ตัวแปรสุ่ม x ถูกระบุโดยฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจง ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ภารกิจที่ 2. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X ที่กำหนดโดยฟังก์ชันอินทิกรัล

ภารกิจที่ 3. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X จากฟังก์ชันการแจกแจง

ภารกิจที่ 4. ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มบางตัวจะได้รับดังนี้: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
ค้นหาสัมประสิทธิ์ A ฟังก์ชันการกระจาย F(x) ค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะได้รับค่าในช่วงเวลานั้น วาดกราฟ f(x) และ F(x)

งาน. ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องบางตัวได้รับดังนี้:

กำหนดพารามิเตอร์ a และ b ค้นหานิพจน์สำหรับความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) ค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ ตลอดจนความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะได้รับค่าในช่วงเวลานั้น วาดกราฟของ f(x) และ F(x)

ลองหาฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันการกระจายกัน
F′=ฉ(x)=ก
เมื่อรู้ว่าเราจะพบพารามิเตอร์ a:

หรือ 3a=1 โดยที่ a = 1/3
เราพบพารามิเตอร์ b จากคุณสมบัติต่อไปนี้:
F(4) = ก*4 + ข = 1
1/3*4 + b = 1 โดยที่ b = -1/3
ดังนั้น ฟังก์ชันการกระจายจึงมีรูปแบบ: F(x) = (x-1)/3

ตัวอย่างหมายเลข 1 ความหนาแน่นของการแจกแจงความน่าจะเป็น f(x) ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X จะได้รับ ที่จำเป็น:

1. กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ A
2. ค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง F(x) .
3. สร้างกราฟของ F(x) และ f(x) ตามแผนผัง
4. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของ X
5. ค้นหาความน่าจะเป็นที่ X จะได้รับค่าจากช่วงเวลา (2;3)

ตัวแปรสุ่ม X ถูกระบุโดยความหนาแน่นของการแจกแจง f(x):

การกระจายตัวตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง X ค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นของแกน Ox ทั้งหมดถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

วัตถุประสงค์ของการบริการ. เครื่องคิดเลขออนไลน์ถูกออกแบบมาเพื่อแก้ปัญหาทั้ง ความหนาแน่นของการกระจาย f(x) หรือฟังก์ชันการกระจาย F(x) (ดูตัวอย่าง) โดยปกติแล้วคุณจะต้องค้นหางานดังกล่าว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ฟังก์ชันพล็อต f(x) และ F(x).

คำแนะนำ. เลือกประเภทของแหล่งข้อมูล: ความหนาแน่นของการแจกแจง f(x) หรือฟังก์ชันการแจกแจง F(x)

ความหนาแน่นของการกระจาย f(x) ได้รับ:

ฟังก์ชันการแจกแจง F(x) ได้รับ:

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องถูกกำหนดโดยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
(กฎหมายการกระจายเรย์ลี - ใช้ในงานวิศวกรรมวิทยุ) หา M(x) , D(x) .

ตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า อย่างต่อเนื่อง ถ้าฟังก์ชันการกระจาย F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
ฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ตกอยู่ในช่วงที่กำหนด:
ป(α< X < β)=F(β) - F(α)
นอกจากนี้ สำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ไม่สำคัญว่าขอบเขตของตัวแปรจะรวมอยู่ในช่วงนี้หรือไม่:
ป(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
ความหนาแน่นของการกระจาย ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเรียกว่าฟังก์ชัน
f(x)=F’(x) , อนุพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจง

คุณสมบัติของความหนาแน่นของการกระจาย

เพราะฉะนั้น, . การแก้ปัญหาระบบนี้ เราได้รับค่าสองคู่: เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา ในที่สุดเราก็มี: .

คำตอบ: .

ตัวอย่าง 2.11.โดยเฉลี่ยน้อยกว่า 10% ของสัญญา บริษัทประกันภัยจะจ่ายเงินประกันที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์ที่เอาประกันภัยเกิดขึ้น คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการกระจายของจำนวนสัญญาดังกล่าวระหว่างสัญญาที่เลือกแบบสุ่มสี่สัญญา

สารละลาย:ความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

.

ค่าที่เป็นไปได้ของ SV (จำนวนสัญญา (จากสี่) กับเหตุการณ์ที่เอาประกันภัย): 0, 1, 2, 3, 4

เราใช้สูตรของเบอร์นูลลีเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของจำนวนสัญญาที่แตกต่างกัน (จากสี่สัญญา) ที่มีการจ่ายจำนวนเงินประกัน:

.

ชุดการจำหน่าย IC (จำนวนสัญญาที่เกิดเหตุการณ์ที่เอาประกันภัย) มีรูปแบบ:

คำตอบ: , .

