รากที่สองของผลิตภัณฑ์คืออะไร การนำเสนอในหัวข้อ "รากที่สองของงาน" การแยกรากของจำนวนลบ

สไลด์2

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทำซ้ำคำจำกัดความของรากที่สองเลขคณิต แนะนำและพิสูจน์ทฤษฎีบทรากที่สองของผลิตภัณฑ์ เรียนรู้ที่จะหา ตรวจสอบความรู้และทักษะด้วยความช่วยเหลือจากการทำงานอิสระ

สไลด์ 3

รากที่สองของงาน

แผนการสอน: การอัปเดตความรู้ การเรียนรู้วัสดุใหม่ การรวมสูตรพร้อมตัวอย่าง งานอิสระ. สรุป. งานบ้าน.

สไลด์ 4

สวัสดีทุกคน!

มาทำซ้ำกัน: 2. อะไรเรียกว่ารากที่สองเลขคณิตของตัวเลข 3 นิพจน์มีความหมายว่าค่าใด 1. นิพจน์ชื่ออะไร

สไลด์ 5

หา:

1) 2) 3) 7 หรือ หรือ 7

สไลด์ 6

วันนี้เราจะมาทำความรู้จักกับคุณสมบัติอย่างหนึ่งของสแควร์รูทเลขคณิต ให้เราแนะนำและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากที่สองของผลิตภัณฑ์ พิจารณาตัวอย่างการใช้งาน จากนั้นคุณจะได้รับงานสำหรับการทดสอบตัวเอง ขอให้โชคดี!

สไลด์ 7

มาลองแก้กัน

พิจารณารากเลขคณิต ค้นหาค่าของนิพจน์ ดังนั้น รากของผลคูณของตัวเลขสองตัวจึงเท่ากับผลคูณของรากของตัวเลขเหล่านี้

สไลด์ 8

รากของผลคูณของปัจจัยที่ไม่เป็นลบเท่ากับผลคูณของรากของปัจจัยเหล่านี้ ถ้าอย่างนั้นทฤษฎีบท

สไลด์ 9

รากที่สองของงาน

หลักฐาน: หมายถึง - สมเหตุสมผล 4. สรุป: (เนื่องจากผลคูณของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบสองตัวไม่เป็นค่าลบ) 5. ดังนั้น

สไลด์ 10

เราได้พิจารณาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการสกัดรากที่สองของผลิตภัณฑ์แล้ว ไปที่งานจริงกันเถอะ ตอนนี้ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าสูตรนี้ถูกนำไปใช้อย่างไรเมื่อแก้ตัวอย่าง ตัดสินใจกับฉัน

สไลด์ 11

คำนวณรากที่สองโดยใช้ทฤษฎีบทผลิตภัณฑ์รูท: การแก้ตัวอย่าง:

สไลด์ 12

เราแก้ตัวอย่าง:

2. ค้นหาความหมายของนิพจน์:

สไลด์ 13

ใบแจ้งหนี้ด่วน

และฉันก็ค้นพบวิธีที่คุณสามารถใช้สูตรนี้สำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็ว ดูและเรียนรู้

สไลด์ 14

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 2 ฉันเสนอตัวอย่างสำหรับโซลูชันของคุณเอง

รากที่สองของจำนวน a คือจำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ a ตัวอย่างเช่น ตัวเลข -5 และ 5 คือรากที่สองของตัวเลข 25 นั่นคือ รากของสมการ x ^ 2 = 25 คือรากที่สองของตัวเลข 25 ตอนนี้คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับ การดำเนินการสกัดรากที่สอง: เพื่อศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของมัน

รากที่สองของงาน

√ (a * b) = √a * √b

รากที่สองของผลคูณของจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบสองตัวเท่ากับผลคูณของรากที่สองของตัวเลขเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น √ (9 * 25) = √9 * √25 = 3 * 5 = 15;

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าคุณสมบัตินี้ยังใช้กับกรณีที่นิพจน์รุนแรงเป็นผลคูณของสาม สี่ เป็นต้น ปัจจัยที่ไม่เป็นลบ

บางครั้งมีสูตรอื่นของคุณสมบัตินี้ ถ้า a และ b เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จะเป็นจริง √ (a * b) = √a * √b ไม่มีความแตกต่างระหว่างพวกเขาอย่างแน่นอน คุณสามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งหรือสูตรอื่นได้ (ใครสะดวกกว่าที่จะจำว่าสูตรใด)

รากที่สองของเศษส่วน

ถ้า a> = 0 และ b> 0 ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

√ (a / b) = √a / √b

ตัวอย่างเช่น √ (9/25) = √9 / √25 = 3/5;

คุณสมบัตินี้ยังมีสูตรที่แตกต่างกัน, ในความคิดของฉัน, สะดวกกว่าสำหรับการท่องจำ.
รากที่สองของผลหารเท่ากับผลหารของราก

เป็นที่น่าสังเกตว่าสูตรเหล่านี้ใช้ได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย นั่นคือถ้าจำเป็น เราสามารถแสดงผลิตภัณฑ์ของรากเป็นรากของผลิตภัณฑ์ เช่นเดียวกับคุณสมบัติที่สอง

ตามที่คุณอาจสังเกตเห็น คุณสมบัติเหล่านี้สะดวกมาก และฉันต้องการมีคุณสมบัติเดียวกันสำหรับการบวกและการลบ:

√ (a + b) = √a + √b;

√ (a-b) = √a-√b;

แต่น่าเสียดายที่คุณสมบัติดังกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ไม่มีรากและดังนั้น ไม่สามารถคำนวณได้.

สูตรราก คุณสมบัติของรากที่สอง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "สม่ำเสมอมาก ... ")

ในบทเรียนที่แล้ว เราหาว่าสแควร์รูทคืออะไร ได้เวลาคิดออกแล้วว่าอันไหนมีอยู่จริง สูตรรากสิ่งที่เป็น คุณสมบัติของรากและสิ่งที่คุณสามารถทำได้ด้วยทั้งหมดนี้

สูตรรูท คุณสมบัติของรูท และกฎสำหรับการดำเนินการกับรูทโดยพื้นฐานแล้วเป็นสิ่งเดียวกัน มีสูตรไม่กี่อย่างที่น่าประหลาดใจสำหรับรากที่สอง ซึ่งแน่นอนว่าพอใจ! คุณสามารถเขียนสูตรได้ทุกประเภท แต่สำหรับการทำงานจริงและมั่นใจด้วยราก มีเพียงสามสูตรเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว ที่เหลือทั้งสามนี้ไหล แม้ว่าหลายคนจะหลงทางในสามสูตรรูท แต่ใช่ ...

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดกันก่อน เธออยู่ที่นั่น:

ถ้าคุณชอบไซต์นี้ ...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ได้เวลาแยกย้าย วิธีการสกัดราก... พวกมันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บนความเท่าเทียมกัน ซึ่งใช้ได้กับจำนวนที่ไม่ใช่ค่าลบ b

ด้านล่างเราจะมาดูวิธีการหลักในการแยกราก

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - การแยกรากจากจำนวนธรรมชาติโดยใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

หากเป็นตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ เป็นต้น ไม่อยู่ในมือ ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะใช้วิธีการแยกราก ซึ่งหมายถึงการสลายตัวของจำนวนรากเป็นปัจจัยเฉพาะ

แยกจากกัน ควรพิจารณาถึงสิ่งที่เป็นไปได้สำหรับการรูตด้วยตัวบ่งชี้ที่แปลก

สุดท้าย มาดูวิธีค้นหาตัวเลขของค่ารูทตามลำดับ

มาเริ่มกันเลย.

การใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด คุณสามารถใช้ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ เพื่อแยกราก ตารางเหล่านี้คืออะไร?

ตารางกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 99 (แสดงด้านล่าง) ประกอบด้วยสองโซน โซนแรกของตารางอยู่บนพื้นหลังสีเทา ช่วยให้คุณสร้างตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 โดยเลือกแถวและคอลัมน์เฉพาะ ตัวอย่างเช่น ลองเลือกแถวที่ 8 หลักสิบและแถวที่ 3 กัน โดยเราจะกำหนดหมายเลข 83 ให้คงที่ โซนที่สองใช้ส่วนที่เหลือของตาราง แต่ละเซลล์จะอยู่ที่จุดตัดของแถวบางแถวและบางคอลัมน์ และมีกำลังสองของตัวเลขที่เกี่ยวข้องตั้งแต่ 0 ถึง 99 ที่จุดตัดของแถว 8 หลักสิบและหลัก 3 หน่วยที่เราเลือก มีเซลล์ที่มีหมายเลข 6 889 ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสของหมายเลข 83

ตารางลูกบาศก์ ตารางกำลังสี่ของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 และอื่นๆ คล้ายกับตารางกำลังสอง มีเพียงลูกบาศก์เท่านั้น ยกกำลังที่สี่ ฯลฯ ในโซนที่สอง ตัวเลขที่สอดคล้องกัน

ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ องศาที่สี่ เป็นต้น ช่วยให้คุณสามารถแยกรากที่สอง รากที่สาม รากที่สี่ ฯลฯ ตามลำดับจากตัวเลขในตารางเหล่านี้ ให้เราอธิบายหลักการของการใช้งานเมื่อทำการแยกราก

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยกรากที่ n ของตัวเลข a ในขณะที่หมายเลข a มีอยู่ในตารางกำลังที่ n จากตารางนี้ เราจะพบตัวเลข b ที่ a = b n แล้ว ดังนั้น หมายเลข b จะเป็นรูทที่ n ที่ต้องการ

ตัวอย่างเช่น เราแสดงให้เห็นว่ารากที่สามของ 19,683 ได้มาโดยใช้ตารางลูกบาศก์อย่างไร เราพบหมายเลข 19 683 ในตารางลูกบาศก์ จากนั้นเราพบว่าตัวเลขนี้เป็นลูกบาศก์ของหมายเลข 27 ดังนั้น .

เป็นที่ชัดเจนว่าตารางกำลังที่ n สะดวกมากสำหรับการแยกราก อย่างไรก็ตาม พวกเขามักจะไม่อยู่ในมือ และการรวบรวมต้องใช้เวลาระยะหนึ่ง ยิ่งไปกว่านั้น จำเป็นต้องแยกรากออกจากตัวเลขที่ไม่มีอยู่ในตารางที่เกี่ยวข้อง ในกรณีเหล่านี้ คุณต้องหันไปใช้วิธีอื่นในการถอนรากถอนโคน

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนกรณฑ์

วิธีที่สะดวกพอสมควรในการแยกรากออกจากจำนวนธรรมชาติ (ถ้าแน่นอน แยกรากแล้ว) ก็คือการขยายจำนวนรากเป็นปัจจัยเฉพาะ ของเขา สาระสำคัญมีดังนี้: หลังจากที่มันง่ายพอที่จะแสดงในรูปแบบของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่ต้องการ ซึ่งช่วยให้คุณได้รับค่าของรูท ให้เราชี้แจงประเด็นนี้

ให้แยกรากที่ n ออกจากจำนวนธรรมชาติ a และค่าของมันเท่ากับ b ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a = b n เป็นจริง จำนวน b เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของ p 1, p 2, ..., pm ในรูปแบบ p 1 p 2 ... 2 ·… · pm) n. เนื่องจากการสลายตัวของจำนวนเป็นปัจจัยเฉพาะนั้นไม่ซ้ำกัน การสลายของจำนวนราก a เป็นปัจจัยเฉพาะจะมีรูปแบบ (p 1 · p 2 ·… · pm) n ซึ่งทำให้สามารถคำนวณค่าของรากได้ เช่น.

โปรดทราบว่าหากการแยกตัวประกอบของจำนวนราก a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบ (p 1 · p 2 ·… · p m) n ดังนั้นรากที่ n ของจำนวน a ดังกล่าวจะไม่ถูกแยกออกทั้งหมด

มาคิดกันเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หารากที่สองของ 144

สารละลาย.

หากเราหันไปที่ตารางสี่เหลี่ยมที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อน จะเห็นได้ชัดว่า 144 = 12 2 ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่ารากที่สองของ 144 เท่ากับ 12

แต่ในแง่ของประเด็นนี้ เราสนใจว่ารากถูกดึงออกมาอย่างไรโดยแยกเลขฐานราก 144 เป็นตัวประกอบเฉพาะ มาวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหานี้กัน

มาขยายความกัน 144 โดยปัจจัยเฉพาะ:

นั่นคือ 144 = 2 2 2 2 3 3 ขึ้นอยู่กับการสลายตัวที่ได้รับ การแปลงต่อไปนี้สามารถทำได้: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2... เพราะฉะนั้น, .

โดยใช้คุณสมบัติของระดับและคุณสมบัติของราก สารละลายสามารถกำหนดวิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อย:

ตอบ:

ในการรวมเนื้อหา ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่ารูท

สารละลาย.

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก 243 คือ 243 = 3 5 ดังนั้น, .

ตอบ:

ตัวอย่าง.

ค่ารูทเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

สารละลาย.

เพื่อตอบคำถามนี้ ให้แยกจำนวนรากเป็นปัจจัยเฉพาะและดูว่าสามารถแสดงเป็นลูกบาศก์ของจำนวนเต็มได้หรือไม่

เรามี 285 768 = 2 3 3 6 7 2 การสลายตัวที่ได้จะไม่แสดงเป็นลูกบาศก์ของจำนวนเต็ม เนื่องจากกำลังของปัจจัยเฉพาะ 7 ไม่ใช่ผลคูณของสาม ดังนั้นคิวบ์รูทของหมายเลข 285 768 จึงไม่ถูกแยกออกอย่างสมบูรณ์

ตอบ:

เลขที่.

การแยกรากออกจากตัวเลขเศษส่วน

ได้เวลาคิดหาวิธีแยกรูทออกจากตัวเลขเศษส่วน ให้จำนวนรากที่เป็นเศษส่วนเขียนเป็น p / q ตามคุณสมบัติของรากของผลหาร ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง ความเท่าเทียมกันนี้หมายถึง รากเศษ: รากของเศษส่วนเท่ากับผลหารของการหารรากของเศษโดยรากของตัวส่วน

ลองดูตัวอย่างการแยกรูทออกจากเศษส่วน

ตัวอย่าง.

รากที่สองของเศษส่วนร่วม 25/169 คืออะไร

สารละลาย.

จากตารางกำลังสอง เราพบว่ารากที่สองของตัวเศษของเศษส่วนเดิมคือ 5 และรากที่สองของตัวส่วนคือ 13 แล้ว ... การสกัดรากจากเศษส่วนร่วม 25/169 เสร็จสมบูรณ์

ตอบ:

รากของทศนิยมหรือจำนวนคละจะถูกแยกออกหลังจากแทนที่จำนวนรากด้วยเศษส่วนธรรมดา

ตัวอย่าง.

แยกรากที่สามของทศนิยม 474.552

สารละลาย.

ให้แทนเศษทศนิยมเดิมเป็นเศษส่วนธรรมดา: 474.552 = 474552/1000 แล้ว ... ยังคงต้องแยกรากที่สามซึ่งอยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่เป็นผลลัพธ์ เพราะ 474 552 = 2 2 2 3 3 3 3 13 13 13 =(2 3 13) 3 = 78 3 และ 1,000 = 10 3 จากนั้น และ ... เหลือเพียงการคำนวณให้เสร็จ .

ตอบ:

.

การแยกรากของจำนวนลบ

การแยกรากออกจากจำนวนลบนั้นคุ้มค่า เมื่อศึกษารากนั้น เราบอกว่าเมื่อเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคี่ ตัวเลขติดลบสามารถอยู่ใต้เครื่องหมายรากได้ เราได้ให้ความหมายต่อไปนี้แก่รายการดังกล่าว: สำหรับจำนวนลบ −a และเลขชี้กำลังคี่ของรูท 2n − 1 เรามี ... ความเท่าเทียมกันนี้ทำให้ กฎการแยกรากคี่ออกจากจำนวนลบ: ในการแยกรากของจำนวนลบ คุณต้องแยกรากของจำนวนบวกตรงข้าม และใส่เครื่องหมายลบหน้าผลลัพธ์

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่ารูท

สารละลาย.

ลองแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้ภายใต้เครื่องหมายรูทมีจำนวนบวก: ... ตอนนี้เราแทนที่จำนวนคละด้วยเศษส่วนธรรมดา: ... เราใช้กฎการแยกรูตออกจากเศษส่วนธรรมดา: ... มันยังคงคำนวณรากในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์: .

