อนุพันธ์ตามสูตรไลบนิซออนไลน์ สูตรไลบนิซสำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์ที่แน่นอน
ข้อความของงานถูกวางไว้โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF
"ฉันด้วย ทวินามของนิวตัน!»
จาก The Master และ Margarita
“รูปสามเหลี่ยมของ Pascal นั้นเรียบง่ายมากจนแม้แต่เด็กอายุ 10 ขวบก็ยังเขียนได้ ในขณะเดียวกันก็ปกปิดสมบัติล้ำค่าที่ไม่รู้จักเหนื่อยและเชื่อมโยงแง่มุมต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันซึ่งในแวบแรกไม่มีอะไรเหมือนกัน คุณสมบัติที่ผิดปกติดังกล่าวทำให้เราสามารถพิจารณาว่าสามเหลี่ยมของ Pascal เป็นรูปแบบที่หรูหราที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมด
มาร์ติน การ์ดเนอร์.
วัตถุประสงค์:สรุปสูตรคูณตัวย่อแสดงการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา
งาน:
1) ศึกษาและจัดระบบข้อมูลในประเด็นนี้
2) วิเคราะห์ตัวอย่างโจทย์การใช้ทวินามของนิวตันและสูตรหาผลบวกและผลต่างองศา
วัตถุวิจัย:ทวินามของนิวตัน สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างขององศา
วิธีการวิจัย:
การทำงานกับวรรณกรรมวิทยาศาสตร์เพื่อการศึกษาและเป็นที่นิยม แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต
การคำนวณ การเปรียบเทียบ การวิเคราะห์ การเปรียบเทียบ
ความเกี่ยวข้องบุคคลมักจะต้องจัดการกับปัญหาซึ่งจำเป็นต้องนับจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อจัดเรียงวัตถุบางอย่างหรือจำนวนวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเพื่อดำเนินการบางอย่าง เส้นทางหรือตัวเลือกต่าง ๆ ที่บุคคลต้องเลือกรวมกันเป็นชุดค่าผสมที่หลากหลาย และสาขาคณิตศาสตร์ทั้งหมด ที่เรียกว่า combinatorics กำลังยุ่งอยู่กับการหาคำตอบของคำถาม: มีชุดค่าผสมจำนวนเท่าใดในกรณีนี้หรือกรณีนั้น
ตัวแทนของความเชี่ยวชาญพิเศษจำนวนมากต้องจัดการกับปริมาณสารผสม: นักวิทยาศาสตร์-นักเคมี นักชีววิทยา นักออกแบบ ผู้มอบหมายงาน ฯลฯ ความสนใจที่เพิ่มขึ้นใน combinatorics ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาเป็นผลมาจากการพัฒนาอย่างรวดเร็วของไซเบอร์เนติกส์และเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
บทนำ
เมื่อพวกเขาต้องการเน้นว่าคู่สนทนาพูดเกินจริงถึงความซับซ้อนของงานที่เขาเผชิญ พวกเขาพูดว่า: "ฉันต้องการทวินามของนิวตันด้วย!" สมมติว่านี่คือทวินามของนิวตัน มันยาก แต่คุณมีปัญหาอะไร! แม้แต่ผู้ที่มีความสนใจไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ก็เคยได้ยินเกี่ยวกับทวินามของนิวตัน
คำว่า "ทวินาม" หมายถึงทวินามเช่น ผลรวมของสองเทอม จากหลักสูตรของโรงเรียนรู้จักสูตรการคูณแบบย่อที่เรียกว่า:
( เอ+ ข) 2 = 2 + 2ab + ข 2 , (a+b) 3 = 3 +3a 2 b+3ab 2 +ข 3 .
ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรที่เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน สูตรสำหรับการแยกส่วนต่างของกำลังสอง ผลรวม และผลต่างของลูกบาศก์ก็ถูกนำมาใช้ที่โรงเรียนเช่นกัน พวกเขามีภาพรวมสำหรับองศาอื่น ๆ หรือไม่? ใช่ มีสูตรดังกล่าว ซึ่งมักใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ ได้แก่ การพิสูจน์การหาร การลดเศษส่วน การคำนวณโดยประมาณ
การศึกษาสูตรทั่วไปจะพัฒนาความคิดเชิงนิรนัยทางคณิตศาสตร์และความสามารถทางจิตทั่วไป
ส่วนที่ 1 สูตรทวินามของนิวตัน
ชุดค่าผสมและคุณสมบัติ
ให้ X เป็นเซตที่ประกอบด้วย n องค์ประกอบ เซตย่อย Y ของเซต X ที่มีองค์ประกอบ k เรียกว่าการรวมกันขององค์ประกอบ k จาก n และ k ≤ n
จำนวนชุดค่าผสมที่แตกต่างกันขององค์ประกอบ k จาก n จะแสดง C n k หนึ่งในสูตรที่สำคัญที่สุดของ combinatorics คือสูตรต่อไปนี้สำหรับหมายเลข C n k:
สามารถเขียนได้หลังตัวย่อที่ชัดเจนดังนี้:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,
สิ่งนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าในชุด X มีองค์ประกอบ 0 เพียงชุดเดียว - ชุดย่อยว่าง
ตัวเลข C nk มีคุณสมบัติเด่นหลายประการ
สูตร С n k = С n - k n ถูกต้อง (3)
ความหมายของสูตร (3) คือมีความสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดของชุดย่อยสมาชิก k ทั้งหมดจาก X และชุดของชุดย่อยสมาชิกทั้งหมด (n - k) จาก X: เพื่อสร้างการติดต่อนี้ มันก็เพียงพอแล้วสำหรับเซตย่อย k-member ของ Y ที่จับคู่ส่วนประกอบในชุด X
สูตร С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n ถูกต้อง (4)
ผลรวมทางด้านซ้ายแสดงจำนวนของชุดย่อยทั้งหมดของชุด X (C 0 n คือจำนวนชุดย่อย 0 สมาชิก, C 1 n คือจำนวนชุดย่อยของสมาชิกเดี่ยว ฯลฯ)
สำหรับ k ใด ๆ 1≤ k≤ n ความเท่าเทียมกัน
C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)
ความเท่าเทียมกันนี้หาได้ง่ายโดยใช้สูตร (1) อย่างแท้จริง,
1.2. ที่มาของสูตรทวินามของนิวตัน
พิจารณาพลังของทวินาม เป็น +ข .