ตัวอย่าง 2.12.ดอกกุหลาบทั้งห้าดอก มีสีขาวสองดอก จงเขียนกฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มที่แสดงจำนวนดอกกุหลาบขาวในดอกกุหลาบสองดอกที่ถ่ายพร้อมกัน

สารละลาย:ในการเลือกดอกกุหลาบสองดอก อาจไม่มีกุหลาบขาว หรืออาจมีกุหลาบขาวหนึ่งหรือสองดอกก็ได้ ดังนั้นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์สามารถรับค่าได้: 0, 1, 2 ความน่าจะเป็นนั้น เอ็กซ์รับค่าเหล่านี้ เราพบโดยใช้สูตร:

ที่ไหน -- จำนวนดอกกุหลาบ

-- จำนวนดอกกุหลาบขาว

– จำนวนดอกกุหลาบที่ถ่ายพร้อมกัน

-- จำนวนกุหลาบขาวที่ได้มา

.

.

.

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มจะเป็นดังนี้:

ตัวอย่าง 2.13.ในบรรดายูนิตที่ประกอบทั้งหมด 15 ชิ้น มี 6 ชิ้นที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติม จัดทำกฎการกระจายสำหรับจำนวนหน่วยที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติมโดยสุ่มเลือกห้ารายการจากจำนวนทั้งหมด

สารละลาย:ค่าสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนหน่วยที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติมจากห้าตัวเลือกที่เลือก – สามารถใช้ค่าต่อไปนี้: 0, 1, 2, 3, 4, 5 และมีการกระจายแบบไฮเปอร์เรขาคณิต ความน่าจะเป็นนั้น เอ็กซ์รับค่าเหล่านี้ เราพบโดยใช้สูตร:

ที่ไหน -- จำนวนหน่วยที่ประกอบ

-- จำนวนยูนิตที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติม

– จำนวนหน่วยที่เลือก

-- จำนวนยูนิตที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติมในจำนวนที่เลือก

.

.

.

.

.

.

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มจะเป็นดังนี้:

ตัวอย่างที่ 2.14จากนาฬิกา 10 เรือนที่ได้รับการซ่อมแซม มี 7 เรือนที่ต้องทำความสะอาดกลไกทั่วไป นาฬิกาไม่ได้แยกตามประเภทการซ่อม นายท่านต้องการหานาฬิกาที่ต้องทำความสะอาดก็ตรวจดูทีละเรือนและเมื่อพบนาฬิกาดังกล่าวแล้วจึงหยุดดูต่อไป ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนชั่วโมงที่ดู

สารละลาย:ค่าสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนหน่วยที่ต้องการการหล่อลื่นเพิ่มเติมจากห้าตัวเลือกที่เลือก – สามารถใช้ค่าต่อไปนี้: 1, 2, 3, 4 ความน่าจะเป็นที่ เอ็กซ์รับค่าเหล่านี้ เราพบโดยใช้สูตร:

.

.

.

.

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มจะเป็นดังนี้:

ตอนนี้เรามาคำนวณลักษณะตัวเลขของปริมาณ:

คำตอบ: , .

ตัวอย่าง 2.15.สมาชิกลืมหมายเลขโทรศัพท์หลักสุดท้ายที่ต้องการ แต่จำได้ว่าเป็นเลขคี่ ค้นหาค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของจำนวนครั้งที่เขากดหมายเลขโทรศัพท์ก่อนที่จะถึงหมายเลขที่ต้องการ หากเขาสุ่มเลขหลักสุดท้ายและไม่กดหมายเลขที่โทรออกในภายหลัง

สารละลาย:ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าต่อไปนี้: เนื่องจากผู้สมัครสมาชิกไม่ได้หมุนหมายเลขที่โทรออกในอนาคต ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้จึงเท่ากัน

มารวบรวมชุดการแจกแจงของตัวแปรสุ่มกันดีกว่า:

มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของจำนวนครั้งที่พยายามโทรออก:

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 2.16ความน่าจะเป็นที่จะเกิดความล้มเหลวระหว่างการทดสอบความน่าเชื่อถือสำหรับอุปกรณ์แต่ละเครื่องในซีรีส์นี้เท่ากับ พี. กำหนดความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลวหากได้รับการทดสอบ เอ็นอุปกรณ์

สารละลาย:ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X คือจำนวนอุปกรณ์ที่ล้มเหลว เอ็นการทดสอบอิสระซึ่งแต่ละการทดสอบมีความน่าจะเป็นของความล้มเหลวเท่ากัน พีกระจายตามกฎทวินาม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบทวินามจะเท่ากับจำนวนการทดลองคูณด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง:

ตัวอย่างที่ 2.17ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์รับค่าที่เป็นไปได้ 3 ค่า: ด้วยความน่าจะเป็น ; ด้วยความน่าจะเป็นและด้วยความน่าจะเป็น ค้นหา และ เมื่อรู้ว่า M( เอ็กซ์) = 8.

สารละลาย:เราใช้คำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

เราพบ: .

ตัวอย่างที่ 2.18ฝ่ายควบคุมด้านเทคนิคตรวจสอบผลิตภัณฑ์ให้ได้มาตรฐาน ความน่าจะเป็นที่สินค้าได้มาตรฐานคือ 0.9 แต่ละชุดประกอบด้วย 5 ผลิตภัณฑ์ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนชุดงาน ซึ่งแต่ละชุดประกอบด้วยผลิตภัณฑ์มาตรฐาน 4 รายการพอดี หากมี 50 ชุดที่ต้องได้รับการตรวจสอบ

สารละลาย:ในกรณีนี้ การทดลองทั้งหมดที่ดำเนินการมีความเป็นอิสระ และความน่าจะเป็นที่แต่ละชุดจะมีผลิตภัณฑ์มาตรฐาน 4 รายการเท่ากัน ดังนั้น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร:

,

จำนวนฝ่ายอยู่ที่ไหน

ความน่าจะเป็นที่แบทช์จะมีผลิตภัณฑ์มาตรฐาน 4 รายการพอดี

เราค้นหาความน่าจะเป็นโดยใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

คำตอบ: .

ตัวอย่าง 2.19.ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์– จำนวนครั้งของเหตุการณ์ กในการทดลองอิสระสองครั้ง หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากันและเป็นที่รู้กันว่า ม(เอ็กซ์) = 0,9.

สารละลาย:ปัญหาสามารถแก้ไขได้สองวิธี

1) ค่าที่เป็นไปได้ของ SV เอ็กซ์: 0, 1, 2 โดยใช้สูตรเบอร์นูลลี เราพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

, , .

แล้วกฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้า เอ็กซ์มีรูปแบบ:

จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราพิจารณาความน่าจะเป็น:

ลองหาการกระจายตัวของ SV กัน เอ็กซ์:

.

2) คุณสามารถใช้สูตร:

.

คำตอบ: .

ตัวอย่าง 2.20.ความคาดหวังและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติ เอ็กซ์ตามลำดับเท่ากับ 20 และ 5 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป็นผลจากการทดสอบ เอ็กซ์จะนำค่าที่มีอยู่ในช่วงเวลา (15; 25)

สารละลาย:ความน่าจะเป็นที่จะชนตัวแปรสุ่มปกติ เอ็กซ์ในส่วน from ถึง แสดงผ่านฟังก์ชัน Laplace:

ตัวอย่าง 2.21.ฟังก์ชันที่กำหนด:

ที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด คฟังก์ชันนี้คือความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องบางตัว เอ็กซ์? ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์.

สารละลาย:เพื่อให้ฟังก์ชันเป็นความหนาแน่นของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มบางตัว ฟังก์ชันนั้นจะต้องไม่เป็นลบ และจะต้องเป็นไปตามคุณสมบัติ:

.

เพราะฉะนั้น:

ลองคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยใช้สูตร:

.

ลองคำนวณความแปรปรวนโดยใช้สูตร:

ทีมีค่าเท่ากัน พี. จำเป็นต้องค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มนี้

สารละลาย:กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ ซึ่งในแต่ละกรณีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ เรียกว่าทวินาม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการแจกแจงแบบทวินามจะเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง:

.

ตัวอย่าง 2.25.มีการยิงปืนอิสระสามนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะยิงแต่ละนัดคือ 0.25 กำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนการเข้าชมด้วยการยิงสามนัด

สารละลาย:เนื่องจากมีการดำเนินการทดลองอิสระสามครั้ง และความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A (การโจมตี) จะเกิดขึ้นในแต่ละการทดลองจะเท่ากัน เราจะถือว่าตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X - จำนวนการเข้าชมเป้าหมาย - มีการกระจายตาม กฎหมายทวินาม

ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทวินามเท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นและการไม่เกิดเหตุการณ์ในการทดลองหนึ่งครั้ง:

ตัวอย่างที่ 2.26จำนวนลูกค้าโดยเฉลี่ยที่มาเยี่ยมชมบริษัทประกันภัยใน 10 นาทีคือ 3 นาที ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกค้าอย่างน้อยหนึ่งรายจะมาถึงใน 5 นาทีข้างหน้า

จำนวนลูกค้าโดยเฉลี่ยที่มาถึงใน 5 นาที: . .

ตัวอย่าง 2.29.เวลาที่รอสำหรับแอปพลิเคชันในคิวตัวประมวลผลเป็นไปตามกฎการแจกแจงแบบเอกซ์โปเนนเชียลซึ่งมีค่าเฉลี่ย 20 วินาที ค้นหาความน่าจะเป็นที่คำขอถัดไป (สุ่ม) จะรอบนโปรเซสเซอร์นานกว่า 35 วินาที

สารละลาย:ในตัวอย่างนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และอัตราความล้มเหลวเท่ากับ

จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ตัวอย่าง 2.30.กลุ่มนักเรียน 15 คนจัดการประชุมในห้องโถง 20 แถวๆ ละ 10 ที่นั่ง นักเรียนแต่ละคนจะเข้ามาอยู่ในห้องโถงแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่จะมีคนไม่เกิน 3 คนอยู่ในอันดับที่ 7 ของแถวเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

ตัวอย่าง 2.31.

จากนั้น ตามคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:

ที่ไหน -- จำนวนชิ้นส่วนในชุด;

-- จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานในชุด

– จำนวนชิ้นส่วนที่เลือก

-- จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานในบรรดาชิ้นส่วนที่เลือก

จากนั้นกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มจะเป็นดังนี้