นี่คือบันทึกสั้น ๆ ของการแก้ปัญหา: .

ตอบ:

.

หาค่ารูทแบบค่อยเป็นค่อยไป

ในกรณีทั่วไป ภายใต้รูท จะมีตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงในรูปของกำลังที่ n ของตัวเลขใดๆ โดยใช้เทคนิคที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ในกรณีนี้ จำเป็นต้องรู้ค่าของรูทที่กำหนด อย่างน้อยก็ต้องมีความแม่นยำถึงระดับหนึ่ง ในกรณีนี้ ในการแยกรูท คุณสามารถใช้อัลกอริธึมที่ช่วยให้คุณได้รับค่าตัวเลขที่เพียงพอของตัวเลขที่ต้องการตามลำดับ

ในขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมนี้ คุณต้องค้นหาว่าบิตที่สำคัญที่สุดของค่ารูทคืออะไร สำหรับสิ่งนี้ ตัวเลข 0, 10, 100, ... จะถูกยกกำลัง n ตามลำดับจนถึงช่วงเวลาที่ได้รับตัวเลขที่เกินจำนวนราก จากนั้นจำนวนที่เรายกกำลัง n ในขั้นตอนก่อนหน้าจะระบุบิตที่สำคัญที่สุดที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาขั้นตอนนี้ของอัลกอริทึมเมื่อแยกสแควร์รูทของห้า เรานำตัวเลข 0, 10, 100, ... และยกกำลังสองจนได้ตัวเลขที่มากกว่า 5 เรามี 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 ซึ่งหมายความว่าบิตที่สำคัญที่สุดจะเป็นบิตหลัก ค่าของบิตนี้ เช่นเดียวกับค่าที่ต่ำกว่า จะพบได้ในขั้นตอนต่อไปของอัลกอริธึมการแยกรูท

ขั้นตอนต่อไปของอัลกอริธึมมีจุดมุ่งหมายเพื่อปรับแต่งค่าของรูทตามลำดับเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าพบค่าของตัวเลขถัดไปของค่ารูทที่ต้องการโดยเริ่มจากค่าที่สำคัญที่สุดและเคลื่อนไปทางน้อยที่สุด คนสำคัญ ตัวอย่างเช่น ค่ารูทในขั้นตอนแรกคือ 2 ที่วินาที - 2.2 ที่สาม - 2.23 และอื่นๆ 2.236067977…. ให้เราอธิบายว่าการค้นหาค่าของตัวเลขเกิดขึ้นได้อย่างไร

การหาตัวเลขทำได้โดยการแจกแจงค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., 9 ในกรณีนี้ กำลังที่ n ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องจะคำนวณแบบขนาน และจะถูกนำไปเปรียบเทียบกับเลขฐานราก หากในบางขั้นตอน ค่าของดีกรีเกินจำนวนราก จะถือว่าพบค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าก่อนหน้า และจะทำการเปลี่ยนไปยังขั้นตอนถัดไปของอัลกอริทึมสำหรับการแยกรูท หากไม่เป็นเช่นนั้น เกิดขึ้น แล้วค่าของหลักนี้คือ 9

ให้เราอธิบายประเด็นเหล่านี้ด้วยตัวอย่างเดียวกันในการแยกสแควร์รูทของห้า

อันดับแรก เราหาค่าของตัวเลขหลัก เราจะวนซ้ำค่า 0, 1, 2,…, 9, คำนวณ 0 2, 1 2,…, 9 2 ตามลำดับ จนกว่าเราจะได้ค่าที่มากกว่าจำนวนรูท 5 การคำนวณทั้งหมดเหล่านี้นำเสนอในรูปแบบตารางอย่างสะดวก:

ดังนั้นค่าของหลักหนึ่งคือ 2 (ตั้งแต่ 2 2<5 , а 2 3 >5 ). เราหันไปหาค่าของหลักสิบ ในกรณีนี้ เราจะยกกำลังสองตัวเลข 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 โดยเปรียบเทียบค่าที่ได้รับกับเลขฐานราก 5:

ตั้งแต่ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 แล้วค่าของตำแหน่งทศนิยมคือ 2 คุณสามารถไปหาค่าของหลักร้อย:

ดังนั้นหาค่าถัดไปของรูทของห้า เท่ากับ 2.23 เพื่อให้คุณสามารถค้นหาค่าต่อไปได้: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ในการรวมวัสดุ เราจะวิเคราะห์การสกัดรากด้วยความแม่นยำหนึ่งในร้อยโดยใช้อัลกอริธึมที่พิจารณา

อันดับแรก เรากำหนดบิตที่สำคัญที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะลูกบาศก์ตัวเลข 0, 10, 100 เป็นต้น จนได้จำนวนที่มากกว่า 2,151,186 เรามี 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 ดังนั้น หลักที่สำคัญที่สุดคือหลักสิบ

มากำหนดความหมายของมันกันเถอะ

ตั้งแต่ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 แล้วค่าของหลักสิบคือ 1 มาต่อกันที่หน่วย

ดังนั้น ค่าของหลักสองคือ 2 ก้าวไปสู่หลักสิบ

เนื่องจากแม้แต่ 12.9 3 ก็ยังน้อยกว่าเลขฐานราก 2 151.186 ค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 9 มันยังคงดำเนินการตามขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมซึ่งจะทำให้เราได้รับค่ารูทด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ในขั้นตอนนี้ ค่าของรูทจะถูกพบโดยมีความแม่นยำเป็นร้อย: .

โดยสรุปของบทความนี้ ผมอยากจะบอกว่ามีวิธีอื่นๆ มากมายในการแยกราก แต่สำหรับงานส่วนใหญ่ งานที่เราศึกษาข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

บรรณานุกรม.

• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับเกรด 8 สถาบันการศึกษา.
• Kolmogorov A.N. , Abramov A.M. , Dudnitsyn Yu.P. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาเกรด 10 - 11
• Gusev V.A. , Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้สมัครเข้าโรงเรียนเทคนิค)

สวัสดีแมว! ครั้งที่แล้วเราตรวจสอบอย่างละเอียดว่ารากคืออะไร (ถ้าคุณจำไม่ได้ ฉันแนะนำให้อ่าน) ประเด็นหลักจากบทเรียนนั้นคือ มีเพียงคำจำกัดความสากลของรากที่คุณจำเป็นต้องรู้ ที่เหลือเป็นเรื่องไร้สาระและเสียเวลา

วันนี้เราไปต่อ เราจะเรียนรู้การคูณราก ศึกษาปัญหาบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับการคูณ (หากปัญหาเหล่านี้ไม่ได้รับการแก้ไข ก็อาจถึงแก่ชีวิตในการสอบ) และฝึกฝนอย่างเหมาะสม ตุนข้าวโพดคั่ว ทำตัวให้สบาย แล้วเรามาเริ่มกันเลย :)

คุณยังไม่ได้ชิมมันใช่หรือไม่?

บทเรียนค่อนข้างยาว ดังนั้นฉันจึงแบ่งออกเป็นสองส่วน:

1. อันดับแรก เราจะมาดูกฎของการคูณกัน Cap as if คำใบ้: นี่คือเมื่อมีสองราก ระหว่างพวกเขามีเครื่องหมาย "คูณ" - และเราต้องการทำอะไรกับมัน
2. จากนั้นเราจะวิเคราะห์สถานการณ์ที่ตรงกันข้าม: มีรูทขนาดใหญ่หนึ่งรูต และเราประทับใจที่จะนำเสนอมันเป็นผลิตภัณฑ์ของสองรูตที่ง่ายกว่า ด้วยความตกใจนี้เป็นสิ่งที่จำเป็น - คำถามแยกต่างหาก เราจะวิเคราะห์อัลกอริทึมเท่านั้น

สำหรับคนที่ใจร้อนไปต่อภาคสองได้เลย เริ่มจากส่วนที่เหลือตามลำดับ

กฎพื้นฐานของการคูณ

เริ่มจากที่ง่ายที่สุด - รากที่สองแบบคลาสสิก อันเดียวกับที่เขียนด้วย $ \ sqrt (a) $ และ $ \ sqrt (b) $ สำหรับพวกเขา โดยทั่วไปแล้วทุกอย่างก็ชัดเจน:

กฎของการคูณ ในการคูณรากที่สองด้วยรากที่สอง คุณเพียงแค่คูณนิพจน์รากที่สองของพวกมัน แล้วเขียนผลลัพธ์ภายใต้รากที่สอง:

\ [\ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (b) = \ sqrt (a \ cdot b) \]

ไม่มีข้อจำกัดเพิ่มเติมสำหรับตัวเลขทางขวาหรือซ้าย: หากมีปัจจัยรากอยู่แล้ว ผลิตภัณฑ์ก็จะมีอยู่เช่นกัน

ตัวอย่าง. ลองดูสี่ตัวอย่างพร้อมตัวเลขพร้อมกัน:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (25) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (25 \ cdot 4) = \ sqrt (100) = 10; \\ & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (32 \ cdot 2) = \ sqrt (64) = 8; \\ & \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \ sqrt (\ frac (3) (17)) \ cdot \ sqrt (\ frac (17) (27)) = \ sqrt (\ frac (3) (17) \ cdot \ frac (17) (27) )) = \ sqrt (\ frac (1) (9)) = \ frac (1) (3) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

อย่างที่คุณเห็น ประเด็นหลักของกฎนี้คือการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว และถ้าในตัวอย่างแรก เราเองจะแยกรากจาก 25 และ 4 โดยไม่มีกฎใหม่ ดีบุกก็จะเริ่มต้นต่อไป: $ \ sqrt (32) $ และ $ \ sqrt (2) $ ตัวเองจะไม่ถูกนับ แต่ ผลคูณของมันกลายเป็นกำลังสองที่แน่นอน ดังนั้นรากของมันจึงเท่ากับจำนวนตรรกยะ.

ฉันยังต้องการทราบบรรทัดสุดท้าย ในที่นี้ นิพจน์รากศัพท์ทั้งสองเป็นเศษส่วน ต้องขอบคุณผลิตภัณฑ์ที่ทำให้หลายปัจจัยถูกยกเลิก และนิพจน์ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนที่เพียงพอ

แน่นอนว่าไม่ใช่ว่าทุกอย่างจะสวยงามเสมอไป บางครั้งจะมีความยุ่งเหยิงอย่างสมบูรณ์ภายใต้ราก - ไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไรกับมันและจะแปลงอย่างไรหลังจากการคูณ ในเวลาต่อมา เมื่อคุณเริ่มศึกษาสมการอตรรกยะและอสมการ โดยทั่วไปจะมีตัวแปรและฟังก์ชันทุกประเภท และบ่อยครั้งที่ task compiler คาดหวังว่าคุณจะพบเงื่อนไขหรือปัจจัยที่ยกเลิก หลังจากนั้นงานจะง่ายขึ้นอย่างมาก

นอกจากนี้ ไม่จำเป็นต้องคูณสองรากให้พอดีเลย คุณสามารถคูณสามพร้อมกัน สี่ - แต่อย่างน้อยสิบ! สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนกฎ ลองดูสิ:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (2 \ cdot 3 \ cdot 6) = \ sqrt (36) = 6; \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (0.001) = \ sqrt (5 \ cdot 2 \ cdot 0.001) = \\ & = \ sqrt (10 \ cdot \ frac (1) (1000)) = \ sqrt (\ frac (1) (100)) = \ frac (1) (10) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

และอีกครั้ง ความคิดเห็นเล็กน้อยในตัวอย่างที่สอง อย่างที่คุณเห็นในปัจจัยที่สามภายใต้รูทนั้นมีเศษส่วนทศนิยม - ในกระบวนการคำนวณเราแทนที่ด้วยเศษปกติหลังจากนั้นทุกอย่างจะถูกยกเลิกอย่างง่ายดาย ดังนั้น: ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้กำจัดเศษส่วนทศนิยมในนิพจน์ที่ไม่ลงตัวใดๆ (เช่น มีเครื่องหมายกรณฑ์อย่างน้อยหนึ่งตัว) ในอนาคต สิ่งนี้จะช่วยคุณประหยัดเวลาและความกังวล

แต่นี่เป็นการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ ทีนี้ลองพิจารณากรณีทั่วไปมากขึ้น - เมื่อเลขชี้กำลังของรูทมีตัวเลข $ n $ เองโดยพลการ ไม่ใช่แค่สอง "คลาสสิก" เท่านั้น

กรณีเลขชี้กำลังตามอำเภอใจ

เราก็หารากที่สองได้แล้ว แล้วจะทำอย่างไรกับลูกบาศก์? หรือโดยทั่วไปมีรากของระดับโดยพลการ $ n $? ใช่ทุกอย่างเหมือนกัน กฎยังคงเหมือนเดิม:

ในการคูณสองรากของดีกรี $ n $ ก็เพียงพอแล้วที่จะคูณนิพจน์รากของพวกมัน แล้วเขียนผลลัพธ์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ตัวเดียว

โดยทั่วไปไม่มีอะไรซับซ้อน ยกเว้นแต่ว่าปริมาณการคำนวณอาจจะมากกว่า ลองดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

ตัวอย่าง. คำนวณผลิตภัณฑ์:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (20) \ cdot \ sqrt (\ frac (125) (4)) = \ sqrt (20 \ cdot \ frac (125) (4)) = \ sqrt (625) = 5; \\ & \ sqrt (\ frac (16) (625)) \ cdot \ sqrt (0.16) = \ sqrt (\ frac (16) (625) \ cdot \ frac (16) (100)) = \ sqrt (\ frac (64) (((25) ^ (2)) \ cdot 25)) = \\ & = \ sqrt (\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3 )) )) = \ sqrt (((\ left (\ frac (4) (25) \ right)) ^ (3))) = \ frac (4) (25) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

และอีกครั้งให้ความสนใจกับนิพจน์ที่สอง เราคูณรากที่สาม กำจัดเศษส่วนทศนิยม และด้วยเหตุนี้ เราได้ผลคูณของตัวเลข 625 และ 25 ในตัวส่วน นี่เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมาก - โดยส่วนตัวแล้วฉันจะไม่คำนวณว่ามันจะเท่ากับอะไร .

ดังนั้น เราเพียงแค่เลือกคิวบ์ที่แน่นอนในตัวเศษและส่วน จากนั้นใช้หนึ่งในคุณสมบัติหลัก (หรือหากคุณต้องการ คำจำกัดความ) ของราก $ n $ -th:

\ [\ start (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) = a; \\ & \ sqrt (((a) ^ (2n))) = \ left | a \ ขวา |. \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

"กลไก" ดังกล่าวสามารถช่วยคุณประหยัดเวลาในการสอบหรือการทดสอบได้อย่างมาก ดังนั้นจำไว้ว่า:

อย่าเร่งที่จะคูณตัวเลขในนิพจน์ราก ขั้นแรก ให้ตรวจสอบ: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าระดับที่แน่นอนของนิพจน์บางอย่าง "เข้ารหัส" อยู่ที่นั่น

ด้วยความชัดเจนของคำพูดนี้ ฉันต้องยอมรับว่านักเรียนที่ไม่ได้รับการฝึกฝนส่วนใหญ่ไม่เห็นองศาที่แน่นอนที่ช่วงที่ว่างเปล่า กลับทวีคูณทุก ๆ อย่างจนหมด แล้วสงสัยว่าทำไมพวกเขาถึงได้ตัวเลขที่โหดเหี้ยมเช่นนี้ :)

อย่างไรก็ตาม ทั้งหมดนี้ดูเด็กๆ เมื่อเทียบกับสิ่งที่เราจะศึกษาในตอนนี้

การคูณรากด้วยอินดิเคเตอร์ต่างๆ

ตกลง ตอนนี้เราสามารถคูณรากด้วยตัวบ่งชี้เดียวกันได้ จะเกิดอะไรขึ้นหากตัวชี้วัดต่างกัน? พูดวิธีการคูณ $ \ sqrt (2) $ ปกติด้วยอึเช่น $ \ sqrt (23) $? เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้?

ใช่ แน่นอน คุณทำได้ ทุกอย่างทำตามสูตรนี้:

กฎการคูณรูต ในการคูณ $ \ sqrt [n] (a) $ ด้วย $ \ sqrt [p] (b) $ คุณเพียงแค่ทำการแปลงต่อไปนี้:

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อ นิพจน์รุนแรงไม่เป็นลบ... นี่เป็นจุดสำคัญมากที่เราจะกลับมาในภายหลัง

ในตอนนี้ มาดูตัวอย่างสองสามตัวอย่าง:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (2) = \ sqrt (((3) ^ (4)) \ cdot ((2) ^ (3))) = \ sqrt (81 \ cdot 8) = \ sqrt (648); \\ & \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (7) = \ sqrt (((2) ^ (5)) \ cdot ((7) ^ (2))) = \ sqrt (32 \ cdot 49) = \ sqrt (1568); \\ & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (625 \ cdot 9) = \ sqrt (5625) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อน ตอนนี้ มาดูกันว่าข้อกำหนดการไม่ติดลบมาจากไหน และจะเกิดอะไรขึ้นหากเราละเมิดข้อกำหนดนั้น :)

เหตุใดนิพจน์รุนแรงจึงไม่ควรเป็นค่าลบ

แน่นอน คุณสามารถเป็นเหมือนครูในโรงเรียนและอ้างอิงหนังสือเรียนด้วยรูปลักษณ์ที่ฉลาด:

ข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธมีความเกี่ยวข้องกับคำจำกัดความที่แตกต่างกันของรากของดีกรีคู่และคี่ (ตามลำดับ ขอบเขตของคำจำกัดความก็ต่างกันด้วย)

แล้วมันชัดเจนขึ้นไหม? โดยส่วนตัวเมื่อฉันอ่านเรื่องไร้สาระนี้ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ฉันรู้ว่าสิ่งนี้: “ข้อกำหนดของการไม่ปฏิเสธเกี่ยวข้องกับ * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%” - ในระยะสั้นฉันไม่ได้ ไม่เข้าใจอึครั้งนั้น :)

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างตามปกติ

อันดับแรก มาดูกันว่าสูตรคูณที่ให้ไว้ข้างต้นมาจากไหน ในการทำเช่นนี้ ผมขอเตือนคุณถึงคุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของรูท:

\ [\ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราสามารถยกพจน์รากศัพท์เป็นกำลังธรรมชาติใดๆ ที่ $ k $ ได้อย่างปลอดภัย - ในกรณีนี้ เลขชี้กำลังของรากจะต้องคูณด้วยกำลังเดียวกัน ดังนั้น เราสามารถลดรากใดๆ ให้เป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปได้อย่างง่ายดาย แล้วคูณด้วย จึงได้สูตรคูณมาดังนี้

\ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p))) \ cdot \ sqrt (((b) ^ (n))) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n))) \]

แต่มีปัญหาอย่างหนึ่งที่จำกัดการใช้สูตรเหล่านี้ทั้งหมดอย่างรุนแรง พิจารณาตัวเลขนี้:

ตามสูตรที่ให้มา เราสามารถบวกองศาใดก็ได้ ลองเพิ่ม $ k = 2 $:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (((\ ซ้าย (-5 \ ขวา)) ^ (2))) = \ sqrt (((5) ^ (2))) \]

เราลบเครื่องหมายลบออกอย่างแม่นยำเพราะสี่เหลี่ยมนั้นเผาลบ (เช่นเดียวกับกำลังอื่น ๆ ที่เท่ากัน) และตอนนี้เราจะทำการแปลงแบบย้อนกลับ: เราจะ "ลด" ทั้งสองในเลขชี้กำลังและดีกรี ท้ายที่สุด ความเท่าเทียมกันใดๆ สามารถอ่านได้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt [n] (a) = \ sqrt (((a) ^ (k))) \ ลูกศรขวา \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n ] (NS); \\ & \ sqrt (((a) ^ (k))) = \ sqrt [n] (a) \ ลูกศรขวา \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt ((5) ^ ( 2))) = \ sqrt (5) \\ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

แต่แล้วมันก็กลายเป็นเรื่องไร้สาระบางอย่าง:

\ [\ sqrt (-5) = \ sqrt (5) \]

สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้เพราะ $ \ sqrt (-5) \ lt 0 $ และ $ \ sqrt (5) \ gt 0 $ ซึ่งหมายความว่าสูตรของเราใช้ไม่ได้กับองศาคู่และจำนวนลบอีกต่อไป จากนั้นเรามีสองตัวเลือก:

1. เตะตัวเองให้ติดกำแพงเพื่อบอกว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่โง่เขลา ที่ "มีกฎเกณฑ์อยู่บ้าง แต่มันไม่ถูกต้อง";
2. แนะนำข้อจำกัดเพิ่มเติมซึ่งสูตรจะทำงานได้ 100%

ในตัวเลือกแรก เราจะต้องจับกรณีที่ "ไม่ทำงาน" อย่างต่อเนื่อง - มันยาก ยาว และโดยทั่วไปแล้วจะฟู ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงชอบตัวเลือกที่สอง :)

แต่ไม่ต้องกังวล! ในทางปฏิบัติ ข้อ จำกัด นี้ไม่ส่งผลต่อการคำนวณ แต่อย่างใด เนื่องจากปัญหาทั้งหมดที่อธิบายไว้เกี่ยวข้องกับรากของระดับคี่เท่านั้นและคุณสามารถลบ minuses ออกได้

ดังนั้น เราจะกำหนดกฎอื่นที่ใช้โดยทั่วไปกับการกระทำทั้งหมดที่มีราก:

ทำให้นิพจน์รากศัพท์ไม่เป็นลบก่อนคูณราก

ตัวอย่าง. ในจำนวน $ \ sqrt (-5) $ คุณสามารถลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรูท - จากนั้นทุกอย่างจะเรียบร้อย:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \ ลูกศรขวา \\ & \ sqrt (-5) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (25) = - \ sqrt (((5) ^ (2))) = - \ sqrt (5) \ lt 0 \\ \ end (จัดตำแหน่ง) \]

คุณรู้สึกถึงความแตกต่างหรือไม่? หากคุณปล่อยเครื่องหมายลบไว้ใต้รูท จากนั้นเมื่อนิพจน์รากที่สองถูกยกกำลังสอง ค่านั้นจะหายไปและเริ่มอึ และถ้าคุณลบเครื่องหมายลบออกก่อน คุณสามารถสร้าง/ลบสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ก่อนที่จะเปลี่ยนเป็นสีน้ำเงิน - ตัวเลขจะยังคงติดลบ :)

ดังนั้น วิธีที่ถูกต้องและน่าเชื่อถือที่สุดในการคูณรูตมีดังนี้:

1. ลบ minuses ทั้งหมดออกจากใต้อนุมูล มีข้อเสียเพียงอย่างเดียวในรากของหลายหลากแบบคี่ - สามารถวางไว้ข้างหน้ารูทและถ้าจำเป็นให้สั้นลง (ตัวอย่างเช่นหากมีข้อเสียสองข้อนี้)
2. ทำการคูณตามกฎที่กล่าวข้างต้นในบทเรียนวันนี้ หากดัชนีรากเท่ากัน เราก็คูณนิพจน์รากที่สอง และถ้าต่างกัน เราใช้สูตรชั่วร้าย \ [\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [p] (b) = \ sqrt (((a) ^ (p)) \ cdot ((b) ^ (n) )) \].
3. 3. เราสนุกกับผลลัพธ์และคะแนนที่ดี :)

ดี? มาฝึกกัน?

ตัวอย่างที่ 1 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (- \ frac (4) (3)) = \ sqrt (48) \ cdot \ ซ้าย (- \ sqrt (\ frac (4) (3 )) \ right) = - \ sqrt (48) \ cdot \ sqrt (\ frac (4) (3)) = \\ & = - \ sqrt (48 \ cdot \ frac (4) (3)) = - \ sqrt (64) = - 4; \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

นี่เป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุด: ดัชนีของรากเหมือนกันและคี่ ปัญหาอยู่ในลบของปัจจัยที่สองเท่านั้น เราลบ nafig นี้ออกหลังจากนั้นทุกอย่างก็พิจารณาได้ง่าย

ตัวอย่างที่ 2 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (32) \ cdot \ sqrt (4) = \ sqrt (((2) ^ (5))) \ cdot \ sqrt (((2) ^ (2))) = \ sqrt (((\ left (((2) ^ (5)) \ right)) ^ (3)) \ cdot ((\ left (((2) ^ (2)) \ right)) ^ (4) )) = \\ & = \ sqrt (((2) ^ (15)) \ cdot ((2) ^ (8))) = \ sqrt (((2) ^ (23))) \\ \ end ( จัดตำแหน่ง) \]

ในที่นี้ หลายคนอาจสับสนกับข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะ ใช่ มันเกิดขึ้น: เราไม่สามารถกำจัดรากได้อย่างสมบูรณ์ แต่อย่างน้อยเราก็ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นอย่างมาก

ตัวอย่างที่ 3 ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((\ left ((( ก) ^ (4)) \ ขวา)) ^ (6))) = \ sqrt (((a) ^ (3)) \ cdot ((a) ^ (24))) = \\ & = \ sqrt ( ((a) ^ (27))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 9))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ end (จัดตำแหน่ง) \]

ฉันต้องการดึงความสนใจของคุณมาที่งานนี้ มีสองจุดพร้อมกัน:

1. รูทไม่ใช่ตัวเลขหรือระดับเฉพาะ แต่เป็นตัวแปร $ a $ เมื่อมองแวบแรก สิ่งนี้ค่อนข้างผิดปกติ แต่ในความเป็นจริง เมื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ คุณมักจะต้องจัดการกับตัวแปร
2. ในที่สุด เราก็สามารถ "ลด" เลขชี้กำลังรากและดีกรีในนิพจน์รากได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย และนี่หมายความว่าสามารถลดความซับซ้อนของการคำนวณได้อย่างมากหากคุณไม่ได้ใช้สูตรพื้นฐาน

ตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำสิ่งนี้:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (4))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((\ left (((a)) ^ ( 4)) \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (a) \ cdot \ sqrt (((a) ^ (8))) \\ & = \ sqrt (a \ cdot ((a) ^ ( 8))) = \ sqrt (((a) ^ (9))) = \ sqrt (((a) ^ (3 \ cdot 3))) = \ sqrt (((a) ^ (3))) \ \ \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

อันที่จริง การแปลงทั้งหมดดำเนินการกับรากที่สองเท่านั้น และถ้าคุณไม่อธิบายรายละเอียดขั้นตอนกลางทั้งหมด ในที่สุดปริมาณการคำนวณจะลดลงอย่างมาก

อันที่จริง เราได้พบงานที่คล้ายกันข้างต้นแล้วเมื่อแก้ตัวอย่าง $ \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $ ตอนนี้สามารถอธิบายได้ง่ายกว่ามาก:

\ [\ เริ่มต้น (จัดตำแหน่ง) & \ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (((5) ^ (4)) \ cdot ((3) ^ (2))) = \ sqrt (( (\ left (((5) ^ (2)) \ cdot 3 \ right)) ^ (2))) = \\ & = \ sqrt (((\ left (75 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (75) \ สิ้นสุด (จัดตำแหน่ง) \]

เราได้หาการคูณของรากแล้ว ทีนี้ลองพิจารณาการดำเนินการย้อนกลับ: จะทำอย่างไรเมื่อผลิตภัณฑ์อยู่ภายใต้รูท?