วิธีการหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน คุณสมบัติที่ซับซ้อน ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์ อนุพันธ์ที่ซับซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นบ่งบอกแบบขั้นตอน

ในบทเรียนนี้เราจะเรียนรู้ที่จะหา ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์. บทเรียนเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของชั้นเรียน วิธีการหาอนุพันธ์?ที่เราถอดแยกชิ้นส่วนอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดและทำความคุ้นเคยกับกฎของความแตกต่างและเทคนิคทางเทคนิคบางอย่างในการค้นหาอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณไม่ชัดเจนมากกับอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นคุณจะไม่ชัดเจนอย่างสมบูรณ์จากนั้นอ่านบทเรียนข้างต้นเป็นครั้งแรก โปรดตั้งค่าถึงวิธีที่จริงจัง - วัสดุไม่ง่าย แต่ฉันยังพยายามที่จะตั้งค่าให้ง่ายและสามารถเข้าถึงได้

ในทางปฏิบัติอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนต้องเผชิญกับบ่อยครั้งฉันจะพูดว่าเกือบทุกครั้งที่คุณทำงานเพื่อหาอนุพันธ์

เราดูที่ตารางสำหรับกฎ (หมายเลข 5) ของความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

พวกเราเข้าใจ. ก่อนอื่นให้ใส่ใจกับบันทึก ที่นี่เรามีสองฟังก์ชั่น - และยิ่งกว่านั้นฟังก์ชั่นการพูดเป็นรูปเป็นร่างลงทุนในฟังก์ชั่น ฟังก์ชั่นของประเภทนี้ (เมื่อฟังก์ชั่นเดียวถูกฝังอยู่ในที่อื่น) และเรียกว่าฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

ฉันจะเรียกใช้ฟังก์ชั่น ฟังก์ชั่นภายนอกและฟังก์ชั่น - ฟังก์ชั่นภายใน (หรือซ้อน).

! คำจำกัดความเหล่านี้ไม่ได้เป็นทฤษฎีและไม่ควรปรากฏในการออกแบบลูกสูบของงาน ฉันใช้นิพจน์อย่างไม่เป็นทางการ "ฟังก์ชั่นภายนอก" ฟังก์ชั่น "ภายใน" เท่านั้นเพื่อให้ง่ายขึ้นสำหรับคุณที่จะเข้าใจเนื้อหา

เพื่อชี้แจงสถานการณ์ให้พิจารณา:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ภายใต้ไซนัสเราไม่ได้เป็นเพียงตัวอักษร "x" แต่การแสดงออกจำนวนเต็มดังนั้นจึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทันทีบนโต๊ะ นอกจากนี้เรายังสังเกตเห็นว่าที่นี่เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้กฎสี่ข้อแรกดูเหมือนว่ามีความแตกต่าง แต่ความจริงก็คือไซนัสไม่ได้ "แยกออกเป็นชิ้นส่วน":

ในตัวอย่างนี้จากคำอธิบายของฉันมันใช้งานง่ายที่ฟังก์ชั่นเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและพหุนามเป็นฟังก์ชั่นภายใน (สิ่งที่แนบมา) และเป็นฟังก์ชั่นภายนอก

ขั้นแรกเพื่อดำเนินการเมื่อค้นหาฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์คือ คิดออกฟังก์ชั่นอะไรคือภายในและภายนอกอะไร.

ในกรณีของตัวอย่างง่าย ๆ ดูเหมือนว่าดูเหมือนว่าพหุนามจะถูกลงทุนภายใต้ไซน์ แต่ถ้าทุกอย่างไม่ชัดเจน? วิธีการตรวจสอบฟังก์ชั่นใดที่เป็นภายนอกและภายในคืออะไร? ในการทำเช่นนี้ฉันเสนอให้ใช้แผนกต้อนรับต่อไปซึ่งสามารถดำเนินการทางจิตใจหรือในร่าง

ลองนึกภาพว่าเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของค่านิพจน์บนเครื่องคิดเลข (แทนที่จะเป็นหน่วยอาจมีหมายเลขใด ๆ )

เราคำนวณอะไรก่อน ก่อนอื่น คุณจะต้องดำเนินการต่อไปนี้: ดังนั้นพหุนามและจะเป็นฟังก์ชั่นภายใน:

ประการที่สอง มันจะจำเป็นต้องค้นหาดังนั้นไซนัส - มันจะเป็นฟังก์ชั่นภายนอก:

หลังจากที่เรา ได้คิดออก ด้วยฟังก์ชั่นภายในและภายนอกก็ถึงเวลาที่จะใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

เราเริ่มที่จะแก้ปัญหา จากบทเรียน วิธีการหาอนุพันธ์? เราจำได้ว่าการตกแต่งของสารละลายของอนุพันธ์ใด ๆ เริ่มต้นขึ้นเสมอ - เราสรุปการแสดงออกในวงเล็บและวางที่ด้านบนของบาร์โค้ด:

ครั้งแรก เราพบว่าอนุพันธ์ฟังก์ชั่นภายนอก (ไซนัส) เราดูที่ตารางของฟังก์ชั่นประถมศึกษาอนุพันธ์และสังเกตว่า สูตรตารางทั้งหมดสามารถใช้งานได้และในกรณีที่ "x" ถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่ซับซ้อน, ในกรณีนี้:

โปรดทราบว่าฟังก์ชั่นภายใน ไม่เปลี่ยนแปลงเราไม่ได้สัมผัสเธอ.

มันค่อนข้างชัดเจนว่า

ผลของการประยุกต์ใช้สูตรในการออกแบบลูกสูบมีลักษณะดังนี้:

ตัวคูณถาวรมักจะทนนิพจน์:

หากมีความเข้าใจผิดใด ๆ ที่ยังคงอยู่ให้เขียนการตัดสินใจบนกระดาษอีกครั้งและอ่านคำอธิบายอีกครั้ง

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

เช่นเคยเขียน:

เราเข้าใจว่าเรามีฟังก์ชั่นภายนอกที่ใดและอยู่ในนั้นอยู่ที่ไหน ในการทำเช่นนี้ลอง (จิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ สิ่งที่ต้องดำเนินการก่อน? ก่อนอื่นมีความจำเป็นต้องนับสิ่งที่เท่ากับฐาน:, หมายความว่าพหุนามคือฟังก์ชั่นภายใน:

และการออกกำลังกายเท่านั้นที่จะดำเนินการในระดับดังนั้นฟังก์ชั่นพลังงานเป็นฟังก์ชั่นภายนอก:

ตามสูตรคุณต้องค้นหาอนุพันธ์จากฟังก์ชั่นภายนอกเป็นครั้งแรกในกรณีนี้ในขอบเขต เราต้องการสูตรที่จำเป็นในตาราง:. เราทำซ้ำอีกครั้ง: สูตรแบบตารางใด ๆ ที่ใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับ "x" เท่านั้น แต่ยังเพื่อการแสดงออกที่ซับซ้อน. ดังนั้นผลลัพธ์ของการใช้ความแตกต่างของการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมีดังนี้:

ฉันเน้นอีกครั้งว่าเมื่อเราทำอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายนอกฟังก์ชั่นภายในจะไม่เปลี่ยนแปลงกับเรา:

ตอนนี้มันยังคงหาอนุพันธ์ง่าย ๆ จากฟังก์ชั่นภายในและ "หวี" เล็กน้อยผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เพื่อรักษาความเข้าใจในการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของอนุพันธ์ฉันจะให้ตัวอย่างโดยไม่แสดงความคิดเห็นลองคิดออกด้วยตัวเองทาสีที่ภายนอกและฟังก์ชั่นภายในอยู่ที่ไหนทำไมงานได้แก้ไขด้วยวิธีนี้?