n = 0, (a +ข ) 0 = 1
n = 1, (a +ข ) 1 = 1a+1ข
n = 2(+ข ) 2 = 1a 2 + 2aข +1 ข 2
n = 3(+ข ) 3 = 1 เป็ 3 + 3a 2 ข + 3aข 2 +1 ข 3
n = 4(+ข ) 4 = 1a 4 + 4a 3 ข + 6a 2 ข 2 +4aข 3 +1 ข 4
n=5(+ข ) 5 = 1a 5 + 5a 4 ข + 10a 3 ข 2 + 10a 2 ข 3 + 5aข 4 + 1 ข 5
สังเกตระเบียบต่อไปนี้:
จำนวนพจน์ของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์มากกว่าหนึ่งเลขชี้กำลังของทวินาม
เลขชี้กำลังของเทอมแรกลดลงจาก n เป็น 0, เลขชี้กำลังของเทอมที่สองเพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น n;
องศาของโมโนเมียลทั้งหมดเท่ากับองศาของทวินามในเงื่อนไข
โมโนเมียลแต่ละตัวเป็นผลคูณของนิพจน์ที่หนึ่งและสองในกำลังต่างๆ และจำนวนที่แน่นอน - สัมประสิทธิ์ทวินาม
ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามเท่ากันจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการขยายตัวเท่ากัน
ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรต่อไปนี้ เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตัน:
(เอ + ข ) น = ค 0 น เอ น ข 0 + ค 1 น เอ น -1 ข + ค 2 น เอ น -2 ข 2 + ... + ค น -1 น อะบี น -1 + ค น น เอ 0 ข น . (6)
ในสูตรนี้ นเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้
เราได้รับสูตร (6) ก่อนอื่นมาเขียนว่า:
(เอ + ข ) น = (เอ + ข )(เอ + ข ) ... (เอ + ข ), (7)
โดยที่จำนวนวงเล็บที่จะคูณคือ น. จากกฎปกติของการคูณผลรวมด้วยผลรวม นิพจน์ (7) เท่ากับผลรวมของผลคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งสามารถประกอบได้ดังนี้: เทอมใด ๆ ในผลรวมแรก a + bคูณด้วยเทอมใดๆ ของผลรวมที่สอง a+bในระยะใด ๆ ของผลรวมที่สาม ฯลฯ
จากที่กล่าวไว้เป็นที่ชัดเจนว่าคำในนิพจน์สำหรับ (เอ + ข ) นจับคู่ (หนึ่งต่อหนึ่ง) สตริงที่มีความยาว n ประกอบด้วยตัวอักษร ก และ ข.ในบรรดาข้อกำหนดนั้นจะมีคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน เห็นได้ชัดว่าสมาชิกดังกล่าวสอดคล้องกับสตริงที่มีจำนวนตัวอักษรเท่ากัน เอ. แต่จำนวนบรรทัดที่มี k คูณตัวอักษร เอ, เท่ากับ C n k . ดังนั้น ผลรวมของพจน์ทั้งหมดที่มีตัวอักษร a ที่มีตัวประกอบเท่ากับ k คูณ เท่ากับ С n k เอ น - k ข k . เนื่องจาก k สามารถหาค่า 0, 1, 2, ..., n-1, n, สูตร (6) ได้จากการให้เหตุผลของเรา โปรดทราบว่า (6) สามารถเขียนให้สั้นลงได้: (8)
แม้ว่าสูตร (6) จะเรียกว่าชื่อของนิวตัน แต่ในความเป็นจริงมันถูกค้นพบก่อนนิวตัน (เช่น Pascal รู้) ข้อดีของนิวตันอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าเขาพบข้อสรุปของสูตรนี้สำหรับกรณีของเลขชี้กำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม มันคือ I. Newton ในปี 1664-1665 ได้รับสูตรที่แสดงดีกรีของทวินามสำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนและค่าลบตามอำเภอใจ
ตัวเลข C 0 n , C 1 n , ... , C n n รวมอยู่ในสูตร (6) มักจะเรียกว่าสัมประสิทธิ์ทวินามซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:
จากสูตร (6) เราสามารถรับคุณสมบัติของสัมประสิทธิ์เหล่านี้ได้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สมมติว่า เอ=1, b = 1, เราได้รับ:
2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,
เหล่านั้น. สูตร (4). ถ้าเราใส่ เอ= 1, b = -1 จากนั้นเราจะได้:
0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n
หรือ С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .
ซึ่งหมายความว่าผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์คู่ของการขยายเท่ากับผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์คี่ของการขยาย แต่ละตัวมีค่าเท่ากับ 2 n -1 .
ค่าสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไขที่เท่ากันจากปลายการขยายตัวจะเท่ากัน คุณสมบัตินี้ตามมาจากความสัมพันธ์: С n k = С n n - k
กรณีพิเศษที่น่าสนใจ
(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0
หรือสั้นกว่า (x +1) n = ∑C n k x n - k .
1.3. ทฤษฎีบทพหุนาม
ทฤษฎีบท.
การพิสูจน์.
เพื่อให้ได้โมโนเมียลหลังจากเปิดวงเล็บ คุณต้องเลือกวงเล็บที่ยึด วงเล็บที่ใช้ ฯลฯ และวงเล็บที่นำมา สัมประสิทธิ์ของโมโนเมียลนี้หลังจากลดพจน์ที่คล้ายกันจะเท่ากับจำนวนวิธีที่สามารถเลือกได้ ขั้นตอนแรกของลำดับตัวเลือกสามารถทำได้หลายวิธี ขั้นตอนที่สอง - , ขั้นตอนที่สาม - ฯลฯ , ขั้นตอนที่ - - ในลักษณะต่างๆ ค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ เท่ากับสินค้า
มาตรา 2 อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น
แนวคิดของอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น
ให้ฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าอย่างนั้นอนุพันธ์ของมันโดยทั่วไปแล้วขึ้นอยู่กับ Xกล่าวคือเป็นหน้าที่ของ X. ดังนั้น ในแง่นี้ เราสามารถตั้งคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของอนุพันธ์ได้อีกครั้ง
คำนิยาม . อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่า อนุพันธ์ของอันดับสองหรืออนุพันธ์อันดับสองและแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือกล่าวคือ
คำนิยาม . อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสองเรียกว่าอนุพันธ์อันดับสามหรืออนุพันธ์อันดับสามและแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือ
คำนิยาม . อนุพันธ์น คำสั่งฟังก์ชั่น เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 1 ของอนุพันธ์ (น -1)-ลำดับที่ของฟังก์ชันนี้และแสดงด้วยสัญลักษณ์หรือ:
คำนิยาม . อนุพันธ์ของคำสั่งที่สูงกว่าตัวแรกเรียกว่า อนุพันธ์ที่สูงขึ้น
ความคิดเห็น. ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาสูตรได้ น- อนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันที่กำหนดโดยพาราเมตริก
หากฟังก์ชันถูกกำหนดแบบพาราเมตริกด้วยสมการ ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง จำเป็นต้องแยกความแตกต่างของนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับ 1 ของฟังก์ชันดังกล่าว ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนตัวแปรอิสระ
ตั้งแต่นั้นมา
และพิจารณาว่า
เราเข้าใจแล้ว นั่นคือ
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถหาอนุพันธ์อันดับสามได้
ความแตกต่างของผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหาร
เนื่องจากดิฟเฟอเรนเชียลได้มาจากอนุพันธ์โดยการคูณมันด้วยดิฟเฟอเรนเชียลของตัวแปรอิสระ ดังนั้น เมื่อรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน เช่นเดียวกับกฎในการหาอนุพันธ์ เราจึงสามารถใช้กฎที่คล้ายกันในการค้นหาดิฟเฟอเรนเชียลได้
1 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของค่าคงที่คือศูนย์.
2 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของผลรวมเชิงพีชคณิตของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลจำนวนจำกัด เท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเหล่านี้ .
3 0 . ดิฟเฟอเรนเชียลของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลสองฟังก์ชัน เท่ากับผลรวมของผลคูณของฟังก์ชันที่หนึ่งและค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันที่สองและฟังก์ชันที่สอง และค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันแรก .
ผลที่ตามมา. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของดิฟเฟอเรนเชียลได้
2.3. ฟังก์ชันที่กำหนดแบบพาราเมตริก ความแตกต่างของฟังก์ชัน
คำนิยาม . กล่าวได้ว่าฟังก์ชันถูกกำหนดแบบพาราเมตริกถ้าทั้งสองตัวแปร X และ y ถูกกำหนดแยกกันเป็นฟังก์ชันค่าเดียวของตัวแปรเสริมเดียวกัน - พารามิเตอร์t :
ที่ไหนt เปลี่ยนแปลงภายใน.
ความคิดเห็น . เรานำเสนอสมการพาราเมตริกของวงกลมและวงรี
ก) วงกลมมีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดและรัศมี rมีสมการพาราเมตริก:
b) มาเขียนสมการพาราเมตริกสำหรับวงรีกัน:
โดยไม่รวมพารามิเตอร์ tจากสมการพาราเมทริกของเส้นที่พิจารณา เราสามารถบรรลุสมการบัญญัติได้
ทฤษฎีบท . ถ้าฟังก์ชัน y จากการโต้แย้ง x ถูกกำหนดแบบพาราเมตริกโดยสมการ โดยที่ และ หาอนุพันธ์ได้เมื่อเทียบกับt หน้าที่แล้ว.
2.4. สูตรไลบนิซ
เพื่อหาอนุพันธ์ นลำดับของผลคูณของสองฟังก์ชัน สูตรของไลบนิซมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่ง
อนุญาต ยูและ วี- ฟังก์ชั่นบางอย่างจากตัวแปร Xมีอนุพันธ์ของคำสั่งใด ๆ และ y = ยูวี. ด่วน น- อนุพันธ์อันดับที่ผ่านอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ยูและ วี .
เรามีอย่างต่อเนื่อง
เป็นเรื่องง่ายที่จะสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับสองและสามกับการขยายตัวของทวินามของนิวตันในกำลังสองและสามตามลำดับ แต่แทนที่จะเป็นเลขชี้กำลัง มีตัวเลขที่กำหนดลำดับของอนุพันธ์และฟังก์ชัน ตัวเองถือได้ว่าเป็น "อนุพันธ์อันดับศูนย์" จากสิ่งนี้ เราได้รับสูตร Leibniz:
สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์
ส่วนที่ 3 การประยุกต์ใช้สูตร LEIBNIZ
ในการคำนวณอนุพันธ์ของลำดับใด ๆ จากผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน โดยข้ามการใช้สูตรการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันสองฟังก์ชันตามลำดับ สูตรไลบนิซ.
ใช้สูตรนี้ พิจารณาตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน
ตัวอย่างที่ 1
หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน
ตามคำจำกัดความ อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์อันดับหนึ่งของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง กล่าวคือ
ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่กำหนดตาม กฎความแตกต่างและใช้ ตารางอนุพันธ์:
ตอนนี้เราพบอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง นี่จะเป็นอนุพันธ์อันดับสองที่ต้องการ:
ตอบ:
ตัวอย่าง 2
หาอนุพันธ์อันดับ th ของฟังก์ชัน
สารละลาย.
เราจะหาอนุพันธ์ของอันดับที่หนึ่ง สอง สาม และต่อๆ ไปตามลำดับของฟังก์ชันที่กำหนดเพื่อสร้างรูปแบบที่สามารถทำให้กลายเป็นอนุพันธ์อันดับที่ -th ได้
เราพบอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเป็น อนุพันธ์ของผลหาร:
ในที่นี้นิพจน์เรียกว่าแฟกทอเรียลของตัวเลข แฟกทอเรียลของจำนวนเท่ากับผลคูณของตัวเลขจากหนึ่งถึง นั่นคือ
อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์อันดับหนึ่งของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง นั่นคือ
อนุพันธ์อันดับสาม:
อนุพันธ์ที่สี่:
สังเกตความสม่ำเสมอ: ตัวเศษประกอบด้วยแฟกทอเรียลของจำนวนที่เท่ากับลำดับของอนุพันธ์ และตัวส่วนมีนิพจน์ในยกกำลังหนึ่งที่มากกว่าลำดับของอนุพันธ์ นั่นคือ
ตอบ.
ตัวอย่างที่ 3
หาค่าอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
สารละลาย.
ตาม ตารางอนุพันธ์อันดับสูงกว่า, เรามี:
ในตัวอย่างนี้ นั่นคือ เราได้รับ
โปรดทราบว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันสามารถหาได้โดยการหาอนุพันธ์ตามลำดับ
วี คะแนนที่กำหนดอนุพันธ์อันดับสามคือ:
ตอบ:
ตัวอย่างที่ 4
หาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน
สารละลาย.อันดับแรก ให้หาอนุพันธ์อันดับแรก:
ในการหาอนุพันธ์อันดับสอง เราแยกความแตกต่างของนิพจน์สำหรับอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งอีกครั้ง:
ตอบ:
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาว่า
เนื่องจากฟังก์ชันที่กำหนดเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน ขอแนะนำให้ใช้สูตรไลบนิซเพื่อค้นหาอนุพันธ์อันดับที่สี่:
เราค้นหาอนุพันธ์ทั้งหมดและคำนวณสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไข
1) คำนวณสัมประสิทธิ์สำหรับเงื่อนไข:
2) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
3) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
ตอบ:
ตัวอย่างที่ 6
ฟังก์ชัน y=x 2 cos3x ถูกกำหนด หาอนุพันธ์ของลำดับที่สาม
ให้ u=cos3x , v=x 2 . จากสูตรของไลบนิซ เราพบว่า:
อนุพันธ์ในนิพจน์นี้คือ:
(cos3x)′=−3sin3x,
(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,
(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,
(x2)′=2x,
(x2)''=2,
(x2)'''=0.
ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันที่กำหนดคือ
1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.
ตัวอย่าง 7
ค้นหาอนุพันธ์น -ฟังก์ชันคำสั่งที่ y=x 2 cosx.
เราใช้สูตร Leibniz การตั้งค่าu=cosx, v=x 2 . แล้ว
พจน์ที่เหลือของอนุกรมนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก(x2)(i)=0 สำหรับ i>2
อนุพันธ์ n - ฟังก์ชันโคไซน์ลำดับที่:
ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันของเราคือ
บทสรุป
โรงเรียนศึกษาและใช้สูตรคูณแบบย่อที่เรียกว่า: กำลังสองและลูกบาศก์ของผลรวมและผลต่างของนิพจน์สองรายการ และสูตรสำหรับการแยกตัวประกอบความแตกต่างของกำลังสอง ผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ของสองนิพจน์ ลักษณะทั่วไปของสูตรเหล่านี้คือสูตรที่เรียกว่าสูตรทวินามของนิวตันและสูตรสำหรับการแยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของกำลัง สูตรเหล่านี้มักใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ ได้แก่ การพิสูจน์การหาร การลดเศษส่วน การคำนวณโดยประมาณ ที่พิจารณา คุณสมบัติที่น่าสนใจสามเหลี่ยมของ Pascal ซึ่งสัมพันธ์กับทวินามของนิวตันอย่างใกล้ชิด
บทความนี้จัดระบบข้อมูลเกี่ยวกับหัวข้อ ให้ตัวอย่างงานสำหรับการใช้ทวินามของนิวตันและสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างขององศา สามารถใช้ในงานของวงกลมคณิตศาสตร์เช่นเดียวกับการศึกษาอิสระโดยผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์
รายชื่อแหล่งที่ใช้
1. Vilenkin N. Ya. คอมบิเนทอริกส์ - ed. "วิทยาศาสตร์". - ม., 2512
2. Nikolsky S.M. , Potapov M.K. , Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10: ตำราเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป องค์กรระดับพื้นฐานและขั้นสูง - ม.: การศึกษา, 2014. - 431 น.
