Smo พร้อมช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่อง QS ที่มีการปฏิเสธและการช่วยเหลือซึ่งกันและกันอย่างเต็มที่สำหรับกระแสมวลชน กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้ ระบบการจัดคิวที่มีความล้มเหลวและการไหลต่างกัน

การกำหนดปัญหาที่ทางเข้า n-channel QS ได้รับโฟลว์คำขอที่ง่ายที่สุดด้วยความหนาแน่น lam ความหนาแน่นของการไหลของบริการที่ง่ายที่สุดสำหรับแต่ละช่องคือ μ หากคำขอรับบริการพบว่าทุกช่องฟรีก็ถือว่ารับบริการและให้บริการพร้อมกัน ล ช่อง ( ล < n). ในกรณีนี้ โฟลว์ของบริการสำหรับแอปพลิเคชันหนึ่งจะมีความเข้มข้น ล.

หากคำขอรับบริการพบหนึ่งคำขอในระบบ แล้วเมื่อใด n ≥ 2ลใบสมัครที่เพิ่งเข้ามาใหม่จะได้รับการยอมรับให้เข้ารับบริการและจะให้บริการพร้อมกัน ลช่อง.

หากคำขอรับบริการถูกจับได้ในระบบ ฉันแอปพลิเคชัน ( ฉัน= 0.1, ...) ในขณะที่ ( ฉัน+ 1)ล≤ nจากนั้นแอปพลิเคชันที่ได้รับจะได้รับการบริการ ลช่องที่มีผลงานโดยรวม ล. หากแอปพลิเคชันที่ได้รับใหม่ติดอยู่ในระบบ เจแอปพลิเคชันและในเวลาเดียวกันก็มีการตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: ( เจ + 1)ล > nและ เจ < nจากนั้นใบสมัครจะได้รับการยอมรับเข้าใช้บริการ ในกรณีนี้บางแอปพลิเคชันสามารถให้บริการได้ ลช่องอีกส่วนหนึ่งจะเล็กกว่า ล, จำนวนช่องแต่ทุกคนจะยุ่งกับการบริการ nช่องทางที่สุ่มแจกระหว่างแอพพลิเคชั่น หากแอปพลิเคชันที่ได้รับใหม่ติดอยู่ในระบบ nแอปพลิเคชันนั้นจะถูกปฏิเสธและจะไม่ได้รับบริการ แอปพลิเคชันที่ได้รับสำหรับการบริการจะได้รับการบริการจนเสร็จสิ้น (แอปพลิเคชัน "ผู้ป่วย")

กราฟสถานะของระบบดังกล่าวจะแสดงในรูป 3.8.

ข้าว. 3.8. กราฟสถานะ QS ที่มีความล้มเหลวและบางส่วน

การช่วยเหลือซึ่งกันและกันระหว่างช่องทาง

โปรดทราบว่ากราฟสถานะของระบบขึ้นอยู่กับสถานะ x ชม.ขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของพารามิเตอร์การไหล มันเกิดขึ้นพร้อมกับกราฟสถานะของระบบคิวแบบคลาสสิกที่มีความล้มเหลว ดังแสดงในรูปที่ 1 3.6.

เพราะฉะนั้น,

(ฉัน = 0, 1, ..., ชม.).

กราฟสถานะระบบเริ่มต้นจากสถานะ x ชม.และปิดท้ายด้วยรัฐ x nเกิดขึ้นพร้อมกันจนถึงสัญกรณ์ด้วยกราฟสถานะของ QS พร้อมความช่วยเหลือซึ่งกันและกันโดยสมบูรณ์ดังแสดงในรูปที่ 1 3.7. ดังนั้น,

.

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ lam / ลμ = ρ ล ; λ / nμ = χ แล้ว

เมื่อคำนึงถึงสภาพปกติที่เราได้รับ

เพื่อย่อสัญกรณ์ให้สั้นลง เราขอแนะนำสัญกรณ์

มาดูคุณลักษณะของระบบกัน

ความน่าจะเป็นของการบริการคำขอ

จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยในระบบคือ

จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย

.

ความน่าจะเป็นที่ช่องใดช่องหนึ่งจะไม่ว่าง

.

ความน่าจะเป็นของการครอบครองช่องสัญญาณของระบบทั้งหมด

3.4.4. ระบบการจัดคิวที่มีความล้มเหลวและการไหลต่างกัน

การกำหนดปัญหาที่ทางเข้า n- ระบบ QS ของช่องสัญญาณได้รับการไหลที่ง่ายที่สุดที่ต่างกันโดยมีความเข้มรวม Σ Σ และ

λ Σ = ,

ที่ไหน แล ฉัน– ความเข้มข้นของการใช้งานใน ฉันแหล่งที่มา

เนื่องจากโฟลว์ของคำขอถือเป็นการซ้อนทับของข้อกำหนดจากแหล่งต่าง ๆ โฟลว์รวมที่มีความแม่นยำเพียงพอสำหรับการปฏิบัติจึงถือได้ว่าเป็นปัวซองสำหรับ เอ็น = 5...20 และ แล ฉัน ≈ λ ฉัน +1 (ฉัน1,เอ็น). ความเข้มของการบริการของอุปกรณ์หนึ่งมีการกระจายตามกฎเลขชี้กำลังและเท่ากับ μ = 1/ ที. การให้บริการอุปกรณ์สำหรับการให้บริการตามคำขอจะเชื่อมต่อกันเป็นอนุกรม ซึ่งเทียบเท่ากับการเพิ่มเวลาการบริการหลายครั้งตามจำนวนอุปกรณ์ที่รวมกันสำหรับการบริการ:

ทีอ็อบส์ = เคที, μ obs = 1 / เคที = μ/ เค,

ที่ไหน ที obs – ขอเวลาให้บริการ; เค– จำนวนอุปกรณ์บริการ μ obs – ขอความเข้มข้นในการให้บริการ

ภายในกรอบของสมมติฐานที่นำมาใช้ในบทที่ 2 เรานำเสนอสถานะของ QS ในรูปแบบเวกเตอร์ โดยที่ เค ม– จำนวนแอพพลิเคชั่นในระบบซึ่งแต่ละแอพพลิเคชั่นให้บริการ มอุปกรณ์; ล = ถามสูงสุด – ถามนาที +1 – จำนวนสตรีมอินพุต

จากนั้นจำนวนอุปกรณ์ที่ถูกครอบครองและว่าง ( nแซน ( ),nเอสวี ( )) สามารถ มีการกำหนดไว้ดังนี้:

จากรัฐ ระบบสามารถไปที่สถานะอื่นได้ . เนื่องจากระบบทำงาน ลสตรีมอินพุต จากนั้นอาจเป็นไปได้จากแต่ละสถานะ ลการเปลี่ยนผ่านโดยตรง อย่างไรก็ตาม เนื่องจากทรัพยากรระบบมีจำกัด การเปลี่ยนผ่านทั้งหมดจึงไม่สามารถทำได้ ปล่อยให้ SMO อยู่ในสถานะ และคำขอก็มาถึงโดยเรียกร้อง มอุปกรณ์ ถ้า ม≤ nเอสวี ( ) จากนั้นคำขอจะได้รับการยอมรับสำหรับการบริการ และระบบจะเข้าสู่สถานะที่มีความเข้มข้น γ ม. หากแอปพลิเคชันต้องการอุปกรณ์มากกว่าที่มีอยู่ แอปพลิเคชันนั้นจะถูกปฏิเสธการให้บริการ และ QS จะยังคงอยู่ในสถานะ . ถ้าคุณสามารถ มีแอปพลิเคชันที่ต้องการ มอุปกรณ์แต่ละเครื่องจะได้รับการบริการอย่างเข้มข้น  มและความเข้มข้นรวมของการให้บริการตามคำขอดังกล่าว (μ ม) ถูกกำหนดให้เป็น μ ม = เค ม μ / ม. เมื่อให้บริการหนึ่งในคำขอเสร็จสมบูรณ์ ระบบจะเข้าสู่สถานะที่พิกัดที่เกี่ยวข้องมีค่าที่น้อยกว่าในสถานะหนึ่ง ,=, กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงย้อนกลับจะเกิดขึ้น ในรูป ในตาราง 3.9 แสดงตัวอย่างโมเดลเวกเตอร์ของ QS สำหรับ n = 3, ล = 3, ถามนาที = 1, ถามสูงสุด = 3, ป(ม) = 1/3, แลมบ์ดา = แลมบ์, ความเข้มข้นในการบำรุงรักษาอุปกรณ์ – μ

ข้าว. 3.9. ตัวอย่างกราฟของโมเดลเวกเตอร์ของ QS ที่มีการขัดข้องของบริการ

ดังนั้นทุกรัฐ โดดเด่นด้วยจำนวนแอปพลิเคชันที่ให้บริการบางประเภท เช่น ในรัฐหนึ่ง
หนึ่งคำขอให้บริการโดยอุปกรณ์หนึ่งเครื่องและหนึ่งคำขอโดยอุปกรณ์สองเครื่อง ในสถานะนี้ อุปกรณ์ทั้งหมดไม่ว่าง ดังนั้นจึงทำได้เฉพาะการเปลี่ยนแบบย้อนกลับเท่านั้น (การมาถึงของคำขอใดๆ ในสถานะนี้จะนำไปสู่การปฏิเสธบริการ) หากการให้บริการคำขอประเภทแรกสิ้นสุดลงเร็วกว่าปกติ ระบบจะเข้าสู่สถานะ (0,1,0) ด้วยความเข้ม μ แต่ถ้าการให้บริการคำขอประเภทที่สองสิ้นสุดลงเร็วกว่านั้นระบบจะเข้าสู่สถานะ (0,1,0) ด้วยความเข้ม μ/2

การใช้กราฟสถานะที่มีการพล็อตความเข้มของการเปลี่ยนแปลง ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะถูกรวบรวม จากการแก้สมการเหล่านี้จะพบความน่าจะเป็น ร() โดยกำหนดลักษณะของ QS

ลองพิจารณาค้นหา ร otk (ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการ)

,

ที่ไหน ส– จำนวนสถานะของกราฟของแบบจำลองเวกเตอร์ QS ร() คือความน่าจะเป็นที่ระบบจะอยู่ในสถานะ .

จำนวนรัฐตามถูกกำหนดดังนี้:

, (3.22)

;

ให้เรากำหนดจำนวนสถานะของแบบจำลอง QS ของเวกเตอร์ตาม (3.22) สำหรับตัวอย่างที่แสดงในรูปที่ 1 3.9.

.

เพราะฉะนั้น, ส = 1 + 5 + 1 = 7.

หากต้องการใช้ข้อกำหนดที่แท้จริงสำหรับอุปกรณ์บริการจำนวนมากเพียงพอ n (40, ..., 50) และคำขอจำนวนอุปกรณ์ที่ให้บริการในแอปพลิเคชันในทางปฏิบัติอยู่ในช่วง 8–16 ด้วยอัตราส่วนของเครื่องมือและคำขอดังกล่าว วิธีที่เสนอในการค้นหาความน่าจะเป็นจึงยุ่งยากอย่างยิ่ง เนื่องจาก โมเดลเวกเตอร์ของ QS มีสถานะจำนวนมาก ส(50) = 1790, ส(60) = 4676, ส(70) = = 11075 และขนาดของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบสมการพีชคณิตเป็นสัดส่วนกับกำลังสอง สซึ่งต้องใช้หน่วยความจำคอมพิวเตอร์จำนวนมากและใช้เวลาคอมพิวเตอร์เป็นจำนวนมาก ความปรารถนาที่จะลดจำนวนการคำนวณกระตุ้นให้เกิดการค้นหาความสามารถในการคำนวณที่เกิดซ้ำ ร() ขึ้นอยู่กับรูปแบบการคูณของการเป็นตัวแทนของความน่าจะเป็นของรัฐ บทความนี้นำเสนอแนวทางการคำนวณ ร():

(3.23)

การใช้เกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของยอดคงเหลือทั่วโลกและรายละเอียดของห่วงโซ่มาร์คอฟที่เสนอในงานช่วยให้เราลดขนาดของปัญหาและทำการคำนวณบนคอมพิวเตอร์กำลังปานกลางโดยใช้การคำนวณซ้ำ นอกจากนี้ ยังสามารถ:

– ทำการคำนวณค่าใด ๆ n;

– เร่งความเร็วการคำนวณและลดต้นทุนเวลาของเครื่องจักร

คุณลักษณะอื่นของระบบสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกัน

ระบบสมการ

QS ที่มีความล้มเหลวสำหรับโฟลว์การบริการจำนวนสุ่ม แบบจำลองเวกเตอร์สำหรับโฟลว์ปัวซอง กราฟระบบสมการ

ลองแทน QS เป็นเวกเตอร์ โดยที่ กม– จำนวนแอพพลิเคชั่นในระบบซึ่งแต่ละแอพพลิเคชั่นให้บริการ มอุปกรณ์; ล= ถามสูงสุด – ถามนาที +1 – จำนวนสตรีมอินพุต

หากคำขอได้รับการยอมรับสำหรับการบริการและระบบเข้าสู่สถานะที่มีความเข้มข้น แล ม.

เมื่อให้บริการคำขอใดคำขอหนึ่งเสร็จสมบูรณ์ ระบบจะย้ายไปยังสถานะที่พิกัดที่เกี่ยวข้องมีค่าที่น้อยกว่าในสถานะ = หนึ่ง กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงย้อนกลับจะเกิดขึ้น

ตัวอย่างของโมเดลเวกเตอร์ QS สำหรับ n = 3, ล = 3, ถามนาที = 1, ถามสูงสุด = 3, ป(ม) = 1/3, แลมบ์ดา = แลมบ์, ความเข้มข้นในการบำรุงรักษาอุปกรณ์ – μ

การใช้กราฟสถานะที่มีการพล็อตความเข้มของการเปลี่ยนแปลง ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นจะถูกรวบรวม จากการแก้สมการเหล่านี้จะพบความน่าจะเป็น ร() โดยกำหนดลักษณะของ QS

QS ที่มีคิวไม่สิ้นสุดสำหรับโฟลว์ปัวซอง กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้

กราฟระบบ

ที่ไหน n– จำนวนช่องทางการให้บริการ ล– จำนวนช่องทางการช่วยเหลือซึ่งกันและกัน

QS ที่มีคิวไม่สิ้นสุดและความช่วยเหลือซึ่งกันและกันบางส่วนสำหรับการไหลตามอำเภอใจ กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้

กราฟระบบ

ระบบสมการ

–λ ร 0 + nμ ร 1 =0,

.………………

–(λ + nμ) พี เค+ λ พี เค –1 + nμ พี เค +1 =0 (เค = 1,2, ... , n–1),

……………....

-(λ+ nμ) พีเอ็น+ λ พี –1 + nμ ร น+1=0,

……………….

-(λ+ nμ) พีเอ็น+เจ+ λ ร เอ็น+เจ –1 + nμ พี เอ็น+เจ+1=0, เจ=(1,2,….,∞)

QS พร้อมคิวที่ไม่มีที่สิ้นสุดและช่วยเหลือซึ่งกันและกันสำหรับเธรดตามอำเภอใจ กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้

กราฟระบบ

ระบบสมการ

QS ที่มีคิวจำกัดสำหรับโฟลว์ปัวซอง กราฟ ระบบสมการ ความสัมพันธ์ที่คำนวณได้

กราฟระบบ

ระบบสมการ

อัตราส่วนการคำนวณ:

