งานง่าย ๆ ที่มีโดยตรงบนเครื่องบิน ตำแหน่งซึ่งกันและกัน มุมระหว่างตรง พิกัดและเวกเตอร์ คู่มือครบถ้วนสมบูรณ์ (2020) ระยะทางจากจุดไปยังสมการที่ตรงไปตรงมา

ระยะทางจากจุดไปที่บรรทัดคือความยาวของแนวตั้งฉากลดลงจากจุดไปโดยตรง ในรูปทรงเรขาคณิตเชิงพรรณนาจะถูกกำหนดโดยกราฟิกตามอัลกอริทึมด้านล่าง

อัลกอริทึม

1. ตรงแปลเป็นตำแหน่งที่มันจะขนานกับระนาบใด ๆ ของการฉาย วิธีนี้ใช้วิธีการเปลี่ยนการคาดการณ์มุมฉาก
2. จากจุดที่ดำเนินการตั้งฉากกับเส้น พื้นฐานของโครงสร้างนี้อยู่ที่โครงการในโครงการมุมโดยตรง
3. ความยาวของแนวตั้งฉากถูกกำหนดโดยการแปลงการประมาณการหรือใช้วิธีการของสามเหลี่ยมสี่เหลี่ยม

รูปต่อไปนี้นำเสนอการวาดภาพที่ครอบคลุมของจุด M และ Direct B ที่กำหนดโดยเซ็กเมนต์ซีดี จำเป็นต้องค้นหาระยะห่างระหว่างพวกเขา

ตามอัลกอริทึมของเราสิ่งแรกที่ต้องทำคือการแปลโดยตรงกับตำแหน่งขนานกับระนาบฉาย เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเข้าใจว่าหลังจากการเปลี่ยนแปลงดำเนินการระยะห่างที่แท้จริงระหว่างจุดและโดยตรงไม่ควรเปลี่ยนแปลง นั่นคือเหตุผลที่สะดวกในการใช้วิธีการแทนที่เครื่องบินที่ไม่เกี่ยวข้องกับการย้ายตัวเลขในอวกาศ

ผลลัพธ์ของขั้นตอนแรกของการก่อสร้างมีดังต่อไปนี้ ตัวเลขแสดงให้เห็นว่าเครื่องบินหน้าผากเพิ่มเติม p 4 ได้รับการแนะนำในแบบคู่ขนาน ในระบบใหม่ (P 1, P 4) คะแนน C "" 1, D "" 1, M "" 1 อยู่ในระยะเดียวกันจากแกน x เช่นเดียวกับ C "", D ", M" จากแกน เอ็กซ์

หลังจากดำเนินการส่วนที่สองของอัลกอริทึมจาก M "" 1 Omit ตั้งฉาก M "" 1 N "" 1 ถึง Direct B "" 1 เนื่องจากมุมโดยตรงของ MND ระหว่าง B และ MN จะถูกฉายลงบนระนาบ P 4 ต่อ มูลค่าไขมัน เมื่อมีการสื่อสารเรากำหนดตำแหน่งของจุดที่ N "และดำเนินการฉายภาพ M" N "ของ MN Segment

ในขั้นตอนสุดท้ายจำเป็นต้องกำหนดจำนวนของกลุ่ม MN สำหรับการฉายภาพ M "N" และ M "" 1 N "" 1 ในการทำเช่นนี้เราสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า M "" 1 N "" 1 N 0 ซึ่งมี Cathet N "1 N 0 เท่ากับความแตกต่าง (YM 1 - YN 1) การกำจัดคะแนน M" และ N "จาก แกน x ความยาวของ hypotenuse m "" 1 n 0 ของสามเหลี่ยม m "" 1 n "" 1 n 0 สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการจาก m ถึง b

วิธีที่สองของการแก้ปัญหา

• ในแบบคู่ขนานซีดีแนะนำเครื่องบินหน้าผากใหม่ P 4 มันข้าม P 1 ตามแนวแกน x 1 ด้วย x 1 ºC "D" ตามวิธีการเปลี่ยนระนาบเรากำหนดการฉายภาพ C "" 1, D "1 และ M" "1 ดังแสดงในรูป
• ตั้งฉากกับ C "" 1 D "" 1 เราดำเนินการระนาบแนวนอนเพิ่มเติม P 5 ซึ่งคาดว่าจะตรงไปที่จุด C "2 \u003d B" 2
• ระยะห่างระหว่างจุด M และ Direct B ถูกกำหนดโดยความยาวของความยาว M "2 C" 2 ซึ่งได้รับการกำหนดเป็นสีแดง

งานที่คล้ายกัน:

บทความนี้พูดถึงหัวข้อ « ระยะทางจากจุดไปยังโดยตรง », การกำหนดระยะห่างจากจุดไปยังเส้นตรงด้วยตัวอย่างที่แสดงโดยวิธีการพิกัดได้รับการพิจารณา แต่ละทฤษฎีบล็อกในตอนท้ายได้แสดงตัวอย่างของการแก้ปัญหาดังกล่าว

ระยะห่างจากจุดไปยังบรรทัดคือผ่านคำจำกัดความของระยะทางจากจุดไปยังจุด พิจารณารายละเอียดเพิ่มเติม

ปล่อยให้มีตรง A และ Point M 1 ที่ไม่ได้อยู่ในคำสั่งที่ระบุ ผ่านมันเราจะดำเนินการเส้นตรง B ซึ่งตั้งอยู่ในแนวตั้งฉากกับค่อนข้างตรง จุดตัดของโดยตรงใช้สำหรับ H 1 เราได้รับ m 1 h 1 เป็นฉากตั้งฉากซึ่งลดลงจากจุด m 1 เป็นเส้นตรง

คำนิยาม 1.

ระยะทางจากจุด m 1 เพื่อควบคุม ระยะห่างระหว่างคะแนน M 1 และ H 1 เรียกว่า

มีบันทึกของคำจำกัดความด้วยการคิดความยาวในแนวตั้งฉาก

นิยาม 2.

ระยะทางจากจุดไปยังโดยตรง เรียกว่าความยาวของการตั้งฉากที่ดำเนินการจากจุดนี้ไปยังบรรทัดนี้

คำจำกัดความเทียบเท่า พิจารณาตัวเลขด้านล่าง

เป็นที่ทราบกันดีว่าระยะทางจากจุดที่ตรงไปตรงมาเป็นสิ่งที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ พิจารณาสิ่งนี้เกี่ยวกับตัวอย่าง

หากคุณใช้จุด Q นอนตรงซึ่งไม่ตรงกับจุด m 1 จากนั้นเราได้รับว่าส่วน m 1 q เรียกว่าเอียงลดลงจาก m 1 เป็นเส้นตรง a จำเป็นต้องระบุว่าตั้งฉากกับจุด m 1 นั้นน้อยกว่าความโน้มเอียงอื่น ๆ ที่ดำเนินการจากจุดไปเป็นเส้นตรง

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยม M 1 Q 1 H 1 ซึ่ง M 1 Q 1 คือ hypotenome เป็นที่ทราบกันดีว่าความยาวของมันยิ่งใหญ่กว่าธัญพืชใด ๆ เสมอ ฉันหมายถึงเรามี 1 ชั่วโมง 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับการค้นหาจากจุดที่จะช่วยให้คุณใช้วิธีการแก้ปัญหาหลายวิธี: ผ่านทฤษฎีบท Pythagora, คำจำกัดความของไซน์, โคไซน์, มุมแทนเจนต์และอื่น ๆ ภารกิจส่วนใหญ่ของประเภทนี้ได้รับการแก้ไขในโรงเรียนในบทเรียนของเรขาคณิต

เมื่อเมื่อคุณพบระยะห่างจากจุดไปยังเส้นตรงคุณสามารถป้อนระบบพิกัดสี่เหลี่ยมได้แล้วใช้วิธีพิกัด ในวรรคนี้ให้พิจารณาวิธีการสองวิธีพื้นฐานในการค้นหาระยะทางที่ต้องการจากจุดที่ระบุ

วิธีการแรกที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาระยะทางเป็นแนวตั้งฉากที่ดำเนินการจาก M 1 เป็นเส้นตรง ในวิธีที่สองสมการปกติจะใช้โดยตรงและค้นหาระยะทางที่ต้องการ

หากเครื่องบินมีจุดที่มีพิกัด m 1 (x 1, y 1) อยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมตรง A และจำเป็นต้องค้นหาระยะทาง M 1 ชั่วโมง 1 คุณสามารถคำนวณได้สองวิธี พิจารณาพวกเขา

วิธีแรก

หากมีพิกัดของจุด H 1 เท่ากับ x 2, y 2 จากนั้นระยะทางจากจุดที่จะถูกคำนวณโดยพิกัดจากสูตร m 1 h 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (Y 2) - Y 1) 2.

