สูตรเพื่อลดความซับซ้อนของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันของสำนวนตรีโกณมิติ

Voronkov Olga Ivanovna

MBOU "โรงเรียนมัธยม

№ 18 "

g. Engels ภูมิภาค Saratov

ครูคณิตศาสตร์

"สำนวนตรีโกณมิติและการเปลี่ยนแปลงของพวกเขา"

บทนำ ................................................. ................................... .... 3

บทที่ 1 การจำแนกประเภทของภารกิจสำหรับการใช้การเปลี่ยนแปลงของสำนวนตรีโกณมิติ ..................................... ..................................... ... 5

1.1 ภารกิจสำหรับการคำนวณ ค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติ ......... 5

1.2. งานเพื่อลดความซับซ้อนของการแสดงออกตรีโกณมิติ .... 7

1.3 งานสำหรับการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตัวเลข ... .. 7

1.4 งานประเภทผสม .............................................. ................................. 9

บทที่ 2 การดำเนินการตามระเบียบวิธีการทำซ้ำครั้งสุดท้ายของหัวข้อ "การเปลี่ยนแปลงสำนวนตรีโกณมิติ" ............................... .. 11

2.1 การทำซ้ำเฉพาะเรื่องในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ........................................... .. ... 11

ทดสอบ 1 ................................................ ........................................... ..12

ทดสอบ 2 ................................................ .......................................... ..13

ทดสอบ 3 ................................................ ........................................... ..14

2.2 การทำซ้ำรวมในเกรด 11 ........................................... ..........................

ทดสอบ 1 ................................................ .......................................... ..17

ทดสอบ 2 ................................................ .................................................... ...... ..17

ทดสอบ 3 ................................................ .......................................... ..18

สรุป ................................................... .................................................... 19

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว .............................................. ...... .20

บทนำ

ในเงื่อนไขปัจจุบันที่สำคัญที่สุดคือคำถาม: "เราจะช่วยกำจัดช่องว่างบางอย่างในความรู้ของนักเรียนและเตือนพวกเขาจากข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้ในการสอบ?" เพื่อแก้ปัญหานี้มีความจำเป็นที่จะต้องแสวงหาจากนักเรียนไม่ใช่การดูดซึมที่เป็นทางการของวัสดุซอฟต์แวร์และความเข้าใจที่ลึกซึ้งและมีสติการพัฒนาความเร็วของการคำนวณและการเปลี่ยนแปลงของช่องปากรวมถึงการพัฒนาทักษะการแก้ปัญหา งานที่ง่ายที่สุดในใจ มีความจำเป็นต้องโน้มน้าวให้สาวกในความจริงที่ว่าในการปรากฏตัวของตำแหน่งที่ใช้งานเมื่อศึกษาคณิตศาสตร์ภายใต้การเข้าซื้อกิจการของทักษะการปฏิบัติทักษะและการใช้งานของพวกเขาหนึ่งสามารถนับได้ในความสำเร็จที่แท้จริง จำเป็นต้องใช้โอกาสใด ๆ ในการเตรียมความพร้อมสำหรับการใช้งานรวมถึงรายการเลือกในชั้นเรียน 10-11 การวิเคราะห์งานที่ซับซ้อนกับนักเรียนอย่างสม่ำเสมอเลือกวิธีที่มีเหตุผลมากที่สุดในการแก้ในบทเรียนและชั้นเรียนเพิ่มเติมผลบวก B.พื้นที่ของการแก้ปัญหาของงานทั่วไปสามารถทำได้หากอาจารย์คณิตศาสตร์จะสร้าง การฝึกอบรมขั้นพื้นฐานที่ดีของนักเรียนมองหาวิธีการใหม่ในการแก้ปัญหาที่เปิดไว้ต่อหน้าเราทดลองใช้เทคโนโลยีการสอนที่ทันสมัยวิธีการเทคนิคที่สร้างเงื่อนไขที่ดีสำหรับการตระหนักรู้ด้วยตนเองอย่างมีประสิทธิภาพและการกำหนดตนเองของนักเรียนในสภาพสังคมใหม่

ตรีโกณมิติเป็นส่วนสำคัญของหลักสูตรวิชาคณิตศาสตร์ ความรู้ที่ดีและทักษะตรีโกณมิติที่ทนทานเป็นหลักฐานของวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอสภาพที่ขาดไม่ได้สำหรับการศึกษาที่ประสบความสำเร็จในมหาวิทยาลัยคณิตศาสตร์ฟิสิกส์จำนวนมากทางเทคนิคสาขาวิชา

ความเกี่ยวข้องของการทำงาน. ส่วนสำคัญของผู้สำเร็จการศึกษาในโรงเรียนที่แสดงให้เห็นตั้งแต่ปีต่อปีการเตรียมการที่อ่อนแอมากในส่วนที่สำคัญนี้ของคณิตศาสตร์นี้ซึ่งเป็นหลักฐานจากผลของปีที่ผ่านมา (ร้อยละของปี 2011-248.41%, 2012-51.05%) เนื่องจากการวิเคราะห์ ค่าคอมมิชชั่นของการสอบสถานะเดียวแสดงให้เห็นว่านักเรียนอนุญาตให้มีข้อผิดพลาดหลายอย่างเมื่อทำการทำงานของส่วนของส่วนนี้หรือไม่ได้รับทั้งหมดสำหรับงานดังกล่าว ในหนึ่ง คำถามการสอบของรัฐเกี่ยวกับ Triponometries พบได้ในงานเกือบสามประเภท นี่คือวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดในงาน Q5 และทำงานกับนิพจน์ตรีโกณมิติในงาน Q7 และการศึกษาฟังก์ชั่นตรีโกณมิติในงาน Q14 เช่นเดียวกับ Q12 ซึ่งมีสูตรที่อธิบายถึงปรากฏการณ์ทางกายภาพและมี ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ และนี่เป็นเพียงส่วนหนึ่งของงานใน! แต่ยังคงมีสมการตรีโกณมิติที่รักกับการเลือกราก C1 และ "ไม่เป็นที่รัก" งานทางเรขาคณิต C2 และ C4

วัตถุประสงค์ของการทำงาน. วิเคราะห์เนื้อหาของเช่นงาน B7 บนนิพจน์ตรีโกณมิติแปลงและพิจารณาภารกิจในการทดสอบในการทดสอบ

งานประกอบด้วยสองบทการแนะนำและการจำคุก ในการแนะนำความเกี่ยวข้องของงานจะเน้น บทแรกให้การจำแนกประเภทของงานสำหรับการใช้การเปลี่ยนแปลงสำนวนตรีโกณมิติในงานทดสอบของ EGE (2012)

บทที่สองกล่าวถึงองค์กรของการทำซ้ำหัวข้อ "การเปลี่ยนแปลงสำนวนตรีโกณมิติ" ใน 10 คลาสและการทดสอบในหัวข้อนี้ได้รับการพัฒนา

รายการของการอ้างอิงประกอบด้วยแหล่งข้อมูล 17 แหล่ง

บทที่ 1. การจำแนกประเภทของภารกิจสำหรับการใช้การเปลี่ยนแปลงของการแสดงออกทางตรีโกณมิติ

ตามมาตรฐานการศึกษาระดับกลาง (เต็ม) และข้อกำหนดสำหรับระดับการฝึกอบรมของนักเรียนในข้อกำหนด Codifier งานสำหรับความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติ

การศึกษารากฐานของตรีโกณมิติจะมีประสิทธิภาพมากที่สุดเมื่อ:

จะมีแรงจูงใจในเชิงบวกของนักเรียนสำหรับการทำซ้ำของวัสดุที่ศึกษาก่อนหน้านี้;

กระบวนการศึกษาจะดำเนินการตามแนวทางส่วนบุคคล

ระบบของงานจะถูกนำไปใช้ซึ่งก่อให้เกิดการขยายความลึกของความรู้ของนักเรียนที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

เทคโนโลยีการสอนขั้นสูงจะถูกนำมาใช้

หลังจากวิเคราะห์วรรณกรรมและทรัพยากรอินเทอร์เน็ตเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบเราเสนอหนึ่งในการจำแนกประเภทที่เป็นไปได้ของงาน B7 (Kim Ege 2012 Trigonometry): งานที่ได้รับมอบหมาย ค่าของการแสดงออกตรีโกณมิติ งานการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตัวเลข งานสำหรับการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติตัวอักษร; งานประเภทผสม

1.1 ภารกิจสำหรับการคำนวณ ค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติ

หนึ่งในภารกิจง่าย ๆ ที่พบมากที่สุดในตรีโกณมิติคือการคำนวณค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยค่าหนึ่งในนั้น:

a) การใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักและผลที่ตามมา

ตัวอย่างที่ 1 . ค้นหาว่า
และ
.