3. การแก้ปัญหาทางสถิติ เชิงผสม และทฤษฎีความน่าจะเป็น 7-9 เซลล์ / ผู้แต่ง - คอมไพเลอร์ V.N. สตูเดเนตสกายา - ศ. แก้ไขครั้งที่ 2 - โวลโกกราด: ครู 2552
4. Savushkina I.A. , Khugaev K.D. , Tishkin S.B. สมการพีชคณิตของระดับที่สูงขึ้น / คู่มือระเบียบวิธีสำหรับนักศึกษาภาควิชาเตรียมการระหว่างมหาวิทยาลัย - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 2544
5. Sharygin I.F. หลักสูตรเสริมในวิชาคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหา กวดวิชาสำหรับ 10 เซลล์ มัธยม. - ม.: ตรัสรู้, 1989.
6.วิทยาศาสตร์กับชีวิต ทวินามของนิวตัน และ สามเหลี่ยมปาสกาล[ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์]. - โหมดการเข้าถึง: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/
สูตรไลบนิซสำหรับ การคำนวณครั้งที่ nอนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน หลักฐานมีให้ในสองวิธี พิจารณาตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของลำดับที่ n
เนื้อหาดูสิ่งนี้ด้วย: อนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน
สูตรไลบนิซ
เมื่อใช้สูตรไลบนิซ คุณสามารถคำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันได้ ดูเหมือนว่านี้:
(1)
,
ที่ไหน
เป็นสัมประสิทธิ์ทวินาม
สัมประสิทธิ์ทวินามคือสัมประสิทธิ์การขยายตัวของทวินามในกำลังของ และ :
.
ตัวเลขยังเป็นจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ n ถึง k
หลักฐานของสูตรไลบนิซ
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน:
(2)
.
ให้เราเขียนสูตร (2) ใหม่ในรูปแบบต่อไปนี้:
.
นั่นคือ เราพิจารณาว่าฟังก์ชันหนึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปร x และอีกฟังก์ชันหนึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปร y เมื่อสิ้นสุดการคำนวณ เราถือว่า จากนั้นสูตรก่อนหน้าสามารถเขียนได้ดังนี้:
(3)
.
เนื่องจากอนุพันธ์มีค่าเท่ากับผลรวมของเงื่อนไข และแต่ละเทอมเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน ดังนั้นในการคำนวณอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น คุณจึงสามารถใช้กฎ (3) ได้อย่างสม่ำเสมอ
สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n เรามี:
.
ระบุว่า และ เราได้รับสูตรไลบนิซ:
(1)
.
พิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำ
เรานำเสนอการพิสูจน์สูตรไลบนิซโดยวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
มาเขียนสูตรไลบนิซใหม่:
(4)
.
สำหรับ n = 1 เรามี:
.
นี่คือสูตรอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เธอเป็นคนยุติธรรม
สมมุติว่าสูตร (4) ใช้ได้สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ให้เราพิสูจน์ว่ามันใช้ได้กับอนุพันธ์ n + 1 -คำสั่งที่
ความแตกต่าง (4):
;
.
ดังนั้นเราจึงพบว่า:
(5)
.
แทนที่ใน (5) และคำนึงว่า:
.
นี่แสดงว่าสูตร (4) มีรูปแบบเหมือนกันสำหรับอนุพันธ์ n + 1
-คำสั่งที่
ดังนั้น สูตร (4) ใช้ได้กับ n = 1
. จากสมมติฐานที่ว่าเป็นจริงสำหรับตัวเลขบางตัว n = m จะเป็นจริงสำหรับ n = m + 1
.
สูตรไลบนิซได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่าง
คำนวณอนุพันธ์อันดับที่ n ของฟังก์ชัน
.
เราใช้สูตรไลบนิซ
(2)
.
ในกรณีของเรา
;
.
ตามตารางอนุพันธ์เรามี:
.
เราใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
.
แล้ว
.
นี่แสดงให้เห็นว่าการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันไซน์ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงโดย แล้ว
.
เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
;
;
;
,
.
เนื่องจาก for มีเพียงสามเทอมแรกในสูตร Leibniz เท่านั้นที่ไม่ใช่ศูนย์ การหาค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม
;
.
ตามสูตรของไลบนิซ เรามี:
.
การแก้ปัญหาที่ใช้จะลดลงในการคำนวณอินทิกรัล แต่ไม่สามารถทำได้อย่างถูกต้องเสมอไป บางครั้งจำเป็นต้องรู้ค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนด้วยระดับความแม่นยำระดับหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถึงหนึ่งในพัน
มีงานเมื่อจำเป็นต้องหาค่าประมาณของอินทิกรัลบางตัวที่มีความแม่นยำที่ต้องการ จากนั้นจึงใช้การรวมเชิงตัวเลข เช่น วิธี Simposn, สี่เหลี่ยมคางหมู, สี่เหลี่ยม ไม่ใช่ทุกกรณีที่เราจะคำนวณได้อย่างแม่นยำ
บทความนี้พิจารณาการประยุกต์ใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการคำนวณที่แน่นอนของอินทิกรัลที่แน่นอน จะได้รับ ตัวอย่างรายละเอียดเราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในอินทิกรัลที่แน่นอนและค้นหาค่าของอินทิกรัลที่แน่นอนเมื่อรวมเข้าด้วยกันโดยส่วนต่างๆ
สูตรนิวตัน-ไลบนิซ
คำจำกัดความ 1เมื่อฟังก์ชัน y = y (x) ต่อเนื่องกันจากเซกเมนต์ [ a ; b ] และ F (x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันของส่วนนี้ แล้ว สูตรนิวตัน-ไลบนิซถือว่ายุติธรรม ลองเขียนมันแบบนี้ ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a)
สูตรนี้คิด สูตรพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล
เพื่อพิสูจน์สูตรนี้ จำเป็นต้องใช้แนวคิดของอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปรที่มีอยู่
เมื่อฟังก์ชัน y = f (x) ต่อเนื่องกันจากเซกเมนต์ [ a ; b ] แล้วค่าของอาร์กิวเมนต์ x ∈ a ; b และอินทิกรัลมีรูปแบบ ∫ a x f (t) d t และถือเป็นฟังก์ชันของขีดจำกัดบน จำเป็นต้องยอมรับสัญกรณ์ของฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ ∫ axf (t) dt = Φ (x) เป็นต่อเนื่องและอสมการของรูปแบบ ∫ axf (t) dt " = Φ " (x) = f (x) ถูกต้องสำหรับมัน
เราแก้ไขว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Φ (x) สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆ x จำเป็นต้องใช้คุณสมบัติหลักที่ห้าของอินทิกรัลที่แน่นอนและรับ
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ ขวาน + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ขวาน + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x
โดยที่ ค่า c ∈ x ; x + ∆x .