ตอนนี้เราหันไปหาพิกัดของจุด H 1

เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นตรงใน X Y สอดคล้องกับสมการโดยตรงบนเครื่องบิน เราใช้วิธีการระบุโดยตรงผ่านการเขียนสมการทั่วไปของโดยตรงหรือสมการด้วยสัมประสิทธิ์เชิงมุม เราเป็นสมการโดยตรงซึ่งผ่านจุด M 1 ตั้งฉากกับสายตรงที่ระบุ denoted โดยตรง bucken b. H 1 เป็นจุดตัดของ Direct A และ B หมายความว่าจำเป็นต้องใช้บทความที่พิกัดของจุดตัดของสองตัวตรงมีความจำเป็นในพิกัด

มันสามารถเห็นได้ว่าอัลกอริทึมสำหรับการค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนด m 1 (x 1, y 1) เพื่อนำไปตรงมาตามรายการ:

นิยาม 3.

• การหาสมการโดยตรงที่พบได้ทั่วไปมีมุมมอง 1 x + B 1 Y + C 1 \u003d 0 หรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่มีแบบฟอร์ม Y \u003d K 1 x + B 1;
• การได้รับสมการสายตรงทั่วไปที่มีรูปแบบ A 2 X + B 2 Y + C 2 \u003d 0 หรือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม Y \u003d K 2 x + B 2 หาก Direct B ข้ามจุด M 1 และตั้งฉากกับ ระบุโดยตรง
• การกำหนดพิกัด x 2, Y 2 คะแนน H 1 ซึ่งเป็นจุดตัด A และ B สำหรับสิ่งนี้ระบบของสมการเชิงเส้น A 1 x + B 1 Y + C 1 \u003d 0 a 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 หรือ y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• การคำนวณระยะทางที่ต้องการจากจุดไปยังโดยตรงโดยใช้สูตร M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (Y 2 - Y 1) 2

วิธีที่สอง

ทฤษฎีบทสามารถช่วยตอบคำถามเกี่ยวกับการค้นหาระยะทางจากจุดจุดที่ระบุของ Direct ที่ระบุบนระนาบ

ทฤษฎีบท

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมมีโอ้ Y มีจุด m 1 (x 1, y 1) ซึ่งเป็นไปโดยตรงและไปยังระนาบที่กำหนดโดยสมการปกติของเครื่องบินมีประเภทของ cos α· x + cos β· y - p \u003d 0, เท่ากับค่าโมดูลที่ได้รับในส่วนซ้ายของสมการปกติ, โดยตรง, คำนวณที่ x \u003d x 1, y \u003d y 1 หมายความว่า m 1 h 1 \u003d cos α· x 1 + cos β· y 1 คือ p.

หลักฐาน

เส้นตรงและสอดคล้องกับสมการปกติของเครื่องบินที่มีมุมมอง cos α· x + cos β· y - p \u003d 0, จากนั้น n → \u003d (cos α, cos β) ถือว่าเป็นเวกเตอร์ตรงปกติที่มีระยะห่างจาก จุดเริ่มต้นของพิกัดเพื่อควบคุมหน่วย P ด้วย P จำเป็นต้องแสดงถึงข้อมูลทั้งหมดในรูปเพิ่มจุดที่มีพิกัด m 1 (x 1, y 1) ที่รัศมี - เวกเตอร์ของจุด m 1 - o m 1 → \u003d (x 1, y 1) จำเป็นต้องใช้จ่ายโดยตรงจากจุดที่จะตรงไปตรงมาซึ่งหมายถึง m 1 h 1 จำเป็นต้องแสดงการฉาย m 2 และ h 2 คะแนน m 1 และ h 2 ถึงโดยตรงผ่านจุดที่มีเวกเตอร์คู่มือของแบบฟอร์ม n → \u003d (cos α, cos β) และการฉายภาพเชิงตัวเลขของ เวกเตอร์กำหนดให้เป็น OM 1 → \u003d (x 1, y 1) ไปยังทิศทาง n → \u003d (cos α, cos β) เป็น NPN →อ้อม 1 →

การเปลี่ยนแปลงขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด m 1 พิจารณาในรูปด้านล่าง

ผลลัพธ์ได้รับการแก้ไขโดยใช้ Formula M 1 H 1 \u003d N P N → O M → 1 - หน้า หลังจากนั้นเราให้ความเท่าเทียมกับประเภท m 1 h 1 \u003d cos α· x 1 + cos β· y 1 - p เพื่อรับ n pn → o m → 1 \u003d cos α· x 1 + cos β· y 1.

ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์เป็นผลให้สูตรที่แปลงแล้วของแบบฟอร์ม n →อ้อม→ 1 \u003d n →· NPN →อ้อม 1 → \u003d 1 · NPN →อ้อม 1 → \u003d NPN →อ้อม 1 →ซึ่งเป็นผลิตภัณฑ์ใน รูปแบบพิกัดของประเภท N →, OM 1 → \u003d COS α· x 1 + cos β· y 1 ดังนั้นเราจึงได้รับ n p n → o m 1 → \u003d cos α· x 1 + cos β· y 1 มันติดตาม m 1 h 1 \u003d n p n → o m 1 → - p \u003d cos α· x 1 + cos β· y 1 คือ p ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เราได้รับสิ่งนั้นเพื่อหาระยะทางจากจุด m 1 (x 1, y 1) ไปยังโดยตรงบนเครื่องบินต้องดำเนินการหลายอย่าง:

คำนิยาม 4.

• การได้รับสมการปกติโดยตรง cos α· x + cos β· y - p \u003d 0 โดยมีเงื่อนไขว่ามันไม่ได้อยู่ในงาน;
• การคำนวณการแสดงออก cos α· x 1 + cos β· y 1 - p ซึ่งค่าที่ได้รับใช้ m 1 h 1

ใช้วิธีการเหล่านี้ในการแก้ปัญหาด้วยระยะห่างจากจุดไปที่เครื่องบิน

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (- 1, 2) ถึง Direct 4 X - 3 Y + 35 \u003d 0

การตัดสินใจ

ใช้วิธีแรกในการแก้ปัญหา

ในการทำเช่นนี้มีความจำเป็นต้องค้นหาสมการสายตรงทั่วไปซึ่งผ่านจุดที่กำหนด M 1 (- 1, 2), ตั้งฉากกับเส้นตรง 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 จากเงื่อนไขที่ชัดเจนว่า B ตรงจะตั้งฉากกับการตรงไปตรงมาจากนั้นเวกเตอร์คู่มือของมันมีพิกัดเท่ากับ (4, - 3) ดังนั้นเราจึงมีโอกาสบันทึกสมการบัญญัติของ Direct B บนเครื่องบินเนื่องจากมีพิกัดของ Point M 1 เป็นของ Direct B เรากำหนดพิกัดของคู่มือเวกเตอร์โดยตรงข เราได้รับ X - (- 1) 4 \u003d Y - 2 - 3 ⇔ X + 1 4 \u003d Y - 2 - 3 สมการยอมรับที่ได้รับจะต้องแปลงเป็นหนึ่งเดียว จากนั้นเราก็ได้

x + 1 4 \u003d Y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) \u003d 4 · (Y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