การตัดสินใจ
,
,

เพราะ ต.
.

ตอบ.

ตัวอย่างที่ 2 . หา
ถ้าเป็น
และ.

การตัดสินใจ
,
,
.

เพราะ ต.
.

ตอบ. .

b) การใช้สูตรมุมคู่

ตัวอย่างที่ 3 . หา
ถ้าเป็น
.

การตัดสินใจ . .

ตอบ.
.

ตัวอย่างที่ 4 . ค้นหาค่าของการแสดงออก
.

การตัดสินใจ .

ตอบ.
.

1. หา ถ้าเป็น

และ

. ตอบ. -0.2

2. หา ถ้าเป็น
และ
. ตอบ. 0.4

3. หา

ถ้าเป็น ตอบ. -12,884. หา

ถ้าเป็น

. ตอบ. -0.845. ค้นหาค่าของนิพจน์:

. ตอบ. 6.6. ค้นหาค่าของการแสดงออก

. ตอบ. -nineteen

1.2. งานเพื่อลดความซับซ้อนของการแสดงออกทางตรีโกณมิติ สูตรการชี้แจงควรเรียนรู้อย่างดีจากนักเรียนเนื่องจากพวกเขาจะพบการใช้งานต่อไปในบทเรียนของเรขาคณิตฟิสิกส์และสาขาวิชาอื่น ๆ ที่อยู่ติดกัน

ตัวอย่างที่ 5 . ลดความซับซ้อนของการแสดงออก
.

การตัดสินใจ .

ตอบ.
.

งานสำหรับการแก้ปัญหาตัวเอง:

1. ลดความซับซ้อนของการแสดงออก

. ตอบ. 0,62. หา

ถ้าเป็น

และ . ตอบ. 10,563. ค้นหาค่าของการแสดงออก

ถ้าเป็น

. ตอบ. 2.

1.3 งานสำหรับการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตัวเลข

เมื่อออกกำลังกายทักษะและทักษะของงานสำหรับการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์เชิงตัวเลขคุณควรให้ความสนใจกับความรู้ของตารางของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันและความถี่ของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

a) การใช้ค่าที่แม่นยำของฟังก์ชั่นตรีโกณมิติสำหรับบางมุม

ตัวอย่างที่ 6 . คำนวณ
.

การตัดสินใจ
.

ตอบ.
.

b) การใช้คุณสมบัติของพาริตี้ ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 7 . คำนวณ
.

การตัดสินใจ .

ตอบ.

ใน) การใช้คุณสมบัติของความถี่ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 8 . ค้นหาค่าของการแสดงออก
.

การตัดสินใจ .

ตอบ.
.

งานสำหรับการแก้ปัญหาตัวเอง:

1. ค้นหาค่าของการแสดงออก

. ตอบ. -40.52. ค้นหาค่าของนิพจน์

. ตอบ. 17.

3. ค้นหาค่าของการแสดงออก
. ตอบ. 6.

. ตอบ. -24

ตอบ. -64

1.4 งานประเภทผสม

รูปแบบการทดสอบการรับรองมีคุณสมบัติที่สำคัญมากดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องใส่ใจกับงานที่เกี่ยวข้องกับการใช้สูตรตรีโกณมิติหลายประการในเวลาเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 9 หา
ถ้าเป็น
.

การตัดสินใจ
.

ตอบ.
.

ตัวอย่างที่ 10 . หา
ถ้าเป็น
และ
.

การตัดสินใจ .

เพราะ ต.
.

ตอบ.
.

ตัวอย่างที่ 11 หา
ถ้าเป็น

การตัดสินใจ , ,
,
,
,
,
.

ตอบ.

ตัวอย่างที่ 12 คำนวณ
.

การตัดสินใจ .

ตอบ.
.

ตัวอย่างที่ 13 ค้นหาค่าของการแสดงออก
ถ้าเป็น
.

การตัดสินใจ .

ตอบ.
.

งานสำหรับการแก้ปัญหาตัวเอง:

1. หา

ถ้าเป็น

. ตอบ. -1,75
2. หา

ถ้าเป็น

. ตอบ. 3.3. ค้นหา

ถ้าเป็น ตอบ. 0.254. ค้นหาค่าของนิพจน์

ถ้าเป็น

. ตอบ. 0,35. ค้นหาค่าของนิพจน์

ถ้าเป็น

. ตอบ. ห้า

บทที่ 2. การจัดระเบียบวิธีการตามระเบียบวิธีการทำซ้ำครั้งสุดท้ายของหัวข้อ "การเปลี่ยนแปลงสำนวนตรีโกณมิติ"

หนึ่งในประเด็นที่สำคัญที่สุดที่เอื้อต่อการปรับปรุงประสิทธิภาพทางวิชาการต่อไปความสำเร็จของความรู้ที่ลึกซึ้งและทนทานจากนักเรียนคือคำถามของการทำซ้ำของวัสดุที่ผ่านไปก่อนหน้านี้ การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 แนะนำให้จัดระเบียบซ้ำ ๆ ในเกรด 11 - การทำซ้ำครั้งสุดท้าย

2.1 ซ้ำซากซ้ำซากในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

ในกระบวนการทำงานในวัสดุทางคณิตศาสตร์การทำซ้ำของแต่ละหัวข้อที่เสร็จสมบูรณ์หรือส่วนทั้งหมดของหลักสูตรมีความสำคัญอย่างยิ่ง

ในกรณีที่มีการทำซ้ำใจความรู้ของนักเรียนในขั้นตอนสุดท้ายของเนื้อเรื่องของมันคือการจัดระบบหรือหลังจากการหยุดชะงักบางอย่าง

สำหรับการทำซ้ำที่เฉพาะเจาะจงบทเรียนพิเศษที่จัดสรรซึ่งมุ่งเน้นและสรุปเนื้อหาของหัวข้อหนึ่ง

การทำซ้ำในบทเรียนจะดำเนินการโดยการสนทนากับการมีส่วนร่วมอย่างกว้างขวางของนักเรียนในบทสนทนานี้ หลังจากนั้นนักเรียนจะได้งานทำซ้ำหัวข้อที่แน่นอนและเตือนว่างานทดสอบจะดำเนินการในการทดสอบ

การทดสอบในหัวข้อควรมีคำถามหลักทั้งหมด หลังจากทำงานแล้วจะวิเคราะห์โดยข้อผิดพลาดลักษณะและการทำซ้ำจะถูกจัดระเบียบเพื่อกำจัดพวกเขา

สำหรับบทเรียนของการทำซ้ำใจเราจะได้รับการพัฒนา ทดสอบงานในรูปแบบของการทดสอบในหัวข้อ "การเปลี่ยนแปลงสำนวนตรีโกณมิติ"

ทดสอบหมายเลข 1

ทดสอบหมายเลข 2

ทดสอบหมายเลข 3

ตารางคำตอบ

ทดสอบ

2.2 การทำซ้ำครั้งสุดท้ายในเกรด 11

การทำซ้ำครั้งสุดท้ายจะดำเนินการในขั้นตอนสุดท้ายของการศึกษาประเด็นหลักของหลักสูตรคณิตศาสตร์และดำเนินการในการเชื่อมต่อเชิงตรรกะกับการศึกษาเนื้อหาการศึกษาในส่วนนี้หรือหลักสูตรโดยรวม

การทำซ้ำขั้นสุดท้ายของวัสดุการศึกษาคือการตั้งเป้าหมาย:

1. การเปิดใช้งานวัสดุของหลักสูตรการฝึกอบรมทั้งหมดเพื่อชี้แจงโครงสร้างเชิงตรรกะและสร้างระบบภายในวัตถุและระหว่างการเชื่อมต่อหัวเรื่อง

2. ลึกซึ้งและถ้าเป็นไปได้การขยายความรู้ของนักเรียนในประเด็นหลักของหลักสูตรในกระบวนการทำซ้ำ

ในเงื่อนไขของการบังคับสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาทุกคนที่ผ่านการสอบในคณิตศาสตร์การแนะนำการใช้อย่างค่อยเป็นค่อยไปทำให้ครูในวิธีการใหม่ในการเตรียมและดำเนินการบทเรียนเนื่องจากความต้องการที่จะทำให้ความเชี่ยวชาญของนักเรียนทุกคนของวัสดุการศึกษาที่ฐาน ระดับรวมถึงความเป็นไปได้ของนักเรียนที่มีแรงจูงใจที่สนใจในการได้รับคะแนนสูงในการเข้าเรียนในมหาวิทยาลัยโปรโมชั่นแบบไดนามิกในการควบคุมวัสดุในระดับที่เพิ่มขึ้นและสูง

ในผลลัพธ์ของการทำซ้ำครั้งสุดท้ายคุณสามารถพิจารณาภารกิจต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 1 . คำนวณค่าของนิพจน์การตัดสินใจ \u003d.

= =

=0,5. ตอบ. 0.5 ตัวอย่างที่ 2 ระบุจำนวนเต็มที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่การแสดงออกสามารถทำได้

การตัดสินใจ เช่น
สามารถใช้ความหมายใด ๆ ที่เป็นของกลุ่ม [-1; 1] จากนั้น
ใช้ค่าใด ๆ ของเซ็กเมนต์ [-0.4; 0.4] ดังนั้น ค่าจำนวนเต็มของการแสดงออกคือหนึ่ง - หมายเลข 4

คำตอบ: 4. ตัวอย่างที่ 3 . ลดความซับซ้อนของการแสดงออก

วิธีแก้ปัญหา: เราใช้สูตรการสลายตัวสำหรับปัจจัยของลูกบาศก์:. มี

เรามี:
.

คำตอบ: 1.

ตัวอย่างที่ 4 คำนวณ
.

การตัดสินใจ .

คำตอบ: 0.28

สำหรับบทเรียนของการทำซ้ำครั้งสุดท้ายเราเสนอการทดสอบที่พัฒนาขึ้นในหัวข้อ "การเปลี่ยนแปลงของสำนวนตรีโกณมิติ"

ระบุจำนวนเต็มที่ยิ่งใหญ่ที่สุดไม่เกิน 1

บทสรุป.

หลังจากทำงานกับวรรณคดีวิธีการที่เหมาะสมในหัวข้อนี้อาจสรุปได้ว่าทักษะและทักษะในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงตรีโกณมิติในหลักสูตรการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญมาก

ในระหว่างการทำงานการจำแนกประเภทของงาน B7 ดำเนินการ สูตรตรีโกณมิติถือเป็นที่ใช้บ่อยที่สุดใน Kyakh 2012 ตัวอย่างของงานที่มีโซลูชันที่ได้รับ การทดสอบที่แตกต่างกันได้รับการพัฒนาสำหรับการจัดระเบียบซ้ำและการจัดระบบความรู้ในการเตรียมการใช้งาน

ขอแนะนำให้ทำงานต่อไปโดยพิจารณา วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดในงาน Q5 การศึกษาฟังก์ชั่นตรีโกณมิติในงาน Q14 งาน B12 ซึ่งมีสูตรที่อธิบายถึงปรากฏการณ์ทางกายภาพและมีฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

โดยสรุปฉันต้องการแจ้งให้ทราบถึงประสิทธิภาพของการตรวจสอบการใช้ส่วนใหญ่จะถูกกำหนดโดยกระบวนการของการฝึกอบรมที่มีประสิทธิภาพในทุกระดับของการเรียนรู้ที่จัดขึ้นพร้อมกับนักเรียนทุกประเภท และถ้าเราจะสามารถจัดตั้งขึ้นที่นักเรียนเกี่ยวกับความเป็นอิสระความรับผิดชอบและความพร้อมในการเรียนรู้ต่อไปตลอดชีวิตต่อไปเราจะไม่เพียง แต่ปฏิบัติตามคำสั่งของรัฐและสังคมเท่านั้น แต่ยังปรับปรุงความภาคภูมิใจในตนเองของตนเอง

การทำซ้ำของวัสดุการศึกษาต้องใช้ครูสอนงานสร้างสรรค์ ควรให้การเชื่อมต่อที่ชัดเจนระหว่างประเภทของการทำซ้ำดำเนินการระบบการทำซ้ำที่คิดอย่างลึกซึ้ง ส่งงานศิลปะขององค์กรการทำซ้ำเป็นงานของครู จากการแก้ปัญหาส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับความแข็งแกร่งของความรู้ของนักเรียน

วรรณคดี.

ทำกำไร J.YA. ไดเรกทอรีของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา -m.: วิทยาศาสตร์, 1970

วัตถุประสงค์ของความยากลำบากที่เพิ่มขึ้นในพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: บทช่วยสอน 10-11 ระดับมัธยมศึกษา / BM Ivlev, A.M. abramov, yu.p. Dudnitsyn, S.i. Schwartzbord - m.: การตรัสรู้, 1990

การใช้สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ (เกรด 10) // เทศกาลของแนวคิดการสอน 2012-2013

Koryanov A.G , prokofiev a.a. เรากำลังเตรียมพร้อมสำหรับการสอบความดีและเกียรตินิยม - ม.: มหาวิทยาลัยอนุกรรมการ "กันยายนครั้งแรก", 2012 - 103 หน้า

Kuznetsova e.n. การทำให้การแสดงออกทางตรีโกณมิติง่ายขึ้น การแก้สมการตรีโกณมิติด้วยวิธีการต่าง ๆ (การเตรียมการสำหรับการใช้งาน) เกรด 11 2012-2013

Kulan E. D. 3000 ภารกิจคณิตศาสตร์การแข่งขัน รหัสที่ 4. ACT. และเพิ่ม - ม.: Rolf, 2000

Mordkovich A.G ปัญหาระเบียบวิธีการศึกษาตรีโกณมิติในโรงเรียนมัธยมศึกษา // คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน 2002. №6

pichurin l.f. เกี่ยวกับตรีโกณมิติและไม่เพียง แต่เกี่ยวกับมัน: -m การศึกษา 2528

Reshetnikov n.n. ตรีโกณมิติที่โรงเรียน: -m : University Pedagogical "September First", 2006, Lux 1

Shabunin M.i. , Prokofiev A.a. คณิตศาสตร์. พีชคณิต. จุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ระดับโปรไฟล์: บทช่วยสอนสำหรับเกรด 10 - m: binin ห้องปฏิบัติการความรู้ปี 2550

พอร์ทัลการศึกษาสำหรับการเตรียมการสอบ

การเตรียมการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ "โอ้ตรีโกณมิตินี้! http://festival.1sePtember.ru/articles/621971/

โครงการ "คณิตศาสตร์? ง่าย !!!"http://www.resolventa.ru/

ส่วน: คณิตศาสตร์

ชั้นเรียน: 11

บทที่ 1.

เรื่อง: เกรด 11 (การเตรียมการสำหรับการใช้งาน)

การทำให้การแสดงออกทางตรีโกณมิติง่ายขึ้น

การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด (2 ชั่วโมง)

วัตถุประสงค์:

จัดระบบสรุปขยายความรู้และทักษะของนักเรียนที่เกี่ยวข้องกับการใช้สูตรตรีโกณมิติและการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

อุปกรณ์สำหรับบทเรียน:

โครงสร้างบทเรียน:

orgmoment
การทดสอบบนแล็ปท็อป การอภิปรายของผลลัพธ์
การทำให้การแสดงออกทางตรีโกณมิติง่ายขึ้น
การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
งานอิสระ
ผลลัพธ์ของบทเรียน คำอธิบายของภารกิจของบ้าน

1. orgmant (2 นาที.)

ครูยินดีต้อนรับผู้ชมประกาศเรื่องของบทเรียนเตือนว่างานก่อนหน้านี้ได้รับการทำซ้ำสูตรตรีโกณมิติและปรับให้นักเรียนทดสอบ

2. การทดสอบ (15 นาที + 3 นาทีการอภิปราย)

เป้าหมายคือการตรวจสอบความรู้เกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติและความสามารถในการใช้พวกเขา นักเรียนแต่ละคนมีโต๊ะแล็ปท็อปที่รุ่นทดสอบ

ตัวเลือกสามารถมากเท่าที่คุณต้องการฉันจะยกตัวอย่างหนึ่งในนั้น:

ฉันตัวเลือก

ลดความซับซ้อนของการแสดงออก:

ก) อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

1. บาป 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) นอกจากนี้สูตรเพิ่มเติม

3. Sin5x - Sin3x;

c) การเปลี่ยนแปลงของงานในจำนวนเงิน

6. 2sin8y cos3y;

d) สูตรมุมสองมุม

7. 2sin5x cos5x;

e) ครึ่งมุม

e) สูตรของมุม Triple

g) การทดแทนสากล

h) ระดับที่ต่ำกว่า

16. COS 2 (3x / 7);

นักเรียนบนแล็ปท็อปตรงข้ามแต่ละสูตรดูคำตอบของพวกเขา

ทำงานตรวจสอบคอมพิวเตอร์ทันที ผลลัพธ์จะแสดงบนหน้าจอขนาดใหญ่เพื่อชิงช้าสวรรค์สากล

นอกจากนี้หลังจากสิ้นสุดการทำงานคำตอบที่ถูกต้องจะแสดงบนแล็ปท็อป นักเรียนแต่ละคนเห็นว่ามีการทำข้อผิดพลาดและสูตรอะไรที่เขาต้องการทำซ้ำ

3. การทำให้การแสดงออกของตรีโกณมิติง่ายขึ้น (25 นาที)

เป้าหมายคือการทำซ้ำออกกำลังกายและรวมการใช้สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ การแก้ปัญหา B7 จากการสอบ

ในขั้นตอนนี้ชั้นเรียนนี้แนะนำให้แบ่งออกเป็นกลุ่มที่แข็งแกร่ง (ทำงานอย่างอิสระตามด้วยการตรวจสอบ) และนักเรียนที่อ่อนแอที่ทำงานกับครู

งานสำหรับนักเรียนที่แข็งแกร่ง (จัดทำขึ้นบนพื้นฐานการพิมพ์) เน้นหลักเกิดขึ้นกับสูตรของการนำและมุมสองเท่าของ EGE 2011

ลดความซับซ้อนของการแสดงออก (สำหรับนักเรียนที่แข็งแกร่ง):

ในแบบคู่ขนานครูทำงานกับนักเรียนที่อ่อนแอคุยและตัดสินใจภายใต้การเขียนตามคำสั่งของนักเรียนของงานบนหน้าจอ

คำนวณ:

5) บาป (270º - α) + cos (270º + α)

ลดความซับซ้อน:

มีคิวการอภิปรายเกี่ยวกับผลลัพธ์ของกลุ่มที่แข็งแกร่ง

คำตอบที่ปรากฏบนหน้าจอเช่นเดียวกับด้วยความช่วยเหลือของกล้องถ่ายวิดีโอนักเรียนที่แตกต่างกัน 5 คนจะปรากฏขึ้น (หนึ่งงานแต่ละชิ้น) จะปรากฏขึ้น

กลุ่มที่อ่อนแอเห็นเงื่อนไขและวิธีการแก้ปัญหา มีการอภิปรายและการวิเคราะห์ การใช้เทคนิคหมายถึงมันเกิดขึ้นอย่างรวดเร็ว

4. การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด (30 นาที.)

เป้าหมายคือการทำซ้ำจัดทำระบบและสรุปวิธีการแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดบันทึกรากของพวกเขา การแก้ปัญหา B3

สมการตรีโกณมิติใด ๆ ไม่ว่าเราจะแก้ปัญหาได้อย่างไรนำไปสู่ที่ง่ายที่สุด

เมื่อปฏิบัติภารกิจนักเรียนควรได้รับเงินให้กับบันทึกของสมการของสมการพิเศษและแบบฟอร์มทั่วไปและในการเลือกรากในสมการสุดท้าย

แก้สมการ:

ในการตอบสนองต่อการเขียนรากเชิงบวกที่เล็กที่สุด

5. งานอิสระ (10 นาที)

เป้าหมายคือการตรวจสอบทักษะที่ได้รับการระบุปัญหาข้อผิดพลาดและเส้นทางการกำจัดของพวกเขา

มีการเสนอสำหรับงานช่องโหว่เพื่อเลือกนักเรียน

ตัวเลือกใน "3"

1) ค้นหาค่าของนิพจน์

2) การแสดงออกที่ง่ายขึ้น 1 - Sin 2 3α - Cos 2 3α

3) แก้สมการ

ตัวเลือกใน "4"

1) ค้นหาค่าของนิพจน์

2) แก้สมการ ในการตอบสนองต่อการเขียนรากเชิงบวกที่เล็กที่สุด

ตัวเลือกใน "5"

1) ค้นหาTGαถ้า

2) ค้นหารากของสมการ ในการตอบสนองเขียนรากเชิงบวกที่เล็กที่สุด

6. บทเรียนผลลัพธ์ (5 นาที)

ครูสรุปว่าสูตรตรีโกณมิติการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดถูกทำซ้ำและปลอดภัยในบทเรียน

การบ้านถูกตั้งค่า (จัดทำขึ้นบนพื้นฐานการพิมพ์ล่วงหน้า) ด้วยการตรวจสอบการเลือกในบทเรียนต่อไป

แก้สมการ:

10) ในการตอบสนองต่อบ่งบอกถึงรากเชิงบวกที่เล็กที่สุด

บทที่ 2.

เรื่อง: เกรด 11 (การเตรียมการสำหรับการใช้งาน)

วิธีการแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติ การเลือกราก (2 ชั่วโมง)

วัตถุประสงค์:

เพื่อสรุปและจัดระบบความรู้ในการแก้สมการตรีโกณมิติประเภทต่าง ๆ
เพื่อส่งเสริมการพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนความสามารถในการสังเกตเปรียบเทียบสรุปจำแนกประเภท
ย้ายนักเรียนสำหรับการเอาชนะความยากลำบากในกระบวนการของกิจกรรมทางจิตเพื่อควบคุมตนเองการวิเคราะห์ด้วยตนเองของกิจกรรม

อุปกรณ์สำหรับบทเรียน: Crum, แล็ปท็อปสำหรับนักเรียนแต่ละคน

โครงสร้างบทเรียน:

orgmoment
การอภิปราย D / S และ Samot ผลงานของบทเรียนสุดท้าย
การทำซ้ำของการแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติ
การแก้สมการตรีโกณมิติ
การเลือกรากในสมการตรีโกณมิติ
งานอิสระ
ผลลัพธ์ของบทเรียน การบ้าน.

1. orgmoment (2 นาที)

ครูยินดีต้อนรับผู้ชมประกาศหัวข้อของบทเรียนและแผนงาน

2. A) การทำการบ้านที่แยกวิเคราะห์ (5 นาที)

เป้าหมายคือการตรวจสอบการดำเนินการ งานหนึ่งที่ใช้กล้องวิดีโอจะปรากฏบนหน้าจอส่วนที่เหลือจะเลือกที่จะตรวจสอบครู

b) การวิเคราะห์งานอิสระ (3 นาที)

เป้าหมายคือการทำผิดพลาดระบุวิธีที่จะเอาชนะพวกเขา

ในหน้าจอคำตอบและการตัดสินใจนักเรียนได้ออกงานก่อนหน้านี้ การวิเคราะห์อย่างรวดเร็วคือ

3. การทำซ้ำวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ (5 นาที)

เป้าหมายคือการจำวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

ถามนักเรียนวิธีการแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติที่พวกเขารู้ เน้นว่ามีวิธีการพื้นฐานที่เรียกว่าพื้นฐาน (ใช้บ่อย):

ตัวแปรทดแทน
การแยกตัวประกอบ
สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน

และมีวิธีการใช้:

ตามสูตรของการเปลี่ยนแปลงของจำนวนเงินเข้ากับงานและทำงานในจำนวนเงิน
ตามสูตรลดลง
การทดแทนตรีโกณมิติสากล
บทนำของมุมเสริม
การคูณกับฟังก์ชั่นตรีโกณมิติบางอย่าง

นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องจำได้ว่าสมการหนึ่งสามารถแก้ไขได้ในหลาย ๆ วิธี

4. วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ (30 นาที)

เป้าหมายคือการเล่นและรวมความรู้และทักษะในหัวข้อนี้เตรียมตัวสำหรับการตัดสินใจของ C1 จากการสอบ

ฉันคิดว่าเหมาะสมที่จะทำลายสมการสำหรับแต่ละวิธีร่วมกับนักเรียน

นักเรียนกำหนดการตัดสินใจอาจารย์บันทึกบนแท็บเล็ตกระบวนการทั้งหมดจะปรากฏบนหน้าจอ สิ่งนี้จะช่วยให้คุณสามารถคืนค่าวัสดุที่ผ่านไปก่อนหน้านี้ได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ

แก้สมการ:

1) การเปลี่ยนตัวแปร 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) การสลายตัวของตัวคูณ 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) สมการสมการสมการ 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) การเปลี่ยนแปลงจำนวนเงินเข้ากับงาน cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) การแปลงผลิตภัณฑ์ในจำนวน 2SINX SIN2X + COS3X \u003d 0

6) ระดับของ Sin2x - Sin 2 2X + SIN 2 3X \u003d 0.5

7) Universal ตรีโกณมิติทดแทน Sinx + 5cosx + 5 \u003d 0

การแก้สมการนี้ควรสังเกตว่าการใช้วิธีนี้นำไปสู่การ จำกัด พื้นที่นิยามเนื่องจากไซนัสและโคไซน์ถูกแทนที่ด้วย TG (x / 2) ดังนั้นก่อนที่จะเขียนคำตอบคุณต้องตรวจสอบว่าตัวเลขทำจากชุดπ + 2πN, N Z ม้าของสมการนี้

8) การแนะนำของมุมเสริม√3SInx + cosx - √2 \u003d 0

9) การคูณกับบางตรีโกณมิติฟังก์ชั่น cosx cos2x cos4x \u003d 1/8

5. การเลือกรากฐานของสมการตรีโกณมิติ (20 นาที)

