สมการเชิงเส้นที่มี 3 ไม่ทราบ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสามค่าโดยใช้วิธีแครมเมอร์ วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

ระบบสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในภาคเศรษฐกิจสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในการแก้ไขปัญหาการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางลอจิสติกส์ (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาด้วย เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับดังกล่าว

สมการเชิงเส้น

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเชิงเส้น การกำหนด x, y คือสิ่งที่ไม่ทราบค่าซึ่งจะต้องพบ, b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดถือเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - นี่หมายถึงการค้นหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือการสร้างค่าที่เหมาะสมของ x และ y ไม่มีอยู่

คู่ของค่า (x, y) ซึ่งเขียนเป็นพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงวิธีเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันคือระบบที่ด้านขวามือเท่ากับศูนย์ หากส่วนขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับมีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เหมือนกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีได้มากกว่า 2 ตัวมาก เราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบต่างๆ เด็กนักเรียนจะถือว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร สามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับคำตอบเชิงตัวเลข หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การทดแทน รวมถึงวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ วิธีแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน

ภารกิจหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีเฉพาะ

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นั้นค่อนข้างง่ายและอธิบายได้ละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์เล่มใดก็ตาม ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์และแครมเมอร์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในปีแรกของการศึกษาระดับอุดมศึกษา

การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรเดียว การดำเนินการซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ให้เราแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยใช้วิธีการทดแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y ผลลัพธ์ที่ได้ซึ่งถูกแทนที่ในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ตัวอย่างนี้เป็นเรื่องง่ายและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

ไม่สามารถแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการทดแทนได้เสมอไป สมการอาจซับซ้อนและการแสดงตัวแปรในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองนั้นยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีสิ่งแปลกปลอมในระบบมากกว่า 3 รายการ การแก้ไขด้วยการทดแทนก็ไม่เหมาะสมเช่นกัน

เฉลยตัวอย่างระบบสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีการบวก สมการจะถูกบวกทีละเทอมและคูณด้วยตัวเลขต่างๆ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการในตัวแปรตัวเดียว

การใช้วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีบวกเมื่อมีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตใช้สะดวกเมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและทศนิยม

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด จากผลการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งของตัวแปรควรเท่ากับ 1
2. เพิ่มผลลัพธ์ของนิพจน์ทีละเทอมและค้นหาหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

สามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้หากระบบต้องการหาคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ และจำนวนที่ไม่ทราบก็ไม่ควรเกินสองด้วย

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่แนะนำ และใช้ค่าผลลัพธ์เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่ t คุณสามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นตรีโกณมิติกำลังสองมาตรฐานได้ คุณสามารถแก้โจทย์พหุนามได้โดยการหาค่าจำแนก

จำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวประกอบของพหุนาม ในตัวอย่างที่ให้มา a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 หากตัวแยกแยะมีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ 2 วิธี: t = -b±√D / 2*a หากตัวแยกแยะน้อยกว่า 0 ก็มีวิธีแก้ 1 วิธี: x = -b / 2*a

วิธีแก้ไขสำหรับระบบผลลัพธ์จะพบได้โดยวิธีการบวก

วิธีการแก้ระบบด้วยภาพ

เหมาะสำหรับ 3 ระบบสมการ วิธีการประกอบด้วยการสร้างกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดกันของเส้นโค้งจะเป็นคำตอบทั่วไปของระบบ

วิธีการแบบกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยภาพ

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างสำหรับแต่ละบรรทัดมีการสร้างจุดสองจุดค่าของตัวแปร x จะถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ขึ้นอยู่กับค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดกันของเส้นตรงคือคำตอบของระบบ

ตัวอย่างต่อไปนี้จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟมีความขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาวกราฟ

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 คล้ายกัน แต่เมื่อสร้างเสร็จแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอ

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นอย่างกระชับ เมทริกซ์เป็นตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน matrix-vector คือเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่สิ้นสุด เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบอยู่ในเส้นทแยงมุมหนึ่งและองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่นๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมที่เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์หน่วย เมทริกซ์ดังกล่าวมีอยู่สำหรับเมทริกซ์จตุรัสดั้งเดิมเท่านั้น

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

สัมพันธ์กับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะเขียนเป็นตัวเลขเมทริกซ์ โดยสมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์จะบอกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใดๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์เมทริกซ์ต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผันและ |K| คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ |เค| ต้องไม่เท่ากับศูนย์แล้วระบบก็มีทางแก้

ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คุณเพียงแค่ต้องคูณองค์ประกอบเส้นทแยงมุมด้วยกัน สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้จำนวนคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำในการทำงาน

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาช่วยให้คุณลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบที่มีตัวแปรและสมการจำนวนมาก

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์เซียนได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการค้นหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีเกาส์นั้นคล้ายกับวิธีแก้โจทย์โดยการแทนที่และการบวกพีชคณิตมาก แต่จะเป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน วิธีแก้แบบเกาส์เซียนจะใช้กับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีนี้คือเพื่อลดระบบให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดยการแปลงพีชคณิตและการแทนที่ ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการของระบบใดสมการหนึ่ง สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก ในขณะที่ 3 และ 4 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ไขเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการทดแทนตัวแปรที่ทราบตามลำดับลงในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์มีดังต่อไปนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ: 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x n ได้

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในเนื้อหา ระบุว่าหากสมการใดสมการหนึ่งของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน ระบบผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เซียนเป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนมัธยมต้นที่จะเข้าใจ แต่เป็นวิธีที่น่าสนใจที่สุดวิธีหนึ่งในการพัฒนาความฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนในโปรแกรมการเรียนรู้ขั้นสูงในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึก มักจะคำนวณดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันระบุจำนวนสมการในระบบ

ขั้นแรก เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งได้ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบหน่วย เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิในการแสดงรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย

การใช้วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีจะมีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางอย่างนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นนั้นมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษา

สมการเชิงเส้นในสองตัวแปร

เด็กนักเรียนมีเงิน 200 รูเบิลเพื่อทานอาหารกลางวันที่โรงเรียน เค้กราคา 25 รูเบิลและกาแฟหนึ่งแก้วราคา 10 รูเบิล คุณสามารถซื้อเค้กและกาแฟได้กี่แก้วในราคา 200 รูเบิล

ให้เราแสดงจำนวนเค้กด้วย xและจำนวนถ้วยกาแฟที่ผ่าน ย. จากนั้นราคาของเค้กจะแสดงด้วยนิพจน์ 25 xและราคากาแฟหนึ่งแก้วใน 10 ย .

25เอ็กซ์—ราคา xเค้ก
10คุณ —ราคา ยถ้วยกาแฟ

จำนวนรวมควรเป็น 200 รูเบิล จากนั้นเราจะได้สมการที่มีตัวแปรสองตัว xและ ย

25x+ 10ย= 200

สมการนี้มีกี่ราก?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับความอยากอาหารของนักเรียน หากเขาซื้อเค้ก 6 ชิ้นและกาแฟ 5 แก้ว รากของสมการจะเป็นตัวเลข 6 และ 5

คู่ของค่า 6 และ 5 กล่าวกันว่าเป็นรากของสมการที่ 25 x+ 10ย= 200 . เขียนเป็น (6; 5) โดยตัวเลขแรกเป็นค่าของตัวแปร xและอย่างที่สอง - ค่าของตัวแปร ย .