,

ในกรณีส่วนใหญ่ ในทางปฏิบัติ ระบบคิวเป็นแบบหลายช่องทาง นั่นคือ คำขอหลายรายการสามารถให้บริการแบบขนานได้ ดังนั้น , รุ่นที่มีช่องทางการให้บริการ(โดยมีจำนวนช่องทางการให้บริการ n>1) มีความสนใจอย่างไม่ต้องสงสัย
กระบวนการเข้าคิวที่อธิบายโดยโมเดลนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยความเข้มของการไหลเข้า แล และไม่เกิน nลูกค้า (แอปพลิเคชัน) ระยะเวลาเฉลี่ยในการให้บริการหนึ่งคำขอคือ 1/μ โหมดการทำงานของช่องบริการหนึ่งหรือช่องอื่นไม่ส่งผลต่อโหมดการทำงานของช่องบริการอื่นของระบบ และระยะเวลาของขั้นตอนการบริการสำหรับแต่ละช่องเป็นตัวแปรสุ่มภายใต้กฎหมายการกระจายแบบเอกซ์โปเนนเชียล เป้าหมายสูงสุดของการใช้ช่องทางบริการที่เชื่อมต่อแบบขนานคือการเพิ่ม (เมื่อเทียบกับระบบช่องทางเดียว) ความเร็วในการให้บริการโดยการให้บริการพร้อมกัน nลูกค้า
วิธีแก้ปัญหาแบบคงที่ของระบบมีรูปแบบ:
;
ที่ไหน, .
เรียกว่าสูตรคำนวณความน่าจะเป็น สูตรเออร์แลง
ให้เราพิจารณาลักษณะความน่าจะเป็นของการทำงานของ QS หลายช่องทางที่มีความล้มเหลวในโหมดคงที่:
ความน่าจะเป็นของความล้มเหลว:
.
เนื่องจากแอปพลิเคชันจะถูกปฏิเสธหากมาถึงในเวลาที่ทุกช่องไม่ว่าง ขนาด อาร์ เปิดแสดงถึงความสมบูรณ์ของการบริการของการไหลที่เข้ามา
ความน่าจะเป็นที่ใบสมัครจะได้รับการยอมรับสำหรับการบริการ(หรือที่เรียกว่าความสามารถสัมพัทธ์ของระบบ) ช่วยเสริม อาร์ เปิดถึงหนึ่ง:
.
ปริมาณงานที่แน่นอน

จำนวนช่องสัญญาณเฉลี่ยที่ถูกครอบครองโดยบริการ() ดังต่อไปนี้:

ค่านี้แสดงถึงระดับการโหลดของ QS
ตัวอย่าง. อนุญาต n-channel QS เป็นศูนย์คอมพิวเตอร์ (CC) มี 3 ชุด ( n=3) พีซีแบบเปลี่ยนได้สำหรับการแก้ปัญหาที่เข้ามา ลำดับงานที่มาถึงศูนย์คอมพิวเตอร์มีความเข้มข้น แล = 1 งานต่อชั่วโมง ระยะเวลาการให้บริการโดยเฉลี่ยประมาณ = 1.8 ชั่วโมง
คุณต้องคำนวณค่า:
- ความน่าจะเป็นของจำนวนช่อง CC ที่ถูกครอบครอง
- ความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธที่จะให้บริการแอปพลิเคชัน
- ความสามารถสัมพัทธ์ของศูนย์คอมพิวเตอร์
- ความจุสัมบูรณ์ของศูนย์คอมพิวเตอร์
- จำนวนพีซีโดยเฉลี่ยที่ถูกครอบครองที่ศูนย์คอมพิวเตอร์
กำหนดจำนวนพีซีที่ต้องซื้อเพิ่มเติมเพื่อเพิ่มปริมาณงานของศูนย์คอมพิวเตอร์ 2 เท่า
สารละลาย.
มากำหนดพารามิเตอร์การไหลของบริการ μ:
.
ลดความเข้มของการไหลของแอปพลิเคชัน
.
เราค้นหาความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐโดยใช้สูตร Erlang:

ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธที่จะให้บริการแอปพลิเคชัน
.
ความจุสัมพัทธ์ของศูนย์คอมพิวเตอร์
.
ความจุสัมบูรณ์ของ CC:
.
จำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครองโดยเฉลี่ย – พีซี

ดังนั้นภายใต้โหมดการทำงานในสภาวะคงตัวของ QS โดยเฉลี่ยแล้วคอมพิวเตอร์ 1.5 ในสามเครื่องจะถูกครอบครอง - ส่วนที่เหลืออีกครึ่งหนึ่งจะไม่ได้ใช้งาน งานของ CC ที่ได้รับการพิจารณานั้นแทบจะไม่ถือว่าน่าพอใจ เนื่องจากศูนย์ไม่ได้ให้บริการตามคำขอโดยเฉลี่ยใน 18% ของกรณี (P 3 = 0.180) เห็นได้ชัดว่าความจุของศูนย์คอมพิวเตอร์สำหรับ γ และ μ ที่กำหนดนั้นสามารถเพิ่มได้โดยการเพิ่มจำนวนพีซีเท่านั้น
ให้เรากำหนดจำนวนพีซีที่ต้องใช้เพื่อลดจำนวนแอปพลิเคชันที่ไม่ได้ให้บริการที่ได้รับที่ CC ลง 10 เท่า เช่น เพื่อให้ความน่าจะเป็นของการล้มเหลวในการแก้ปัญหาไม่เกิน 0.0180 ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรความน่าจะเป็นของความล้มเหลว:

มาสร้างตารางต่อไปนี้:

การวิเคราะห์ข้อมูลตารางควรสังเกตว่าการขยายจำนวนช่องคอมพิวเตอร์ด้วยค่าที่กำหนดของ แล และ μ เป็น 6 หน่วยพีซี จะทำให้มั่นใจได้ถึงความพึงพอใจของคำขอในการแก้ปัญหา 99.22% เนื่องจากด้วย n= 6 ความน่าจะเป็นของการปฏิเสธการให้บริการ ( อาร์ เปิด) คือ 0.0078

ให้เราพิจารณาระบบคิวแบบหลายช่องสัญญาณ (รวม n ช่อง) ซึ่งรับคำขอด้วยความเข้มข้น แล และให้บริการด้วยความเข้มข้น μ คำขอที่มาถึงระบบจะได้รับบริการหากมีช่องสัญญาณว่างอย่างน้อยหนึ่งช่อง หากทุกช่องไม่ว่าง คำขอถัดไปที่ได้รับเข้าสู่ระบบจะถูกปฏิเสธและออกจาก QS ให้เรากำหนดหมายเลขสถานะของระบบตามจำนวนช่องสัญญาณที่ถูกครอบครอง:

• ส 0 – ทุกช่องฟรี
• ส 1 – ช่องหนึ่งไม่ว่าง
• ส 2 – สองช่องถูกครอบครอง;
• สเค- ยุ่ง เคช่อง;
• สn– ทุกช่องไม่ว่าง

ข้าว. 7.24
รูปที่ 6.24 แสดงกราฟสถานะซึ่ง สฉัน– หมายเลขช่อง; แล - ความเข้มของคำขอที่ได้รับ; μ – ตามความเข้มข้นของการร้องขอการบริการ คำขอเข้าสู่ระบบคิวด้วยความเข้มข้นคงที่และค่อยๆ ครอบครองช่องทางทีละรายการ เมื่อทุกช่องไม่ว่าง คำร้องขอถัดไปที่มาถึง QS จะถูกปฏิเสธและออกจากระบบ
ให้เราพิจารณาความเข้มข้นของโฟลว์เหตุการณ์ที่ถ่ายโอนระบบจากรัฐหนึ่งไปอีกรัฐหนึ่ง เมื่อเคลื่อนที่ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้ายตามกราฟสถานะ
เช่น ให้ระบบอยู่ในสถานะ ส 1 เช่น ช่องหนึ่งไม่ว่างเนื่องจากมีคำขอที่อินพุต ทันทีที่การบริการตามคำขอเสร็จสิ้น ระบบจะเข้าสู่สถานะ ส 0 .
ตัวอย่างเช่น หากสองช่องไม่ว่าง โฟลว์บริการจะถ่ายโอนระบบจากสถานะ ส 2 อยู่ในสถานะ ส 1 จะมีความเข้มข้นเป็นสองเท่า: 2-μ; ดังนั้นหากยุ่ง เคช่องความเข้มคือ k-μ

กระบวนการบำรุงรักษาเป็นกระบวนการแห่งความตายและการสืบพันธุ์ สมการโคลโมโกรอฟสำหรับกรณีนี้โดยเฉพาะจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

(7.25)
สมการ (7.25) เรียกว่า สมการเออร์แลง .
เพื่อที่จะหาค่าความน่าจะเป็นของรัฐ ร 0 , ร 1 , …, รnจำเป็นต้องกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น:
– ร 0 (0) = 1 เช่น มีการร้องขอที่อินพุตของระบบ
– ร 1 (0) = ร 2 (0) = … = รn(0) = 0 กล่าวคือ ในช่วงเวลาเริ่มต้นระบบจะว่าง
เมื่อรวมระบบสมการเชิงอนุพันธ์ (7.25) แล้วเราจะได้ค่าความน่าจะเป็นของรัฐ ร 0 (ที), ร 1 (ที), … รn(ที).
แต่เราสนใจเรื่องความน่าจะเป็นที่จำกัดของรัฐมากกว่ามาก เมื่อ t → ∞ และใช้สูตรที่ได้รับเมื่อพิจารณาถึงกระบวนการตายและการสืบพันธุ์ เราจะได้คำตอบของระบบสมการ (7.25):

(7.26)
ในสูตรเหล่านี้คืออัตราส่วนความเข้ม λ / μ สะดวกในการกำหนดตามกระแสของแอปพลิเคชัน ρ .ปริมาณนี้เรียกว่า เมื่อพิจารณาถึงความเข้มข้นของการไหลของแอปพลิเคชันนั่นคือจำนวนเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่มาถึง QS ในช่วงเวลาเฉลี่ยของการให้บริการหนึ่งแอปพลิเคชัน

เมื่อคำนึงถึงสัญกรณ์ที่ทำไว้ ระบบสมการ (7.26) จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

(7.27)
สูตรเหล่านี้สำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นส่วนเพิ่มเรียกว่า สูตรเออร์แลง .
เมื่อทราบความน่าจะเป็นทั้งหมดของสถานะ QS เราจะค้นหาคุณลักษณะของประสิทธิภาพของ QS เช่น ปริมาณงานสัมบูรณ์ ก, ปริมาณงานสัมพัทธ์ ถามและความน่าจะเป็นของความล้มเหลว รเปิด
แอปพลิเคชันที่ระบบได้รับจะถูกปฏิเสธหากพบว่าทุกช่องไม่ว่าง:

.
ความน่าจะเป็นที่ใบสมัครจะได้รับการยอมรับสำหรับการบริการ:

ถาม = 1 – รเปิด,
ที่ไหน ถาม– ส่วนแบ่งเฉลี่ยของแอปพลิเคชันที่ได้รับซึ่งให้บริการโดยระบบ หรือ จำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ให้บริการโดย QSต่อหน่วยเวลาซึ่งสัมพันธ์กับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ได้รับในช่วงเวลานี้:

A=แลมบ์ดาQ=แลมบ์(เปิด 1-P)
นอกจากนี้ หนึ่งในคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของ QS ที่มีความล้มเหลวก็คือ จำนวนช่องสัญญาณที่ไม่ว่างโดยเฉลี่ย. ใน n-channel QS ที่มีความล้มเหลว หมายเลขนี้เกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยใน QS
จำนวนคำขอโดยเฉลี่ย k สามารถคำนวณได้โดยตรงผ่านความน่าจะเป็นของสถานะ P 0, P 1, ..., P n:

,
กล่าวคือ เราค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งรับค่าตั้งแต่ 0 ถึง nด้วยความน่าจะเป็น ร 0 , ร 1 , …, รn.
ง่ายยิ่งขึ้นในการแสดงค่า k ผ่านความสามารถสัมบูรณ์ของ QS เช่น ก. ค่า A คือจำนวนแอปพลิเคชันโดยเฉลี่ยที่ระบบให้บริการต่อหน่วยเวลา ช่องที่ไม่ว่างหนึ่งช่องให้บริการคำขอ μ ต่อหน่วยเวลา จากนั้นจึงเป็นจำนวนเฉลี่ยของช่องที่ไม่ว่าง