เราแก้ไขความเท่าเทียมกันในรูปแบบ Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จำเป็นต้องผ่านขีดจำกัดเป็น ∆ x → 0 จากนั้นเราจะได้สูตรของรูปแบบที่อยู่บน [ a ; b ] มิฉะนั้น นิพจน์สามารถเขียนได้
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C โดยที่ค่าของ C เป็นค่าคงที่
ลองคำนวณ F (a) โดยใช้คุณสมบัติแรกของอินทิกรัลแน่นอน แล้วเราจะได้สิ่งนั้น
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C ดังนั้น C = F (a) ผลลัพธ์ใช้ได้เมื่อคำนวณ F (b) และเราได้รับ:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a) กล่าวอีกนัยหนึ่ง F (b) = ∫ abf (t) dt + F (ก) . ความเท่าเทียมกันพิสูจน์สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a)
การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันถือเป็น F x a b = F (b) - F (a) ด้วยความช่วยเหลือของสัญกรณ์ สูตรของนิวตัน-ไลบนิซจะกลายเป็น ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a)
ในการใช้สูตร จำเป็นต้องทราบหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟ y = F (x) ของอินทิกรัล y = f (x) จากเซกเมนต์ [ a ; b ] คำนวณการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟจากส่วนนี้ ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ
ตัวอย่างที่ 1
คำนวณอินทิกรัลแน่นอน ∫ 1 3 x 2 d x โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ
สารละลาย
พิจารณาว่าอินทิกรัลของรูปแบบ y = x 2 นั้นต่อเนื่องกันจากช่วง [ 1 ; 3] จากนั้นและจะรวมเข้าด้วยกันในช่วงเวลานี้ จากตารางอินทิกรัลที่ไม่แน่นอนเราเห็นว่าฟังก์ชัน y \u003d x 2 มีชุดของแอนติเดริเวทีฟสำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x ซึ่งหมายความว่า x ∈ 1; 3 จะถูกเขียนเป็น F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . จำเป็นต้องใช้แอนติเดริเวทีฟด้วย C \u003d 0 จากนั้นเราจะได้ F (x) \u003d x 3 3
ลองใช้สูตร Newton-Leibniz แล้วรับว่าการคำนวณอินทิกรัลแน่นอนจะอยู่ในรูปแบบ ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3
ตอบ:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
ตัวอย่าง 2
คำนวณอินทิกรัลแน่นอน ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ
สารละลาย
ฟังก์ชันที่กำหนดต่อเนื่องกันจากเซ็กเมนต์ [ - 1 ; 2] ซึ่งหมายความว่าสามารถรวมเข้ากับมันได้ จำเป็นต้องหาค่าของอินทิกรัลไม่จำกัด ∫ x ex 2 + 1 dx โดยใช้วิธีการรวมภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ จากนั้นเราจะได้ ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 เช่น 2+1+C
ดังนั้นเราจึงมีชุดของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = x · e x 2 + 1 ซึ่งใช้ได้กับ x ทั้งหมด , x ∈ - 1 ; 2.
จำเป็นต้องใช้แอนติเดริเวทีฟที่ C = 0 และใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของรูปแบบ
∫ - 1 2 x อดีต 2 + 1 dx = 1 2 อดีต 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 อี 2 (อี 3 - 1)
ตอบ:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
ตัวอย่างที่ 3
คำนวณอินทิกรัล ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x และ ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x
สารละลาย
กลุ่ม - 4; - 1 2 บอกว่าฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายอินทิกรัลนั้นต่อเนื่องซึ่งหมายความว่าเป็นอินทิเกรต จากที่นี่ เราจะพบเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 . เราได้รับสิ่งนั้น
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
จำเป็นต้องใช้แอนติเดริเวทีฟ F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x จากนั้นใช้สูตร Newton-Leibniz เราจะได้อินทิกรัลซึ่งเราคำนวณ:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
เราเปลี่ยนไปสู่การคำนวณอินทิกรัลที่สอง
จากส่วน [ - 1 ; 1 ] เรามีว่า integrand นั้นถือว่าไม่มีขอบเขต เพราะ lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ จากนั้นจะเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการรวมจากเซกเมนต์ จากนั้น F (x) = 2 x 2 - 2 x ไม่ใช่แอนติเดริเวทีฟสำหรับ y = 4 x 3 + 2 x 2 จากช่วง [ - 1 ; 1 ] เนื่องจากจุด O เป็นของส่วน แต่ไม่รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ ซึ่งหมายความว่ามีอินทิกรัลที่แน่นอนของรีมันน์และนิวตัน-ไลบนิซสำหรับฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 จากเซกเมนต์ [ - 1 ; หนึ่ง ] .
คำตอบ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,มีอินทิกรัลที่แน่นอนของรีมันน์และนิวตัน-ไลบนิซสำหรับฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 จากช่วง [ - 1 ; หนึ่ง ] .
ก่อนใช้สูตรนิวตัน-ไลบนิซ คุณจำเป็นต้องรู้ให้แน่ชัดเกี่ยวกับการมีอยู่ของอินทิกรัลที่แน่นอน
การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์ที่แน่นอน
เมื่อฟังก์ชัน y = f (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องจากเซกเมนต์ [ a ; b ] จากนั้นชุดที่มีอยู่ [ a ; b ] ถือเป็นพิสัยของฟังก์ชัน x = g (z) ที่กำหนดไว้ในช่วง α ; β ด้วยอนุพันธ์ต่อเนื่องที่มีอยู่ โดยที่ ก. (α) = a และ ก. β = b ดังนั้นเราจึงได้ ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z
สูตรนี้ใช้เมื่อจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล ∫ a b f (x) d x โดยที่อินทิกรัลไม่ จำกัด มีรูปแบบ ∫ f (x) d x เราคำนวณโดยใช้วิธีการทดแทน
ตัวอย่างที่ 4
คำนวณอินทิกรัลแน่นอนของรูปแบบ ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x
สารละลาย
อินทิกรัลถือว่าต่อเนื่องในช่วงการรวม ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลที่แน่นอนมีอยู่ สมมุติว่า 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . ค่า x \u003d 9 หมายความว่า z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 และสำหรับ x \u003d 18 เราจะได้ z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3 จากนั้น g α \ u003d ก. (3) \u003d 9 , ก. β = ก. 3 3 = 18 . แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตร ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z เราได้รับ
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz
จากตารางอินทิกรัลไม่จำกัดจำนวน เรามีแอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่งของฟังก์ชัน 2 z 2 + 9 รับค่า 2 3 a r c t g z 3 . จากนั้นใช้สูตร Newton-Leibniz เราจะได้สิ่งนั้น
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
การค้นพบสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้สูตร ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z
หากวิธีการเปลี่ยนใช้อินทิกรัลของรูปแบบ ∫ 1 x 2 x - 9 d x เราก็จะได้ผลลัพธ์ ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C
จากที่นี่ เราจะทำการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซและคำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน เราได้รับสิ่งนั้น
∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctg 2 18 - 9 3 - arctg 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctg 3 - arctg 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18
ผลลัพธ์ตรงกัน.
คำตอบ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
การบูรณาการโดยส่วนต่างๆ ในการคำนวณปริพันธ์ที่แน่นอน
ถ้าอยู่ในเซ็กเมนต์ [ a ; b ] ฟังก์ชั่น u (x) และ v (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่อง จากนั้นอนุพันธ์อันดับแรกของพวกมัน v " (x) u (x) นั้นรวมกันได้ ดังนั้นจากช่วงเวลานี้สำหรับฟังก์ชันที่รวมเข้าด้วยกัน u " (x) v ( x) ความเท่าเทียมกัน ∫ abv " (x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu " (x) v (x) dx เป็นจริง
สามารถใช้สูตรได้แล้วจึงจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล ∫ a b f (x) d x และ ∫ f (x) d x จำเป็นต้องค้นหาโดยใช้การรวมส่วนต่างๆ
ตัวอย่างที่ 5
คำนวณอินทิกรัลแน่นอน ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
สารละลาย
ฟังก์ชัน x sin x 3 + π 6 สามารถรวมเข้ากับส่วน - π 2; 3 π 2 ดังนั้นจึงต่อเนื่องกัน
ให้ คุณ (x) \u003d x จากนั้น d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d บาป x 3 + π 6 dx และ d (u (x)) \u003d คุณ "(x) dx \u003d dx และ v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . จากสูตร ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a bu " (x) v (x) d x เราเข้าใจแล้ว
∫ - π 2 3 π 2 x บาป x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 บาป π 2 + π 6 - บาป - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
การแก้ปัญหาของตัวอย่างสามารถทำได้ในอีกทางหนึ่ง
หาชุดของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน x sin x 3 + π 6 โดยใช้การบูรณาการตามส่วนต่างๆ โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบนิซ:
∫ x บาป xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = บาป x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x บาป x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 บาป - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
คำตอบ: ∫ x บาป x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
อนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้น
บน บทเรียนนี้เราจะเรียนรู้วิธีหาอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่า รวมทั้งเขียนสูตรทั่วไปสำหรับอนุพันธ์อันดับ "nth" นอกจากนี้ สูตรไลบนิซสำหรับอนุพันธ์ดังกล่าวจะได้รับการพิจารณาและโดยความต้องการที่เป็นที่นิยม อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของ ฟังก์ชันโดยปริยาย. ฉันแนะนำให้คุณทำการทดสอบย่อยทันที:
นี่คือฟังก์ชัน: และนี่คืออนุพันธ์อันดับแรก:
ในกรณีที่คุณมีปัญหา/ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับตัวอย่างนี้ โปรดเริ่มต้นด้วยบทความพื้นฐานสองบทความในหลักสูตรของฉัน: จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?และ อนุพันธ์ของฟังก์ชันประสม. หลังจากเชี่ยวชาญอนุพันธ์เบื้องต้นแล้ว ฉันแนะนำให้คุณอ่านบทเรียน ปัญหาที่ง่ายที่สุดกับอนุพันธ์ที่เราได้จัดการโดยเฉพาะกับ อนุพันธ์อันดับสอง.
ไม่ยากแม้แต่จะเดาว่าอนุพันธ์อันดับสองเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 1:
โดยหลักการแล้ว อนุพันธ์อันดับสองถือเป็นอนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าอยู่แล้ว
ในทำนองเดียวกัน: อนุพันธ์อันดับสามคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 2:
อนุพันธ์อันดับที่สี่คืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 3:
อนุพันธ์ที่ห้า: และเป็นที่ชัดเจนว่าอนุพันธ์ทั้งหมดของคำสั่งซื้อที่สูงกว่าจะเท่ากับศูนย์ด้วย:
นอกเหนือจากการนับเลขโรมันแล้ว การกำหนดต่อไปนี้มักใช้ในทางปฏิบัติ:
ในขณะที่อนุพันธ์ของคำสั่ง "nth" แสดงโดย . ในกรณีนี้ ดัชนีตัวยกจะต้องอยู่ในวงเล็บ- เพื่อแยกความแตกต่างของอนุพันธ์จาก "y" ในระดับ
บางครั้งมีรายการเช่นนี้: - อนุพันธ์อันดับสาม สี่ ห้า ... อนุพันธ์ "nth" ตามลำดับ
ไปข้างหน้าโดยไม่ต้องกลัวและสงสัย:
ตัวอย่างที่ 1
รับหน้าที่. หา .
สารละลาย: คุณพูดอะไร ... - ส่งต่ออนุพันธ์ที่สี่ :)
ไม่ใช่เรื่องปกติอีกต่อไปที่จะใส่สี่จังหวะ ดังนั้นเราจึงไปที่ดัชนีตัวเลข:
ตอบ:
โอเค ทีนี้ลองคิดถึงคำถามนี้กัน: จะทำอย่างไรถ้าตามเงื่อนไขมันจำเป็นต้องหาตัวที่ 4 ไม่ใช่ตัวที่ 4 แต่ยกตัวอย่างเช่นอนุพันธ์อันดับที่ 20? ถ้าสำหรับอนุพันธ์ของ 3-4-5th (สูงสุด 6-7)คำสั่งวิธีแก้ปัญหาถูกวาดขึ้นค่อนข้างเร็วจากนั้นเราจะ "รับ" กับอนุพันธ์ของคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นโอ้ไม่เร็ว ๆ นี้ อย่าเขียนลงไปจริงๆ 20 บรรทัด! ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณต้องวิเคราะห์อนุพันธ์ที่พบหลายตัว ดูรูปแบบและเขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์อันดับ "nth" ดังนั้น ในตัวอย่างที่ 1 จึงเข้าใจได้ง่ายว่าด้วยความแตกต่างที่ตามมาแต่ละครั้ง "สามเท่า" เพิ่มเติมจะ "กระโดดออกมา" ก่อนเลขชี้กำลัง และในขั้นตอนใดๆ ระดับของ "สามเท่า" จะเท่ากับจำนวน อนุพันธ์ ดังนั้น:
โดยที่จำนวนธรรมชาติโดยพลการอยู่ที่ไหน
และแน่นอน ถ้า ได้อนุพันธ์อันดับ 1 มาอย่างแน่นอน: , ถ้า - แล้ว 2: เป็นต้น ดังนั้นอนุพันธ์ที่ยี่สิบจึงถูกกำหนดทันที: - และไม่มี "แผ่นกิโลเมตร"!