เราจะพบพิกัดของจุดตัดของ Direct ซึ่งจะใช้สำหรับการกำหนด H 1 การเปลี่ยนแปลงดูเหมือน:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 Y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 Y - 35 4 3 · 3 4 Y - 35 4 + 4 Y - 5 \u003d 0 ⇔⇔ x \u003d 3 4 Y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 · 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

จากการเขียนด้านบนเรามีพิกัดของจุด H 1 เท่ากัน (- 5; 5)

จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุด m 1 เป็นเส้นตรง เรามีพิกัดของคะแนน M 1 (- 1, 2) และ H 1 (- 5, 5) จากนั้นเราจึงทดแทนสูตรสำหรับการค้นหาระยะทางและเราได้รับ

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

วิธีที่สองในการแก้ปัญหา

ในการแก้ปัญหาในวิธีที่แตกต่างกันมีความจำเป็นต้องได้รับสมการปกติโดยตรง คำนวณค่าของตัวคูณปกติและคูณทั้งสองส่วนของสมการ 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 จากที่นี่เราได้รับที่การกำหนดตัวคูณปกติคือ - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5 และสมการปกติจะเป็นแบบฟอร์ม - 1 5 · 4 x - 3 Y + 35 \u003d - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 Y - 7 \u003d 0

ตามอัลกอริทึมการคำนวณมีความจำเป็นต้องได้รับสมการปกติโดยตรงและคำนวณด้วยค่า x \u003d - 1, y \u003d 2 จากนั้นเราก็ได้

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 \u003d - 5

จากที่นี่เราได้รับระยะห่างจากจุด M 1 (- 1, 2) ไปยัง Direct 4 X - 3 Y + 35 \u003d 0 คือ 5 \u003d 5

ตอบ: 5 .

มันสามารถเห็นได้ว่าในวิธีนี้มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะใช้สมการปกติตรงเนื่องจากวิธีนี้สั้นที่สุด แต่วิธีแรกนั้นสะดวกเพราะมีความสอดคล้องและสมเหตุสมผลแม้ว่าจะมีรายการการคำนวณมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 2

บนเครื่องบินมีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมประมาณ X Y ที่มีจุด M 1 (8, 0) และเส้นตรง Y \u003d 1 2 x + 1 ค้นหาระยะทางจากจุดที่ระบุไปยังเส้นตรง

การตัดสินใจ

วิธีการแก้ปัญหาในวิธีการแรกที่เกี่ยวข้องกับสมการที่กำหนดด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมต่อสมการฟอร์มทั่วไป มันสามารถทำได้อย่างอื่นเพื่อลดความซับซ้อน

หากผลิตภัณฑ์ของค่าสัมประสิทธิ์มุมตั้งฉากมีค่า - 1 ซึ่งหมายถึงค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแนวตั้งฉากโดยตรงที่ได้รับ y \u003d 1 2 x + 1 คือ 2 ตอนนี้เราได้รับสมการเป็นเส้นตรงผ่านจุดที่มีพิกัด M 1 (8, 0) เรามี y - 0 \u003d - 2 · (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16

ไปหาพิกัดของจุด h 1 นั่นคือจุดตัด y \u003d - 2 x + 16 และ y \u003d 1 2 x + 1 เราทำระบบสมการและรับ:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔⇔ y \u003d 1 2 · 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ h 1 (6, 4)

มันเป็นไปตามระยะทางจากจุดที่มีพิกัด m 1 (8, 0) เป็นเส้นตรง y \u003d 1 2 x + 1 เท่ากับระยะทางจากจุดกำเนิดและจุดสิ้นสุดที่มีพิกัด m 1 (8, 0) และ H 1 (6, 4) เราคำนวณและรับ m 1 h 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5

การตัดสินใจในวิธีที่สองคือการเปลี่ยนจากสมการกับค่าสัมประสิทธิ์เป็นปกติ นั่นคือเราได้รับ y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - Y + 1 \u003d 0 จากนั้นค่าของตัวคูณปกติจะเป็น 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 มันตามมาว่าสมการปกติโดยตรงใช้แบบฟอร์ม - 2 5 · 1 2 x - Y + 1 \u003d - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 Y - 2 5 \u003d 0 เราจะคำนวณจากจุด m 1 8, 0 เป็นประเภทตรง - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0 เราได้รับ:

m 1 h 1 \u003d - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

ตอบ: 2 5 .

ตัวอย่างที่ 3

จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (- 2, 4) ไปยัง Direct 2 X - 3 \u003d 0 และ Y + 1 \u003d 0

การตัดสินใจ

เราได้รับสมการของประเภทปกติของ Direct 2 x - 3 \u003d 0:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 \u003d 1 2 · 0 ⇔ X - 3 2 \u003d 0

หลังจากนั้นเราไปที่การคำนวณระยะทางจากจุด M 1 - 2, 4 เป็นเส้นตรง x - 3 2 \u003d 0 เราได้รับ:

m 1 h 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2 2

สมการของ Direct Y + 1 \u003d 0 มีตัวคูณแบบปกติที่มีค่าเท่ากับ -1 ซึ่งหมายความว่าสมการจะใช้แบบฟอร์ม - Y - 1 \u003d 0 ไปที่ระยะทางเพื่อคำนวณระยะทางจากจุด M 1 (- 2, 4) ถึงตรง - Y - 1 \u003d 0 เราได้รับว่ามันเท่ากับ - 4 - 1 \u003d 5

ตอบ: 3 1 2 และ 5

ให้เราพิจารณาการค้นหาระยะห่างจากจุดที่ระบุของเครื่องบินไปยังแกนพิกัดเกี่ยวกับ x และ o

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่แกนเกี่ยวกับ Y มีสมการโดยตรงที่ไม่สมบูรณ์มีสปีชีส์ X \u003d 0 และ O X - Y \u003d 0 สมการเป็นปกติสำหรับแกนพิกัดจากนั้นจำเป็นต้องค้นหาระยะห่างจากจุดที่มีพิกัด m 1 x 1, y 1 เพื่อโดยตรง สิ่งนี้ทำบนพื้นฐานของสูตร m 1 h 1 \u003d x 1 และ m 1 h 1 \u003d y 1 พิจารณาในรูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาระยะห่างจากจุด m 1 (6, - 7) ไปยังพิกัดโดยตรงอยู่ในเครื่องบินประมาณ x y

การตัดสินใจ

เนื่องจากสมการ Y \u003d 0 หมายถึงการตรงกับ x คุณสามารถค้นหาระยะทางจาก M 1 ด้วยพิกัดที่ระบุเพื่อโดยตรงโดยใช้สูตร เราได้รับ 6 \u003d 6

เนื่องจากสมการ x \u003d 0 หมายถึงโดยตรงเกี่ยวกับ y คุณสามารถค้นหาระยะทางจาก m 1 ถึงโดยตรงตามสูตร จากนั้นเราได้รับ - 7 \u003d 7

ตอบ:ระยะทางจาก m 1 ถึง o x คือ 6 และจาก m 1 ถึงโอ้มีค่า 7

เมื่ออยู่ในพื้นที่สามมิติเรามีจุดที่มีพิกัด m 1 (x 1, y 1, z 1) มีความจำเป็นต้องค้นหาระยะทางจากจุด A เพื่อโดยตรง

พิจารณาสองวิธีที่ช่วยให้คุณสามารถคำนวณระยะทางจากจุดที่จะกำกับที่ตั้งอยู่ในอวกาศ กรณีแรกพิจารณาระยะทางจากจุด m 1 ถึงบรรทัดที่จุดบนโดยตรงเรียกว่า H 1 และเป็นพื้นฐานของการตั้งฉากที่ดำเนินการจากจุด m 1 เพื่อควบคุม กรณีที่สองแสดงให้เห็นว่าจุดของระนาบนี้จะต้องแสวงหาเป็นความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีแรก

จากคำนิยามเรามีระยะห่างจากจุด m 1 ซึ่งตั้งอยู่บนโดยตรงคือความยาวตั้งฉาก M 1 ชั่วโมง 1 จากนั้นเราได้รับที่มีพิกัดที่พบของจุด H 1 จากนั้นเราจะพบระยะห่างระหว่าง M 1 (x 1, y 1, z 1) และ h 1 (x 1, y 1, z 1) ขึ้นอยู่กับสูตร m 1 h 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - Z 1 2.

เราได้รับการตัดสินใจทั้งหมดคือการค้นหาพิกัดของฐานของการตั้งฉากที่ดำเนินการจาก m 1 เพื่อกำกับ นี่เป็นดังนี้: H 1 เป็นจุดที่เส้นตรงกับเครื่องบินตัดกันซึ่งผ่านจุดที่ระบุ

ดังนั้นอัลกอริทึมในการกำหนดระยะทางจากจุด m 1 (x 1, y 1, z 1) ไปยังพื้นที่โดยตรงหมายถึงหลายจุด:

คำนิยาม 5.

• วาดสมการของเครื่องบินχเป็นสมการของระนาบผ่านจุดที่ระบุในแนวตั้งฉากกับเส้นตรง
• การกำหนดพิกัด (x 2, y 2, z 2) เป็นของจุด h 1 ซึ่งเป็นจุดตัดของโดยตรง A และเครื่องบินχ;
• การคำนวณระยะทางจากจุดที่จะตรงกับสูตร M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + Y 2 - Y 1 2 + Z 2 - Z 1 2

วิธีที่สอง

จากเงื่อนไขที่เรามีตรง A จากนั้นเราสามารถกำหนดคำแนะนำเวกเตอร์→ \u003d a x, a y, a z ที่มีพิกัด x 3, y 3, z 3 และจุดที่แน่นอน m 3 เป็นของเส้นตรง ในการปรากฏตัวของพิกัดของคะแนน m 1 (x 1, y 1) และ m 3 x 3, y 3, z 3, เป็นไปได้ที่จะคำนวณ m 3 m 1 →:

m 3 m 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - Y 3, Z 1 - Z 3)

คุณควรเลื่อนตัวเวกเตอร์ A → \u003d AX, AY, AZ และ M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, Y 1 - Y 3, Z 1 - Z 3 จากจุด M 3 เชื่อมต่อและรับรูปร่างของ สี่เหลี่ยมด้านขนาน. m 1 h 1 เป็นความสูงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พิจารณาในรูปด้านล่าง

เรามีความสูง M 1 H 1 เป็นระยะทางที่ต้องการจากนั้นจึงจำเป็นต้องค้นหาโดยสูตร นั่นคือเรากำลังมองหา m 1 h 1

แสดงถึงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานต่อตัวอักษร S ตั้งอยู่ตามสูตรการใช้เวกเตอร์ A → \u003d (a x, a y, a z) และ m 3 m 1 → \u003d x 1 - x 3 Y 1 - Y 3, Z 1 - Z 3 พื้นที่ของพื้นที่มีรูปแบบ S \u003d A →× M 3 M 1 → นอกจากนี้ตัวเลขของตัวเลขเท่ากับผลิตภัณฑ์ของความยาวของด้านข้างของมันกับความสูงเราได้รับ S \u003d A →· M 1 H 1 CA → \u003d AX 2 + AY 2 + AZ 2 ซึ่งเป็นความยาว ของเวกเตอร์ A → \u003d (AX, AY, AZ), ด้านที่เท่ากันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น m 1 h 1 คือระยะทางจากจุดที่จะตรง การค้นพบของมันทำตามสูตร m 1 h 1 \u003d a →× m 3 m 1 → a →

ในการค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด m 1 (x 1, y 1, z 1) เพื่อควบคุมพื้นที่ในพื้นที่คุณต้องทำหลายจุดของอัลกอริทึม:

คำนิยาม 6.

• การกำหนดแนวทางของเวกเตอร์โดยตรง A - A → \u003d (a x, a y, a z);
• การคำนวณความยาวของเวกเตอร์คู่มือ→ \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• การเตรียมพิกัด x 3, Y 3, Z 3 ซึ่งเป็นของจุด M 3 ซึ่งเป็นโดยตรง
• การคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ m 3 m 1 →;
• การค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ A → (AX, AY, AZ) และ M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, Y 1 - Y 3, Z 1 - Z 3 เป็น→× m 3 m 1 → \u003d i → J → K → AXAYAZX 1 - X 3 Y 1 - Y 3 Z 1 - Z 3 เพื่อให้ได้ความยาวตามสูตร A →× M 3 M 1 →;
• การคำนวณระยะทางจากจุดไปยัง Direct M 1 H 1 \u003d A →× M 3 M 1 → A →

การแก้ปัญหาเพื่อค้นหาระยะทางจากจุดที่ระบุไปยังพื้นที่ที่กำหนดโดยตรง

ค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 2, - 4, - 1 เป็นเส้นตรง x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 5

การตัดสินใจ

วิธีแรกเริ่มต้นด้วยการบันทึกของสมการของระนาบχผ่าน m 1 และตั้งฉากกับจุดที่ระบุ เราได้รับการแสดงออกของแบบฟอร์ม:

2 · (X - 2) - 1 · (Y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของ Point H 1 ซึ่งเป็นจุดตัดกับเครื่องบินχเป็นเงื่อนไขที่กำหนดโดยตรง มันควรจะถูกย้ายจากสายพันธุ์บัญญัติที่จะตัดกัน จากนั้นเราจะได้รับระบบสมการของรูปแบบ:

x + 1 2 \u003d Y - 1 \u003d Z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) \u003d 2 · Y 5 · (x + 1) \u003d 2 · (z + 5) 5 · y \u003d - 1 · (z + 5) ⇔ X + 2 Y + 1 \u003d 0 5 x - 2 Z - 5 \u003d 0 5 Y + Z + 5 \u003d 0 ⇔ X + 2 Y + 1 \u003d 0 5 x - 2 Z - 5 \u003d 0

มีความจำเป็นต้องคำนวณ X + 2 Y + 1 \u003d 0 5 x - 2 Z - 5 \u003d 0 2 x - Y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 X - Y + 5 z \u003d 3 ตามตัวอย่างของซอฟต์แวร์รวบรวมข้อมูลจากนั้นเราจะได้รับ:

δ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 δ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d δ x δ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 δ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 \u003d 60 ⇒ y \u003d δ y δ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 δ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d δ z δ \u003d 0 - 60 \u003d 0

จากที่นี่เรามี 1 (1, - 1, 0)

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

วิธีที่สองจะต้องเริ่มต้นด้วยการค้นหาพิกัดในสมการตามบัญญัติ สำหรับสิ่งนี้คุณต้องใส่ใจกับส่วนของเศษส่วน จากนั้น A → \u003d 2, - 1, 5 เป็น X + 1 2 \u003d Y Guide Vector - 1 \u003d Z + 5 5 จำเป็นต้องคำนวณความยาวโดยสูตร A → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30

เป็นที่ชัดเจนว่าโดยตรง X + 1 2 \u003d Y - 1 \u003d Z + 5 5 ข้ามจุด M 3 (- 1, 0, - 5) ดังนั้นเราจึงมีเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นของพิกัด m 3 (- 1, 0, - 5) และจุดสิ้นสุดที่จุด M 1 2, - 4, - 1 คือ m 3 m 1 → \u003d 3, - 4, 4 เราพบผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ A → \u003d (2, - 1, 5) และ m 3 m 1 → \u003d (3, - 4, 4)

เราได้รับการแสดงออกของรูปแบบ A →× m 3 m 1 → \u003d i → j →→ j →→ 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 · i → + 15 · J → - 8 · K → + 20 · → - 8 · J → \u003d 16 · i → + 7 · J → - 5 · K →

เราได้รับความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เท่ากับ→× m 3 m 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330

ข้อมูลทั้งหมดสามารถใช้ได้สำหรับการใช้สูตรสำหรับการคำนวณระยะทางจากจุดสำหรับตรงไปตรงมาดังนั้นใช้ได้กับมันและรับ:

m 1 h 1 \u003d a →× m 3 m 1 → A → \u003d 330 30 \u003d 11

ตอบ: 11 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความโปรดเลือกและกด CTRL + ENTER

โอ้โอ้โอ้ ... ดีดีบุกราวกับว่าคุณอ่านด้วยตัวเอง \u003d) อย่างไรก็ตามการผ่อนคลายจะช่วยโดยเฉพาะอย่างยิ่งตั้งแต่วันนี้ฉันซื้ออุปกรณ์เสริมที่เหมาะสม ดังนั้นฉันจะไปที่ส่วนแรกฉันหวังว่าในตอนท้ายของบทความฉันรักษาการจัดเรียงอย่างแรงของจิตวิญญาณ

ตำแหน่งซึ่งกันและกันของสองเส้นตรง

กรณีเมื่อห้องโถงอยู่กับคณะนักร้องประสานเสียง สองเส้นตรงสามารถ:

1) ตรง;

2) ขนาน:;

3) หรือตัดกันในจุดเดียว:.

ช่วยให้กาน้ำชา : โปรดจำสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของสี่แยกมันจะพบกันบ่อยมาก รายการหมายถึงการตัดโดยตรงด้วยจุดตรงที่จุด

วิธีการกำหนดตำแหน่งซึ่งกันและกันของเส้นตรงสองเส้น?

เริ่มจากครั้งแรก:

เส้นตรงสองเส้นตรงจากนั้นและเฉพาะในกรณีที่สัมประสิทธิ์ของพวกเขาเป็นสัดส่วนนั่นคือมีหมายเลข "แลมบ์ดา" จำนวนดังกล่าวซึ่งดำเนินการเท่าเทียมกัน

พิจารณาโดยตรงและสร้างสมการสามประการจากสัมประสิทธิ์ที่เกี่ยวข้อง: มันตามมาจากสมการแต่ละอย่างดังนั้นข้อมูลโดยตรงตรง

แน่นอนถ้าค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการ คูณไปที่ -1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย) และค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการจะลดลง 2 ข้อสมการเดียวกันจะได้รับ:.

กรณีที่สองคือเมื่อตรงไปตรงกับ:

สอง parallels ตรงจากนั้นและเฉพาะในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ของพวกเขาเป็นสัดส่วนกับตัวแปร: แต่.

เป็นตัวอย่างให้พิจารณาสองตรง ตรวจสอบสัดส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกับตัวแปร:

อย่างไรก็ตามมันค่อนข้างชัดเจนว่า

และกรณีที่สามเมื่อเส้นตรงตัด:

สองเส้นตรงตัดกันจากนั้นและเฉพาะในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ของพวกเขาไม่ได้เป็นสัดส่วนกับตัวแปรนั่นคือไม่มีความหมายดังกล่าวของ "Lambda" ที่จะดำเนินการเท่ากัน

ดังนั้นสำหรับระบบโดยตรง:

จากสมการแรกมันตามมาและจากสมการที่สอง: มันหมายถึง ระบบไม่สมบูรณ์ (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา) ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ที่มีตัวแปรจะไม่สัดส่วน

สรุป: ตัดตรง

ในงานภาคปฏิบัติคุณสามารถใช้วิธีการแก้ปัญหาเท่านั้น เธอค่อนข้างเตือนอัลกอริทึมสำหรับการตรวจสอบเวกเตอร์สำหรับการยิงต่อไปที่เราพิจารณาในบทเรียน แนวคิดของการพึ่งพาเวกเตอร์เชิงเส้น (ไม่) เวกเตอร์พื้นฐาน. แต่มีการบรรจุภัณฑ์ที่มีอารยธรรมมากขึ้น:

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาตำแหน่งซึ่งกันและกันของ Direct:

การตัดสินใจ ขึ้นอยู่กับการศึกษาของเวกเตอร์ชี้นำโดยตรง:

a) จากสมการจะพบเวกเตอร์โดยตรง: .

ดังนั้นเวกเตอร์จะไม่ collinear และตัดตรง

ในกรณีที่วางพอยน์เตอร์ไปยังทางแยก:

ส่วนที่เหลือกระโดดหินและทำตามต่อไปตรงไปถึงความเกียจคร้านของอมตะ \u003d)

b) เราจะพบเวกเตอร์โดยตรงโดยตรง:

ตรงมีเวกเตอร์แนวทางเดียวกันหมายความว่าพวกเขามีความขนานกันหรือตรง ที่นี่และตัวกำหนดไม่จำเป็น

เห็นได้ชัดว่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักเป็นสัดส่วนกับสิ่งนี้

เราพบว่าความเสมอภาคเป็นจริงหรือไม่:

ทางนี้,

c) เราพบเวกเตอร์โดยตรงโดยตรง:

คำนวณปัจจัยที่รวบรวมจากพิกัดข้อมูลของเวกเตอร์:
ดังนั้นเวกเตอร์ไกด์คอลลิเนียน ตรงทั้งแบบขนานหรือตรง

อัตราส่วนของสัดส่วนของ "Lambda" ไม่ยากที่จะเห็นโดยตรงจากอัตราส่วนของเวกเตอร์คอลลินีส อย่างไรก็ตามสามารถพบได้ผ่านค่าสัมประสิทธิ์ของสมการเอง: .

ตอนนี้ดูว่าความเสมอภาคเป็นจริงหรือไม่ ทั้งศูนย์สมาชิกฟรีดังนั้น:

มูลค่าที่ได้รับเป็นไปตามสมการนี้ (เป็นไปตามจำนวนทั่วไปโดยทั่วไป)

ดังนั้นตรงตรง

ตอบ:

ในไม่ช้าคุณจะได้เรียนรู้ (หรือเรียนรู้แล้ว) เพื่อแก้ปัญหาการถือครองอย่างแท้จริงในไม่กี่วินาที ในเรื่องนี้ฉันไม่เห็นเหตุผลที่จะเสนออะไรสำหรับการตัดสินใจที่เป็นอิสระมันจะดีกว่าที่จะเปิดตัวอิฐที่สำคัญอื่นในมูลนิธิเรขาคณิต:

วิธีการสร้างขนานกับสิ่งนี้ตรง?

สำหรับความไม่รู้ปัญหาที่ง่ายที่สุดนี้พวกไนติงเกล - โจรถูกลงโทษอย่างรุนแรง

ตัวอย่างที่ 2

โดยตรงจะได้รับจากสมการ ทำให้สมการของตรงตามขนานซึ่งผ่านจุด

การตัดสินใจ: แสดงด้วยจดหมายตรงที่ไม่รู้จัก สิ่งที่พูดเกี่ยวกับเธอในสภาพ? ส่งผ่านไปยังจุด และถ้าเป็นแนวเส้นตรงเห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์คู่มือ "CE" โดยตรงเหมาะสำหรับการสร้างเส้นตรง "de"

ดึงคำแนะนำออกจากเวกเตอร์จากสมการ:

ตอบ:

เรขาคณิตตัวอย่างดูอึดอัด:

ตรวจสอบการวิเคราะห์ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

1) เราตรวจสอบว่าเวกเตอร์แนวทางเดียวกัน (หากสมการโดยตรงไม่ง่ายขึ้นอย่างถูกต้องแล้วเวกเตอร์จะเป็น collinear)

2) เราตรวจสอบว่าจุดที่ได้รับสมการที่สอดคล้องหรือไม่

การตรวจสอบการวิเคราะห์ในกรณีส่วนใหญ่เป็นเรื่องง่ายที่จะดำเนินการรับประทาน ดูสมการทั้งสองและคุณหลายคนจะกำหนดความขนานของโดยตรงโดยไม่มีรูปวาดใด ๆ

ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระในวันนี้จะมีความคิดสร้างสรรค์ เพราะคุณยังต้องใช้ Baba Yaga และเธอก็รู้ว่าคนรักของความลึกลับทุกชนิด

ตัวอย่างที่ 3

ทำให้สมการของการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุดขนานกับบรรทัดถ้า

มีโซลูชันที่มีเหตุผลและไม่เป็นเหตุผลมาก เส้นทางที่สั้นที่สุดคือตอนท้ายของบทเรียน

ด้วยขนานตรงพวกเขาทำงานเล็กน้อยและกลับมาหาพวกเขา กรณีของเส้นตรงที่มีความสอดคล้องกันนั้นน่าสนใจยิ่งขึ้นดังนั้นพิจารณางานที่คุ้นเคยกับคุณจากโปรแกรมโรงเรียน:

วิธีการหาจุดตัดสองเส้นตรง?

ถ้าตรง ตัดกัน ณ จุดพิกัดของมันเป็นการตัดสินใจ ระบบสมการเชิงเส้น

วิธีการหาจุดตัดของโดยตรง? แก้ปัญหาระบบ

ฉันอยู่นี่ ความหมายทางเรขาคณิตของระบบของสมการเชิงเส้นสองอันที่มีสองที่ไม่รู้จัก - สิ่งเหล่านี้เป็นสองตัด (บ่อยที่สุด) บนเครื่องบิน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาจุดตัดของโดยตรง

การตัดสินใจ: มีสองวิธีในการแก้ - กราฟิกและการวิเคราะห์

วิธีการกราฟิกคือการวาดข้อมูลโดยตรงและเรียนรู้จุดตัดโดยตรงจากภาพวาด:

นี่คือจุดของเรา:. ในการตรวจสอบมีความจำเป็นต้องทดแทนพิกัดในแต่ละสมการโดยตรงพวกเขาต้องออกมาที่นั่นและที่นั่น กล่าวอีกนัยหนึ่งพิกัดของประเด็นคือการแก้ปัญหาของระบบ ในความเป็นจริงเราตรวจสอบโซลูชันแบบกราฟิก ระบบสมการเชิงเส้น ด้วยสองสมการสองที่ไม่รู้จัก

วิธีการกราฟิกแน่นอนไม่เลว แต่มีข้อเสียที่เห็นได้ชัดเจน ไม่ไม่ใช่ว่าเกรดเจ็ดที่เจ็ดตัดสินใจว่าความจริงก็คือการวาดภาพที่ถูกต้องและแม่นยำจะใช้เวลา นอกจากนี้การสร้างโดยตรงบางอย่างไม่ง่ายนักและจุดตัดตัวเองอาจอยู่ที่ไหนสักแห่งในอาณาจักรที่สามสิบนอกแผ่น Airtal

ดังนั้นจุดตัดจะเป็นการสมควรมองหาวิธีการวิเคราะห์ การแก้ไขระบบ:

เพื่อแก้ปัญหาระบบวิธีการประกอบสมการประกอบใหม่ เพื่อออกกำลังกายทักษะที่เหมาะสมเยี่ยมชมบทเรียน วิธีการแก้ปัญหาระบบของสมการ?

ตอบ:

ตรวจสอบเล็กน้อย - พิกัดของจุดตัดจะต้องตอบสนองแต่ละสมการของระบบ

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาจุดตัดตรงหากพวกเขาตัดกัน

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ งานนี้สะดวกที่จะทุบเป็นหลายขั้นตอน การวิเคราะห์สภาพแสดงให้เห็นว่ามีความจำเป็น:
1) ทำให้สมการโดยตรง
2) ทำสมการโดยตรง
3) ค้นหาตำแหน่งซึ่งกันและกันของเส้นตรง
4) หากตัดกันโดยตรงค้นหาจุดตัด

การพัฒนาอัลกอริทึมการกระทำเป็นเรื่องปกติสำหรับงานเรขาคณิตจำนวนมากและฉันจะมุ่งเน้นไปที่เรื่องนี้ซ้ำ ๆ

โซลูชันที่สมบูรณ์และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน:

stoptan และรองเท้าคู่หนึ่งในขณะที่เราไปถึงส่วนบทเรียนที่สอง:

เส้นตรงตั้งฉาก ระยะห่างจากจุดถึงตรง
มุมระหว่างตรง

เริ่มต้นด้วยงานทั่วไปและสำคัญมาก ในส่วนแรกเราเรียนรู้วิธีการสร้างเส้นตรงขนานกับสิ่งนี้และตอนนี้กระท่อมที่ขาที่อยากรู้อยากเห็นจะแฉ 90 องศา:

วิธีการสร้างเส้นตรงตั้งฉากกับสิ่งนี้?

ตัวอย่างที่ 6

โดยตรงจะได้รับจากสมการ ทำให้สมการตั้งฉากกับการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุด

การตัดสินใจ: ภายใต้เงื่อนไขที่เป็นที่รู้จักกันว่า มันจะเป็นการดีที่จะหาแนวทางเวกเตอร์ตรง ตั้งแต่ตั้งฉากตรงโฟกัสนั้นง่าย:

จากสมการ "ลบ" เวกเตอร์ของปกติ: ซึ่งจะเป็นเส้นตรง

สมการจะตรงไปตรงมาถึงจุดและเวกเตอร์แนวทาง:

ตอบ:

เราจะเปิดตัวเรขาคณิต etude:

M-YES ... ท้องฟ้าสีส้ม, ทะเลสอ, อูฐสีส้ม

ตรวจสอบโซลูชันการวิเคราะห์:

1) จากสมการดึงออกมาเวกเตอร์ และด้วยความช่วยเหลือ เวกเตอร์ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เราสรุปได้ว่าเส้นตรงตั้งฉากตั้งตรง:

โดยวิธีการที่คุณสามารถใช้เวกเตอร์ปกติมันง่ายยิ่งขึ้น

2) ตรวจสอบว่าจุดของสมการที่ได้รับตรงตามหรือไม่ .

ตรวจสอบอีกครั้งดำเนินการอย่างง่ายดายด้วยวาจา

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาจุดตัดตรงตั้งฉากโดยตรงหากทราบสมการ และจุด

นี่เป็นตัวอย่างสำหรับโซลูชันที่เป็นอิสระ ในงานการกระทำหลายอย่างดังนั้นวิธีแก้ปัญหาจึงสะดวกในการวางบนจุด

การเดินทางที่น่าหลงใหลของเรายังคงดำเนินต่อไป:

ระยะทางจากจุดไปยังโดยตรง

เรามีแถบแม่น้ำโดยตรงและงานของเราคือการเข้าถึงด้วยวิธีที่สั้นที่สุด ไม่มีอุปสรรคและเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดจะเคลื่อนที่ไปตามแนวตั้งฉาก นั่นคือระยะทางจากจุดไปที่เส้นคือความยาวของส่วนที่ตั้งฉาก

ระยะทางในรูปทรงเรขาคณิตประเพณีแสดงโดยจดหมายกรีก "RO" เช่น: - ระยะทางจากจุด "em" เป็น "de" ตรง

ระยะทางจากจุดไปยังโดยตรง แสดงสูตร

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาระยะทางจากจุดไปยังโดยตรง

การตัดสินใจ: ทั้งหมดที่คุณต้องการมันเป็นการแทนที่ตัวเลขในสูตรและดำเนินการคำนวณ:

ตอบ:

ทำภาพวาด:

ระยะทางที่พบจากจุดไปยังบรรทัดคือความยาวของเซ็กเมนต์สีแดง หากคุณวาดภาพบนกระดาษตาหมากรุกใน 1 หน่วย \u003d 1 ซม. (2 เซลล์) จากนั้นระยะทางสามารถวัดได้โดยไม้บรรทัดสามัญ

พิจารณางานอื่นในรูปวาดเดียวกัน:

งานคือการค้นหาพิกัดของจุดที่สมมาตรเกี่ยวกับจุดตรง . ฉันเสนอให้ดำเนินการด้วยตัวเอง แต่ฉันแสดงถึงอัลกอริทึมโซลูชันที่มีผลลัพธ์ระดับกลาง:

1) ค้นหาตรงซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง

2) ค้นหาจุดตัดของตรง: .

