วิธีหามุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - สูตรการคำนวณ พื้นที่สามเหลี่ยม คำนวณสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากมีอยู่จริงในเกือบทุกมุม ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของตัวเลขที่กำหนดตลอดจนความสามารถในการคำนวณพื้นที่นั้นจะมีประโยชน์กับคุณอย่างไม่ต้องสงสัยไม่เพียง แต่สำหรับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงในสถานการณ์ชีวิตด้วย

เรขาคณิตสามเหลี่ยม

ในเรขาคณิตเบื้องต้น สามเหลี่ยมมุมฉากคือรูปทรงที่ประกอบด้วยส่วนที่เชื่อมต่อกันสามส่วนซึ่งประกอบเป็นมุมสามมุม (มุมแหลมสองมุมและมุมตรงหนึ่งมุม) สามเหลี่ยมมุมฉากเป็นรูปดั้งเดิมที่มีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติสำคัญหลายประการที่ก่อให้เกิดรากฐานของตรีโกณมิติ ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าต่างจากรูปสามเหลี่ยมทั่วไปซึ่งมีชื่อเป็นของตัวเอง:

• ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยม ตรงข้ามกับมุมฉาก
• ขาเป็นส่วนที่ประกอบเป็นมุมฉาก ขึ้นอยู่กับมุมที่พิจารณา ขาอาจอยู่ติดกับมัน (สร้างมุมนี้ด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก) หรือตรงกันข้าม (นอนตรงข้ามมุม) ไม่มีขาสำหรับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่มุมขวา

มันคืออัตราส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉากที่เป็นพื้นฐานของตรีโกณมิติ: ไซน์ แทนเจนต์ และเซแคนต์ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากในความเป็นจริง

ตัวเลขนี้แพร่หลายในความเป็นจริง สามเหลี่ยมถูกนำมาใช้ในการออกแบบและเทคโนโลยี ดังนั้นการคำนวณพื้นที่ของรูปจึงต้องดำเนินการโดยวิศวกร สถาปนิก และนักออกแบบ ฐานของจัตุรมุขหรือปริซึม - รูปทรงสามมิติที่พบเจอได้ง่ายในชีวิตประจำวัน - มีรูปร่างเป็นรูปสามเหลี่ยม นอกจากนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสยังเป็นตัวแทนสามเหลี่ยมมุมฉาก "แบน" ที่ง่ายที่สุดในความเป็นจริง สี่เหลี่ยมคือเครื่องมือสำหรับงานโลหะ การเขียนแบบ การก่อสร้าง และงานไม้ที่ใช้สร้างมุมโดยทั้งเด็กนักเรียนและวิศวกร

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเป็นการประมาณเชิงปริมาณว่าด้านของรูปสามเหลี่ยมนั้นล้อมรอบด้วยระนาบเท่าใด พื้นที่ของสามเหลี่ยมธรรมดาสามารถหาได้ 5 วิธีโดยใช้สูตรของเฮรอน หรือใช้ตัวแปรต่างๆ เช่น ฐาน ด้าน มุม และรัศมีของวงกลมที่ขีดไว้หรือวงกลมที่ล้อมรอบไว้ สูตรที่ง่ายที่สุดสำหรับพื้นที่แสดงเป็น:

โดยที่ a คือด้านของสามเหลี่ยม h คือความสูง

สูตรการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นง่ายกว่า:

โดยที่ a และ b เป็นขา

เมื่อใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรา คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้โดยใช้พารามิเตอร์สามคู่:

• สองขา;
• ขาและมุมที่อยู่ติดกัน
• ขาและมุมตรงข้าม

ในปัญหาหรือสถานการณ์ในชีวิตประจำวัน คุณจะได้รับตัวแปรต่างๆ รวมกัน ดังนั้นเครื่องคิดเลขรูปแบบนี้จึงช่วยให้คุณคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้หลายวิธี ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง

ตัวอย่างชีวิตจริง

กระเบื้องเซรามิค

สมมติว่าคุณต้องการปูผนังห้องครัวด้วยกระเบื้องเซรามิกที่มีรูปร่างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อกำหนดปริมาณการใช้กระเบื้องคุณต้องค้นหาพื้นที่ขององค์ประกอบหุ้มหนึ่งชิ้นและพื้นที่รวมของพื้นผิวที่กำลังรับการบำบัด สมมติว่าคุณต้องดำเนินการ 7 ตารางเมตร ม. ความยาวของขาขององค์ประกอบหนึ่งคือ 19 ซม. จากนั้นพื้นที่ของกระเบื้องจะเท่ากับ:

ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ขององค์ประกอบหนึ่งคือ 24.5 ตารางเซนติเมตร หรือ 0.01805 ตารางเมตร เมื่อทราบพารามิเตอร์เหล่านี้แล้ว คุณสามารถคำนวณได้ว่าหากต้องการสร้างกำแพงขนาด 7 ตารางเมตร คุณจะต้องใช้องค์ประกอบกระเบื้องหันหน้า 7/0.01805 = 387 ชิ้น

งานโรงเรียน

สมมติว่าในโจทย์เรขาคณิตของโรงเรียน คุณต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยรู้เพียงว่าด้านของขาข้างหนึ่งคือ 5 ซม. และมุมตรงข้ามคือ 30 องศา เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรามีภาพประกอบแสดงด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าด้าน a = 5 ซม. มุมตรงข้ามจะเป็นมุมอัลฟา ซึ่งเท่ากับ 30 องศา ป้อนข้อมูลนี้ลงในแบบฟอร์มเครื่องคิดเลขและรับผลลัพธ์:

ดังนั้นเครื่องคิดเลขไม่เพียง แต่คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนดเท่านั้น แต่ยังกำหนดความยาวของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉากรวมถึงค่าของมุมที่สองด้วย

บทสรุป

สามเหลี่ยมมุมฉากพบได้ในชีวิตของเราในทุกมุมอย่างแท้จริง การกำหนดพื้นที่ของตัวเลขดังกล่าวจะมีประโยชน์สำหรับคุณไม่เพียง แต่ในการแก้ปัญหาการมอบหมายงานของโรงเรียนในเรขาคณิต แต่ยังรวมถึงกิจกรรมในชีวิตประจำวันและทางวิชาชีพด้วย

นิยามสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดขึ้นจากจุดตัดของสามส่วนซึ่งปลายไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน สามเหลี่ยมใดๆ มีสามด้าน สามจุดยอด และสามมุม

เครื่องคิดเลขออนไลน์

สามเหลี่ยมมีหลายประเภท ตัวอย่างเช่น มีสามเหลี่ยมด้านเท่า (ด้านหนึ่งมีด้านเท่ากันหมด) หน้าจั่ว (ด้านสองด้านเท่ากัน) และสามเหลี่ยมมุมฉาก (ซึ่งมุมด้านหนึ่งเป็นเส้นตรง กล่าวคือ เท่ากับ 90 องศา)

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับว่าองค์ประกอบใดของรูปนั้นทราบจากเงื่อนไขของปัญหา ไม่ว่าจะเป็นมุม ความยาว หรือแม้แต่รัศมีของวงกลมที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมนั้น ลองดูแต่ละวิธีแยกกันพร้อมตัวอย่าง

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากฐานและความสูง

S = 1 2 ⋅ a ⋅ ชั่วโมง S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hส=2 1 ​ ⋅ ก ⋅ชม.,

เอเอ ก- ฐานของรูปสามเหลี่ยม
ชั่วโมง ชม.- ความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลากไปยังฐานที่กำหนด a

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหากทราบความยาวของฐานเท่ากับ 10 (ซม.) และความสูงที่ลากมายังฐานนี้เท่ากับ 5 (ซม.)

สารละลาย

ก = 10 ก=10 ก =1 0
ชั่วโมง = 5 ชั่วโมง=5 ชั่วโมง =5

เราแทนที่สิ่งนี้ลงในสูตรสำหรับพื้นที่แล้วได้:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25ส=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (ดูตร.ม.)

คำตอบ: 25 (ซม. ตร.)

สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากความยาวของด้านทุกด้าน

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))ส=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

ก, ข, ค, ข, ค ก ข ค- ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม
พีพี พี- ครึ่งหนึ่งของผลรวมของทุกด้านของรูปสามเหลี่ยม (นั่นคือ ครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)พี =2 1 ​ (ก +ข+ค)

สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรของนกกระสา.

