ตัวอย่างระบบอสมการกำลังสองพร้อมคำตอบ อสมการกำลังสอง วิธีการของช่วงเวลา อสมการกำลังสองคืออะไร

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "สม่ำเสมอมาก ... ")

อะไร "อสมการกำลังสอง"?ไม่มีคำถาม!) ถ้าคุณรับ ใด ๆสมการกำลังสองและแทนที่เครื่องหมายในนั้น "=" (เท่ากับ) กับไอคอนอสมการใดๆ ( > ≥ < ≤ ≠ ) เราจะได้อสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น:

1. x 2 -8x + 12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

คุณเข้าใจความคิด ... )

ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันผูกสมการและอสมการไว้ที่นี่ ประเด็นคือขั้นแรกในการแก้ปัญหา ใด ๆอสมการกำลังสอง - แก้สมการที่สร้างความไม่เท่าเทียมกันนี้ด้วยเหตุนี้ การไม่สามารถแก้สมการกำลังสองได้โดยอัตโนมัติจะนำไปสู่ความล้มเหลวอย่างสมบูรณ์ในอสมการ คำใบ้ชัดเจนไหม) ถ้ามี ให้ดูวิธีแก้สมการกำลังสอง มีรายละเอียดทุกอย่างที่นั่น และในบทนี้ เราจะจัดการกับความไม่เท่าเทียมกันโดยเฉพาะ

ความไม่เท่าเทียมกันพร้อมสำหรับการแก้ปัญหามีรูปแบบ: ทางด้านซ้าย - trinomial สี่เหลี่ยม ขวาน 2 + bx + cทางด้านขวา - ศูนย์เครื่องหมายอสมการสามารถเป็นอะไรก็ได้ สองตัวอย่างแรกอยู่ที่นี่ พร้อมแล้วสำหรับการแก้ปัญหาตัวอย่างที่สามยังคงต้องเตรียม

ถ้าคุณชอบไซต์นี้ ...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

อสมการกำลังสองถูกเรียกซึ่งสามารถย่อให้อยู่ในรูปแบบ \ (ax ^ 2 + bx + c \) \ (⋁ \) \ (0 \) โดยที่ \ (a \), \ (b \) และ \ (c \) เป็นตัวเลขใด ๆ (นอกจากนี้ \ (a ≠ 0 \)), \ (x \) ไม่เป็นที่รู้จักและ \ (⋁ \) เป็นเครื่องหมายเปรียบเทียบใด ๆ (\ (> \), \ (<\),\(≤\),\(≥\)).

พูดง่ายๆ ก็คือ ความไม่เท่าเทียมกันนั้นดูเหมือน แต่มีเครื่องหมายเท่ากับแทน
ตัวอย่าง:

\ (x ^ 2 + 2x-3> 0 \)
\ (3x ^ 2-x≥0 \)
\ ((2x + 5) (x-1) ≤5 \)

จะแก้อสมการกำลังสองได้อย่างไร?

อสมการกำลังสองมักจะถูกแก้ไข ด้านล่างนี้คืออัลกอริธึมเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาอสมการกำลังสองด้วยการเลือกปฏิบัติที่มากกว่าศูนย์ คำตอบของอสมการกำลังสองที่มีค่า discriminant เท่ากับศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์ - ถูกวิเคราะห์แยกกัน

ตัวอย่าง. แก้อสมการกำลังสอง \ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
สารละลาย:

\ (\ frac (x ^ 2) (5) + \ frac (2x) (3) \)\ (≥ \) \ (\ frac (8) (15) \)
\ (D = 100 + 4⋅3⋅8 = 196 = 14 ^ 2 \) \ (x_1 = \ frac (-10-14) (6) = - 4 \) \ (x_2 = \ frac (-10 + 14) (6) = \ frac (2) (3) \)		เมื่อพบราก เราจะเขียนความไม่เท่าเทียมกันใน รูปร่าง.
\ (3 (x + 4) (x- \ frac (2) (3)) ≥0 \)		ทีนี้ลองวาดแกนตัวเลข ทำเครื่องหมายรูตบนมัน แล้ววางเครื่องหมายเป็นระยะ
		ให้เราเขียนช่วงเวลาที่น่าสนใจให้เราตอบ เนื่องจากเครื่องหมายอสมการ \ (≥ \) เราต้องการช่วงเวลาด้วย \ (+ \) และเรารวมรากในคำตอบด้วย (วงเล็บที่จุดเหล่านี้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

ตอบ : \ (x∈ (-∞; -4] ∪ [\ frac (2) (3); ∞) \)

อสมการกำลังสองที่มีการเลือกปฏิบัติเชิงลบและเป็นศูนย์

อัลกอริธึมข้างต้นทำงานเมื่อ discriminant มีค่ามากกว่าศูนย์ นั่นคือ มีราก \ (2 \) จะทำอย่างไรในกรณีอื่น ๆ ? ตัวอย่างเช่น:

ถ้า \ (D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

นั่นคือการแสดงออก:
\ (x ^ 2 + 2x + 9 \) เป็นค่าบวกสำหรับ \ (x \) ใด ๆ เพราะ \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-64 \) - ลบสำหรับใด ๆ \ (x \), เพราะ \ (a = -1<0\)

ถ้า \ (D = 0 \) ดังนั้นพหุนามกำลังสองสำหรับหนึ่งค่า \ (x \) เท่ากับศูนย์ และสำหรับค่าอื่นๆ ทั้งหมด จะมีเครื่องหมายคงที่ ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ \ (a \) .

นั่นคือการแสดงออก:
\ (x ^ 2 + 6x + 9 \) - เท่ากับศูนย์สำหรับ \ (x = -3 \) และบวกสำหรับ x อื่น ๆ ทั้งหมดตั้งแต่ \ (a = 1> 0 \)
\ (- x ^ 2-4x-4 \) - เท่ากับศูนย์สำหรับ \ (x = -2 \) และค่าลบสำหรับส่วนอื่นๆ ทั้งหมดเพราะ \ (a = -1<0\).

จะหา x ได้อย่างไรซึ่งไตรโนเมียลกำลังสองเท่ากับศูนย์? คุณต้องแก้สมการกำลังสองที่สอดคล้องกัน

โดยคำนึงถึงข้อมูลนี้ มาแก้อสมการกำลังสองกัน:

ก่อนที่เราจะคิดออก วิธีแก้อสมการกำลังสองลองดูสิ่งที่เรียกว่าอสมการกำลังสอง

จดจำ!

เรียกว่าความไม่เท่าเทียมกัน สี่เหลี่ยมถ้ากำลังสูงสุด (สูงสุด) ของ "x" ที่ไม่รู้จักมีค่าเท่ากับสอง

มาฝึกกำหนดประเภทของความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้ตัวอย่างกัน

วิธีแก้อสมการกำลังสอง

ในบทเรียนที่แล้ว เราดูวิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น แต่ต่างจากอสมการเชิงเส้นตรง อสมการกำลังสองได้รับการแก้ไขด้วยวิธีที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

สำคัญ!

คุณไม่สามารถแก้อสมการกำลังสองในลักษณะเดียวกับอสมการเชิงเส้นได้!

ในการแก้อสมการกำลังสอง ใช้วิธีพิเศษที่เรียกว่า วิธีช่วงเวลา.

วิธีการเว้นวรรคคืออะไร

โดยวิธีการเว้นระยะเรียกว่าวิธีพิเศษในการแก้อสมการกำลังสอง ด้านล่างนี้เราจะอธิบายวิธีใช้วิธีนี้และสาเหตุที่ได้รับชื่อ

จดจำ!

ในการแก้อสมการกำลังสองโดยใช้วิธีช่วงเวลา คุณต้อง:

เราเข้าใจดีว่ากฎที่อธิบายไว้ข้างต้นนั้นยากต่อการเข้าใจในทฤษฎีเท่านั้น ดังนั้นเราจะพิจารณาตัวอย่างการแก้อสมการกำลังสองในทันทีโดยใช้อัลกอริทึมด้านบน

จำเป็นต้องแก้อสมการกำลังสอง

ตอนนี้ ตามที่กล่าวไว้ใน ให้วาด "ส่วนโค้ง" ในช่วงเวลาระหว่างจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

ลองใส่เครื่องหมายภายในช่วงเวลา จากขวาไปซ้าย สลับกัน เริ่มต้นด้วย "+" ทำเครื่องหมายเครื่องหมาย

เราแค่ต้องดำเนินการ นั่นคือ เลือกช่วงเวลาที่จำเป็นและจดไว้เป็นคำตอบ กลับไปที่ความไม่เท่าเทียมกันของเรา

เนื่องจากในความไม่เท่าเทียมกันของเรา” x 2 + x - 12 " ซึ่งหมายความว่าเราต้องการช่วงเวลาลบ แรเงาพื้นที่ลบทั้งหมดบนแกนตัวเลขแล้วเขียนตอบ