การกระทำทั้งสองมีการถอดประกอบรายละเอียดภายในกรอบของบทเรียนนี้

3) จุดที่อยู่ตรงกลางของส่วน เรารู้พิกัดกลางและหนึ่งในที่สุด โดย สูตรพิกัดกลางเซ็กเมนต์ หา.

มันจะไม่ฟุ่มเฟือยในการตรวจสอบว่าระยะทางยังเป็น 2.2 หน่วย

ความยากลำบากที่นี่อาจเกิดขึ้นในการคำนวณ แต่ microcalculator ช่วยในหอคอยซึ่งช่วยให้เราสามารถพิจารณาเศษส่วนสามัญได้ แนะนำซ้ำ ๆ ให้คำแนะนำและอีกครั้ง

วิธีการค้นหาระยะห่างระหว่างสองขนานตรง?

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาระยะห่างระหว่างสองแบบขนานตรง

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับการตัดสินใจที่เป็นอิสระ ฉันจะบอกคุณเล็กน้อย: มีหลายวิธีในการแก้ปัญหา ครึ่งหนึ่งของเที่ยวบินในตอนท้ายของบทเรียน แต่ดีกว่าพยายามเดาตัวเองฉันคิดว่าโรงถลุงของคุณจัดการได้ดี

มุมระหว่างสองตรง

ไม่มีใครที่มุมหนึ่งแล้วก็:


ในรูปทรงเรขาคณิตมุมที่เล็กกว่าจะได้รับการยอมรับสำหรับมุมระหว่างสองตรงซึ่งมันจะตามมาโดยอัตโนมัติว่ามันไม่สามารถทื่อได้ ในภาพมุมที่ทำเครื่องหมายด้วย ARC สีแดงไม่ถือว่าเป็นมุมระหว่างการตัดกันตรง และถือว่าเป็นเพื่อนบ้าน "สีเขียว" หรือ มุ่งเน้นที่มุ่งเน้น มุม "ราสเบอร์รี่"

หากตรงตั้งฉากกับมุมระหว่างพวกเขาคุณสามารถใช้มุม 4 มุมได้

ความแตกต่างระหว่างมุมคืออะไร? ปฐมนิเทศ. ก่อนอื่นมันเป็นสิ่งสำคัญพื้นฐานในทิศทางของมุม "การเลื่อน" ประการที่สองมุมเชิงลบจะถูกบันทึกด้วยเครื่องหมายลบตัวอย่างเช่นถ้า

ทำไมฉันถึงบอกมัน ดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่จะทำและแนวคิดของมุมปกติ ความจริงก็คือในสูตรที่เราจะพบมุมมันอาจเป็นผลลัพธ์เชิงลบได้ง่ายและไม่ควรพบว่าคุณประหลาดใจ มุมที่มีเครื่องหมาย "ลบ" นั้นไม่เลวร้ายไปถึงและมีความหมายทางเรขาคณิตที่เป็นรูปธรรมอย่างสมบูรณ์ ในการวาดภาพสำหรับมุมลบมีความจำเป็นต้องระบุลูกศรของการวางแนว (ตามเข็มนาฬิกา)

วิธีการค้นหามุมระหว่างสองตรง? มีสองสูตรการทำงาน:

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหามุมระหว่างตรง

การตัดสินใจ และ แฟชั่นก่อน

พิจารณาสองเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการในรูปแบบทั่วไป:

ถ้าตรง ไม่ตั้งฉากต. โอเรียนดี มุมระหว่างพวกเขาสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

ความสนใจที่ใกล้เคียงที่สุดจะจ่ายให้กับตัวหารอย่างแน่นอน ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เวกเตอร์โดยตรงโดยตรง:

หากตัวส่วนของสูตรถูกดึงไปเป็นศูนย์และเวกเตอร์จะเป็นมุมฉากและตั้งฉากโดยตรง นั่นคือเหตุผลที่การจองเกิดขึ้นเกี่ยวกับความไม่สุภาพของ Direct ในถ้อยคำ

ขึ้นอยู่กับการหาวิธีการแก้ปัญหาสะดวกในการจัดเรียงสองขั้นตอน:

1) คำนวณผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์โดยตรงของโดยตรง:
ดังนั้นตรงไม่ตั้งฉาก

2) มุมระหว่างโดยตรงจะพบโดยสูตร:

การใช้ฟังก์ชั่นย้อนกลับมันง่ายที่จะหามุมตัวเอง ในเวลาเดียวกันเราใช้ความแปลกประหลาดของ Arctangent (ดู แผนภูมิและคุณสมบัติของฟังก์ชั่นระดับประถมศึกษา):

ตอบ:

ในการตอบสนองระบุค่าที่แน่นอนเช่นเดียวกับค่าโดยประมาณ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในองศาและในเรเดียน) คำนวณโดยใช้เครื่องคิดเลข

ลบลบดังนั้นลบไม่มีอะไรเลวร้าย นี่คือภาพประกอบทางเรขาคณิต:

ไม่น่าแปลกใจที่มุมมองกลายเป็นทิศทางเชิงลบเพราะในแง่ของงานหมายเลขแรกที่ตรงไปตรงมาและ "การฟื้นฟู" ของมุมเริ่มต้นด้วย

หากคุณต้องการที่จะได้รับมุมในเชิงบวกจริงๆคุณต้องเปลี่ยนสถานที่โดยตรงนั่นคือค่าสัมประสิทธิ์จากสมการที่สอง และค่าสัมประสิทธิ์ใช้จากสมการแรก ในระยะสั้นคุณต้องเริ่มต้นด้วยโดยตรง .

พิจารณาการใช้วิธีการถอดประกอบเพื่อค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังที่กำหนดโดยตรงบนเครื่องบินเมื่อแก้ตัวอย่าง

ค้นหาระยะห่างจากจุดไปโดยตรง:

ครั้งแรกเราจะแก้ปัญหาในวิธีแรก

ในสภาพของปัญหาเราได้รับสมการทั่วไปโดยตรงมุมมอง:

ค้นหาสมการทั่วไปซึ่งผ่านจุดที่กำหนดตั้งฉากกับ Direct:

ตั้งแต่ B แบบตรงไปตั้งฉากกับ Direct A จากนั้นแนวทางบรรทัดบรรทัด B เป็นชุดเวกเตอร์ปกติ:

นั่นคือคำแนะนำเวกเตอร์โดยตรง B มีพิกัด ตอนนี้เราสามารถบันทึกสมการทั่วไป b บนเครื่องบินเนื่องจากเรารู้ว่าพิกัดของจุด m 1 ซึ่งผ่าน B ที่ส่งตรงและพิกัดของเวกเตอร์คำแนะนำคือ B:

จากสมการที่ได้รับเป็นเส้นตรง B หันไปใช้สมการโดยตรงทั้งหมด:

ตอนนี้เราจะพบพิกัดของจุดตัดของ Direct A และ B (แสดงถึง H 1) การแก้ระบบของสมการที่ประกอบด้วยสมการทั่วไปของ Direct A และ B (หากจำเป็นให้อ้างถึงระบบการแก้ปัญหาของสมการเชิงเส้น ):

ดังนั้นจุด H 1 จึงมีพิกัด

มันยังคงสามารถคำนวณระยะทางที่ต้องการจากจุด m 1 เพื่อนำไปที่ระยะห่างระหว่างคะแนนและ:

วิธีที่สองในการแก้ปัญหา

เราได้รับสมการปกติของ Direct ที่ระบุ ในการทำเช่นนี้เราคำนวณค่าของตัวคูณแบบปกติและคูณทั้งสองส่วนของสมการทั่วไปทั่วไปกับมัน:

(เราพูดถึงเรื่องนี้ในส่วนที่นำสมการทั่วไปไปยังรูปแบบปกติโดยตรง)

ตัวคูณการทำให้ปกติเท่ากัน

จากนั้นสมการปกติจะเป็นรูปลักษณ์โดยตรง:

ตอนนี้เราใช้นิพจน์ที่อยู่ในส่วนซ้ายของสมการปกติที่ได้รับมากที่สุดและคำนวณค่าเมื่อ:

ระยะทางที่ต้องการจากจุดที่ระบุไปยังเส้นตรงที่กำหนด:

ค่าสัมบูรณ์เท่าเทียมกันของมูลค่าที่ได้รับนั่นคือห้า ()

ระยะทางจากจุดไปโดยตรง:

เห็นได้ชัดว่าข้อดีของวิธีการค้นหาระยะทางจากจุดที่จะนำไปที่ระนาบโดยขึ้นอยู่กับการใช้สมการปกติเป็นปริมาณการคำนวณที่น้อยกว่า ในทางกลับกันวิธีแรกในการค้นหาระยะห่างจากจุดไปยังตรงนั้นใช้งานง่ายและโดดเด่นด้วยลำดับและตรรกะ

เครื่องบินได้รับการแก้ไขโดยระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า, จุดและตรง:

ค้นหาระยะทางจากจุดที่ระบุไปยังคำสั่งที่ระบุ

วิธีแรก

เป็นไปได้จากสมการที่กำหนดเป็นเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเพื่อย้ายไปยังสมการทั้งหมดสำหรับการทำแบบตรงนี้และทำหน้าที่ในตัวอย่างที่ถอดประกอบได้ข้างต้น

แต่คุณสามารถทำได้และอื่น ๆ

เรารู้ว่าผลิตภัณฑ์ของค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมตรงตั้งฉากโดยตรงเท่ากับ 1 (ดูการตั้งฉากตรงตั้งฉากตรงตั้งฉากโดยตรง) ดังนั้นสัมประสิทธิ์เชิงมุมของ Direct ซึ่งตั้งฉากกับ Direct ที่ระบุ:

เท่ากับ 2 จากนั้นสมการของเส้นตรงตั้งฉากกับคำสั่งโดยตรงที่ระบุและผ่านจุดมีรูปแบบ:

ตอนนี้เราจะพบพิกัดของจุด H 1 - จุดตัดของตรง:

ดังนั้นระยะทางที่ต้องการจากจุดไปโดยตรง:

ระยะห่างเท่ากันระหว่างจุดและ:

วิธีที่สอง

เราเปลี่ยนจากสมการที่ระบุเป็นเส้นตรงด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมต่อสมการปกติของเส้นตรงนี้:

ตัวคูณปกติคือ:

ดังนั้นสมการปกติของ Direct ที่ระบุมีแบบฟอร์ม:

ตอนนี้เราคำนวณระยะห่างที่ต้องการจากจุดที่จะตรง:

คำนวณระยะทางจากจุดไปโดยตรง:

และเพื่อโดยตรง:

เราได้รับสมการตรงปกติ:

ตอนนี้เราคำนวณระยะทางจากจุดไปโดยตรง:

ตัวคูณแบบปกติสำหรับสมการของประเภทโดยตรง:

เท่ากับ 1. สมการปกติของโดยตรงนี้มีรูปแบบ:

ตอนนี้เราสามารถคำนวณระยะทางจากจุดไปโดยตรง:

มันเท่ากัน

คำตอบ: และ 5

โดยสรุปเราพิจารณาแยกระยะทางจากจุดที่ระบุของเครื่องบินไปยัง Ox และ Oy ของพิกัดโดยตรง

ในระบบพิกัด Oxy รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าพิกัด Direct Oy ตั้งสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์โดยตรง X \u003d 0 และ Ox โดยตรง Ox คือสมการ Y \u003d 0 สมการเหล่านี้เป็นสมการปกติของ OY โดยตรงและวัวดังนั้นระยะห่างจากจุดไปยังคำสั่งเหล่านี้คำนวณโดยสูตร:

ตามลำดับ

รูปที่ 5

เครื่องบินเปิดตัวระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าออกซี ค้นหาระยะทางจากจุดไปยังพิกัดโดยตรง

ระยะทางจากจุดที่ระบุ m 1 ไปยัง ox โดยตรงของ ox (มันได้รับจากสมการ y \u003d 0) เท่ากับโมดูลของจุดที่กำหนด m 1 นั่นคือ

ระยะทางจากจุดที่ระบุ m 1 ไปยังพิกัดโดยตรง OY (สอดคล้องกับสมการ x \u003d 0) เท่ากับ Abscissa Point Abso 1:

คำตอบ: ระยะทางจากจุด M 1 ถึง Direct Ox คือ 6 และระยะทางจากจุดที่ระบุไปยังพิกัด Direct Oy เท่ากัน

มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน

นิยาม

เอาท์พุทของระยะทางของระยะห่างจากจุดไปโดยตรง

ตัวเลือกที่ 1

ปล่อยให้เครื่องบินให้เส้นตรง l.: ขวาน. + โดย + ค. \u003d 0 และชี้ m 1.(x 1;y 1.), ไม่ได้เป็นของเส้นตรงนี้ เราจะพบระยะทางจากจุดที่ตรงไปตรงมา ภายใต้ระยะทางρจากจุด m 1.เพื่อโดยตรง l. เข้าใจความยาวของการตัด m 0.m 1.⏊ l..

ในการกำหนดระยะทางมันสะดวกในการใช้เวกเตอร์เดียวเวกเตอร์ปกติ collinear ตรง

คำอธิบาย:ตั้งแต่จุด m 0. อยู่ตรง l.พิกัดของมันจะต้องตอบสนองสมการในบรรทัดนี้ฉัน aX 0 + โดย 0 + ค.= 0ตัวเลือก 2

หากมีการระบุจุด M (x 0, y 0) จากนั้นระยะทางถึงเส้นตรง AH + W + C \u003d 0 ถูกกำหนดเป็น .

หลักฐาน. ให้จุด m 1 (x 1, ใน 1) เป็นฐานของฉากตั้งฉากลดลงจากจุด m ต่อที่ระบุโดยตรง จากนั้นระยะห่างระหว่างคะแนน M และ M 1: (1) พิกัด x 1 และ 1 สามารถพบได้ว่าเป็นวิธีการแก้ปัญหาของสมการ: สมการที่สองของระบบคือสมการของการส่งผ่านโดยตรงผ่านจุดที่กำหนด m 0 ตั้งฉากกับโดยตรงที่ระบุโดยตรง หากคุณแปลงสมการระบบแรกให้กับจิตใจ: a (x - x 0) + b (y - y 0) + ax 0 + โดย 0 + c \u003d 0, จากนั้นการแก้ปัญหารับ: การแทนที่นิพจน์เหล่านี้ให้กับสมการ (1) เราพบว่า: . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว