สองเทียบเท่า สมการเทียบเท่า ทฤษฎีบทในความเท่าเทียมกันของสมการ o สรุปการแก้ปัญหา

นิยาม สองสมการ f 1 (x) \u003d g 1 (x) และ f 2 (x) \u003d g 2 (x) เรียกว่าเทียบเท่าถ้าชุดของรากของพวกเขาตรง

ตัวอย่างเช่นสมการ x 2 -9 \u003d 0 และ (2 เอช. + 6)( เอช. - 3) \u003d 0 เทียบเท่าเนื่องจากทั้งสองมีรากของตัวเลข 3 และ -3 เทียบเท่าและสมการ (3) เอช. + 1)-2 = x 2- + 1 และ x 2 + 1 \u003d 0 ตามที่ทั้งสองไม่ใช่รูท I.e. รากของพวกเขาหลายอย่างตรงกันข้าม

นิยาม การเปลี่ยนสมการเทียบเท่ากับมันเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่า

ดังนั้นตอนนี้การเปลี่ยนแปลงใดที่อนุญาตให้ได้รับสมการที่เทียบเท่า

ทฤษฎีบท 1ปล่อยสมการ f (x) และ g (x)ตั้งค่าบนชุดและ เอช.(เอ็กซ์) - นิพจน์ที่กำหนดไว้ในชุดเดียวกัน สมการแล้ว f (x) \u003d g (x)(1) และ f (x) + h(เอ็กซ์) = g (x) + h(เอ็กซ์) (2) เทียบเท่า

หลักฐาน. แสดงให้เห็น t 1 -การแก้ปัญหาของสมการ (1) และผ่าน T 2 -การแก้ปัญหาของสมการ (2) จากนั้นสมการ (1) และ (2) จะเทียบเท่าถ้า t 1 \u003d t 2เพื่อให้แน่ใจว่าจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่ารากใด ๆ ของ t 1เป็นรากฐานของสมการ (2) และในทางตรงกันข้ามรากใด ๆ ของ t 2มันเป็นรากฐานของสมการ (1)

ปล่อยให้หมายเลข แต่- รากของสมการ (1) จากนั้น ก.? t 1,และในระหว่างการทดแทนเป็นสมการ (1) เปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง f (a) \u003d g (a)และการแสดงออก h (x)วาดเพื่อการแสดงออกเชิงตัวเลข เอช.(ก.) มีความหมายในชุด เอ็กซ์เพิ่มทั้งสองส่วนของความเสมอภาคที่แท้จริง f (a) \u003d g (a)การแสดงออกเชิงนิเวศ เอช.(ก.. เราได้รับตามคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันตัวเลขที่แท้จริงความเท่าเทียมกันตัวเลขที่แท้จริง f (a) + h(ก.) = g (a) + h(ก.) ซึ่งบ่งชี้ว่าจำนวน แต่มันเป็นรากฐานของสมการ (2)

ดังนั้นจึงพิสูจน์แล้วว่าแต่ละรากของสมการ (1) เป็นรากและสมการ (2), I.e. t 1จาก t 2.

ตอนนี้ แต่ -สมการราก (2) จากนั้น แต่? t 2 และในระหว่างการทดแทนเพื่อสมการ (2) เปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง f (a) + h(ก.) = g (a) + h(ก.. เราเพิ่มทั้งสองส่วนของการแสดงออกเชิงตัวเลขความเท่าเทียมกันนี้ - เอช.(ก.) เราได้รับความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง f (x) \u003d g (x),ซึ่งบ่งชี้ว่าจำนวน แต่ -สมการราก (1)

ดังนั้นจึงพิสูจน์แล้วว่าแต่ละรากของสมการ (2) เป็นรากฐานของสมการ (1), I. t 2 จาก t 1

เช่น t 1จาก t 2และ t 2จาก t 1,จากนั้นตามคำจำกัดความของชุดเท่ากัน t 1= t 2ดังนั้นสมการ (1) และ (2) เทียบเท่า

ทฤษฎีบทนี้สามารถสูตรเป็นอย่างอื่น: หากสมการที่มีเขตข้อมูลของการกำหนดถูกสังเกต เอ็กซ์เพิ่มนิพจน์เดียวกันกับตัวแปรที่กำหนดไว้ในชุดเดียวกันเราได้สมการใหม่เทียบเท่ากับสิ่งนี้

ผลที่ตามมาที่ใช้ในการแก้สมการสมการจากทฤษฎีบทนี้:

1. หากมีการเพิ่มสมการทั้งสองส่วนของสมการเราจะได้รับสมการเทียบเท่ากับสิ่งนี้

2. หากคำ (นิพจน์ตัวเลขหรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) ถูกถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของสมการหนึ่งไปยังอีกส่วนหนึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนประกอบไปทางตรงกันข้ามจากนั้นเราได้รับสมการเทียบเท่ากับสิ่งนี้

ทฤษฎีบท 2. ปล่อยสมการ f (x) \u003d g (x)ตั้งค่าบนชุด เอ็กซ์และ h (x) -นิพจน์ที่กำหนดไว้ในชุดเดียวกันและไม่ดึงดูดศูนย์ภายใต้ค่าใด ๆ เอช. จากชุด เอ็กซ์สมการแล้ว f (x) \u003d g (x)และ f (x) · h(เอ็กซ์) = g (x) · h(เอ็กซ์) เทียบเท่า

หลักฐานของทฤษฎีบทนี้คล้ายกับหลักฐานของทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบท 2 สามารถสูตรเป็นอย่างอื่น: หากทั้งสองส่วนของสมการกับฟิลด์นิยาม เอ็กซ์คูณด้วยนิพจน์เดียวกันที่กำหนดไว้ในชุดเดียวกันและไม่สามารถใช้กับศูนย์เราได้รับสมการใหม่เทียบเท่ากับสิ่งนี้

ของทฤษฎีบทนี้การสืบสวนกระแส: หากทั้งสองส่วนของสมการจะทวีคูณ (หรือแบ่ง) ไปยังหมายเลขเดียวกันนอกเหนือจากศูนย์เราได้รับสมการเทียบเท่ากับสิ่งนี้

การแก้สมการที่มีตัวแปรหนึ่งตัว

ฉันแก้สมการ 1- เอ็กซ์/3 = เอ็กซ์/6, เอ็กซ์ ? อาร์ และแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่เราจะดำเนินการในระหว่างการแก้ปัญหา

เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่เราดำเนินการแก้สมการนี้เทียบเท่ากันอาจเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่า 2 เป็นรากของสมการนี้

หากในกระบวนการของการแก้สมการเงื่อนไขของทฤษฎีบท 1 และ 2 ไม่พอใจการสูญเสียของรากอาจเกิดขึ้นหรือรากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้น ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญในการแปลงสมการเพื่อให้ได้มาง่ายขึ้นให้แน่ใจว่าพวกเขานำไปสู่สมการเทียบเท่ากับสิ่งนี้

พิจารณาตัวอย่างเช่นสมการ x (x -1) = 2x, x? อาร์. เราแยกทั้งสองส่วนไป เอช.ฉันได้รับสมการ x -1 \u003d 2 จากที่ใด เอช.\u003d 3, I.e. สมการนี้มีเพียงราก - หมายเลข 3 แต่เป็นจริงหรือไม่ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าถ้าสมการนี้เป็นแทนที่จะเป็นตัวแปร เอช.ทดแทน 0 มันจะกลายเป็นความเสมอภาคเชิงตัวเลขที่แท้จริง 0 · (0 - 1) \u003d 2 · 0 และนี่หมายความว่า 0 เป็นรากของสมการนี้ซึ่งเราสูญเสียการดำเนินการแปลง ลองวิเคราะห์พวกเขา สิ่งแรกที่เราทำคือแบ่งทั้งสองส่วนของสมการ x,ที่. คูณด้วย Expression1 / เอ็กซ์, แต่สำหรับ เอช. \u003d โอ้มันไม่สมเหตุสมผล ดังนั้นเราไม่ได้ปฏิบัติตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท 2 ซึ่งนำไปสู่การสูญเสียของราก

เพื่อให้แน่ใจว่าชุดของรากของสมการนี้ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว 0 และ 3 เราให้ทางออกอื่น เราถ่ายโอนนิพจน์ 2 เอช. จากด้านขวาไปทางซ้าย: x (H.- 1) - 2x \u003d 0 ฉันจะนำส่วนด้านซ้ายของสมการสำหรับวงเล็บ เอช. และให้สมาชิกที่คล้ายกัน: x (x -3) = 0. การทำงานของสองปัจจัยเป็นศูนย์ในนั้นและในกรณีที่อย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นศูนย์ดังนั้น เอ็กซ์\u003d 0 หรือ เอช. - 3 \u003d 0. จากที่นี่เราได้รับว่ารากของสมการนี้เป็น 0 และ 3

ในหลักสูตรเริ่มต้นของคณิตศาสตร์พื้นฐานทางทฤษฎีสำหรับการแก้สมการคือความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบและผลลัพธ์ของการกระทำ ตัวอย่างเช่นการแก้สมการ ( เอช.· 9): 24 \u003d 3 แสดงให้เห็นถึงดังนี้ เนื่องจากสิ่งที่ไม่ทราบอยู่ใน Delima จากนั้นจึงจะพบการหารมันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะต้องคูณ Divider เป็นส่วนตัว: เอช.· 9 \u003d 24 · 3 หรือ เอช.· 9 \u003d 72

ในการค้นหาตัวคูณที่ไม่รู้จักงานควรแบ่งออกเป็นตัวคูณที่รู้จักกันดี: x \u003d72: 9 หรือ x \u003d8 ดังนั้นรากของสมการนี้คือหมายเลข 8

การออกกำลังกาย

1 . ติดตั้งระเบียนใดต่อไปนี้คือสมการที่มีตัวแปรเดียว:

แต่) ( เอช.-3) · 5 \u003d 12 เอช.; d) 3 + (12-7) · 5 \u003d 16;

b) ( เอช.-3) · 5 \u003d 12; e) ( เอช.-3) · y. =12เอช.;

ใน) ( เอช.-3) · 17 + 12; e) x 2 - 2x +5 = 0.

2. สมการ 2. เอช. 4 + 4 เอช. 2 -6 \u003d 0 ตั้งค่าบนชุดของตัวเลขธรรมชาติ อธิบายว่าทำไมหมายเลขที่ 1 คือรากของสมการนี้และ 2 และ -1 ไม่ใช่ราก

3. ในสมการ ( เอช.+ ...)(2 เอช. + 5) - (เอช. - 3)(2 เอช. + 1) \u003d 20 หมายเลขหนึ่งลบและแทนที่ด้วยคะแนน ค้นหาหมายเลขที่ลบหากทราบว่ารากของสมการนี้คือหมายเลข 2

4. เงื่อนไขเงื่อนไขที่:

a) หมายเลข 5 คือรากของสมการ f (x) \u003d g (x);

b) หมายเลข 7 ไม่ใช่รากของสมการ f (x) \u003d g (x).

5. ตั้งค่าสมการใดต่อไปนี้เท่ากับชุดของหมายเลขที่ถูกต้อง:

a) 3 + 7 เอช. \u003d -4 และ 2 (3 + 7L เอช.) = -8;

6)3 + 7 เอช. \u003d -4 และ 6 + 7 เอช. = -1;

c) 3 + 7 เอช. \u003d -4 และ l เอช. + 2 = 0.

6. คำคุณสมบัติของอัตราส่วนสมการเทียบเท่า ข้อใดที่ใช้ในกระบวนการในการแก้สมการ?

7. ตัดสินใจเลือกสมการ (ทั้งหมดของพวกเขาตั้งอยู่ในหลากหลายหมายเลขที่ถูกต้อง) และแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่ดำเนินการในระหว่างการทำให้เข้าใจง่าย:

a) (7 เอ็กซ์+4)/2 – เอ็กซ์ = (3เอ็กซ์-5)/2;

b) เอ็กซ์ –(3เอ็กซ์-2)/5 = 3 – (2เอ็กซ์-5)/3;

ที่ 2- เอช.)2- เอช. (เอช. + 1,5) = 4.

8. นักเรียนแก้ไขสมการ 5 เอช. + 15 = 3 เอช. + 9 ดังต่อไปนี้ส่งมอบสำหรับวงเล็บในหมายเลขชิ้นส่วนซ้ายหมายเลข 5 และในหมายเลขที่เหมาะสม 3 ได้รับสมการ 5 (H.+ 3) = 3(เอช. + 3) จากนั้นแบ่งออกเป็นทั้งสองส่วน เอช. + 3. ได้รับความเสมอภาค 5 \u003d 3 และสรุป - สมการนี้ไม่มีราก นักเรียนใช่มั้ย

9. ตัดสินใจสมการ 2 / (2- เอ็กซ์) - ½ \u003d 4 / ((2- เอ็กซ์)เอ็กซ์); เอช.? อาร์. รากตัวเลข 2 ของสมการนี้หรือไม่

10. ตัดสินใจเลือกสมการโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบและผลลัพธ์ของการกระทำ:

แต่) ( เอช. + 70) · 4 \u003d 328; c) (85 เอช. + 765): 170 = 98;

b) 560: ( เอช. + 9) - 56; d) ( เอช. - 13581):709 = 306.

11. ตัดสินใจทำงานของวิธีการเลขคณิตและพีชคณิต:

a) บนชั้นแรกของหนังสือ 16 เล่มมากกว่าที่สอง หากคุณลบ 3 เล่มจากชั้นวางของแต่ละชั้นแล้วในชั้นวางแรกหนังสือจะเป็นมากกว่าหนึ่งและครึ่งเท่าที่สอง มีหนังสือกี่ชั้นในแต่ละชั้น

b) ตลอดทางจากสถานีนักท่องเที่ยวไปยังสถานีเท่ากับ 26 กม. ปั่นจักรยานขับรถ 1 ชั่วโมง 10 นาที 40 นาทีแรกของเวลานี้เขาขับรถด้วยความเร็วเดียวและเวลาที่เหลือ - ด้วยความเร็ว 3 กม. / ชม. น้อยลง ค้นหาความเร็วของนักปั่นจักรยานที่ส่วนแรกของเส้นทาง

1. ผู้เล่นที่เทียบเท่าสองคนเล่นเกมซึ่งไม่รวมอยู่ ความน่าจะเป็นสำหรับผู้เล่นคนแรกที่ชนะ: a) หนึ่งชุดสองชุด? b) สองในสี่? c) สามจากหก?

ตอบ: แต่); b); ใน)

3. ตัด ฿ หารด้วยจุด จาก เกี่ยวกับ 2: 1 ในกลุ่มนี้สี่คะแนนถูกโยนทิ้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่สองของพวกเขาจะเป็นทางซ้ายของจุด C และสองไปทางขวา

ตอบ:

4. เพิ่มโอกาสที่เหตุการณ์คือ 70 ครั้งในการทดสอบ 243 ครั้งหากความน่าจะเป็นของการปรากฏตัวของเหตุการณ์นี้ในการทดสอบแต่ละครั้งคือ 0.25

ตอบ: .

5. ความสอดคล้องของการเกิดของเด็กชายคือ 0.515 ค้นหาโอกาสที่ท่ามกลางเด็กชายและเด็กหญิงแรกเกิด 100 คนจะเท่ากัน

ตอบ: 0,0782

6. ร้านค้าได้รับ 500 ขวดในภาชนะแก้ว ความน่าจะเป็นที่เมื่อการขนส่งขวดใด ๆ จะถูกทำลายเท่ากับ 0.003 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ร้านค้าจะได้รับขวดแตก: A) สองอย่างแน่นอน b) น้อยกว่าสอง; c) อย่างน้อยสอง; d) อย่างน้อยหนึ่ง

ตอบ: a) 0.22; b) 0.20; c) 0.80; d) 0,95

7. โรงงานยานยนต์ผลิตรถยนต์ 80% โดยไม่มีข้อบกพร่องที่สำคัญ ความเป็นไปได้ที่ในหมู่ 600 คันที่ได้รับจากโรงงานในการแลกเปลี่ยนยานยนต์จะมีอย่างน้อย 500 คันโดยไม่มีข้อบกพร่องที่สำคัญ?

ตอบ: 0,02.

8. กี่ครั้งที่คุณต้องโยนเหรียญเพื่อให้มีความน่าจะเป็น 0.95 มันเป็นไปได้ที่จะคาดหวังว่าความถี่สัมพัทธ์ของการปรากฏตัวของตราสัญลักษณ์จะเบี่ยงเบนจากความน่าจะเป็น r\u003d 0.5 การปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนด้วยหนึ่งโยนเหรียญไม่เกิน 0.02?

คำตอบ: N. ≥ 2401.

9. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในแต่ละเหตุการณ์อิสระ 100 เหตุการณ์นั้นคงที่และเท่าเทียมกัน พี.\u003d 0.8 ค้นหาโอกาสที่เหตุการณ์จะปรากฏขึ้น: A) อย่างน้อย 75 ครั้งและไม่เกิน 90 ครั้ง; b) อย่างน้อย 75 ครั้ง; c) ไม่เกิน 74 ครั้ง

ตอบ: a b c)

10. ความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ในการทดสอบอิสระแต่ละครั้งคือ 0.2 เพื่อค้นหาว่าการเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์จากความน่าจะเป็นที่สามารถคาดหวังได้ด้วยความน่าจะเป็น 0.9128 ที่การทดสอบ 5,000 ครั้ง

ตอบ:

11. คุณต้องโยนเหรียญกี่ครั้งเพื่อให้มีความน่าจะเป็น 0.6 เป็นไปได้ที่จะคาดหวังว่าการเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ของการปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนจากความน่าจะเป็น พี.\u003d 0.5 จะเป็น ค่าสัมบูรณ์ ไม่เกิน 0.01

คำตอบ: N. = 1764.

12. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดสอบอิสระ 10,000 ครั้งคือ 0.75 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์จะเบี่ยงเบนจากความน่าจะเป็นด้วยค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 0.01

ตอบ: .

13. ความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ในการทดสอบอิสระแต่ละครั้งคือ 0.5 ค้นหาจำนวนการทดสอบ น.ซึ่งมีความน่าจะเป็น 0.7698 อาจเป็นไปได้ว่าความถี่สัมพัทธ์ของการปรากฏตัวของเหตุการณ์จะเบี่ยงเบนจากความน่าจะเป็นด้วยค่าแน่นอนไม่เกิน 0.02

นิยามสองสูตร algicbra ตรรกะ A และ Bเรียกว่า เทียบเท่าหากพวกเขาใช้ค่าตรรกะเดียวกันในชุดของค่าใด ๆ ของคำสั่งเบ็ดเตล็ดที่รวมอยู่ในสูตร

ความเท่าเทียมกันของสูตรจะเป็นลายเซ็นและการบันทึก ก. ในหมายถึงสูตรนั้น A และ Bเทียบเท่า

ตัวอย่างเช่นสูตรเทียบเท่า:

สูตร A เรียกว่า จริงเหมือนกัน (หรือ tautology)หากใช้ค่า 1 ด้วยค่าทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น

ตัวอย่างเช่นสูตร , .

สูตร แต่เรียกว่า เท็จเหมือนกันหากใช้ค่า 0 สำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น

ตัวอย่างเช่นสูตรเป็นเท็จเหมือนกัน

เป็นที่ชัดเจนว่าอัตราส่วนของ equivagivity สะท้อนให้เห็นถึงความสมมาตรและการถ่ายโอน

ระหว่างแนวคิดของการเทียบเท่าและความเท่าเทียมกันมีการเชื่อมต่อต่อไปนี้: ถ้าสูตร แต่และ ในเทียบเท่าแล้วสูตร แต่ ใน- Tautology และกลับมาหากสูตร แต่ ใน- Tautology แล้วสูตร แต่และ ในเทียบเท่า

การเทียบเท่ากับพีชคณิตลอจิกที่สำคัญที่สุดสามารถแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม

1. ความเท่าเทียมกันขั้นพื้นฐาน:

เราพิสูจน์หนึ่งในกฎหมายของการดูดซึม พิจารณาสูตร . ถ้าในสูตรนี้ แต่\u003d 1 จากนั้นเห็นได้ชัดว่าเช่นเดียวกับคำสั่งที่แท้จริงสองข้อความ ตอนนี้ปล่อยให้มันกำหนด และ x \u003d.0. แต่จากนั้นตามคำนิยามการดำเนินการร่วมกันจะเป็นเท็จและสันธาน . ดังนั้นในทุกกรณีค่าของสูตร แต่ตรงกับค่า แต่,และดังนั้นจึง แต่ เอ็กซ์.

2. อุปกรณ์ที่แสดงการดำเนินการตรรกะบางอย่างผ่านผู้อื่น:

เป็นที่ชัดเจนว่าการเทียบเท่า 5 และ 6 ได้รับจากความเท่าเทียมกัน 3 และ 4 ตามลำดับหากจากทั้งสองส่วนของหลังที่จะปฏิเสธและใช้ประโยชน์จากการอนุญาตของการปฏิเสธสองครั้ง ดังนั้นสี่ equivagivity แรกต้องมีการพิสูจน์ เราจะพิสูจน์ว่าสองคน: ครั้งแรกและที่สาม

เนื่องจากมีค่าตรรกะเดียวกัน เอช.และ ว.สูตรที่แท้จริง ,, แล้วจะมีการสันธานที่แท้จริง . ดังนั้นในกรณีนี้ทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันมีค่าที่แท้จริงเดียวกัน

ตอนนี้ เอช.และ ว.มีค่าตรรกะต่าง ๆ จากนั้นจะมีการเทียบเท่าเท็จและหนึ่งในสองนัยหรือ นั่นคือ

จะเป็นเท็จและสันธาน . ดังนั้นในกรณีนี้ทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันมีค่าตรรกะเดียวกัน

พิจารณา Tantaminity 3. ถ้า เอช.และ ว.ค่าที่แท้จริงจะถูกถ่ายในเวลาเดียวกันจะมีการสันธานที่แท้จริง x & wและการปฏิเสธที่ผิดพลาดของการรวมกัน ในเวลาเดียวกันจะเป็นเท็จและดังนั้นจึงจะเป็นเท็จและแยก .

ขอให้ตอนนี้อย่างน้อยหนึ่งของตัวแปร เอช.หรือ ว.ใช้ค่าของเท็จ จากนั้นจะมีการเชื่อมต่อเท็จ x & wและการปฏิเสธที่แท้จริง ในเวลาเดียวกันการปฏิเสธของตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวของตัวแปรจะเป็นจริงดังนั้นจึงจะเป็นจริงและสกัดกั้น .

ดังนั้นในทุกกรณีทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน 3 ใช้ค่าตรรกะเดียวกัน

ในทำนองเดียวกันความเท่าเทียมกันของ 2 และ 4 ได้รับการพิสูจน์แล้ว

จากความเท่าเทียมกันของกลุ่มนี้มันเป็นไปตามสูตรทั้งหมดของพีชคณิตลอจิกสามารถถูกแทนที่ด้วยสูตรที่มีเพียงสองการดำเนินการตรรกะ: การรวมและการปฏิเสธหรือการปฏิเสธและการปฏิเสธ

การกำจัดการดำเนินการตรรกะต่อไปเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นถ้าเราใช้ร่วมกันเท่านั้นสูตรดังกล่าวก็เหมือนการปฏิเสธ เอช.ไม่สามารถแสดงการใช้งานร่วมกันได้

อย่างไรก็ตามมีการดำเนินงานที่มีการดำเนินการตรรกะทั้งห้าที่เราใช้สามารถแสดงได้ การดำเนินการดังกล่าวเป็นเช่นการดำเนินการ Schoffer การดำเนินการนี้จะถูกระบุด้วยสัญลักษณ์ x | W.และถูกกำหนดโดยตารางความจริงต่อไปนี้:

เห็นได้ชัดว่ามีการเทียบเท่ากับ:

2) x & w (x | Y) | (x | y)

ของสอง equivals เหล่านี้เป็นไปตามสูตรใด ๆ ของพีชคณิตตรรกะใด ๆ สามารถถูกแทนที่ด้วยสูตรที่เทียบเท่าที่มี "บาร์โค้ดสตรีม" เท่านั้น

โปรดทราบว่า.

ในทำนองเดียวกันการดำเนินการสามารถนำมาใช้ได้ .

3. อุปกรณ์ที่แสดงกฎหมายพื้นฐานลอจิกพีชคณิต:

1. x & w u & X -commonction Commutativity

2. เอ็กซ์ ว. y. เอช.- Disjunction การสับเปลี่ยน

3. x & (y & d) (x & y) & z- ร่วมกันร่วมกัน

4. เอช. (y z ) (H. y) z- สมรรถนะของ disjunction

5. x & (u z) (x & y) (X & Z)- การกระจายการรวมกันสัมพันธ์กับ Disjunction

6. เอช. (Y & Z) (H. y) & (x Z. ) - การกระจายตัวของ Disjunction เทียบกับการเชื่อมต่อ

เราพิสูจน์กฎหมายสุดท้ายของกฎหมายที่ระบุไว้ ถ้าเป็น เอช.\u003d 1 แล้วจะมีสูตรที่แท้จริง เอช. (ยู & &z) เอช. คุณ, เอ็กซ์ Z. . แต่แล้วจะมีความจริงและร่วมกัน (H. y) & (x Z. ). ดังนั้นเมื่อ เอช.\u003d 1 ทั้งสองส่วนของการเทียบเท่า 6 ใช้ค่าตรรกะเดียวกัน (จริง)

ตอนนี้ x \u003d0. แล้ว เอช. (U & Z) y & Z, X ว. ว.และ เอ็กซ์ z z. , และดังนั้นจึงใช้ร่วมกัน เอช. (Y & Z) y & Z. ดังนั้นทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกัน 6 จึงเทียบเท่ากับสูตรเดียวกัน u & z,ดังนั้นจึงใช้ค่าตรรกะเดียวกัน

§ 5. การแปลงที่เทียบเท่าของสูตร

การใช้กลุ่ม I, II และ III ที่เท่าเทียมกันอาจเป็นส่วนหนึ่งของสูตรหรือสูตรที่จะถูกแทนที่ด้วยสูตรเทียบเท่ากับมัน การเปลี่ยนแปลงของสูตรดังกล่าวเรียกว่า เทียบเท่า

การแปลงอุปกรณ์ใช้ในการพิสูจน์ความเท่าเทียมเพื่อนำสูตรไปยังแบบฟอร์มที่กำหนดเพื่อทำให้สูตรง่ายขึ้น

สูตร แต่ถือว่าเป็นสูตรที่เทียบเท่ากันได้ง่ายขึ้น ใน,หากมีตัวอักษรน้อยกว่าการดำเนินการตรรกะน้อยลง ในกรณีนี้การเทียบเท่าและความหมายมักจะถูกแทนที่ด้วยการถอดความและการดำเนินการร่วมกันและการปฏิเสธหมายถึงคำสั่งเบื้องต้น พิจารณาตัวอย่างจำนวนมาก

1. พิสูจน์ว่าเทียบเท่า .

ใช้กลุ่มที่เท่าเทียมกัน I, II และ III

2. ทำให้ง่ายขึ้น .

เราเขียนโซ่ของสูตรที่เทียบเท่า:

3. พิสูจน์ความจริงที่เหมือนกันของสูตร

เราเขียนโซ่ของสูตรที่เทียบเท่า:

พีชคณิตบูล

การเทียบเท่ากับกลุ่ม III แสดงให้เห็นว่า Algebra ตรรกะมีกฎหมายการให้บริการและเชื่อมโยงกันเกี่ยวกับการดำเนินงานร่วมกันและการดำเนินงานที่กฎหมายและกฎหมายวิจารณ์ของการรวมกันที่เกี่ยวข้องกับการแยกย้ายกันกฎหมายเดียวกันเกิดขึ้นในพีชคณิตของตัวเลข ดังนั้นเหนือสูตรของ Algebra ลอจิกสามารถผลิตการเปลี่ยนแปลงเดียวกันที่ดำเนินการในพีชคณิตของตัวเลข (การเปิดเผยข้อมูลของวงเล็บข้อสรุปในวงเล็บการทำแผนที่ปัจจัยทั่วไป)

แต่ในพีชคณิตของตรรกะการเปลี่ยนแปลงอื่น ๆ ตามการใช้ความเท่าเทียมกันเป็นไปได้:

คุณสมบัตินี้ช่วยให้คุณมาถึงการรวมตัวกันที่กว้างขวาง

พิจารณาชุดที่ไม่ว่างเปล่า เอ็มองค์ประกอบของธรรมชาติใด ๆ ( x, Y, Z, ...} , ซึ่งความสัมพันธ์ "\u003d" (เท่ากับ) และสามการดำเนินการจะถูกกำหนด: "+" (นอกจากนี้), "" (การคูณ) และ "-" (ปฏิเสธ) ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ต่อไปนี้:

กฎหมายการให้บริการ:

1a x + y \u003d u + x,1b เอช. y \u003d u x.

กฎหมายเชื่อมโยง:

2A x + (y + g)= (x + y) + z,2b เอช. (ยู. z) \u003d (x y) z.

กฎหมายการค้า:

3a (x + y) z \u003d (x Z. ) + (y d)3b (x y) + z \u003d (x + z) (Y + Z)

กฎหมายกฎหมาย:

4A x + x \u003d x,4b เอช. x \u003d x

กฎหมายปฏิเสธคู่:

กฎหมาย De Morgana:

6a , 6b . .

กฎหมายการดูดซึม:

7a x + x)= เอช., 7b เอช. (u + x) \u003d x

ช่างมาก เอ็มเรียกว่า พีชคณิตบูลีน

หากอยู่ภายใต้องค์ประกอบหลัก x, Y, Z, ...พบกับข้อความภายใต้การดำเนินงาน "+", ",", "-" disjunction, การปฏิเสธการปฏิเสธตามลำดับและสัญลักษณ์ของความเท่าเทียมกันถือเป็นสัญญาณของความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้จากกลุ่มที่เท่าเทียมกัน I, II และ III กลุ่ม สัจพจน์ทั้งหมดของ Algebra นมจะดำเนินการ

ในกรณีที่สัจพจน์สำหรับบางระบบมันเป็นไปได้ที่จะเลือกวัตถุที่เฉพาะเจาะจงและความสัมพันธ์เฉพาะระหว่างพวกเขาเพื่อให้ความจริงทั้งหมดถูกดำเนินการพวกเขาบอกว่าพบว่า การตีความ(หรือ รุ่น)สัจพจน์ของระบบนี้

ดังนั้นพีชคณิตตรรกะคือการตีความของพีชคณิตบูลีน พีชคณิต Bul มีการตีความอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นหากอยู่ภายใต้องค์ประกอบหลัก x, Y, Z, ...ตั้ง เอ็มพบกับชุดภายใต้การดำเนินงาน "+", ",", "-" สมาคม, สี่แยกนอกจากนี้ตามลำดับและภายใต้สัญลักษณ์ของความเท่าเทียมกัน - สัญญาณของความเท่าเทียมกันของชุดแล้วเรามาที่พีชคณิตของชุด มันง่ายที่จะทำให้แน่ใจว่าในพีชคณิตของชุดสัจพจน์ทั้งหมดของพีชคณิต Bul จะดำเนินการ

ท่ามกลางการตีความต่าง ๆ ของพีชคณิตบูลีนคือการตีความและลักษณะทางเทคนิค หนึ่งในนั้นจะถูกกล่าวถึงด้านล่าง ตามที่จะแสดงมันมีบทบาทสำคัญในระบบอัตโนมัติที่ทันสมัย

ฟังก์ชั่นลอจิกพีชคณิต

ตามที่ระบุไว้แล้วมูลค่าของสูตรของพีชคณิตตรรกะนั้นขึ้นอยู่กับค่าของคำสั่งที่รวมอยู่ในสูตรนี้ ดังนั้นสูตรของ Algicbra ตรรกะจึงเป็นหน้าที่ของคำสั่งเบื้องต้นที่รวมอยู่ในนั้น

ตัวอย่างเช่นสูตรเป็นฟังก์ชั่น

ตัวแปรสามตัว f (x, y, z)คุณสมบัติของคุณสมบัตินี้คือการโต้แย้งของมันใช้ค่าหนึ่งในสองค่า: ศูนย์หรือหน่วยและฟังก์ชั่นยังใช้หนึ่งในสองค่า: ศูนย์หรือหน่วย

นิยาม ฟังก์ชั่นของ algebra ตรรกะตัวแปรฮา (หรือ ฟังก์ชั่น Bul)ฟังก์ชั่นของตัวแปรยีนเรียกว่าที่แต่ละตัวแปรใช้สองค่า: 0 และ 1 และฟังก์ชั่นสามารถใช้หนึ่งในสองค่าเท่านั้น: 0 หรือ 1

เป็นที่ชัดเจนว่าสูตรที่เป็นจริงและเป็นเท็จที่เหมือนกันทั่วไปของพีชคณิตตรรกะเป็นฟังก์ชั่นคงที่และสองสูตรเทียบเท่าแสดงฟังก์ชั่นเดียวกัน

เราพบว่าจำนวนของฟังก์ชั่น n จำนวนเท่าใด เห็นได้ชัดว่าแต่ละฟังก์ชั่นของพีชคณิตตรรกะ (เช่นเดียวกับสูตรของ Algicbra ตรรกะ) สามารถตั้งค่าได้โดยใช้ตารางความจริงซึ่งจะมีสตริง 2 n ดังนั้นแต่ละฟังก์ชั่นของตัวแปร n จะใช้ค่า 2 n ประกอบด้วยศูนย์และหน่วย ดังนั้นฟังก์ชั่น n ของตัวแปรจะถูกกำหนดอย่างเต็มที่จากชุดของค่าจากศูนย์และหน่วยความยาว 2 n. (จำนวนชุดทั้งหมดที่ประกอบด้วยศูนย์และหน่วยความยาว 2 n เท่ากับจำนวนที่แตกต่างกันดังนั้นจำนวนที่แตกต่างกัน ฟังก์ชั่นของพีชคณิตตรรกะ pตัวแปรเท่ากับ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชั่นต่าง ๆ ของตัวแปรหนึ่งตัวแปรหนึ่งและฟังก์ชั่นต่าง ๆ ของสองตัวแปรที่สิบหก ดื่มฟังก์ชั่นทั้งหมดของ algebra ตรรกะหนึ่ง และตัวแปรสองตัว

พิจารณาตารางความจริงสำหรับฟังก์ชั่นต่าง ๆ ของตัวแปรเดียว เห็นได้ชัดว่ามันมีรูปแบบ:

มันตามมาจากตารางนี้ว่าสองฟังก์ชั่นของตัวแปรหนึ่งจะถาวร: f 1 (x) \u003d1, f 4 (x) \u003d0, A. f 2 (x) x,และ f 3 (x) .

ตารางความจริงสำหรับฟังก์ชั่นทุกประเภทของตัวแปรสองตัวมีรูปแบบ:

f i \u003d f i (x, y)

เป็นที่ชัดเจนว่าการแสดงออกการวิเคราะห์ของฟังก์ชั่นเหล่านี้สามารถบันทึกได้ดังนี้

อนุญาตให้ย้ายจากสมการที่แก้ไขไปยังที่เรียกว่า สมการเทียบเท่า และ สมการผลที่ตามมาเกี่ยวกับการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่จะกำหนดวิธีการแก้ปัญหาของสมการเดิม ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์อย่างละเอียดว่าสมการที่เรียกว่าเทียบเท่าและสมการใดที่จะให้คำจำกัดความที่เหมาะสมเรานำเสนอตัวอย่างอธิบายและอธิบายวิธีการค้นหารากของสมการที่รู้จักกันในรากฐานที่รู้จักกันดีของสมการเทียบเท่าและการสอบสวน สมการ.

สมการเทียบเท่า, คำจำกัดความ, ตัวอย่าง

เราให้คำจำกัดความของสมการเทียบเท่า

คำนิยาม

สมการเทียบเท่า - เหล่านี้เป็นสมการที่มีรากเดียวกันหรือมีราก

เหมือนกันในความหมายของการกำหนด แต่แตกต่างกันเล็กน้อยในถ้อยคำนั้นจะได้รับในตำราต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ตัวอย่างเช่น

คำนิยาม

สองสมการ f (x) \u003d g (x) และ r (x) \u003d s (x) เรียกว่า เทียบเท่าหากพวกเขามีรากเดียวกัน (หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากทั้งสมการทั้งสองไม่มีราก)

คำนิยาม

สมการที่มีรากเดียวกันเรียกว่า สมการเทียบเท่า. สมการที่ไม่มีรากจะถือว่าเทียบเท่า

ภายใต้รากเดียวกันนั้นเป็นที่เข้าใจดังต่อไปนี้: หากจำนวนหนึ่งเป็นรากของหนึ่งในสมการที่เทียบเท่านั้นเป็นรากของสมการอื่นใดของสมการเหล่านี้และไม่ใช่หนึ่งในสมการเทียบเท่าที่ไม่สามารถมีรากที่ไม่ได้เป็น รากของสมการเหล่านี้อื่น ๆ