6 และ 5 ไม่ใช่รากเดียวที่กลับสมการ 25 x+ 10ย= 200 สู่ตัวตน หากต้องการในราคา 200 รูเบิลเท่ากัน นักเรียนสามารถซื้อเค้ก 4 ชิ้นและกาแฟ 10 ถ้วย:

ในกรณีนี้คือรากของสมการ 25 x+ 10ย= 200 คือคู่ของค่า (4; 10)

ยิ่งกว่านั้นเด็กนักเรียนไม่สามารถซื้อกาแฟได้เลย แต่ซื้อเค้กในราคาทั้งหมด 200 รูเบิล แล้วก็รากของสมการ 25 x+ 10ย= 200 จะเป็นค่า 8 และ 0

หรือในทางกลับกัน อย่าซื้อเค้ก แต่ซื้อกาแฟในราคาทั้งหมด 200 รูเบิล แล้วก็รากของสมการ 25 x+ 10ย= 200 ค่าจะเป็น 0 และ 20

ลองเขียนรากที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมการ 25 x+ 10ย= 200 . ให้เราตกลงกันว่าค่านิยม xและ ยอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม และปล่อยให้ค่าเหล่านี้มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์:

x∈ซี, ย∈ ซี;
x ≥ 0, y ≥ 0

ซึ่งจะสะดวกสำหรับตัวนักเรียนเอง การซื้อเค้กทั้งชิ้นจะสะดวกกว่าการซื้อเค้กทั้งเค้กหลายชิ้นและเค้กครึ่งชิ้น นอกจากนี้ยังสะดวกกว่าที่จะดื่มกาแฟทั้งแก้วมากกว่าเช่นหลายถ้วยเต็มและครึ่งถ้วย

โปรดทราบว่าสำหรับคี่ xเป็นไปไม่ได้ที่จะบรรลุความเท่าเทียมกันไม่ว่าในกรณีใด ๆ ย. แล้วค่าต่างๆ xตัวเลขต่อไปนี้จะเป็น 0, 2, 4, 6, 8 และรู้ xสามารถกำหนดได้ง่าย ย

ดังนั้นเราจึงได้รับค่าคู่ต่อไปนี้ (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). คู่เหล่านี้เป็นคำตอบหรือรากของสมการที่ 25 x+ 10ย= 200 พวกเขาเปลี่ยนสมการนี้ให้มีเอกลักษณ์

สมการของแบบฟอร์ม ขวาน + โดย = คเรียกว่า สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว. ผลเฉลยหรือรากของสมการนี้เป็นคู่ของค่า ( เอ็กซ์; ย) ซึ่งเปลี่ยนให้กลายเป็นตัวตน

โปรดทราบว่าหากมีการเขียนสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวอยู่ในรูปแบบ ขวาน + ข y = ค ,แล้วพวกเขาก็บอกว่ามันเขียนอยู่ในนั้น ตามบัญญัติ(ปกติ) แบบฟอร์ม

สมการเชิงเส้นบางสมการในตัวแปรสองตัวสามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้

ตัวอย่างเช่นสมการ 2(16x+ 3ย - 4) = 2(12 + 8x − ย) สามารถนำมาคิดได้ ขวาน + โดย = ค. ลองเปิดวงเล็บทั้งสองข้างของสมการแล้วได้ 32x + 6ย − 8 = 24 + 16x − 2ย . เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่มีสิ่งที่ไม่ทราบทางด้านซ้ายของสมการ และคำศัพท์ที่ไม่มีสิ่งที่ไม่รู้จักทางด้านขวา แล้วเราก็ได้ 32x− 16x+ 6ย+ 2ย = 24 + 8 . เราแสดงพจน์ที่คล้ายกันทั้งสองข้าง เราได้สมการ 16 x+ 8ย= 32 สมการนี้ลดเหลืออยู่ในรูปแบบ ขวาน + โดย = คและเป็นที่ยอมรับ

สมการที่ 25 กล่าวถึงก่อนหน้านี้ x+ 10ย= 200 ยังเป็นสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวในรูปแบบมาตรฐาน ในสมการนี้พารามิเตอร์ ก , ขและ คจะเท่ากับค่า 25, 10 และ 200 ตามลำดับ

จริงๆแล้วสมการ ขวาน + โดย = คมีวิธีแก้ปัญหามากมาย การแก้สมการ 25x+ 10ย= 200, เรามองหารากของมันจากเซตของจำนวนเต็มเท่านั้น เป็นผลให้เราได้รับค่าหลายคู่ที่ทำให้สมการนี้กลายเป็นเอกลักษณ์ แต่บนเซตของจำนวนตรรกยะ สมการ 25 x+ 10ย= 200 จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

หากต้องการรับค่าคู่ใหม่ คุณจะต้องใช้ค่าที่กำหนดเอง xแล้วแสดงออก ย. ตัวอย่างเช่น ลองหาตัวแปรดู xค่า 7 จากนั้นเราจะได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว 25×7 + 10ย= 200 ซึ่งใครๆ ก็สามารถแสดงออกได้ ย

อนุญาต x= 15. แล้วสมการ 25x+ 10ย= 200 กลายเป็น 25 × 15 + 10ย= 200. จากที่นี่เราพบว่า ย = −17,5

อนุญาต x= −3 . แล้วสมการ 25x+ 10ย= 200 กลายเป็น 25 × (−3) + 10ย= 200. จากที่นี่เราพบว่า ย = −27,5

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวที่มีตัวแปรสองตัว

สำหรับสมการ ขวาน + โดย = คคุณสามารถรับค่าที่กำหนดเองได้บ่อยเท่าที่คุณต้องการ xและหาค่าสำหรับ ย. เมื่อแยกกัน สมการดังกล่าวจะมีคำตอบนับไม่ถ้วน

แต่มันก็เกิดขึ้นเช่นกันว่าตัวแปรต่างๆ xและ ยไม่ได้เชื่อมโยงกันด้วยสมการเดียว แต่ด้วยสมการสองสมการ ในกรณีนี้พวกเขาก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร. ระบบสมการดังกล่าวสามารถมีค่าได้หนึ่งคู่ (หรืออีกนัยหนึ่ง: "หนึ่งคำตอบ")

อาจเกิดขึ้นได้ว่าระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย ระบบสมการเชิงเส้นสามารถมีคำตอบได้นับไม่ถ้วนในกรณีที่พบไม่บ่อยและเป็นกรณีพิเศษ

สมการเชิงเส้นสองแบบจะสร้างระบบเมื่อค่าต่างๆ xและ ยเข้าไปในแต่ละสมการเหล่านี้

ลองกลับไปที่สมการแรกสุด 25 x+ 10ย= 200 . หนึ่งในคู่ของค่าสำหรับสมการนี้คือคู่ (6; 5) . นี่เป็นกรณีที่คุณสามารถซื้อเค้ก 6 ชิ้นและกาแฟ 5 ถ้วยได้ในราคา 200 รูเบิล

ลองกำหนดปัญหาเพื่อให้คู่ (6; 5) กลายเป็นคำตอบเดียวสำหรับสมการ 25 x+ 10ย= 200 . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างสมการอื่นที่จะเชื่อมโยงกัน xเค้กและ ยถ้วยกาแฟ

ให้เราระบุข้อความของปัญหาดังต่อไปนี้:

“ นักเรียนซื้อเค้กหลายชิ้นและกาแฟหลายถ้วยในราคา 200 รูเบิล เค้กราคา 25 รูเบิลและกาแฟหนึ่งแก้วราคา 10 รูเบิล นักเรียนซื้อเค้กและถ้วยกาแฟไปกี่ชิ้น ถ้ารู้ว่าจำนวนเค้กมากกว่าจำนวนถ้วยกาแฟหนึ่งหน่วย

เรามีสมการแรกแล้ว นี่คือสมการที่ 25 x+ 10ย= 200 . ทีนี้มาสร้างสมการสำหรับเงื่อนไขกัน “จำนวนเค้กมากกว่าจำนวนถ้วยกาแฟหนึ่งหน่วย” .