ตั้งแต่เมื่อเผชิญกับการแข่งขันที่ยากลำบากเมื่อเข้าสู่มหาวิทยาลัยวิธีการแก้ปัญหาครั้งแรกของการสอบไม่เพียงพอนักเรียนส่วนใหญ่ให้ความสนใจกับงานของส่วนที่สอง (C1, C2, C3)

ดังนั้นเป้าหมายของขั้นตอนการประกอบอาชีพนี้คือการเรียกคืนเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้เตรียมความพร้อมสำหรับการแก้ปัญหา C1 จากงาน 2011

มีสมการตรีโกณมิติที่ควรเลือกรูทเมื่อการตอบสนองถูกปล่อยออกมา นี่เป็นเพราะข้อ จำกัด บางอย่างเช่นตัวหารของเศษส่วนไม่เป็นศูนย์การแสดงออกภายใต้รากของการศึกษาระดับแม้ไม่มีความหมายการแสดงออกภายใต้สัญลักษณ์ของลอการิทึมในเชิงบวก ฯลฯ

สมการดังกล่าวถือว่าสมการของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นและในรุ่นของการใช้งานอยู่ในส่วนที่สองคือ C1

แก้สมการ:

เศษส่วนเป็นศูนย์ถ้าแล้ว การใช้วงกลมเดียวเราจะทำการเลือกรูท (ดูรูปที่ 1)

รูปที่ 1.

เราได้รับ X \u003d π + 2πN, N Z

คำตอบ: π + 2πN, N Z

บนหน้าจอการเลือกรากจะแสดงบนวงกลมในภาพสี

งานเป็นศูนย์เมื่ออย่างน้อยหนึ่งในตัวคูณคือศูนย์และส่วนโค้งในขณะที่ไม่รู้สึกเสีย จากนั้น

ด้วยความช่วยเหลือของวงกลมเดียวบันทึกราก (ดูรูปที่ 2)

ส่วน: คณิตศาสตร์

ชั้นเรียน: 11

บทที่ 1.

เรื่อง: เกรด 11 (การเตรียมการสำหรับการใช้งาน)

การทำให้การแสดงออกทางตรีโกณมิติง่ายขึ้น

การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด (2 ชั่วโมง)

วัตถุประสงค์:

จัดระบบสรุปขยายความรู้และทักษะของนักเรียนที่เกี่ยวข้องกับการใช้สูตรตรีโกณมิติและการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

อุปกรณ์สำหรับบทเรียน:

โครงสร้างบทเรียน:

orgmoment
การทดสอบบนแล็ปท็อป การอภิปรายของผลลัพธ์
การทำให้การแสดงออกทางตรีโกณมิติง่ายขึ้น
การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
งานอิสระ
ผลลัพธ์ของบทเรียน คำอธิบายของภารกิจของบ้าน

1. orgmant (2 นาที.)

2. การทดสอบ (15 นาที + 3 นาทีการอภิปราย)

ตัวเลือกสามารถมากเท่าที่คุณต้องการฉันจะยกตัวอย่างหนึ่งในนั้น:

ฉันตัวเลือก

ลดความซับซ้อนของการแสดงออก:

ก) อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

1. บาป 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) นอกจากนี้สูตรเพิ่มเติม

3. Sin5x - Sin3x;

c) การเปลี่ยนแปลงของงานในจำนวนเงิน

6. 2sin8y cos3y;

d) สูตรมุมสองมุม

7. 2sin5x cos5x;

e) ครึ่งมุม

e) สูตรของมุม Triple

g) การทดแทนสากล

h) ระดับที่ต่ำกว่า

16. COS 2 (3x / 7);

นักเรียนบนแล็ปท็อปตรงข้ามแต่ละสูตรดูคำตอบของพวกเขา

3. การทำให้การแสดงออกของตรีโกณมิติง่ายขึ้น (25 นาที)

ลดความซับซ้อนของการแสดงออก (สำหรับนักเรียนที่แข็งแกร่ง):

คำนวณ:

5) บาป (270º - α) + cos (270º + α)

ลดความซับซ้อน:

มีคิวการอภิปรายเกี่ยวกับผลลัพธ์ของกลุ่มที่แข็งแกร่ง

4. การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด (30 นาที.)

แก้สมการ:

ในการตอบสนองต่อการเขียนรากเชิงบวกที่เล็กที่สุด

5. งานอิสระ (10 นาที)

มีการเสนอสำหรับงานช่องโหว่เพื่อเลือกนักเรียน

ตัวเลือกใน "3"

1) ค้นหาค่าของนิพจน์

2) การแสดงออกที่ง่ายขึ้น 1 - Sin 2 3α - Cos 2 3α

3) แก้สมการ

ตัวเลือกใน "4"

1) ค้นหาค่าของนิพจน์

2) แก้สมการ ในการตอบสนองต่อการเขียนรากเชิงบวกที่เล็กที่สุด

ตัวเลือกใน "5"

1) ค้นหาTGαถ้า

2) ค้นหารากของสมการ ในการตอบสนองเขียนรากเชิงบวกที่เล็กที่สุด

6. บทเรียนผลลัพธ์ (5 นาที)

แก้สมการ:

10) ในการตอบสนองต่อบ่งบอกถึงรากเชิงบวกที่เล็กที่สุด

บทที่ 2.

เรื่อง: เกรด 11 (การเตรียมการสำหรับการใช้งาน)

วิธีการแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติ การเลือกราก (2 ชั่วโมง)

วัตถุประสงค์:

เพื่อสรุปและจัดระบบความรู้ในการแก้สมการตรีโกณมิติประเภทต่าง ๆ
เพื่อส่งเสริมการพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนความสามารถในการสังเกตเปรียบเทียบสรุปจำแนกประเภท
ย้ายนักเรียนสำหรับการเอาชนะความยากลำบากในกระบวนการของกิจกรรมทางจิตเพื่อควบคุมตนเองการวิเคราะห์ด้วยตนเองของกิจกรรม

อุปกรณ์สำหรับบทเรียน: Crum, แล็ปท็อปสำหรับนักเรียนแต่ละคน

โครงสร้างบทเรียน:

orgmoment
การอภิปราย D / S และ Samot ผลงานของบทเรียนสุดท้าย
การทำซ้ำของการแก้ปัญหาของสมการตรีโกณมิติ
การแก้สมการตรีโกณมิติ
การเลือกรากในสมการตรีโกณมิติ
งานอิสระ
ผลลัพธ์ของบทเรียน การบ้าน.

1. orgmoment (2 นาที)

ครูยินดีต้อนรับผู้ชมประกาศหัวข้อของบทเรียนและแผนงาน

2. A) การทำการบ้านที่แยกวิเคราะห์ (5 นาที)

b) การวิเคราะห์งานอิสระ (3 นาที)

เป้าหมายคือการทำผิดพลาดระบุวิธีที่จะเอาชนะพวกเขา

3. การทำซ้ำวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ (5 นาที)

เป้าหมายคือการจำวิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ

ตัวแปรทดแทน
การแยกตัวประกอบ
สมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน

และมีวิธีการใช้:

ตามสูตรของการเปลี่ยนแปลงของจำนวนเงินเข้ากับงานและทำงานในจำนวนเงิน
ตามสูตรลดลง
การทดแทนตรีโกณมิติสากล
บทนำของมุมเสริม
การคูณกับฟังก์ชั่นตรีโกณมิติบางอย่าง

นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องจำได้ว่าสมการหนึ่งสามารถแก้ไขได้ในหลาย ๆ วิธี

4. วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ (30 นาที)

ฉันคิดว่าเหมาะสมที่จะทำลายสมการสำหรับแต่ละวิธีร่วมกับนักเรียน

แก้สมการ:

1) การเปลี่ยนตัวแปร 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) การสลายตัวของตัวคูณ 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) สมการสมการสมการ 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) การเปลี่ยนแปลงจำนวนเงินเข้ากับงาน cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) การแปลงผลิตภัณฑ์ในจำนวน 2SINX SIN2X + COS3X \u003d 0

6) ระดับของ Sin2x - Sin 2 2X + SIN 2 3X \u003d 0.5

7) Universal ตรีโกณมิติทดแทน Sinx + 5cosx + 5 \u003d 0

8) การแนะนำของมุมเสริม√3SInx + cosx - √2 \u003d 0

9) การคูณกับบางตรีโกณมิติฟังก์ชั่น cosx cos2x cos4x \u003d 1/8

5. การเลือกรากฐานของสมการตรีโกณมิติ (20 นาที)

แก้สมการ:

รูปที่ 1.

เราได้รับ X \u003d π + 2πN, N Z

คำตอบ: π + 2πN, N Z

บนหน้าจอการเลือกรากจะแสดงบนวงกลมในภาพสี

ด้วยความช่วยเหลือของวงกลมเดียวบันทึกราก (ดูรูปที่ 2)

รูปที่ 2

ไปที่ระบบ:

ในสมการแรกของระบบเราจะแทนที่ Log 2 (SINX) \u003d Y เราได้รับสมการแล้ว กลับไปที่ระบบ

ด้วยความช่วยเหลือของวงกลมเดียวบันทึกราก (ดูรูปที่ 5)

รูปที่ 5

6. งานอิสระ (15 นาที)

เป้าหมายคือการแก้ไขและตรวจสอบการเรียนรู้ของวัสดุระบุข้อผิดพลาดเค้าร่างการแก้ไขของพวกเขา

งานมีให้ในสามรุ่นเตรียมล่วงหน้าบนพื้นฐานการพิมพ์เพื่อเลือกนักเรียน

คุณสามารถแก้สมการในทางใดทางหนึ่ง

ตัวเลือกใน "3"

แก้สมการ:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d √3Cosx

ตัวเลือกใน "4"

แก้สมการ:

1) cos2x \u003d 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) เข้าสู่ระบบ 8 (cosx) \u003d 0

ตัวเลือกใน "5"

แก้สมการ:

1) 2sinx - 3cosx \u003d 2

7. บทเรียนผลลัพธ์การบ้าน (5 นาที)

ครูสรุปบทเรียนอีกครั้งความสนใจจะถูกดึงไปสู่ความจริงที่ว่าสมการตรีโกณมิติสามารถแก้ไขได้ในหลายวิธี วิธีที่ดีที่สุดในการบรรลุผลลัพธ์ที่รวดเร็วคือสิ่งที่ได้รับมอบหมายให้กับนักเรียนที่เฉพาะเจาะจงที่สุด

เมื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบจำเป็นต้องทำสูตรและวิธีการในการแก้สมการอย่างเป็นระบบอย่างเป็นระบบ

ทำการบ้าน (เตรียมล่วงหน้าบนพื้นฐานที่พิมพ์) จัดจำหน่ายและแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการแก้ปัญหาของสมการบางส่วน

แก้สมการ:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5 ซิน (x / 6) - cos (x / 3) + 3 \u003d 0

3) 4 ซิน 2 x + sin2x \u003d 3

4) Sin 2 X + Sin 2 2x - Sin 2 3X - Sin 2 4X \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2 ซิน 2 x - sinx) เข้าสู่ระบบ 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - √3Cosx) เข้าสู่ระบบ 7 (-tgx) \u003d 0

11)

ใน การเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน สำนวนตรีโกณมิติ สามารถใช้เทคนิคพีชคณิตต่อไปนี้: การเพิ่มและลบคำศัพท์เดียวกัน ทำปัจจัยร่วมกันสำหรับวงเล็บ; การคูณและการหารด้วยค่าเดียวกัน การประยุกต์ใช้สูตรของการคูณตัวย่อ การจัดสรรสี่เหลี่ยมเต็มรูปแบบ; การสลายตัวของสแควร์คือการตัดสินใจสามครั้งในตัวคูณ; การแนะนำตัวแปรใหม่เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงง่ายขึ้น

ในการเปลี่ยนแปลงสำนวนตรีโกณมิติที่มีเศษส่วนเป็นไปได้ที่จะใช้คุณสมบัติของสัดส่วนการลดลงของเศษส่วนหรือการนำเศษส่วนไปสู่ส่วนร่วมทั่วไป นอกจากนี้คุณสามารถใช้การเลือกส่วนหนึ่งของส่วนหนึ่งของเศษส่วนการคูณเศษและตัวหารของเศษส่วนเป็นค่าเดียวกันเช่นเดียวกับถ้าเป็นไปได้คำนึงถึงความสม่ำเสมอของตัวเลขหรือตัวหาร หากจำเป็นคุณสามารถแสดงถึงเศษส่วนในรูปแบบของผลรวมหรือความแตกต่างของเศษส่วนที่ง่ายกว่าหลายอย่าง

นอกจากนี้การใช้วิธีการที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติมีความจำเป็นต้องคำนึงถึงค่าอุปสรรคของการเปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง

พิจารณาตัวอย่างหลายอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณ A \u003d (SIN (2x - π) · COS (3π - x) + SIN (2x - 9π / 2) · COS (x + π / 2)) 2 + (COS (x - π / 2) · COS ( 2x - 7π / 2) +
+ บาป (3π / 2 - x) ·บาป (2x -5π / 2)) 2

การตัดสินใจ

จากสูตรของการนำ:

sIN (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

บาป (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

บาป (3π / 2 - x) \u003d -cos x; SIN (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x

สูตรสำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักที่เราได้รับ

A \u003d (SIN 2X · COS X + COS 2X · SIN X) 2 + (-Sin X · Sin 2X + COS X · COS 2X) 2 \u003d SIN 2 (2x + X) + COS 2 (x + 2x) \u003d
\u003d บาป 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

คำตอบ: 1.

ตัวอย่างที่ 2

แปลงนิพจน์ M \u003d COS α + COS (α + β) · COS γ + cos β - Sin (α + β) · Sin γ + cos γ

การตัดสินใจ

จากสูตรของการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และสูตรสำหรับการแปลงผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นงานหลังจากการจัดกลุ่มที่สอดคล้องกันมี

M \u003d (COS (α + β) · COS γ - SIN (α + β) · Sin γ) + COS α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos (((β + γ) / 2) · COS ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · COS ((β - γ) / 2) + 2cos (α + γ) / 2) · cos ((β + γ) / 2))) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + β + γ) / 2) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) · COS ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) · COS ((α + β) / 2) · COS ((α + γ) / 2)

คำตอบ: M \u003d 4COS ((α + β) / 2) · COS ((α + γ) / 2) · COS ((β + γ) / 2)

ตัวอย่างที่ 3.

แสดงให้เห็นว่าการแสดงออก a \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) · cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ใช้สำหรับ x จาก r หนึ่งและ ความหมายเดียวกัน ค้นหาค่านี้

การตัดสินใจ

เราให้สองวิธีในการแก้ปัญหานี้ การใช้วิธีแรกโดยการเลือกสี่เหลี่ยมเต็มรูปแบบและใช้สูตรตรีโกณมิติหลักที่เหมาะสมเราได้รับ

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) · cos (x - π / 6) \u003d

4 ซิน 2 x ·บาป 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 · COS 2X + 1/4 \u003d 1/2 · (1 - COS 2X) + 1/2 · COS 2X + 1/4 \u003d 3/4

ด้วยการแก้ปัญหาในวิธีที่สองเราพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชั่นจาก X จาก r และคำนวณอนุพันธ์ของมัน หลังจากการเปลี่ยนแปลงเราได้รับ

a '\u003d -2cos (x + π / 6) ·บาป (x + π / 6) + (SIN (x + π / 6) · cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) · Sin (X + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) · Sin (x - π / 6) \u003d

SIN 2 (x + π / 6) + SIN ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - SIN 2 (x - π / 6) \u003d

SIN 2X - (SIN (2x + π / 3) + SIN (2x - π / 3)) \u003d

SIN 2X - 2SIN 2X · COS π / 3 \u003d SIN 2X - SIN 2X ≡ 0

จากที่นี่เนื่องจากเกณฑ์สำหรับความมั่นคงของฟังก์ชั่นที่แตกต่างในช่วงเวลาที่เราสรุปได้ว่า

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

คำตอบ: A \u003d 3/4 สำหรับ X € R

เทคนิคหลักของหลักฐานของอัตลักษณ์ตรีโกณมิติคือ:

แต่) การลดลงของส่วนซ้ายของตัวตนไปทางที่ถูกต้องในการแปลงที่เกี่ยวข้อง
b) การลดด้านขวาของตัวตนไปทางซ้าย;
ใน) การลดลงของส่วนที่ถูกต้องและส่วนที่เหลือของตัวตนในรูปแบบเดียวกัน
d) การคำนึงถึงศูนย์ของความแตกต่างระหว่างส่วนซ้ายและขวาของตัวตนที่พิสูจน์

ตัวอย่างที่ 4

ตรวจสอบว่า cos 3x \u003d -4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3)

การตัดสินใจ

การแปลงด้านขวาของตัวตนนี้ตามสูตรตรีโกณมิติที่เหมาะสมเรามี

4cos x · cos (x + π / 3) · cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x · (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x · (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x · cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x

ด้านขวาของข้อมูลประจำตัวจะลดลงไปทางซ้าย

ตัวอย่างที่ 5

พิสูจน์ว่าบาป 2 α + Sin 2 β + Sin 2 γ - 2cos α· cos β· cos γ \u003d 2 ถ้าα, β, γเป็นมุมภายในของสามเหลี่ยมบางส่วน

การตัดสินใจ

เมื่อพิจารณาว่าα, β, γ - มุมภายในของสามเหลี่ยมบางอย่างเราได้รับ

α + β + γ \u003d πและดังนั้นγ \u003d π - α - β

sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 γ - 2cos α· cos β· cos γ \u003d

Sin 2 α + Sin 2 β + SIN 2 (π - α - β) - 2cos α· cos β· cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 (α + β) + (COS (α + β) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

Sin 2 α + Sin 2 β + (SIN 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + COS (α - β) · (COS (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½· (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

ความเสมอภาคเริ่มแรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 6

เพื่อพิสูจน์ว่าเพื่อให้หนึ่งในมุมหนึ่งα, β, สามเหลี่ยมของสามเหลี่ยมคือ 60 °มันเป็นสิ่งจำเป็นและเพียงพอที่จะทำบาป3α + บาป3β + บาป3γ \u003d 0

การตัดสินใจ

เงื่อนไขของงานนี้แสดงถึงการพิสูจน์ทั้งความต้องการและความพอเพียง

พิสูจน์ครั้งแรก ความจำเป็น.