เราให้ตัวอย่างสมการเทียบเท่า ตัวอย่างเช่นสมการสาม 4 · x \u003d 8, 2 · x \u003d 4 และ x \u003d 2 เทียบเท่า แน่นอนว่าแต่ละคนมีรากเพียง 2 ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับคำจำกัดความ อีกตัวอย่างหนึ่ง: สองสมการ x · 0 \u003d 0 และ 2 + x \u003d x + 2 นั้นเทียบเท่าชุดของการจับคู่โซลูชันของพวกเขา: รากและที่หนึ่งและที่สองของพวกเขาคือหมายเลขใด ๆ สองสมการ x \u003d x + 5 และ x 4 \u003d -1 ยังเป็นตัวอย่างของสมการเทียบเท่าพวกเขาทั้งสองไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริง

เพื่อความสมบูรณ์ภาพควรได้รับตัวอย่างสมการที่ไม่เทียบเท่า ตัวอย่างเช่นสมการ x \u003d 2 และ x 2 \u003d 4 ไม่เทียบเท่าเนื่องจากสมการที่สองมีรูท -2 ซึ่งไม่ใช่รากของสมการแรก สมการและยังไม่เทียบเท่าเนื่องจากรากของสมการที่สองคือตัวเลขใด ๆ และจำนวนศูนย์ไม่ใช่รากของสมการแรก

คำนิยามที่เปล่งเสียงของสมการที่เทียบเท่าเกี่ยวข้องกับสมการทั้งสองตัวแปรและสมการที่มีตัวแปรจำนวนมาก อย่างไรก็ตามสำหรับสมการที่มีสองสาม ฯลฯ คำว่า "ราก" ในคำนิยามควรถูกแทนที่ด้วยคำว่า "โซลูชั่น" ดังนั้น,

คำนิยาม

สมการเทียบเท่า - นี่คือสมการที่มีวิธีแก้ไขปัญหาเดียวกันหรือมีพวกเขา

แสดงตัวอย่างของสมการเทียบเท่ากับตัวแปรหลายตัว x 2 + y 2 + z 2 \u003d 0 และ 5 · x 2 + x 2 · Y 4 · Z 8 \u003d 0 - นี่คือตัวอย่างของสมการ equivaleous ที่มีสามตัวแปร x, y และ z พวกเขาทั้งสองมีทางออกเดียว ( 0, 0, 0) แต่สมการที่มีสองตัวแปร x + y \u003d 5 และ x · y \u003d 1 ไม่เทียบเท่าตั้งแต่ตัวอย่างเช่นค่าคู่ x \u003d 2, y \u003d 3 เป็นวิธีแก้ปัญหาของสมการแรก (เมื่อแทนที่สิ่งเหล่านี้ ค่าสมการแรกจะได้รับความเสมอภาคที่แท้จริง 2 + 3 \u003d 5) แต่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สอง (เมื่อแทนที่ค่าเหล่านี้ในสมการที่สองเราได้รับความเสมอภาคที่ไม่ถูกต้อง 2 · 3 \u003d 1)

สมการสมาคม

เรานำเสนอคำจำกัดความของสมการ - ผลที่ตามมาจากตำราเรียน:

คำนิยาม

หากรากแต่ละอันของสมการ F (x) \u003d g (x) อยู่ในเวลาเดียวกันรูตของสมการ p (x) \u003d h (x), สมการ p (x) \u003d h (x) เรียกว่า ผลที่ตามมา สมการ f (x) \u003d g (x)

คำนิยาม

หากรากทั้งหมดของสมการแรกเป็นรากฐานของสมการที่สองแล้วสมการที่สองเรียกว่า ผลที่ตามมา สมการแรก

เราให้ตัวอย่างของผลที่ตามมา สมการ x 2 \u003d 3 2 เป็นผลมาจากสมการ x - 3 \u003d 0 อันที่จริงสมการที่สองมีเพียงราก x \u003d 3 รากนี้คือและรากของสมการ x 2 \u003d 3 2 ดังนั้นตามคำนิยามสมการ x 2 \u003d 3 2 เป็นผลมาจากสมการ x-3 \u003d 0. อีกตัวอย่างหนึ่ง: สมการ (X-2) · (x-3) · (x-4) \u003d 0 เป็นผลมาจากสมการ เนื่องจากรากทั้งหมดของสมการที่สอง (ทั้งสองของพวกเขาคือ 2 และ 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นรากฐานของสมการแรก

จากคำนิยามของสมการการสอบสวนหมายถึงว่าสมการใด ๆ อย่างแน่นอนเป็นผลมาจากสมการใด ๆ ที่ไม่มีราก

มันคุ้มค่าที่จะนำผลกระทบที่ค่อนข้างชัดเจนหลายประการจากการกำหนดสมการเทียบเท่าและการกำหนดการสอบสวนสมการ:

• หากทั้งสองสมการเทียบเท่าแต่ละคนก็เป็นผลมาจากอีก
• หากทั้งสองสมการทั้งสองเป็นผลมาจากอีกอันสมการเหล่านี้เทียบเท่ากัน
• สมการสองอย่างเทียบเท่าและเฉพาะในกรณีที่แต่ละคนเป็นผลมาจากอีกคนหนึ่ง