ช่วงเวลาลบกลายเป็นเพียงหนึ่ง ซึ่งอยู่ระหว่างตัวเลข "-3" และ "4" ดังนั้นเราจึงเขียนลงในคำตอบว่าเป็นอสมการสองเท่า
"−3"

ให้เราเขียนคำตอบที่ได้รับของอสมการกำลังสอง

คำตอบ: −3

อย่างไรก็ตาม มันเป็นเพราะความจริงที่ว่าเมื่อแก้อสมการกำลังสอง เราพิจารณาช่วงเวลาระหว่างตัวเลข วิธีการของช่วงเวลาได้ชื่อมา

หลังจากได้รับคำตอบแล้ว ควรตรวจสอบเพื่อให้แน่ใจว่าวิธีแก้ปัญหานั้นถูกต้อง

มาเลือกหมายเลขใด ๆ ที่อยู่ในพื้นที่แรเงาของคำตอบที่ได้รับ " −3 "และแทนที่ด้วย" x "ในอสมการดั้งเดิม หากเราได้รับอสมการที่ถูกต้อง เราก็พบว่าคำตอบของอสมการกำลังสองนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น ตัวเลข "0" จากช่วงเวลา ลองแทนที่ด้วยอสมการดั้งเดิม "x 2 + x - 12"

X 2 + x - 12
0 2 + 0 - 12 -12 (จริง)

เราได้ค่าอสมการที่ถูกต้องเมื่อแทนที่ตัวเลขจากพื้นที่โซลูชัน ซึ่งหมายความว่าพบคำตอบที่ถูกต้อง

สัญกรณ์สั้น ๆ ของการแก้ปัญหาโดยวิธีการช่วงเวลา

สัญกรณ์ย่อสำหรับการแก้ปัญหาอสมการกำลังสอง " x 2 + x - 12 "โดยใช้วิธีการเว้นวรรคจะมีลักษณะดังนี้:

X 2 + x - 12
x 2 + x - 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2

x 2 = 1 − 7 2

x 1 = 8 2

x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x 2 = 0 คำตอบ: x ≤ 0; x ≥ 1 2 ลองพิจารณาตัวอย่างที่ "x 2" นำหน้าด้วยสัมประสิทธิ์เชิงลบในอสมการกำลังสอง มุมมองทั่วไปของอสมการกำลังสองหลังจากถ่ายโอนนิพจน์ทั้งหมดไปยังด้านหนึ่งของอสมการเป็นรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้: $ ax ^ 2 + bx + c> 0 $ หรือ $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 $ หรือ $ ax ^ 2 + bx + c เมื่อ $ a \ neq 0 $ เช่นเดียวกับ $ b, c \ in \ mathbb (R) $ วิธีแก้ไขของความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างข้างต้นคือการหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สามารถแทนที่ $ x $ เพื่อให้อสมการเป็นจริง ตัวอย่างเช่น หากเราประกาศว่า $ x = 1 $ เป็นหนึ่งในรากของความไม่เท่าเทียมกัน $ x ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 $ แทนที่ 1 สำหรับตัวแปรทั้งหมด $ x $ ในความไม่เท่าเทียมกันเราจะได้ $ 1 ^ 2 - \ frac (1) (2)> 0 \ rightarrow \ frac (1) (2)> 0 $ ซึ่งเป็นความจริงเสมอ ดังนั้น $ x = 1 $ จึงเป็นหนึ่งในวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันนี้ ตอนนี้เราจะเรียนรู้วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกัน (1) อันดับแรก เราพิจารณาสมการในตัวแปรสองตัวคือ $ y = ax ^ 2 + bx + c $ และถือว่า $ ax ^ 2 + bx + c $ เป็นศูนย์ แล้ว: $ ax ^ 2 + bx + c = 0 \ rightarrow a (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a)) = 0 \ rightarrow ^ (a \ neq 0) x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \ rightarrow $ $ x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) + \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) = 0 \ rightarrow (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 - \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) = 0 \ rightarrow $ $ (x + \ frac (b) (2a)) ^ 2 = \ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2) \ rightarrow x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2 - 4ac) (4a ^ 2)) \ rightarrow x + \ frac (b) (2a) = \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ rightarrow $ $ x = \ frac (-b) (2a) \ pm \ frac (\ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) \ rightarrow x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2 - 4ac) ) (2a) $ ตามมาด้วยว่ากราฟของสมการกำลังสองตัดกับแกน x ที่จุด $ x_1 = \ frac (-b + \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $ และ $ x_2 = \ frac (-b - \ sqrt (b ^ 2 - 4ac)) (2a) $ ศูนย์เหล่านี้แบ่งเส้นจำนวนออกเป็นสามช่วง: $ (- \ infty, x_1) $, $$, $ (x_2, + \ infty) $, สมมติว่า $ x_1 ตอนนี้ให้ $ \ Delta = b ^ 2 - 4ac $ เราสามารถพิจารณาสามกรณีต่อไปนี้: $ \ เดลต้า> 0 $ $ \ เดลต้า = 0 $ $ \ เดลต้า กรณีที่ 1:ถ้า $ \ เดลต้า> 0 $, จากนั้น $ ax ^ 2 + bx + c $ มีสองรากที่แตกต่างกัน $ (x_1 \ neq x_2) $ ทีนี้ ถ้า $ a> 0 $ จะได้กราฟเป็นin “รูปเอ”. ถ้า $ a เป็น "รูปที่ b" ดังนั้น ถ้า $ a> 0 $ และถ้าเรามี $ ax ^ 2 + bx + c \ geq 0 (ax ^ 2 + bx + c> 0) $ แล้ว ชุดของคำตอบคือ: $ (- \ infty, x_1] \ cup $ $ ((x_1, x_2)) $ ในทางกลับกัน ถ้า $ a 0) $ ชุดของโซลูชันคือ: $$ $ ((x_1, x_2)) $ และถ้าเรามี $ ax ^ 2 + bx + c \ leq 0 (ax ^ 2 + bx + c $ (- \ infty, x_1] \ cup \ cup ∪ [1 + 3 4, + ∞) หรือ x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4 ตัวอย่างที่ 3 แก้อสมการกำลังสอง - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. สารละลาย อันดับแรก เราพบรากของไตรนามกำลังสองจากด้านซ้ายของอสมการ: D "= 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 นี่เป็นความไม่เท่าเทียมกันอย่างเคร่งครัด เราจึงใช้จุด "ว่าง" ในกราฟ พร้อมพิกัด 7 ตอนนี้เราจำเป็นต้องกำหนดสัญญาณในช่วงเวลาผลลัพธ์ (- ∞, 7) และ (7, + ∞) เนื่องจาก discriminant ของ trinomial สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นศูนย์ และสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็นลบ เราจึงใส่เครื่องหมาย -, -: เนื่องจากเรากำลังแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่ลงนามแล้ว< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: ในกรณีนี้ คำตอบจะเป็นทั้งสองช่วง (- ∞, 7) (7, + ∞) ตอบ:(- ∞, 7) ∪ (7, + ∞) หรือในอีกรูปแบบหนึ่ง x ≠ 7 ตัวอย่างที่ 4 อสมการกำลังสอง x 2 + x + 7 . หรือไม่< 0 решения? สารละลาย หารากของไตรนามกำลังสองจากด้านซ้ายของอสมการ ในการทำเช่นนี้ เราพบการแบ่งแยก: D = 1 2 - 4 · 1 · 7 = 1 - 28 = - 27 การเลือกปฏิบัติมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากที่แท้จริง ภาพกราฟิกจะดูเหมือนเส้นจำนวนโดยไม่มีจุดทำเครื่องหมาย ให้เรากำหนดเครื่องหมายของค่าของไตรนามกำลังสอง เมื่อ D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : ในกรณีนี้ เราสามารถใช้การฟักไข่เหนือช่องว่างที่มีเครื่องหมาย "-" แต่เราไม่มีช่องว่างดังกล่าว ดังนั้นภาพวาดยังคงลักษณะนี้: จากการคำนวณ เราได้เซตว่าง ซึ่งหมายความว่าอสมการกำลังสองนี้ไม่มีคำตอบ ตอบ:เลขที่. หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเลือกและกด Ctrl + Enter สิ่งพิมพ์ที่คล้ายกัน จบโครงการ "คำแนะนำสำหรับตัวคุณเอง: วิธีปรับปรุงกิจกรรมการเรียนรู้ของคุณ" โค้ชฟิตเนสส่วนบุคคล ตัวอย่างการกรอกแฟ้มผลงานของนักเรียน ดาวน์โหลดเทมเพลตหน้าแฟ้มผลงานนักเรียนของโรงเรียนฟรี