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหากทราบความยาวของด้านทั้งสามเท่ากับ 3 (ซม.), 4 (ซม.), 5 (ซม.)

สารละลาย

ก = 3 ก=3 ก =3
ข = 4 ข=4 ข =4
ค = 5 ค=5 ค =5

ลองหาครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูป พีพี พี:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6พี =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

จากนั้น ตามสูตรของนกกระสา พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6ส=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (ดูตร.ม.)

คำตอบ: 6 (ดูตาราง)

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมที่กำหนดด้านหนึ่งและสองมุม

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\เบต้า+\แกมมา))ส=2 ก 2 ​ ⋅ บาป(β + γ)บาป β บาป γ ​ ,

เอเอ ก- ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
β , γ \เบตา, \แกมมา β , γ - มุมที่อยู่ติดกันด้านข้าง ก ก.

ให้ด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับ 10 (ซม.) และมีมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน 30 องศา หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สารละลาย

ก = 10 ก=10 ก =1 0
β = 3 0 ∘ \เบต้า=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

ตามสูตร:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 หยาบคาย 14.4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\ประมาณ14.4ส=2 1 0 2 ​ ⋅ บาป(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) บาป 3 0 ∘ บาป 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (ดูตร.ม.)

คำตอบ: 14.4 (ดูตร.)

สูตรหาพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของเส้นรอบวงวงกลม

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)ส=4รก ⋅ ข ⋅ ค​ ,

ก, ข, ค, ข, ค ก ข ค- ด้านของรูปสามเหลี่ยม
อาร์ อาร์ ร- รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

ลองนำตัวเลขจากโจทย์ข้อที่สองมาบวกรัศมีกัน อาร์ อาร์ รวงกลม ปล่อยให้มันเท่ากับ 10 (ซม.)

สารละลาย

ก = 3 ก=3 ก =3
ข = 4 ข=4 ข =4
ค = 5 ค=5 ค =5
ร = 10 ร = 10 ร=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5ส=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (ดูตร.ม.)

คำตอบ: 1.5 (ซม.2)

สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้

S = p ⋅ r S=p\cdot rส= พี⋅ ร,

พีพีพี- ครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)พี= 2 ก+ ข+ ค​ ,

ก, ข, ค, ข, คก, ข, ค- ด้านของรูปสามเหลี่ยม
ร.รร- รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

ให้รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้เป็น 2 (ซม.) เราจะหาความยาวของด้านจากโจทย์ที่แล้ว

สารละลาย

$ก=3ข\; =\; 4\; ข=4ข=4ค\; =\; 5\; ค=5ค=5r\; =\; 2\; r=2ร=2$

$พี=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cจุด 2=12ส= 6 ⋅ 2 = 1 2 (ดูตร.ม.)

คำตอบ: 12 (ซม. ตร.)

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)ส= 2 1 ​ ⋅ ข⋅ ค⋅ บาป(α ) ,

ข , ค ข , คข, ค- ด้านของรูปสามเหลี่ยม

α\อัลฟาα - มุมระหว่างด้าน ขขขและ ซีซีค.

ด้านข้างของสามเหลี่ยมคือ 5 (ซม.) และ 6 (ซม.) มุมระหว่างพวกเขาคือ 30 องศา หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สารละลาย

$ข=5ค\; =\; 6\; ค=6ค=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5ส= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ บาป(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (ดูตร.ม.)

คำตอบ: 7.5 (ซม. ตร.)

เรานำเสนอเครื่องคิดเลขที่ให้คุณคำนวณได้ทั้งหมด...

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่า นี่คือบอทสากลโดยจะคำนวณพารามิเตอร์ทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ โดยกำหนดพารามิเตอร์ที่ระบุโดยพลการ คุณจะไม่พบบอทแบบนี้ทุกที่

คุณรู้จักด้านและความสูงสองด้านหรือไม่? หรือสองด้านและค่ามัธยฐาน? หรือเส้นแบ่งครึ่งของสองมุมกับฐานของสามเหลี่ยม?

สำหรับคำขอใด ๆ เราสามารถรับการคำนวณพารามิเตอร์สามเหลี่ยมที่ถูกต้องได้

คุณไม่จำเป็นต้องค้นหาสูตรและคำนวณด้วยตัวเอง ทุกอย่างได้ทำเพื่อคุณแล้ว

สร้างคำขอและรับคำตอบที่ถูกต้อง

รูปสามเหลี่ยมใดๆ จะปรากฏขึ้น มาชี้แจงทันทีว่าระบุไว้อย่างไรและสิ่งใดบ้างเพื่อไม่ให้เกิดความสับสนและข้อผิดพลาดในการคำนวณในอนาคต

ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมใดๆ เรียกอีกอย่างว่าด้วยตัวอักษรตัวเล็กเท่านั้น. นั่นคือ มุมตรงข้าม A เป็นด้านที่อยู่ของสามเหลี่ยม ด้าน C เป็นมุมตรงข้าม C

ma คือเมดินาที่ตกลงมาด้าน a ดังนั้นจึงมีค่ามัธยฐาน mb และ mc ตกลงที่ด้านที่สอดคล้องกันด้วย

lb คือเส้นแบ่งครึ่งที่ตกลงบนด้าน b ตามลำดับ นอกจากนี้ยังมีเส้นแบ่งครึ่ง la และ lc ที่ตกลงบนด้านที่สอดคล้องกันด้วย

hb คือความสูงที่ตกบนด้าน b ตามลำดับ นอกจากนี้ยังมีความสูง ha และ hc ที่ตกลงบนด้านที่ตรงกันด้วย

ประการที่สอง จำไว้ว่ารูปสามเหลี่ยมคือรูปที่มีอยู่ พื้นฐานกฎ:

ผลรวมของสองด้านใดๆ (!) จะต้องมากกว่าที่สาม.

ดังนั้นอย่าแปลกใจหากคุณได้รับข้อผิดพลาด ป สำหรับข้อมูลดังกล่าว ไม่มีรูปสามเหลี่ยมอยู่ เมื่อพยายามคำนวณพารามิเตอร์ของสามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 3 และ 7

ไวยากรณ์

สำหรับผู้ที่อนุญาตไคลเอ็นต์ XMPP คำขอคือ treug นี้<список параметров>

สำหรับผู้ใช้ไซต์ ทุกอย่างเสร็จสิ้นในหน้านี้

รายการพารามิเตอร์ - พารามิเตอร์ที่รู้จัก คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค

พารามิเตอร์ถูกเขียนเป็น พารามิเตอร์=ค่า

ตัวอย่างเช่น หากทราบด้าน a ที่มีค่า 10 เราจะเขียน a=10

ยิ่งกว่านั้นค่าไม่เพียงแต่จะอยู่ในรูปของจำนวนจริงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลลัพธ์ของการแสดงออกบางประเภทด้วย

และนี่คือรายการพารามิเตอร์ที่อาจปรากฏในการคำนวณ

ด้านก

ด้านข

ด้านค

กึ่งปริมณฑล น

มุม ก

มุมบี

มุม ซี

พื้นที่ของสามเหลี่ยม S

ความสูงฮ่าด้านก

ความสูง hb ในด้าน b

ความสูง hc ด้าน c

ค่ามัธยฐานของแม่ถึงด้าน a

ค่ามัธยฐาน mb ไปทาง b

ค่ามัธยฐาน mc ถึงด้าน c

พิกัดจุดยอด (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

ตัวอย่าง

พวกเราเขียน ทริก a=8;C=70;ฮ่า=2

พารามิเตอร์สามเหลี่ยมตามพารามิเตอร์ที่กำหนด

ด้าน ก = 8

ด้าน b = 2.1283555449519

ข้าง c = 7.5420719851515

กึ่งปริมณฑล p = 8.8352137650517

มุม A = 2.1882518638666 ในหน่วยองศา 125.37759631119

มุม B = 2.873202966917 เป็นองศา 164.62240368881

มุม C = 1.221730476396 ใน 70 องศา

พื้นที่ของสามเหลี่ยม S = 8

ความสูง ฮา ด้าน a = 2

ความสูง hb ที่ด้าน b = 7.5175409662872

ความสูง hc ที่ด้าน c = 2.1214329472723

ค่ามัธยฐาน ma ต่อด้าน a = 3.8348889915443

ค่ามัธยฐาน mb ต่อด้าน b = 7.7012304590352

ค่ามัธยฐาน mc ต่อด้าน c = 4.4770789813853

นั่นคือทั้งหมด พารามิเตอร์ทั้งหมดของสามเหลี่ยม

คำถามคือทำไมเราถึงตั้งชื่อข้าง ก, แต่ไม่ วีหรือ กับ? ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อการตัดสินใจ สิ่งสำคัญคือต้องทนต่อสภาวะที่กล่าวไปแล้ว” ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมใดๆ เรียกว่าเหมือนกัน มีเพียงตัวอักษรตัวเล็กเท่านั้น“จากนั้นให้วาดรูปสามเหลี่ยมในใจแล้วนำไปใช้กับคำถามที่ถาม

ก็สามารถเอามาแทนได้ ก วีแต่แล้วมุมประชิดจะไม่เป็น กับก กส่วนสูงก็จะประมาณนี้ HB. ผลลัพธ์ถ้าคุณตรวจสอบจะเหมือนกัน

ตัวอย่างเช่น เช่นนี้ (xa,ya) =3.4 (xb,yb) =-6.14 (xc,yc)=-6,-3

เขียนคำขอ ทริก xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

และเราได้รับ

พารามิเตอร์สามเหลี่ยมตามพารามิเตอร์ที่กำหนด

ด้าน ก = 17

ด้าน b = 11.401754250991

ข้าง c = 13.453624047073

กึ่งเส้นรอบรูป p = 20.927689149032

มุม A = 1.4990243938603 เป็นองศา 85.887771155351

มุม B = 0.73281510178655 เป็นองศา 41.987212495819

มุม C = 0.90975315794426 เป็นองศา 52.125016348905

พื้นที่ของสามเหลี่ยม S = 76.5

ความสูง ฮา ด้าน a = 9

ความสูง hb ที่ด้าน b = 13.418987695398

ความสูง hc ที่ด้าน c = 11.372400437582

ค่ามัธยฐาน ma ต่อด้าน a = 9.1241437954466

ค่ามัธยฐาน mb ต่อด้าน b = 14.230249470757

ค่ามัธยฐาน mc ต่อด้าน c = 12.816005617976

การคำนวณที่มีความสุข!!

ส่วนแรกเป็นส่วนที่อยู่ติดกับมุมฉาก และด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นส่วนที่ยาวที่สุดของรูปและตั้งอยู่ตรงข้ามกับมุม 90 องศา สามเหลี่ยมพีทาโกรัสคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับจำนวนธรรมชาติ ความยาวในกรณีนี้เรียกว่า "พีทาโกรัสสามเท่า"

สามเหลี่ยมอียิปต์

เพื่อให้คนรุ่นปัจจุบันรู้จักเรขาคณิตในรูปแบบที่มีการสอนในโรงเรียนอยู่ในปัจจุบัน จึงมีการพัฒนามาเป็นเวลาหลายศตวรรษ จุดพื้นฐานถือเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นที่รู้จักไปทั่วโลก) คือ 3, 4, 5

มีเพียงไม่กี่คนที่ไม่คุ้นเคยกับวลีที่ว่า “กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทุกทาง” อย่างไรก็ตาม ในความเป็นจริง ทฤษฎีบทมีลักษณะดังนี้: c 2 (กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก) = a 2 + b 2 (ผลรวมของกำลังสองของขา)

ในบรรดานักคณิตศาสตร์ สามเหลี่ยมที่มีด้าน 3, 4, 5 (ซม., ม. ฯลฯ) เรียกว่า "อียิปต์" สิ่งที่น่าสนใจคือสิ่งที่จารึกไว้ในรูปมีค่าเท่ากับหนึ่ง ชื่อนี้เกิดขึ้นประมาณศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช เมื่อนักปรัชญาชาวกรีกเดินทางไปอียิปต์

เมื่อสร้างปิรามิด สถาปนิกและนักสำรวจจะใช้อัตราส่วน 3:4:5 โครงสร้างดังกล่าวกลายเป็นสัดส่วนดูน่าดูและกว้างขวางและยังไม่ค่อยพังทลายอีกด้วย

ในการสร้างมุมฉาก ผู้สร้างใช้เชือกผูก 12 ปม ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นในการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากเพิ่มขึ้นเป็น 95%

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของตัวเลข

• มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและด้านยาวซึ่งเท่ากับองค์ประกอบเดียวกันในรูปสามเหลี่ยมที่สอง ถือเป็นสัญญาณแห่งความเท่าเทียมกันของตัวเลขอย่างเถียงไม่ได้ เมื่อคำนึงถึงผลรวมของมุมแล้ว จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่ามุมแหลมที่สองก็เท่ากัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมจึงเหมือนกันตามเกณฑ์ที่สอง
• เมื่อวางตัวเลขสองร่างทับกัน เราจะหมุนพวกมันเพื่อว่าเมื่อรวมกันแล้ว พวกมันจะกลายเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วหนึ่งอัน ตามคุณสมบัติของมัน ด้านข้างหรือด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเท่ากัน เช่นเดียวกับมุมที่ฐาน ซึ่งหมายความว่าตัวเลขเหล่านี้เท่ากัน

จากเครื่องหมายแรก มันง่ายมากที่จะพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมนั้นเท่ากันจริงๆ สิ่งสำคัญคือด้านที่เล็กกว่าทั้งสอง (เช่น ขา) นั้นเท่ากัน

รูปสามเหลี่ยมจะเหมือนกันตามเกณฑ์ที่สองซึ่งสาระสำคัญคือความเท่าเทียมกันของขาและมุมแหลม

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก

ความสูงที่ลดลงจากมุมฉากจะแบ่งร่างออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

กฎสามารถจดจำด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากและค่ามัธยฐานได้อย่างง่ายดาย โดยค่ามัธยฐานที่ตกลงบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับครึ่งหนึ่ง สามารถพบได้ทั้งจากสูตรของนกกระสาและข้อความที่ว่ามันเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะใช้คุณสมบัติของมุม 30°, 45° และ 60°

• เมื่อทำมุม 30° ควรจำไว้ว่าขาตรงข้ามจะเท่ากับ 1/2 ของด้านที่ใหญ่ที่สุด
• ถ้ามุมเป็น 45° มุมแหลมอันที่สองก็จะเป็น 45° เช่นกัน นี่แสดงว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นหน้าจั่วและขาของมันก็เหมือนกัน
• คุณสมบัติของมุม 60° คือมุมที่สามมีองศาวัด 30°

คุณสามารถหาพื้นที่ได้อย่างง่ายดายโดยใช้สูตรหนึ่งในสามสูตร:

1. ผ่านความสูงและด้านที่มันลงมา;
2. ตามสูตรของนกกระสา
3. ที่ด้านข้างและมุมระหว่างพวกเขา

ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากหรือขา จะมาบรรจบกันด้วยระดับความสูง 2 ระดับ ในการค้นหาอันที่สาม จำเป็นต้องพิจารณาผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อคำนวณความยาวที่ต้องการ นอกจากสูตรนี้แล้ว ยังมีความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สองเท่ากับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากอีกด้วย สำนวนที่พบบ่อยที่สุดในหมู่นักเรียนคือสำนวนแรก เนื่องจากต้องใช้การคำนวณน้อยกว่า

ทฤษฎีบทที่ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรขาคณิตสามเหลี่ยมมุมฉากเกี่ยวข้องกับการใช้ทฤษฎีบทเช่น:

เครื่องคิดเลขออนไลน์
การแก้รูปสามเหลี่ยม

การแก้รูปสามเหลี่ยมคือการค้นหาองค์ประกอบทั้งหกของมัน (เช่น ด้านสามด้านและสามมุม) จากองค์ประกอบที่กำหนดสามองค์ประกอบที่กำหนดรูปสามเหลี่ยม

โปรแกรมทางคณิตศาสตร์นี้จะค้นหาด้าน \(c\), มุม \(\alpha \) และ \(\beta \) จากด้านที่ผู้ใช้กำหนด \(a, b\) และมุมระหว่างด้านเหล่านั้น \(\gamma \)

โปรแกรมไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการค้นหาวิธีแก้ไขอีกด้วย

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลายในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนต้นในการเตรียมตัวสอบ การทดสอบความรู้ก่อนการสอบ Unified State และสำหรับผู้ปกครองในการควบคุมการแก้ปัญหาต่างๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างครูสอนพิเศษหรือซื้อตำราเรียนใหม่ หรือคุณเพียงต้องการทำการบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิตให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดได้

ด้วยวิธีนี้ คุณสามารถดำเนินการฝึกอบรมและ/หรือฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของคุณได้เอง ในขณะที่ระดับการศึกษาในด้านการแก้ปัญหาก็เพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎการป้อนตัวเลข เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น

กฎสำหรับการป้อนตัวเลข

ตัวเลขสามารถระบุได้ไม่เฉพาะเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังระบุเป็นเศษส่วนได้ด้วย
ส่วนจำนวนเต็มและเศษส่วนในเศษส่วนทศนิยมสามารถคั่นด้วยจุดหรือลูกน้ำ
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อนเศษส่วนทศนิยม เช่น 2.5 หรือเช่น 2.5

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock ไว้
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชเพจ

เพราะ มีคนจำนวนมากยินดีแก้ไขปัญหา คำขอของคุณอยู่ในคิวแล้ว
ภายในไม่กี่วินาทีวิธีแก้ปัญหาจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มคำติชม
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจว่าอะไร เข้าไปในทุ่งนา.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

ทฤษฎีบทของไซน์

ทฤษฎีบท

ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบท
ให้ AB = c, BC = a, CA = b ในรูปสามเหลี่ยม ABC แล้ว
ด้านกำลังสองของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ลบด้วย 2 เท่าของผลคูณของด้านเหล่านั้น คูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

การแก้รูปสามเหลี่ยม

การแก้รูปสามเหลี่ยมหมายถึงการค้นหาองค์ประกอบทั้งหกของมัน (เช่น ด้านสามด้านและสามมุม) จากองค์ประกอบที่กำหนดสามองค์ประกอบที่กำหนดรูปสามเหลี่ยม

ลองดูปัญหาสามประการที่เกี่ยวข้องกับการแก้สามเหลี่ยม ในกรณีนี้ เราจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับด้านของสามเหลี่ยม ABC: AB = c, BC = a, CA = b

การแก้รูปสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้านและมุมระหว่างสองด้าน

ให้ไว้: \(a, b, \angle C\) ค้นหา \(c, \มุม A, \มุม B\)

สารละลาย
1. เมื่อใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เราจะพบว่า \(c\):

3. \(\มุม B = 180^\circ -\มุม A -\มุม C\)

การแก้รูปสามเหลี่ยมข้างและมุมประชิด

ให้ไว้: \(a, \angle B, \angle C\) ค้นหา \(\มุม A, b, c\)

สารละลาย
1. \(\มุม A = 180^\circ -\มุม B -\มุม C\)

การแก้รูปสามเหลี่ยมโดยใช้สามด้าน

ให้ไว้: \(a, b, c\) ค้นหา \(\มุม A, \มุม B, \มุม C\)

สารละลาย
1. การใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ที่เราได้รับ:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

2. ในทำนองเดียวกัน เราพบมุม B
3. \(\มุม C = 180^\circ -\มุม A -\มุม B\)

การแก้รูปสามเหลี่ยมโดยใช้สองด้านและมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ทราบ

ให้ไว้: \(a, b, \angle A\) ค้นหา \(c, \angle B, \angle C\)

สารละลาย
1. เมื่อใช้ทฤษฎีบทของไซน์ เราจะพบว่า \(\sin B\) จะได้:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \ลูกศรขวา \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

เรามาแนะนำสัญลักษณ์กัน: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \) ขึ้นอยู่กับหมายเลข D อาจมีกรณีต่อไปนี้:
ถ้า D > 1 แสดงว่าไม่มีรูปสามเหลี่ยมดังกล่าว เนื่องจาก \(\sin B\) ต้องไม่มากกว่า 1
ถ้า D = 1 จะมีค่า \(\angle B: \quad \sin B = 1 \ลูกศรขวา \angle B = 90^\circ \)
ถ้า D ถ้า D 2 \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B\)

3. ใช้ทฤษฎีบทไซน์ เราคำนวณด้าน c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$