อุ่นเครื่องด้วยตัวเอง:
ตัวอย่าง 2
ค้นหาคุณสมบัติ เขียนอนุพันธ์ของคำสั่ง
คำตอบและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
หลังจากการวอร์มอัพที่กระฉับกระเฉง มาดูกันดีกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อนซึ่งเราจะใช้อัลกอริธึมโซลูชันข้างต้น สำหรับผู้ที่ได้อ่านบทเรียน จำกัดลำดับมันจะง่ายขึ้นเล็กน้อย:
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาฟังก์ชัน
สารละลาย: เพื่อชี้แจงสถานการณ์ เราพบอนุพันธ์หลายอย่าง:
เราไม่รีบร้อนที่จะคูณจำนวนผลลัพธ์! ;-)
อาจจะเพียงพอ ... ฉันทำมันเกินกำลังไปหน่อย
ในขั้นตอนต่อไป เป็นการดีที่สุดที่จะเขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์ "nth" (ทันทีที่เงื่อนไขไม่ต้องการนี้ ก็ผ่านร่างได้เลย). ในการทำเช่นนี้ เราจะดูผลลัพธ์ที่ได้รับและระบุรูปแบบที่จะได้รับอนุพันธ์ถัดไปแต่ละรายการ
ก่อนอื่นพวกเขาเซ็น Interleating ให้ "ไฟกระพริบ"และเนื่องจากอนุพันธ์อันดับที่ 1 เป็นบวก ตัวประกอบต่อไปนี้จะเข้าสู่สูตรทั่วไป: . ตัวเลือกที่เทียบเท่าจะทำ แต่โดยส่วนตัวแล้ว ในฐานะผู้มองโลกในแง่ดี ฉันชอบเครื่องหมายบวก =)
ประการที่สองในตัวเศษ "ลม" แฟกทอเรียลและมัน "ล้าหลัง" จำนวนของอนุพันธ์โดยหนึ่งหน่วย:
และประการที่สาม กำลังของ “สอง” เพิ่มขึ้นในตัวเศษ ซึ่งเท่ากับจำนวนของอนุพันธ์ สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับระดับของตัวส่วน ในที่สุด:
เพื่อวัตถุประสงค์ในการตรวจสอบ เรามาแทนที่ค่า "en" สองสามค่า ตัวอย่างเช่น และ:
เยี่ยมมาก ตอนนี้การทำผิดพลาดเป็นเพียงบาป:
ตอบ:
ฟังก์ชันที่ง่ายกว่าสำหรับโซลูชันที่ต้องทำด้วยตัวเอง:
ตัวอย่างที่ 4
ค้นหาคุณสมบัติ
และปัญหาที่ยุ่งยากกว่านั้นคือ
ตัวอย่างที่ 5
ค้นหาคุณสมบัติ
มาทำซ้ำขั้นตอนกันอีกครั้ง:
1) อันดับแรก เราพบอนุพันธ์หลายตัว สามหรือสี่มักจะเพียงพอที่จะจับรูปแบบ
2) จากนั้นฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้รวบรวม (อย่างน้อยก็ในร่าง)อนุพันธ์ "nth" - รับประกันว่าจะป้องกันข้อผิดพลาด แต่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้อง ประมาณการทางจิตใจและจดทันที ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับที่ยี่สิบหรือแปด นอกจากนี้ คนทั่วไปบางคนสามารถแก้ปัญหาด้วยปากเปล่าได้ อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าวิธีการ "รวดเร็ว" นั้นเต็มไปด้วยวิธีการและควรเล่นอย่างปลอดภัย
3) ในขั้นตอนสุดท้ายเราตรวจสอบอนุพันธ์ "nth" - เราใช้ค่าคู่ "en" (ดีกว่าค่าที่อยู่ใกล้เคียง) และทำการทดแทน และน่าเชื่อถือยิ่งกว่านั้นคือการตรวจสอบอนุพันธ์ทั้งหมดที่พบก่อนหน้านี้ จากนั้นเราแทนที่ด้วยค่าที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น หรือและหวีผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง
วิธีแก้ปัญหาโดยย่อของตัวอย่างที่ 4 และ 5 ในตอนท้ายของบทเรียน
ในบางงาน เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหา คุณต้องใช้เวทย์มนตร์เล็กน้อยกับฟังก์ชัน:
ตัวอย่างที่ 6
สารละลาย: ฉันไม่ต้องการที่จะแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่เสนอเลย เพราะมันจะกลายเป็นเศษส่วน "ไม่ดี" ซึ่งจะทำให้ยากต่อการค้นหาอนุพันธ์ที่ตามมา
ในเรื่องนี้ขอแนะนำให้ทำการแปลงเบื้องต้น: เราใช้ ความแตกต่างของสูตรกำลังสองและ สมบัติลอการิทึม :
ค่อนข้างเป็นเรื่องที่แตกต่างกัน:
และเพื่อนเก่า:
ฉันคิดว่าทุกอย่างกำลังถูกมอง โปรดทราบว่าเศษส่วนที่ 2 มีการเซ็นชื่อ แต่ส่วนที่ 1 ไม่ใช่ เราสร้างอนุพันธ์ของคำสั่ง:
ควบคุม:
เพื่อความสวยงาม เราเอาแฟคทอเรียลออกจากวงเล็บ:
ตอบ:
งานที่น่าสนใจสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่าง 7
เขียนสูตรอนุพันธ์อันดับของฟังก์ชัน
และตอนนี้เกี่ยวกับความรับผิดชอบร่วมกันที่ไม่สั่นคลอนซึ่งแม้แต่มาเฟียอิตาลีก็ยังอิจฉา:
ตัวอย่างที่ 8
รับหน้าที่. หา
อนุพันธ์อันดับที่สิบแปด ณ จุด . แค่.
สารละลาย: ก่อนอื่นคุณต้องหา . ไป:
พวกเขาเริ่มต้นจากไซน์และมาถึงไซน์ เป็นที่ชัดเจนว่าด้วยความแตกต่างเพิ่มเติม วัฏจักรนี้จะดำเนินต่อไปจนถึงอนันต์ และคำถามต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น: จะ "รับ" อนุพันธ์อันดับที่สิบแปดได้อย่างไร
วิธี "มือสมัครเล่น": เราจดตัวเลขของอนุพันธ์ที่ตามมาทางด้านขวาลงในคอลัมน์อย่างรวดเร็ว:
ทางนี้:
แต่มันใช้ได้ถ้าลำดับของอนุพันธ์ไม่มากเกินไป หากคุณต้องการหาอนุพันธ์อันดับที่ร้อย คุณควรใช้การหารด้วย 4 หนึ่งร้อยหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ และง่ายที่จะเห็นว่าตัวเลขดังกล่าวอยู่ที่บรรทัดล่างสุด ดังนั้น: .
อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์อันดับที่ 18 สามารถหาได้จากการพิจารณาที่คล้ายคลึงกัน:
บรรทัดที่สองประกอบด้วยตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัวและเหลือเศษ 2
วิธีการทางวิชาการอื่น ๆ จะขึ้นอยู่กับ ไซน์และ สูตรลด. เราใช้อนุพันธ์สูตรสำเร็จรูป "nth" ของไซน์ ซึ่งตัวเลขที่ต้องการจะถูกแทนที่อย่างง่ายๆ ตัวอย่างเช่น:
(สูตรลด )
;
(สูตรลด )
ในกรณีของเรา:
(1) เนื่องจากไซน์เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด ดังนั้นอาร์กิวเมนต์จึงสามารถ "คลายเกลียว" ได้ 4 งวด (เช่น) อย่างไม่ลำบาก
อนุพันธ์อันดับของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันสามารถหาได้จากสูตร:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:
คุณไม่จำเป็นต้องจำอะไรเป็นพิเศษ เพราะยิ่งคุณรู้สูตรมากเท่าไหร่ คุณก็ยิ่งเข้าใจน้อยลงเท่านั้น ดีกว่ามากที่จะรู้ ทวินามของนิวตันเนื่องจากสูตรของไลบนิซคล้ายกับเขามาก ผู้โชคดีที่ได้รับอนุพันธ์ของคำสั่งที่ 7 ขึ้นไป (ซึ่งไม่น่าเป็นไปได้จริงๆ)จะถูกบังคับให้ทำเช่นนั้น แต่เมื่อถึงเวลา วิชาผสมผสาน- คุณยังต้อง =)
มาหาอนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชันกัน เราใช้สูตร Leibniz:
ในกรณีนี้: . อนุพันธ์นั้นง่ายต่อการคลิกด้วยวาจา:
ตอนนี้เราทำการเปลี่ยนตัวอย่างระมัดระวังและระมัดระวังและทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้น:
ตอบ:
งานที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตัวอย่าง 11
ค้นหาคุณสมบัติ
หากในตัวอย่างก่อนหน้านี้ วิธีแก้ปัญหา "บนหน้าผาก" ยังคงแข่งขันกับสูตรของไลบนิซ ต่อไปนี้จะไม่เป็นที่พอใจแล้ว และไม่เป็นที่พอใจมากยิ่งขึ้น - ในกรณีของ more คำสั่งสูงอนุพันธ์:
ตัวอย่าง 12
ค้นหาอนุพันธ์ของคำสั่งที่ระบุ
สารละลาย: ข้อสังเกตแรกและสำคัญ - ตัดสินใจแบบนี้อาจจะไม่จำเป็น =) =)
ลองเขียนฟังก์ชันและหาอนุพันธ์ของพวกมันจนถึงลำดับที่ 5 กัน ฉันคิดว่าอนุพันธ์ของคอลัมน์ทางขวากลายเป็นคำพูดสำหรับคุณ:
ในคอลัมน์ด้านซ้าย อนุพันธ์ "สด" "สิ้นสุด" อย่างรวดเร็ว และนี่เป็นสิ่งที่ดีมาก - ในสูตรของไลบนิซ คำศัพท์สามคำจะเป็นศูนย์:
ฉันจะอยู่อีกครั้งในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกที่ปรากฏในบทความเกี่ยวกับ อนุพันธ์ที่ซับซ้อน: เพื่อลดความซับซ้อนของผลลัพธ์? โดยหลักการแล้ว คุณสามารถปล่อยไว้อย่างนั้น - ครูจะตรวจสอบได้ง่ายยิ่งขึ้น แต่เขาอาจต้องนึกถึงการตัดสินใจ การทำให้เข้าใจง่ายด้วยความคิดริเริ่มของตนเองนั้นเต็มไปด้วยข้อผิดพลาดเกี่ยวกับพีชคณิต อย่างไรก็ตาม เรามีคำตอบที่ได้รับในแบบ "ปฐมกาล" =) (ดูลิงค์ในตอนต้น)และฉันหวังว่ามันจะถูกต้อง:
เยี่ยมมาก ทุกอย่างได้ผล
ตอบ:
งานที่มีความสุขสำหรับการแก้ปัญหาตนเอง:
ตัวอย่างที่ 13
สำหรับฟังก์ชั่น:
ก) ค้นหาโดยการสร้างความแตกต่างโดยตรง
b) ค้นหาตามสูตรของไลบนิซ
ค) คำนวณ
ไม่ ฉันไม่ใช่คนซาดิสม์เลย จุด "a" ที่นี่ค่อนข้างง่าย =)
แต่อย่างจริงจัง การแก้ปัญหา "โดยตรง" โดยการสร้างความแตกต่างแบบต่อเนื่องก็มี "สิทธิ์ในการมีชีวิต" ด้วยเช่นกัน - ในบางกรณีความซับซ้อนนั้นเทียบได้กับความซับซ้อนของการใช้สูตรไลบนิซ ใช้ตามที่เห็นสมควร - ไม่น่าจะใช่เหตุที่จะไม่นับงาน
วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
ในการยกย่อหน้าสุดท้ายคุณต้องสามารถ แยกความแตกต่างของฟังก์ชันโดยปริยาย:
อนุพันธ์อันดับสูงกว่าของฟังก์ชันโดยปริยาย
พวกเราหลายคนใช้เวลาหลายชั่วโมง วันและสัปดาห์ในการศึกษาเล่าเรียน วงกลม, พาราโบลา, อติพจน์– และบางครั้งก็ดูเหมือนเป็นการลงโทษที่แท้จริง มาแก้แค้นและสร้างความแตกต่างให้ถูกต้องกันเถอะ!
เริ่มจากพาราโบลา "โรงเรียน" ใน ตำแหน่งตามบัญญัติ:
ตัวอย่าง 14
สมการจะได้รับ หา .
สารละลาย: ขั้นตอนแรกคุ้นเคย:
ความจริงที่ว่าฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันถูกแสดงออกมาโดยปริยายไม่ได้เปลี่ยนสาระสำคัญของเรื่อง อนุพันธ์อันดับสองคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 1:
อย่างไรก็ตาม มีกฎของเกม: อนุพันธ์ของคำสั่งที่ 2 และสูงกว่ามักจะแสดง ผ่าน "x" และ "y" เท่านั้น. ดังนั้นเราจึงแทนที่อนุพันธ์อันดับที่ 2:
อนุพันธ์อันดับสามคืออนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 2:
ในทำนองเดียวกัน เรามาแทนที่:
ตอบ:
อติพจน์ "โรงเรียน" ใน ตำแหน่งตามบัญญัติ- สำหรับ งานอิสระ:
ตัวอย่าง 15
สมการจะได้รับ หา .
ฉันขอย้ำว่าอนุพันธ์อันดับที่ 2 และผลลัพธ์ควรแสดงผ่าน "x" / "y" เท่านั้น!
วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน
หลังจากแกล้งเด็กแล้ว มาดูภาพลามกอนาจารของเยอรมัน @ fia มาดูตัวอย่างสำหรับผู้ใหญ่กันดีกว่า ซึ่งเราได้เรียนรู้วิธีแก้ไขปัญหาที่สำคัญอีกวิธีหนึ่ง:
ตัวอย่างที่ 16
วงรีตัวเขาเอง.
สารละลาย: หาอนุพันธ์อันดับ 1 :
และตอนนี้ หยุดและวิเคราะห์ช่วงเวลาต่อไป ตอนนี้ เราต้องแยกความแตกต่างของเศษส่วน ซึ่งไม่สนับสนุนเลย ในกรณีนี้ แน่นอน มันเป็นเรื่องง่าย แต่ในปัญหาในชีวิตจริง มีเพียงของขวัญสองสามอย่างเท่านั้น มีวิธีหลีกเลี่ยงการหาอนุพันธ์ที่ยุ่งยากหรือไม่? มีอยู่! เราใช้สมการและใช้เทคนิคเดียวกับการหาอนุพันธ์อันดับ 1 - เรา "แฮงค์" ทั้งสองส่วน:
อนุพันธ์อันดับสองต้องแสดงผ่าน และ ดังนั้นตอนนี้ (ตอนนี้)สะดวกในการกำจัดอนุพันธ์อันดับ 1 เพื่อทำสิ่งนี้ เราแทนที่ด้วยสมการผลลัพธ์:
เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาทางเทคนิคที่ไม่จำเป็น เราคูณทั้งสองส่วนโดย:
และเฉพาะในขั้นตอนสุดท้ายที่เราวาดเศษส่วน:
ตอนนี้เราดูที่สมการดั้งเดิมและสังเกตว่าผลลัพธ์ที่ได้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้:
ตอบ:
วิธีหาค่าของอนุพันธ์อันดับ 2 ในบางจุด (ซึ่งแน่นอนว่าเป็นของวงรี)ตัวอย่างเช่น ณ จุดนั้น ? ง่ายมาก! แม่ลายนี้ได้รับการพบแล้วในบทเรียนเกี่ยวกับ สมการปกติ: ในนิพจน์ของอนุพันธ์อันดับ 2 คุณต้องแทนที่ :
แน่นอน ในทั้งสามกรณี คุณสามารถรับฟังก์ชันที่กำหนดอย่างชัดเจนและแยกความแตกต่างได้ แต่จากนั้นเตรียมจิตใจให้พร้อมสำหรับการทำงานสองฟังก์ชันที่มีรูท ในความคิดของฉัน วิธีแก้ปัญหาสะดวกกว่าในการดำเนินการ "โดยปริยาย"
ตัวอย่างสุดท้ายสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:
ตัวอย่าง 17
ค้นหาฟังก์ชันโดยปริยาย