คุณสามารถแสดงให้เห็นว่า

บาป3α + Sin 3β + Sin 3γ \u003d -4cos (3α / 2) · COS (3β / 2) · COS (3γ / 2)

จากที่นี่พิจารณาว่าเพราะ cos (3/2 · 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0 เราได้รับถ้าหนึ่งในมุมα, βหรือγคือ 60 °

cOS (3α / 2) · COS (3β / 2) · COS (3γ / 2) \u003d 0 และดังนั้นบาป3α + บาป3β + บาป3γ \u003d 0

เราพิสูจน์แล้ว ความเพียงพอ เงื่อนไขที่ระบุ

ถ้าบาป3α + Sin 3β + Sin 3γ \u003d 0, จากนั้น cos (3α / 2) · cos (3β / 2) · cos (3γ / 2) \u003d 0 ดังนั้น

ทั้ง cos (3α / 2) \u003d 0, หรือ cos (3β / 2) \u003d 0, หรือ cos (3γ / 2) \u003d 0

ดังนั้น

ทั้ง3α / 2 \u003d π / 2 + πk, i.e. α \u003d π / 3 + 2πk / 3

ทั้ง3β / 2 \u003d π / 2 + πk, i.e. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

ทั้ง3γ / 2 \u003d π / 2 + πk

ที่. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 ที่ K ε Z

จากความจริงที่ว่าα, β, γเป็นมุมของสามเหลี่ยมเรามี

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

ดังนั้นสำหรับα \u003d π / 3 + 2πk / 3 หรือβ \u003d π / 3 + 2πk / 3 หรือ

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 ของkεzทั้งหมดเหมาะสำหรับ k \u003d 0 เท่านั้น

จากที่ใดก็ตามที่มีทั้งα \u003d π / 3 \u003d 60 °หรือβ \u003d π / 3 \u003d 60 °หรือγ \u003d π / 3 \u003d 60 °

แถลงการณ์ดังกล่าวได้รับการพิสูจน์แล้ว

มีคำถามหรือไม่? ไม่ทราบวิธีการลดความซับซ้อนของการแสดงออกตรีโกณมิติ?
เพื่อรับความช่วยเหลือผู้สอน - ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ที่มีการคัดลอกเต็มหรือบางส่วนของการอ้างอิงวัสดุไปยังแหล่งต้นฉบับที่จำเป็น

วิดีโอสอน "การทำให้เข้าใจง่ายของการแสดงออกตรีโกณมิติ" มีไว้สำหรับการก่อตัวของทักษะในนักเรียนในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติโดยใช้อัตลักษณ์พื้นฐานทางตรีโกณมิติพื้นฐาน ในระหว่างการสอนวิดีโอประเภทของอัตลักษณ์ตรีโกณมิติตัวอย่างของการแก้ปัญหาการใช้งานของพวกเขาได้รับการพิจารณา การใช้คู่มือการมองเห็นครูง่ายต่อการบรรลุเป้าหมายบทเรียน การนำเสนอที่สดใสของวัสดุมีส่วนช่วยในการท่องจำจุดสำคัญ การใช้เอฟเฟกต์และเสียงเคลื่อนไหวทำให้สามารถแทนที่ครูอย่างสมบูรณ์ที่ขั้นตอนการอธิบายวัสดุ ดังนั้นการใช้เบี้ยเลี้ยงภาพนี้ในบทเรียนคณิตศาสตร์ครูสามารถเพิ่มประสิทธิภาพของการเรียนรู้

ที่จุดเริ่มต้นของวิดีโอมีการประกาศหัวข้อของมัน จากนั้นอัตลักษณ์ตรีโกณมิติศึกษาก่อนหน้านี้ถูก reministed หน้าจอแสดงความเท่าเทียมกันบาป 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, ที่ t ≠π / 2 + πkสำหรับkεz, ctg t \u003d cos t / sin t, ถูกต้องสำหรับ t ≠≠k, ที่kεz, tg t · ctg t \u003d 1, ที่ t ≠πk / 2, ที่kεzเรียกว่าอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก มีการตั้งข้อสังเกตว่าตัวตนเหล่านี้มักใช้ในการแก้ปัญหาที่จำเป็นในการพิสูจน์ความเสมอภาคหรือลดความซับซ้อนของการแสดงออก

ตัวอย่างถือเป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้ตัวตนในการแก้ปัญหา ก่อนอื่นจึงเสนอให้พิจารณาการแก้ปัญหาเพื่อลดความซับซ้อนของการแสดงออก ในตัวอย่างที่ 1 จำเป็นต้องลดความซับซ้อนของการแสดงออก cos 2 t cos 4 t + sin 4 t. ในการแก้ปัญหาตัวอย่างคูณทั่วไป COS 2 T จะถูกส่งสำหรับวงเล็บ อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวในวงเล็บการแสดงออกที่ 1-cos 2 T จะได้รับค่าซึ่งจากตัวตนหลักของตรีโกณมิติคือบาป 2 ต. หลังจากแปลงนิพจน์ความเป็นไปได้ของการขุดสำหรับวงเล็บของผู้ทวีคูณตัวคูณอื่น ๆ ที่ 2 T นั้นชัดเจนหลังจากนั้นการแสดงออกถึงประเภทของบาป 2 T (SIN 2 T + COS 2 T) จากตัวตนพื้นฐานเดียวกันเราได้รับค่าของการแสดงออกในวงเล็บเท่ากับ 1. อันเป็นผลมาจากการทำให้เข้าใจง่ายเราได้รับ COS 2 T cos 4 T + Sin 4 T \u003d Sin 2 T.

ในตัวอย่างที่ 2 ค่าใช้จ่ายการแสดงออก / (1- sint) + ราคา / (1+ sint) จะต้องง่ายขึ้น เนื่องจากในเศษเศษส่วนของเศษส่วนทั้งสองเป็นนิพจน์ต้นทุนจึงสามารถได้รับสำหรับวงเล็บเป็นปัจจัยร่วม จากนั้นเศษส่วนในวงเล็บจะมอบให้กับการคูณตัวหารทั่วไป (1+ sint) หลังจากนำข้อกำหนดดังกล่าวไว้ในตัวเศษแล้ว 2 ซากและในส่วนที่ 1 - บาป 2 ต. ด้านขวาของหน้าจอมีลักษณะคล้ายกับเอกลักษณ์หลักตรีโกณมิติ Sin 2 T + COS 2 T \u003d 1 ใช้งานเราพบว่า COS 2 T Denomoter หลังจากตัดเศษส่วนเราได้รับการแสดงออกแบบง่าย ๆ / (1- sint) + ค่าใช้จ่าย / (1+ sint) \u003d 2 / ค่าใช้จ่าย

ที่อยู่ต่อไปนี้ตัวอย่างของหลักฐานของตัวตนที่มีความรู้ที่ได้รับจากอัตลักษณ์หลักของตรีโกณมิติ ในตัวอย่างที่ 3 มีความจำเป็นต้องพิสูจน์ตัวตน (TG 2 T-Sin 2 T) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T. ทางด้านขวาของหน้าจอมีการแสดงตัวตนสามตัวซึ่งจะต้องมีการพิสูจน์ - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t และ tg t \u003d sin t / cos t กับข้อ จำกัด เพื่อพิสูจน์ตัวตนวงเล็บจะถูกเปิดเผยครั้งแรกหลังจากที่ผลิตภัณฑ์เกิดขึ้นสะท้อนให้เห็นถึงการแสดงออกของอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก TG T · CTG T \u003d 1 จากนั้นตามที่ระบุจากนิยามของ Kotangent, CTG 2 T จะถูกแปลง อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงการแสดงออก 1-cos 2 t ได้รับ การใช้ข้อมูลประจำตัวหลักเราพบว่าค่าของนิพจน์ ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่า (TG 2 T-Sin 2 T) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T.

ในตัวอย่างที่ 4 มีความจำเป็นต้องค้นหาค่าของการแสดงออก tg 2 t + ctg 2 t, ถ้า tg t + ctg t \u003d 6 ในการคำนวณนิพจน์ก่อนอื่นส่วนขวาและซ้ายของความเท่าเทียมกัน (TG T + CTG T) 2 \u003d 6 2 สูตรการคูณตัวย่อได้รับการเตือนที่ด้านขวาของหน้าจอ หลังจากการเปิดเผยข้อมูลของวงเล็บในส่วนซ้ายของการแสดงออกผลรวม TG 2 T + 2 · TG T · CTG T + CTG 2 T ถูกสร้างขึ้นเพื่อแปลงซึ่งหนึ่งในอัตลักษณ์ตรีโกณมิติของ TG T · CTG T \u003d 1 มุมมองที่ได้รับการเตือนทางด้านขวาของหน้าจอ หลังจากการเปลี่ยนแปลงความเท่าเทียมกัน TG 2 T + CTG 2 T \u003d 34 ส่วนซ้ายของความเสมอภาคเกิดขึ้นพร้อมกับสภาพของปัญหาดังนั้นคำตอบคือ 34 ภารกิจได้รับการแก้ไข

แนะนำให้ใช้บทช่วยสอนวิดีโอ "ลดความซับซ้อนของการแสดงออกทางตรีโกณมิติ" เพื่อใช้ในบทเรียนโรงเรียนแบบดั้งเดิมของคณิตศาสตร์ นอกจากนี้วัสดุจะเป็นประโยชน์ต่อครูที่ดำเนินการเรียนทางไกล เพื่อสร้างทักษะในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

การถอดรหัสข้อความ:

"ลดความซับซ้อนของการแสดงออกตรีโกณมิติ"

ความเสมอภาค

1) บาป 2 T + COS 2 T \u003d 1 (Sinus Square Te Plus Cosinous Square PE เท่ากับหนึ่ง)

2) TGT \u003d, ที่ t ≠ + πk, kεz (tenthene pe เท่ากับอัตราส่วนของไซนัส te ไปยังโคไซน์ของ te กับ pe ที่ไม่เท่ากับสองบวก pi, ka เป็นของชุด)

3) ctgt \u003d, ที่ t ≠πk, kεz (te catangent เท่ากับอัตราส่วนของโคไซน์ te ไปยังไซนัสของ te กับ pe กับ pi, ka อยู่ในชุด)

4) TGT ∙ CTGT \u003d 1 ที่ t ≠, kεz (ผลิตภัณฑ์ของ tegens te on kotangent pe เท่ากับหนึ่งที่ pe ไม่เท่ากับ pi, หารด้วยสอง, kat เป็นของชุด)

เรียกว่าอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

บ่อยครั้งที่พวกเขาใช้ในการลดความซับซ้อนและพิสูจน์การแสดงออกทางตรีโกณมิติ

พิจารณาตัวอย่างของการใช้สูตรเหล่านี้เมื่อง่ายขึ้นการแสดงออกทางตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1 การแสดงออกในชีวิต: COS 2 T - COS 4 T + SIN 4 T. (การแสดงออกและโคไซน์สแควร์ TE ลบโคไซน์ปริญญาที่สี่ PA Plus Sinus ระดับที่สี่ TE)

การตัดสินใจ COS 2 T - COS 4 T + SIN 4 T \u003d COS 2 T ∙ (1 - COS 2 T) + Sin 4 T \u003d COS 2 T ∙ Sin 2 T + Sin 4 T \u003d Sin 2 T (COS 2 T + Sin 2 T) \u003d SIN 2 T · 1 \u003d SIN 2 T

(ฉันจะนำตัวคูณทั้งหมดของ Cosine Square Te ในวงเล็บในวงเล็บเราได้รับความแตกต่างระหว่างหน่วยและสี่เหลี่ยมจัตุรัสของ Cosine Te ซึ่งเท่ากับจัตุรัสตัวแรกของ Sine Te ที่อยู่ด้านหลังวงเล็บในวงเล็บเรา จะได้รับผลรวมของสี่เหลี่ยมของโคไซน์และไซนัสซึ่งเท่ากับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติหลักเป็นผลให้เราได้รับ Square of Sinus TE)

ตัวอย่างที่ 2 การแสดงออก: +

(นิพจน์เป็นผลรวมของเศษส่วนสองตัวในตัวเศษของโคไซน์แรกของ TE ในหน่วยตัวหารลบไซนัส TE ในตัวเศษของโคไซน์ที่สองของ TE ในตัวส่วนที่สองรวมถึง Sinus Te)

(ฉันจะสรุป cosine te สำหรับวงเล็บและในวงเล็บเราให้ส่วนร่วมทั่วไปซึ่งเป็นงานที่หนึ่งลบไซนัส te สำหรับหนึ่งบวกไซนัส te

ในตัวเศษที่เราได้รับ: หน่วยพลัสไซนัส TE บวกหน่วยลบ Sinus Te เราให้สิ่งที่เหมือนกันเศษเป็นสองหลังจากนำสิ่งที่คล้ายกัน

ในตัวหารคุณสามารถใช้สูตรการคูณตัวย่อ (ความแตกต่างของสแควร์ส) และรับความแตกต่างระหว่างหน่วยกับสแควร์ของ Sinus Te ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก

เท่าเทียมกันสี่เหลี่ยมจัตุรัสของโคไซน์ หลังจากตัดโคไซน์ของ TE เราได้รับคำตอบสุดท้าย: สองหารด้วยโคไซน์ TE)

พิจารณาตัวอย่างของการใช้สูตรเหล่านี้ในการพิสูจน์การแสดงออกทางตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 3 เพื่อพิสูจน์ตัวตน (TG 2 T - SIN 2 T) ∙ CTG 2 T \u003d SIN 2 T (ผลิตภัณฑ์ของความแตกต่างในสี่เหลี่ยมของ tegens te และไซนัส te ไปยังสแควร์ของ cotangent pe เท่ากับสแควร์ ของไซนัสของ TE)

หลักฐาน.

เราเปลี่ยนส่วนซ้ายของความเท่าเทียมกัน:

(TG 2 T - Sin 2 T) ∙ CTG 2 T \u003d TG 2 T ∙ CTG 2 T - Sin 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - SIN 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - Sin 2 T ∙ \u003d 1 - COS 2 t \u003d sin 2 t

(เราจะเปิดวงเล็บจากความสัมพันธ์ที่ได้มาก่อนหน้านี้เป็นที่รู้จักกันว่าผลิตภัณฑ์ของสี่เหลี่ยมของ tegens te ใน cotangent pe นั้นเท่ากับหนึ่งจำได้ว่า cotangent pe นั้นเท่ากับอัตราส่วนของโคไซน์ของโคไซน์ที่ ไซนัสของ TE หมายความว่า Kotangen ของสแควร์เป็นอัตราส่วนของโคไซน์สแควร์ Te ไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัสไซนัส

หลังจากลดไซนัสสี่เหลี่ยมจัตุรัสของ TE ได้รับความแตกต่างในหน่วยและโคไซน์ของสแควร์ของ TE ซึ่งเท่ากับ Sinus Square ของ TE) Q.E.D.

ตัวอย่างที่ 4 ประกาศมูลค่าของนิพจน์ TG 2 T + CTG 2 T หาก TGT + CTGT \u003d 6

(ผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสของ Tangent Te และ Kotangens Te หากผลรวมของแทนเจนต์และ Kotangent คือหก)

การตัดสินใจ (TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2

tG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ CTGT + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 36-2

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 34

สร้างทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันเริ่มต้นในตาราง:

(TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2 (สแควร์ของผลรวมของ tegens te และ cotgensa te เท่ากับหกในตาราง) เรียกคืนสูตรของการคูณตัวย่อ: สแควร์ของผลรวมของสองค่าเท่ากับสแควร์ของผลิตภัณฑ์คู่แรกบวกกับผลิตภัณฑ์คู่แรกในสองบวกสแควร์ที่สอง (A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2 เราได้รับ TG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ CTGT + CTG 2 T \u003d 36 (Tangent Square Te Plus ผลิตภัณฑ์คู่ของ Tangens TE บน Cotangent PE Plus Cotangent PA Square คือ เท่ากับสามสิบหก)

เนื่องจากงานของ Tangens Te ใน Cotangent PE นั้นเท่ากับหนึ่งแล้ว TG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36 (ผลรวมของสี่เหลี่ยมของ Tangent Te และ Kotangens TE และสองเท่ากับสามสิบหก)