กล่อง" ที่. ความจริงที่ว่า x คือ "wrap up" ก่อน - นี่คือฟังก์ชั่นภายในจากนั้นสิ่งที่ "wrap up" มีอยู่ภายนอกแล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าทำไม - เธออยู่ข้างนอกมันหมายถึงภายนอก

ที่นี่ในตัวอย่างนี้: \\ (y \u003d tg\u2061 (log_2\u2061x) \\), ฟังก์ชัน \\ (\\ log_2\u2061x \\) เป็นภายในและ
- ภายนอก

และในนี้: \\ (y \u003d \\ cos\u2061 (x ^ 3 + 2x + 1)) \\), \\ (x ^ 3 + 2x + 1 \\) - ภายในและ
- ภายนอก

ในการปฏิบัติตามแนวทางปฏิบัติล่าสุดของการวิเคราะห์ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและให้เปิดขึ้นในที่สุดเพื่อประโยชน์ที่ทุกอย่างได้รับการรักษา - เราจะพบกับอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

เติมผ่านในตาราง:

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

Bravo us เรายังคงไปที่ "บอส" ในหัวข้อนี้ - ในความเป็นจริงอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและเฉพาะกับสูตรที่แย่มากจากจุดเริ่มต้นของบทความ

\\ ((f (g (g (x))) "\u003d f" (g (g (x)) \\ cdot g "(x) \\)

สูตรนี้อ่านแบบนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเท่ากับผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกตามภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงในอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายใน

และดูโครงการแยกวิเคราะห์ "ตาม" ทันทีเพื่อทำความเข้าใจกับสิ่งที่ต้องปฏิบัติต่อ:

ฉันหวังว่าคำว่า "อนุพันธ์" และ "งาน" ไม่ทำให้เกิดปัญหา "ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน" - เราถอดประกอบไปแล้ว อุปสรรค์ใน "อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายนอกในการเปลี่ยนแปลงภายใน" มันคืออะไร?

คำตอบ: นี่คืออนุพันธ์ตามปกติของฟังก์ชั่นภายนอกซึ่งมีเพียงการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่นภายนอกและภายในยังคงเหมือนเดิม มันไม่ชัดเจนหรือไม่ ดีมาตัวอย่าง

ให้เรามีฟังก์ชั่น \\ (y \u003d \\ sin\u2061 (x ^ 3) \\) เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่นภายในที่นี่ \\ (x ^ 3 \\) และภายนอก
. ตอนนี้เราพบอนุพันธ์ของภายนอกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใน

ในบทเรียนนี้เราจะเรียนรู้ที่จะหา ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์. บทเรียนเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของชั้นเรียน วิธีการหาอนุพันธ์?ที่เราถอดแยกชิ้นส่วนอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของความแตกต่างและเทคนิคทางเทคนิคบางอย่างในการค้นหาอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณไม่ชัดเจนมากกับอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นคุณจะไม่ชัดเจนอย่างสมบูรณ์จากนั้นอ่านบทเรียนข้างต้นเป็นครั้งแรก โปรดตั้งค่าถึงวิธีที่จริงจัง - วัสดุไม่ง่าย แต่ฉันยังพยายามที่จะตั้งค่าให้ง่ายและสามารถเข้าถึงได้

ในทางปฏิบัติอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนต้องเผชิญกับบ่อยครั้งฉันจะพูดว่าเกือบทุกครั้งที่คุณทำงานเพื่อหาอนุพันธ์

เราดูที่ตารางสำหรับกฎ (หมายเลข 5) ของความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

พวกเราเข้าใจ. ก่อนอื่นให้ใส่ใจกับบันทึก ที่นี่เรามีสองฟังก์ชั่น - และยิ่งกว่านั้นฟังก์ชั่นการพูดเป็นรูปเป็นร่างลงทุนในฟังก์ชั่น ฟังก์ชั่นของประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชั่นเดียวถูกฝังอยู่ในที่อื่น) และเรียกว่าฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชั่น ฟังก์ชั่นภายนอกและฟังก์ชั่น - ฟังก์ชั่นภายใน (หรือซ้อน).

! คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ได้เป็นทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบลูกสูบของงาน ฉันใช้นิพจน์อย่างไม่เป็นทางการ "ฟังก์ชั่นภายนอก" ฟังก์ชั่น "ภายใน" เท่านั้นเพื่อให้ง่ายขึ้นสำหรับคุณที่จะเข้าใจเนื้อหา

เพื่อชี้แจงสถานการณ์ให้พิจารณา:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ภายใต้ไซนัสเราไม่ได้เป็นเพียงตัวอักษร "x" แต่การแสดงออกจำนวนเต็มดังนั้นจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทันทีบนโต๊ะ นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าที่นี่เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรกดูเหมือนว่ามีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือไซนัสไม่ได้ "แยกออกเป็นชิ้นส่วน":

ในตัวอย่างนี้จากคำอธิบายของฉันมันใช้งานง่ายที่ฟังก์ชั่นเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและพหุนามเป็นฟังก์ชั่นภายใน (สิ่งที่แนบมา) และเป็นฟังก์ชั่นภายนอก

ขั้นแรกเพื่อดำเนินการเมื่อค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์คือ คิดออกฟังก์ชั่นอะไรคือภายในและภายนอกอะไร.

ในกรณีของตัวอย่างง่าย ๆ ดูเหมือนว่าดูเหมือนว่าพหุนามจะถูกลงทุนภายใต้ไซน์ แต่ถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจน? วิธีการตรวจสอบฟังก์ชั่นใดที่เป็นภายนอกและภายในคืออะไร? ในการทำเช่นนี้ฉันเสนอให้ใช้แผนกต้อนรับต่อไปซึ่งสามารถดำเนินการทางจิตใจหรือในร่าง

ลองนึกภาพว่าเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของค่านิพจน์บนเครื่องคิดเลข (แทนที่จะเป็นหน่วยอาจมีหมายเลขใด ๆ )

เราคำนวณอะไรก่อน ก่อนอื่น คุณจะต้องดำเนินการต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามและจะเป็นฟังก์ชั่นภายใน:

ประการที่สอง มันจะจำเป็นต้องค้นหาดังนั้นไซนัส - มันจะเป็นฟังก์ชั่นภายนอก:

หลังจากที่เรา ได้คิดออก ด้วยฟังก์ชั่นภายในและภายนอกก็ถึงเวลาที่จะใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

เราเริ่มที่จะแก้ปัญหา จากบทเรียน วิธีการหาอนุพันธ์? เราจำได้ว่าการตกแต่งของสารละลายของอนุพันธ์ใด ๆ เริ่มต้นขึ้นเสมอ - เราสรุปการแสดงออกในวงเล็บและวางที่ด้านบนของบาร์โค้ด:

ครั้งแรก เราพบว่าอนุพันธ์ฟังก์ชั่นภายนอก (ไซนัส) เราดูที่ตารางของฟังก์ชั่นประถมศึกษาอนุพันธ์และสังเกตว่า สูตรตารางทั้งหมดสามารถใช้งานได้และในกรณีที่ "x" ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อน, ในกรณีนี้:

โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่ได้สัมผัสเธอ.

มันค่อนข้างชัดเจนว่า

ผลของการประยุกต์ใช้สูตรในการออกแบบลูกสูบมีลักษณะดังนี้:

ตัวคูณถาวรมักจะทนนิพจน์:

หากมีความเข้าใจผิดใด ๆ ที่ยังคงอยู่ให้เขียนการตัดสินใจบนกระดาษอีกครั้งและอ่านคำอธิบายอีกครั้ง

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

เช่นเคยเขียน:

เราเข้าใจว่าเรามีฟังก์ชั่นภายนอกที่ใดและอยู่ในนั้นอยู่ที่ไหน ในการทำเช่นนี้ลอง (จิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ สิ่งที่ต้องดำเนินการก่อน? ก่อนอื่นมีความจำเป็นต้องนับสิ่งที่เท่ากับฐาน:, หมายความว่าพหุนามคือฟังก์ชั่นภายใน:

และการออกกำลังกายเท่านั้นที่จะดำเนินการในระดับดังนั้นฟังก์ชั่นพลังงานเป็นฟังก์ชั่นภายนอก:

ตามสูตรคุณต้องค้นหาอนุพันธ์จากฟังก์ชั่นภายนอกเป็นครั้งแรกในกรณีนี้ในขอบเขต เราต้องการสูตรที่จำเป็นในตาราง:. เราทำซ้ำอีกครั้ง: สูตรแบบตารางใด ๆ ที่ใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับ "x" เท่านั้น แต่ยังเพื่อการแสดงออกที่ซับซ้อน. ดังนั้นผลลัพธ์ของการใช้ความแตกต่างของการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมีดังนี้:

ฉันเน้นอีกครั้งว่าเมื่อเราทำอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายนอกฟังก์ชั่นภายในจะไม่เปลี่ยนแปลงกับเรา:

ตอนนี้มันยังคงหาอนุพันธ์ง่าย ๆ จากฟังก์ชั่นภายในและ "หวี" เล็กน้อยผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับการตัดสินใจที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เพื่อรักษาความเข้าใจในการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของอนุพันธ์ฉันจะให้ตัวอย่างโดยไม่แสดงความคิดเห็นลองคิดออกด้วยตัวเองทาสีที่ภายนอกและฟังก์ชั่นภายในอยู่ที่ไหนทำไมงานได้แก้ไขด้วยวิธีนี้?

ตัวอย่างที่ 5

a) ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

b) ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ที่นี่เรามีรากและเพื่อที่จะชดเชยรากมันจะต้องแสดงในรูปแบบของปริญญา ดังนั้นก่อนอื่นให้ฟังก์ชั่นกับรูปแบบที่เหมาะสม:

การวิเคราะห์ฟังก์ชั่นเราสรุปได้ว่าผลรวมของสามคำเป็นฟังก์ชั่นภายในและฟังก์ชั่นภายนอกเป็นฟังก์ชั่นภายนอก ใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

ปริญญาอีกครั้งแสดงในรูปแบบของอนุมูลซ้ำ (รูท) และสำหรับการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายในใช้กฎที่ง่ายต่อการสร้างความแตกต่าง:

พร้อมแล้ว นอกจากนี้คุณยังสามารถใส่นิพจน์ไปยังตัวหารทั่วไปและจดบันทึกด้วยเศษส่วนหนึ่งในวงเล็บ แน่นอนแน่นอน แต่เมื่อได้รับอนุพันธ์ยาวขนาดใหญ่ - มันจะดีกว่าที่จะไม่ทำเช่นนี้ (มันง่ายที่จะสับสนเพื่อให้เกิดข้อผิดพลาดที่ไม่จำเป็นและครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับการตัดสินใจที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าบางครั้งแทนที่จะเป็นขั้นตอนสำหรับความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคุณสามารถใช้กฎความแตกต่างสัดส่วน แต่วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวจะมีลักษณะเป็นความสนุกที่วิปริต นี่คือตัวอย่างลักษณะ:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ที่นี่คุณสามารถใช้กฎความแตกต่างสัดส่วน แต่มันเป็นผลกำไรมากกว่าที่จะหาอนุพันธ์ผ่านกฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

เราเตรียมฟังก์ชั่นสำหรับความแตกต่าง - เราใช้เวลาลบต่อสัญญาณของอนุพันธ์และโคไซน์ขึ้นไปในตัวเศษ:

โคไซน์เป็นฟังก์ชั่นภายในฟังก์ชั่นภายนอกเป็นฟังก์ชั่นภายนอก
เราใช้กฎของเรา:

เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายในโคไซน์จะถูกทิ้งลง:

พร้อมแล้ว ในตัวอย่างการตรวจสอบเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนในสัญญาณ โดยวิธีการพยายามแก้ปัญหาโดยใช้กฎ คำตอบต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับการตัดสินใจที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณากรณีเมื่อการลงทุนเพียงครั้งเดียวอยู่ในฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของเรา ในงานภาคปฏิบัติมักเป็นไปได้ที่จะตอบสนองอนุพันธ์ซึ่งเป็น Matryoshki ซึ่งเป็นหนึ่งไปยังอีกที่จะฝังอยู่ในครั้งเดียว 3 หรือแม้กระทั่ง 4-5 ฟังก์ชั่น

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

เราเข้าใจในการลงทุนของฟังก์ชั่นนี้ เราพยายามที่จะคำนวณนิพจน์โดยใช้ค่าการทดลอง เราจะเชื่อในเครื่องคิดเลขอย่างไร

ก่อนอื่นคุณต้องค้นหามันหมายถึงอาร์กซินัสเป็นการลงทุนที่ลึกที่สุด:

จากนั้นหน่วย arxinus นี้ควรสร้างขึ้นในสแควร์:

และในที่สุดเจ็ดถูกสร้างขึ้นในระดับหนึ่ง:

นั่นคือในตัวอย่างนี้เรามีฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันสามฟังก์ชั่นและสิ่งที่แนบมาสองตัวในขณะที่ฟังก์ชั่นภายในคือ Arxinus และฟังก์ชั่นภายนอกนั้นเป็นฟังก์ชั่นบ่งบอก

เราเริ่มตัดสินใจ

ตามกฎคุณต้องใช้อนุพันธ์จากฟังก์ชั่นภายนอกเป็นครั้งแรก เราดูที่อนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่บ่งบอกถึงความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "X" เรามีนิพจน์ที่ยากที่ไม่ได้ยกเลิกความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้นผลของการใช้ความแตกต่างของการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมีดังนี้:

ภายใต้จังหวะเรามีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอีกครั้ง! แต่มันง่ายกว่า เป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้แน่ใจว่าฟังก์ชั่นภายในคือ Arxinus ฟังก์ชั่นภายนอกคือระดับ ตามความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคุณต้องใช้อนุพันธ์