การคำนวณความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สูตรหาความยาวด้านของสี่เหลี่ยม

สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสแต่ละมุมซึ่งอยู่ทางขวา

การพิสูจน์

คุณสมบัติอธิบายโดยการกระทำของแอตทริบิวต์ 3 ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (นั่นคือ \ มุม A = \ มุม C, \ มุม B = \ มุม D)

2. ด้านตรงข้ามเท่ากัน

AB = ซีดี \ enspace BC = AD

3.ด้านตรงข้ามขนานกัน

AB \ ขนานซีดี \ enspace BC \ ขนาน AD

4. ด้านที่อยู่ติดกันตั้งฉากกัน

AB \ perp BC, \ enspace BC \ perp CD, \ enspace CD \ perp AD, \ enspace AD ​​​​\ perp AB

5. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีค่าเท่ากัน

AC = BD

การพิสูจน์

ตาม ทรัพย์สิน 1สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งหมายถึง AB = CD

ดังนั้น \ สามเหลี่ยม ABD = \ สามเหลี่ยม DCA ในสองขา (AB = CD และ AD - ข้อต่อ)

หากตัวเลขทั้งสอง - ABC และ DCA เหมือนกัน ด้านตรงข้ามมุมฉาก BD และ AC ก็เหมือนกัน

ดังนั้น AC = BD

เฉพาะสี่เหลี่ยมของตัวเลขทั้งหมด (เฉพาะสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่านั้น!) มีเส้นทแยงมุมเท่ากัน

เราจะพิสูจน์สิ่งนี้เช่นกัน

ABCD - สี่เหลี่ยมด้านขนาน \ Rightarrow AB = CD, AC = BD ตามเงื่อนไข \ ลูกศรขวา \ สามเหลี่ยม ABD = \ สามเหลี่ยม DCAอยู่แล้วในสามด้าน

ปรากฎว่า \ มุม A = \ มุม D (เช่นมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) และ \ มุม A = \ มุม C, \ มุม B = \ มุม D

เราสรุปได้ว่า \ มุม A = \ มุม B = \ มุม C = \ มุม D... ทั้งหมดคือ 90 ^ (\ circ) ทั้งหมด - 360 ^ (\ circ)

พิสูจน์แล้ว!

6. สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านที่อยู่ติดกันสองข้าง

คุณสมบัตินี้ถูกต้องตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

AC ^ 2 = AD ^ 2 + ซีดี ^ 2

7. เส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เหมือนกัน

\ สามเหลี่ยม ABC = \ สามเหลี่ยม ACD, \ enspace \ สามเหลี่ยม ABD = \ สามเหลี่ยม BCD

8. จุดตัดของเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่ง

AO = BO = CO = DO

9. จุดตัดของเส้นทแยงมุมเป็นจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและวงกลม

10. ผลรวมของมุมทั้งหมดคือ 360 องศา

\ มุม ABC + \ มุม BCD + \ มุม CDA + \ มุม DAB = 360 ^ (\ circ)

11. ทุกมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าตรง

\ มุม ABC = \ มุม BCD = \ มุม CDA = \ มุม DAB = 90 ^ (\ circ)

12. เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

13. รอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า คุณสามารถอธิบายวงกลมได้ตลอดเวลา

คุณสมบัตินี้เป็นจริงเพราะผลรวมของมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 180 ^ (\ circ)

\ มุม ABC = \ มุม CDA = 180 ^ (\ circ), \ enspace \ มุม BCD = \ มุม DAB = 180 ^ (\ circ)

14. สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถมีวงกลมที่จารึกไว้และมีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้นที่มีความยาวด้านเท่ากัน (เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

ปัญหาการหาเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถกำหนดได้เป็น 3 วิธีทางที่แตกต่าง... ลองมาดูที่แต่ละของพวกเขา วิธีการขึ้นอยู่กับข้อมูลที่ทราบ ดังนั้นคุณจะหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้อย่างไร

ถ้ารู้สองด้าน

ในกรณีที่ทราบสองด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า a และ b ในการหาเส้นทแยงมุม จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: a 2 + b 2 = c 2, a และ b คือขา สามเหลี่ยมมุมฉาก, c คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อวาดเส้นทแยงมุมในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มันจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป เรารู้สองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ (a และ b) นั่นคือ ในการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ต้องใช้สูตรดังนี้: c = √ (a 2 + b 2) โดยที่ c คือความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ด้านที่รู้จักและมุม ระหว่างด้านกับแนวทแยง

ให้รู้จักด้านของสี่เหลี่ยม a และมุมที่ก่อตัวด้วยเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม α ในการเริ่มต้น ให้นึกถึงสูตรโคไซน์: cos α = a / c โดยที่ c คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า วิธีคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจากสูตรนี้: c = a / cos α

ด้านที่ทราบ มุมระหว่างด้านประชิดของสี่เหลี่ยมผืนผ้ากับเส้นทแยงมุม

เนื่องจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป จึงควรเปลี่ยนนิยามของไซน์ ไซน์คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามมุมนี้กับบาปด้านตรงข้ามมุมฉาก α = b / c จากที่นี่ เราได้สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากด้วย: c = b / sin α

ตอนนี้คุณเข้าใจในเรื่องนี้แล้ว พรุ่งนี้คุณสามารถทำให้ครูเรขาคณิตของคุณพอใจได้!