ตัวอย่างที่ 5

a) ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

b) ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ที่นี่เรามีรากและเพื่อที่จะชดเชยรากมันจะต้องแสดงในรูปแบบของปริญญา ดังนั้นก่อนอื่นให้ฟังก์ชั่นกับรูปแบบที่เหมาะสม:

การวิเคราะห์ฟังก์ชั่นเราสรุปได้ว่าผลรวมของสามคำเป็นฟังก์ชั่นภายในและฟังก์ชั่นภายนอกเป็นฟังก์ชั่นภายนอก ใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

ปริญญาอีกครั้งแสดงในรูปแบบของอนุมูลซ้ำ (รูท) และสำหรับการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายในใช้กฎที่ง่ายต่อการสร้างความแตกต่าง:

พร้อมแล้ว นอกจากนี้คุณยังสามารถใส่นิพจน์ไปยังตัวหารทั่วไปและจดบันทึกด้วยเศษส่วนหนึ่งในวงเล็บ แน่นอนแน่นอน แต่เมื่อได้รับอนุพันธ์ยาวขนาดใหญ่ - มันจะดีกว่าที่จะไม่ทำเช่นนี้ (มันง่ายที่จะสับสนเพื่อให้เกิดข้อผิดพลาดที่ไม่จำเป็นและครูจะตรวจสอบไม่สะดวก)

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าบางครั้งแทนที่จะเป็นขั้นตอนสำหรับความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคุณสามารถใช้กฎความแตกต่างสัดส่วน แต่วิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวจะมีลักษณะเป็นความสนุกที่วิปริต นี่คือตัวอย่างลักษณะ:

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

ที่นี่คุณสามารถใช้กฎความแตกต่างสัดส่วน แต่มันเป็นผลกำไรมากกว่าที่จะหาอนุพันธ์ผ่านกฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

เราเตรียมฟังก์ชั่นสำหรับความแตกต่าง - เราใช้เวลาลบต่อสัญญาณของอนุพันธ์และโคไซน์ขึ้นไปในตัวเศษ:

โคไซน์เป็นฟังก์ชั่นภายในฟังก์ชั่นภายนอกเป็นฟังก์ชั่นภายนอก
เราใช้กฎของเรา:

เราพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายในโคไซน์จะถูกทิ้งลง:

พร้อมแล้ว ในตัวอย่างการตรวจสอบเป็นสิ่งสำคัญที่จะไม่สับสนในสัญญาณ โดยวิธีการพยายามแก้ปัญหาโดยใช้กฎ คำตอบต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ (คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณากรณีเมื่อการลงทุนเพียงครั้งเดียวอยู่ในฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนของเรา ในงานภาคปฏิบัติมักเป็นไปได้ที่จะตอบสนองอนุพันธ์ซึ่งเป็น Matryoshki ซึ่งเป็นหนึ่งไปยังอีกที่จะฝังอยู่ในครั้งเดียว 3 หรือแม้กระทั่ง 4-5 ฟังก์ชั่น

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์

เราเข้าใจในการลงทุนของฟังก์ชั่นนี้ เราพยายามที่จะคำนวณนิพจน์โดยใช้ค่าการทดลอง เราจะเชื่อในเครื่องคิดเลขอย่างไร

ก่อนอื่นคุณต้องค้นหามันหมายถึงอาร์กซินัสเป็นการลงทุนที่ลึกที่สุด:

จากนั้นหน่วย arxinus นี้ควรสร้างขึ้นในสแควร์:

และในที่สุดเจ็ดถูกสร้างขึ้นในระดับหนึ่ง:

นั่นคือในตัวอย่างนี้เรามีฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันสามฟังก์ชั่นและสิ่งที่แนบมาสองตัวในขณะที่ฟังก์ชั่นภายในคือ Arxinus และฟังก์ชั่นภายนอกนั้นเป็นฟังก์ชั่นบ่งบอก

เราเริ่มตัดสินใจ

ตามกฎคุณต้องใช้อนุพันธ์จากฟังก์ชั่นภายนอกเป็นครั้งแรก เราดูที่อนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่บ่งบอกถึงความแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือแทนที่จะเป็น "X" เรามีนิพจน์ที่ยากที่ไม่ได้ยกเลิกความถูกต้องของสูตรนี้ ดังนั้นผลของการใช้ความแตกต่างของการทำงานของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมีดังนี้:

ภายใต้จังหวะเรามีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอีกครั้ง! แต่มันง่ายกว่า เป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้แน่ใจว่าฟังก์ชั่นภายในคือ Arxinus ฟังก์ชั่นภายนอกคือระดับ ตามความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนคุณต้องใช้อนุพันธ์

และทฤษฎีบทในฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์ถ้อยคำที่มีดังนี้:

ให้ 1) ฟังก์ชั่น $ u \u003d \\ varphi (x) $ มีอยู่ในบางจุด $ x_0 $ derivative $ u_ (x) "\u003d \\ varphi" (x_0) $, 2) ฟังก์ชั่น $ y \u003d f (u) $ มีอยู่ใน จุดที่เหมาะสม $ u_0 \u003d \\ varphi (x_0) $ derivative $ y_ (u) "\u003d f" (u) $ จากนั้นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน $ y \u003d f \\ ext (\\ varphi (x) \\ ขวา) $ ในจุดที่กล่าวถึงจะมีอนุพันธ์เท่ากับผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของ $ f (u) $ และ $ \\ varphi (x) $ :

$$ \\ left (f (\\ varphi (x)) \\ ขวา) "\u003d f_ (u)" \\ left (\\ varphi (x_0) \\ ขวา) \\ cdot \\ varphi "(x_0) $$

หรือในบันทึกที่สั้นกว่า: $ y_ (x) "\u003d y_ (u)" \\ cdot u_ (x) "$

ในตัวอย่างของส่วนนี้ฟังก์ชั่นทั้งหมดมีแบบฟอร์ม $ y \u003d f (x) $ (i.e. เราพิจารณาเฉพาะฟังก์ชั่นของตัวแปรหนึ่ง $ x $) ดังนั้นในทุกตัวอย่างการอนุพันธ์ $ y "$ จะถูกนำไปใช้ตามตัวแปร $ x $ เพื่อเน้นว่าอนุพันธ์ถูกนำไปใช้ตามตัวแปร $ x $ x มักจะเป็น $ y" $ wrote $ y "_x $

ในตัวอย่างฉบับที่ 1 หมายเลข 2 และหมายเลข 3 กระบวนการที่มีรายละเอียดของการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนจะถูกนำเสนอ ตัวอย่างหมายเลข 4 มีไว้สำหรับความเข้าใจที่สมบูรณ์เกี่ยวกับตารางอนุพันธ์และสมเหตุสมผลที่จะทำความคุ้นเคย

โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลังจากศึกษาเนื้อหาในตัวอย่างหมายเลข 1-3 ไปที่การแก้ปัญหาอิสระของตัวอย่างที่ 5 หมายเลข 6 และหมายเลข 7 ตัวอย่างที่ 5 หมายเลข 6 และหมายเลข 7 มีโซลูชันสั้น ๆ ที่ผู้อ่านสามารถตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ได้

ตัวอย่าง№1

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์ $ y \u003d e ^ (\\ cos x) $

เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน $ y "$ ตั้งแต่ $ y \u003d e ^ (\\ cos x) $ แล้ว $ y" \u003d \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ ขวา) "$ ถึง ค้นหาอนุพันธ์ $ \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ ขวา) "$ เราใช้สูตรหมายเลข 6 จากตารางอนุพันธ์ ในการใช้สูตรหมายเลข 6 มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าในกรณีของเรา $ u \u003d \\ cos x $ วิธีการแก้ปัญหาเพิ่มเติมคือการทดแทนการเสียสละในสูตร 6 ของการแสดงออก $ \\ cos x $ แทน $ u $:

$$ y "\u003d \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ ขวา)" \u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (\\ cos x) "\\ tag (1.1) $$

ตอนนี้คุณต้องค้นหาค่าของการแสดงออก $ (\\ cos x) "$ เรายื่นอุทธรณ์ต่อตารางของอนุพันธ์อีกครั้งเลือกจากสูตรไอทีหมายเลข 10 ทดแทน $ u \u003d x $ ในสูตรหมายเลข 10 เรามี : $ (\\ cos x) "\u003d - \\ SIN x \\ ดอทเอ็กซ์" $ ตอนนี้ยังคงความเท่าเทียมกัน (1.1) การเพิ่มผลที่พบ:

$$ y "\u003d \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ ขวา)" \u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (\\ cos x) "\u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (- \\ sin x) \\ cdot x ") \\ แท็ก (1.2) $$

ตั้งแต่ $ X "\u003d $ 1 จะดำเนินการต่อความเสมอภาค (1.2):

$$ y "\u003d \\ left (e ^ (\\ cos x) \\ ขวา)" \u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (\\ cos x) "\u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (- \\ sin x) \\ cdot x ") \u003d e ^ (\\ cos x) \\ cdot (- \\ sin x \\ cdot 1) \u003d - \\ sin x \\ cdot e ^ (\\ cos x) \\ tag (1.3) $$

ดังนั้นจากความเท่าเทียมกัน (1.3) เรา:. $ Y "\u003d - \\ บาป x \\ cdot E ^ (\\ cos x) $ มันเป็นธรรมชาติที่คำอธิบายและ equalities กลางมักจะข้ามบันทึกการค้นพบของเส้นที่แตกต่างกัน ในขณะที่ความเท่าเทียมกัน (1.3). ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนที่พบก็ยังคงเป็นเพียงการบันทึกคำตอบ

ตอบ: $ y "\u003d - \\ sin x \\ cdot e ^ (\\ cos x) $

ตัวอย่างหมายเลข 2

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์ $ y \u003d 9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) $

เราจำเป็นต้องคำนวณ $ Y "\u003d \\ Left Derivative (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ ขวา)" $ ในการเริ่มต้นด้วยเราโปรดทราบว่าสามารถเข้าถึงค่าคงที่ (I.e. หมายเลข 9) ได้โดยเครื่องหมายอนุพันธ์:

$$ Y "\u003d \\ left (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา)" \u003d 9 \\ cdot \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา) "\\ แท็ก (2.1) $$

ตอนนี้ขอหันไปแสดงออก $ \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา) "$. ในการเลือกสูตรที่ต้องการจากตารางอนุพันธ์มันก็ง่ายกว่าที่ผมจะนำเสนอการแสดงออกภายใต้การพิจารณา ในรูปแบบนี้ $ \\ left (\\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา) ^ (12) \\ ขวา) "$ ตอนนี้สามารถเห็นได้ว่าจำเป็นต้องใช้สูตรหมายเลข 2, I.e. $ \\ left (u ^ \\ alpha \\ ขวา) "\u003d \\ alpha \\ cdot u ^ (\\ alpha-1) \\ cdot u" $ ในสูตรนี้เราจะทดแทน $ u \u003d \\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x) $ และ $ \\ alpha \u003d $ 12:

การเสริมความเท่าเทียมกัน (2.1) ผลลัพธ์ที่ได้รับเรามี:

$$ y "\u003d \\ left (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ ขวา)" \u003d 9 \\ cdot \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ ขวา) "\u003d 108 \\ cdot \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา) ^ (11) \\ ดอท (\\ arctg (4 \\ cdot \\ LN x))" \\ Tag (2.2) $$

ในสถานการณ์นี้มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อตัวแก้ไขในขั้นตอนแรกเลือกสูตร $ (\\ arctg \\; u) "\u003d \\ Frac (1) (1 + u ^ 2) \\ cdot u" $ แทน $ แทน $ \\ สูตรซ้าย (U ^ \\ alpha \\ ขวา) "\u003d \\ alpha \\ cdot U ^ (\\ alpha-1) \\ cdot U" $ ความจริงก็คือสิ่งแรกที่ต้องมาจากฟังก์ชั่นภายนอก เพื่อให้เข้าใจถึงสิ่งที่ชนิดของฟังก์ชั่นจะเป็นภายนอกจะแสดง $ \\ arctg ^ (12) (4 \\ ดอท 5 ^ x) $ ลองจินตนาการว่าคุณจะพิจารณาค่าของนิพจน์ $ ที่ \\ arctg ^ (12) (4 \\ ดอท 5 ^ x) $ กับค่าของ $ x $ บาง ก่อนอื่นคุณพิจารณามูลค่า $ 5 ^ x $ จากนั้นคูณผลลัพธ์โดย 4 รับ $ 4 \\ cdot 5 ^ x $ ตอนนี้จากผลลัพธ์นี้ฉันใช้ Arctgennes รับ $ \\ arctg (4 \\ cdot 5 ^ x) $ จากนั้นเราสร้างตัวเลขที่เกิดขึ้นในระดับที่สิบสองเพื่อให้ได้ $ \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot 5 ^ x) $ การกระทำล่าสุด, I.e. ลบถึงขอบเขต 12 - และจะเป็นฟังก์ชั่นภายนอก และมันก็มาจากการที่อนุพันธ์คือการเริ่มต้นที่จะเริ่มต้นซึ่งทำในความเท่าเทียมกัน (2.2)

ตอนนี้คุณต้องค้นหา $ (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x)) "$ เราใช้สูตรหมายเลข 19 ของตารางอนุพันธ์แทนที่ $ u \u003d 4 \\ cdot \\ ln x $ เป็น:

$$ (\\ arctg (4 \\ cdot \\ LN x)) "\u003d \\ FRAC (1) (1+ (4 \\ cdot \\ LN x) ^ 2) \\ ดอท (4 \\ ดอท \\ LN X)" $$

เล็ก ๆ น้อย ๆ ช่วยลดความยุ่งยากการแสดงออกที่ส่งผลให้ $ (4 \\ cdot \\ LN x) ^ 2 \u003d 4 ^ 2 \\ cdot (\\ LN x) ^ 2 \u003d 16 \\ cdot \\ LN ^ 2 x $

$$ (\\ arctg (4 \\ cdot \\ LN x)) "\u003d \\ FRAC (1) (1+ (4 \\ cdot \\ LN x) ^ 2) \\ ดอท (4 \\ ดอท \\ LN X)" \u003d \\ FRAC ( 1) (1 + 16 \\ cdot \\ ln ^ 2 x) \\ cdot (4 \\ cdot \\ ln x) "$$

ความเท่าเทียมกัน (2.2) ตอนนี้จะกลายเป็นเช่นนี้:

$$ Y "\u003d \\ left (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา)" \u003d 9 \\ cdot \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา) "\u003d \\\\ \u003d 108 \\ cdot \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x) \\ ขวา) ^ (11) \\ cdot (\\ arctg (4 \\ cdot \\ ln x))" \u003d 108 \\ ln x)) "\u003d 108 \\ ln x))" \u003d 108 \\ ln x)) "\u003d 108 \\ ln x) \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา) ^ (11) \\ ดอท \\ FRAC (1) (1 + 16 \\ cdot \\ LN ^ 2 x) \\ ดอท (4 \\ ดอท \\ LN x) " แท็ก (2.3) $$

มันยังคงที่จะหา $ (4 \\ cdot \\ ln x) "$ ฉันจะนำค่าคงที่ (เช่น 4) สำหรับสัญลักษณ์ของอนุพันธ์: $ (4 \\ cdot \\ ln x)" \u003d 4 \\ cdot (\\ ln x) "$ สำหรับเพื่อที่จะหา $ (\\ LN x) "$ เราใช้หมายเลขสูตร 8 แทน $ U \u003d x $: $ (\\ LN x)"\u003d \\ FRAC (1) (x) \\ cdot x" $. ตั้งแต่ $ x "\u003d $ 1 แล้ว $ (\\ LN x)" \u003d \\ FRAC (1) (X) \\ ดอทเอ็กซ์ "\u003d \\ FRAC (1) (x) \\ cdot 1 \u003d \\ FRAC (1) (x) $ การทดแทนผลลัพธ์ที่ได้จากสูตร (2.3) เราได้รับ:

$$ y "\u003d \\ left (9 \\ cdot \\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ ขวา)" \u003d 9 \\ cdot \\ left (\\ arctg ^ (12) (4 \\ cdot \\ ln x) \\ ขวา) "\u003d \\\\ \u003d 108 \\ cdot \\ left (\\ arctg (4 \\ ดอท \\ LN X) \\ ขวา) ^ (11) \\ ดอท (\\ arctg (4 \\ ดอท \\ LN X))" \u003d 108 \\ ดอท \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา) ^ (11) \\ ดอท \\ FRAC (1) (1 + 16 \\ cdot \\ LN ^ 2 x) \\ ดอท (4 \\ ดอท \\ LN x) " \u003d \\\\ \u003d 108 \\ ดอท \\ left (\\ arctg (4 \\ cdot \\ LN x) \\ ขวา) ^ (11) \\ ดอท \\ FRAC (1) (1 + 16 \\ ดอท \\ LN ^ 2 x) \\ 4 ดอท \\ ดอท \\ FRAC (1) (x) \u003d 432 \\ ดอท \\ FRAC (\\ arctg ^ (11) (4 \\ cdot \\ LN x)) (x \\ ดอท (1 + 16 \\ ดอท \\ LN ^ 2 x)). $ เงิน

ให้ฉันเตือนคุณว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมักจะอยู่ในบรรทัดเดียวที่บันทึกไว้ในความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้าย ดังนั้นเมื่อทำการคำนวณทั่วไปหรืองานทดสอบมันไม่จำเป็นต้องทาสีโซลูชันเช่นเดียวกับรายละเอียด

ตอบ: $ y "\u003d 432 \\ cdot \\ frac (\\ arctg ^ (11) (4 \\ cdot \\ ln x)) (x \\ cdot (1 + 16 \\ cdot \\ ln ^ 2 x)) $

ตัวอย่างหมายเลข 3

ค้นหา $ Y "$ ฟังก์ชั่น $ y \u003d \\ sqrt (\\ sin ^ 3 (5 \\ cdot9 ^ x)) $

เพื่อเริ่มต้นกับเราเปลี่ยนฟังก์ชั่น $ Y $ แสดงความรุนแรง (root) ในรูปแบบของการศึกษาระดับปริญญา: $ การ y \u003d \\ sqrt (\\ บาป ^ 3 (5 \\ Cdot9 ^ x)) \u003d \\ left (\\ บาป (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ FRAC (3) (7)) $ ตอนนี้ดำเนินการค้นหาอนุพันธ์ ตั้งแต่ $ y \u003d \\ ซ้าย (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ frac (3) (7)) $ จากนั้น:

$$ y "\u003d \\ left (ซ้าย (\\ sin (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ frac (3) (7) (7)) \\ ขวา)" \\ 3.1) $$

เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากตารางอนุพันธ์, ทดแทน $ u \u003d \\ sin ในนั้น (5 \\ cdot 9 ^ x) $ และ $ \\ alpha \u003d \\ Frac (3) (7) $:

$$ \\ left (\\ left (\\ บาป (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ FRAC (3) (7)) \\ ขวา) "\u003d \\ FRAC (3) (7) \\ ดอท \\ ซ้าย ( \\ Sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ FRAC (3) (7) -1) (\\ บาป (5 \\ cdot 9 ^ x)) "\u003d \\ FRAC (3) (7) \\ ดอท \\ ซ้าย (\\ SIN (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (- \\ frac (4) (7)) (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "$$

เรายังคงความเท่าเทียมกัน (3.1) โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ:

$$ y "\u003d \\ ซ้าย (\\ ซ้าย (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ frac (3) (7) (7)) \\ ขวา)" \u003d \\ frac (3) cdot \\ ซ้าย (\\ SIN (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (- \\ frac (4) (7)) (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "\\ 3.2) $$

ตอนนี้คุณต้องค้นหา $ (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "$ เราใช้สำหรับสูตรนี้หมายเลข 9 จากตารางอนุพันธ์การแทนที่ $ u \u003d 5 \\ cdot 9 ^ x $ เป็น:

$$ (\\ SIN (5 \\ cdot 9 ^ x)) "\u003d \\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot (5 \\ cdot 9 ^ x)" $$

การเสริมความเท่าเทียมกัน (3.2) ผลลัพธ์ที่ได้รับเรามี:

$$ y "\u003d \\ ซ้าย (\\ ซ้าย (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ frac (3) (7) (7)) \\ ขวา)" \u003d \\ frac (3) cdot \\ ซ้าย (\\ SIN (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (- \\ frac (4) (7)) (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x)) "\u003d \\\\ \u003d \\ frac (3) (7) c cdot \\ left (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (- \\ frac (4) (7)) \\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot (5 \\ cdot 9) \\ cdot (5 \\ cdot 9 ^ x) "\\ แท็ก (3.3) $$

มันยังคงที่จะหา $ (5 \\ cdot 9 ^ x) "$ สำหรับการเริ่มต้นเราจะใส่คงที่ (จำนวน $ 5 $) สำหรับสัญญาณอนุพันธ์คือ $ (5 \\ cdot 9 ^ x)" \u003d 5 \\ ดอท (9 ^ x) "$ เพื่อหาที่มาของ $ a (9 ^ x)" $ เราใช้สูตรฉบับที่ 5 ของตารางอนุพันธ์แทน $ a \u003d 9 $ และ $ U \u003d x $: $ (9 ^ x) "\u003d ^ 9 x \\ cdot \\ LN9 \\ ดอทเอ็กซ์" $ . ตั้งแต่ $ x "\u003d $ 1 แล้ว $ (9 ^ x)" \u003d 9 ^ X \\ cdot \\ LN9 \\ cdot x "\u003d 9 ^ X \\ ดอท \\ LN9 $ ตอนนี้คุณสามารถดำเนินการต่อความเท่าเทียมกัน (3.3):

$$ y "\u003d \\ ซ้าย (\\ ซ้าย (\\ sin (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ frac (3) (7) (7)) \\ ขวา)" \u003d \\ frac (3) cdot \\ left (\\ บาป (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (- \\ FRAC (4) (7)) (\\ บาป (5 \\ cdot 9 ^ x)) "\u003d \u003d \\\\ \\ FRAC (3) (7) \\ cdot \\ left (\\ บาป (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (- \\ FRAC (4) (7)) \\ COS (5 \\ ดอท 9 ^ x) \\ ดอท (5 \\ ดอท 9 ^ x) "\u003d \\ FRAC (3) (7) \\ ดอท \\ left (\\ บาป (5 \\ ดอท 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (- \\ FRAC (4) (7)) \\ COS (5 \\ ดอท 9 ^ x) \\ 5 ดอท \\ ดอท 9 ^ x \\ ดอท \\ LN9 \u003d \\\\ \u003d \\ FRAC (15 \\ ดอท \\ LN 9) (7) \\ cdot \\ left (\\ บาป (5 \\ ^ ดอท 9 x) \\ ขวา) ^ (- \\ frac (4) (7)) \\ cdot \\ cos (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot 9 ^ x $$

คุณสามารถกลับไปอนุมูลอีกครั้งจากองศา (เช่นราก) เขียน $ \\ left (\\ บาป (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (- \\ FRAC (4) (7)) $ ในรูปแบบของที่ $ \\ FRAC (1) (\\ left (\\ บาป (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ ขวา) ^ (\\ FRAC (4) (7))) \u003d \\ FRAC (1) (\\ SQRT (\\ Sin ^ 4 (5 \\ ^ ดอท 9 x))) $ จากนั้นอนุพันธ์จะถูกบันทึกในแบบฟอร์มนี้:

$$ Y "\u003d \\ FRAC (15 \\ ดอท \\ LN 9) (7) \\ ดอท \\ left (\\ บาป (5 \\ ดอท 9 ^ X) \\ ขวา) ^ (- \\ FRAC (4) (7)) \\ ดอท \\ COS (5 \\ cdot 9 ^ x) \\ cdot 9 ^ x \u003d \\ FRAC (15 \\ ดอท \\ LN 9) (7) \\ ดอท \\ FRAC (\\ COS (5 \\ ดอท 9 ^ x) \\ ดอท 9 ^ x) (\\ sqrt (\\ sin ^ 4 (5 \\ cdot 9 ^ x)). $$

ตอบ: $ Y "\u003d \\ FRAC (15 \\ ดอท \\ LN 9) (7) \\ ดอท \\ FRAC (\\ COS (5 \\ ดอท 9 ^ X) \\ ดอท 9 ^ x) (\\ SQRT (\\ Sin ^ 4 (5 \\ cdot 9 ^ x))) $

ตัวอย่างหมายเลข 4

เพื่อแสดงว่าหมายเลขสูตรที่ 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์เป็นกรณีพิเศษของสูตรหมายเลข 2 ของตารางนี้

ในสูตรหมายเลข 2 ของตารางอนุพันธ์อนุพันธ์ของฟังก์ชั่น $ u ^ \\ Alpha $ ถูกบันทึกไว้ การทดแทน $ \\ alpha \u003d -1 $ in สูตรหมายเลข 2 เราได้รับ:

$$ (u ^ (- 1)) "\u003d - 1 \\ cdot u ^ (- 1-1) \\ cdot u" \u003d - u ^ (- 2) c cdot u "\\ แท็ก (4.1) $$

ตั้งแต่ $ U ^ (- 1) \u003d \\ FRAC (1) (U) $ และ $ U ^ (- 2) \u003d \\ FRAC (1) (U ^ 2) $ แล้วความเท่าเทียมกัน (4.1) สามารถเขียน: $ \\ ซ้าย (\\ frac (1) (u) \\ ขวา) "\u003d - \\ frac (1) (u ^ 2) \\ cdot u" $ นี่คือสูตรหมายเลข 3 ของตารางอนุพันธ์

กลับสู่สูตรหมายเลข 2 ของตารางอนุพันธ์ เราจะทดแทน $ \\ alpha \u003d \\ frac (1) (2) $:

$$ \\ left (U ^ (\\ FRAC (1) (2)) \\ ขวา) "\u003d \\ FRAC (1) (2) \\ ดอท U ^ (\\ FRAC (1) (2) -1) \\ ดอท U" \u003d \\ FRAC (1) (2) u ^ (- \\ frac (1) (2)) \\ cdot u "\\ tag (4.2) $$

ตั้งแต่ $ U ^ (\\ FRAC (1) (2)) \u003d \\ SQRT (U) $ และ $ U ^ (- \\ FRAC (1) (2)) \u003d \\ FRAC (1) (U ^ (\\ FRAC (1 ) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (u)) จากนั้นความเท่าเทียมกัน (4.2) สามารถเขียนใหม่ในแบบฟอร์มนี้:

$$ (\\ SQRT (U)) "\u003d \\ FRAC (1) (2) \\ ดอท \\ FRAC (1) (\\ SQRT (U)) \\ cdot U" \u003d \\ FRAC (1) (2 \\ SQRT (U) ) c cdot u "$$

ความเท่าเทียมกันที่ได้รับ $ (\\ sqrt (u)) "\u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (u)) \\ cdot u" $ คือสูตรหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์ อย่างที่คุณเห็นสูตรหมายเลข 3 และหมายเลข 4 ของตารางอนุพันธ์จะได้รับจากสูตรหมายเลข 2 ด้วยการทดแทนมูลค่าที่สอดคล้องกันของ $ \\ Alpha $

หากคุณทำตามคำจำกัดความอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่จุดคือขีด จำกัด ของความสัมพันธ์ของฟังก์ชันการเพิ่มδ y. เพื่อเพิ่มอาร์กิวเมนต์δ เอ็กซ์:

ดูเหมือนว่าทุกอย่างชัดเจน แต่ลองคำนวณตามสูตรนี้พูดฟังก์ชั่นอนุพันธ์ f.(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 2 + (2เอ็กซ์ + 3) · อี. เอ็กซ์ ·บาป เอ็กซ์. หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากที่หน้าคอมพิวเตอร์สองหน้าคุณเพิ่งตก ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพ

ในการเริ่มต้นเราโปรดทราบว่าฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาที่เรียกว่าสามารถแตกต่างจากฟังก์ชั่นที่หลากหลาย สิ่งเหล่านี้เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายอนุพันธ์ที่คำนวณมานานแล้วและระบุไว้ในตาราง ฟังก์ชั่นดังกล่าวเพียงแค่จำ - พร้อมกับอนุพันธ์ของพวกเขา

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษา

ฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาคือทั้งหมดที่ระบุไว้ด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นเหล่านี้ควรเป็นที่รู้จักกันในหัวใจ ยิ่งกว่านั้นเพื่อจดจำพวกเขาค่อนข้างง่าย - พวกเขาเป็นประถม

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษา:

หากฟังก์ชั่นเบื้องต้นคูณด้วยค่าคงที่โดยพลการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นใหม่ก็ถือได้อย่างง่ายดายเช่นกัน:

(ค. · f.)’ = ค. · f. ’.

โดยทั่วไปค่าคงที่สามารถทำเพื่อสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ ตัวอย่างเช่น:

(2เอ็กซ์ 3) '\u003d 2 · ( เอ็กซ์ 3) '\u003d 2 · 3 เอ็กซ์ 2 = 6เอ็กซ์ 2 .

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาสามารถพับซึ่งกันและกันคูณหาร - และอีกมากมาย ดังนั้นฟังก์ชั่นใหม่จะปรากฏขึ้นไม่ได้เป็นพื้นฐานอีกต่อไป แต่ยังแตกต่างกันไปตามกฎบางอย่าง กฎเหล่านี้มีการกล่าวถึงด้านล่าง

อนุพันธ์ของจำนวนและความแตกต่าง

ให้ฟังก์ชั่นได้รับ f.(เอ็กซ์) ผม. กรัม(เอ็กซ์) อนุพันธ์ที่เราเป็นที่รู้จัก ตัวอย่างเช่นคุณสามารถใช้ฟังก์ชั่นเบื้องต้นที่กล่าวถึงข้างต้น จากนั้นคุณสามารถค้นหาอนุพันธ์ของผลรวมและความแตกต่างของฟังก์ชั่นเหล่านี้:

1. (f. + กรัม)’ = f. ’ + กรัม ’
2. (f. − กรัม)’ = f. ’ − กรัม ’

ดังนั้นอนุพันธ์ของจำนวนเงิน (ความแตกต่าง) ของสองฟังก์ชั่นจะเท่ากับจำนวนเงิน (ความแตกต่าง) ของอนุพันธ์ ส่วนประกอบอาจสูงกว่า ตัวอย่างเช่น, ( f. + กรัม + เอช.)’ = f. ’ + กรัม ’ + เอช. ’.

การพูดอย่างเคร่งครัดในพีชคณิตไม่มีแนวคิดของ "การลบ" มีแนวคิด "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง f. − กรัม สามารถเขียนใหม่เป็นผลรวม f. + (-1) · กรัมจากนั้นเพียงหนึ่งสูตรจะยังคงอยู่ - อนุพันธ์ของจำนวนเงิน

f.(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 2 + SIN X; กรัม(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 4 + 2เอ็กซ์ 2 − 3.

ฟังก์ชั่น f.(เอ็กซ์) - นี่คือผลรวมของสองฟังก์ชั่นเบื้องต้นดังนั้น:

f. ’(เอ็กซ์) = (เอ็กซ์ 2 + บาป เอ็กซ์)’ = (เอ็กซ์ 2) '+ (บาป เอ็กซ์)’ = 2เอ็กซ์ + cos x;

ในทำนองเดียวกันเราโต้แย้งสำหรับฟังก์ชั่น กรัม(เอ็กซ์. มีเพียงสามคำเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

กรัม ’(เอ็กซ์) = (เอ็กซ์ 4 + 2เอ็กซ์ 2 − 3)’ = (เอ็กซ์ 4 + 2เอ็กซ์ 2 + (−3))’ = (เอ็กซ์ 4)’ + (2เอ็กซ์ 2)’ + (−3)’ = 4เอ็กซ์ 3 + 4เอ็กซ์ + 0 = 4เอ็กซ์ · ( เอ็กซ์ 2 + 1).

ตอบ:
f. ’(เอ็กซ์) = 2เอ็กซ์ + cos x;
กรัม ’(เอ็กซ์) = 4เอ็กซ์ · ( เอ็กซ์ 2 + 1).

ผลงานที่ได้รับ

คณิตศาสตร์ - วิทยาศาสตร์เป็นตรรกะจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของจำนวนเงินเท่ากับจำนวนอนุพันธ์จากนั้นอนุพันธ์ของงาน โจมตี."\u003e เท่ากับผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ แต่รูปที่คุณ! อนุพันธ์ของงานถือเป็นสูตรอื่น ได้แก่ :

(f. · กรัม) ’ = f. ’ · กรัม + f. · กรัม ’

สูตรง่าย แต่มักถูกลืม และไม่เพียง แต่นักเรียน แต่ยังรวมถึงนักเรียน ผลลัพธ์ที่ได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ: f.(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 3 · cos x; กรัม(เอ็กซ์) = (เอ็กซ์ 2 + 7เอ็กซ์ - 7) · อี. เอ็กซ์ .

ฟังก์ชั่น f.(เอ็กซ์) มันเป็นผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาดังนั้นทุกอย่างง่าย ๆ :

f. ’(เอ็กซ์) = (เอ็กซ์ 3 ·เพราะ เอ็กซ์)’ = (เอ็กซ์ 3) '· cos เอ็กซ์ + เอ็กซ์ 3 · (cos เอ็กซ์)’ = 3เอ็กซ์ 2 ·เพราะ เอ็กซ์ + เอ็กซ์ 3 · (- บาป เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 2 · (3cos เอ็กซ์ − เอ็กซ์ ·บาป เอ็กซ์)

ฟังก์ชั่น กรัม(เอ็กซ์) ปัจจัยแรกที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่โครงการทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลงจากนี้ เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชั่นปัจจัยแรก กรัม(เอ็กซ์) มันเป็นพหุนามและอนุพันธ์ของมันเป็นอนุพันธ์ของจำนวนเงิน เรามี:

กรัม ’(เอ็กซ์) = ((เอ็กซ์ 2 + 7เอ็กซ์ - 7) · อี. เอ็กซ์)’ = (เอ็กซ์ 2 + 7เอ็กซ์ - 7) '· อี. เอ็กซ์ + (เอ็กซ์ 2 + 7เอ็กซ์ - 7) · ( อี. เอ็กซ์)’ = (2เอ็กซ์ + 7) · อี. เอ็กซ์ + (เอ็กซ์ 2 + 7เอ็กซ์ - 7) · อี. เอ็กซ์ = อี. เอ็กซ์ · (2. เอ็กซ์ + 7 + เอ็กซ์ 2 + 7เอ็กซ์ −7) = (เอ็กซ์ 2 + 9เอ็กซ์) · อี. เอ็กซ์ = เอ็กซ์(เอ็กซ์ + 9) · อี. เอ็กซ์ .

ตอบ:
f. ’(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 2 · (3cos เอ็กซ์ − เอ็กซ์ ·บาป เอ็กซ์);
กรัม ’(เอ็กซ์) = เอ็กซ์(เอ็กซ์ + 9) · อี. เอ็กซ์ .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้ายการลดลงอนุพันธ์ต่อตัวคูณ อย่างเป็นทางการนี้ไม่จำเป็นต้องทำ แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่คำนวณด้วยตนเอง แต่เพื่อสำรวจฟังก์ชั่น ดังนั้นอนุพันธ์เพิ่มเติมจะมีค่าเท่ากับศูนย์สัญญาณของมันจะมีการชี้แจงและอื่น ๆ สำหรับกรณีเช่นนี้จะเป็นการดีกว่าที่จะมีนิพจน์ที่วางลงบนตัวคูณ

หากมีสองฟังก์ชั่น f.(เอ็กซ์) ผม. กรัม(เอ็กซ์) และ กรัม(เอ็กซ์) ≠ 0 ในชุดที่น่าสนใจให้เราคุณสามารถกำหนดคุณสมบัติใหม่ได้ เอช.(เอ็กซ์) = f.(เอ็กซ์)/กรัม(เอ็กซ์. สำหรับฟังก์ชั่นดังกล่าวคุณสามารถหาอนุพันธ์:

Notlabo ใช่ไหม ลบมาจากไหน ทำไม กรัม 2? นั่นเป็นวิธี! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ยากที่สุด - ไม่มีขวดจะไม่กระจาย ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะศึกษาในตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

งาน. ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ:

ในตัวเศษและตัวหารของแต่ละเศษส่วนมีฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษาดังนั้นทุกอย่างที่เราต้องการคือสูตรของอนุพันธ์ส่วนตัว:

ตามประเพณีกระจายตัวเศษเป็นตัวคูณ - สิ่งนี้จะทำให้คำตอบง่ายขึ้นอย่างมาก:

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องมีความยาวสูตรในครึ่งสโคป ตัวอย่างเช่นมันเพียงพอที่จะใช้งานฟังก์ชั่น f.(เอ็กซ์) \u003d บาป เอ็กซ์ และแทนที่ตัวแปร เอ็กซ์สมมุติว่า เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์. เมื่อใดก็ตามที่ f.(เอ็กซ์) \u003d บาป ( เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์) - นี่คือฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน นอกจากนี้เธอยังมีอนุพันธ์ แต่มันจะเป็นไปไม่ได้ที่จะหาตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น

จะเป็นอย่างไร ในกรณีเช่นนี้จะช่วยแทนที่ตัวแปรและสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:

f. ’(เอ็กซ์) = f. ’(ต.) · ต. 'ถ้าเป็น เอ็กซ์ แทนที่ด้วย ต.(เอ็กซ์).

ตามกฎแล้วด้วยความเข้าใจในสูตรนี้สถานการณ์นั้นน่าเศร้ายิ่งกว่ากับอนุพันธ์ส่วนตัว ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายตัวอย่างเฉพาะด้วยคำอธิบายโดยละเอียดของแต่ละขั้นตอน

งาน. ค้นหาฟังก์ชั่นที่ได้รับ: f.(เอ็กซ์) = อี. 2เอ็กซ์ + 3 ; กรัม(เอ็กซ์) \u003d บาป ( เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชั่น f.(เอ็กซ์) แทนการแสดงออก 2 เอ็กซ์ + 3 จะเป็นเพียง เอ็กซ์จากนั้นมันจะกลายเป็นฟังก์ชั่นเบื้องต้น f.(เอ็กซ์) = อี. เอ็กซ์ . ดังนั้นเราจึงเปลี่ยน: ให้ 2 เอ็กซ์ + 3 = ต., f.(เอ็กซ์) = f.(ต.) = อี. ต. . เรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนโดยสูตร:

f. ’(เอ็กซ์) = f. ’(ต.) · ต. ’ = (อี. ต.)’ · ต. ’ = อี. ต. · ต. ’

และตอนนี้ - ความสนใจ! ทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: ต. = 2เอ็กซ์ + 3. เราได้รับ:

f. ’(เอ็กซ์) = อี. ต. · ต. ’ = อี. 2เอ็กซ์ + 3 · (2 เอ็กซ์ + 3)’ = อี. 2เอ็กซ์ + 3 · 2 \u003d 2 · อี. 2เอ็กซ์ + 3

ตอนนี้เราจะจัดการกับฟังก์ชั่น กรัม(เอ็กซ์. เห็นได้ชัดว่าคุณต้องเปลี่ยน เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์ = ต.. เรามี:

กรัม ’(เอ็กซ์) = กรัม ’(ต.) · ต. '\u003d (บาป ต.)’ · ต. '\u003d เพราะ ต. · ต. ’

การทดแทนย้อนกลับ: ต. = เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์. จากนั้น:

กรัม ’(เอ็กซ์) \u003d cos ( เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์) · ( เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์) '\u003d cos ( เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์) · (2 เอ็กซ์ + 1/เอ็กซ์).

นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากการแสดงออกล่าสุดงานทั้งหมดจะลดลงเป็นการคำนวณของอนุพันธ์

ตอบ:
f. ’(เอ็กซ์) \u003d 2 · อี. 2เอ็กซ์ + 3 ;
กรัม ’(เอ็กซ์) = (2เอ็กซ์ + 1/เอ็กซ์) · COS ( เอ็กซ์ 2 + ln เอ็กซ์).

บ่อยครั้งในบทเรียนแทนที่จะเป็นคำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "บาร์" ตัวอย่างเช่นแถบจากจำนวนเงินเท่ากับผลรวมของจังหวะ ชัดเจนมาก? ดีมาก

ดังนั้นการคำนวณอนุพันธ์ลงมาเพื่อกำจัดไกด์เหล่านี้ตามกฎที่กล่าวถึงข้างต้น ในฐานะที่เป็นตัวอย่างสุดท้ายเราจะกลับสู่ระดับอนุพันธ์ด้วยตัวบ่งชี้เหตุผล:

(เอ็กซ์ น.)’ = น. · เอ็กซ์ น. − 1

ไม่กี่คนที่รู้ว่ามีอะไรอยู่ น. มันอาจทำหน้าที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่นรากคือ เอ็กซ์ 0.5 และถ้าอยู่ใต้รากจะมีอะไรยุ่งยาก? อีกครั้งที่ได้รับฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน - โครงสร้างดังกล่าวชอบที่จะให้การทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์:

ในการเริ่มต้นใหม่เขียนรากใหม่ในรูปแบบของปริญญาที่มีตัวบ่งชี้เหตุผล:

f.(เอ็กซ์) = (เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์ − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์ − 7 = ต.. ค้นหาอนุพันธ์ของสูตร:

f. ’(เอ็กซ์) = f. ’(ต.) · ต. ’ = (ต. 0.5) '· ต. '\u003d 0,5 · ต. -0,5 · ต. ’.

เราเปลี่ยน: ต. = เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์ - 7. เรามี:

f. ’(เอ็กซ์) \u003d 0.5 · ( เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์ - 7) -0,5 · ( เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์ - 7) '\u003d 0.5 · (2 เอ็กซ์ + 8) · ( เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์ − 7) −0,5 .

ในที่สุดเรากลับไปที่ราก:

เมื่อคุณมาที่นี่แล้วมันอาจมีเวลาที่จะเห็นสูตรนี้ในตำราเรียน

และเพื่อให้บุคคลดังกล่าว:

เพื่อนไม่ต้องกังวล! ในความเป็นจริงทุกอย่างง่ายต่อการขายหน้า คุณจะเข้าใจทุกอย่างแน่นอน คำขอเดียวเท่านั้น - อ่านบทความ ช้าพยายามทำความเข้าใจทุกขั้นตอน ฉันเขียนง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้และชัดเจน แต่ฉันต้องคายเป็นความคิด และให้แน่ใจว่าได้แก้ปัญหาของบทความ

ฟังก์ชั่นที่ยากคืออะไร?

ลองนึกภาพว่าคุณย้ายไปยังอพาร์ตเมนต์อื่นและดังนั้นจึงรวบรวมสิ่งต่าง ๆ ในกล่องขนาดใหญ่ ปล่อยให้จำเป็นต้องรวบรวมรายการย่อยใด ๆ เช่นอุปกรณ์เสริมที่เขียนโรงเรียน หากคุณแค่โยนลงในกล่องขนาดใหญ่พวกเขาจะหลงทางท่ามกลางสิ่งอื่น ๆ เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหานี้คุณใส่พวกเขาก่อนในแพ็คเกจซึ่งจะวางในกล่องขนาดใหญ่แล้วปิดผนึก กระบวนการ "ที่ยากที่สุด" นี้แสดงในแผนภาพด้านล่าง:

ดูเหมือนว่าคณิตศาสตร์อยู่ที่ไหน ใช่แม้จะมีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนนั้นเกิดขึ้นในลักษณะเดียวกัน! "แพ็ค" เท่านั้นเราไม่ใช่โน้ตบุ๊คและจัดการและ \\ (x \\) ด้วย "แพ็คเกจ" และ "กล่อง" แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่นใช้ x และ "หมุน" ไปยังฟังก์ชั่น:

เป็นผลให้เราได้ชัดเจน \\ (\\ cos\u2061x \\) นี่คือ "แพ็คเกจของเรากับสิ่งต่าง ๆ " ตอนนี้ใส่ไว้ใน "กล่อง" - เราบรรจุตัวอย่างเช่นในการทำงานของลูกบาศก์

เกิดอะไรขึ้นในที่สุด? ใช่มันเป็นเรื่องจริงที่จะมี "แพ็คเกจกับสิ่งต่าง ๆ ในกล่อง" นั่นคือ "Cosinus Iksa ในคิวบา"

การออกแบบที่เกิดขึ้นเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน มันแตกต่างจากสิ่งง่าย ๆ ที่ หลาย "อิทธิพล" (แพ็คเกจ) ในแถวที่ใช้กับหนึ่ง ICSU และปรากฎว่า "ฟังก์ชั่นฟังก์ชั่น" - "บรรจุภัณฑ์ในแพ็คเกจ"

ในปีการศึกษาของสายพันธุ์ของแพ็คเกจ "มากที่สุดเหล่านี้ค่อนข้างน้อยสี่:

ตอนนี้ "แพ็ค" IX เป็นครั้งแรกในฟังก์ชั่นบ่งบอกถึงฐาน 7 แล้วในฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราได้รับ:

\\ (x → 7 ^ x →tg\u2061 (7 ^ x) \\)

และตอนนี้ "แพ็ค" x สองครั้งในฟังก์ชั่นตรีโกณมิติครั้งแรกในแล้วใน:

\\ (x →sin\u2061x→ctg\u2061 (sin\u2061x) \\)

พูดง่ายๆ?

เขียนตอนนี้ฟังก์ชั่นตัวเองโดยที่ x:
- ครั้งแรก "บรรจุ" ลงในโคไซน์แล้วในฟังก์ชั่นบ่งบอกถึงฐาน \\ (3 \\);
- อันดับแรกในระดับที่ห้าแล้วสัมผัสกัน
- ก่อนในลอการิทึมตามฐาน \\ (4 \\) จากนั้นถึงระดับ \\ (- 2 \\)

คำตอบสำหรับงานนี้ดูที่ส่วนท้ายของบทความ

เราสามารถ "แพ็ค" ไม่ใช่สอง "แพ็ค" และสามครั้ง? ไม่มีปัญหา! และสี่และห้าและยี่สิบห้าครั้ง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นที่ X คือ "บรรจุ" \\ (4 \\) ครั้ง:

\\ (y \u003d 5 ^ (\\ log_2\u2061 (\\ sin\u2061 (x ^ 4))) \\)

แต่สูตรดังกล่าวในการฝึกโรงเรียนจะไม่พบ (นักเรียนมีโชคดีกว่า - พวกเขาสามารถซับซ้อนมากขึ้น)

ฟังก์ชั่น "เปิดออก" ที่ซับซ้อน

ดูคุณสมบัติก่อนหน้านี้อีกครั้ง คุณสามารถหาลำดับของ "บรรจุภัณฑ์" ได้หรือไม่? สิ่งที่ x ถูกยัดเป็นอันดับแรกอะไรและเป็นต้นไปจนถึงที่สุด นั่นคือ - มีการลงทุนฟังก์ชั่นอะไรบ้าง? นำใบไม้และเขียนตามที่คุณคิด คุณสามารถทำให้ห่วงโซ่กับลูกศรได้ตามที่เราเขียนไว้ข้างต้นหรือด้วยวิธีอื่น

ตอนนี้คำตอบที่ถูกต้องคือ: ตอนแรก IKS "บรรจุ" ใน \\ (4 \\) - ระดับนี้ผลลัพธ์ถูกบรรจุในไซนัสในทางกลับกันพวกเขาถูกวางไว้ในลอการิทึมบนพื้นฐานของ \\ (2 \\) และ ในท้ายที่สุดการออกแบบทั้งหมดนี้ติดอยู่ในระดับห้า

นั่นคือมันเป็นสิ่งจำเป็นในการผ่อนคลายลำดับในลำดับย้อนกลับ จากนั้นเคล็ดลับวิธีการทำง่ายขึ้น: ดู X - จากเขาทันทีและจำเป็นต้องเต้น ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างเช่นนี่เป็นฟังก์ชั่น: \\ (y \u003d tg\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\) เราดูที่ x - เกิดอะไรขึ้นกับเขาก่อน? ใช้เวลาจากเขา แล้วเหรอ? สัมผัสกันจากผลลัพธ์ ที่นี่และลำดับจะเหมือนกัน:

\\ (x → \\ log_2\u2061x→tg\u2061 (\\ log_2\u2061x) \\)

อีกตัวอย่างหนึ่ง: \\ (y \u003d \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\) เราวิเคราะห์ - ตอนแรก X ได้รับการยกระดับให้กับลูกบาศก์แล้วโคไซน์ก็ถูกนำมาจากผลลัพธ์ ดังนั้นลำดับจะเป็น: \\ (x → x ^ 3 → \\ cos\u2061 ((x ^ 3)) \\) ให้ความสนใจฟังก์ชั่นดูเหมือนว่าจะคล้ายกับที่แรก (ที่มีรูปภาพ) แต่นี่เป็นฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันอย่างสมบูรณ์: ที่นี่ในคิวบา x (เช่น \\ cos\u2061 ((x · x · x))) \\) และที่นั่นในคิวบา Kosinus \\ (x \\) (นั่นคือ \\ (นั่นคือ \\ (\\ cos \u2061 x · \\ cos\u2061x· \\ cos\u2061x \\)) ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นเนื่องจากลำดับที่แตกต่างกันของ "บรรจุภัณฑ์"

ตัวอย่างสุดท้าย (พร้อมข้อมูลสำคัญในนั้น): \\ (y \u003d \\ sin\u2061 ((2x + 5)) \\) เป็นที่ชัดเจนว่าการกระทำทางคณิตศาสตร์ที่มี X เป็นครั้งแรกที่ทำที่นี่จากนั้นไซนัสก็มาจากผลลัพธ์: \\ (x → 2x + 5 → \\ sin\u2061 ((2x + 5)) \\) และนี่เป็นประเด็นสำคัญ: แม้จะมีความจริงที่ว่าการกระทำทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติตัวเองไม่ใช่ที่นี่พวกเขายังทำหน้าที่เป็นวิธีการ "บรรจุภัณฑ์" ไปลึกซึ้งในความละเอียดอ่อนนี้

อย่างที่ฉันบอกข้างต้นในฟังก์ชั่นง่าย ๆ ของ x "บรรจุ" ครั้งเดียวและในที่ยาก - สองหรือมากกว่านั้น ในกรณีนี้การรวมกันของฟังก์ชั่นง่าย ๆ (นั่นคือผลรวมของพวกเขาความแตกต่างการคูณหรือการหาร) เป็นฟังก์ชั่นที่เรียบง่าย ตัวอย่างเช่น \\ (x ^ 7 \\) เป็นฟังก์ชั่นง่าย ๆ และ \\ (ctg x \\) - เช่นกัน ดังนั้นการรวมกันทั้งหมดของพวกเขาคือฟังก์ชั่นที่เรียบง่าย:

\\ (x ^ 7 + ctg x \\) เป็นเรื่องง่าย
\\ (x ^ 7 · ctg x \\) - ง่าย
\\ (\\ frac (x ^ 7) (ctg x) \\) - ง่าย ๆ ฯลฯ

อย่างไรก็ตามหากคุณใช้ฟังก์ชั่นอื่นเพื่อการรวมกันดังกล่าว - จะมีฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเนื่องจาก "แพ็คเกจ" จะกลายเป็นสอง ดูโครงการ:

มาตอนนี้ด้วยตัวเอง เขียนลำดับของฟังก์ชั่น "ห่อ":
\\ (y \u003d cos (\u2061 (sin\u2061x)) \\)
\\ (y \u003d 5 ^ (x ^ 7) \\)
\\ (y \u003d arctg\u2061 (11 ^ x) \\)
\\ (y \u003d log_2\u2061 (1 + x) \\)
ตอบอีกครั้งในตอนท้ายของบทความ

ฟังก์ชั่นภายในและภายนอก

ทำไมเราต้องเข้าใจการทำรังของฟังก์ชั่น? สิ่งที่ทำให้เรานี้? ความจริงก็คือโดยที่ไม่มีการวิเคราะห์ดังกล่าวเราจะไม่สามารถค้นหาอนุพันธ์ถอดประกอบได้อย่างน่าเชื่อถือด้านบนฟังก์ชั่น

และเพื่อที่จะไปต่อเราต้องการสองแนวคิดเพิ่มเติม: ฟังก์ชั่นภายในและภายนอก นี่เป็นสิ่งที่ง่ายมากยิ่งไปกว่านั้นในความเป็นจริงเราได้ถอดประกอบพวกเขาด้านบนแล้ว: หากคุณจำการเปรียบเทียบของเราในตอนแรกฟังก์ชั่นภายในเป็น "แพ็คเกจ" และภายนอกคือ "กล่อง" ที่. ความจริงที่ว่า x คือ "wrap up" ก่อน - นี่คือฟังก์ชั่นภายในจากนั้นสิ่งที่ "wrap up" มีอยู่ภายนอกแล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าทำไม - เธออยู่ข้างนอกมันหมายถึงภายนอก

ที่นี่ในตัวอย่างนี้: \\ (y \u003d tg\u2061 (log_2\u2061x) \\), ฟังก์ชัน \\ (\\ log_2\u2061x \\) เป็นภายในและ
- ภายนอก

และในนี้: \\ (y \u003d \\ cos\u2061 (x ^ 3 + 2x + 1)) \\), \\ (x ^ 3 + 2x + 1 \\) - ภายในและ
- ภายนอก

ในการปฏิบัติตามแนวทางปฏิบัติล่าสุดของการวิเคราะห์ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและให้เปิดขึ้นในที่สุดเพื่อประโยชน์ที่ทุกอย่างได้รับการรักษา - เราจะพบกับอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน:

เติมผ่านในตาราง:

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

Bravo us เรายังคงไปที่ "บอส" ในหัวข้อนี้ - ในความเป็นจริงอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนและเฉพาะกับสูตรที่แย่มากจากจุดเริ่มต้นของบทความ

\\ ((f (g (g (x))) "\u003d f" (g (g (x)) \\ cdot g "(x) \\)

สูตรนี้อ่านแบบนี้:

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนเท่ากับผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกตามภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงในอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายใน

และดูโครงการแยกวิเคราะห์ "ตาม" ทันทีเพื่อทำความเข้าใจกับสิ่งที่ต้องปฏิบัติต่อ:

ฉันหวังว่าคำว่า "อนุพันธ์" และ "งาน" ไม่ทำให้เกิดปัญหา "ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน" - เราถอดประกอบไปแล้ว อุปสรรค์ใน "อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นภายนอกในการเปลี่ยนแปลงภายใน" มันคืออะไร?

คำตอบ: นี่คืออนุพันธ์ตามปกติของฟังก์ชั่นภายนอกซึ่งมีเพียงการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่นภายนอกและภายในยังคงเหมือนเดิม มันไม่ชัดเจนหรือไม่ ดีมาตัวอย่าง

ให้เรามีฟังก์ชั่น \\ (y \u003d \\ sin\u2061 (x ^ 3) \\) เป็นที่ชัดเจนว่าฟังก์ชั่นภายในที่นี่ \\ (x ^ 3 \\) และภายนอก
. ตอนนี้เราพบอนุพันธ์ของภายนอกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใน

ตัวอย่างของการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

ดูสิ่งนี้ด้วย: หลักฐานของสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

สูตรพื้นฐาน

ที่นี่เราให้ตัวอย่างของการคำนวณอนุพันธ์จากฟังก์ชั่นต่อไปนี้:
; ; ; ; .

หากฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในรูปแบบต่อไปนี้:
,
มันถูกกำหนดโดยอนุพันธ์โดยสูตร:
.
ในตัวอย่างด้านล่างเราจะบันทึกสูตรนี้ดังนี้:
.
ที่ไหน.
ต่อไปนี้เป็นดัชนีที่ต่ำกว่าหรือตั้งอยู่ใต้สัญลักษณ์ของอนุพันธ์แสดงตัวแปรที่แสดงความแตกต่าง

โดยปกติในตารางของอนุพันธ์อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นจากตัวแปร x จะได้รับ อย่างไรก็ตาม X เป็นพารามิเตอร์อย่างเป็นทางการ ตัวแปร x สามารถแทนที่ด้วยตัวแปรอื่น ๆ ดังนั้นเมื่อสร้างความแตกต่างของฟังก์ชั่นจากตัวแปรเราเพียงแค่เปลี่ยนในตารางของอนุพันธ์ตัวแปร x เป็นตัวแปร U

ตัวอย่างง่าย ๆ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน
.

เราเขียนฟังก์ชั่นที่ระบุในรูปแบบที่เทียบเท่า:
.
ในตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
;
.

โดยสูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์เรามี:
.
ที่นี่

ตัวอย่างที่ 2

หาอนุพันธ์
.

เราดำเนินการถาวร 5 ต่อสัญญาณของอนุพันธ์และจากตารางของอนุพันธ์ที่เราพบ:
.

.
ที่นี่

ตัวอย่างที่ 3

หาอนุพันธ์
.

เราทนถาวร -1 สำหรับสัญลักษณ์ของอนุพันธ์และจากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
;
จากตารางอนุพันธ์ที่เราพบ:
.

ใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์:
.
ที่นี่

ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นเราใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนหลายครั้ง ในเวลาเดียวกันเราคำนวณอนุพันธ์จากจุดสิ้นสุด นั่นคือเราแบ่งฟังก์ชั่นไปยังส่วนประกอบและค้นหาอนุพันธ์ของชิ้นส่วนที่ง่ายที่สุดโดยใช้ อนุพันธ์ของตาราง . เรายังใช้ กฎความแตกต่างของผลรวม งานและเศษส่วน จากนั้นทำการทดแทนและใช้สูตรของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 4

หาอนุพันธ์
.

เราเน้นส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรและค้นหาอนุพันธ์ .

.
ที่นี่เราใช้การกำหนด
.

เราพบว่าอนุพันธ์ของส่วนต่อไปของฟังก์ชั่นต้นทางโดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ ใช้กฎความแตกต่างของจำนวนเงิน:
.

อีกครั้งเราใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน

.
ที่นี่

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาฟังก์ชั่นอนุพันธ์
.

เราเน้นส่วนที่ง่ายที่สุดของสูตรและจากตารางของอนุพันธ์เราจะพบอนุพันธ์ .

ใช้กฎความแตกต่างของฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน
.
ที่นี่
.

แยกความแตกต่างส่วนต่อไปนี้โดยใช้ผลลัพธ์ที่ได้รับ
.
ที่นี่
.

แยกความแตกต่างในส่วนต่อไปนี้

.
ที่นี่
.

ตอนนี้เราพบว่าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ต้องการ

.
ที่นี่
.