จำนวนเค้กคือ xและจำนวนถ้วยกาแฟคือ ย. คุณสามารถเขียนวลีนี้โดยใช้สมการ x−y= 1 สมการนี้จะหมายความว่าความแตกต่างระหว่างเค้กกับกาแฟคือ 1

x = ย+ 1 . สมการนี้หมายความว่าจำนวนเค้กมากกว่าจำนวนกาแฟหนึ่งถ้วย ดังนั้นเพื่อให้ได้ความเท่าเทียมกัน จึงเติมหนึ่งแก้วลงในจำนวนกาแฟ สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้ง่ายหากเราใช้แบบจำลองของเครื่องชั่งที่เราพิจารณาเมื่อศึกษาปัญหาที่ง่ายที่สุด:

เราได้สองสมการ: 25 x+ 10ย= 200 และ x = ย+ 1. เนื่องจากค่าต่างๆ xและ ยซึ่งแต่ละสมการจะรวม 6 และ 5 ไว้ด้วยกัน จากนั้นจึงรวมกันเป็นระบบ มาเขียนระบบนี้กัน หากสมการก่อตัวเป็นระบบ สมการเหล่านั้นจะถูกล้อมกรอบด้วยเครื่องหมายระบบ สัญลักษณ์ของระบบเป็นเครื่องหมายปีกกา:

มาแก้ระบบนี้กัน สิ่งนี้จะช่วยให้เราเห็นว่าเรามาถึงค่า 6 และ 5 ได้อย่างไร มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว ลองดูที่ได้รับความนิยมมากที่สุด

วิธีการทดแทน

ชื่อของวิธีนี้พูดเพื่อตัวมันเอง สาระสำคัญของมันคือการแทนที่สมการหนึ่งไปเป็นอีกสมการหนึ่งโดยก่อนหน้านี้ได้แสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งแล้ว

ในระบบของเรา ไม่จำเป็นต้องแสดงสิ่งใด ในสมการที่สอง x = ย+1 ตัวแปร xแสดงออกมาแล้ว ตัวแปรนี้เท่ากับนิพจน์ ย+ 1 . จากนั้นคุณสามารถแทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการแรกแทนตัวแปรได้ x

หลังจากแทนนิพจน์แล้ว ย+1 เข้าไปในสมการแรกแทน xเราจะได้สมการ 25(ย+ 1) + 10ย= 200 . นี่คือสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว สมการนี้แก้ได้ง่ายมาก:

เราพบค่าของตัวแปรแล้ว ย. ทีนี้ลองแทนค่านี้เป็นสมการหนึ่งแล้วค้นหาค่า x. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะสะดวกในการใช้สมการที่สอง x = ย+ 1 . ลองแทนค่าลงไป ย

ซึ่งหมายความว่าคู่ (6; 5) เป็นวิธีแก้ระบบสมการตามที่เราตั้งใจไว้ เราตรวจสอบและตรวจสอบให้แน่ใจว่าคู่ (6; 5) เป็นไปตามระบบ:

ตัวอย่างที่ 2

ลองแทนสมการแรกกัน x= 2 + ยเข้าไปในสมการที่สอง 3 x− 2ย= 9. ในสมการแรกเป็นตัวแปร xเท่ากับนิพจน์ 2 + ย. ลองแทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการที่สองแทน x

ทีนี้ลองหาค่ากัน x. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองแทนค่า ยลงในสมการแรก x= 2 + ย

ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบคือค่าคู่ (5; 3)

ตัวอย่างที่ 3. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการทดแทน:

ที่นี่แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งไม่ได้แสดงอย่างชัดเจน

หากต้องการแทนที่สมการหนึ่งไปเป็นอีกสมการหนึ่ง คุณต้องมี .

ขอแนะนำให้แสดงตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นหนึ่ง ตัวแปรมีค่าสัมประสิทธิ์เป็นหนึ่ง xซึ่งมีอยู่ในสมการแรก x+ 2ย= 11. ลองแสดงตัวแปรนี้ดู

หลังจากนิพจน์ตัวแปร xระบบของเราจะอยู่ในรูปแบบดังต่อไปนี้:

ทีนี้ลองแทนที่สมการแรกเป็นสมการที่สองแล้วค้นหาค่า ย

มาทดแทนกันเถอะ ย x

ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบคือค่าคู่ (3; 4)

แน่นอน คุณยังสามารถแสดงตัวแปรได้ด้วย ย. สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนราก แต่ถ้าคุณแสดงออกมา ใช่ผลลัพธ์ไม่ใช่สมการที่ง่ายมาก ซึ่งจะใช้เวลาในการแก้นานกว่า มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

เราเห็นว่าในตัวอย่างนี้เราแสดงออก xสะดวกกว่าการแสดงออกมาก ย .

ตัวอย่างที่ 4. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการทดแทน:

ให้เราแสดงในสมการแรก x. จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ย

มาทดแทนกันเถอะ ยเข้าไปในสมการแรกแล้วหา x. คุณสามารถใช้สมการเดิม 7 ได้ x+ 9ย= 8 หรือใช้สมการที่แสดงตัวแปร x. เราจะใช้สมการนี้เพราะสะดวก:

ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบคือคู่ของค่า (5; −3)

วิธีการบวก

วิธีการบวกประกอบด้วยการบวกสมการที่รวมอยู่ในเทอมของระบบทีละเทอม การบวกนี้ทำให้เกิดสมการใหม่โดยมีตัวแปรตัวเดียว และการแก้สมการนั้นค่อนข้างง่าย

ลองแก้ระบบสมการต่อไปนี้:

ลองบวกด้านซ้ายของสมการแรกกับด้านซ้ายของสมการที่สองกัน และด้านขวาของสมการแรกกับด้านขวาของสมการที่สอง เราได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ลองดูคำที่คล้ายกัน:

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการ 3 ที่ง่ายที่สุด x= 27 ซึ่งมีรากเป็น 9 รู้ค่า xคุณสามารถหาค่าได้ ย. ลองแทนค่าดู xลงในสมการที่สอง x−y= 3 . เราได้ 9 − ย= 3 . จากที่นี่ ย= 6 .

ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบเป็นคู่ของค่า (9; 6)

ตัวอย่างที่ 2

ลองบวกด้านซ้ายของสมการแรกกับด้านซ้ายของสมการที่สองกัน และด้านขวาของสมการแรกกับด้านขวาของสมการที่สอง ในผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกัน เรานำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

ผลลัพธ์ที่ได้คือสมการที่ง่ายที่สุด 5 x= 20 ซึ่งมีรากเป็น 4 รู้ค่า xคุณสามารถหาค่าได้ ย. ลองแทนค่าดู xเข้าไปในสมการแรก 2 x+y= 11. มา8+กันเถอะ ย= 11. จากที่นี่ ย= 3 .

ซึ่งหมายความว่าคำตอบของระบบเป็นคู่ของค่า (4;3)

กระบวนการเพิ่มเติมไม่ได้อธิบายโดยละเอียด ก็ต้องกระทำด้วยจิตใจ เมื่อบวก สมการทั้งสองจะต้องลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน กล่าวคือ เอซี + โดย = ค .

จากตัวอย่างที่พิจารณา เห็นได้ชัดว่าจุดประสงค์หลักของการเพิ่มสมการคือการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งออกไป แต่การแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีบวกในทันทีนั้นเป็นไปไม่ได้เสมอไป ส่วนใหญ่แล้ว ระบบจะถูกนำมาสู่รูปแบบที่สามารถเพิ่มสมการที่รวมอยู่ในระบบนี้ได้

ตัวอย่างเช่นระบบ สามารถแก้ไขได้ทันทีด้วยการบวก เมื่อบวกทั้งสองสมการแล้วจะได้พจน์ ยและ −yจะหายไปเพราะผลรวมเป็นศูนย์ เป็นผลให้เกิดสมการที่ง่ายที่สุด 11 x= 22 ซึ่งมีรากเป็น 2 จากนั้นจึงจะสามารถกำหนดได้ ยเท่ากับ 5

และระบบสมการ วิธีการบวกไม่สามารถแก้ไขได้ทันที เนื่องจากจะไม่ทำให้ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งหายไป การบวกจะทำให้เกิดสมการที่ 8 x+ ย= 28 ซึ่งมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

ถ้าทั้งสองข้างของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันไม่เท่ากับศูนย์ คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่ให้มา กฎข้อนี้ยังใช้ได้กับระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวด้วย สมการใดสมการหนึ่ง (หรือทั้งสองสมการ) สามารถคูณด้วยจำนวนเท่าใดก็ได้ ผลลัพธ์จะเป็นระบบที่เทียบเท่ากันซึ่งรากจะตรงกับระบบก่อนหน้า

กลับไปที่ระบบแรกซึ่งอธิบายจำนวนเค้กและกาแฟที่เด็กนักเรียนซื้อ วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้คือค่าคู่หนึ่ง (6; 5)

ลองคูณสมการทั้งสองที่อยู่ในระบบนี้ด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งกัน สมมติว่าเราคูณสมการแรกด้วย 2 และสมการที่สองด้วย 3

เป็นผลให้เราได้รับระบบ
คำตอบของระบบนี้ยังคงเป็นคู่ของค่า (6; 5)

ซึ่งหมายความว่าสมการที่รวมอยู่ในระบบสามารถลดลงเป็นรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการประยุกต์ใช้วิธีการบวกได้

กลับมาที่ระบบกันดีกว่า ซึ่งเราไม่สามารถแก้ได้โดยใช้วิธีการบวก

คูณสมการแรกด้วย 6 และสมการที่สองด้วย −2

จากนั้นเราจะได้ระบบดังต่อไปนี้:

ลองบวกสมการที่อยู่ในระบบนี้กัน การเพิ่มส่วนประกอบ 12 xและ −12 xจะส่งผลให้เป็น 0 บวก 18 ยและ 4 ยจะให้ 22 ยและการบวก 108 และ −20 จะได้ 88 จากนั้นเราจะได้สมการ 22 ย= 88 จากตรงนี้ ย = 4 .

ถ้าในตอนแรกมันยากที่จะเพิ่มสมการในหัวของคุณ คุณสามารถเขียนได้ว่าด้านซ้ายของสมการแรกบวกกับด้านซ้ายของสมการที่สอง และด้านขวาของสมการแรกบวกกับด้านขวาของสมการนั้นได้อย่างไร สมการที่สอง:

การรู้ว่าค่าของตัวแปรนั้น ยเท่ากับ 4 คุณสามารถหาค่าได้ x. มาทดแทนกันเถอะ ยลงในสมการใดสมการหนึ่ง เช่น สมการแรก 2 x+ 3ย= 18. จากนั้นเราจะได้สมการที่มีตัวแปร 2 ตัวหนึ่ง x+ 12 = 18. ลองเลื่อน 12 ไปทางขวา เปลี่ยนเครื่องหมาย เราได้ 2 x= 6 จากตรงนี้ x = 3 .

ตัวอย่างที่ 4. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

ลองคูณสมการที่สองด้วย −1 จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

ลองบวกทั้งสองสมการกัน การเพิ่มส่วนประกอบ xและ −xจะส่งผลให้เป็น 0 บวก 5 ยและ 3 ยจะให้ 8 ยและการบวก 7 และ 1 ได้ 8 ผลลัพธ์คือสมการ 8 ย= 8 ซึ่งมีรากเป็น 1 การรู้ว่ามีค่า ยเท่ากับ 1 คุณสามารถหาค่าได้ x .

มาทดแทนกันเถอะ ยในสมการแรก เราได้ x+ 5 = 7 ดังนั้น x= 2

ตัวอย่างที่ 5. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

เป็นที่พึงปรารถนาที่คำที่มีตัวแปรเดียวกันจะอยู่ต่ำกว่าอีกคำหนึ่ง ดังนั้นในสมการที่สองคือเทอม 5 ยและ −2 xมาสลับสถานที่กันเถอะ เป็นผลให้ระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ลองคูณสมการที่สองด้วย 3 จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้ลองบวกทั้งสองสมการกัน ผลจากการบวกทำให้เราได้สมการที่ 8 ย= 16 ซึ่งมีรากคือ 2

มาทดแทนกันเถอะ ยในสมการแรก เราได้ 6 x− 14 = 40 ลองย้ายเทอม −14 ไปทางด้านขวา เปลี่ยนเครื่องหมาย แล้วได้ 6 x= 54 . จากที่นี่ x= 9.

ตัวอย่างที่ 6. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

กำจัดเศษส่วนกันเถอะ. คูณสมการแรกด้วย 36 และสมการที่สองด้วย 12

ในระบบผลลัพธ์ สมการแรกสามารถคูณด้วย −5 และสมการที่สองด้วย 8

ลองบวกสมการในระบบผลลัพธ์กัน จากนั้นเราจะได้สมการที่ง่ายที่สุด −13 ย= −156 . จากที่นี่ ย= 12. มาทดแทนกันเถอะ ยเข้าไปในสมการแรกแล้วหา x

ตัวอย่างที่ 7. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

ขอให้เรานำสมการทั้งสองมาสู่รูปแบบปกติ ในที่นี้จะสะดวกในการใช้กฎสัดส่วนในสมการทั้งสอง หากในสมการแรก ด้านขวาแสดงเป็น และด้านขวาของสมการที่สองเป็น ระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

เรามีสัดส่วน ลองคูณพจน์สุดขั้วและพจน์กลางของมันดู. จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ลองคูณสมการแรกด้วย −3 แล้วเปิดวงเล็บในส่วนที่สอง:

ทีนี้ลองบวกทั้งสองสมการกัน จากการเพิ่มสมการเหล่านี้ เราจะได้ค่าเท่ากันโดยมีศูนย์ทั้งสองด้าน:

ปรากฎว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน

แต่เราไม่สามารถเอาค่านิยมจากฟากฟ้ามาใช้ได้ xและ ย. เราสามารถระบุค่าใดค่าหนึ่งได้ และอีกค่าหนึ่งจะถูกกำหนดขึ้นอยู่กับค่าที่เราระบุ ตัวอย่างเช่น ให้ x= 2 . ลองแทนค่านี้ลงในระบบ:

อันเป็นผลมาจากการแก้สมการใดสมการหนึ่งจึงได้ค่า ยซึ่งจะเป็นไปตามสมการทั้งสอง:

คู่ค่าผลลัพธ์ (2; −2) จะเป็นไปตามระบบ:

ลองหาค่าอีกคู่หนึ่ง อนุญาต x= 4 ลองแทนค่านี้ลงในระบบ:

คุณสามารถบอกได้ด้วยตาว่าคุณค่านั้น ยเท่ากับศูนย์ จากนั้นเราจะได้ค่าคู่หนึ่ง (4; 0) ที่ตรงกับระบบของเรา:

ตัวอย่างที่ 8. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการบวก:

คูณสมการแรกด้วย 6 และสมการที่สองด้วย 12

มาเขียนสิ่งที่เหลืออยู่ใหม่:

ลองคูณสมการแรกด้วย −1 จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้ลองบวกทั้งสองสมการกัน ผลจากการบวกจะเกิดสมการที่ 6 ข= 48 ซึ่งมีรากเป็น 8 แทน ขเข้าไปในสมการแรกแล้วหา ก

ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร 3 ตัว

สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร 3 ตัวประกอบด้วยตัวแปร 3 ตัวที่มีค่าสัมประสิทธิ์ และค่าตัดแกน ในรูปแบบ Canonical สามารถเขียนได้ดังนี้:

ขวาน + โดย + cz = d

สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ด้วยการให้ค่าที่แตกต่างกันสองตัวแปร จึงสามารถหาค่าที่สามได้ วิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้คือค่าสามเท่า ( เอ็กซ์; ใช่; z) ซึ่งเปลี่ยนสมการให้กลายเป็นอัตลักษณ์

ถ้าเป็นตัวแปร x, y, zเชื่อมต่อกันด้วยสมการสามสมการ จากนั้นจึงเกิดระบบสมการเชิงเส้นสามสมการที่มีตัวแปรสามตัวเกิดขึ้น ในการแก้ระบบดังกล่าว คุณสามารถใช้วิธีการเดียวกันกับสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว ได้แก่ วิธีการแทนที่และวิธีการบวก

ตัวอย่างที่ 1. แก้ระบบสมการต่อไปนี้โดยใช้วิธีการทดแทน:

ให้เราแสดงในสมการที่สาม x. จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

ทีนี้มาทำการแทนกัน. ตัวแปร xเท่ากับนิพจน์ 3 − 2ย − 2z . ลองแทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการที่หนึ่งและที่สอง:

ลองเปิดวงเล็บทั้งสองสมการและเสนอคำที่คล้ายกัน:

เรามาถึงระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวแล้ว ในกรณีนี้จะสะดวกในการใช้วิธีการบวก ส่งผลให้มีตัวแปร ยจะหายไปและเราสามารถหาค่าของตัวแปรได้ z

ทีนี้ลองหาค่ากัน ย. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะสะดวกในการใช้สมการ − ย+ z= 4. แทนค่าลงไป z

ทีนี้ลองหาค่ากัน x. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะสะดวกในการใช้สมการ x= 3 − 2ย − 2z . ลองแทนค่าลงไป ยและ z

ดังนั้นค่าสามเท่า (3; −2; 2) จึงเป็นคำตอบของระบบของเรา โดยการตรวจสอบเราตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าเหล่านี้เป็นไปตามระบบ:

ตัวอย่างที่ 2. แก้ระบบโดยใช้วิธีการบวก

ลองบวกสมการแรกกับสมการที่สอง คูณด้วย −2

หากสมการที่สองคูณด้วย −2 จะได้รูปแบบ −6x+ 6ย - 4z = −4 . ทีนี้มาเพิ่มเข้าไปในสมการแรก:

เราเห็นว่าผลลัพธ์ของการแปลงเบื้องต้นทำให้ค่าของตัวแปรถูกกำหนด x. มันเท่ากับหนึ่ง

กลับมาที่ระบบหลักกันดีกว่า ลองบวกสมการที่สองกับสมการที่สาม คูณด้วย −1 หากสมการที่สามคูณด้วย −1 จะได้รูปแบบ −4x + 5ย − 2z = −1 . ทีนี้มาเพิ่มเข้าไปในสมการที่สอง:

เราได้สมการแล้ว x− 2ย= −1 . ลองแทนค่าลงไป xซึ่งเราพบก่อนหน้านี้ จากนั้นเราก็สามารถกำหนดค่าได้ ย

ตอนนี้เรารู้ความหมายแล้ว xและ ย. ซึ่งจะทำให้คุณสามารถกำหนดค่าได้ z. ลองใช้หนึ่งในสมการที่รวมอยู่ในระบบ:

ดังนั้นค่าสามเท่า (1; 1; 1) จึงเป็นคำตอบของระบบของเรา โดยการตรวจสอบเราตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าเหล่านี้เป็นไปตามระบบ:

ปัญหาการเขียนระบบสมการเชิงเส้น

งานเขียนระบบสมการแก้ไขได้โดยการป้อนตัวแปรหลายตัว จากนั้น สมการจะถูกรวบรวมตามเงื่อนไขของปัญหา จากสมการที่คอมไพล์แล้ว พวกมันจะสร้างระบบและแก้มัน เมื่อแก้ไขระบบแล้วจำเป็นต้องตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหานั้นตรงตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่

ปัญหาที่ 1. รถโวลก้าขับออกจากเมืองไปยังฟาร์มรวม เธอกลับมาตามถนนอีกสายหนึ่งซึ่งสั้นกว่าถนนสายแรก 5 กม. รวมรถวิ่งไป-กลับ 35 กม. ถนนแต่ละสายยาวกี่กิโลเมตร?

สารละลาย

อนุญาต เอ็กซ์—ความยาวของถนนสายแรก ย- ความยาวของวินาที ถ้ารถเดินทางไปกลับ 35 กม. แล้วสมการแรกจะเขียนได้เป็น x+ ย= 35 สมการนี้อธิบายผลรวมของความยาวของถนนทั้งสองสาย

ว่ากันว่ารถกลับมาตามถนนที่สั้นกว่าถนนสายแรก 5 กม. จากนั้นสมการที่สองสามารถเขียนได้เป็น x− ย= 5 สมการนี้แสดงว่าความแตกต่างระหว่างความยาวของถนนคือ 5 กม.

หรือสมการที่สองเขียนได้เป็น x= ย+ 5. เราจะใช้สมการนี้

เพราะว่าตัวแปรต่างๆ xและ ยในสมการทั้งสองแสดงจำนวนเท่ากัน จากนั้นเราจึงสร้างระบบจากสมการทั้งสองได้:

มาแก้ระบบนี้โดยใช้วิธีที่ศึกษามาก่อนหน้านี้ ในกรณีนี้ จะสะดวกในการใช้วิธีการทดแทน เนื่องจากในสมการที่สองเป็นตัวแปร xแสดงออกมาแล้ว

แทนสมการที่สองลงในสมการแรกแล้วค้นหา ย

ลองแทนค่าที่พบ ยในสมการที่สอง x= ย+5 แล้วเราจะพบ x

ความยาวของถนนเส้นแรกถูกกำหนดโดยตัวแปร x. ตอนนี้เราได้พบความหมายของมันแล้ว ตัวแปร xเท่ากับ 20 ซึ่งหมายความว่าความยาวของถนนสายแรกคือ 20 กม.

และความยาวของถนนสายที่สองก็ระบุด้วย ย. ค่าของตัวแปรนี้คือ 15 ซึ่งหมายความว่าความยาวของถนนสายที่สองคือ 15 กม.

มาตรวจสอบกัน ขั้นแรก ตรวจสอบให้แน่ใจว่าระบบได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง:

ตอนนี้เรามาตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหา (20; 15) ตรงตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่

ว่ากันว่ารถวิ่งไปกลับรวม 35 กม. เราบวกความยาวของถนนทั้งสองสายและตรวจสอบให้แน่ใจว่าคำตอบ (20; 15) เป็นไปตามเงื่อนไขนี้: 20 กม. + 15 กม. = 35 กม

เงื่อนไขต่อไปนี้: รถกลับมาตามถนนอีกสายหนึ่งซึ่งสั้นกว่าถนนสายแรก 5 กม . เราพบว่าวิธีแก้ปัญหา (20; 15) เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เช่นกัน เนื่องจาก 15 กม. สั้นกว่า 20 กม. 5 กม.: 20 กม. - 15 กม. = 5 กม

เมื่อเขียนระบบ สิ่งสำคัญคือตัวแปรจะต้องแสดงตัวเลขเดียวกันในสมการทั้งหมดที่รวมอยู่ในระบบนี้

ดังนั้นระบบของเราจึงมีสมการสองสมการ สมการเหล่านี้กลับมีตัวแปร xและ ยซึ่งแทนตัวเลขที่เท่ากันในทั้งสองสมการ คือ ความยาวถนน 20 กม. และ 15 กม.

ปัญหาที่ 2. มีผู้บรรทุกไม้หมอนไม้โอ๊คและไม้สนขึ้นไปบนแท่น รวมทั้งหมด 300 ไม้ เป็นที่ทราบกันดีว่าไม้หมอนไม้โอ๊คทุกตัวมีน้ำหนักน้อยกว่าไม้หมอนสนทั้งหมด 1 ตัน พิจารณาว่ามีหมอนไม้โอ๊กและไม้สนแยกกันกี่ไม้ โดยไม้หมอนไม้โอ๊คแต่ละตัวหนัก 46 กก. และไม้หมอนสนแต่ละตัวหนัก 28 กก.

สารละลาย

อนุญาต xต้นโอ๊กและ ยไม้หมอนสนถูกบรรทุกขึ้นไปบนแท่น หากมีผู้นอนทั้งหมด 300 คน สมการแรกสามารถเขียนได้เป็น x+y = 300 .

ไม้หมอนไม้โอ๊คทั้งหมดหนัก 46 xกิโลกรัม และต้นสนหนัก 28 ยกิโลกรัม. เนื่องจากหมอนไม้โอ๊คมีน้ำหนักน้อยกว่าไม้หมอนสนถึง 1 ตัน สมการที่สองจึงสามารถเขียนได้เป็น 28ย - 46x= 1000 . สมการนี้แสดงให้เห็นว่ามวลที่แตกต่างกันระหว่างไม้หมอนไม้โอ๊คและไม้สนคือ 1,000 กิโลกรัม

ตันถูกแปลงเป็นกิโลกรัมเนื่องจากมวลของไม้โอ๊คและไม้หมอนสนมีหน่วยเป็นกิโลกรัม

เป็นผลให้เราได้สมการสองสมการที่สร้างระบบ

มาแก้ระบบนี้กัน ให้เราแสดงในสมการแรก x. จากนั้นระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

แทนสมการแรกไปเป็นสมการที่สองแล้วหา ย

มาทดแทนกันเถอะ ยลงในสมการ x= 300 − ยและค้นหาว่ามันคืออะไร x

ซึ่งหมายความว่ามีไม้โอ๊ค 100 ต้นและไม้หมอนสน 200 ต้นถูกขนขึ้นไปบนแท่น

ตรวจสอบว่าวิธีแก้ปัญหา (100; 200) ตรงตามเงื่อนไขของปัญหาหรือไม่ ขั้นแรก ตรวจสอบให้แน่ใจว่าระบบได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง:

ว่ากันว่ามีผู้นอนทั้งหมด 300 คน เราบวกจำนวนไม้หมอนไม้โอ๊คและไม้สน และตรวจสอบให้แน่ใจว่าสารละลาย (100; 200) เป็นไปตามเงื่อนไขนี้: 100 + 200 = 300.

เงื่อนไขต่อไปนี้: ไม้หมอนไม้โอ๊คทุกตัวมีน้ำหนักน้อยกว่าไม้หมอนสนทั้งหมด 1 ตัน . เราจะเห็นว่าวิธีแก้ปัญหา (100; 200) ก็เป็นไปตามเงื่อนไขนี้เช่นกัน เนื่องจากไม้หมอนไม้โอ๊ค 46 × 100 กก. เบากว่าไม้หมอนไม้สน 28 × 200 กก.: 5600 กก. - 4600 กก. = 1,000 กก.

ปัญหา 3. เราใช้โลหะผสมทองแดง - นิกเกิลสามชิ้นในอัตราส่วน 2: 1, 3: 1 และ 5: 1 โดยน้ำหนัก ชิ้นส่วนที่มีน้ำหนัก 12 กิโลกรัมถูกหลอมรวมกับอัตราส่วนทองแดงและนิกเกิล 4: 1 ค้นหามวลของชิ้นส่วนดั้งเดิมแต่ละชิ้น หากมวลของชิ้นแรกเป็นสองเท่าของมวลของชิ้นที่สอง

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัว

มีสามตัวแปร

เป้า:

พัฒนาความสามารถในการแปลงเมทริกซ์

พัฒนาทักษะการแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวใน 3 ตัวแปรโดยใช้วิธีแครเมอร์;

รวบรวมความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของปัจจัยกำหนดลำดับที่ 2 และ 3

การสนับสนุนด้านวัสดุและทางเทคนิค: แนวทางการปฏิบัติงาน

เวลานำ: 2 ชั่วโมงการศึกษา

ความคืบหน้าของบทเรียน:

ศึกษาข้อมูลทางทฤษฎีโดยย่อ

ทำงานให้เสร็จสิ้น

จัดทำข้อสรุปเกี่ยวกับงาน

เตรียมการป้องกันงานของคุณด้วยคำถามทดสอบ

ข้อมูลทางทฤษฎีโดยย่อ:

เมทริกซ์คือตารางสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยม, เต็มไปด้วยตัวเลข. ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าองค์ประกอบเมทริกซ์.

องค์ประกอบเมทริกซ์, ตั้งอยู่ในแนวนอน, สร้างแถวของเมทริกซ์. องค์ประกอบเมทริกซ์, จัดเรียงในแนวตั้ง, สร้างคอลัมน์เมทริกซ์.

เส้นจะมีหมายเลขจากซ้ายไปขวา, เริ่มจากตัวเลข1, คอลัมน์จะมีหมายเลขจากบนลงล่าง, เริ่มจากตัวเลข1.

เมทริกซ์ก , มีม เส้นและn คอลัมน์, เรียกว่าเมทริกซ์ขนาดม บนn และถูกกำหนดไว้ก ม.น . องค์ประกอบก ฉันเจ เมทริกซ์ก = { ก ฉัน } ยืนอยู่ที่สี่แยกฉัน - โอ้ เส้นและเจ- คอลัมน์ที่.

เส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัสคือเส้นทแยงมุมที่นำจากมุมซ้ายบนของเมทริกซ์ไปยังมุมขวาล่างเส้นทแยงมุมด้านข้างของเมทริกซ์จตุรัสคือเส้นทแยงมุมที่นำจากมุมซ้ายล่างของเมทริกซ์ไปยังมุมขวาบน

เมทริกซ์สองตัวจะถือว่าเท่ากันหากมีมิติเท่ากันและมีองค์ประกอบที่สัมพันธ์กันเท่ากัน

เมทริกซ์แต่ละตัวสามารถคูณด้วยจำนวนเท่าใดก็ได้ และถ้าเค – หมายเลขแล้วเค ∙ ก ={ เค ∙ ก ฉัน }.

เมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันก ม.น และบี ม.น สามารถพับได้ และก ม.น + บี ม.น = { ก ฉัน + ข ฉัน เจ }.

การดำเนินการบวกเมทริกซ์มีคุณสมบัติก + บี = บี + ก , ก +( บี + ค ) = ( ก + บี ) + ค .

ตัวอย่างที่ 1 หลังจากดำเนินการกับเมทริกซ์แล้ว ค้นหาเมทริกซ์ C= 2A - B โดยที่ .

สารละลาย.

ลองคำนวณเมทริกซ์ 2A ของมิติ 3x3:

ลองคำนวณเมทริกซ์ C = 2A - ในมิติ 3x3:

ค = 2 ก - บี .

ตัวกำหนดเมทริกซ์ลำดับที่สาม คือตัวเลขที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

.

ตัวเลขนี้แสดงถึงผลรวมพีชคณิตที่ประกอบด้วยคำศัพท์หกคำ แต่ละเทอมมีองค์ประกอบเดียวจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์ แต่ละเทอมประกอบด้วยผลคูณของปัจจัยสามประการ

รูปที่.1.1. รูปที่ 1.2

สัญญาณที่เงื่อนไขของดีเทอร์มิแนนต์รวมอยู่ในสูตรในการค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามสามารถกำหนดได้โดยใช้โครงร่างที่กำหนดซึ่งเรียกว่ากฎของสามเหลี่ยมหรือกฎของซาร์รัส สามเทอมแรกมีเครื่องหมายบวกกำหนดจากรูปที่ (1.1.) และสามเทอมถัดไปมีเครื่องหมายลบกำหนดจากรูปที่ (1.2)

ตัวอย่างที่ 2 คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามโดยใช้กฎของซาร์รัส:

สารละลาย:

ตัวอย่างที่ 3 คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามโดยใช้วิธีการขยายเหนือองค์ประกอบของแถวแรก:

สารละลาย:

เราใช้สูตร:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

พิจารณาคุณสมบัติหลักของดีเทอร์มิแนนต์:

ดีเทอร์มิแนนต์ที่มีแถวศูนย์ (คอลัมน์) มีค่าเท่ากับศูนย์

หากคุณคูณแถวใดๆ (คอลัมน์ใดๆ ) ของเมทริกซ์ด้วยตัวเลขใดๆ ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้

ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการย้ายเมทริกซ์

ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อมีการจัดเรียงสองแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ใหม่

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีสองแถว (คอลัมน์) เหมือนกันจะเท่ากับศูนย์

ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มแถวอื่นลงในแถวใดๆ คูณด้วยตัวเลขใดๆ ข้อความที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับคอลัมน์

คุณสมบัติของเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า:

,

ที่ไหน x 1 , เอ็กซ์ 2 , เอ็กซ์ 3 เป็นตัวแปรและ 11 , ก 12 ,…,ก 33 - ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลข ควรจำไว้ว่าเมื่อแก้ไขระบบหนึ่งในสามคำตอบที่เป็นไปได้นั้นเป็นไปได้:

1) ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ – (x 1 ; เอ็กซ์ 2 ; เอ็กซ์ 3 );

2) ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด (ไม่ได้กำหนด)

3) ระบบไม่มีวิธีแก้ไข (ไม่สอดคล้องกัน)

ลองแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่าวิธีการของแครมเมอร์ซึ่งช่วยให้คุณค้นหาทางออกเดียวของระบบ โดยขึ้นอยู่กับความสามารถในการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม:

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสามสมการโดยไม่ทราบค่าสามค่าโดยใช้สูตรของแครมเมอร์:

สารละลาย. ค้นหาปัจจัยกำหนดลำดับที่สามโดยใช้กฎของซาร์รัสหรือการขยายตามองค์ประกอบของแถวแรก:

เราค้นหาวิธีแก้ไขระบบโดยใช้สูตร:

คำตอบ: (- 152; 270; -254)

งานสำหรับการทำให้สำเร็จโดยอิสระ:

ฉัน. ค้นหาเมทริกซ์การแปลง

ครั้งที่สอง. ปัจจัยคำนวณสามคำสั่ง.

สาม. แก้ระบบโดยใช้วิธีของแครมเมอร์.

ตัวเลือกที่ 1.

1. ค = ก +3 บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 2

1. ค =2 ก - บี ,ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 3

1. ค = 3 ก + บี , ถ้า, . 2. .

ตัวเลือกที่ 4

1. ค = ก - 4 บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 5

1. ค = 4 ก - บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 6

1. ค = ก +2 บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือก 7

1. ค =2 ก + บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 8

1. ค =3 ก - บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือก 9.

1. ค = ก - 3 บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 10

1. ค = ก - 2 บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 11

1. ค = ก +4 บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือก 12.

1. ค =4 ก + บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 13

1. ค = ก +3 บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือก 14.

1. ค =2 ก - บี , ถ้า, . 2..

ตัวเลือกที่ 15

1. ค =3 ก + บี , ถ้า, . 2..

คำถามเพื่อการควบคุมตนเอง:

เมทริกซ์คืออะไร?

กฎสำหรับการคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม?

เขียนสูตรของแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวที่มีตัวแปร 3 ตัว

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า

11, 12, …, 33– ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบ

ข 1 , ข 2 , ข 3- สมาชิกฟรี

ระบบการแก้ (2.4) หมายถึงการค้นหาตัวเลขสามตัวที่เรียงตามลำดับ x 1 =ค 1, x 2 =ค 2, x 3 =ค 3,เมื่อแทนที่พวกมันลงในสมการของระบบ สมการหลังจะกลายเป็นอัตลักษณ์

เรียกว่าระบบสมการที่มีคำตอบ (เดี่ยวหรือหลายอนันต์) ข้อต่อ, ระบบสมการที่ไม่มีคำตอบ – ไม่ใช่ข้อต่อ.

ให้เรานำเสนอสามวิธีในการแก้ระบบ (2.4)

กฎของแครเมอร์

ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์ของระบบจากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้กัน

(2.5)

ถ้า ดังนั้น ระบบ (2.4) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ซึ่งพบได้โดยใช้สูตรของ Cramer:

โดยที่ , ได้รับจากดีเทอร์มิแนนต์โดยการแทนที่คอลัมน์แรก, ที่สอง, ที่สามตามลำดับด้วยคอลัมน์เงื่อนไขอิสระของระบบ (2.4)

(2.7)

ตัวอย่างที่ 7แก้ระบบ

เราคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ (2.5) และดีเทอร์มิแนนต์ , , (2.6)

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

การใช้สูตรของ Cramer (2.6) เราพบว่า:

คุณสามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่ค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักลงในสมการของระบบ

ดังนั้น, x 1 = x 2 = x 3 = 1– โซลูชั่นของระบบ

วิธีเกาส์

พิจารณาระบบ (2.4):

วิธีเกาส์เซียน หรือวิธีกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับมีดังนี้ ให้เราแยกออกจากสมการที่ 2 และ 3 ของระบบ x1. เราได้รับระบบ:

เราได้รับระบบสามเหลี่ยม จากสมการที่ 3 เราพบ x3เราพบว่าเมื่อแทนที่มันลงในสมการที่ 2 x2แล้วจากสมการที่ 1 ที่เราพบ x1, แทนที่มันเข้าไป x2และ x3.

ตัวอย่างที่ 8แก้ระบบ

ลองจัดเรียงสมการที่ 3 และ 1 ใหม่เพื่อให้สมการที่ 1 มีสัมประสิทธิ์อยู่ที่ x1เท่ากับ 1

ยกเว้นกันเถอะ x1จากสมการที่ 2 และ 3 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการที่ 1 ด้วย (-4) แล้วบวกเข้ากับสมการที่ 2 จากนั้นคูณสมการที่ 1 ด้วย (-6) แล้วบวกเข้ากับสมการที่ 3 เราได้รับระบบ:

ยกเว้นกันเถอะ x2จากสมการที่ 3 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการที่ 2 ด้วย (-13/10) แล้วบวกเข้ากับสมการที่ 3 เราได้รับระบบ:

จากสมการสุดท้ายที่เราพบ x3= -1 แทนลงในสมการที่ 2:

10x2 - 13(-1) = -7, -10x2 = - 20, x2 = 2.

การทดแทน x2และ x3ในสมการที่ 1 เราได้

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาของระบบ: x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1.

การแก้ระบบโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

ระบบที่กำหนด: (2.8)

เรามาสร้างเมทริกซ์กันดีกว่า กจากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ ซึ่งเป็นเมทริกซ์คอลัมน์ เอ็กซ์– จากสิ่งที่ไม่รู้จัก เมทริกซ์-คอลัมน์ ใน– จากสมาชิกฟรี

,

ระบบ (2.8) สามารถเขียนได้ในรูปเมทริกซ์ดังนี้

โซลูชันเมทริกซ์ เอ็กซ์พบได้จากสูตร:

เอ -1– เมทริกซ์ผกผันสำหรับเมทริกซ์ กประกอบด้วยการบวกพีชคณิตขององค์ประกอบเมทริกซ์ กตามสูตร (2.3):

– ดีเทอร์มิแนนต์หรือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ ก, .

ตัวอย่างที่ 9แก้ระบบ:

ขอแนะนำเมทริกซ์: ,

เมทริกซ์ผกผันคำนวณในตัวอย่างที่ 6 โดยใช้สูตร (2.9) เราจะพบคำตอบของระบบ

ดังนั้น, x1=1, x2=1, x3=1.

องค์ประกอบของพีชคณิตเวกเตอร์

เวกเตอร์– ส่วนกำกับ; แสดงโดยหรือ ก– จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ ใน- จบ.

ความยาวหรือ โมดูล เวกเตอร์เขียนแทนด้วย .

ข้าว. 21.

ในปริภูมิพิกัด 0xyz เวกเตอร์สามารถแสดงเป็น

(3.1)

สูตรนี้ให้ การขยายตัวของเวกเตอร์ไปเป็นฐานเวกเตอร์ , , ; , , - พิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมของเวกเตอร์ (ไม่เช่นนั้นการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนพิกัด)

สูตร (3.1) สามารถเขียนได้ดังนี้

– เวกเตอร์มีพิกัด , , .

ความยาว(โมดูลัส) ของเวกเตอร์หาได้จากสูตร:

. (3.2)

ถ้าเวกเตอร์ถูกกำหนดโดยพิกัดของจุดกำเนิด ก(x 1 ,y 1 ,z 1)และจุดสิ้นสุด ข(x 2 ,ปี 2 ,z 2)จากนั้นหาพิกัดโดยใช้สูตร:

หากทราบการขยายเวกเตอร์ตามแกนพิกัดจากนั้นเมื่อเพิ่ม (ลบ) เวกเตอร์พิกัดที่มีชื่อเดียวกันจะถูกเพิ่ม (ลบออก) เมื่อคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขพิกัดของเวกเตอร์จะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้ , เช่น.

(3.4)

สินค้าดอทเวกเตอร์ และ แสดงโดย เป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

. (3.5)

ถ้าอย่างนั้น

. (3.6)

ถ้าเวกเตอร์และ คอลลิเนียร์(ขนาน) แล้ว

. (3.7)

ถ้าเวกเตอร์และ ตั้งฉาก(ตั้งฉาก) แล้ว

หรือ (3.8)

ตัวอย่างที่ 10มีการให้คะแนน เอ 1(1,0,-1), เอ 2(2,-1,1), เอ 3(0,1,-2) ใช้พีชคณิตเวกเตอร์ โดยพิจารณาว่าจะค้นหาอะไร:

1) พิกัดของเวกเตอร์ และ .

เราใช้สูตร (3.3):

2) พิกัดเวกเตอร์

เราได้รับโดยใช้สูตร (3.4) และ (3.5)

หรือ 1.2. ตามกฎของรูปสามเหลี่ยม: และความยาวของเวกเตอร์ คำตอบ:

3. ให้คะแนน A(0,-2,3), B(2,1,4), C(3,4,5) หา:

ก) พิกัด (การฉายภาพ) ของเวกเตอร์และ

b) พิกัดเวกเตอร์

c) ความยาวเวกเตอร์

4. ให้เวกเตอร์ หาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์

5. พิสูจน์ว่าเวกเตอร์และอยู่ในแนวเดียวกัน

6. พิสูจน์ว่าเวกเตอร์นั้นตั้งฉาก

สมการเชิงเส้น (สมการดีกรีแรก) ที่ไม่ทราบค่าสองตัว

คำจำกัดความ 1. สมการเชิงเส้น (สมการดีกรีแรก) ที่ไม่ทราบค่าสองตัว x และ y ตั้งชื่อสมการของแบบฟอร์ม

สารละลาย . ให้เราแสดงจากความเท่าเทียมกัน (2) ตัวแปร y ถึงตัวแปร x:

จากสูตร (3) ผลเฉลยของสมการ (2) จะเป็นคู่ของตัวเลขทั้งหมดในแบบฟอร์ม

โดยที่ x คือตัวเลขใดๆ

บันทึก. ดังที่เห็นได้จากคำตอบของตัวอย่างที่ 1 สมการ (2) มี โซลูชั่นมากมายอนันต์. อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่า ไม่ใช่คู่เลขใดๆ (x; ย) คือคำตอบของสมการนี้ เพื่อให้ได้คำตอบของสมการ (2) สามารถใช้จำนวน x เป็นค่าใดก็ได้ จากนั้นจึงคำนวณจำนวน y ได้โดยใช้สูตร (3)

ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการในสองไม่ทราบ

คำจำกัดความ 3 ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัว x และ y เรียกระบบสมการในรูป

ที่ไหน ก 1 , ข 1 , ค 1 , ก 2 , ข 2 , ค 2 – ตัวเลขที่กำหนด

คำจำกัดความที่ 4 ในระบบสมการ (4) ตัวเลข ก 1 , ข 1 , ก 2 , ข 2 ที่ถูกเรียก และหมายเลข ค 1 , ค 2 – สมาชิกฟรี.

คำจำกัดความที่ 5 โดยการแก้ระบบสมการ (4)โทรหาคู่หมายเลข ( x; ย) ซึ่งเป็นคำตอบของทั้งสมการหนึ่งและสมการอื่นของระบบ (4)

คำนิยาม 6 ทั้งสองระบบสมการเรียกว่า เทียบเท่า (เทียบเท่า)ถ้าคำตอบทั้งหมดของระบบสมการระบบแรกคือคำตอบของระบบที่สอง และคำตอบทั้งหมดของระบบที่สองคือคำตอบของระบบแรก

ความเท่าเทียมกันของระบบสมการแสดงโดยใช้สัญลักษณ์ “”

ระบบสมการเชิงเส้นแก้ได้โดยใช้ ซึ่งเราจะอธิบายพร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2 แก้ระบบสมการ

สารละลาย . เพื่อแก้ระบบ (5) กำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกจากสมการที่สองของระบบเอ็กซ์

ด้วยเหตุนี้ ขั้นแรกเราจึงแปลงระบบ (5) เป็นรูปแบบที่ค่าสัมประสิทธิ์ของ x ที่ไม่รู้จักในสมการที่หนึ่งและที่สองของระบบจะเท่ากัน

ถ้าสมการแรกของระบบ (5) คูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่ x ในสมการที่สอง (หมายเลข 7) และสมการที่สองคูณด้วยสัมประสิทธิ์ที่ x ในสมการแรก (หมายเลข 2) แล้วระบบ (5) จะเอาแบบฟอร์ม

ตอนนี้ให้เราทำการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้กับระบบ (6):

• จากสมการที่สองเราจะลบสมการแรกและแทนที่สมการที่สองของระบบด้วยผลต่างผลลัพธ์

เป็นผลให้ระบบ (6) ถูกแปลงเป็นระบบที่เทียบเท่า

จากสมการที่สองที่เราพบ ย= 3 และแทนค่านี้เป็นสมการแรก เราจะได้

คำตอบ . (-2 ; 3) .

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ p ซึ่งเป็นระบบสมการ

ก) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร

ข) มีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด

วี) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย . เราได้รับการแสดง x ถึง y จากสมการที่สองของระบบ (7) และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์แทน x ลงในสมการแรกของระบบ (7)

ให้เราศึกษาวิธีแก้ปัญหาของระบบ (8) ขึ้นอยู่กับค่าของพารามิเตอร์ p เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้พิจารณาสมการแรกของระบบ (8):

ถ้า แล้วสมการ (9) ก็มีคำตอบเฉพาะ

ดังนั้นในกรณีที่เมื่อใด , ระบบ (7) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร

ถ้า พี= - 2 จากนั้นสมการ (9) จะอยู่ในรูปแบบ

และผลเฉลยของมันคือเลขใดๆ . ดังนั้น คำตอบของระบบ (7) คือ ชุดอนันต์ทุกคน คู่ตัวเลข

,

โดยที่ y คือตัวเลขใดๆ

ถ้า พี= 2 จากนั้นสมการ (9) จะอยู่ในรูปแบบ

และไม่มีวิธีแก้ปัญหาซึ่งหมายถึงระบบนั้น (7) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา.

ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการในสามไม่ทราบ

คำนิยาม 7 ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่า x, y และ z เรียกระบบสมการที่มีรูปแบบ

ที่ไหน ก 1 , ข 1 , ค 1 , ง 1 , ก 2 , ข 2 , ค 2 , ง 2 , ก 3 , ข 3 , ค 3 , ง 3 – ตัวเลขที่กำหนด

คำจำกัดความ 8 ในระบบสมการ (10) ตัวเลข ก 1 , ข 1 , ค 1 , ก 2 , ข 2 , ค 2 , ก 3 , ข 3 , ค 3 เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบและตัวเลข ง 1 , ง 2 , ง 3 – สมาชิกฟรี.

คำนิยาม 9 โดยการแก้ระบบสมการ (10)บอกชื่อตัวเลขสามตัว (x; ย ; z) , เมื่อแทนที่พวกมันลงในแต่ละสมการทั้งสามของระบบ (10) จะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 4 แก้ระบบสมการ

สารละลาย . เราจะแก้ระบบ (11) โดยใช้ วิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ.

เพื่อทำสิ่งนี้ก่อน เราแยกสิ่งที่ไม่ทราบออกจากสมการที่สองและสามของระบบ y โดยดำเนินการแปลงต่อไปนี้บนระบบ (11):

• เราจะปล่อยให้สมการแรกของระบบไม่เปลี่ยนแปลง
• ในสมการที่สองเราเพิ่มสมการแรกและแทนที่สมการที่สองของระบบด้วยผลรวมผลลัพธ์
• จากสมการที่สามเราจะลบสมการแรกและแทนที่สมการที่สามของระบบด้วยผลต่างผลลัพธ์

เป็นผลให้ระบบ (11) ถูกแปลงเป็น