คำนิยาม.

สี่เหลี่ยมผืนผ้าแตกต่างกันเฉพาะในอัตราส่วนของด้านยาวกับด้านสั้น แต่ทั้งสี่มุมเป็นเส้นตรง นั่นคือ 90 องศา

ด้านยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า ความยาวของสี่เหลี่ยมและอันสั้น - ความกว้างของสี่เหลี่ยม.

ด้านข้างของสี่เหลี่ยมก็มีความสูงเช่นกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

1. ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวเท่ากัน กล่าวคือ เท่ากัน:

AB = ซีดี BC = AD

2. ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน:

3. ด้านที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะตั้งฉากเสมอ:

AB ┴ BC, BC ┴ ซีดี, ซีดี ┴ โฆษณา, AD ┴ AB

4. มุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าตรง:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 °

5. ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือ 360 องศา:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360 °

6. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวเท่ากัน:

7. ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแนวทแยงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านข้าง:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นของสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกเป็นสองรูปร่างเหมือนกัน นั่นคือ สามเหลี่ยมมุมฉาก

9. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าตัดกันและผ่าครึ่งที่ทางแยก:

10. จุดตัดของเส้นทแยงมุมเรียกว่าจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ

11. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ

12. คุณสามารถอธิบายวงกลมรอบๆ สี่เหลี่ยมผืนผ้าได้เสมอ เนื่องจากผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180 องศา:

∠ABC = ∠CDA = 180 ° ∠BCD = ∠DAB = 180 °

13. ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวไม่เท่ากับความกว้าง มันเป็นไปไม่ได้ที่จะจารึกวงกลม เนื่องจากผลรวม ฝ่ายตรงข้ามไม่เท่ากัน (วงกลมสามารถจารึกได้เฉพาะในกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมผืนผ้า - สี่เหลี่ยมจัตุรัส)

ด้านของสี่เหลี่ยม

คำนิยาม.

สูตรหาความยาวด้านของสี่เหลี่ยม

1. สูตรด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ความยาวและความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ผ่านเส้นทแยงมุมและอีกด้านหนึ่ง:

ก = √ d 2 - ข 2

ข = √ d 2 - a 2

2. สูตรด้านของสี่เหลี่ยม (ความยาวและความกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ผ่านพื้นที่และอีกด้านหนึ่ง:

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำนิยาม.

สูตรกำหนดความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1. สูตรสำหรับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านทั้งสองด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส):

d = √ a 2 + b 2

2. สูตรเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของพื้นที่และด้านใด ๆ :

4. สูตรเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของรัศมีของวงกลมล้อมรอบ:

d = 2R

5. สูตรเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ:

d = D เกี่ยวกับ

6. สูตรของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของไซน์ของมุมที่อยู่ติดกับเส้นทแยงมุมและความยาวของด้านตรงข้ามกับมุมนี้:

8. สูตรเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมในรูปของไซน์ มุมแหลมระหว่างเส้นทแยงมุมกับพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

d = √2S: บาป β

ปริมณฑลของสี่เหลี่ยม

คำนิยาม.

สูตรหาความยาวของเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1. สูตรสำหรับปริมณฑลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านสองด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

P = 2a + 2b

P = 2 (a + b)

2. สูตรปริมณฑลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของพื้นที่และด้านใด ๆ :

3. สูตรปริมณฑลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านแนวทแยงและด้านใด ๆ :

P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2 (b + √ d 2 - ข 2)

4. สูตรปริมณฑลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของรัศมีของวงกลมล้อมรอบและด้านใด ๆ :

P = 2 (a + √4R 2 - 2) = 2 (b + √4R 2 - ข2)

5. สูตรสำหรับเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบและด้านใด ๆ :

P = 2 (a + √D o 2 - 2) = 2 (b + √D o 2 - ข2)

พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำนิยาม.

สูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยม

1. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมสองด้าน:

S = ข

2. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของปริมณฑลและด้านใด ๆ :

5. สูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของรัศมีของวงกลมล้อมรอบและด้านใด ๆ :

S = √4R 2 - 2= ข √4R 2 - ข2

6. สูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าในแง่ของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบและด้านใด ๆ :

S = a √D o 2 - 2= b √D o 2 - ข2

วงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า

คำนิยาม.

สูตรหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า

1. สูตรรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้าผ่านสองด้าน: